Continuidad

Definición de Continuidad

Teorema de los valores intermedios

Reglas para funciones continuas

Algunas Funciones Continuas

Ejemplos

Funciones/Continuidad.

Definición de ContinuidadEl camino más sencillo para definir una función continua es decir que una función es continua si se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Función Continua Función Discontinua

Una característica de las funciones continua es que tienen límite y que el valor del límite es el valor de la función. Esta es la “verdadera” definición de continuidad.

Funciones Continuas

Definición

Una función que no es continua (en un punto o en un intervalo del dominio de definición de la función) se dice que es discontinua.

Una función f es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto del intervalo.

Una función f es continua en x = x0 si el límite existe y se verifica

limx x

0

f x limx x

0

f x f x0 .

Una función f es continua por la izquierda en x = x0 si existe y se verifica

limx x

0f x

lim

x x0f x f x

0 .Una función f es continua por la derecha en x = x0 si existe y se verifica

lim

x x0f x

lim

x x0f x f x

0 .

Una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b] si es continua en el intervalo abierto (a,b), es continua por la izquierda en b y continua por la derecha en a.

Funciones/Continuidad.

Teorema de los Valores IntermediosSi f es continua en un intervalo entonces toma cualquier valor entre dos valores que tome la función. Ésta es la propiedad más importante de las funciones continuas, que se conoce como el teorema de los valores intermedios y que discutiremos posteriormente .

La función f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces la ecuación f(x) = 0 tiene solución entre a y b.

La función g no es continua siempre. La ecuacióng(x) = 0 no tiene soluciones aunque g toma valores positivos y negativos.

a

b

f

c

d

g

Funciones/Continuidad.

Ejemplos de Funciones Continuas1 f(x) = x3 – x es continua siempre.

2Es continua si x ≠ 0, y discontinua en el punto x = 0.

3 h(x) = sen(x)/x está definida y es continua para x ≠ 0. Definiendo h(0) = 1 se extiende la función h a una función continua en todo punto x.

Funciones/Continuidad.

Reglas de Funciones ContinuasSupongamos que las funciones f y g son continuas en x = x0.

Sea

Teorema Las siguientes funciones son continuas en x = x0.

1 f(x) + g(x) 2 cf(x)

3 f(x) g(x) 4 f(x)/g(x) suponiendo que g(x0) ≠ 0

Demostración El resultado es consecuencia inmediata de las propiedades de los límites

Teorema Si f es continua en x = a, y g es continua en f(a), entonces la función compuesta g ◦ f es continua en x = a.

Usaremos, sin demostrar el siguiente resultado

Funciones/Continuidad.

c

Algunas Funciones ContinuasComo la función f(x) = x es continua, las reglas de las Funciones

Continuas implican que:

1. Los polinomios son funciones continuas.

2. Las funciones racionales, es decir los cocientes R = P/Q de dos polinomios P y Q son continuas en los puntos x0 para los cuales Q(x0) ≠ 0.

Se puede demostrar además que:

1. Las funciones xr, , son continuas donde están definidas.

2. Las funciones f(x) = ax, a > 0, son continuas. En particular la Función Exponencial ex es continua.

3. Las funciones trigonométricas son continuas donde están definidas.

4. Las funciones trigonométricas inversas son continuas donde están definidas.

5. El logaritmo es continua donde está definida.

Funciones/Continuidad.

r

Ejemplos

1 ¿Donde es continua la función tan x ?

Solución

Por las observaciones anteriores, tan x es continua donde esté definida.

La función tan x = sen(x)/cos(x) está definida en los puntos x para los que cos x ≠ 0.

Concluimos que la función tan x es continua para los puntos x ≠ π/2 + nπ, siendo n un número entero. Observemos que para los puntos x = π/2 + nπ, la función tan x no está definida.

Funciones/Continuidad.

Ejemplos

2 ¿En que puntos es continua la función f(x) = x+ –x ?

Nota: x = mayor entero ≤ x.

Solución

Observemos que si n – 1 < x < n para algún entero n, entonces x = n – 1 y –x =−n. Por tanto , si x no es un número entero se tiene que f(x) = −1.

El límite de la función f es −1 siempre. Por otro lado, si x es un número entero, entonces x = x, y –x = −x. Por tanto , si x no un número entero se tiene que f(x) = 0.

Entonces f es continua en los puntos que no sean números enteros y discontinua en los números enteros.

Funciones/Continuidad.

Ejemplos

3 ¿Donde es continua la función ?

Solución

Observemos que el numerador está definido y es continuo para x > 0.

El denominador ln x – 1 también está definido para todo x, x > 0.

El denominador se hace 0 si x = e. En este punto la función no está definida y por supuesto no es continua.

e

Respuesta La función g es continua en los puntos x tal que x > 0, x ≠ e.

Gráfica de la función g. La recta vertical de color azul x = e es una asíntota de g.

Funciones/Continuidad.

Ejemplos

4 Estudiar la continuidad de la función

Solución

Como x2 y la función Seno son ambas continuas, la función compuesta sen( x2 ) es continua.

1

Como 1 + sen(x2) ≥ 0 para todo x, está definida y es continua para todo x.

2

El numerador está definido y es continua para todo x. El denominador x2 es una función continua, y toma el valor 0 para x = 0.

3

Respuesta La función f está definida y es continua para x ≠ 0.

Funciones/Continuidad.

Ejemplos5 La función está definida si x ≠ 0.

¿ Es posible definir f(0) para que la función f sea continua en x = 0?

Solución

Como

Entonces definiendo f(0) = ½ la función f es continua en x = 0.

1 sin x2 1

x2 1 sin x2 1

sin x2

x2 1 sin x2 1

x 0

1

2

Necesitamos hallar el límite de la función f en x = 0.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado del numerador para evitar el problema de la raíz cuadrada

limt 0

sin tt

1

Funciones/Continuidad.

Ejemplos

5

SoluciónConcluimos que si f(0) = ½, la función f es continua en x = 0.

Gráfica de la función f.

Problemas de este tipo se resuelven, normalmente, hallando el límite (si existe) de la función en el punto en el que no está definida.

Funciones/Continuidad.

La función está definida si x ≠ 0.

¿ Es posible definir f(0) para que la función f sea continua en x = 0?

Resumen

A veces es necesario ver si la ecuación f(x) = 0 tiene solución o no.

Una estrategia es:

Si 1) f es continua en un intervalo, y 2) f toma valores positivos y negativos en el intervalo, entonces la ecuación f(x) = 0 tiene solución.

EjemploLa función f(x) = x – cos(x) es continua y toma valores positivos y negativos . Por tanto f(x) = 0 tiene solución.

f(x) = x – cos(x)

f continua, f(x) = 0 tiene solución.

g(x) = ⎣ x ⎦ – cos(x)

g no es continua, g(x) = 0 no tiene soluciones.

Funciones/Continuidad.