Análisis Matemático - Antidemidóvic.pdf

8/17/2019 Análisis Matemático - Antidemidóvic.pdf

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www fullengineering ook net

MATE MATICASUPERIOR

PR0BLEMA5 RESUELTOS

I. I. Liashko, 4. K. BoiarchukId. C. Gai, G. R Colovath

Analisis matematico

Introduction il analisis

Calculo diferencial parahinciones de una variable

TEMATI/IKAURSS


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M, HJiuitiM), A. K lioup'iyK, M. f. I . Jl. I oiroim'iCii|M»o*nmu uocofine iio iibicmcti MaTCivurriiKc* rIV>M I. Macii> 1.M h t c m s i t h m c c k h M i imiuiifi: iiiicjieiiHi 11 u i i u j i h 3 , npoH3uo;uiitH

L L L i t i s h k f i , A, K. Haiti relink, hi, G, Gai, G. R Golovach

Matemitica superior Problemas resueltos. Tonio 1. Analisis matematico:introduccidn al anjlisis y calculo diferencial para funriones de una variable

Traduction de la cuarta edition rusa (1997)

Esta serie consta de ocho volumenes- Los cuatro primeros tomos con Jos que se abre esta obra,cstan dedicados al estudio practico de las funriones, las sucesiones, las series, el calculo diferencial eintegral de las f unciones de una y varias variables; en ellos se presentan soluciones completamentedetalladas de los problemas expuestos en el famoso libra de B. P. Demidovich.

En los tomos 5 y 6, aparte de una detaliada exposition de la teorfa de las funciones de variablecompleja, se resuelven escrupulosamente cerca de 400 problemas, muchos de los cuales aparecen enla inmortal coleccion del matematico sovietico L. L Volkoviski Ademas de los temas caractensticosde los cursos de este tipo, en esta parte de la obra se hallan cuestiones menos comunes como son laintegral de Newton—Leibniz y la derivada de Fermat—Lagrange. Se presta una especial a tend on alas aplicaciones conformes.

En aproximadamente 800 problemas resueltos paso a pa so, los tomos 7 y 8 abarcan todos los topicosdel curso habitual de la teona de las ecuaciones diferenciales. En cada seccion se expone el nunimoteorico estrictamente necesario para la resoluci6n de los problemas correspondientes; muchos deestos aparecen en la genial coleccion de A. F.Filfppov. Asimismo, en estos volumenes se analizantoda una serie de temas bastante atlpicos para libros de esta clase (teona de la prolongation de lasolution del problems de Cauchy, ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de primer ordenno lineales, algunos metodos numericos para la resolution de ecuaciones diferenciales, aplicacion delos criterios de existencia de los ciclos limites en el piano fasico, etc.).

En la edicion de este libro participaron;

DirectorVicedirectorDirector de productionDirector de sistemasTraductionDisenoEnmaquetacionProcesamiento de texto

CorrectionRealization tecnica

Domingo Marin RicoijNatalia FinoguienovaIrina MakieevaViktor RomanovViktoria Malishenko, Konstantin Miedkov y Maria AndridnovaViktor Romanov y Vasili PodobiedNatalia BeketovaSvietlana Bondarenko y Anna Tiiirina

Igor Korovin, Larisa Kirdidshkina y Luis Rodriguez GarciaNatalia Arincheva y Elena Logvinova

Rcservados todos los derechos en todos los idiomas y en todos los pafees del mundo. Quedan rigurosamenteprohibidas, sin la autorizacion escrila del titular del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes,la reproduction total o partial de esia obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografiay el tratamiento in forma tico, y la distribution de ejemplares de ella mediante alquiler o prestamo publico.

Editorial URSShttp:// urssjsa.ac.ru

ISBN 5-88417-183-8 (Obra completa)5^88417-184-6 (Tomo 1)

€> Editorial URSS, 1999


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De la editorial Los cuatro prinieros iomos que abren la seric"Ma tenia lica superior. Problemas resueltos", soil

la traduccion al castellano de la obra "Manual

de cons Li It a de analisis matemitico", bautizadn

por los estudiantes sovieticos con el seudotitulo

de "Anti-Demido vich".

Las dos prim eras ediriones fueron rcali-

zadas durante la existencia de la Union Sovietiea

con una tiiada total de mas dc 200 mil ejern-

plares. tin 1995, tras un gran intervalo de a us en-

da en li brer fas y bibliotecas, Editorial URSS y

el colectivo de autores acordaron no s61o limi-

tar.se a llevar a cabo la tcrcera edition (revisada

y ampliada) del "Anti-Demidovich", sino crear

ademAs un proyecto que de algiin modo de-

sarrollase en otras rainas de ia matematica el

camino ma read o por el "Ant i-Demidovich". Asf

nacio la serie "Mateniatiea superior. Problemas

resueltos", la cual asimismo incktye, por a bo-

ra, dos lomos sobre la teorfa de la variable

compleja y dos tomos sobre la feorfa de las

ecuaciones diferenciales. li.stas partes de !a serie

ban sido denominadas, respect iv a mcnte, "Anti-

Voikoviski" y "Anti-Filfppov" no solo debido a

que muchos de los problemas que en el las se

presentan aparecen enunciados en las magnifi-

cas colecciones de problemas de L. 1. Volkoviskiy A. F. Fitfppov, sino tambicn como un sfmbolo

de reconocimiento a cstos autores.

Moscil 1999


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C a p i t u l o 1

Introduccion al analisis

§1 . Elementos de la teoria de conjuntos

1.1, Sfmbolos logicosFrecuentemente, en las matenititicas algunas exprcsiones verba tes se sustituyen

por sfmbolos. Asf, por ejcmplo, el snnbolo V sustituye a la expresion "para to do" o"t ualquiera que sea", y el simbolo 3, a la expresi6n "existe". Los sfmbolos V y 3 se llaman

fiumtificadores.La notacion A B (implication) quiere deck que la validez del enunciado A

predetermina la validez del enunciado B. Si, ademas, de la.validez del enunciado B sededuce la validez de A, cscribimos A & B. Si A B, el enunciado B es condicionneeesaria y sufiricntc para que se cumpla la afirmacion A.

Si las a firmadones A y B son simullAneamente validas, so cscribe A A B. Si a Imenos una de las a firmadones es valida, se denota A V B.

1.2. Opcraciones con conjuntos

El concepto matemitico de conjunto de elementos se considers ra intuitive. Un

conjunto se define por una regla o un criterio con forme al cual se determina si un elementodado perlencce o no al conjunto.

Los conjuntos se designan mediante el sfmbolo A = {a:}, dortde x es la notaciongeneral para todos los elementos del conjunto A, Frecuentemente los conjuntos suetenescribirse de la forma A — {a , fe, . . } , donde entre Ilaves van indieados sus elementos.

Usaremos las notaciones siguientes:

N, conjunto de los numeros naturales;

%, conjunto de los numeros enteros;

Q, conjunto de los numeros racionales;

R, conjunto de los numeros rcales;

C, conjunto de los numeros complejos;

Zn, conjunto de los numeros enteros no negativos.

La notacidn a C. A (o A 3 a) significa que el elemento a pertenece al conjunto A.La notacion a g A {o A 2 a) significa que el elemento a no pertenece a I conjunto A.Si cada uno de los elementos dt; un conjunto B, pertenecen a un conjunto A, se dice

que B es un subamjunto del conjunto A, y en ese caso se escribe B C A {o A D B) (fig, 1).N6tese que VA se verifica que A C A, pues, naturalmente, todo elemento del conjunto A


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6 Gipilulo I. I i i L i o c U k c i o i i «i1


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fj 1. IdemontoM do la leorfa A . . . A a; 6

j= i

Si cada elemento / t f M s e pone en correspond enda con un cierto conjunto A fl , sedice que esta definida una familia de conjuntos {A jt }, ji € M. En este caso, el conjunto(J Ap = {t odos los x tales que x t A(1 al menos para algdn [i € M } se denomina unidn

K Mde la familiu de conjuntos {A^}, ft


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K C'iipftuJo I. (ntroduccion al aruilisis

Si para los elementos de un conjunto a = {A, B } C , . * . } estan definidas laoperaciones de union U y do intersection n, las cuales verifican las relaciones l)-8), lalema (cr, U, n) se denomina algebra de Boole. De este modo, si cr es una familia de todalas partes del conjunto J , entonces U, Pi) es un algebra de Boole.

1.4. Principio de dualidad

Para cualquier par de conjuntos Ay B del conjunto J se verifican las igualdades

C (A U B) = CA fl CBt C(Af)B) = CA U CB. (

Las propiedades expresadas por las igualdades (1) se denominan principio de dualidad. Verbalmente dichas igualdades pueden enunciarse del modo siguiente: el complementode la union de los conjuntos es igual a la interseccion de sus complements, y el complemento de la interseccion de los conjuntos es igual a la unidn de sus complementos. El principiode dualidad se extiende sin dificultad alguna a un numero arbitrario de subconjuntos A^en este caso se escribe

/t fi $ p

Es decir, al intercambiar entre si el orden en que se escribe el simbolo de complemento C y esimbolo U (o bien el fl), este ultimo se transforms en el fl (en el U, correspondientemente)

1.5* Algebra de conjuntos

Sea J un conjunto y P( J ) , el sistema de todos los subconjuntos del conjunto J .Definicion 1. Una familia no vacfa R C P{J) en donde la union, interseccion y

diferencia de conjuntos son operaciones internas, se denomina anillo de conjuntos.Definicion 2* Un conjunto E se llama unidad de la familia de conjuntos £ si E £ S

y VA G 2 se verifica la igualdad A n E ~ A.Definicion 3.

Un anillo de conjuntos que contiene a la unidad como uno de suselementos se denomina algebra de conjuntos*Definicion 4. Una familia de conjuntos S C P{J) se denomina semianillo s

contiene al conjunto vacio y V4 G S y VAi C A existen conjuntos A2 , .., An G S talesque

A = At U A2\J . •. U 4

donde el simbolo U designa la union de conjuntos disjuntos.

1* Demostrar la validez de las afirmaciones l) -8) del p. 1.3.

Solucion. 1) Conforme a la definicion 3 del p. 1.2 se tiene

AUB ^{xe J :x € AV x € B},

y, por consiguiente, de la inclusion x G A U B se deduce que x G J , es decir, A U B C JAnalogamente, segun la definicion 4 del p, 1.2

Af)B = {x € J :x e AAx £ B},

por lo cual de la inclusion x G A fl B resulta la inclusion A fl B C 3.2) Dado que la afirmacion x Q Av x € B e s estrictamente equivalente a la afirma-

cion x £ B\f x G A, resulta

A\jB = {xeJ:xeAVx£B} = {xeJ:x€BVx€A}=BuA.

La seeunda imialdad se demu stra de modn analn n.


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fi i. ElomcntiK) tie l.i teorfn de mnjuiKnu

3) En virhid de las propiedades del sfmbolo fftgicti v, se lieru*

A l J {B U D) = fi t G J : x G A V x G {B U D)} .|g £ J : m fc A V ( a 6 BV x G D ) } -

{.r £ J : (x € 4 V at G If ) V x £ D) = 6 J : a; 6 ( 4 U fl) V ar £ D> = (.A U B) U O.

I a sejjunda igualdad de 3) se dcmuestra de modo ana logo.4) Tenemos que

A U {B D D) = {x € J : x £ A V X £ (B n D)} =

{.r £ J : x £ A V (a; 6 B A x £ £>)> = {a; £ J : (as G A V a; G B) A { a £ A V x £ £>)} ~

= { « € J : (x € U B) A (a: 6 >1 U D)} = {A U B) fl [A U D).

I ,a segunda igualdad se dcmuestra de modo analogo.5) Sea x £ A U A, entonces ai G A A x G A, es decir, x € A y, por tanto, se verifica

la inclusion A U A C A. La inclusion invcrsa A C A U A se deduce inmediatamente de In

definition dc union. De las dos ultimas inclusiones se obticne la igualdad A U A = A.La igualdad A n A = A se dcmuestra dc modo analogo.6) Supongamns Ucita la igualdad A n B = A. Entonces

(A n B = A) m (A C A n fl) s> (A C fl).

IJtilizando la inclusion obtenida hallamos que

A U B ^ {X e J : x £ AV x € B} C {x € J : x (AU B = B). (I)

Sea ahora A U B = B. Oil este caso son v,ilidas las implicaciones

{A U fl = fl) => (A U B C B) ^ (A C B).

limpleando la inclusion A c fl obtenemos

A n B = € J : x e A Ax e 3 { « G 3 : X G A A x = A.

Dado que tambien es vcual conjuntamente con la inclusion A u 0 J A es equivalence a la igualdad A u 0 ~ A.

De0CAD0C0se deduce directamente la igualdad Afl0 = 0.

Dado que A C 3 , Lencmos A n J =-- {x € J : x £ A A x £ J ) D (at £ J :x G A A x C A) = A, lo cual junto con la inclusion A n J C A conduce a la igualdad AC\ J — A.

Finalmente, a partir de las inclusiones J C A U J C J se deduce directamente laigualdad A U J = J .

8) De acuerdo con la propicdad 1)

A 11 C A .1 M


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10 CiipiLulo I. Iti(ruducti6n a I iinalisis

Sea x G J ; entonces, si x G A tendremos que x E A U CA; por otra parte, si x resulta que x £ CA y f do nuevo, x G A U CA. De este modo, de x & J se deduce qx G A u CA, es decir,

J C A U CA.

De (3) y (4) se obtiene la igualdad

A U CA = J . (

Para demostrar la igualdad A fl CA = 0 probemos que el conjunto A fl CA ncontiene ningiin eleme.nto, En e fee to, de acuerdo con la igualdad (5) cualquier elemendel conjunto J pertenece bien a A bien a CA, Si x G At entonces x CA yr por tantx g A D CA. Por otro lado, si x G CA, se tiene que x A (pues si fuera x G At resultarque x £ CA), y, de nuevo, x g? A Pi CA. Dado que el conjunto A n CA no contiene ningelemento, este conjunto es vacio, o sea, A fl CA = 0. •

• • • • • • •

2* Demostrar el principio de dualidad:

Cf lU^B) - CA n CB, (

C (A n B) = CA U CB (

(veanse las igualdades (1) del p. 1.4),

M Solution. Demostremos la igualdad (1) (la (2) se demuestra analogamente).Sea x G C (A U B), entonces de acuerdo con la igualdad (5) del problema anterio

x S? A U B, es decir, x g A Ax $ B, de donde x G CA Ax G CB, y, por tanto, x G CA (1CDe este modo>

C (A U B) C CA n CB. (

Supongamos ahora que x G C4 fl CB. Entonces x £CAAx G CB, es decir, x $ A Ax $ B

y, consecuentemente, xgAUB yx EC (A 1) B). Por lo tanto,C ( i U J3 ) cCAnC JB. (

De las inclusiones (3) y (4) se deduce la igualdad (1). •• •• • •• • •• •_U

3 . Demostrar las igualdades:

AU(AnB) = An{A\jB) = A. (

^ Solution. Utilizando las propiedades 4) y 5) del problema 1 obtenemos la primera de ligualdades (1):

A U (A H B) = (A U A) n {A U B) = A n (A U B).

Queda por demostrar que An (A I) B) — A. Si & G A fl (A U B), resulta x £ A Ax A U B y, por consiguiente,

An(AUB)C A. (2

Pero si x G A, tendremos x G A U B, y, por tanto, a ; G i O ( i U B), es decir,

AcAn(AU B). (3

De las inclusiones (2) y (3) se deduce la segunda de las igualdades (1).

4 . Demostrar las igualdades:a) C C j I = A; b) CJ = 0; c) C 0 = J .


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S I. ll om cn lo* ili' Id ti'fllf


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\2 C'apitulo I. InlmduiTtrtii a I anrilisis

Fig. 7. Fig. 8. Fig. 9.

c) De forma mas explfcita, A = {% : - 2 Por consiguiente, las operaciones de union,iiUeiHeci-inn y diferencia son operaciones internas en R, o sea, la familia R es un anillo. •

•• • — j j -


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ti I. tileninitiM ile Id tMirln iU» riittJmiliiH

10. Demostrnr que una ImiiDia It — {ir, t*otitj>iJt*Mfn por nil wuijurito no vacfo « y el

conjunto vacfo 0 , forma un iinllln. j.lto I'nte (inilli) un illgebra?Solution, La union a U 0 a y las difi'ivutiim


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14 QipiLuk) J. Int roduct ion a I an a lis is

es dt'rir, so vorrHra el segundo requisilo do Jo definition de semianillo. Tod a familia quecontenga {/*}, {()}, {7} , 0 y que no coincida con P{J) constituye un semianillo

{ { « , £ } , { « } , { W, ( 7 ) , 0 }i { f a l h W A P h i l } , ® } , etc.

Por ejemplo, mostremos que la familia S — {{a, j3}, {a}^ {/?}, {7}, 0 } es un semianillo.En efecto, la interseccion de dos elementos cualesquiera de la familia S vuelve a ser unelemento de S. Para todo elemento de S es valida la descomposicion en conjuntos disjuntos{a, (3} - { a } U {/?}, {a} = { a } , {/?} = {/?}, {7} — {7 }. Asf pues, la familia S es unsemianillo. •

1 2 .Supongamos que tres numeros a, b y c satisfacen las desigualdades a < c c], etc.

La familia £ no constituye un anillo, pues la union no es una operation interna en S , Porejemplo, [a, c[ U ]c, fe] no pertenece a •• ^ • ••• I • •• 1 •

1 3 . Demostrar que

(Ar\B)x(Dr\E) = (AxD)n(Bx E). (1)< Solution, Sea (a?, y) e (A D B) x (D C\ E), entonces xeAOB eyeDnE, lo que e

equivalente a que x £ A A x £ B eytDAyEE. Dado que x£AAy£D,se tieney) G A x D. Analogamente, dexG^AyGJ^se deduce (x f y) G B x E* De este modo,

{.x, ?/) E ( 4 x D) n x £ ) y

( i n B ) x ( D n ^ ) c ( i x f l ) n ( 5 x (2)

Supongamos ahora que (x7 y) G ((A x D) n (B x £?)). En este caso, (x, j/) G( A X D ) A (a?, y) 6 (ff x 2?) y, por consiguiente, x E A Ay E D y x E B Ay E E. Por tanto,

xEAr\Bey£DnE,es decir, (ar, y) G ((4 fl B) x (Z) fl £?)) y se verifica la inclusion

(A x I? ) n t B X E) C n B) X (D n E). (3)

De las inclusiones (2) y (3) se obtiene (1).

Ejercicios

1. Demostrar las igualdades:

a) = b ) =

(veanse las igualdades (2) del p. 1.4), donde /i pertenece a un conjunto arbitrario.

2, Sean A C B y D conjuntos arbitrarios. Demostrar la valhlez de las inclusiones:a) A n D C B n D; b) A U D C B U D.


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J} I. liliHBeiitoa dl" la li'iirtu dr luhjintluu If)

I Jomoslr.ir que si ) (A, U An) A(JJ] UBi) C (A- AB,)U(yli AB2 );1.) (A, n A.) A (i/j nt f. ) C (>1[ A « i ) n ( 4 ; A B? );0 (/li \ A7 ) A (B.r \ B2 ) C (Aj A B,) \ (A, A B2 ),

donde A], A2 , B\, B t son subconjuntos del conjunto J ,•I. I kterminar los conjuntos A U B, A ft B, A\B, S \ A , A A if si:

,i) A = {x:-4&&.M 1J ( B 0 0} , B = {x : bx - x2 ^0};e) A == {x : sen wx - 0), B = : cos " = 0}>

lit. I )e terminal los conjuntos A U B, A n B, A \ B, B \ A, A A B sir.1) A = {(*, y) B = {(x, y): \zs| +|y|Je) A = {(s, y): W + |y| < 2}, B = { (at, y): y ^ - 2)' + (y-2f|ff + l|) ^ 2} .

I I. Determinar el conjunto A x B si:a) A = { * : - 2 < ; c < l > , S = { y : - 3 ^ if < 1};b) A = {as: 0 ^ w ^ 1}, B = D x B, donde D « ft : 0 ^ y £2 } , K = [z : 0 1 = {t : sen ^^ = 0}, B = {y : -oo < y


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16 Lnpflulo I, lulioihittiriu al an^JLsis

§2. Funciones. Aplicaciones

2.1. Funciones

Definicion. Se denomina aplicacion de un conjunto E en un conjunto F (o funcdefinida en E y de valores en J1) a una regla o ley / que a todo elemento x G E le poen correspondencia un determinado elemento f[x) G F*

El elemento x G E se llama variable independiente o argumento de la funcion /

elemento f(x) G F se llama valor de la funcion f o imagen; el elemento x G E tambiendenomina preimagen del elemento f{x) G F.Una aplicacion (funcion) suele designarse con la letra / o con el simbolo f : E -+

que muestra que / aplica el conjunto E en F. Tambien se emplea la notacion x f(x) qindica que al elemento x le corresponde el elemento f(x). En la mayoria de los casos funciones se definen mediante igualdades, las cuales describen la ley de correspondencPor ejemplo, se puede decir que "la funcion / esta definida mediante la iguald

f(x) = s/x1 + x G [«) b]'r . Si "y" es la notacion general de los elementos del conjunto o sea, F = { y } , la aplicacion f : E F se escribe en forma de la igualdad y = f(x), suele decirse que la aplicacion esta dada explicitamente.

2.2« Imagen y preimagen de un conjunto para una aplicacion dadaSean una aplicacion f : E F y un conjunto DC E.Definicion 1. Sea un conjunto de elementos de F cada uno de los cuales es

imagen mediante la aplicacion / de por lo menos un elemento de D. Este conjuntodenomina imagen del conjunto D y se designa mediante f(D).

Evidentemente,

f(D)^{f(x)eF.xED}.

Sea dado, ahora, un conjunto Y C JP.Definicion 2. Un conjunto de elementos x G E f tales que f(x) G Y , se lla

preimagen del conjunto Y para la aplicacion / y se designa mediante f ^(Y),Es obvio que

f" }(Y) ~ {x £ E : f(x) G Y"}.

Si y G F, entonces f~l(y) = {x G E : f(x) = y}. Si para cada y G F el conjunto f^l

se compone como maximo de un solo elemento x G E, entonces / se denomina aplicacibiumvoca de E en F. Se puede definir tambien una aplicacion biunivoca / del conjuntosobre F.

Definicion 3, Una aplicacion f : E F se denomina:aplicacion inyectiva (inyeccion, o aplicacion biumvoca del conjunto E en F) f

{x ^ a?') (/(x) ^ /(#')), o bien si Vy G F la ecuacion f(x) — y

tiene no mas de usolution;

aplicacion sobreyectiva (sobreyeccion, o aplicacion del conjunto E sobre F), f(E) — F, o bien si V?/ G F la ecuacion f(x) — y tiene al menos una solution;

biyectiva (biyeccidn f o apIi acion biunivoca del conjurio E sobre F) f si la aplicacies inyectiva y sobreyectiva, o bien si Vy G F la ecuacion f(x) = y tiene solution linica,

2.3. Superposici6n de aplicaciones.Aplicaciones inversa, param6trica e implicita

Definici6n 1. Sean / ; E —> F y G. Dado que f(E) C F , a todo elem f(x) G f(E) C F La aplicuci6n g asigna un elemento determinado g(f(x)) G G,

De este mo do, por medio de la regla go f cada x G E se pone en correspondencon un elemento (*/ o /)(:*;) y(f(x)) G G. Asi pues, queda definida una nueva aplicaci


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fj L I'll lie ill lltfl, Apllritfliiiii'h 17

(n una nueva funcion) qui; hc denomina annjttmicWftt, o him tiu^frpoMat'm de tipliaiiiomw,

^Iitoii aplicacuiti a>nii>iii'xtn,Definicion 2. Sea / J E -+ F una aplicaeirtn biyccfrva y F = {y}. fur ser /

IriytTtiva, a todo y € F le corresponde una sola imagen x, que designarcmos / '(;;),

lal que f(x) — y. fie define de este modo la aplicacion / _ l : F —* E que so denomina

iijiliaicum inversa de la aplicacion f , o funcion inversa de la funcidn /.

livid en temente, la aplicacion / es inversa a la aplicacion J ~ l . Por eso, las apliea-

i ioues / y / 1 se denominan aplicaciones reciprocamentc inversus. Para dichas aplicaciones

»ie verifican las relaciones:

nr\y)) ^ V s e f ; r\j(x)) = % Vz e E.

Definicion 3. Sean >p : Q X, $: Si -* Y, y supongamos que al menos una decNlas .ip lien clones, por ejemplo, es biyectiva. En este caso existe la aplicacion inversaV 1 : X —* Q, y, por tanto, ipoip 1 : X —* Y.

Se dice que una aplicacion definida de este modo esta dada parametricamenlomediante Ins aplicaciones ip; fl —» X, i>: SI —• Y; ademds, la variable correspond iente a Uiie llama yanunetro.

Definicion 4. Supongamos que en un conjunto G = X X Y esta definida unaiiplicacion T : G — A , donde cl conjunto A contiene al elemento neutro. Adcmrts,mipongamos que existen conjuntos E C X, D C Y tales que \fx 6 E fijo, la ecuacion

(/) = 0 tiene una solucion linica y & B. En este caso, en el conjunto E se puede definir(iii.i aplicacion /;£?—» B que a todo x G E le ponga en correspondencia aquel valorII / ( [ - f , § ] ) ;

0 / { ] - | | [ ) ; s ) / ( [ o , f ] ) ; h) /CO0,2.]); i) f%0); j) r x ( | ) | k ) r ' ( f ) ;

I) r'd-hU); n) / - 1 ( M , 1 [ ) ; f t ) / - ' ( [ o , ! ] ) .

Sol ucion. Haciendo uso de las tab las de funciones trigonometricas o bien de la calculadora

hallamosa) /(0) = sen 0 = 0; b) / ( f ) = sen f =

c) / ( £ ) = s e n i - f ; d ) / ( f ) = « e n | - f .

e) Tenemos / ( - - j ) = " t r / ( ' ) — U n6tese que cuando el argumento del seno

adopta valores en el irtfervalo [ ~"f) f ] * I118 valorem del seno varian en [—! ,+ '! ]. Por

consiguiente, f ( [ -| j | ] ) = {sen x : —^


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1H ('anfliilo I. Introducdrtn al au


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£}2. I ' l l l l C H I I H ' H . A|lll« II I i l l t u ' K J "

4 Kuluctrin. IX1 aeuerdocoii la definicirtn I tie! p. «


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20 t'apiluln L Introduction al andlisis

1 7 . Sim / : /V ••> /'', y sea P una familia de subconjuntos del conjunto PJ, y Q unamiliu de subconjuntos del conjunto F, Designemos:

f(P) - {f(A) £ Q : A€ P } , J~\Q) = {S~\B) G P : 5 € Q}.

2

Demostrar que: a) si Q es un anillo, lo serd tambien / (Q); b) si P es un anillo f(P) no es necesariamente tambien un anillo,

-4 Solucion. a) Si Q es un anillo, a partir de B\ G Q, B 2 G Q se deduce que (I?i U B2) G Q(B\ \ B 2 ) G Q. Por tanto, de acuerdo con el ejemplo anterior,

r\B,) u r\B2 )=r\By u B1 )E r l m r t o n r 1 ^ ) = r ^ A f t ) G r l m

o sea, f (Q) es un anillo,

b) Dado E = {a, ft, c, d], F = {a ', ft', d1 }, f(a) = a', /(ft) = /(c) = ft' , f(d) = d\La familia

P = { { a , 6 l c , d } 1 { f l J 6 } J { c , d } , 0 }

es un anillo, pero / ({ a, ft}) \ /({c, d}) = {a\ ft'} \ {&', d'} - {a1 }


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ti2. 1''unci on en. Aplltn tli 2!

e) Sen y £ [0,3], La ecuacion y = 3 - ~ (at - j ) " liene las soluciones siguientes:

\ - l-v^Sy, g < $ 0 , e n [0, y xz - { + 0


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{'.ijii'luJu J. Int roduct ion a I jiiillittis

delri miMiulo de L en la segunda igualdad obtendremos

V y a2 — x x E [—a, a]. •r im rnn i hi—•••• •—n !• i •in—m

2 1 . I fill tar la expresion explicita para la funcion / :

implfcitamente mediante la igualdad

3?r 5tt. y l_l_l

L 2 ' 2 J[4?r, 5tt] definida

sen x — cos y — 0, x E3-tt 5TT

-Y' Y. y E [4ff, 5tt]. Solucion. Como V# E [ y , y ] fijo se tiene sen a; =equivalente a la ecuacion cos y ~ q, que en el segmentoeste modo, queda demostrada la existencia de la funcion

q, q E [—1,1], entonces (1) es[47T, 5tt] tiene solucion unica. De

3?r 57T• • — • • • •

L 2 2 J[47T, 5?T]

Para escribir otra expresion para la funcion / transformemos la igualdad (1)reduciendola a la forma

sen x — seny

o

de dondeJT

z - j + y « + f2 sen r cos —

y

2 — 2

Igualando a cero cada factor hallamos dos valores para y:

0.

y = X7T

2+ 2717T, n E Z,

y7T

x + — +2wr } n E Z.

(3)

En el caso (2), de la condici6n x 6 [y> y ] s e deduce que y € [(2n + 1)tt, (2n + 2)7r]

y no pertenece a [4?rT 5?r] v n E Z, es decir, y — x — + 27i7r no es un valor de la

funcion / para ningun n E Z. En el caso (3), de la condition x £ [ f , f ] se deduce que

V € [(2n 2)tt, (2n — 1)tt J C [47r, 5tt] para w — 3. Para este valor de n a partir de (3) seobtiene la expresion explicita de la funcion / :

y , 13?r

x E!! • •• I I III • MB

3 7T 5TT

Ejercicios19, La aplicacion / : R —* [—1,1] viene dada por la igualdad /(#) = cos a;.

Hallar: a) /


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fiX Ni'itncroM it'iili'H 2J

) i 1 Vmtwtmr que si / : U — > F, A C M, If c. I'l, enlojiivn:

•'} f(A n //) c {[(A)n /(fl)); b) {/


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24 CJupilulo I. Introduction al ainlljsis

\ln este caso se dice que ft introduce un orden en E . En lugar de (a, ft) E ft sescribe frecuen temente a ^ b 6 a C b.

Si Va, b E E se tiene que bien (a, 6) E ft bien (ft, a) E ft, se suele decir que econjunto E esta totalmente ordenado.

Definicion 4. Se denomina operation binaria interna en el conjunto E a todaplicacion / :E x E —» E.

Sean los conjuntos E y F.Definicion 5. Se denomina operation binaria externa en el conjunto E a tod

aplicacion / : E x F E.Definicion 6* Un conjunto E que posee una operation binaria interna T se dic

que es un grupo, si:1) la operacion es asociativa: (a T b) T c ~ a T (ft T c) Va, ft, c E E;2) existe un elemento neutro: 3 e E E tal que Va E E se verifica la igualdad

a T e = e T a = a;3) todo elemento tiene elemento simetrico: Va E E 3 a E E tal que a T a = a T

a — e.

Si, ademas,4) la operacion T es conmutativa, el grupo se denomina conmutativo o abeliano.Si la operacion T es la adicion, el grupo se denomina aditivo, si T es la multiplication

el grupo se denomina muUiplicativo.

3.2. Axiom as del campo de los numeros reales

Definicion 1, Un conjunto M — {a , ft, c , . . . } se denomina campo de los numerosreales, si entre sus elementos se establecen relaciones binarias que satisfacen los axiomassiguientes.

Axiomas de la adicion

A.O. En el conjunto M esta definida una operacion binaria interna, la adici6nM x 3R -+ K : (a, 6) ^ a + ft,

la cual pone todo par de elementos a, ft E M en correspondencia univoca con un ciertoelemento del conjunto IR, su suma, que se designa mediante el simbolo a + 6. En este casose cumplen los axiomas siguientes:

A.l. (a + ft) + c = a + (ft + c) (ley asociativa).A.2. En 11 existe un elemento denominado cero, y que se designa con el simbolo 0

tal que Va E R

a + 0 = a.

A,3. Va E R existe un numero (—a) E M que satisface la igualdad

a -f (—a) — 0.

A.4. Va, b E Ra -f ft — ft + a.

Asi pues, el conjunto R es un grupo abeliano aditivo.Axiomas de la multiplicacionM,0. En el conjunto E esta definida una operacion binaria interna, la multiplicacion

IxR^R a b,


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tj'L NiimrntH wiilwt

Li


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i'api'Uilo L Introduction ill mWilisis

3.4. Caracteristicas principals de un numero real

En aras de la simplicidad, mediante M designaremos, segun el contexto, bien conjunto de todos los numeros reales, bien el espacio ordenado de los numeros reales o bien campo ordenado de los numeros reales, Por ejemplo, si se escribe x E R, se hace referendal conjunto de los numeros reales. Si se dice que a: ^ y en R, por M se entiende el espacordenado de los numeros reales. Por ultimo, si escribimos x -f y < z en M, en ese caso designa el campo ordenado de los numeros reales. Si el contexto no esta completamentclaro, utilizaremos una notacion mas sofisticada.

Introduzcamos las siguientes caracteristicas de un numero real x : \x\ es el modde x, sgn# es el signo de x, x+ es la parte positiva de x y x~, su parte negativa. Dichacaracteristicas se definen mediante las reglas siguientes:

x si x ^ 0,x — s .

—x si

1 si x > 0,sgn x = ^ 0 si x -••• 0,

si x < 0;, ' sgn x = 0, - f 0 si x 0,X = i „ . ^ r! X —

9

0 si x < 0; I -x si x 0, x > 0, (2

Ademas de las caracteristicas mencionadas tambien es util examinar las funcioneR —* R : x ^ \x\, x ^ sgn a;, x x*, x >-»• x~ t cuyas graficas se dan en las figs, 17Las dos primeras funciones son aplicaciones multiplicativas, pues de la definicion de estafunciones se deducen las igualdades:

\xy\ = M I f f s g n (xy) = (sgn ar)(sgn y) V(a? E R, y E R).

Cada una de dichas funciones, a exception de "sgn", posee la propiedad siguienteel conjunto de puntos colocados por encima de su grafica es convexo, es decir, si dos puntosen el piano estan situados por encima de la grafica de la funcion, entonces todos los puntosdel segmento que los une tambien lo estan. Tales funciones se denominan concavas. Si unafuncion / esta definida en la recta numerica K y es concava, entonces V(#i E R, x2 E Rse verifica que

f ^ /(^i) + f f a ) 2

(3

Esta desigualdad es obvia: su primer miembro es la ordenada del punto de la graficade abscisa el segundo, la ordenada del punto del segmento situado por encim

de la grafica (fig, 21) correspondiente a la abscisa mencionada. Las funciones concavas seestudiaran detalladamente en el § 5 del cap- 7.

Al aplicar la desigualdad (3) a las funciones concavas x ^ x x^, x ^ x" fobtenemos una serie de estimaciones muy utiles:

® + ^ N-HIs / I , +


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fj;i, Niiiih'KIH ri'iiif! 27

%

0 X

Fig. 17. Fig. 18.

Vi

X0 'x

M„

M

Fig. 19. Fig. 20.

X, T.+ X-, X,

Fig. 21.

i)e todas las caiacterfstkas del numero real mencionadas la mas importante es sumodulo, Las principles propiedades del modulo de un numero son:

I) Vz £ IK (x = 0);?.) V(A € IK, x £ K) |Arc| — jA| |»|;3) V(at € R , y € R) \x + y\ sf \x\ + \y\.

I-a ultima desigualdad se denomina desigualdad triangular, puesto que tiene unaiiiliTprebcion geometrica si a: € C, y

2 3 . Demosti'ar que: a) la ecuacion a-r x — b tiene la solucion unica x — —a + f>; b) la

ecuacion ax — b tiene la solucion unica x — —a ]b.

Sol uti on. a) El numero -a -\-b satisface la ecuaddn a + x = b. En efecto, a + + b) -{a i ( a)) + b - 0 + 6 — b. No hay otras soluciones. Efectivamente, si a; 8 IK es otra solucion,entonces:

-a + b — -a + b,

~a + (a + .r) - -a + b,

(-a + a) -I- x = — a + b,04-ar = x = —a-t b.


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2H Ciipiluk) I. Iiitroducci6n al antilisit*

b) Andlognmente, cl numcro a b satis face la ecuacion ax = b:

a(a~xb) = (a • a _1)6 = 6 =

Si x G R es otra solucion de la ecuacion ax ~ b, entonces:

a b ~ a 6, a~1(ax) = a _ I6, (cT la)x = a 6 ,

1 • x = a~6, a; — a b. p>••••• 1 1 • • III 1

2 4 . Un elemento a £ E se denomina regular respecto de una operacion binaria internT si Vx,yEE

(aT x = aT y) A (x T a — yT a)•

Demostrar que todo elemento c G R es regular respecto a la a did on, y que todelemento no nulo c e R e s regular respecto a la multiplication.

M Solucion. Demostremos que un elemento arbitrario c G i e s regular respecto a la adicionPor ser la adicion conmutativa tenemos (c + a = c + 6 ) o ( a + c = 6 + c). Por ello, bast

demostrar que (c + a = c + b) (a = b).Del ejemplo anterior y de la asociatividad de la adicion, podemos escribir

a =: -C + (c + b)

+ c) + b = 0 + b = b.

Analogamente se demuestra que Vc G M \ {0} es regular respecto a la multiplcation. •

25. Sea E = { /} un conjunto de funriones / : A —> A, A C R, en el que esta definila operacion binaria interna

ExE-*E;(f,g)^ fog.

a) Demostrar que esta operacion es asociativa.

b) Determinar los elementos regulares de esta operaci6n,

a - ft .


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f ix Numeros ro.iIcm

Si / no es inyecliv.i, en el conjunto A ex is ten Humerus distintos x v y euyjW

11 mi genes coineidon: f(w) f(y). Scan g y h aplicacioneH talcs que //(«) x, h(a) ypara un cierto a £ A. Dado que x y, de fog— f oh no se deduce la igualdad g A,es decir, / no es regular por la izquierda.

Demostremos ahora que / es regular por la derecha si y s61o si la funci6n / e.stiuhrcyecliva.

Si / es sobreyectiva, entonces Vs £ A existe un u G A tal que f(u) = x. De estemodo,

( J ? o/ = h o / ) 4 (g(x) = h(x)) Va; 6 A.

Si / no es sobreyectiva, entonces g ° f — h o f para aquellas aplicaciones g y Ai nyas restricciones roinciden en el conjunto }{A). Sin embargo, las aplicaciones g y Apin-den ser distintas, puesto que pueden tomar va lores diferentes en el conjunto A \f(A).

De este modo, para que la aplicacion f sea regular es necesario y suficiente que lamis ma sea biyectiva.

2 6 . Un conjunto A C IK se dice que esta inferiormente acotado, si 3 m £ H tal queV« £ A se verifica ia desigualdad m ^ a; en tal caso, el numero m se llama COta inferior.(Jnn cota inferior in* del conjunto ,4 se denomina infimo del conjunto A, si cualquier utracola inferior rn del conjunto A no es mayor que m'. El frifimo del conjunto A sc designaeon el simbolo inf A.

Demostrar que cualquier conjunto A que este inferiormente acotado tiene infimo, yque, adem&s, inf A ~ - sup{--vi}, donde - A = { -a : } , x £ A.

4 Solucion. Segrin el enunciado 3 m 6 IB. tal que x ^ m Va G A, de donde -x K- ~m,es decir, el conjunto —A esta superioimente acotado. De acuerdo con el axioma S.t),Isup{-v4} = M*. En este caso, —x


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'H) ( «o > o bien - < e. •

n0 * 1 > no C: K. Dado que - > 0, entonces no £ N. Por tanto, Vn > n$r n £ N, es valid

n

2 9 . Sean a y /? numeros reales arbitrarios dados, a < f3r Demostrar que existe unnumero racional r comprendido entre los numeros a y /?,

Solucion* Designemos ft = (3 - a . Segun el ejemplo anterior, 3 n G N tal que

- < ft.n

De acuerdo con el teorema de Arquimedes, 3 m G % tal que

m , 7?i -hi


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fM, iN 11 111 01 < IN iVrilfH

3 2 . Sea \xy J cl conjunto do todos los pnnlueUw xy, domic x 0,1/ 0, I JemoHtrar las igualdades:

a) inf{x;y} = inf{a ;} in f fv } ; b) Hup( j : ; / | HUp| t f | su p{ t / | .

4 So lu ti on . Demostremos la igualdad L>) {propone mo,4 al lector demostrar la igualdad a)).Hidu que x ^ M, x € {£ } , x J 0, o j


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32 Cap ilult) I. In trod uccitfn a I analisig

M Solucion. Tenemos

\x\ + \x-l\ + \x-2\ -2,5

3a? + 0.5 = 0 si x E ]~oo, 0[,-x + 0,5 - 0 si x E [0,1[,

x - 1 , 5 = 0 si x E [1,2[,3a; — 5,5 = 0 si x E [2, +oo[.

Por consiguiente, en los intervalos ] — oo, 0[, [2, +oo[ no hay soluciones; en el interva[0,1[ se tiene la raiz x = 0,5, y en el intervalo [1,2[, la raiz x = 1,5. •

1 % • • • ••

3 6 . Hallar la suma1 1 1 1

Sn = arctg - + arctg - + arctg — H b arctg18 In2

Solucion. Apliquemos el me to do de induccidn matematica. Dado que

S-1 1 1

arctg |, >S2 = arctg ^ I arctg arctg i + i2 8

1 _ I . I2 8

. 2arctg - ,

&2 1 ? + ~

arctg - + arctg — = arctg _ 23 ' 18

arctg3

4}

podemos sup oner que

Sn = arctg -n

n + Vn e N.

Como

Sn+i = arctgn

n +1+ arctg

1n +

2 (n + 1)2arctg

1 2 (n+l) J• • • • • • _ •

1ii arctg

n+I 2 (ra+l):

n +1n + 2

y la expresion (1) se verifica para 1, entonces, por induccion, esta se verifica Vra. •• i • • • • i •

—•

3 7 . Mediante el metodo de induccion matematica, demostrar que para cualquier numeronatural n se verifican las igualdades siguientes:

2 _ n(n + 1)(2n + 1)aa) l2 + 22 + i i ^ -f n6

b) 1 + 2 H h n — (1 + 2 + {- ?i)\

Solucion. a) Evidentemente, para rt = 1 la igualdad es valida. Suponiendo la validez dla igualdad para un n arbitrario demostremos su validez para n + 1, En efecto,

l 2 + 22 + 4- 4 + n2 + (n + I) 2 = n


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J}>1, NiiitiortM reales .'U

IJemostrar la formula del hint)into de Newton

1 . I W \ ^ frlH II Will){a + 6) = 2_ j 11 b 'm=U

• finiilc C'" -- ————— (numero decombinationes de n elementos tornados do m en vi),m!(n - my.

I • 2 • • • k, y se supone 0! = 1.

4 Solut ion. Si n — 1 tenemos

(« + ft) = £ C?a}- mbm = ^ a + = a +

nt-0

i Hioti.i por demostrar que de la validez de la formula para n se deduce que

n+i

(0 +6 ) =C

n- ia 6

•m=l

Kill livainente,n

[a I ft)"11 = (a + 6)(a + 6)" = {a + b) £ C^V'-V/" -

m-0it » n 71+1

V + J ] Cn


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v p u o , m r o u m c o n . a n a n u s

\ I -l-®„)a;fl,_i 3s U,

iicila para cualesquiera Xj dc igual signo,

4 0 . Demostrar quo si x > — 1, se verifica la desigualdad

(1+x) n> 1,

donde la igualdad tiene lugar solo para x = 0.

M Solucion. La desigualdad requerida se deduce directamente del ejemplo anterior, si spone xi = X2 = -'• = xn = x. Si x = G, Vn > 1 se tiene el signo de igualdad. Demostremque para n > 1 y x > —1 se obtiene la desigualdad (1 + x)n > 1 + nx. Para n = 2 esto e

evidente: (1 + xf = 1 + 2x + x2 > 1 + 2®, Si (1 + xf > 1 + nx, tenemos

(1 + = (1 + x)n(l + x) > (1 + nx)( 1 + as) = 1 + nx + x + nx* > 1 + (n + l)x.

4 1 . Demostrar que si X( > 0 Vs = 1, n y X1X2 ... xn = entonces

xi+x2-\ K xn > n, (

siendo

2

(a ĵ + a:2 -I h = n) ^ (a?* = 1 Vi = 1, ra).

Solucion. Para demostrarlo apliquemos el metodo de induction matematica. Para n — la desigualdad (1) es valida y solo tiene lugar el signo de igualdad. Si n — 2 y x\x2 = uno de los factores, por ejemplo, el primero es x1 J* 1, y el otro x2 < I. De este modo, dla evidente identidad

xi + x2 = x\x2 -\-l + (xi~ 1)(1 - x2 ) y de la condicion X[X 2 = 1 se deducen la desigualdad x\ + x2 ^ 2 y la condition(x\ + #2 — 2) (a?i — x2 — 1).

Supongamos ahora que para k numeros positivos arbitrarios X\, x2,... t x^ cuyk

producto es igual a la unidad, se verifica la desigualdad Y l x i ^ siendo

i=1mK

[ J ] x, = k\ (Xi = 1 Vi = 1, fe).1=1

Consideremos el producto de k + 1 numeros positivos x2}..., acĵ .i, para los cuales- • * xk+1 = 1- Si no todos los a?,- son iguales a uno, se encontraran numeros tan

superiores como inferiores a la unidad. Sin perdida de generalidad supondremos quex\ > 1, x2 < 1. Entonces, para los k numeros positivos (X\X2)̂ , . . , asjt+i, cuyo productoes igual a la unidad, sera valida, segun las condiciones de partida, la desigualdad

(xxx2 ) + x3 + -- + x M

verificandose tambien

(X1X2 h £jfc+i = fc) ^ {X\X 2 ~ x3 = * • • = xk + i - 1).

Sumando la identidad (2) y la desigualdad (3) obtenemos la desigualdad

xi + x2 + • + xk+i + 1 + (a?i - 1)(1 - x2 ) A; + 1

y la condicion

(xi + x2 + • • * + x M = k +1 4- (Xi - 1)(1 - x2 }) & {{X1X2) = as3 = * - = x M - l)

de la cual se deduce quen r m i - M T r ^ B r w T T r m T

+ x2 + - •' + xk+i = k + 1) o (Xi = 1 Vi = 1, fe + 1). ••• ••• •• • • I •• I • I I I ••!••! • • • • • • ••• I •• • I


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fc};l. NilIIH"ItW t'l'dll'B

4 2 . Sim Xi > 0, Xi ( K, V-i 1,n, y

7„ -- —r 1—-— (media iirmrtnitr.ijjT + Z + 1 * ' I ,


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:u t \i[>il111 I. liUr


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Niiitu'mh ri'iilt'K '>7

'18. {Inf, i di"ii|-iialdad se verifier para u de most return que fa desigualdad es valida tambien

jjhii'ii » | I. Tenemos

Un l .')! (2n) 2; b) (2n - I)! < li2""1, n > 1; c) < p € K

it ,i) Demostrar que para cualquier n-Sgono convexo se verifica la igualdad Dn --donde D„ es el niimero dc diagonal es,

l>) Demostrar que para eualquier poliedro convexo se verifica la expresi6n n 4 - P„ 2,ilonde es el numero de vertices, P„ es e! numero de aristas y n es el n u mem de caras.

11, 1 Icmostiar las design aldades:

b> L + • • + + ^ + " "f* > n2> > 0, i = T7«;

fcl » alcular las sumas;a) I • 1I + 2-2I + - • +n-n\; b) I1 + 24 + • • • + c) l5-f-2" +• • • • + rts.

t'i I himostrar (jne

£ k (k + 1) • • • (fc + m- 1) = ^n [» i 1) - • • (n + m),k-1

donde m es un niimero natural, Utiiizando esta formula calcular las sumas:

a) i - 2 + 2-3 + --- + n(n + l)j b) 1 • 2 • 3 + 2 • 3 • 4 + • • - + n(n + l)


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•>S C'.ipilulo 1. hitkkIiiiiicVn ;il antfI\his

§4, Numeros complejos

4.1. Numeros complejos y operaciones con ellos

Definicion. Se denomina numero complejo z al par ordenado (a:, y) de numreales x e La igualdad, la suma y el producto de pares ordenados, asi comidentification de ciertos pares ordenados con numeros reales, se define de la mansiguiente:

1) dos mimeros complejos Z\ — y\) y z2~ {x2y jfcLse dicen que son igua= e jfi = i t ;

2) se llama suma de numeros complejos z\ y z2 al numero complejo

* = (®i + x2y + jfe);

3) se llama producto de numeros complejos Z\ y z2 al numero complejo

2 = {xxx2 - yty2 , x^y2 + x2yi)}-k

4) el conjunto de numeros complejos 0), x G M, se identifica con el conjunto

los numeros reales R.Se denomina diferencia de dos numeros complejos z\ y z2 a un numero completal que z2 + z = z\, de donde se obtiene z — Z\ — z2 = — x2 , ^ — 3/2)-

Se denomina cociente de dos numeros complejos zi y z2 a un numero completal que z2 - z — Z\. Asi pues,

f + gijfa x2y\ -sijfe^

V « Z + VL ' + » 2 / *

El numero complejo (071) se denota con el simbolo i — (0,1). Observese qutiene (031) • (071) = (—1, 0), es decir, i — —1. Un numero complejo arbitrario z pued

escrito en la formaz = (x, y) = (xt 0) + (0, y) - (x, 0) + (0, l)(y, 0) = x + iy,

que recibe el nombre de forma algebraica del numero complejo. El numero compz = (ar, — y) = x — iy se llama conjugado del numero complejo z = (x1 y) = x + iy.

4.2* Interpretacion geometrica de los numeros complejos

Todo numero complejo z = (x }y) puede representarse como punto de un piano coordenadas x e y. El piano en el que se representan los numeros complejos se denom

piano complejo. El eje Ox se llama eje real, y el Oy f eje imaginario.

La distancia r entre los puntos £ y cero, es decir, el numero r = y/x2

+ y1

== se denomina modulo del numero complejo z y se denota con el simbolo \z\.El numero

0

1X

V

arctg £ si x > 0,

arctg J + 7r si x 0,

arctg £ - 7T si x < 0, y > 0,

fsgn y si a;—0

se denomina argiimento del numero complejo z y se d esigna con el simbolo 0 — arPara an r dado los angulos que se diferencian en 2nx, n £ 2, corresponden a un mis

numero. Esto ultimo se represents mediante la expresion Arg z — arg z + 2nn, n £ S; ase ronncr con el nombre de valor principal del argumento.


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JH- N m n o o r t e i m i p f e | i i H ii*i

I .lis mimeros j' y 0 sc dononiin,in iwnit'itwhir* iwUmw del lilimefo complejo X . Asf

[•til"., z {x7 y) — (r tttft 0, r urn 0) r(i os 0 i sen 0)

in) ]n lliimada forma trigonometries del iitiincro complejo.z\ = (rj cosfli, sen 6\), Zj, (r 2 cos ftj, Ti sen Of), entonces:

= (r1 j-2cos((?[ +02),rir2 sen(0i + 0;)),

a = (II cos(0, - 02 ), & sene ejile modo, z — (r cos{-0), r sen(—5}) . Utilizando la formula de Moivre

(•)" (rB cos(- nW), r" scn(- n$)) =

— {r n cos nO, ~r" sen uO) — (r" cos n9, r" sen 116} — (z").

SO. Etectuar las siguientes operaciones:

a) (2 - 0(2 + if - {3 - 2i) $ 7; b) (1 I i)4; c) (MSolution. l as operaciones de adicion, sustraccion y multiplicacion con numeros complejosr.MTitos en forma algebraica pueden realizarse de la misma forma qiie las operaciones

1 mi biuomios reales; ademas, ha de tenerse en cuenta que i = - 1 , i3 = i 2 • i —i,1' i^i = - P - 1, etc.

a) Tenemos

(.' i)(2 + if - (3 - 2i) + 7 = (2 - i)(2 + if + 4 + 2i =

- (2 + i)((2 - i)(2 + i) + 2) = (2 x i)(4 +1 + 2) = 14 + ft.

b) l")t! acuerdo con la formula del binomio cle Newlon,

(1 + = 1 + 4i H 6i 2 + 4i3 + 4 =>. 1 + 4i - 6 - Ai h 1 = - 4 .

„\ , A 6 » , ,-5W5 135 ,-60 3̂ , 45 1 -6V3 1 ,C> \ M M 64 64 6J ~ ^


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4t) t'apiluJo I. Introduction a I analisis

5 1 . Ha I tar el cociente de los numeros complejos:

, 1 . , 1 , \ + i f a ) b ) i + i ; c ) t — i "

2 ' 2

4 Solucion. Escribamos la formula del cociente entre z\ y z2 en la forma siguiente

= Z i * z 2 _ Zi >z2

z2 z2 * z2 lz2t2

*Utilizando esta formula hallamos

. 1 —i . 1 _ 1 — i _ 1 — i _ 1 ia) i ~ W ^ 1 + i " jlTTF " ~ 2 ̂ 2;

c > 7-i—in—it

i f | i _ W l I2 1 2 22 2 2" I 1 • • • • • W ^ I • • I I •• • 1 1 I I I . • • I I 1

5 2 . Representar en forma trigonometrica los numeros complejos:

a) - 3 ; b) - i ; c) 1 + i; d) - l + i\/3.•4 Solucion. Tenemos

a) | — 3| — 3, 9 = 7r, —3 = 3 (cos ft + i sen t t) ;b) | - t| = 1,9 = -§, -i = cos ( - f ) + i sen ( - § ) ;

c) |1 + i\ = y/2, 9 = \, 1 + i = V2 (cos f + i sen f ) ;

d) | - l + iVS| =2 , 0 = f , - 1 + »V5 = 2 ( c o s f + i s e n f ) . •

5 3 . Calcular:/1 _ 12

a) (1 + iV3)30

; b) (V2 - i V2)20

; c) ' 1 + *

d) (vl^3 ' ; e)(2 + 2i)41; Ot^- i ) 7 .^ Solucion, a) Representemos en forma trigonometrica el numero complejo

1 + iy/3 = 2 ^cos ? -M ^ n

aplicando ahora la formula de Moivre obtenemos

ft I ' o 3 0 / 307r . 3 0 t t \ o 3 0

(1 + iV3) — 2 ^cos ——h z sen J — 2 .b) Analogamente a como se hizo en el caso anterior obtenemos

v G - . V 5 = 2 ( e o s ( - J ) + i s e n ( - * ) ) ;

(a/2 - iV2f = 220 ( c o s ( - ^ ) + i sen ( - = - 2

c) Representando el numerador y denominador de la fraccion en forma trigonometri-ca calculamos el cociente

l - i Vl (cos ( ~ f ) + * sen (—f)) / ir\ , . / xTTi = , V2. (cos f +»sen |) = C0S ( " 2 ) + , 8 e n ( ~ 2


40/252


tj 1. Niinu'iiM ntMi|'li |in. 41

Inii iriidi) rthora uso do la formula do Moivie Imllntinvt

14-i _ v^(cosS-i-iHL-n^) j _

\/Z - ii ~ ( co s ( - § ) + i s en { — §) ) ~ V 5

( 1 4 - i V 1 1 / 7 7 * , . 7 7 x \

i v f i j ~ 6V§ \cm 12 4 sen

= 1 U g 4- i sen f ) » > f ^ p 1 + ' ) .6 5 V 6 V 12 12 / 6 5 • 4 \ \/3 V S /

.•) (2 4- 2i)41 = (\/8)'n ('cos 1 4 - i sen ^ -

0 (-3- i) 7 = 27 (cos + isen = 0 = f (cos ( - ^ ) + f s e n ( - M * ) )

1 lallar todos los valores de las r a fees

a) Jfc = 0,1 f 2, 3.

4 4

I'or consiguiente,

v'"T = cos 0° + i sen 0° = 1 para k = 0, vT — cos | + i sen | = i para k = 1,

\/l = cos jr + -i sen tt — 1 para k = 2, v l = cos + i sen ~ — —i para k = 3.

b) Al escribir el numero complejo —1 — iy/% en forma trigonometrica

- l - i V 3 - 2 ( c o s ( - f ) + i s e n ( ~ f ) ) :

ohlenemos

J / T ^ */xf ZT* + 2fesr . 4 T + \V - 1 t V5 = V2 l cos + j sen —• - — J , fe = 0 ,1,2,

ili' donde

< / - ! - b M ^ m (cos ( - f ) sen ( - £ ) ) , k = 0,

- iV5 = (cos ( f ) + i sen ( f ) ) ,

iV3 = ^ (cos ( f ) + i sen * = 2. •

I 0 0 8 12 12 J'


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42 Capituln f. hihuduccion al anafisis

55, Resolver la coiiation z j 1 — ().Solucion, Tenemos £ -- v^-1. Para calcular todos los valores de la rafz \/- i apliquemola formula ( I) del p. 42,

I 2&7T , . -7T + 2kn , ^zk = v - I ~ cos 7 1- % sen , k — 0, 5,

6 6

de donde

f 1r\ . / tt\ a/3 i 7T , . ?r F az0 = c o s ( - - j + * s e n ( - - J = T - - , z, = cos - + , sen - = — +

2'

7T . „ 7T 5tt . . 5tt VS £= cos — 4-1 sen — = z3 — cos •••• + % sen - - • - ----- 2 2 6 o I I

7n . 7n V3 i 9tr . 9tt= cos — + % sen — — — - = cos — + i sen —- — •

6 6 2 2 6 6

Ejercicios

38, Demostrar: a) Z\ - — - b) ( ~ ) = c) P(z) = donde ^ ^ es polinomio algebraico de coeficientes reales.

39. Efectuar las operaciones siguientes:

a) (1 + iy/Sf; b) c) + j,2 + 0).40* Hatlar las partes real e imaginaria de los siguientes numeros complejos:

41. Demostrar que el conjunto de los numeros complejos en el que se definen las operaciones adicion y multiplication, forma un campo.

42. Hallar los modules y los argumentos de los numeros complejos siguientes:

a) ( - 4 + 3 i f ; b) (1 + if( 1 - iv^)-6 ; c) 1 f cos f + i sen £.

Hallar todos los valores de las raices siguientes:

43. 44. v M -h 45. 46, i fU.

Hallar las raices de las ecuaciones siguientes;47, z1 + (5 - i2)z + 5(1 - t) = 0. 48. z2 -j- (1 - i2)z - i2 = 0. 49, (z + if if - 0.50, Demostrar que el modulo de los numeros complejos es un valor absoluto, es dear, que

satis face las condiciories:1) 2) \zyz2\ = N3) jzj ^ N + N € C.

51. Demostrar la desigualdad siguiente:

z \ ~ z 2 ^ ki ~

§ 5. Espacios vectoriales y metricos

5.1. Espacios vectoriales

Definicion 1. Se denomina esparto vectorial sobre un campo IK — {A, i v • a un conjunto E = {#> y } z }... } en el que estan definidas:

I. Una operacion binaria interna E x E —» E : (ar, j/) i—> a? -H respecto a la cuconjunto E es un grupo abeliano:

1) x + (y -I- z) — (x + y) -b z; 2) x + 9 = x;

3) x + (-x) = 9; 4) x + y = y + x

^m Hianh* 0 d sî namnft P


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JjS. Espavio.s veclorl.deri y mei ikiw 43

II. Una operation binaria externa IK * }>', i /S (A, r.) i > A:tr, que salisfoco lew

itljFitiente;: axiomas:fl) A(z + y) ^ A; !IC, escaiares.

Si X = Iff, el conjunto E se llama espacio vectorial real; si K = C, E se denominaI'xpth jit vectorial complejo.

Definicion 1. Todo subconjunto V de) espacio vectorial E que csle dotado de dosufti'iaeiunes binaries del espacio E y que sea un espacio vectorial sobre el campo X sedenomina subespudo vectorial del espacio E.

I in un espacio vectorial arbitrario se cumplen las propiedades siguientes:I ) Xti = ff; 2) Q-x = 0; 3) {—l)x = -x.

5.2. Espacios vectoriales normados

Ml concepto de valor absoluto se exliende a los espacios vectoriales sobre un camponot tn.itlo K .

Definicion. Se denomina norma en el espacio vectorial E a una aplicacion

E IS"1 : x »-» \\x\\, I + = { a 6 S : 0 < a < +oo},

du e •i.itisfacc los axiomas siguientes:

1) flfx||=o) ^(x-oy,

2) IfAajjl - |A| • \\x\\ Va; g E;II®+ !/li ^ IMI "Hijfli Vs, y £ E (desigualdad triangular),

5.3. Espacios eudideos

Definicion 1. Sea E un espacio vectorial sobre el campo E, Una aplicacionI'i —> K : ip(x, y) = {x,y} que a todo par de elementos x, y € E le pone oil

• iine'pondcncEa un numero real denotado con el simbolo {x,y), se denomina producto. ii alar, si Vx, y, z £ E v VA 6 I se cumplen los axiomas siguientes:

1} {x.y) - (y.x)-,2) (x f- y, z) = (x,z) + (ytz);3) {Xx,y) = X{x,y);4) {x, x) > 0 A ((x, a) = 0) & (ar = 0).Definicion 2• Un espacio vectorial en el que esta definido un producto escalar se

ili'iHKiima espado cticlideo.

5.4. Espacios metricos

Definicion, Un conjunto E — {x, y, z,... } se denomina espacio metrico, si estadcliitida una aplicacion E x E -* : (x, y) p (x, y), que a cualesquiera x c y les poneen correspondencia un numero real no negative p que satis face los axiomas siguientes:

1) : ^ y);2) p {x, y) - p (y, x) Vx, y 6 E (axioma de simetria);

3} p (a:, 3/)


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•r pru o , uro u cc on a m

53. Entornow

Definicion Se denomina bola ahierta (ccrrada) con centro en Ltn pun to x$radio r en un espacio metrico E al conjunto

{x E E : a?0 ) < r} ({# € E : p(x7 x0 ) ^ r}).

La bola abierta (cerrada) se designa mediante S(#0) r ) -Analogamente se define la bola abierta (cerrada) en un espacio vectorial normadoDefinicion 2. Se denomina bola abierta (cerrada) con centro en un punto . tq

radio r en un espacio vectorial normado E al conjunto

{x G E : \\x - xQ\\ < r} ({x e E : \\x - a?0ll <

Definicion 3. Una bola abierta con centro en un punto X q y radio 3 se denomi6-entorno del punto X q .

En la recta real M una bola abierta (cerrada) de radio 5 es un intervalo ]#o — +(un segmento [xq — ar0 + £]).

• •• MM !••

5 6 . Sea Rm el conjunto de todos los sistemas ordenados posibles de rn numeros real(a?t , #2, *. •, xm ) y sean definidas en Mm las operaciones siguientes:

a) operacion binaria interna Rm x WLm Mm, la cual a todo par de elementox = (a?i, -. ., xm ) e y — (j fi , . . . , ym ) del conjunto Rm le pone en correspondencia uelemento

x + y = (xi + yu , . , , xrn + ym ),

Ilamado suma de x c y;b) operacion binaria externa RxR™ Rm , la cual a todo x E IRm y todo

les pone en correspondencia un elemento

Ax = (Xxi j . . , , Aa?m)

Ilamado producto de A por x.Demostrar que IRm es un espacio vectorial sobre el campo HL

Solucion. Demostremos primeramente que el conjunto M es un grupo abeliano aditivoEn efecto, en virtud de la asociatividad de los numeros reales, para x — . . . yXmy — (Vij * * • j Vm) y % — { z\i — • 3 zm) arbitrarios se tiene

x + (y +z

) = (®i + (Vi + • - •, + (ifoi + Zm)) == ({xi + y\) + zu..-, (xm + ym ) + zm ) = (x + y) +

Designemos 0 — 0 = ( 0 , . . . , 0), entonces Vx £ M se verifica la igualdad x + 0 = (a;i +

+ 0) — - • • j xm) = X- £ hagamos ™x — . . . , —»,„); por tanx -f (—x) = (x\ — xu * • - j — = (0, . , *, 0) = 0. Finalmente, por ser conmutativadicion de numeros reales,

•

x + y = (®i + yx ,..., xm + ym ) - (yi + xu ., ym + xm ) =

- (VU * • - , Vm) "I" - • - , a?m) =

Como vemosjr los cuatro axiomas del grupo abeliano se verifican.


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; . . n v or n pn y u e neon

A pa rl ir tie las d el in ic in no s (It) oni'ii ai hUMp liilfeli iilit ex te nu is t* int er n as y tit" l as

jih tj' trd rul c'H t i e Ids m i m orns r ea l e s w d ed iu v i i d l r e i l a i i i en t e l a s i gua lda des

Mi I y) A) = (-M/ia-j ), ..., X(ftxm )) = X(fixu fasm ) = A(fix);

1 • x = (1 • id, ... j 1 • xm ) = ( s , , . . . , xm ) - x,

Vi. v f K*" y VA, p e E. Es decir, sc cumplen los axiomas de espacio vectorial: E'" es uni


45/252


4h I'apiLulo I. Inhmiiitrmu .if iinjliuitt

5 8 . Demostrar que el espacio se convierte en un espacio vectorial normado, Vx = [ j x2i — - ) xm)f x £ / se define

-i -r •• i 11 ii i • ii iii ii • ••• ii i i i i • i ii i n

A j t* i +

Solucion. Para demostrarlo resulta suficiente comprobar que se verifican los axiomas 1)del p. 5.2.

1) Evidentemente, ||x|| > 0 y (||x|| = 0) (x = 0).

2) Vx € Rm y VA 6 R tenemos

(

NAx (Xxx )2 + (Xx2 )2 + - • • + (Xxm )2 = V^^?•f xi H \-x2m

3) Demostremos que para x = (xj e y = (3 /1, V2> • • •, Vm) arbitra

Hx + ylKI|x|| + ||yl|.

Escribiendo la desigualdad (2) en forma de coordenadas

ni

i=1

-i" •—i H

m rn

£ + J £ tf >

i=1

elevando ambos miembros al cuadrado y simplificando, obtenemos la desigualdad

m

1=1

equivalente a la desigualdad (2). La desigualdad (3) se denomina desigualdad de CauchyBuniakovski; su validez ya ha sido demostrada (v, ej.43). Por consiguiente, la igualdad (1define una norma en K™1 •

r r n r r ^ H V V T T W W T V T r r m T i r n r i

5 9 . Demostrar que un espacio vectorial 2ft cuyos elementos estan representados polas matrices de dimension rn x n, es un espacio vectorial normado, si para una matri

• • • •

arbitraria A = (flrj), i — 1, m, j — 1, n, definimos

m n

Mil

^ Solucion. Es evidente que el primer axioma de norma se cumple.Ademas, VA € M y \/A £ dJl tenemos

m n

1=1 j=i

m n m rc

|A| |a

aij " I a H W I ,*=i j=i i=1 j=X

es decir, el segundo axioma de norma tambien se cumple, y

Queda comprobar la verification de la desigualdad triangular, Sean A,BQffmatrices arbitrarias de dimension m x n, entonces:

r tj t i tit n

I\A + B a^ + bn ]


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• F {?!>. I'HjUHOH vci lurljilcn y hUMiwhh IV

t idiln qui" lodos Ins axiomas ill' iiurniii tie vrtilinm, (I ) ilHino illlii iRjrnia en Utt, y|n«liiivifi'ti' ett mi t'Hpuciu vectorial Jioimadu wilw cl ntnipn IK'. •

flit. Sim C cl conjunto d e todas liLS liincinncN nrtiladaH / : [a, h\ -+ R.I Vnioslrar que el conjunto C se hart! un (•Kpitcio m'loiial normado sobre cl cnmpo ItlL,

«f jim.i iiri.i funcion arbitraria / se define

|1/||= sup |/(a:)J. (I )

4 huhn li'xt, lis facil convencerse dc que C es un espacio vectorial sobre el campo IK, si hi

IfjitiiNlihl

if+9M = f(x)+0t\ x e [ a , 6 |

tf|i|Un' l.t udicidn en C, y

( A f ) ( x ) - \f(x),

lit iiMilliplicacion por un escalar del campo R .

(,)»eda por comprobar que para el numeni ||/|| definido por la formula (I) sei mitplni todos los axiomas de metrica,

I) Dado que |/(a;)| > 0, resulta ||/H - sup |/(ie)| > 0; adcmas, ||/|| = 0 si y sdlo si|/(r)| 0, es deck, si / : [a, &] —» 0, que es el elemento neutro del espacio vectorial C,

'.') I'ara una funcion arbitraria / € C y para todo A € R tenemos

p / | i = sup \\f(x)\ = sup |A|!/(»){= |Aj sup !/(x}j = |A| [|/||. Jtlii.iE'!

.() I)e la desigualdad triangular para el valor absoluto y de las propiedndes delhttpirnm se deduce la desigualdad

I / O 1 < l/(»)H lfl(«)l ^ sup [/(a:)!-su p |fl(3:)| - m + M 6 C, Vz £ [a, M

11iil se

0 >

(2)

0)


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m I jpifu o L Ju ro MiTion u ; i i i« 1 I i s ih

6 2 , I Jeniostmr que un espacio vectorial SJt (v. ej. 59) se convrerte un un i'H|nicio euclide

si piira dos demon los arbitrarios A -- (at j) y / i -•-- ) definimos

m it

(A S) =

Solucion. Para demostrarlo es suficiente comprobar que {A, B) determinado por

igualdad (1) satisface los cuatro axiomas del producto escalar (v. p. 53.). La verificacion dlos primeros tres axiomas se deduce directamente de la definicion del numero ( X B)\

m n m n

1) U,B) = EEOijbij = EEbijOij = (B,A);i-lj—1 i^lj=l

2) para las matrices arbitrarias A = (aij)r B = (b^) y C = (Cij) tenemos

m n m n m n

(A + B,C) = +t=l j=\

3) V j 4 £ 9Jt y V A G M,

bij Cij = {A, C) + (B, C);

i=l j=1 i—1 j=1

m n m n

(XA, B) A CTIJBIJ = A ajjftjj - A(J4, B);

i=i

4) para toda matriz A G 971 se tiene

m n

M, A) a ?

Ahe*trtrittiu^c1 J u, y — u S1 y solo si todos los"elementosla matriz j i son nulos, es decir, si A — 6, donde 0 es el elemento neutro del espavectorial OT. Por consiguiente, se cumplen todos los axiomas del producto escalar, es dela igualdad (1) define un producto escalar en el espacio vectorial 971 y, por tanto, 3DZ esespacio euclideo. •

6 3 . Demostrar que un espacio vectorial normado E — {a?, z,... } se convierte enespacio metrico, si para cualquier par de elementos x e y de E se define

p ( x

> y)x

~~ y\\-


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S r i. I f cpac i tM vtN ' inrUlcw y in^ti'lniit 49

tl|prrk'i(M

f»J. ) It'mnvlrnr (juc el conjunto C . ( f , >/, I t . . . . ) i ll ' IoiI.ih IiIh t1piici1i.ii met; posiblos tic tin eo nj un b) I'Jcit 1111 ewpacio vectorial f sob it 1 tin ca mp o IK en uit i*np.n:iO vec tor ial s obr e esu mismo rampo,

Htl. I h twis t far quo. c l conjunto delito numuroH eoiupJujijfi (:'J forma un espacio vectorial Hobie el

uiiii|Ni ite lbs mmieros reales-K.

I li'nitwlfar i[ue un espacio vectorial R m se coiwiurte en tin espacio vectorial nor mad o. Hi para

niiiJq titer el eme nto x = (a j , x ^ , . . . , j s, „) se define una norma ||x| | por medio de una de Ins

lUihiklades siguientes:

-i) ||k| | - |« i| 4- + 1- \x,„\ (norma octaedrka);I') | |x| | - max [a*,| (norma cubica).

UĴ Jtit

tr> , 0,i = -l,m;

y f-t

O ( ] x [ l - | * i W W + h d) Hx|l = max o,'|«i|> > 0; e) 11*11= m i x j;r, |l^ i^m 1 î?-.!n I

ili-iinen una ntimi.i en el espacio vectorial M'"?

Ihi I K'CTHMtrar que en un espac io vectorial 9Jt cuyos ele mento s se represe nlan por - las matrices(«,;) d e dime nsi on m x n, la no rma |j4|| pu ed e ser def ini da media nte una. tie- las

ij;iiilldades siguientes: J rn n

« P H - J E E 4 ;y '-1 M

b) \\a\\ = max E l « . ' j l ;

i) [|,4|| = max E M; d> \\ AW - I%1-

fiv Sea 3Jt el conjunto del ejemplo anterior. ^Cutiles de las igualdades

I m n 1771-1 n

•'I m = , / E E a v a b' rn > 0> b) im'I ** J

y .-I j.^i y m j-tm ii

i ) Pjj = E aij >-(,> d) lUtl = max «(,-|ay|, a,-j > 0;e) ||/1|[ = mdx i*i>|«i/l( a,y, f) jlAj[ — max ay > 0, m > 2

iletinen una norma en el espacio OT?Ml. A pavtir de la definition de metrica, demostrar que en el espacio Rm la distancia entre dos

puntos arbitrarios x — (»tl . . . , i„) e y — (y,, y?,..., ym ) puede ser definida;;mediante de las igualdades:

I m ,n

V i î j^i

c) P (x, y) ^ rnsx - tfij; d) p (x, y) - - J/.)2. « . > 0;

e) p(x, y) ~ E 0 {̂*.y)= "tix ("ifci-SilK O. >0.

•v. Vlediaiite comprobacion directa de los axiomas que definen una m^lrita, demostrar que en el

espacio vectorial W cuyos elementos estan represcntados por las matrices de dimensi6 n m x n,

Li distancia entie do s puntos (matrices) arbitrarios A = (a,,) y Ii = (t,j) puede ser definida

por medio de una de las igualdades siguientes:


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5 0 C a p i l u l o f . I n l r o d u c f i r t n i i! j i t i d l i s i s

m n »n) p( A,u) X !Y1 -br}?'> L)) P ( ^ i M ) k j ~ M ;

mc) max d) = ~

60. Sea E un espacio metric© con una metrica p : E x E R+.Demostrar que si E es, ademas, un espacio vectorial, entonces E es un espacio normado con

una norma ||#J| — p(x, 0), donde x es un elemento arbitrario del espacio E y 8 es el elemeneutro de dicho espacio-

61. Un cierto conjunto de puntos constituye una bola abierta (cerrada) en el espacio metrico MRepresentar dicho conjunto al definir sucesivamente la metrica p mediante cada una de laigualdades siguientes;

a) p (x, y) - y/(xt - y\f + (x2 - Jfe)2 ; b) p (x, y) = \xt - r/i| + \x2 - y2b

c) p (x, y) - max fe - Vi \; d) p (x, y) - J +V

e) + f ) />( x 3y ) = m a x { ^ , ^ }

§6. Limite de una sucesion6.1. Concepto de sucesion

Definicion. Se denomina sucesion de elementos de un conjunto E a una aplicacion

N E : n j-v xnj

es decir, a una funcion que a todo numero natural n £ N le pone en correspondencia unelemento xn e E.

Para designar sucesiones se usan las notaciones {xn ), o bien X\ } x2 ,... T xn ,..o bien xn = f(n), n £ N.

Los elementos Hainan terminos de la sucesion y xn/ termino general de la sucesion.

El conjunto E puede ser muy variado, por ejemplo: R, Rm , C[a, b], 971, etc. SE — M, la sucesion se denomina numerical si E — Mw, sucesion vectorial; si E ^ C[a, 6sucesion funcional; si E ~ OH, sucesion matricial, etc. En cada uno de estos casos el conjuntde todas las sucesiones posibles forma un espacio vectorial normado y f por consiguienteun espacio metrico.

6.2. Sucesiones convergentes y sus propiedades

Primeramente consideremos las sucesiones numericas.

Definicion. Una sucesion (xn ) de numeros reales se llama convergenle, si existe unnumero real a y para cualquier £ > 0 existe un numero natural m tal que Vra > m severifica la desigualdad

' & | ^ £ \

En este caso el numero a se denomina limite de la sucesion {xn ) f y en formasimbolica se escribe:

lim xn — a o bien xn —> a para n —y oo.n—> oo

Mediante sfmbolos logicos, la definicion se escribe de la manera siguiente: unasucesion (a?n) se dice que es convergente, si

3 « £ ] R A V £ > 0 3m € N : Vn > m => \xn - a\ < e.


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tjli. I. lmilr ilt* iniii MUi't'itlOn f»!

I lua suecsidn i]UO no converge ,se lliimii iliiu-i^nilr.

it'oivma. Si tItm ii,, b, entonces

it*o rem a. Si < fas sucesiones itr mhiicntu mthv (.r„)


51/252


. . « r 1 * I W B + J

0,7. SiKvsioncs convergentes on un espacio metrico

Definicitfn, Una sucesion (x„) de elementos de un espacio metrico b) se denominaconvergent^, si existe un elemento a £ E y para cualquier e > 0 existe un numero natural mtal que Vn > m se verifica la desigualdad p (xT} a) < e.

En esta definicion el numero natural rn puede sustituirse por un numero realpositive ear, pues la desigualdad n > a conlleva que n > [a] — rn,

Si en R w esta dada una sucesion xn = (xin , • • *, ft €-N, para la que exist

lim xm , i = 1, m, dicha sucesion converge y resulta valida la igualdadip /

x --» yo

lim xn = (lim xin , lim x2n ,..,, lim xmn ).n—KXj n—oo «—»oo n—*oo

Analogamente, si en 9Jt esta dada una sucesion

a Ak - I | , k € N,

a

0 3m G N tal que1 1- < c (v. ej. 28). Entonces, Vn > m se verifica la desigualdad ~ < e y, por consiguiente,

- 1) < es decir, lim xVl — 2. •n—

6 5 . Demostrar:a) lim qn 0 para < 1; b) lim qn — oo para |g| > 1,

n—»oo rc—»oc

^ Solucion. a) Si q - Oy la igualdad a) es obvia. Sea s > 0 arbitrario y 0 < < 1. Haciendouso de la desigualdad de Bernoulli obtendremos

1 +

I # V M


52/252


tjfr. liitilli1 ili> wim Mii'ralrtn H3

^ lliilliii los limi tes sigu ient es:

* ' _4 Inlixion. Iii memos Sn = ^ + ^ -f ^ + • - •• -" Ju 1, entonces

" ;> " 2 l ? 22/ + V23 23/ + V 2" 2" / 2 » "

1 / 1 1 . 1 \ 2?t - I2 \2 ' ' 2 ? 2"-1'/ " 2"1)1

S - j H + 1 + ... + . 1 ~ 1 _ ! , 1 - z^ 2ft - 1

IV esto modo,

= lim 3 -- lim ~ - 2 lim ~ + Urn - - • 3,rt—00 Ft —t oo A K --(Xi £ 7 1 - > 0 0

mi donde hemos utilkado ei hecho de que

n n n 2 1 para n —)• 00 y el 1 unite de la sucesion es igual a 2. •


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! i ' i ('•ipilulo I. InlJodiKviurt al analisis

Demostrar Lis igualdades siguientes:

6 9 . lim2

n -»oo VII— o.

M Solucion- La igualdad se deduce de la desigualdad

0 < Hl- - ? 2 _ .

w! " 1 2 3

* I 4

2 /2\ - ^ 2

71

9 /2\n

2y del hecho de que (|)w —• 0 para n —> oo (v. ej.65), •

1 1 1 ! i i i i i b — n a

7 0 . limn

n—*QQ an0, a > 1.

^ Solucion. Sea m un numero entero Tenemos

Q < — < —

mn

an an i n / y/a

nV1

m

donde b = yfa > 1. No obstante,

0 <n nbn (! + (&- 1))"

n<

In

1 + n(b - 1) + - l ) 2 + - • - + (6 - l)n « { » " 1)(6 - I) 20

para n

( f ) " 1

oo; ahora, aplicando el teorema del paso al Kmite en un producto obtenemos que

0 para n —• oo, de donde se deduce el resultado requerido. •

an

limn—foo 7110.

0 y m + 1 > \a\ si n es lo suficientemente grande, •r . .

7 2 . lim nqn - 0 si |o| < 1.oo

A Solucion. La demostracion se deduce de la expresion siguiente:

\ngnn

X in

X «

n

V 1'b>l (v.ej.70). •

7 3 . lim \/a ~ 1.fi —>CO

M Solucion. Para a — 1 la igualdad es obvia* Sea a > entonces tfa > 1 y (v,ej.40)

a (1 + (\fa - l))n > 1 + n(y/a- 1) > n(


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- fjit; I imilo ili* tntii nili riinn !»!

Si 0 l .M -au n

4 Nnlueion. I )udo que lim pr — 0, b > 1 (vease la solucion del ej. 70), entonces A < < In-*o& o™ e(una Ti lo suficien temente graiide. Sea b — a£ , donde c > l y £ > 0 c s arbitrario. EntonceH,

1 • ~ 0 y Vn > 1 - 2 e ~ 2 . •

76. lim = 0.

4 Hotucion. Demostremos primeramente que

n\ >(I)"-Apliijuemos el metodo de induccion matematica. Para n = 1 la desigualdad cs e video to-:.[i|ioniendo que la igualdad es valida para n, para n + 1 tendremos

I .i ultima desigualdad es valida, puesto que

(I I 1 ) = 1 -f — + —• » — j- -, i- - —

s -:»/ 2\ n rs! f*

, n Ji{n - 1) n ( n - 1 ). .. ( n - w -f 1) 1i r * ' ' i

1 1 1 1


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C'j|.)i'liil(i I. Jntroducdtin AI dn.tlisis

1 a existencia del If mite y till vaior igual a cero so deducen tie la dtisiiguAldad

1 ^ 1 3 ^0 < —p=- < — = = — — <

V7?J n

que se verifica Vs > 0 sierppre que n >i • i • •••

7 7 , ? Demostrar que la sucesion' (aŝ )r

creoe mon6tonamente y esta superiormente acotada, y que la sucesion (yn ),

Vn = ( l +-j \ nf 1

H 1 '

decrece monotonamente y esta inferiormente acotada. Demostrar que arnbas sucesiones

tienen el mismo limite

/ I V " ( l \ n + 1lim 1 - f - - I = lim ( 1 - J — ) = e,71—00 V 71/ n-»oo V 71/

M Solucion, De acuerdo con la desigualdad del ej; 40/ tenemos

n+1

V1 + " + 1 ) - 1 ) ! L t l : > Y ! X n + \ (w -f -1 ) 2/ \ 7i;+:a 7 m

yn = ( 1 + ir) = a • n^+rl U w + i l _rri3-U--ri2 - to -11

f n - i + « ™ + ^ '

es clecirA/rcflyV^(:(oreee.)r:e\ (decrece). Ademas, xtl < yn y 0 oo,• Porl consiguiente, lim xn — lim yn — e, •

7J-+CC ft—>00

7 8 . Demostrar que

0 < e - f l + —) < —, n G N.v j i / n

^Para que valores del exponente n la expresion ( l + se diferencia del numero e en

menos de 10 ?

Solucion. De acuerdo con el ej,77, tenemos ( l 4- > e. Por tanto,

/ 1 \ 1 e ^ i< (1 + - ] - < - < - < - para m > 3000. •V n/ n n n -1000


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tj(>. l inti l i ' t lc mitt ^tiii'xiOii ay

{it'll {p„} una sucesitin nuinerien nihilr.itlM i|in* (le nder } y ( N(e), es decir, lim + — e.

Si 1111,1 sucesion numerica arbitraria (p*), P* > 1, tiende a +oo, existe una sucesionUpMUlnioms enteros (tt


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5H ("iipiUilo L hih'udiurion aJ andlisiM

quo sc verifica VA:. Dado quo en cl conjunto (//*) no existe el elemento mtfximo, para A;tendromoH

es decir, la igualdad no puede veriffcarse. Ademas,

x / 1\ " 1 1

n — (1 4- — j + - + ~ + T 1-2! 3! + A = Un*n:

De este modo, xn < yn < e y lim xn — e, de donde se deduce que lim yn ~ e.to—»cx> rt-^ooEfectuando el paso al limite en la desigualdad

Vm+n Vn1

+1

(71+1)! (tt + 2)!+ + « »

1

(n + m)

<(:n + 1)1 \

1

+

<

1

n + 2 (n + 2)+

1 71+2• 1- t <

1

(n +1)! n + 1 n * n

para un n fijo y m —* oo obtenemos

0 < e - yn <1

n - ni

Designemos 6n ™ , 0 < 8n < 1. Hemos obtenido, pues, el resultado buscadoiLa desigualdad 0 < e — yn < ^ .

1

r

< 10 es valida para n ^ 8, de donde

^ 21 1 1 1 1 1 1

2! 31 4! 5! 6! 7! 8!

8 1 . Demostrar la desigualdad

n n

(T) / _ |

puesto que la desigualdad (n + 1) (|) > 1 es equivalente a la desigualda

(l + < e (la validez de la ultima se deduce del ej. 77).El segundo miembro de la desigualdad se deduce de las expresiones (v.ej.42)

nl <

n +1

2

n n

2 -(f)"

n "n

2 < e

n

2 •

8 2 . Demostrar las desigualdades:1 / l \ l

a) < In ( i |— J < —, donde n es un numero natural arbitrario;n +1 \ n / 77,

b) l + a < e f t , donde a es un numero real distinto de cero.

< Solucion, a) Tomando logaritmos en la desigualdad (v. oj. 77)

K ) " < e < ( 1 + « )1obtenemos n In (l + < In e — 1 < (w + 1) In (l + de donde se deduce la desigua

dad a).


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tj(). [.itnilc df I I I M N I I I I ' DI I I I I 5*J

II) Mil primer lugar, demos Ere inns qui1

- r < lu(l I r) • r, (I)I 1 T

llhiuli' r i's un niimero racional eualquiera distil Uo tie ami y superior a - I. Sea r ~ > 0.11" Initio, en virtud de la desigualdad a), obtenemos

hunt, =V n > \ n n +1 n + m ~ 1 /

- In f 1 + i) + In ( l + - L - ) + - • • + In (l + - ) <V n J \ n + 1 / V 7i + m - I /

< - + — t + • • - + 1 0.

Mi I < ri 0, Ji -*oo \ /

ilttndc in (i es el logaritmo neperiano (de base e = 2

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Análisis Matemático - Antidemidóvic.pdf