Probabilités Loi exponentielle Exercices corrigés · Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales Exercice 6 : espérance

Probabilités – Loi exponentielle – Exercices corrigés

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Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : densité de probabilité

Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement)

Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle

Exercice 4 : calcul de probabilité conditionnelle avec la loi exponentielle

Exercice 5 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilités totales

Exercice 6 : espérance et variance d’une variable aléatoire continue

Exercice 7 : calcul de probabilité avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable

Exercice 8 : loi exponentielle sans mémoire et demi-vie

Exercice 9 : durée de vie du carbone 14

Exercice 10 : lecture graphique du paramètre

Remarque préalable : Les lois exponentielles sont souvent utilisées pour modéliser des temps d'attente ou des

durées de vie.

Probabilités – Loi exponentielle

Exercices corrigés



2

Soit un réel non nul et soit la fonction définie sur par .

A quelle(s) condition(s) sur la fonction est-elle une densité de probabilité sur ?

Rappel : Densité de probabilité

Soit un intervalle. On appelle densité de probabilité sur toute fonction continue et positive sur telle que :

Remarque : Pour tous réels et tels que , on a :

Si , alors

Si , alors

Si , alors

1) Etudions tout d’abord la continuité de la fonction sur .

est le produit du réel non nul par la composée de la fonction par la fonction .

Or, est une fonction linéaire, continue sur , et est la fonction exponentielle, également

continue sur . Par conséquent, est continue sur pour tout réel non nul .

2) Etudions désormais la positivité de la fonction sur .

Pour tout , . Ainsi, est positive si et seulement si 0.

3) Etudions enfin

Exercice 1 (1 question) Niveau : moyen

Correction de l’exercice 1 Retour au menu

L’intervalle se note

indifféremment : ,

, ou .



3

Or,

et

.

Donc, d’après le théorème sur la limite de la

composée de deux fonctions, on a :

.

Il s’ensuit que

, c’est-à-dire :

Rappel : Limite de la composée de deux

fonctions

, et désignent des réels, ou . et

sont deux fonctions.

Si

et si

, alors on a :

.

4) Concluons.

De ces 3 résultats, il découle que est une densité de probabilité sur si et seulement si 0.



4

est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle .

Déterminer la fonction densité de probabilité.

Rappel : Loi exponentielle sur

Une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre ( ) sur l’intervalle si sa

densité de probabilité est définie sur par .

Remarque importante : Une loi exponentielle de paramètre est également appelée loi de durée de vie sans

vieillissement.

La variable aléatoire continue suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle .

Ainsi, la fonction densité de probabilité est définie sur par .

Exercice 2 (1 question) Niveau : facile




5

La durée de vie d’un composant est une variable aléatoire , exprimée en jours, qui suit une loi exponentielle

de paramètre .

1) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours ?

2) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année ?

3) Quelle est la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans ?

Rappel : Probabilité d’un événement avec une loi exponentielle

Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre sur .

Pour tout intervalle , on a :

Et, en particulier,

La variable aléatoire , exprimée en jours, suit une loi exponentielle de paramètre . La densité de

probabilité est donc la fonction définie sur par .

1) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant excède trois cents jours.

Méthode 1 : application directe de la formule

Exercice 3 (3 questions) Niveau : facile




6

Méthode 2 : calcul d’intégrale

Or,

et

. Donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de deux

fonctions,

. Il vient alors que

.

Par conséquent,

Méthode 3 : probabilité d’un événement contraire

L’événement est l’événement contraire de l’événement . Par conséquent, il vient que :

2) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit d’au plus une année.



3) Calculons la probabilité que la durée de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans.





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La durée de vie d’un appareil électronique est une variable aléatoire , exprimée en heures, qui suit une loi

exponentielle de paramètre .

1) Quelle est la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de heures au maximum ?

2) En déduire la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins heures.

3) Sachant que la durée de vie de l’appareil a dépassé heures, quelle est la probabilité que sa durée

de vie dépasse heures ?

4) Sachant que l’appareil a fonctionné plus de heures, quelle est la probabilité qu’il tombe en panne

avant heures ?

1) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit de heures au maximum.

2) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil soit d’au moins heures.

3) Calculons la probabilité que la durée de vie de l’appareil dépasse heures, sachant qu’elle a

dépassé heures.

Rappel : Probabilités conditionnelles (conditionnement par un événement)

Soit une loi de probabilité définie sur un ensemble . Soient et deux événements tels que .

La probabilité de l’événement sachant l’événement , notée , est définie par :

Rappel : Loi de durée de vie sans vieillissement

Une variable aléatoire positive est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels

et , .

Exercice 4 (4 questions) Niveau : moyen




8

Remarque importante (méthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de durée de vie sans

vieillissement, on a également :

d’après la question précédente

4) Calculons la probabilité que l’appareil tombe en panne avant heures sachant qu’il a fonctionné

plus de heures.



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La durée moyenne d’une conversation téléphonique de M Lokas est une variable aléatoire qui suit une loi

exponentielle de paramètre quand Mme Piplaite l’appelle et de paramètre sinon. Les trois quarts des

appels destinés à M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du téléphone retentit et une conversation

s’engage. Calculer la probabilité que cette conversation dure plus de cinq minutes.

Soit la variable aléatoire continue égale à la durée de la conversation téléphonique et soit l’événement

« l’appel téléphonique provient de Mme Piplaite ».

Rappel : Formule des probabilités totales

Soit un univers muni d’une probabilité . Soit .

Si les parties , , …, , de probabilités non nulles, constituent une partition de ,

Alors, pour tout événement , on a :

Comme , il vient alors d’après la formule des probabilités totales

puis d’après la formule des probabilités conditionnelles que :





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A) Première partie

Soient et deux fonctions dérivables sur un intervalle telles que leurs dérivées respectives et soient

continues sur . Démontrer que, pour tous nombres réels et de , on a :

B) Deuxième partie

Soit une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre ( .

On appelle « espérance de », notée , et « variance de », notée , les réels tels que :

En utilisant le résultat de la première partie, exprimer puis en fonction de .

A) Première partie

Les fonctions et sont dérivables sur . Par conséquent, par produit de fonctions dérivables sur un même

intervalle, la fonction est dérivable sur et (égalité 1).

Par ailleurs, comme est dérivable sur , par théorème, est continue sur . De même, étant dérivables sur

, les fonctions et sont continues sur . Et comme et sont également continues sur , par produit de

fonctions continues sur un même intervalle, les fonctions et sont continues sur .

Ainsi, d’après la propriété de la linéarité de l’intégrale appliquée à l’égalité 1, on a pour tout de :

Or, la fonction est une primitive de la fonction donc :

D’où l’égalité suivante :

Remarque importante : Cette égalité est appelée « intégration par parties ».

Exercice 6 (2 questions) Niveau : difficile




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B) Deuxième partie

Exprimons dans un premier temps en fonction du réel .

Utilisons le résultat de la première partie en posant et , non sans remarquer que est

dérivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur )

et .

Etudions cette limite.

D’une part, on a :

Or,

(car ) et

(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la

limite de la composée de deux fonctions,

.

D’autre part, on a :

Or,

(car ) et

donc, d’après le théorème sur la limite de la composée de

deux fonctions,

.

Par conséquent, il vient que :

Exprimons dans un second temps en fonction du réel .



12

Utilisons le résultat de la première partie en posant et , non sans remarquer que est

dérivable sur et que est continue sur . Alors, pour tout de , (fonction continue sur

) et .

Or, on a établi que :

C’est-à-dire, en divisant par non nul :

Ainsi, on obtient que :

Etudions

.

Or,

(car ) et

(croissance comparée) donc, d’après le théorème sur la

limite de la composée de deux fonctions,

. D’où

.

Finalement, on a :



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suit une loi exponentielle de paramètre .

Déterminer la valeur du réel telle que la probabilité soit égale à

.

suit une loi exponentielle de paramètre . Donc .

Par ailleurs,

. Or, , d’où l’égalité :

.

Posons .

Alors . Et, comme , l’équation

devient

(avec ).

Or, pour tout réel positif non nul,

.

Comme , on a

, c’est-à-dire – . Or,

. Par

conséquent, – , c’est-à-dire .

En conclusion, pour que la probabilité soit égale à

, il faut donc que .





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Une variable aléatoire positive est dite « sans mémoire » (ou « sans vieillissement ») lorsque, pour tous réels

et , .

1) Montrer qu’une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre est sans mémoire.

Pour une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire, on appelle demi-vie

la durée telle que .

2) Montrer que

.

1) Montrons que, si une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre , alors elle est sans

mémoire.

Pour tous réels et ,

2) Montrons que, si suit une loi exponentielle de paramètre sans mémoire telle que ,

alors

.





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La durée de vie du (carbone 14) suit une loi exponentielle de paramètre . Sa demi-vie est estimée à

années.

1) Evaluer la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.

2) Déterminer tel que .

3) Quelle est approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14 ?

1) Evaluons la probabilité que la durée de vie du carbone 14 soit au maximum de ans.

Notons tout d’abord la demi-vie de cet élément radioactif. Comme et comme

, on a :

Il s’ensuit que

2) Déterminons tel que .

3) Calculons approximativement la durée de vie moyenne du carbone 14, notée .

Remarque : La demi-vie du carbone 14 est estimée à années. Cela signifie qu’au bout de années,

il ne restera que la moitié des atomes de carbone 14 initiaux, mais cela ne signifie surtout pas que l’intégralité

de cet élément radioactif aura disparu après années.





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est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre . La courbe ci-après

représente la fonction densité de probabilité associée.

1) Lire graphiquement la valeur de .

2) Calculer .

3) Calculer .

4) En déduire .

1) est une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre . Lisons

graphiquement la valeur de .

On sait qu’une variable aléatoire suit une loi exponentielle de paramètre sur l’intervalle si sa

densité de probabilité est définie sur par .

est la fonction densité de probabilité représentée par la courbe. Par conséquent, .

On en déduit que est définie sur par .

2) Calculons .

3) Calculons .

4) Déduisons-en .

Remarques :

Il était également possible d’appliquer directement la formule mais,

dans ce cas, la consigne (qui imposait que le résultat soit déduit des résultats précédents) n’aurait pas été

respectée.





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La probabilité est représentée dans un repère orthonormé par l’aire du domaine

vert, situé entre la courbe représentative de , l’axe des abscisses et les droites d’équation respective

et .

En effet,

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