7/25/2019 Problemas de Anlisis Matemtico I-II
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Problemas de Clculo Diferencial e Integral.
Lmites y Continuidad.
Demostrar la existencia del lmite, utilizando la definicin:
1)( )
==+
6,1mn.R.95x3xlm 2
x
2)
==+
3,3mn.R.51x!lm
3x
3)
==
+ 322
,1mn.R.2
1
5x3
2lm
3x
) ==++
2
3,1mn.R."
3
1x
5xxlm 2
2
2x
5)
==
95,1mn.R.
1
6x
22xlm
6x
6) #ue $alor de%o darle a n &ara 'ue)x(flm
1x exista
> +
sima de las si+uientes funciones:
"3.
lon+itud 7 ancura del rectn+ulo se ace mnima su rea R 6
5l=
9.< e corta un sector circular con un n+ulo central en un crculo de radio r ; 12&ul+adas, con el 'ue se formar un cono recto de re$olucin. allar el $alor del n+ulo
'ue maximiza el $olumen del cono.
( )633
2.R
=
1.< Jn un crculo de radio r, se corta un sector circular, el arco externo tiene lon+itud s.i el &ermetro total del sector es de 1u G#u> $alores de r 7 s maximizarn el rea delsector. R r;25, s;5.
11.< e forma un slido adosando dos semiesferas a las %ases de un cilindro circularrecto. Jl $olumen total del slido es de 12u3. allar el radio del cilindro 'ue &roduce el
rea mnima de la su&erficie del slido.3
9R
=
12.< Fna ca@a rectan+ular de %ase cuadrada 7 no tiene ta&a, el rea com%inada de los
lados 7 del fondo es de ! &ies cuadrados. allar las dimensiones de la ca@a de mximo$olumen 'ue cum&la estos re'uerimientos. R. %;, ;2.
13.< e utilizan 2 &ies de ilo &ara formar dos fi+uras a) cuadrado 7 trin+uloe'uiltero, %) ex+ono re+ular 7 crculo.G#u> cantidad de ilo de%e in$ertirse en cada fi+ura &ara lo+rar 'ue el rea encerradasea mxima
1.< Fn fa%ricante de ca@as de cartn 'uiere ela%orar ca@as a%iertas a &artir de trozosrectan+ulares con dimensiones de ! x 15 &ul+adas cortando cuadrados en las es'uinas 7do%lando los lados acia arri%a. e desea determinar la lon+itud del lado del cuadrado
de modo 'ue la ca@a ten+a el ma7or $olumen &osi%le. R. 53
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 15 296216
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15.< Jncontrar la ecuacin de la recta 'ue &asa &or el &unto (3 ) 7 forma con el&rimer cuadrante un trin+ulo de rea mnima. R. xE37
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!.=+ , alrededor del e@e A.
%) ( ) a%,a7%x 222 >=+ , alrededor del e@e B.
13.< allar la lon+itud total de la cur$a= 3
asenr 3
. R 3aL2.Centroides.
1.< Determine el centroide de la re+in limitada &or las fronteras indicadas22 xx27,x7 == 7 el $olumen de re$olucin +enerado al +irar la re+in
alrededor de la recta x;
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9.< *alcular el centro de +ra$edad del rea de la su&erficie &lana limitada &or las cur$as
( )
=+
==
=+=+
36!
a5
2
a,
2
a5Hx,332
12
a
6
a/.R,
7
ax27x
a7x322
22
222
!.< allar el centroide de la cur$a en el cuadrante - de la cur$a:
a)3
2
3
2
3
2
a7x =+ .R.
a5
2a
5
2*U
%).1
%
7
a
x2
2
2
2
=+
c)
222
2
2
2
2
a7x,1%
7
a
x=+=+
d) ax27x,a7x 22222 =+=+
d)22 xx7 =
e) ayx =+ ,( )[ ]212lna
2
2s ++=
9.< *alcular el $olumen del slido +enerado al +irar la lemniscata = 2sin4ar 22
,alrededor del e@e B, 7 la su&erficie de re$olucin alrededor el e@e &olar.
1.< allar el centro de +ra$edad del arco ( ) [ ]a3,,a3xxa79 22 = .
11.< *alcular el centroide del rea del lazo, su rea 7 $olumen
==
35
332,
5
32,
"
9.R,
t3t7
tx3
2
12.< a re+in limitada &or la cur$a
=
=2tt127
1t2x
7 el e@e A, +ira alrededor del e@e A,encontrar el centro de +ra$edad, el rea 7 el $olumen alrededor del e@e A.
13.< *alcular el centroide del arco del lazo
=
=
3
tt7
tx3
2
Rectas) lanos y suerficies en el esacio.
1.< Demuestre 'ue los tres &untos 1(
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.< allar la ecuacin del &lano 'ue &asa &or la recta 2tz,3t27,1t3x =+=+= , 7
es &aralelo a la recta
=+=+
5z72x
3z7x2
, R. 13x
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1.< Fna esfera tiene su centro en la recta
=++=+
1z75x
"z7x2
7 es tan+ente a los&lanos: &lano 1 xE27
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6) ara las si+uientes funciones, calcular ( ) ( ) t=+x=f)%,t=+=.f)a
a)
( ) ( )
( ) W2t55
@t3
2
ti3e)t(+
Wt
5@1e2i2tln2)t(f
3
t
t
3
3
+
+
+++=
+++=
". < Di%u@e la funcin $ectorial++= 2t,W
2
tt@sinticos)t(R
!.< ara la funcin calcule:( )[ ] ( ) dttrtrdt
d,
2
2
a) tjesentietr tt cos)( +=
%) tW@tcos4tisent4t)t(r ++=
9) Fna &articular &arte del re&oso del &unto (2,2,3) con una aceleracin constante.tW3t@ti2)t(a ++= *alcular des&u>s de 1 se+undo de la &artida la tra7ectoria.
1) *alcule la lon+itud de arco s, de la cur$a
( ) ( )
+++=
2,,coscot)( 2
ktjtsenttittsenttr
11.< *alcule la lon+itud de arco de la cur$a: Wt2sin@t2cosit2)t(r 2
3
++= en elinter$alo de S,1T.
12.< Re&arametrice la cur$a: Wtcose@tsineie)t(r ttt ++= con res&ecto a la lon+itud
de arco desde t; asta $alores crecientes de t.
13.< i * es una cur$a en3R descrita &or
( ) ( ) [ ].2,t,W2
tcos@tcos1isett)t(r
+=
allar la lon+itud de arco de * entreel &unto de cur$atura mxima 7 mnima.
1.< ara la cur$a calcular 0(t) 7 O(t)
a) [ ] %7a,2,t,%sent@ticosa)t(r >+=
15.< ara la cur$a calcular 0(t), O(t), (t), las ecuaciones de los &lanos: osculador,normal, rectificante, la cur$atura, radio de cur$atura.
a) 0a,tWaRasent@ticosa)t(r 22
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16.2 Jncontrar la cur$atura de la cur$a
( )22
22
%a
a.R,%a,%a,W%t@tsinaitcosatr
++++=
1".< allar el radio de cur$atura en un &unto cual'uiera de la cardiode( ) a,cos1(ar >+=
1!.< allar el crculo osculador)33(,
3
)(
2
2
Px
xxf
+=
D1RI*'D'- P'RCI'L1-.
1.< allar 7 re&resentar el dominio, el ran+o 7 di%u@ar las cur$as de ni$el de lassi+uientes funciones:
a)22 7x251z = .
%)
2279x161
12
1z =
c) ( )( )222222 2 yxaayxz +=
2.< allar 7 re&resentar el dominio.
a) ( )22 936ln),( yxyxf =
%) ( )22
2
1ln
),(
yx
yxyxf
=
3.< *alcular el lmite:
a) ( ) ( ) 22
22
,, yx
yxlmyx +
%)( ) ( ) 22,,
2
yx
xylmyx +
c)( ) ( )
( )
( )x73sensen
x7sencos1lm
22,7,x
.< *alcular el lmite 7 analizar la continuidad de la funcin
a)
( ),,22
22
yx
yxz
+
=
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 1 296216
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%)
( ) ( )
( ) ( )
=
+
++=
,,,2
,,,22
),( 22
22
yx
yxyx
yxx
yxg
5.< allar las deri$adas &arciales de las si+uientes funciones:
a) ( )7senx7cos4xez x =
%)( )
+
+=71
xarcsenx7arctanz
c)22
7x
x7z
+=
d)
++
+
= x7x
x7xlnz
22
22
e)
+
=
22
22
7x
7xarcsenz
f)x
y
exxyz .+=
6.< *alcular 7
z7
x
z
a)
( )zyxezyx ++=++
%) x7z3z7x 333 =++
c) 372x7z3z72x 333 =+++
d) !z7x3z7x 223 =+++
e)x7z32 ezx7z =+
".< ara las si+uientes funciones calcular: $z
7u
z
a).$u7,$ux,x
7arctan)7,x(fz =+===
%)$cos4u7,sen$4ux,
7
xarctanz ==
=
!.< ara las si+uientes funciones calcular:
t=
a) ttanz,tcos7,sentx,z7xlnP 222 ===++=
%)
1t7,t3x,
7
xsenlnz 22 +==
=
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 2 296216
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9. ritmo estn creciendo su$olumen 7 su rea cuando los radios miden 15 7 25 cm, 7 la altura es de 1 cm.
19.< Fn lado de un rectn+ulo de x;2 m, aumenta con una $elocidad de 5 mse+., elotro lado de 7;3m disminu7e con una $elocidad de mse+. G*on 'u> $elocidad$ariaran el rea 7 el &ermetro de dico rectn+ulo
DI1R1NCI'L1-
1.< *alcule la diferencial tota de las funciones:a) 7cosxsinz
22 +=
%)22
22
7x
7xz
+
=
c)
+
=
7
xarctan
x
7arctanz
d)
+
=22
lnyx
xz
e) 2
2222
yxyx eez+ =
2.< *alcular a&roximadamente el $alor de la funcin a &artir del &unto dado:
a) )2,1(,7xz,9".12.1 3333 +=+
%) )2,(,7e5z,3.2e5 2x22. +=+
c) )!,6(,7xz,1.!2.6 2222 +=+
d))1,2(,7"x2z,!.195.12 2222 =
e))1,1(,
x
7arctanz,
95.
2.1arctan =
f) 199.3.1ln 3 +
3.< Dos de los lados de un trin+ulo miden ! 7 1 cm res&ecti$amente, el n+uloformado &or ellos es de 3 +rados. *alcular la $ariacin 'ue sufre el rea al incrementarla lon+itud de cada lado en .1 cm 7 el n+ulo en 1 +rado, calcular tam%i>n eldiferencial del rea corres&ondiente a los mismos incrementos.
.< Fno de los lados de un rectn+ulo es a;1, el otro %;2.G*mo $ariar la dia+onalde este rectn+ulo si el lado a se alar+a mm 7 el lado % 1mm.
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 296216
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D1RI*'D'- DIR1CCI0N'L1-.
1.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin ( ) xsin4e7cos4e7,xf 7x += , en la
direccin del se+mento, ( ) ( ) [ ]1sine2cose.R,23#,21 +
2.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin222 z7x)z,7,x(f ++= en la
direccin del se+mento (1, 1, 1) a # (", !, ).
3.< *alcular la deri$ada direccional de la funcin
+=
22 7x
zarcsenu
en el &untoH(1,1,1) en el sentido del $ector HO donde O(3,2,3).
.< a deri$ada direccional de una funcin z;f(x,7) en el &unto o(1,2) en la direccin
acia 1(2,3) es 2Y2, 7 en la direccin 2(1,) es
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6.< Determine un &unto so%re la su&erficie 12z372x 222 =++ donde el &lano tan+ente
es &er&endicular a la recta con ecuaciones &ar am>tricas762z,t!37,721x =+=+= .
#+5I#0- 4 #6NI#0-
1.< *alcular los extremos relati$os de la funcin:
a) 11z67x2z7x 222 =+++
%) ( ) 22225),( yxyxf =
c) ( ( ) ( ) mximo,2#,silla&unto,.R,72x4e)7,x(fz 227x == .
d)22 7x7ez =
e) b
y
a
x
xyyxf
2
2
2
1),( =
f)33 7x73xz +=
2.< Haximizar
a) ( ) 1,.),( 2222 22 =++= yxeyxyxf yx
%) 1,3),( 2222 +++= yxyxyxyxf
c)22 7x6z = su@eta a la restriccin xE7ricos. Jl de&sito de%e almacenar 1 litros de fluido. Determinar el radio 7 laaltura 'ue minimizan la cantidad de material utilizado &ara la construccin del tan'ue.
6.< or un &unto dado (1,1,2) se ace &asar un &lano 'ue forma con los e@escoordenados un tetraedro de $olumen mnimo. allar la ecuacin del &lano.
".< Jn 'u> &unto de la eli&se %a7ax% 22222 =+ la tan+ente a >sta forma con los e@es
coordenados el trin+ulo de menor rea.
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 6 296216
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!.< *alcule la distancia mnima del &unto (1,2,3) al &lano 2xE37Ez;12.
9.< Determine las dimensiones de la ca@a rectan+ular con el ma7or $olumen si el reasu&erficial total es de 6 uC.
1.< *alcule las dimensiones del &aralele&&edo rectan+ular de $olumen mximo 'uetiene un $>rtice en el ori+en, tres caras con los &lanos coordenados en el &rimer octante,7 el $>rtice o&uesto en el &lano xE37Ez;12.
11.< allar la distancia ms corta del &unto H(1,2,3) x;7
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11.< J$aluar
R 222 7xa
d/
siendo R la re+in a7,ax
'R1' 8integraci"n doble9
1.< allar el rea fuera de ( )x1472 = , dentro de
( )
3
32.R,7x 22
=+
.
2.< *alcular el rea entre las cur$as: "2.R,x97,9x7 22 ==
3.< *alcular el rea de la re+in comMn entre las cur$as: o con csenos
2
3.R,sin1r,sin1r
=+=
.< *alcular el rea entre las cur$as: 17x2 = 7 272x
2 =
5.< allar el rea dentro )cos1(ar += , fuera de r;a.( )
!a.R
2 +
6.< allar el rea limitada,,,2 2222 ===+=+ yencimaxyabajoxyxdentroxyxfuera
".< allar el rea entre las cur$as x2x73 = e
3xx67 =
!.< allar el rea fuera de ,x72 = 7 dentro de 7x
22 =+ .
*0L/#1N
1.< Determinar el $olumen del slido acotado inferiormente &or22 7x3z += ,
su&eriormente &or = .R,xz 2
2.< *alcular el $olumen del slido limitado su&eriormente27z = e inferiormente
&or22 73xz += .
3.< allar el $olumen del slido limitada su&eriormente &or22 7x1z = e
inferiormente &or
322 u16
5R,1z7x
=+ .
.< allar el $olumen limitado &or las su&erficiesz,az7x,7xaz2
222222 ==++=
5.< Jncuentre el $olumen del slido acotado &or2222 7x2z,z7x2 +=+=+
6.< Jncuentre el $olumen de la re+in slida acotada &or22 73xz += e
22 7x!z = .
".< Jncuentre el $olumen limitado &or las su&erficies22
7xz += e22
72x22"z = .
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina ! 296216
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!.< Jncuentre el $olumen de la re+in slida acotada &or 7x 22 =+ e
22 7x16z2 = .
9.< allar el $olumen del es&acio com&rendido de%a@o de
22 7x16z
= arri%a dez;, dentro de x27x
22 =+ .
1.< *alcular el $olumen del cuer&o limitado su&eriormente &or z7x 222 =++ 7
inferiormente &or z37x 22 =+
11.< V%ten+a el $olumen de 9r9z 22 =+
INT13R'L1- D07L1-. 'PLIC'CI0N1-.
1.< *alcular las coordenadas del centro de +ra$edad de la fi+ura limitada &orx27,x7 22 +=+= .
2.< *alcular las coordenadas del centro de masa del slido u%icado dentrozz7x 222 =++ 7 'ue se encuentra arri%a de
222 z7x =+ .
3.< allar el rea de la &arte de la esfera z7x 222 =++ cortada &or el cilindro
17
x 22
=+.
.< allar el rea de la &arte de la esfera 16z7x 222 =++ 'ue se encuentra so%re la
re+in del &lano x7 limitada &or 97x 22 =+
5.< *alcular el rea de la &orcin de la su&erficie de zz7x 222 =++ 'ue se encuentra
dentro de z37x 22 =+ .
6.< *alcular el rea de la &orcin de su&erficie del cono222 z7x =+ u%icada en
cilindro ,x72 = 7 el &lano x
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1.< Determine el rea de la su&erficie2222 az7x =++ dentro del cilindro
a%,%a7ax% 222222 =+++= aazyxyxaz
INT13R'L1- TRIPL1-.
1.< J$aluar
( ) ====+==++#
!
".R,1x,x,x7,7,7xz,z:#,d$z7x
2.< J$aluar
# 222 7xa
d$
#: ax,xa7,7xaz 22222
3.< J$aluar ( )( )( ) +++# d$z7xz7xz7x #: xE7Ez;, x
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1. Determinar si el cam&o $ectorial es conser$ati$o, si lo es calcular una funcin&otencial &ara >l.
a) ( ) ( ) *7sine7,xf,7@cosesen7ie7,xQ xxx +=+=
%) ( ( ( ) .Wzx7@7sinexzi7z7cose)z,7,x(Q xx ++++=
c2
zx7z7cose)z,7,x(f.R
2x +++=
.
c) ( )x7Wx@7ie)z,7,x(Q z ++=
d) ( ) x7Wx7z@2zi7z,7,xQ 2 ++=
e) ( ) ( )Wzx@x7z37zixz,7,xQ 2232 ++=
f) ( ) zWlnx7zsen7@ixez,7,xQ 7 ++=
+) ( ) Wz@17xi17xz,7,xQ 22222 ++++++=
2.< Demuestre 'ue el cam&o $ectorial ( ) .7@cose7isine7,xQ xx += Jncontrar la funcin
&otencial. ( ) .c7sine7,xf x +=
3.< *alcular la di$er+encia 7 el rotacional del cam&o:( )Wzlnx77@sinzixe)z,7,x(Q 7 ++=
( ) ( ) ( )z
x77cosze)z,7,x(Qdi$,Wxe@zln7i7sinzlnx)z,7,x(Qrot.R
77 ++==
.< *alcular la di$er+encia 7 el rotacional del cam&o:
( ) .Wz@17xi17xz,7,xQ 22222 ++++++=( ) ( ) z2
17x
7xz,7,xQdi$,W
17x
7xz,7,xQrot.R
2222+
++
+=
++
=
INT13R'L1- D1 L6N1'.
1.< *alcular la inte+ral:
a)( ) ( ) ++
c
3333 d77xdx7x
, * es la frontera de la re+in entre los crculos
97x,17x
2222
=+=+
%)( ) ,1
916int:,22 22
222 =+=+++ yxexterior
yxeriorCdyxxxydx
c
c)
( ) ( ) )5,2()2,3()1,1(,222 CBArectasdesegmentosCdyyxdxyxc
++
1.< *alcular la inte+ralc
Qdr
a) ( ) ( ) 2222 7xz72z:*,Wxz@i7xz,7,xQ +==++=
%) ( ) 2t,tz,t7,tx:*,Wz7x@z7x3izx72z,7,xQ 32332223
===++=c) ( ) ( ( 1,12,1,:,322,,
2222 =+==++++= ttztytxCkzxxyjiyxzzyxF
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 51 296216
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2.< *alcular
( ) ( ) ( ) ( ) )5,1()5,"(,95:,
22 22222222
QPdesdeorarioyxcdyyx
ydx
yx
x
c
=++
++
3.< *alcular la inte+ral xd777dxx 22
, en donde c es la cur$a *:( ) ( )
( ) ( )
==
15
32.,
22,:2
22,:1 3R
xyC
xyC
. *alcular la inte+ral,xd7dx7
c
2 +en donde c es la cur$a
( ) ( )
( ) ( )
=
=235,7x:2*
235,x7:1*:*
2
5.< *alcular la inte+ral +c
xd727dx
, * es el contorno en sentido contrario a las a+u@as
del relo@ 7 cu7os lados son las rectas:1
2
7
3
x,1
2
7
3
x,1
2
7
3
x,1
2
7
3
x===+=+
6.< *alcular +=+= 3
2
3 1
3,
1
3,
t
aty
t
atxydxxdy
".< *alcular
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1,1,1,1,1,,1,,:,1926 2223
!RQPcdzxzdyyxdxzxyc ++++
!.< *alcular( ) ( ) ( ),2,312,1,,:,222 RQPcdzzdyydxx
c
++
9.< *alcular( ) 2222 ,:,3 yxxycydyxdxyxe
c
x ==+
1.< *alcular( ) ( ) ==+
c
xxyxyCdyyxdxxy 2,:,2
11.< Hediante una inte+ral de lnea allar el rea de la re+in limitada &or
a) x7,x7,x7 === .%) x7,x7
2 ==
c) ,,,2 2222 ===+=+ yxyxyxxyx entre los crculos de%a@o de la recta 7;x 7
encima 7;.
d) ,, >=+=+ aayxayx
INT13R'L1- D1 -/P1RICI1
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 52 296216
7/25/2019 Problemas de Anlisis Matemtico I-II
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Departamento de Ciencias Exactas
1.< ea la su&erficie de la o@a su&erior del cono222 z7x =+ recortada &or el cilindro
x27x 22 =+ , calcular( ) +
2222 dzxz77x
2.< *alcular la inte+ral c0ds.Q
, en donde
( ) ( ) ( )( ) ,Wzlnx@eixarcsin72z,7,xQ 272
+++++= 7 c es la re+in trian+ular de$>rtices: (1,,), (,1,), (,,2).
3.< e : az,a7x,az,a2z7x 2222222 ==+=++ calcular la inte+ral
W77z@xziQ,Od.Q 2
+=
-eries.
allar la suma de las si+uientes series:
=
1n1n
1n
6
13.1
=
+
nn
n
3
52.2
( ) ( )
= ++
1n 3n241n2
1.3
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 53 296216
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Departamento de Ciencias Exactas
= +
1n2 2n3n9
1.
Determinar la con$er+encia o di$er+encia de las si+uientes series, identificar el criterio
a&licado:
=
1n n
1sen4n.1
( ) ( )
= +
1n 1n43n
.2
=
+
1n 1n
nln.3
=
1n2
n
1n
2.
( )
=
+1n
1nnsec1.5
=
2n nln
n.6
( )
=
1n
1nn
n
341."
( )
=
+
1n
nn
1n
ee
142.!
Determinar una serie de &otencias centrada en &ara las si+uientes funciones,identificar el inter$alo de con$er+encia.
2x
2)x(f.1
2 =
enx)x(f.2 =
arcsenx)x(f.3 =
allar el inter$alo de con$er+encia de la serie de la funcin, de la deri$ada, de lainte+ral, incluir el anlisis de con$er+encia en los &untos terminales del inter$alo.
-n+. uis. D. /ndrade 0. +ina 5 296216
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Departamento de Ciencias Exactas
( ) ( )
=
+
1n
n1n
n
2x1.1
( ) ( )
=
+
1n
1n21n
?1n2
x
1.2
( ) ( )
=
++
+
n
1n1n
1n
1x1.3
( )
1
n2n
n2
x1.