Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Conceito de Condutor Elétrico Perfeito (PECs)
• Densidade de carga, campos e potencial no interior de PECs
• Condições de Contorno em superfícies condutoras.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Propriedades dos Condutores e Condições de Contorno (Capítulo 5 – Páginas 119 a 123)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) é um condutor cuja condutividade é infinita
(σ = ∞).
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Condutor Elétrico Perfeito (PEC)
• Embora se trate de uma abstração, os PECs são usados para compreender muitos
condutores reais (bons condutores).
• O que acontece se um conjunto de cargas for inserido dentro de um condutor
perfeito (ou bom condutor)?
• Existe campo elétrico E e Densidade de Fluxo Elétrico D no interior de um
condutor Perfeito (PEC)?
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Cargas dentro de um Condutor Elétrico Perfeito (PEC) (ou um bom condutor) se
repelem mutuamente, caso tenham mesmo sinal.
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• O que acontece com cargas de sinais opostos?
• Uma densidade superficial de cargas existirá nas
superfícies.
• Recorde o que estudamos sobre o tempo de relaxação! Qual a ordem de grandeza
de τ para bons condutores?
ρv = 0 no interior do PEC
ρS ≠ 0 se houver cargas no PEC
Propriedades de PECs
Condutor Elétrico Perfeito
Campo Elétrico em um condutor
• O que acontece quando um campo elétrico externo Ee é aplicado em um Condutor Elétrico Perfeito?
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Propriedades de PECs
!Ee
!Ee
!Ee
!Ei
!Ei
!Ei
ρv = 0!E = 0!D = 0
ρs ≠ 0
!E = 0
!D = 0e
Campo Elétrico em um condutor
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!E = 0 −∇V = −
∂V∂x
ax −∂V∂y
ay −∂V∂z
az = 0
Propriedades de PECs
V =Constante
VAB = 0
§ Visto que o campo elétrico é nulo, é possível saber o comportamento do potencial em qualquer ponto dentro do condutor.
§ Para que esta equação seja satisfeita, V tem que ser constante ao longo de todas as direções espaciais.
§ Por consequência, a diferença de potencial entre quaisquer dois pontos A e B no interior do PEC é nula.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• O conhecimento do comportamento dos campos eletrostáticos (e eletromagnéticos)
em:
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza6
Meios materiais (MUDAR)
permite compreender o funcionamento e projetar grande parte dos dispositivos
de Engenharia Elétrica e de Telecomunicações, como por exemplo:
① Materiais homogêneos, isotrópicos e lineares (condutores e dielétricos) e
② Na interface entre meios diferentes (condutores e dielétricos),
Antenas FibrasÓpticasGuiasdeOnda
Linhasdetransmissão
Eletromagnetismo I - Eletrostática
As condições de contorno na interface entre dois meios nos permitem relacionar os campos dos dois lados da interface.
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!E1
!E2
!E2n
!E2t
!E1n
!E1t
e
e
y
x
Condições de Contorno na Superfície de PECs
!E2n
!E1n
!E2t!
E1t
Decompondo os campos dos dois lados, é possível encontrar relações entre as componentes normais ( ) em cada lado.
Além disso, é possível encontrar relações entre as componentes tangenciais nos dois lados da interface ( ).
c d
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y
x
Condições de Contorno na Superfície de PECs Caminho fechado
Condutor perfeito
Se escolhermos o caminho tal que h→ 0:
h
w
h
a b
!E ⋅d!l
C!∫ = 0
!E ⋅d!l
C1∫ +
!E ⋅d!l
C2∫ +
!E ⋅d!l
C3∫ +
!E ⋅d!l
C4∫ = 0
C1
C2
C3
C4 !E ⋅d!l
C2∫ =
!E ⋅d!l
C4∫ = 0
§ Os campos eletrostáticos são conservativos e satisfazem a equação:
§ Usando a integral de linha ao longo de um caminho retangular encontramos as C.C. para E tangencial na superfície do condutor.
§
c d
Eletromagnetismo I - Eletrostática
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y
x
Condições de Contorno na Superfície de PECs
Caminho fechado
Condutor perfeito h
w
h
a
§ Além disso, o campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo.
b
!E ⋅d!l
C3∫ = 0
C1
C2
C3
C4
§ Por consequência, a integral de linha ao longo de C1 tem de ser nula.
§ Com isso, a componente tangencial do campo elétrico na superfície do condutor perfeito é nula.
E1tw = 0
!Et = 0
!E × aN S
= 0
§ Se w for suficiente pequeno, o componente tangencial de E ao longo de C1 é uniforme.
aN
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h
Área S’
z y
x
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Condições de Contorno na Superfície de PECs
ψLATERAL = 0
ψBASE = 0
§ O campo elétrico no interior do condutor perfeito é nulo.
!D ⋅d!S
S!∫ =Q ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q
§ A Lei de Gauss (na forma integral) permite encontrar a relação entre os componentes normais de D.
§ Considerando uma Superfície Gaussiana cilíndrica onde o topo e a base são paralelos à superfície temos:
Carga dentro do cilíndro ρs
Se a altura do cilindro for tal que h→ 0:§
PEC
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h
Área S’
z y
x
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Condições de Contorno na Superfície de PECs
§ A Lei de Gauss para a superfície gaussiana considerada resulta em:
!D ⋅d!S
S!∫ =Q ψBASE +ψLATERAL +ψTOPO =Q
!D ⋅ S ' aN( ) =Q
§ Para o condutor perfeito, o único fluxo que contribui para a L.G. é o fluxo através do topo do cilindro.
ρs
0 0§ Se S’ for suficientemente pequena, a
componente normal de D ao longo de S’ é uniforme.
aN
PEC
§ A C. C. para a componente normal de D na superfície do condutor é obtida substituindo a expressão anterior na L.G.:
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h/2
Área S’
z y
x
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Condições de Contorno na Superfície de PECs
Q = ρS dSS∫
Q = ρSS '
!D ⋅ aN S
= ρS
§ A carga no interior do cilindro está toda localizada na superfície do PEC. O lado direito da L.G. fica:
ân
§ Considerando que ρs é uniforme ao longo da superfície contida no interior do cilindro (que também tem área S’):
PEC
PEC
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Condições de Contorno na Superfície de PECs
§ Note que a densidade de carga ρs pode ser negativa ou positiva.
§ Quando ρs > 0, a densidade de fluxo aponta na direção da normal saindo do condutor.
!D ⋅ aN S
> 0
!D ⋅ aN S
< 0
§ Quando ρs < 0, a densidade de fluxo aponta na direção da normal entrando no condutor.
ân
ρs > 0
ρs < 0
ân
ân
!D
!D
PEC