UKURAN PENYEBARAN DATA

STATISTIK

Ukuran penyebaran data adalah Suatu ukuran yang menyatakan seberapa besar nilai-nilai data berbeda atau bervariasi dengan nilai ukuran pusatnya atau seberapa besar penyimpangan nilai-nilai data dengan nilai pusatnya. Jangkauan adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.Jangkauan dapat dihitung dengan rumus: R = X maks X minContoh : Tentukan range dari data : 10,6,8,2,4 Jawab : R = Xmaks Xmin = 10 2 = 8

1. Jangkauan ( Range )UKURAN PENYEBARAN DATA

Simpangan rata-rata dari sekumpulan bilangan adalah: nilai rata-rata hitung harga mutlak simpangan-simpangannya.a. Data tunggal

SR = Contoh : Nilai ujian statistika dari 6 mahasiswa adalah :7,5,6,3,8,7. Tentukan simpangan rata-ratanya!

2. Simpangan Rata-rata

STATISTIK

Jawab: =

= 6 SR =

= = 1,33

STATISTIK

b. Data berbobot / data kelompok SR =

x = data ke-i (data berbobot ) = titik tengah kelas interval ke-i (data kelompok ) f = frekuensi

STATISTIK

Contoh : Tentukan simpangan rata-rata dari data berikut :

DataFrekuensix3 5246 8479 1181012 - 14613Jumlah20

STATISTIK

Jawab :F . xF 8288078=

=

1945,72,70,33,311,410,82,419,844,4SR = == 2,22= 9,7

DataFrekuensix3 5246 8479 1181012 - 14613Jumlah20

STATISTIK

3.Simpangan Baku / standar deviasiSimpangan Baku (S) dari sekumpulan bilangan adalah akar dari jumlah deviasi kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut dibagi dengan banyaknya bilangan atau akar dari rata-rata deviasi kuadrat.a. Data TunggalS =

S =

atau

STATISTIK

Contoh : Tentukan simpangan baku dari data : 2,3,5,8,7. Jawab :

=

= 5 - 3- 20329409426S = ==

x23587

STATISTIK

b. Data berbobot / berkelompok

S =

S =

atau

STATISTIK

Contoh: Tentukan standar deviasi dari data berikut

DataFrekuensix3 5246 8479 1181012 - 14613Jumlah20

STATISTIK

Jawab :S =

=

=

DataFrekx3 5246 8479 1181012 - 14613Jumlah20

x2f.xf.x2168324928196100808001697810141942042

STATISTIK

4. KuartilKuartil adalah nilai yang membagi kelompok data atas empat bagian yang sama setelah bilangan-bilangan itu diurutkan. Dengan garis bilangan letak kuartil dapat ditunjukkan sebagai berikut: Q1 Q2 Q3Menentukan nilai KuartilData tunggal Letak Qi = data ke dengan i = 1, 2, 3 dan n = banyaknya data

STATISTIK

Contoh : Hasil pendataan usia, dari 12 anak balita (dalam tahun) diketahui sebagai berikut : 4, 3, 4, 4, 2, 1, 1, 2,1, 3, 3, 4 , tentukan : a. Kuartil bawah (Q1) b. Kuartil tengah (Q2) c. Kuartil atas (Q3)Jawab : Data diurutkan : 1,1,1,2,2,3,3,3,4,4,4,4 a. Letak Q1 = data ke

= data ke- 3

STATISTIK

Nilai Q1 = data ke-3 + (data ke4 data ke3) = 1 + (2 1) = 1 b. Letak Q2 = data ke

= data ke 6

Nilai Q2 = data ke 6 + (data ke7 data ke6)

= 3 + (3 3) = 3

STATISTIK

c. Letak Q3 = data ke

= data ke 9

Nilai Q3 = data ke 9 + (data ke10 - data ke 9)

= 4 + (4 4) = 4

STATISTIK

Jangkauan Semi Inter Kuartil /Simpangan Kuartil (Qd) didefinisikan sebagai berikut: b. Data Kelompok

Nilai Qi = Tb + p

dengan i = 1,2,3

b = tepi bawah kelas Qi p = panjang kelas F = jumlah frekuensi sebelum kelas Qi f = frekuensi kelas Qi n = jumlah data

Qd = (Q3 Q1)

STATISTIK

Contoh :Tentukan simpangan kuartil dari data : Jawab :Untuk menentukan Q1 kita perlu = x 40 dataatau 10 data, jadi Q1 terletak pada kelas interval ke 3. Dengan Tb = 54,5 ; p = 5; F = 9; f = 10 Nilai Q1 = 54,5 + 5

= 54,5 + 0,5 = 55

Nilaif45-4950-5455-5960-6465-6970-7436101254Jumlah40

STATISTIK

Untuk menetukan Q3 diperlukan = x 40 data atau 30 data,jadi Q3 terletak pada kelas interval ke-4,dengan Tb = 59,5; p = 5; F = 19 ; f = 12

Nilai Q3 = 59,5 + 5

= 59,5 + 5

= 59,5 + 4,58 = 64,08

Jadi, jangkauan semi interkuartil atau simpangan kuartil dari data di atas adalah Qd = (Q3 Q1) = (64,08 55) = 4,54

STATISTIK

5. PersentilPersentil dari sekumpulan bilangan adalah nilai yang membagi kelompok bilangan tersebut atas 100 bagian yang sama banyaknya setelah bilangan bilangan tersebut diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar.Data tunggal Letak Pi = data ke

dengan i = 1,2,,99 Contoh : Diketahui data : 9,3,8,4,5,6,8,7,5,7 Tentukan P20 dan P70

STATISTIK

Jawab : Data diurutkan : 3 ,4, 5, 5, 6, 7, 7 ,8, 8, 9

Letak P20 = data ke = data ke 2

Nilai P20 = data ke 2 + (data ke 3 data ke2)

= 4 + (5 4) = 4

STATISTIK

Letak P70 = data ke

= data ke 7

Nilai P70 = data ke 7 + (data ke 8 - data ke7)

= 7 + ( 8 7 )

= 7

STATISTIK

b. Data kelompok

Nilai Pi = Tb + p , dengan i = 1,2,..,99

Jangkauan Persentil = P90 P10

STATISTIK

Contoh : Tentukan Jangkauan persentil dari data berikut :

NilaiF50 - 5960 - 6970 - 7980 - 8990 - 9971015126Jumlah50

STATISTIK

Jawab : Untuk menentukan P10 diperlukan = x 50 data = 5 data, artinya P10 terletak pada kelas interval pertama dengan Tb = 49,5 ; p = 10 ; F =0 ; f = 7

Nilai P10 = 49,5 + 10

= 49,5 + 7,14 = 56,64

STATISTIK

Untuk menetukan P90 diperlukan = x 50 data = 45 data, artinya P90 terletak pada kelas interval ke 5, dengan Tb = 89,5; F = 44; f = 6.

Nilai P90 = 89,5 + 10

= 89,5 + 1,67 = 91,17 Jangkauan Persentil = P90 P10 = 91,17 56,64 = 34,53

STATISTIK

Latihan:1. Nilai ujian matematika dari 5 orang mahasiswa adalah sebagai berikut : 7,6,7,8,7 besarnya simpangan rata-rata dari data tersebut adalah. Jawab :

= = 7 SR = =

= 0,4

x7678701010Jml2

STATISTIK

2. Standar deviasi (simpangan baku) dari data 4,6,7,6,3,4 adalah Jawab : = = 5 S =

=

=

x(x - )( x - )2467634-1121-2-1114141Jml12

STATISTIK

3. Hasil tes penerimaan pegawai baru suatu perusahaan tercatat sebagai berikut : Jika perusahaan akan menerima 75% dari pendaftar yang mengikuti tes tersebut, berapakah nilai minimum yang dapat diterima?

NilaiFrekuensi30-3940-4950-5960-6970-7980-8990-9938102018147

STATISTIK

Jawab : Q1 75% Untuk menentukan Q1 diperlukan x 80 data = 20 data, artinya Q1 terletak pada kelas interval ke 3, dengan Tb = 49,5; p = 10; F = 11; f = 10; Nilai Q1 = 49,5 + 10

= 49,5 + 10

= 58,5

STATISTIK

4. Hasil ujian statistika dari 50 mahasiswa adalah sebagai berikut:

Tentukan nilai P40 dari data tersebut!

NilaiF50-5960-6970-7980-8990-9971015126

STATISTIK

Jawab: Untuk menentukan P40 diperlukan = x 50 data atau 20 data, artinya P40 terletak pada kelas interval ketiga, dengan Tb = 69,5 ; p = 10 ; F = 17 dan f = 15. Nilai P40 = 69,5 + 10

= 69,5 + 10 = 72,5

STATISTIK

5. Hasil tes pelajaran Matematika 15 orang siswa adalah sebagai berikut : 30,45,50,55,50,60,60,65,85,70,75,55,60,35,30. Jangkauan semi interkuartil (Qd) dari data di atas adalah.. Jawab :Data diurutkan : 30, 30, 35, 45, 50, 50, 55, 55, 60, 60, 60, 65, 70, 75, 85. Letak Q1 = data ke = data ke-4

Nilai Q1 = data ke-4 = 45

Letak Q3 = data ke = data ke-12 Nilai Q3 = data ke 12 = 65

STATISTIK

Jangkauan semi interkuartil (Qd) = ( Q3 Q1 )

= ( 65 45 )

= 10

STATISTIK

Koefisien variasi adalah perbandingan antara simpanganstandar dengan nilai rata-rata yang dinyatakan dengan persentase. Koefisien variasi berguna untuk melihat sebaran data darirata-rata hitungnya.Besarnya Koefisien Variasi dinyatakan dengan rumus, KV = x 100%

KV = koefisien variasi S = simpangan standar = rata-rata

6. Koefisien Variasi

STATISTIK

Contoh 1: Nilai rata-rata matematika kelas A adalah 80 dengan simpangan standar 4,5. Jika nilai rata-rata Kelas B adalah 70 dengan simpangan standar 5,2. Hitunglah koefisien variasi masing-masing.Jawab : KV A = x 100%

= x 100% = 5,6% KV B = x 100% = 7,4%

STATISTIK

Contoh 2 :Standar deviasi sekelompok data adalah 1,5 sedang koefisien variasinya adalah 12,5%. Mean kelompok data tersebut adalah. Jawab : KV = x 100%

12,5% = x 100%

= = 12

STATISTIK

7. Angka BakuAngka Baku digunakan untuk mengetahui kedudukan suatu objek yangsedang diselidiki dibandingkan terhadap nilai rata-rata kumpulan objektersebut. Angka Baku (nilai standar) dapat dihitung dengan menggunakan rumus : Z = x = nilai data = nilai rata-rata s = standar deviasi

STATISTIK

Contoh 1: Seorang siswa mendapat nilai matematika 70 dengan rata-rata 60 dan standar deviasi12, nilai Bahasa Inggris 80 dengan rata rata 75 dan simpangan standarnya 15,manakah kedudukan nilai yang paling baik ?Jawab :

Zm = = 0,83

Zb = = 0,33

Jadi kedudukan nilai matematika lebih baik dari pada nilai Bahasa Inggris.

STATISTIK

Contoh 2 :Rata-rata dan simpangan standar upah pesuruh kantor masing-masing adalahRp 65.000,00 dan Rp 1.500,00. Jika Pak Darmawan salah seorang pesuruh yang upahnya Rp 67.250,00, nilai standar upah Pak Darmawan adalah. Jawab : Z =

= 1,5

STATISTIK

Ukuran Keruncingan / kurtosisUntuk menghitung tingkat keruncingan suatu kurva (koefisien kurtosis) dapatDigunakan rumus :

KK =

Kurtosis adalah derajat kelancipan suatu distribusi jika dibandingkan denganDistribusi normal

STATISTIK

Keterangan :Jika nilai KK > 3 kurva leptokurtis (puncaknya runcing sekali) KK < 3 kurva platikurtis (puncaknya agak mendatar) KK = 0 kurva mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing atau distribusi normal) Contoh :Dari sekelompok data yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi diketahui nilai Q1 = 55,24 ; Q3 = 73,64 ; P10 = 44,5 ;P90 = 82,5. Besarnya koefisien kurtosis kurva data tersebut adalah.

Jawab : KK =

=

= 0,242 Karena KK < 3 maka kurva distribusi tersebut platikurtik.

STATISTIK