Agosto 2011 Agosto 2011
Posición ?
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Introducción
El análisis cinemático directo
nos permite determinar en donde se encuentra el elemento terminal
del robot (mano) si se conoce la posición de todas las articulaciones.
45
50
15
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Introducción
Mientras que el análisis cinemático inverso nos permite
calcular la posición que deben de tener todas las articulaciones si
queremos que la mano se localice en un punto y orientación en
particular.
?
?
?
herramienta
(50,30,120)
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Introducción Un robot manipulador puede ser modelado como una cadena de eslabones. Los eslabones son conectados unos con otros por articulaciones. Por lo general, los robot tienen dos tipos de articulaciones: de rotación y prismáticas.
Eslabón
Articulación
Herramienta
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Introducción
Eslabón
Articulación
Herramienta
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Dados dos vectores y y sea el ángulo que forman. EL producto punto entre dos vectores es:
Productos punto (o producto escalar)
a b
cosa b a b
Y puede ser utilizado para representar una relación de la proyección de las magnitudes de ambos vectores. Y se usara mas adelante como herramienta para el análisis cinemático directo.
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Productos punto (o producto escalar)
0
45
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3 90
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Productos punto (o producto escalar)
Si la magnitud en ambos vectores a y b es unitaria, entonces el producto punto se reduce a :
?
cosa b
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Sistemas coordenados
Productos punto (o producto escalar)
Dos vectores a y b son ortogonales entre si, si su producto punto es igual a:
?
cos 0a b
90
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Productos punto (o producto escalar)
Un sistema coordenado ortogonal cuyos vectores tienen magnitud unitaria se denota como un sistema coordenado ortonormal:
1x
2x
3x
sistema coordenado ortonormal X en R3
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Productos punto (o producto escalar)
n
X
xp
xp
xp
p
2
1
Las coordenadas de un punto p respecto a un sistema coordenado ortonormal X en Rn esta denotado por [p]x, y están dadas por:
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
Sean M={m1,m2,m3} y F={f1,f2,f3} dos sistemas coordenados ortonormales móvil y fijo, respectivamente. Los cuales están fijos a los prismas mostrados en la siguiente figura. El sistema móvil M, esta fijo al prisma superior, mientras que F esta fijo al prisma inferior. Los sistemas son inicialmente coincidentes. Las coordenadas del punto p con respecto al sistema fijo F cambiaran si el prisma gira.
1m
3m
1f
2f
3fp
2m
1.4
0.40.6
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
1m
3m
1f
2f
3fp
2m
1.4
0.40.6
Las coordenadas del punto p respecto del sistema móvil M son :
1 2 3 0.4 0.6 1.4M T T
p p m p m p m
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
2m
1m
3m
1f
2f
3fp
2m
1.4
0.40.6
Si rotamos el prisma superior respecto de f3 en un ángulo de 90o , los sistemas coordenados resultan como se muestra en la Figura
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
El problema es encontrar las coordenadas del punto p respecto del sistema fijo [p]f después de la rotación. Si podemos encontrar una expresión que mapee el sistema coordenado móvil respecto del sistema coordenado fijo, podemos entonces multiplicar esta expresión por las coordenadas del punto p respecto del sistema móvil, resultando las coordenadas del punto p respecto del sistema fijo. Las columnas de la matriz A contienen la alineación de cada vector del sistema coordenado móvil respecto de los vectores del sistema coordenado fijo.
332313
322212
312111
mfmfmf
mfmfmf
mfmfmf
A
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
Usando entonces la matriz A, tenemos:
MFpAp
Usando la formula del producto punto para vectores unitarios y sustituyendo valores, tenemos las coordenadas resultantes del punto p respecto del sistema fijo
cos(90) cos(0) cos(90) 0.4 0 1 0 0.4 0.6
cos(180) cos(90) cos(90) 0.6 1 0 0 0.6 0.4
cos(90) cos(90) cos(0) 1.4 0 0 1 1.4 1.4
Fp
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
Podemos entonces usar la matriz A para mapear al sistema móvil respecto del fijo después de realizar transformaciones sobre cualquiera de los ejes del sistema fijo. Las transformaciones pueden ser rotaciones o translaciones, las siguientes secciones analizan por separado cada transformación.
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Sistemas coordenados móviles y fijos
Ejemplo 1: Suponga que las coordenadas del punto p con respecto al sistema móvil son [p]M=[0.6 0.5 1.4]T . ¿Cuáles son las coordenadas del punto p con respecto al sistema fijo F con los planos como se muestran a continuación?, compruebe su resultado gráficamente.
0.5 0.6 1.4F T
p
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Traslación
Si un sistema móvil se mueve en el espacio sin cambiar su orientación, la transformación consiste solo en una traslación. Estas traslaciones son denotadas por
1 2 3( , , )f f fTran p p p
Donde pf1, pf2 y pf3 son los tres componentes del vector de traslación P con respecto a los ejes f1, f2 y f3 del sistema fijo. Y es mostrado gráficamente a continuación:
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Traslación
Ya que el sistema móvil no cambia su orientación, la matriz de traslación queda definida por:
1
2
3
f
f
f
p
Tran p p
p
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Una rotación fundamental consiste de una rotación simple del sistema móvil respecto del sistema fijo. Estas rotaciones fundamentales son denotadas por :
( , )kRot f
Donde φ representa el ángulo de rotación dado en radianes y fk denota el eje sobre el cual se realiza la transformación. En el espacio R3 existen 3 posibles rotaciones:
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
De esta manera una rotación fundamental del sistema coordenado móvil sobre el eje f1 del sistema fijo se denota por :
),( 1fRot
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Si usamos la matriz A, la rotación fundamental sobre f1 queda definida por
cos2
cos2
cos
2coscos
2cos
2cos
2cos)0cos(
),( 1fRot
Simplificando, resulta
cos0
cos0
001
),( 1
sen
senfRot
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Procediendo de manera similar, la rotación fundamental sobre f2 se denota por
),( 2fRot
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Aplicando de nuevo la matriz A y simplificando, la rotación fundamental sobre f2 se define por
cos0
010
0cos
),( 2
sen
sen
fRot
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Procediendo de manera similar, la rotación fundamental sobre f3 se denota por
),( 3fRot
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Transformación de sistemas coordenados: Rotación
Aplicando de nuevo la matriz A y simplificando, la rotación fundamental sobre f3 se define por
3
cos 0
( , ) cos 0
0 0 1
sen
Rot f sen
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Coordenada homogéneas
Para poder realizar tanto rotaciones como translaciones con una sola matriz de transformación es necesario aumentar la dimensión de dicha matriz para incluir ambas operaciones. La matriz de transformación homogénea se puede definir por:
( , )kRot f pT
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Sistemas coordenados
Coordenada homogéneas
Donde fk es la matriz de rotación fundamental, p es el vector de translación, η es un vector de perspectiva (para nuestro caso η=[0 0 0] ), σ es un factor de escalamiento que usualmente se maneja igual a uno (σ=1 ). De esta manera, cuando se ha de realizar una traslación simple, la matriz de rotación fundamental se iguala a una matriz identidad, y cuando se trate de una rotación simple, el vector de traslación se iguala a ceros.
1
2
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0 1
p
pTran p
p
0
( , ) 0,
0
0 0 0 1
kRot iRot k
Algoritmo : Transformaciones homogéneas compuestas
1. Inicializar la matriz de transformación T=I, que corresponde a los sistemas coordenados fijo y móvil, originalmente coincidentes.
2. Representar rotaciones y translaciones usando matrices de transformación homogéneas independientes.
3. Si el sistema coordenado móvil M es rotado o trasladado a lo largo de un vector del sistema coordenado fijo F, premultiplicar (por la izquierda) la matriz de
transformación T por la matriz de rotación o translación fundamental apropiada.
4. Si el sistema coordenado móvil M es rotado o trasladado a lo largo de uno de sus propios vectores, postmultiplicar (por la derecha) la matriz de transformación
T por la matriz de rotación o translación fundamental apropiada.
5. Si hay más rotaciones o translaciones fundamentales a realizar, ir al paso 3; de otra manera, parar. La matriz de transformación homogénea compuesta T , mapea al sistema coordenado móvil M respecto del sistema coordenado fijo F.
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2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
Ejemplo 2: Sean y dos sistemas coordenados fijo y móvil, respectivamente, y originalmente coincidentes. Suponga que trasladamos M a lo largo de f2 en 3 unidades, y después rotamos M sobre f3 en π radianes. Encontrar después de la transformación compuesta.
Inicializar la matriz de transformación T=I
Si M es rotado o trasladado a lo largo de un vector del F, premultiplicar por la matriz de rotación o translación
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2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
f3
f2
f1
m3
m2
m3
m2
m1
m1
3 2 1
-1 -2 -3
-1
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2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
Ejemplo 3: Para mostrar el efecto del orden en las transformaciones invertimos el orden en estas, suponga entonces que primero rotamos M sobre f3 en π radianes, y después trasladamos M a lo largo de f2 en 3 unidades. Encontrar después de la transformación compuesta.
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3
cos 0
( , ) cos 0
0 0 1
sen
Rot f sen
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
m3
m1
m2
m3 m1
m2
f2
f1
f3
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2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Transformación homogénea inversa Si tenemos una matriz de transformación homogénea T con rotación y traslación que mapea el sistema móvil M respecto del sistema fijo F, la matriz homogénea inversa que mapea el sistema fijo F respecto del sistema móvil M esta dada por
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Transformaciones Tornillo Ciertas transformaciones homogéneas compuestas aparecen repetidamente en aplicaciones de robótica. Una es un desplazamiento lineal a lo largo de un eje combinado con un desplazamiento angular sobre el mismo eje. Este tipo de movimiento corresponde a una operación de roscado o desenroscado, y por tanto se denomina transformación tornillo. Transformación Tornillo: Sean F y M dos sistemas coordenados fijo y móvil, respectivamente, y originalmente coincidentes. Si M es trasladado a lo largo del k-esimo vector de F con un desplazamiento de λ unidades, y rotado sobre el mismo k-esimo vector de F en un angulo de ϴ radianes, la matriz de transformación homogénea compuesta es llamada la matriz de transformación tornillo sobre el k-esimo vector. Esta es denotada por
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
( , , ) ( , ) ( , )k k kscrew f Rot f Tran f
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Coordenadas en los eslabones. Recuerde que un brazo robótico puede ser modelado como una cadena de eslabones rígidos interconectados por articulaciones, ya sea de revolución o prismáticas. El objetivo de esta sección es asignar sistemáticamente sistemas coordenados a cada uno de esos eslabones. Una vez realizado, una ecuación general del brazo que representa el movimiento cinemático de los eslabones del manipulador puede ser obtenida.
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Parámetros Cinemáticos Cada par de eslabones adyacentes están conectados por una articulación, de revolución o prismática. La posición y orientación relativas de dos eslabones sucesivos puede ser especificada por dos parámetros de la articulación, como se muestra en la siguiente figura: θk = ángulo de la articulación, y es
la rotación sobre Zk-1 necesaria para hacer al eje Xk-1 paralelo al eje Xk
dk = distancia de la articulación, y es la traslación a lo largo de Zk-1 necesaria para hacer al eje Xk-1 colineal con el eje Xk
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Así como una articulación conecta eslabones adyacentes, hay un eslabón entre dos articulaciones sucesivas. La posición y orientación relativa entre los ejes de dos articulaciones sucesivas están especificadas por dos parámetros del eslabón, como se muestra en la siguiente figura. Los parámetros asociados con el eslabón están definidos con respecto a , el cual es una normal común a los ejes de la articulación y la articulación .
ak = llamado el largo del eslabón, y es la traslación sobre Xk necesaria para hacer que el eje Zk-1 intercepte al eje Zk
αk = llamado el ángulo de torsión del eslabón, y es la rotación sobre Xk necesaria para hacer al eje Zk-1 paralelo con el eje Zk.
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Orientación de la herramienta La orientación convencional de la herramienta que se usara será el sistema yaw-pitch-roll (YPR), como se muestra en la siguiente Figura. Para especificar la orientación de la herramienta, se agrega a la herramienta un sistema coordenado móvil M={m1,m2,m3}, el cual se mueve junto con la herramienta.
f1,m1
f2,m2
f3,m3
Roll
Pitch
Yaw
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Los ángulos de giro positivos corresponden al sentido contrario al de las agujas del reloj. Los movimientos de la herramienta se desarrollan en el orden de Yaw con θ1, Pitch con θ 2 y Roll con θ 3, siguiendo el Algoritmo 2.4.1 nos queda que: Nota: Un robot tiene una muñeca esférica si y solo si los ejes utilizados para orientar la herramienta se interceptan en el mismo punto.
3 3 2 2 1 1( ) ( ) ( )YPR R R R
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
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Ejemplo 4: Suponga que la herramienta mostrada a continuación es rotada alrededor de sus ejes fijos, con yaw=π/2, seguido por un pitch=-π/2, y un roll=π/2. ¿Cual es la matriz de rotación compuesta resultante? Y resuélvalo gráficamente.
3 3 2 2 1 1 3 2 1( ) ( ) ( )2 2 2
YPR R R R R R R
cos 01 0 0cos 02 2
2 2
cos 0 0 1 0 0 cos2 2 2 2
0 0 1 0 cos0 cos2 2
2 2
sensen
YPR sen sen
sensen
0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
YPR
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Ejemplo 4: Suponga que la herramienta mostrada a continuación es rotada alrededor de sus ejes fijos, con yaw=π/2, seguido por un pitch=-π/2, y un roll=π/2. ¿Cual es la matriz de rotación compuesta resultante? Y resuélvalo gráficamente.
Gráficamente tenemos que:
f1,m3
f2
f3,m1
m2
0 0 1
0 1 0
1 0 0
YPR
1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
f m f m f m
f m f m f m
f m f m f m
f1,m1
f2,m2
f3,m3
Roll
Pitch
Yaw
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.
M.C. Cynthia Guerrero
Vectores Normal, de Deslizamiento y de Aproximación. Por convención, las articulaciones y los eslabones de un brazo robótico son numerados comenzando con la base fija, el cual es eslabón 0, y terminando con la herramienta, que es el eslabón n. La orientación de la herramienta puede ser expresada en coordenadas rectangulares por una matriz de rotación R={ri,r2,r3} donde las tres columnas de R corresponden a los vectores Normal, de Deslizamiento, y de Aproximación, respectivamente. Como se muestra en la figura
2.2 Transformaciones de coordenadas: matriz de rotación y ángulos de Euler.