Probabilités – Loi exponentielle – Exercices corrigés
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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)
Exercice 1 : densité de probabilité
Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement)
Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle
Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi exponentielle
Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales
Exercice 6 : espérance et variance d’une variable aléatoire continue
Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable
Exercice 8 : loi exponentielle sans mémoire et demi-vie
Exercice 9 : durée de vie du carbone 14
Exercice 10 : lecture graphique du paramètre
Remarque préalable : Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des temps d'attente ou des
durées de vie.
Probabilités – Loi exponentielle
Exercices corrigés
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Soit un réel non nul et soit la fonction définie sur par .
A quelle(s) condition(s) sur la fonction est-elle une densité de probabilité sur ?
Rappel : Densité de probabilité
Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :
Remarque : Pour tous réels et tels que , on a :
Si , alors
Si , alors
Si , alors
1) Etudions tout d’abord la continuité de la fonction sur .
est le produit du réel non nul par la composée de la fonction par la fonction .
Or, est une fonction linéaire, continue sur , et est la fonction exponentielle, également
continue sur . Par conséquent, est continue sur pour tout réel non nul .
2) Etudions désormais la positivité de la fonction sur .
Pour tout , . Ainsi, est positive si et seulement si 0.
3) Etudions enfin
Exercice 1 (1 question) Niveau : moyen
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L’intervalle se note
indifféremment : ,
, ou .
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Or,
et
.
Donc, d’après le théorème sur la limite de la
composée de deux fonctions, on a :
.
Il s’ensuit que
, c’est-à-dire :
Rappel : Limite de la composée de deux
fonctions
, et désignent des réels, ou . et
sont deux fonctions.
Si
et si
, alors on a :
.
4) Concluons.
De ces 3 résultats, il découle que est une densité de probabilité sur si et seulement si 0.
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est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle .
Déterminer la fonction densité de probabilité.
Rappel : Loi exponentielle sur
Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre ( ) sur l’intervalle si sa
densité de probabilité est définie sur par .
Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre est également appelée loi de durée de vie sans
vieillissement.
La variable aléatoire continue suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle .
Ainsi, la fonction densité de probabilité est définie sur par .
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
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La durée de vie d’un composant est une variable aléatoire , exprimée en jours, qui suit une loi exponentielle
de paramètre .
1) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours ?
2) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année ?
3) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans ?
Rappel : Probabilité d’un événement avec une loi exponentielle
Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur .
Pour tout intervalle , on a :
Et, en particulier,
La variable aléatoire , exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre . La densité de
probabilité est donc la fonction définie sur par .
1) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours.
Méthode 1 : application directe de la formule
Exercice 3 (3 questions) Niveau : facile
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Méthode 2 : calcul d’intégrale
Or,
et
. Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux
fonctions,
. Il vient alors que
.
Par conséquent,
Méthode 3 : probabilité d’un événement contraire
L’événement est l’événement contraire de l’événement . Par conséquent, il vient que :
2) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année.
Méthode 1 : application directe de la formule
Méthode 2 : calcul d’intégrale
3) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans.
Méthode 1 : application directe de la formule
Méthode 2 : calcul d’intégrale
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La durée de vie d’un appareil électronique est une variable aléatoire , exprimée en heures, qui suit une loi
exponentielle de paramètre .
1) Quelle est la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de heures au maximum ?
2) En déduire la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins heures.
3) Sachant que la durée de vie de l’appareil a dépassé heures, quelle est la probabilité que sa durée
de vie dépasse heures ?
4) Sachant que l’appareil a fonctionné plus de heures, quelle est la probabilité qu’il tombe en panne
avant heures ?
1) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de heures au maximum.
2) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins heures.
3) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil dépasse heures, sachant qu’elle a
dépassé heures.
Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)
Soit une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient et deux événements tels que .
La probabilité de l’événement sachant l’événement , notée , est définie par :
Rappel : Loi de durée de vie sans vieillissement
Une variable aléatoire positive est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels
et , .
Exercice 4 (4 questions) Niveau : moyen
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Remarque importante (méthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans
vieillissement, on a également :
d’après la question précédente
4) Calculons la probabilité que l’appareil tombe en panne avant heures sachant qu’il a fonctionné
plus de heures.
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La durée moyenne d’une conversation téléphonique de M Lokas est une variable aléatoire qui suit une loi
exponentielle de paramètre quand Mme Piplaite l’appelle et de paramètre sinon. Les trois quarts des
appels destinés à M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du téléphone retentit et une conversation
s’engage. Calculer la probabilité que cette conversation dure plus de cinq minutes.
Soit la variable aléatoire continue égale à la durée de la conversation téléphonique et soit l’événement
« l’appel téléphonique provient de Mme Piplaite ».
Rappel : Formule des probabilités totales
Soit un univers muni d’une probabilité . Soit .
Si les parties , , …, , de probabilités non nulles, constituent une partition de ,
Alors, pour tout événement , on a :
Comme , il vient alors d’après la formule des probabilités totales
puis d’après la formule des probabilités conditionnelles que :
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen
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A) Première partie
Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle telles que leurs dérivées respectives et soient
continues sur . Démontrer que, pour tous nombres réels et de , on a :
B) Deuxième partie
Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ( .
On appelle « espérance de », notée , et « variance de », notée , les réels tels que :
En utilisant le résultat de la première partie, exprimer puis en fonction de .
A) Première partie
Les fonctions et sont dérivables sur . Par conséquent, par produit de fonctions dérivables sur un même
intervalle, la fonction est dérivable sur et (égalité 1).
Par ailleurs, comme est dérivable sur , par théorème, est continue sur . De même, étant dérivables sur
, les fonctions et sont continues sur . Et comme et sont également continues sur , par produit de
fonctions continues sur un même intervalle, les fonctions et sont continues sur .
Ainsi, d’après la propriété de la linéarité de l’intégrale appliquée à l’égalité 1, on a pour tout de :
Or, la fonction est une primitive de la fonction donc :
D’où l’égalité suivante :
Remarque importante : Cette égalité est appelée « intégration par parties ».
Exercice 6 (2 questions) Niveau : difficile
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B) Deuxième partie
Exprimons dans un premier temps en fonction du réel .
Utilisons le résultat de la première partie en posant et , non sans remarquer que est
dérivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur )
et .
Etudions cette limite.
D’une part, on a :
Or,
(car ) et
(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la
limite de la composée de deux fonctions,
.
D’autre part, on a :
Or,
(car ) et
donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de
deux fonctions,
.
Par conséquent, il vient que :
Exprimons dans un second temps en fonction du réel .
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Utilisons le résultat de la première partie en posant et , non sans remarquer que est
dérivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur
) et .
Or, on a établi que :
C’est-à-dire, en divisant par non nul :
Ainsi, on obtient que :
Etudions
.
Or,
(car ) et
(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la
limite de la composée de deux fonctions,
. D’où
.
Finalement, on a :
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suit une loi exponentielle de paramètre .
Déterminer la valeur du réel telle que la probabilité soit égale à
.
suit une loi exponentielle de paramètre . Donc .
Par ailleurs,
. Or, , d’où l’égalité :
.
Posons .
Alors . Et, comme , l’équation
devient
(avec ).
Or, pour tout réel positif non nul,
.
Comme , on a
, c’est-à-dire – . Or,
. Par
conséquent, – , c’est-à-dire .
En conclusion, pour que la probabilité soit égale à
, il faut donc que .
Exercice 7 (1 question) Niveau : moyen
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Une variable aléatoire positive est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels
et , .
1) Montrer qu’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre est sans mémoire.
Pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire, on appelle demi-vie
la durée telle que .
2) Montrer que
.
1) Montrons que, si une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre , alors elle est sans
mémoire.
Pour tous réels et ,
2) Montrons que, si suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire telle que ,
alors
.
Exercice 8 (2 questions) Niveau : facile
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La durée de vie du (carbone 14) suit une loi exponentielle de paramètre . Sa demi-vie est estimée à
années.
1) Evaluer la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.
2) Déterminer tel que .
3) Quelle est approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14 ?
1) Evaluons la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.
Notons tout d’abord la demi-vie de cet élément radioactif. Comme et comme
, on a :
Il s’ensuit que
2) Déterminons tel que .
3) Calculons approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14, notée .
Remarque : La demi-vie du carbone 14 est estimée à années. Cela signifie qu’au bout de années,
il ne restera que la moitié des atomes de carbone 14 initiaux, mais cela ne signifie surtout pas que l’intégralité
de cet élément radioactif aura disparu après années.
Exercice 9 (3 questions) Niveau : facile
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est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre . La courbe ci-après
représente la fonction densité de probabilité associée.
1) Lire graphiquement la valeur de .
2) Calculer .
3) Calculer .
4) En déduire .
1) est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre . Lisons
graphiquement la valeur de .
On sait qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle si sa
densité de probabilité est définie sur par .
est la fonction densité de probabilité représentée par la courbe. Par conséquent, .
On en déduit que est définie sur par .
2) Calculons .
3) Calculons .
4) Déduisons-en .
Remarques :
Il était également possible d’appliquer directement la formule mais,
dans ce cas, la consigne (qui imposait que le résultat soit déduit des résultats précédents) n’aurait pas été
respectée.
Exercice 10 (4 questions) Niveau : facile
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La probabilité est représentée dans un repère orthonormé par l’aire du domaine
vert, situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation respective
et .
En effet,