Probabilit©s Loi exponentielle Exercices corrig©s .Exercice 5 : calcul de probabilit© avec la

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  • Probabilits Loi exponentielle Exercices corrigs

    SOS DEVOIRS CORRIGES (marque dpose)

    1

    Sont abords dans cette fiche : (cliquez sur lexercice pour un accs direct)

    Exercice 1 : densit de probabilit

    Exercice 2 : loi exponentielle de paramtre (loi de dure de vie sans vieillissement)

    Exercice 3 : calcul de probabilit dun vnement avec la loi exponentielle

    Exercice 4 : calcul de probabilit conditionnelle avec la loi exponentielle

    Exercice 5 : calcul de probabilit avec la loi exponentielle, utilisant la formule des probabilits totales

    Exercice 6 : esprance et variance dune variable alatoire continue

    Exercice 7 : calcul de probabilit avec la loi exponentielle, en effectuant un changement de variable

    Exercice 8 : loi exponentielle sans mmoire et demi-vie

    Exercice 9 : dure de vie du carbone 14

    Exercice 10 : lecture graphique du paramtre

    Remarque pralable : Les lois exponentielles sont souvent utilises pour modliser des temps d'attente ou des

    dures de vie.

    Probabilits Loi exponentielle

    Exercices corrigs

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    Soit un rel non nul et soit la fonction dfinie sur par .

    A quelle(s) condition(s) sur la fonction est-elle une densit de probabilit sur ?

    Rappel : Densit de probabilit

    Soit un intervalle. On appelle densit de probabilit sur toute fonction continue et positive sur telle que :

    Remarque : Pour tous rels et tels que , on a :

    Si , alors

    Si , alors

    Si , alors

    1) Etudions tout dabord la continuit de la fonction sur .

    est le produit du rel non nul par la compose de la fonction par la fonction .

    Or, est une fonction linaire, continue sur , et est la fonction exponentielle, galement

    continue sur . Par consquent, est continue sur pour tout rel non nul .

    2) Etudions dsormais la positivit de la fonction sur .

    Pour tout , . Ainsi, est positive si et seulement si 0.

    3) Etudions enfin

    Exercice 1 (1 question) Niveau : moyen

    Correction de lexercice 1 Retour au menu

    Lintervalle se note

    indiffremment : ,

    , ou .

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    3

    Or,

    et

    .

    Donc, daprs le thorme sur la limite de la

    compose de deux fonctions, on a :

    .

    Il sensuit que

    , cest--dire :

    Rappel : Limite de la compose de deux

    fonctions

    , et dsignent des rels, ou . et

    sont deux fonctions.

    Si

    et si

    , alors on a :

    .

    4) Concluons.

    De ces 3 rsultats, il dcoule que est une densit de probabilit sur si et seulement si 0.

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    est une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre sur lintervalle .

    Dterminer la fonction densit de probabilit.

    Rappel : Loi exponentielle sur

    Une variable alatoire suit une loi exponentielle de paramtre ( ) sur lintervalle si sa

    densit de probabilit est dfinie sur par .

    Remarque importante : Une loi exponentielle de paramtre est galement appele loi de dure de vie sans

    vieillissement.

    La variable alatoire continue suit une loi exponentielle de paramtre sur lintervalle .

    Ainsi, la fonction densit de probabilit est dfinie sur par .

    Exercice 2 (1 question) Niveau : facile

    Correction de lexercice 2 Retour au menu

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    La dure de vie dun composant est une variable alatoire , exprime en jours, qui suit une loi exponentielle

    de paramtre .

    1) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant excde trois cents jours ?

    2) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant soit dau plus une anne ?

    3) Quelle est la probabilit que la dure de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans ?

    Rappel : Probabilit dun vnement avec une loi exponentielle

    Soit une variable alatoire suivant une loi exponentielle de paramtre sur .

    Pour tout intervalle , on a :

    Et, en particulier,

    La variable alatoire , exprime en jours, suit une loi exponentielle de paramtre . La densit de

    probabilit est donc la fonction dfinie sur par .

    1) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant excde trois cents jours.

    Mthode 1 : application directe de la formule

    Exercice 3 (3 questions) Niveau : facile

    Correction de lexercice 3 Retour au menu

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    Mthode 2 : calcul dintgrale

    Or,

    et

    . Donc, daprs le thorme sur la limite de la compose de deux

    fonctions,

    . Il vient alors que

    .

    Par consquent,

    Mthode 3 : probabilit dun vnement contraire

    Lvnement est lvnement contraire de lvnement . Par consquent, il vient que :

    2) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant soit dau plus une anne.

    Mthode 1 : application directe de la formule

    Mthode 2 : calcul dintgrale

    3) Calculons la probabilit que la dure de vie du composant soit comprise entre deux et trois ans.

    Mthode 1 : application directe de la formule

    Mthode 2 : calcul dintgrale

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    La dure de vie dun appareil lectronique est une variable alatoire , exprime en heures, qui suit une loi

    exponentielle de paramtre .

    1) Quelle est la probabilit que la dure de vie de lappareil soit de heures au maximum ?

    2) En dduire la probabilit que la dure de vie de lappareil soit dau moins heures.

    3) Sachant que la dure de vie de lappareil a dpass heures, quelle est la probabilit que sa dure

    de vie dpasse heures ?

    4) Sachant que lappareil a fonctionn plus de heures, quelle est la probabilit quil tombe en panne

    avant heures ?

    1) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil soit de heures au maximum.

    2) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil soit dau moins heures.

    3) Calculons la probabilit que la dure de vie de lappareil dpasse heures, sachant quelle a

    dpass heures.

    Rappel : Probabilits conditionnelles (conditionnement par un vnement)

    Soit une loi de probabilit dfinie sur un ensemble . Soient et deux vnements tels que .

    La probabilit de lvnement sachant lvnement , note , est dfinie par :

    Rappel : Loi de dure de vie sans vieillissement

    Une variable alatoire positive est dite sans mmoire (ou sans vieillissement ) lorsque, pour tous rels

    et , .

    Exercice 4 (4 questions) Niveau : moyen

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    Remarque importante (mthode 2) : Comme une loi exponentielle est une loi de dure de vie sans

    vieillissement, on a galement :

    daprs la question prcdente

    4) Calculons la probabilit que lappareil tombe en panne avant heures sachant quil a fonctionn

    plus de heures.

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    La dure moyenne dune conversation tlphonique de M Lokas est une variable alatoire qui suit une loi

    exponentielle de paramtre quand Mme Piplaite lappelle et de paramtre sinon. Les trois quarts des

    appels destins M Lokas proviennent de Mme Piplaite. La sonnerie du tlphone retentit et une conversation

    sengage. Calculer la probabilit que cette conversation dure plus de cinq minutes.

    Soit la variable alatoire continue gale la dure de la conversation tlphonique et soit lvnement

    lappel tlphonique provient de Mme Piplaite .

    Rappel : Formule des probabilits totales

    Soit un univers muni dune probabilit . Soit .

    Si les parties , , , , de probabilits non nulles, constituent une partition de ,

    Alors, pour tout vnement , on a :

    Comme , il vient alors daprs la formule des probabilits totales

    puis daprs la formule des probabilits conditionnelles que :

    Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen

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    A) Premire partie

    Soient et deux fonctions drivables sur un intervalle telles que leurs drives respectives et soient

    continues sur . Dm