Upload
hahanh
View
220
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Energia potencial de um grupo de cargas pontuais.
• Energia de uma distribuição contínua de carga.
• Densidade de energia no campo eletrostático.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza1
Energia Eletrostática (Capítulo 4 – Páginas 100 a 104)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Vimos que diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B é definida como o
trabalho realizado para mover uma carga de teste de B até A, por unidade de carga.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza2
Energia potencial de um grupo de cargas pontuais
• No caso de o potencial de referência ser adotado como o infinito (V∞ = 0):
VA = −!E ⋅d!l
∞
A∫ [V ]
• Se trouxermos uma carga desde o infinito até um ponto imerso num campo elétrico, isto
requer a realização de trabalho. (e o trabalho é igual ao potencial no ponto vezes a carga).
• Este trabalho é igual à energia potencial da carga quando ela está situada no ponto imerso
no campo elétrico.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• A energia potencial de um grupo de cargas positivas é igual ao trabalho para
trazer estas cargas desde o infinito até a posição onde estão situadas.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza3
Energia potencial de um grupo de cargas pontuais
• O trabalho para trazer as cargas Q1, Q2 e Q3 do infinito até as posições P1, P2 e
P3 é:
WE = 0
Q1
x
y
z∞
+Q2V2, 1 Q1Q2
V2, 1: Potencial na posição P2 devido a Q1 Q3
+Q3(V3, 1 +V3, 2)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• O trabalho calculado deve ser igual ao trabalho para trazer as cargas na ordem
reversa: primeiro Q3, depois Q2 e depois Q1.
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza4
Energia potencial de um grupo de cargas pontuais
• O trabalho para trazer as cargas Q3, Q2 e Q1 do infinito até as posições P3, P2 e
P1 é:
WE = 0
Q3
x
y
z∞
+Q2V2, 3 Q1Q2
V1, 2: Potencial na posição P1 devido a Q2 Q3
+Q1(V1, 2 +V1, 3)
Eletromagnetismo I - Eletrostática
• Se somarmos as duas equações obtidas anteriormente, teremos
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza5
Energia potencial de um grupo de cargas pontuais
2WE = Q1(V1, 2 +V1, 3) + Q2(V2, 1 +V2, 3) + Q3(V3, 1 +V3, 2)
• A energia potencial no sistema de 3 cargas é:
WE =12Q1V1 +Q2V2 +Q3V3( )
• V1 = V1,2 + V1, 3 é o potencial total no ponto 1. Pelo princípio da superposição
ele é a soma do potencial devido às outras cargas presentes no sistema.
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza6
Energia potencial de uma distribuição contínua de carga
• Generalizando, a energia potencial de um sistema de ‘N’ cargas pode ser calculado:
WE =12 i = 1
N
∑ Qi Vi
• Para uma distribuição espacial contínua de cargas, com densidade ρv, a energia
potencial pode ser calculada por:
WE =12
ρvV dvvol.∫ (vol.: volume que contém a densidade volumétrica de cargas ρv )
Pergunta: E se tivermos uma densidade superficial de cargas em uma superfície?
E no caso de uma densidade linear?
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza7
Energia no Campo Eletrostático
• A expressão anterior permite calcular a energia de um sistema se conhecermos a
distribuição de cargas e o potencial em uma região do espaço.
• É possível calcular a energia através dos campos gerados pelas cargas ou
distribuições contínuas de cargas.
• A expressão equivalente é obtida substituindo ρv na expressão anterior pelo
divergente da densidade de fluxo elétrico ( ):
ρv =∇⋅!D
WE =12
∇⋅!D( )V dvvol.∫
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza8
• É mais interessante expressar a equação anterior para a energia em termos somente
dos campos vetoriais (E e D).
• Para fazer isso, é possível utilizar a seguinte identidade vetorial:
• Substituindo f = V e A = D, podemos reescrever a expressão para a energia:
∇⋅!A( ) f =∇⋅ f
!A( )−
!A ⋅∇f
WE =12
∇⋅ V!D( )⎡
⎣⎤⎦dvvol.∫ −
12
!D ⋅∇V( )dvvol.∫
Energia no Campo Eletrostático
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza9
• De acordo com o teorema de Gauss, podemos substituir a integral volumétrica (primeiro
termo do lado direito da eq. Anterior) por uma integral de superfície fechada:
• Usando esta igualdade, podemos reescrever a expressão para a energia:
∇⋅ V!D( )⎡
⎣⎤⎦dvvol.∫ = V
!D( ) ⋅d
!S
S"∫
WE =12
V!D( ) ⋅d
!S
S"∫ −12
!D ⋅∇V( )dvvol.∫
Energia no Campo Eletrostático
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza10
• O volume envolvido pela superfície ‘S’ deve conter todas as cargas e campos. Podemos
escolher uma superfície esférica com raio infinito.
• Assim, o integrando cai com r -3 e a integral de superfície aumenta com r 2.
• O potencial elétrico de uma carga finita é proporcional ao inverso do raio (r -1) e D é
proporcional a ‘r -2’.
• Por este razão, a integral de superfície tende a zero para . r → ∞
WE = −12
!D ⋅∇V( )dvvol.∫
Energia no Campo Eletrostático
Eletromagnetismo I - Eletrostática
EletromagnetismoI Prof.DanielOrquiza11
• Utilizando a relação entre o campo e o potencial:
• É útil definir a densidade de energia eletrostática:
• A energia pode ser expressa em termos de D e E somente. No espaço livre:
!E = −∇V
WE =12
!D ⋅!E( )dvvol.∫ =
ε02
!E
2dv
vol.∫
wE =dWE
dv=12!D ⋅!E [J /m3]
Energia no Campo Eletrostático