1Tema 6. Anlisis de Circuitos en Rgimen Sinusoidal Permanente
6.1 Introduccin
6.2 Fuentes sinusoidales
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
6.4 Fasores
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C
6.6 Impedancia y admitancia
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores
6.8 Potencia instantnea y potencia media
6.9 Mxima transferencia de potencia media. Adaptacin conjugada
V
I A
B
ThZ
ThV LZ
Jos A. Pereda, Dpto. Ing. de Comunicaciones, Universidad de Cantabria.
2Bibliografa Bsica para este Tema:
[1] C. K. Alexander, M. N. O. Sadiku, Fundamentos de circuitoselctricos, 3 ed., McGraw-Hill, 2006.
[2] R. C. Dorf, J. A. Svoboda, Introduction to electric circuits,7th ed., John Wiley & Sons, 2006.
Sadiku Temas 9, 10 y 11Dorf Tema 10 y 11
http://personales.unican.es/peredaj/AC.htm
- Esta presentacin se encuentra, temporalmente, en:
36.1 Introduccin- En este tema estudiaremos la respuesta de circuitos con fuentes
sinusoidales
- Una seal sinusoidal es aquella que se expresa matemticamentemediante una funcin seno o coseno
- Las fuentes de tensin/corriente sinusoidales tambin se denominanfuentes de tensin/corriente alterna
- Los circuitos excitados por fuentes sinusoidales se denominancircuitos de corriente alterna (circuitos de AC)
- En el mundo de la electrnica y las telecomunicaciones las sealessinusoidales son muy importantes, ya que son seales fciles degenerar y transmitir
- Adems, mediante el Anlisis de Fourier, una seal peridica puedeexpresarse mediante una suma de seales sinusoidales.
46.1 Introduccin
- En este tema abordaremos slo el estudio del estado estacionario(respuesta permanente)
- Una fuente sinusoidal produce tanto respuesta transitoria comoestacionaria
- La respuesta transitoria se extingue con el tiempo. En consecuencia,un tiempo despus de haber encendido las fuentes, slo tenemosen el circuito la respuesta estacionaria.
5- : argumento o fase [rad] o [grados]
6.2 Fuentes sinusoidales- Consideramos la tensin: )sin()( tVtv m
mVt
- : amplitud de pico
- : frecuencia angular [rad/s]
)sin()( tVtv m
- Son funciones que se repiten cada con n enteron 2
66.2 Fuentes sinusoidales
)sin()( tVtv m - Si representamos v(t) frente a t:
- La seal se repite cada entero con nnTt - El intervalo de tiempo T se denomina periodo y vale
2T
)()sin()2sin( ))(sin())(sin()( 2
tvtVntVntVnTtVnTtv
mm
mm
)()( tvnTtv
76.2 Fuentes sinusoidales
- El inverso del periodo se denomina frecuencia f: T
f 1
fT
22 - Entonces:
- Normalmente la frecuencia angular se mide en rad/sy la frecuencia en hercios -> Hz
)sin()( 0 tVtv m- La forma ms general de la senoide es:siendo la fase inicial [rad]0
81. --> est adelantada (ver dibujo)
6.2 Fuentes sinusoidales
- Comparando las seales y)sin()(1 tVtv m )sin()( 02 tVtv m- Si las seales estn desfasadas00
00 )(2 tv2. --> est atrasada00 )(2 tv
96.2 Fuentes sinusoidales- Una sinusoide puede expresarse empleando tanto las funciones seno
como coseno
- Basta tener en cuenta las identidades:
)sin()cos()cos()sin()sin( ABBABA )sin()sin()cos()cos()cos( BABABA
)cos()cos()sin( 22 )sin()sin()cos( 22
- Tambin son de inters las siguientes igualdades:
10
-Ejemplo 1: Determinar la amplitud, fase inicial, periodo y frecuencia de la sinusoide A&S-3 Ej 9.1)1050cos(12)( ttv
- Fase inicial: V 12mV
rad/s 50
- Amplitud:
- Frecuencia angular:
Solucin:
100
- Periodo:
- Comparamos la sinusoide del enunciado con la forma general
)cos()( 0 tVtv m
s 0.1265022
T- Frecuencia:
Hz 958.72
f
11
-Ejemplo 2: Calcular el ngulo de desfase entre las tensionesy
A&S-3 Ej 9.2
)50cos(10)(1 ttv
Solucin:
)10sin(12)(2 ttv
- Para comparar 2 sinusoides debemos expresarlas mediante la misma funcin matemtica (por ejemplo el coseno) y ambas con amplitud positiva
)230cos(10 )18050cos(10
)50cos(10)(1
tt
ttv
)260cos(12 )27010cos(12
)10sin(12)(2
tt
ttv
- se adelanta 30)(2 tv
50
10
12
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable- Consideramos un circuito RL con una
fuente de tensin sinusoidal:
R
)( S tv L)(ti)cos()( S tVtv m - Aplicamos la KVL a la malla:
)cos(dd tVRiti L m
(con A y B ctes a determinar)
- En un circuito lineal todas las tensiones y corrientes en estado establetienen la misma frecuencia que la fuente, por tanto:
)cos()( 0 tIti m- Conviene expresar i(t) en la forma:
)sin()cos()]sin()sin()cos()[cos()( 00 tBtAttIti m
(con y ctes a determinar)
?)(ti
mI 0
13
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
- Igualamos los coefs. en coseno:
- Para calcular A y B, sustituimos en la ec. diferencial:)(ti
)cos()sin()cos()cos()sin( tVtBtARtBtA L m mVRALB
- Igualamos los coefs. en seno: 0 RBLA- Resolviendo para A y B: 22 LR
RVA m 22 LRLVB m
)cos( 0mIA )sin( 0mIB
AB /tan 10 22 BAIm
- La relacin entre los dos conjuntos de incgnitas es:
)cos(dd tVRiti L m
- Resulta:
14
6.3 Respuesta sinusoidal en estado estable
- En este problema hemos calculado la respuesta en estado estacionariode un circuito con un nico elemento de almacenaje (la autoinduccin)
- Para circuitos con varios elementos de almacenaje, el mtodo declculo empleado (solucin directa en el dominio del tiempo) secomplica mucho
- Una alternativa ms sencilla pasa por introducir el concepto de fasorque veremos en el apartado siguiente
22 LRVI mm RL /tan 10 AB /tan 10
22 BAIm
- La solucin para y es: mI 0
15
6.4 Fasores- Las seales sinusoidales pueden representarse fcilmente mediantefasores
Un fasor es un nmero complejo que representa la amplitud y lafase de una seal sinusoidal
- Los fasores permiten analizar de forma sencilla circuitos linealesexcitados por fuentes sinusoidales
- La idea de la representacin fasorial se basa en la identidad de Euler:
sincos je j 1con j- Se observa que: je Recos
je Imsin
16
6.4 Fasores- Dada una seal sinusoidal )cos()( tVtv m- Se observa que )(Re)cos()( tjmm eVtVtv- luego tjjm eeVtv Re)( - alternativamente tjetv VRe)(
- V es la representacin fasorial de la seal sinusoidal v(t)
V jmeV- donde
- Un fasor es una representacin compleja de la magnitud y fase deuna seal sinusoidal de frecuencia conocida
- Cuando expresamos una seal sinusoidal mediante un fasor,el trmino est implcitamente presentetje
V mV
17
6.4 Fasores- Entonces, tenemos dos formas de representar una seal sinusoidal:
Dominio del tiempo Dominio de fasorial(o dominio de la frecuencia)
)cos()( tVtv m V jmeV
- Clculo de v(t) conocido V: se multiplica el fasor V por el factor detiempo y se toma la parte real
tjetv VRe)( tje
- Clculo de V conocido v(t): se expresa v(t) como un coseno y se formael fasor a partir de la amplitud y la fase de la senoide
V jmeV)cos()( tVtv m
-Ejemplo 3: Calcular la suma de las corrientes e
A&S-3 Ej 9.6
)30cos(4)(1 tti
Solucin:
)20sin(5)(2 tti
- Realizaremos la suma en el dominio de la frecuencia
)30cos(4)(1 tti )27020cos(5)20sin(5)(2 ttti
301 4I
je250
2 5Ije
20
A 3.218j2.699 1.75454III 56.982503021jjj eee
- En el dominio del tiempo resulta
A 3.218I 56.98jeA )56.98cos( 3.218
]3.218Re[]IRe[)( )56.98(
teeti tjtj
19
6.4 Fasores
- Derivacin:
- Integracin:
)cos()( tVtv m
- En el dominio del tiempo
)cos()sin(dd
2 tVtV
tv
mm
V V
2 jeVjeV jmjm - Representacin fasorial del resultado:- Luego
- Suponemos
V d
)(d jttv dominiodel tiempo dominio dela frecuencia
- Anlogamente
V d)( jttv dominiodel tiempo dominio dela frecuencia
20
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- En este apartado veremos como expresar la relacin V-I de
R, L y C en el dominio de la frecuencia- Resistencia:
v
i R
V
I RDominio temporal Dominio frecuencial
)cos( tIi m- Suponemos
- Ley de Ohm: Riv )cos( tRIRiv m
I jmeI
V jmeRI
IV RLey de Ohm
- En una resistencia, la tensin y la corriente estn en fase!
21
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Resistencia:
- Diagrama fasorial para la resistencia
V
I R
V jmeRI I jmeI
- En una resistencia, la tensin y la corriente estn en fase!
22
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Bobina:
Dominio temporal Dominio frecuencial
)cos( tIi m- Suponemos
- Relacin v-i:
I jmeI
V )( 2 jmeLI
- La tensin est adelantada respecto de la corriente en 90
v
i L
V
I L
tiLv
dd
)sin(dd tLItiLv m
)cos( 2 tLIv m V jmeLIj
IV Lj
23
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Bobina:
- Diagrama fasorial para la bobina
V
I L
V )( 2 jmeLI
I jmeI
- La tensin est adelantada respecto de la corriente en 90
24
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Condensador:
Dominio temporal Dominio frecuencial
)cos( tVv m- Suponemos
- Relacin v-i:
V jmeVVI Cj d
d tvCi
v
i C
V
I C
)sin(dd tCV
tvCi m
- La tensin est retrasada respecto de la corriente en 90
I jmeCVj)cos( 2 tCVi m
I )( 2 jmeCV I1V Cj
25
6.5 Relaciones fasoriales para R, L y C- Condensador:
- Diagrama fasorial para el condensador
V
I C
V jmeV I )( 2
jmeCV
- La tensin est retrasada respecto de la corriente en 90
26
6.6 Impedancia y admitancia- En el apartado anterior hemos obtenido la relacin tensin-corriente
en el dominio de la frecuencia para R, L y C:
- Estas expresiones recuerdan a la ley de Ohm (son relaciones V/I algebraicas)
I1V Cj IV Lj IV R
La impedancia Z de elemento de circuito es el cociente entre latensin fasorial V y la corriente fasorial I
- Definicin de impedancia:
- Matemticamente:
V
I Z
IV Z
- Se mide en Ohmios- La impedancia NO es un fasor!
27
6.6 Impedancia y admitancia- Impedancia para los elementos R, L y C vale:
Cj
CjC 1ZLjL ZRR Z
- La impedancia es una funcin compleja de la frecuencia.- En general:
XRZ j- La parte real de la impedancia se denomina resistencia R
reales)son X ,(R
- La parte imaginaria de la impedancia se denomina reactancia X- Si X > 0 se dice que la reactancia es inductiva- Si X < 0 se dice que la reactancia es capacitiva
- En los circuitos de AC la impedancia juega un papel anlogo a laresistencia en los circuitos de DC
28
6.6 Impedancia y admitancia- A veces resulta til trabajar con el inverso de la impedancia,
conocido como admitancia Y:
Z1Y
- Se mide en Siemens (S) o mhos
- En general, la admitancia es una funcin compleja de la frecuencia:
BGY j- La parte real de Y se denomina conductancia G
reales)son B ,(G
- La parte imaginaria de Y se denomina susceptancia B
29
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial
Las leyes de Kirchhoff son vlidas en el dominio de la frecuencia,donde deben expresarse en forma fasorial
0 V1
M
mm 0 I
1
N
nn
- En consecuencia, todas las tcnicas de anlisis estudiadas paracircuitos de continua pueden extenderse directamente al caso de circuitos de alterna simplemente empleando fasores.
- Como ejemplo consideramos el circuito RL analizado previamente enel dominio del tiempo
30
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.1 Leyes de Kirchhoff en el dominio frecuencial
- Volvemos al circuito RL con una fuente de tensinsinusoidal:
)cos()( S tVtv m - Aplicamos la KVL a la malla y resolvemos:
IIVS LR ZZ
0SV
jmeV
R
LISV
RR ZLjL Z
jmm
eZV
LjRV
||I
222|| LRZ RL /tan 1
0
||I jm e
ZV 0con
- En el dominio del tiempo:
)( 00||
Re||
Re]IRe[)( tjmtjjmtj eZ
VeeZ
Veti
)cos(||
)( 0 tZVti m
- Hemos obtenido i(t) de forma mucho ms sencilla que resolviendodirectamente en el dominio del tiempo !!
31
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.2 Asociacin de impedancias- Asociacin de impedancias en serie:
N
nnN
121eq ZZZZZ
V 1V
I1Z
2V A
B
2Z
NV NZ
A
B
eqZ
V
I
32
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.2 Asociacin de impedancias- Asociacin de impedancias en paralelo:
N
n nN 121eq Z1
Z1
Z1
Z1
Z1
N
nnN
121eq YYYYY
1IV
IA
B
NZ1Z
2Z
2I NI
A
B
eqZ
V
I
Z1Y
nn
33
-Ejemplo 4: Calcular la impedancia de entrada del circuito de la figura suponiendo que funciona a = 50 rad/s A&S-3 Ej 9.10
34
Solucin:
1Z
3Z2Zin Z
1010250
1Z 31 jj
Cj 2310503
13Z 22 jj
Cj 1082.0508Z 23 jjLjR
811)108()23( 10
ZZZZZ)Z||Z(Z Z
32
321321in
jjjj
07.1122.3 Zin j- Operando
35
-Ejemplo 5: Determinar v0(t) en circuito de la figura. A&S-3 Ej 9.11
36
Solucin:
- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia
)154cos(20)( S ttv 15|20VS rad/s 4
25
101041Z 3
j
jCjC mF 10
H 5 2054Z jjLjL
- Fuente:
- Condensador:
- Bobina:
37
- Asociamos las impedancias en paralelo:
10020252025
ZZZZZ||ZZ2
jjjjj
CL
CLCL
V 15.1762.11620100
)20(62.116
100)20(10060
100VZZ
ZV
96.15)04.591590(
1504.59
9015
21
20
jj
jj
jj
S
ee
ee
eej
j
V )96.154cos(17.15)( 0 ttv
60Z1
CL Z||ZZ2 SV 0V
- Aplicando la frmula del divisor de tensin:
tjetv 00 VRe)(
38
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.3 Anlisis de nudos y de mallas
- La resolucin de circuitos de alterna puede hacerse segn los siguientes pasos:
1- Se transforma el circuito del dominio del tiempo al dominio fasorial (o de la frecuencia)
2- Se resuelve el circuito aplicando las tcnicas estudiadas enlos temas 1-3 (anlisis de nudos, anlisis de mallas,superposicin, etc)
3- Se transforma la solucin obtenida al dominio del tiempo
- A continuacin veremos algn ejemplo de anlisis nodal y de mallas.
39
- Ejemplo 5: Determinar ix en el circuito de la figura utilizando anlisis nodal. A&S-3 Ej 10.1
40
Solucin:
- En primer lugar transformamos el circuito al dominio de la frecuencia
)04cos(20 t 0|20 rad/s 4H 1 414 jjLj H .50 25.04 jjLj
5.2
1.041 jjCjF .10
Circuito problema en el dominio de la frecuencia
41
- Resolvemos en el dominiode la frecuencia medianteanlisis de nudos
- Nudo 1:
4VV
5.2V
10V20 2111
jj
- Nudo 2:
2V
4VV2 221
jjI x
V 97.18618V 43.181je + j
V 91.1344213V 3.1982je.j.
5.2VI 1jx
- Se obtiene el siguiente sistema:
- Cuya solucin es:
- Entonces:
A 59.77.2+ 2.4 5.2
VI 4.1081 jx ejj
- En el dominio temporal:
A )4.1084cos(59.7)( ttix20V5.2V)5.11( 21 jj0V151V1 21
tjxx eti IRe)(
42
- Ejemplo 6: Calcular I0 en el circuito de la figura aplicando anlisis de mallas. A&S-3 Ej 10.3
43
Solucin:
- Malla 1:
- Malla 2:
- Malla 3:A 5I3
0)2)(II(10)II(I8 21311 jj
0204I)2)(II()2)(II( 9023212 jejj
- Se obtiene el siguiente sistema:
50I2I)88( 21 jjj 30I)44(2I 21 jjj
A 12.6I 22.352je
- Resolviendo:
A12.6 12.6
12.6II
38.144
18022.35
22.3520
j
j
j
ee
e
- Luego,
44
6.7 Anlisis de circuitos mediante fasores6.7.4 Circuitos equivalentes de Thevenin y de Norton
circuito linealde dos
terminales
A
B
A
B
Th ZThV
Circuito original
Equivalente de Thevenin
A
B
N ZNI
Equivalente de Norton
ThN ZZ NThTh IZV
- Los teoremas de Thevenin y Norton se aplican a los circuitos dealterna de forma anloga a como se hace en los de continua
45
6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia instantnea:- Segn se defini en el Tema 1, la potencia absorbida o suministrada
por un elemento es el producto de la tensin entre los extremos delelemento por la corriente que pasa a travs de l
vi
)()()( titvtp - La potencia instantnea p(t) representa la potencia para cualquier
instante de tiempo t- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente.
46
6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia instantnea en estado sinusoidal permanente:- Supongamos un circuito en estado sinusoidal permanente- La tensin y la corriente en los terminales del circuito sern de la
forma:
)cos()( im tIti )cos()( vm tVtv
- La potencia instantnea vale
)cos()cos()()()( ivmm ttIVtitvtp - Aplicando la identidad: )cos()cos()cos()cos( 21 BABABA - resulta
fuentesinusoidal
red linealpasiva)( tv
)(ti
)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp
47
6.8 Potencia instantnea y potencia media- La potencia instantnea tiene dos partes:
)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp parte constante parte dependiente del tiempo
- La parte constante depende de la diferencia de fases- La parte temporal tiene frecuencia doble, 2 - p(t) es positiva parte del ciclo y negativa la otra parte
- Si p(t) > 0, el circuito absorbe potencia- Si p(t) < 0, la fuente absorbe potencia
48
6.8 Potencia instantnea y potencia media- Potencia media:- La potencia instantnea cambia con el tiempo, por tanto es difcil de
medir. - Definicin de potencia media
Es el promedio de la potencia instantnea a lo largo de un periodo
d)(1 0 T ttpTP
- Matemticamente:
- En el laboratorio la potencia media se mide con el vatmetro - Recordando que la potencia instantnea vale
)2cos()cos()( 2121 ivmmivmm tIVIVtp - y sustituyendo en la definicin de P, se obtiene
T ivmmT ivmm ttIVTtIVTP 0 210 21 d)2cos(1d)cos(1
49
6.8 Potencia instantnea y potencia media- Integrando
T ivTmmTTivmm ttIVtIVP 01210121 d)2cos(d)cos( 1 0
- queda )cos(21 ivmmIVP - expresin que no depende del tiempo
-Tambin se puede calcular la potencia media a partir de los fasores tensin y corriente )cos()( vm tVtv V vjmeV
)cos()( im tIti I ijmeI - Se observa que
)sin()cos( VI
21
21
21*
21
ivivmm
jmm
jm
jm
jIVeIVeIeV iviv
- Entonces )cos(VIRe 21*21 ivmmIVP
50
6.8 Potencia instantnea y potencia media- Consideramos 2 casos particulares de inters:
1. Circuito puramente resistivo (R): iv 0|I| )cos( 221
221
21
21 RRIIVIVP mmmivmm
- La potencia media para un circuito resistivo essiempre positiva (absorbe energa)
2. Circuito puramente reactivo (L o C): 2 iv
0)cos( )cos( 22121 mmivmm IVIVP- La potencia media para un circuito puramente reactivo es
siempre nula (no absorbe energa)
51
- Ejemplo 7: En el circuito de la figura, calcular las potencias mediassuministrada por la fuente y disipada por la resistencia A&S-3 Ej 11.3
52
Solucin:
*ff21f IVRe P *RR21R IVRe P- Para calcular las potencias medias
emplearemos las frmulas fasoriales:
- Comenzamos calculando la corriente:
A 118.1??24
5ZVIII 57.56
30
Rfj
j
ej
e V 5V 30f
je
- La potencia media suministrada por la fuente vale:
W5.2)57262.795cos(59.5Re
118.15ReIVRe 57.26
21
57.563021*
ff21
f
.e
eePj
jj
- La tensin en la resistencia vale:V 472.4118.14IV 57.5657.56fR
jj eeR - La potencia media disipada en la resistencia es:
W5.2118.1472.4ReIVRe 57.5657.5621*RR21R jj eeP
53
6.9 Mxima transferencia de potencia media. Adaptacin conjugada
circuito linealde dos
terminalesV
I A
B
LZ V
I A
B
ThZ
ThV LZ
- En este apartado vamos a generalizar al caso de circuitos de alterna, el teorema de mxima transferencia de potencia visto en el tema 3:
En condiciones de circuito fuente fijo y carga variable, la transferencia de potencia media a la carga es mxima cuando la impedancia de carga ZL es igual al complejo conjugado de la impedancia del equivalente Thevenin del circuito fuente ZTh
Z Z *Thmax LPP
54
8|V|
Th
2Th
max RP
6.9 Mxima transferencia de potencia media. Adaptacin conjugada
V
I A
B
ThZ
ThV LZ
- Demostracin- Partimos del equivalente Thevenin
del circuito fuente
LZZVI
Th
Th
- Para encontrar el mximo derivamos e igualamos a cero:
; 0P ThXXX LL
- La potencia media mxima resulta:
2Th
2Th
2Th2
21
)()(2/|V||I|
LL
LL XXRR
RRP LLL jR X Z
ThThTh X Z jR
2Th
2Th )( 0
P LLL
XXRRR
- Resulta:
Th XX L Th RRL *
ThZZ L (Adaptacin Conjugada)
55
-Ejemplo 8: Determinar la impedancia de carga ZL que maximiza la potencia media absorbida del circuito. Cunto vale dicha potencia mxima? A&S-3 Ej 11.3
56
Solucin:
- Comenzaremos calculando el equivalentede Thevenin del circuito fuente
- Impedancia de entrada:
467.4933.2 5)jsin(10.31)31.10cos(2.983
52.983
5416.13
40
5684)68(4
5)]68(||4[ Z
31.10
57.26
87.36
Th
jj
je
je
e
jjj
jj
j
j
j
57
- Tensin de Thevenin:- Por divisin de tensin
V 45.7416.13
100
10684
68V
31.1057.26
87.36
Th
jj
j
ee
ej
j
47.499.2ZTh j
ThV LZ- La impedancia de carga deber ser:
47.493.2ZZ *Th jL
W37.293.28)45.7(
8|V| 2
Th
2Th
max RP
- Para esta impedancia de carga, la potencia media disipada es:
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