PERBANDINGAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA
GEOMETRI EUCLIDES DAN GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Odilia Tyas Sekar Galih
NIM: 143114007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
PERBANDINGAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA
GEOMETRI EUCLIDES DAN GEOMETRI BOLA
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Odilia Tyas Sekar Galih
NIM: 143114007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
COMPARISON OF TRIANGLE PROPERTIES IN
EUCLIDEAN GEOMETRY AND SPHERICAL GEOMETRY
Paper
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by:
Odilia Tyas Sekar Galih
Student ID: 143114007
MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
SKRIPSI
PERBANDINGAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA
GEOMETRI EUCLIDES DAI'{ GEOMETRI BOLA
Oleh:
Odilia Tyas Sekar Galih
NIM: 143i14007
Telah disetujui oleh:
Dosen Pembimbins
Yogyakarta, 22 November 20 I 8
ul
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Ketua
Sekretaris
Anggota
SKRIPSI
PERBANDINGAN STFAT.SIFAT SEGITIGA PADA
GEOMETRI EUCLIDES DAN GEOMETRI BOLA
Dipersiapkan dan ditulis oleh
Odilia Tyas Sekar Galih
NIM: I43ll4A07
Telah dipertahankan di depan Panitia Penguji
pada tanggal 10 Desember 2018
dan dinyatakan memenuhi syarat
Susunan Panitia Penguj i
Nama Lengkap
: Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D.
: Dr.rer.nat. Herry Pribawanto Suryawan, S.Si., M
: Prof. Dr. Frans Susilo. SJ.
Yogyakarta, 31 Desember 2018
Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Sanata Dharma
Dekan"
ea&*S. Si., M.Math.Sc., Ph.D.
iv
anda,r6{
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PERNI.ATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian karya orang iain, kecuali yang telah disebutkan dalarn
kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 31 Desember 2018
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LEMBAR PERNYATAAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAII UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa {Jniversitas Sanata Dharma:
Nama
NIM
: Odilia Tyas Sekar Galih
:143114007
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PERBAI\DII{GAN SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA
GEOMETRI ETICLIDES DAI{ GEOMETRI BOLA
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma untuk menyimpan, mengalihkan
ke dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikannya secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media
lainnya untuk kepentingan akademis tanpa perlu minta izin dari saya ataupun
memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenar-benarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal 31 Desember 2018
vt
Yang menyatakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Geometri adalah ilmu yang mempelajari tentang sifat-sifat, ukuran,
dan hubungan antara titik, garis, sudut, bidang, bangun datar, dan bangun ruang.
Dewasa ini geometri meliputi geometri Euclides dan geometri non-Euclides.
Dalam skripsi ini, akan dibahas salah satu cabang geometri non-Euclides, yaitu
geometri bola. Salah satu bangun pada geometri adalah segitiga. Skripsi ini akan
membandingkan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dengan sifat-sifat segi-
tiga pada geometri bola. Segitiga yang akan dibahas adalah segitiga sama kaki,
segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku. Untuk membandingkan sifat-sifat segiti-
ga pada geometri Euclides dan geometri bola digunakan definisi-definisi dan
teorema-teorema yang dibuktikan. Perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri
Euclides dan geometri bola itu disajikan dalam suatu tabel.
Kata kunci: geometri Euclides, geometri bola, segitiga, sifat-sifat segitiga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Geometry is the study of properties, measurement, and relation of points,
lines, angles, surfaces, plane, and solid figures. Nowadays, geometry consists of
Euclidean geometry and non-Euclidean geometry. In this paper, will be discussed
one branch of non-Euclidean geometry, i.e. spherical geometry. One figure in
geometry is triangle. In this paper the triangle properties in Euclidean geometry
and spherical geometry will be compared. The triangles to be discussed are
isosceles triangle, equilateral triangle, and right triangle. To compare the triangle
properties in Euclidean geometry and spherical geometry definitions and proven
theorems are used. Comparison of triangle properties in Euclidean geometry and
spherical geometry is presented in a table.
Keywords: Euclidean geometry, spherical geometry, triangle, triangle properties
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur dipanjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang selalu
melimpahkan curahan berkat, kasih dan penyertaan-Nya sehingga penulis dapat
menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik.
Tugas akhir dengan judul “Perbandingan Sifat-Sifat Segitiga Pada
Geometri Euclides dan Geometri Bola” yang telah diselesaikan penulis
merupakan salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Sains pada program
studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Dalam menyelesaikan tugas akhir ini, penulis tidak lepas dari bantuan, dukungan,
serta bimbingan dari orang-orang di sekitar penulis. Oleh karena itu, melalui
tulisan ini dengan segala kerendahan hati dan rasa hormat, penulis ingin
menyampaikan ucapan terima kasih kepada:
1. Bapak Hartono, Ph.D. selaku Ketua Program Studi Matematika, Fakul-
tas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
2. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ. selaku Dosen Pembimbing sekaligus
Dosen Pembimbing Akademik yang selalu sabar dan mau membim-
bing penulis sehingga dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan
baik.
3. Romo/Bapak/Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata
Dharma, yang telah membimbing dan membagikan ilmunya kepada
penulis selama perkuliahan.
4. Orang tua dan adik tercinta yang telah banyak memberikan doa dan
dukungan kepada penulis secara moril maupun materiil sehingga tugas
akhir ini dapat selesai.
5. Keluarga besar FX. Djoembadi dan Ig. Mardiman yang selalu
memberikan doa dan dukungan kepada penulis selama menyelesaikan
tugas akhir ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Anton Kurniawan, yang selalu menemani, memberikan dukungan,
semangat serta mendoakan selama menyelesaikan tugas akhir ini.
Inne clentiany, yang selalu membantu, memberikan masukan, dan
menemani penulis sejak awal perkuliahan hingga menyelesaikan tugas
akhir ini,
claudia Trangkartika, yang mendukung, mendoakan, dan menghibur
penulis saat sedih hingga tugas akhir ini selesai.
wulan, Meme. dan Mo, yang menemani dan menghibur penulis selama
menyelesaikan tugas akhir ini.
10. Teman-teman Program Studi Matematika angkatan 2a14 hinnya yang
bersedia mernberi bantuan dan dukungan selama perkuliahan dan
dalam penyelesaian tugas akhir ini.
11. Dan kepada semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per
satu, yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam
penyelesaian tugas akhir ini.
9.
Semoga Tuhan membalas segala bentuk
Dalam penyusunan tugas akhir ini masih banyak
kata sempurna. Oleh sebab itu, penulis meminta
an serta saran demi penyempurnaan tugas akhir
akhir ini dapat berguna dan bermanfaat bagi para
dukungan yang telah diberikan.
kekurangan dan masih jauh dari
maaf dan mengharapkan masuk-
ini. Penulis juga berharap tugas
pembaca.
Yogvakarta, 31 Desember 2018
Penulis,
Odilia Tyas Sekar Galih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ........................................ ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................. iii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................... vi
ABSTRAK .......................................................................................................... vii
ABSTRACT ........................................................................................................ viii
KATA PENGANTAR ........................................................................................ ix
DAFTAR ISI ....................................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii
BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ................................................................... 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................ 4
C. Batasan Masalah ............................................................................... 4
D. Tujuan Penelitian.............................................................................. 4
E. Manfaat Penelitian............................................................................ 4
F. Metode Penelitian ............................................................................. 5
G. Sistematika Penulisan ....................................................................... 5
BAB II SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP
DASAR ................................................................................................... 7
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola .................................................. 7
B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri
Bola .................................................................................................. 9
1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides ..................... 10
2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang ......................... 48
3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola ............................ 53
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
BAB III SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN
GEOMETRI BOLA ................................................................................ 70
A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides .................................... 70
1. Segitiga Sama Kaki .................................................................... 71
2. Segitiga Sama Sisi ...................................................................... 73
3. Segitiga Siku-Siku ...................................................................... 75
B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola .......................................... 82
1. Segitiga Bola Sama Kaki ........................................................... 85
2. Segitiga Bola Sama Sisi ............................................................. 88
3. Segitiga Bola Siku-Siku............................................................. 90
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .............................................................. 96
A. Kesimpulan....................................................................................... 96
B. Saran ................................................................................................. 97
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 98
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 .......................................................................................................... 3
Gambar 2.1 .......................................................................................................... 7
Gambar 2.2 .......................................................................................................... 8
Gambar 2.3 .......................................................................................................... 9
Gambar 2.4 .......................................................................................................... 11
Gambar 2.5 .......................................................................................................... 11
Gambar 2.6 .......................................................................................................... 12
Gambar 2.7 .......................................................................................................... 12
Gambar 2.8 .......................................................................................................... 13
Gambar 2.9 .......................................................................................................... 13
Gambar 2.10 ........................................................................................................ 14
Gambar 2.11 ........................................................................................................ 14
Gambar 2.12 ........................................................................................................ 15
Gambar 2.13 ........................................................................................................ 15
Gambar 2.14 ........................................................................................................ 16
Gambar 2.15 ........................................................................................................ 17
Gambar 2.16 ........................................................................................................ 18
Gambar 2.17 ........................................................................................................ 18
Gambar 2.18 ........................................................................................................ 19
Gambar 2.19 ........................................................................................................ 19
Gambar 2.20 ........................................................................................................ 20
Gambar 2.21 ........................................................................................................ 20
Gambar 2.22 ........................................................................................................ 20
Gambar 2.23 ........................................................................................................ 21
Gambar 2.24 ........................................................................................................ 21
Gambar 2.25 ........................................................................................................ 23
Gambar 2.26 ........................................................................................................ 23
Gambar 2.27 ........................................................................................................ 24
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
Gambar 2.28 ........................................................................................................ 25
Gambar 2.29 ........................................................................................................ 26
Gambar 2.30 ........................................................................................................ 27
Gambar 2.31 ........................................................................................................ 28
Gambar 2.32 ........................................................................................................ 28
Gambar 2.33 ........................................................................................................ 30
Gambar 2.34 ........................................................................................................ 31
Gambar 2.35 ........................................................................................................ 32
Gambar 2.36 ........................................................................................................ 32
Gambar 2.37 ........................................................................................................ 33
Gambar 2.38 ........................................................................................................ 34
Gambar 2.39 ........................................................................................................ 35
Gambar 2.40 ........................................................................................................ 35
Gambar 2.41 ........................................................................................................ 36
Gambar 2.42 ........................................................................................................ 36
Gambar 2.43 ........................................................................................................ 38
Gambar 2.44 ........................................................................................................ 39
Gambar 2.45 ........................................................................................................ 40
Gambar 2.46 ........................................................................................................ 41
Gambar 2.47 ........................................................................................................ 42
Gambar 2.48 ........................................................................................................ 42
Gambar 2.49 ........................................................................................................ 43
Gambar 2.50 ........................................................................................................ 44
Gambar 2.51 ........................................................................................................ 44
Gambar 2.52 ........................................................................................................ 45
Gambar 2.53 ........................................................................................................ 45
Gambar 2.54 ........................................................................................................ 46
Gambar 2.55 ........................................................................................................ 46
Gambar 2.56 ........................................................................................................ 47
Gambar 2.57 ........................................................................................................ 48
Gambar 2.58 ........................................................................................................ 48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xv
Gambar 2.59 ........................................................................................................ 49
Gambar 2.60 ........................................................................................................ 50
Gambar 2.61 ........................................................................................................ 50
Gambar 2.62 ........................................................................................................ 51
Gambar 2.63 ........................................................................................................ 52
Gambar 2.64 ........................................................................................................ 54
Gambar 2.65 ........................................................................................................ 54
Gambar 2.66 ........................................................................................................ 55
Gambar 2.67 ........................................................................................................ 55
Gambar 2.68 ........................................................................................................ 56
Gambar 2.69 ........................................................................................................ 57
Gambar 2.70 ........................................................................................................ 57
Gambar 2.71 ........................................................................................................ 58
Gambar 2.72 ........................................................................................................ 58
Gambar 2.73 ........................................................................................................ 59
Gambar 2.74 ........................................................................................................ 59
Gambar 2.75 ........................................................................................................ 60
Gambar 2.76 ........................................................................................................ 60
Gambar 2.77 ........................................................................................................ 61
Gambar 2.78 ........................................................................................................ 61
Gambar 2.79 ........................................................................................................ 61
Gambar 2.80 ........................................................................................................ 62
Gambar 2.81 ........................................................................................................ 63
Gambar 2.82 ........................................................................................................ 63
Gambar 2.83 ........................................................................................................ 64
Gambar 2.84 ........................................................................................................ 66
Gambar 2.85 ........................................................................................................ 66
Gambar 2.86 ........................................................................................................ 67
Gambar 2.87 ........................................................................................................ 68
Gambar 2.88 ........................................................................................................ 68
Gambar 3.1 .......................................................................................................... 70
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xvi
Gambar 3.2 .......................................................................................................... 71
Gambar 3.3 .......................................................................................................... 72
Gambar 3.4 .......................................................................................................... 72
Gambar 3.5 .......................................................................................................... 73
Gambar 3.6 .......................................................................................................... 74
Gambar 3.7 .......................................................................................................... 76
Gambar 3.8 .......................................................................................................... 77
Gambar 3.9 .......................................................................................................... 79
Gambar 3.10 ........................................................................................................ 80
Gambar 3.11 ........................................................................................................ 82
Gambar 3.12 ........................................................................................................ 83
Gambar 3.13 ........................................................................................................ 84
Gambar 3.14 ........................................................................................................ 85
Gambar 3.15 ........................................................................................................ 86
Gambar 3.16 ........................................................................................................ 86
Gambar 3.17 ........................................................................................................ 87
Gambar 3.18 ........................................................................................................ 88
Gambar 3.19 ........................................................................................................ 90
Gambar 3.20 ........................................................................................................ 91
Gambar 3.21 ........................................................................................................ 93
Gambar 3.22 ........................................................................................................ 94
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Geometri berasal dari kata Yunani, yaitu geometrein, geo berarti bumi
dan metrein berarti pengukuran. Oleh karena itu, secara etimologis, geometri
berarti pengukuran tentang bumi. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia
(KBBI), geometri adalah cabang matematika yang membahas garis, sudut, bidang,
dan ruang.
Meskipun berasal dari kata Yunani, namun geometri pertama kali
dikembangkan oleh Bangsa Mesir. Hal itu terbukti dengan adanya The Great
Pyramid of Giza sekitar tahun 2600 sebelum masehi. Selain itu, informasi tentang
matematikawan Mesir ditemukan dalam Papirus Rhind (1650 SM) dan Papirus
Moscow (1850 SM), yang secara spesifik memuat perhitungan luas dan volume
objek geometri standar.
Sekitar tahun 300 sebelum masehi, muncul seorang matematikawan
Yunani bernama Euclides. Euclides menulis buku mengenai geometri yang
berjudul “Elementa” yang isinya menjelaskan unsur-unsur geometri dengan
menggunakan definisi, aksioma, dan postulat. Geometri ini sering disebut sebagai
Geometri Euclides. Karangan Euclides ini merupakan hal terpenting dalam
sejarah geometri. Oleh karena itu, Euclides disebut Bapak Geometri.
Dalam bukunya, Euclides menulis lima buah postulat yang berbunyi (I
Putu Wisna Ariawan, 2014):
P.1. Selalu dapat ditarik suatu garis dari satu titik ke titik yang lain.
P.2. Selalu dapat dibuat ruas garis tak berhingga banyaknya pada suatu garis.
P.3. Selalu dapat dilukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari
ruas garis yang ditentukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
P.4. Semua sudut siku-siku sama besar.
P.5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah besar sudut
dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, kedua garis itu akan
berpotongan pada pihak sudut yang jumlah besarnya kurang dari dua sudut
siku-siku.
Postulat kelima Euclides menimbulkan banyak perdebatan di kalangan
para matematikawan. Mereka menganggap postulat kelima terlalu rumit untuk
dijadikan postulat dan lebih cocok dijadikan teorema. Oleh karena itu, banyak
matematikawan yang mencoba menemukan postulat yang lebih sederhana dan
dapat menggantikan postulat kelima Euclides.
Salah seorang matematikawan yang mencoba membuktikannya adalah
Playfair (1748-1819), dengan postulatnya yang berbunyi:
P.5.1. Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui
sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.
Postulat ini jelas lebih sederhana dan lebih mudah dipahami
dibandingkan dengan postulat kelima Euclides. Postulat Playfair ini ekivalen
dengan postulat kelima Euclides. Meskipun tidak dapat menemukan postulat yang
lebih relevan, para matematikawan menemukan hasil lain yang sangat penting
yang kemudian menghasilkan “geometri non-Euclides”.
Sekitar tahun 1800 Janos Bolyai dan Nikolai Lobachevsky menyusun
sebuah postulat yang tidak berdasarkan postulat kelima Euclides, namun tetap
mengacu pada empat postulat Euclides lainnya. Postulat tersebut disebut Postulat
Bolyai-Lobachevsky dan berbunyi:
P.5.2. Terdapat lebih dari satu garis sejajar dengan garis yang diketahui dan
melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.
Geometri yang berdasarkan pada empat postulat Euclides dan postulat
Boylai-Lobachevsky disebut “geometri hiperbolik”. Kemudian sekitar tahun 1826
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
sampai 1866, matematikawan bernama Riemann membangun postulat yang
berbeda dengan postulat kelima Euclides yang berbunyi:
P.5.3. Tidak terdapat garis sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui
sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.
Postulat ini jelas meninggalkan postulat Euclides dan meninggalkan
postulat lainnya. Teori Riemann ini kemudian akan menjadi dasar “geometri
bola”.
Gambar 1.1 Segitiga siku-siku pada geometri Euclides dan segitiga siku-siku
geometri bola
Sama seperti geometri Euclides, geometri bola memiliki definisi
segitiga. Segitiga dalam geometri bola disebut segitiga bola. Salah satu sifat
segitiga bola adalah jumlah semua besar sudutnya lebih besar dari radian dan
kurang dari radian. Perbedaan bentuk segitiga dalam geometri Euclides dan
geometri bola dapat dilihat pada Gambar 1.1. Segitiga bola siku-siku dalam
geometri bola adalah segitiga bola yang memiliki sekurang-kurangnya satu sudut
yang besarnya radian. Hal ini yang menginspirasi penulis untuk mem-
bandingkan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan segitiga pada geometri
bola.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan, rumusan masalah
dari penelitian ini yaitu:
1. Bagaimana sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides?
2. Bagaimana sifat-sifat segitiga pada geometri bola?
3. Bagaimana perbandingan sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan
segitiga pada geometri bola?
C. Batasan Masalah
Bangun yang akan dibahas pada skripsi ini hanya bangun segitiga.
Sedangkan segitiga yang akan dibahas hanya segitiga istimewa, yaitu segitiga
sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku.
D. Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifat segitiga sama
kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada geometri bola, serta mem-
bandingkan sifat-sifat yang dimiliki segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan
segitiga siku-siku pada geometri Euclides dan geometri bola.
E. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah pembaca dapat mengetahui sifat-
sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada geometri
Euclides dan geometri bola, selain itu pembaca juga dapat mengetahui perbedaan
sifat-sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku pada
geometri Euclides dan geometri bola.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam menyusun skripsi ini adalah
metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku dan jurnal yang
berkaitan dengan geometri Euclides dan geometri bola.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penelitian
E. Manfaat Penelitian
F. Metode Penelitian
G. Sistematika Penulisan
BAB II SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP DASAR
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola
B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri Bola
1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides
2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang
3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola
BAB III SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN
GEOMETRI BOLA
A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides
1. Segitiga Sama Kaki
2. Segitiga Sama Sisi
3. Segitiga Siku-Siku
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola
1. Segitiga Bola Sama Kaki
2. Segitiga Bola Sama Sisi
3. Segitiga Bola Siku-Siku
BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II
SEJARAH GEOMETRI BOLA DAN KONSEP-KONSEP DASAR
A. Sejarah Munculnya Geometri Bola
Euclides menulis lima buah postulat dalam bukunya yang berjudul
“Elementa” yang sekarang sangat terkenal. Kelima postulat itu berbunyi (I Putu
Wisna Ariawan, 2014):
P.1. Selalu dapat ditarik suatu garis dari satu titik ke titik yang lain.
P.2. Selalu dapat dibuat ruas garis tak berhingga banyaknya pada suatu garis.
P.3. Selalu dapat melukis suatu lingkaran berpusat di suatu titik dengan jari-jari
ruas garis yang ditentukan.
P.4. Semua sudut siku-siku sama besar.
P.5. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga sehingga jumlah besar sudut
dalam sepihak kurang dari dua sudut siku-siku, maka kedua garis itu akan
berpotongan pada pihak sudut yang jumlah besarnya kurang dari dua sudut
siku-siku tersebut.
Gambar 2.1 Postulat kelima Euclides
Postulat kelima Euclides ini bertahan selama sekitar 2000 tahun. Pada
akhirnya postulat kelima Euclides menimbulkan banyak perdebatan di kalangan
matematikawan dunia. Mereka menganggap postulat kelima terlalu rumit untuk
dijadikan postulat. Para matematikawan mencoba menemukan postulat yang lebih
sederhana yang dapat menggantikan postulat kelima Euclides. Salah seorang ma-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
tematikawan yang mencoba mengkritisi postulat kelima Euclides adalah Proclus
(410-485). Proclus menolak untuk menerima postulat kelima Euclides karena dia
menganggap postulat tersebut terlalu rumit untuk dijadikan postulat dan dapat di-
buktikan dengan empat postulat lainnya. Matematikawan lain yang mencoba
membuktikannya adalah John Wallis (1616-1703) dan Girolamo Saccheri (1667-
1733). Namun, usaha mereka gagal.
Selain mereka, matematikawan Inggris bernama John Playfair (1748-
1819) membuat sebuah postulat yang berbunyi (David C. Kay, 1993):
P.5.1. Hanya ada satu garis yang sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui
sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.
Gambar 2.2 Postulat Playfair
Postulat Playfair jelas lebih sederhana dibandingkan dengan postulat
kelima Euclides. Namun, postulat Playfair ternyata ekivalen dengan postulat
kelima Euclides. Oleh karena itu, postulat Playfair dapat menggantikan postulat
kelima Euclides dan disebut postulat kesejajaran.
Sampai pada akhir tahun 1820-an, matematikawan Rusia Nicolai
Ivanovich Lobachevsky (1792-1856) dan matematikawan Hungaria Janos Bolyai
(1802-1860), secara terpisah mengemukakan sebuah postulat yang kemudian
menjadi awal geometri non-Euclides. Postulat ini disebut postulat Bolyai-
Labachevsky, yang berbunyi:
P.5.2. Terdapat lebih dari satu garis sejajar dengan garis yang diketahui dan
melalui sebuah titik di luar garis yang diketahui itu.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Gambar 2.3 Postulat Boylai-Lobachecsky
Geometri yang berdasarkan pada empat postulat Euclides dan postulat
Boylai-Lobachevsky disebut “geometri hiperbolik”. Namun, geometri ini belum
memuaskan untuk menjawab masalah-masalah dalam bidang astronomi. Setelah
Nicolai Lobachevsky dan Janos Bolyai berhasil menemukan hal yang baru tentang
geometri non-Euclides, banyak matematikawan merasa terdorong untuk men-
ciptakan geometri non-Euclides lainnya. Yang pertama dan paling terkenal adalah
Riemann (1826-1866). Pada tahun 1854, Riemann mengemukakan postulat yang
berbeda dengan postulat kesejajaran Euclides yang berbunyi:
P.5.3. Tidak terdapat garis sejajar dengan garis yang diketahui dan melalui sebu-
ah titik di luar garis yang diketahui itu.
Postulat ini jelas meninggalkan postulat kesejajaran Euclides dan
meninggalkan postulat lainnya. Postulat Riemann ini menjadi dasar teori geo-
metri, yaitu geometri eliptik. Geometri eliptik kemudian menjadi dasar geometri
bola.
B. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides dan Geometri Bola
Sebelum melihat sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan
geometri bola, pada subbab ini akan dijelaskan konsep dasar yang digunakan pada
geometri Euclides dan geometri bola.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
1. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Euclides
Dalam buku Euclides yang berjudul “Elementa”, Euclides menulis 5
aksioma, 5 postulat, dan 23 definisi. Lima aksioma yang ditulis adalah dasar bagi
seluruh bidang matematika, sedangkan 5 postulat yang sudah dijelaskan sebelum-
nya adalah dasar pada bidang geometri. Kelima aksioma tersebut berbunyi (I Putu
Wisna Ariawan, 2014):
a. Hal-hal yang sama dengan sesuatu lainnya adalah sama.
b. Jika kepada hal-hal yang sama diberi tambahan yang sama, maka hasilnya
adalah sama.
c. Jika dari hal-hal yang sama dikurangi bagian yang sama, maka sisanya adalah
sama.
d. Hal-hal yang saling berimpit adalah sama.
e. Keseluruhan itu lebih besar dari bagiannya.
Diberikan pula beberapa definisi, yaitu:
Definisi 2.1
Titik adalah sesuatu yang tidak memiliki bagian.
Definisi 2.2
Garis adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang tetapi tidak
mempunyai lebar.
Definisi 2.3
Sinar garis adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik
pangkal dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya (Gambar
2.4).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
Gambar 2.4 Sinar garis
Definisi 2.4
Ruas garis adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik pangkal dan
titik ujung dan semua titik di antara kedua titik tersebut (Gambar 2.5).
Ruas garis dengan titik pangkal dan titik ujung dilambangkan dengan
Gambar 2.5 Ruas garis
Definisi 2.5
Panjang ruas garis adalah jarak terdekat antara titik pangkal dan titik ujung ruas
garis tersebut. Panjang ruas garis dilambangkan dengan .
Definisi 2.6
Sudut adalah gabungan dua buah sinar garis yang titik pangkalnya bersekutu. Per-
sekutuan titik pangkal tersebut dinamakan titik sudut dan sinar-sinarnya disebut
kaki sudut (Gambar 2.6).
Sudut dilambangkan dengan . Ukuran atau besar dari dilambangkan
dengan
A
A B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Gambar 2.6 Sudut
Definisi 2.7
Ruas garis kongruen dengan ruas garis jika dan hanya jika , dan
dilambangkan dengan .
Definisi 2.8
Sudut dikatakan kongruen dengan sudut jika dan hanya jika
, dan dinotasikan dengan .
Definisi 2.9
Dua sudut dikatakan sudut berdampingan (adjacent) jika kedua sudut tersebut
memiliki titik sudut yang sama dan satu sisi yang sama. Dua sudut berdampingan
membentuk sudut yang besarnya 180° atau radian dan disebut sudut lurus.
Pada Gambar 2.7, dan berdampingan.
Gambar 2.7 Sudut berdampingan
P
R
Q
AO
C
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Definisi 2.10
Jika suatu garis lurus berpotongan dengan garis lurus yang lain dan membentuk
sudut berdampingan yang besarnya sama, maka masing-masing sudut itu disebut
siku-siku. Besar sudut siku-siku adalah 90° atau
radian.
Pada Gambar 2.8, dan adalah sudut siku-siku.
Definisi 2.11
Dua garis dikatakan berpotongan tegak lurus jika salah satu sudut yang dibentuk
dari perpotongan tersebut adalah sudut siku-siku.
Pada Gambar 2.8, garis tegak lurus garis dan garis tegak lurus garis
Gambar 2.8 Sudut siku-siku dan garis tegak lurus
Definisi 2.12
Dua garis dikatakan sejajar jika kedua garis itu tidak berpotongan (Gambar 2.9).
Gambar 2.9 Garis sejajar
A B
D
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Definisi 2.13
Sudut yang besarnya kurang dari besar sudut siku-siku disebut sudut lancip
(Gambar 2.10).
Gambar 2.10 Sudut lancip
Definisi 2.14
Sudut yang besarnya lebih besar dari besar sudut siku-siku dan kurang dari besar
sudut lurus disebut sudut tumpul (Gambar 2.11).
Gambar 2.11 Sudut tumpul
Definisi 2.15
Diberikan garis dan , dan garis yang memotong garis di titik dan me-
motong garis di titik . Titik dan terletak pada , titik dan pada ,
titik dan pada .
AB
C
AB
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Gambar 2.12 Sudut berlawanan, sudut dalam berseberangan, dan sudut sehadap
Pasangan-pasangan dan , dan , dan ,
dan disebut pasangan sudut berlawanan. Pasangan-pasangan
dan , dan disebut pasangan sudut dalam berse-
berangan. Pasangan-pasangan dan , dan ,
dan , dan disebut pasangan sudut sehadap.
Teorema 2.1
Jika dua garis berpotongan, maka sudut berlawanan yang terbentuk sama besar.
Bukti:
Gambar 2.13 Sudut berlawanan
Diberikan garis dan yang berpotongan di titik . Akan dibuktikan
dan .
Menurut Definisi 2.9, dan membentuk sudut lurus, maka
AB
C
D
l
m
t
l
k
C
B
A
O
P
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
.
Sudut dan juga membentuk sudut lurus, maka
sehingga
.
Dengan cara yang sama, dapat dibuktikan pula . ■
Teorema 2.2
Dua garis lurus yang dipotong oleh garis lurus lainnya adalah sejajar jika dan
hanya jika sudut sehadap yang terbentuk sama besar.
Bukti:
Gambar 2.14 Sudut sehadap
)( Diberikan dua garis sejajar dan yang dipotong oleh garis pada titik
dan . Titik dan titik terletak pada , titik dan titik terletak pada , dan
titik dan titik terletak pada . Akan dibuktikan ,
, , dan .
k
l
m
AB C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Andaikan , berarti atau
. Jika , maka garis dan akan berpotongan pada
satu titik . Jika , maka garis dan akan berpotongan pada
satu titik .
Gambar 2.15 Pembuktian sudut sehadap
Padahal garis dan adalah dua garis sejajar. Oleh karena itu pengandaian salah,
berarti . Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula
, , dan .
)( Dua garis dan dipotong oleh garis . Diketahui besar sudut sehadap yang
terbentuk adalah sama. Jika garis dan diperpanjang, maka kedua garis tersebut
tidak akan berpotongan. Menurut Definisi 2.12, garis dan adalah dua garis
sejajar. ■
Teorema 2.3
Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lainnya, maka sudut dalam berseberang-
an yang terbentuk sama besar.
Bukti:
l
k
mm
A A
D D
B
BC
C
E'E
)(i )(ii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2.16 Sudut dalam berseberangan
Diberikan dua garis sejajar dan yang dipotong oleh garis pada titik dan
. Akan dibuktikan dan .
Menurut Teorema 2.1, .
Menurut Teorema 2.2, .
Jadi .
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan pula . ■
Definisi 2.16
Poligon adalah bangun datar tertutup yang dibatasi oleh ruas-ruas garis yang
disebut sisi dan sisi-sisinya tidak berpotongan, kecuali di titik-titik pangkal dan
ujungnya.
Gambar 2.17 Poligon
k
l
AB C
D
m
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Definisi 2.17
Segitiga adalah poligon yang mempunyai tiga sisi. Suatu segitiga disajikan
dengan lambang . Misalnya pada (Gambar 2.18), , , dan adalah titik-
titik sudut dan , , dan adalah sisi-sisi.
Gambar 2.18 Segitiga
Definisi 2.18
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua sisinya sama panjang.
Gambar 2.19 Segitiga sama kaki
Definisi 2.19
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya sama panjang.
A B
C
A B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
Gambar 2.20 Segitiga sama sisi
Definisi 2.20
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya 90° atau
radi-
an.
Gambar 2.21 Segitiga siku-siku
Definisi 2.21
Garis bagi (bisector) adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik sudut segi-
tiga ke titik yang terletak pada sisi di hadapannya sehingga membagi sudut terse-
but menjadi dua sudut yang sama besar.
Pada Gambar 2.22 ruas garis adalah garis bagi .
Gambar 2.22 Garis bagi
A B
C
A B
C
A B
C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Definisi 2.22
Garis tinggi (altitude) adalah ruas garis yang menghubungkan satu titik sudut se-
gitiga ke titik yang terletak pada sisi di hadapannya secara tegak lurus.
Pada Gambar 2.23 ruas garis adalah garis tinggi .
Gambar 2.23 Garis tinggi segitiga
Teorema 2.4
Jumlah besar ketiga sudut pada segitiga adalah 180 .
Bukti:
Gambar 2.24 Jumlah besar ketiga sudut segitiga
Diketahui sebarang . Ruas garis diperpanjang menjadi ruas garis ,
sehingga adalah sudut lurus, yaitu . Menurut Postulat
Playfair, melalui titik B dapat ditarik ruas garis BE yang sejajar dengan ruas garis
, sehingga
.
A B
C
A B
C E
D
AD
B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
karena dan adalah sudut sehadap, dan
karena dan adalah sudut dalam berseberangan.
Karena adalah sudut lurus, maka
Dengan kata lain
Jadi, jumlah besar ketiga sudut sebarang segitiga adalah 180°. ■
Definisi 2.23
Dua poligon dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu
antara titik-titik sudut kedua poligon tersebut sedemikian sehingga semua sisi
yang bersesuaian kongruen dan semua sudut yang bersesuaian kongruen.
Definisi 2.24
Dua segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu
antara titik-titik sudut kedua segitiga tersebut sedemikian hingga ketiga sisi yang
bersesuaiannya kongruen dan ketiga sudut bersesuaiannya kongruen.
Jika kongruen dengan dengan titik berkorespondensi dengan titik
, titik dengan titik , dan titik dengan titik , maka dinotasikan
. Dengan kata lain, jika dan hanya jika
dan
dan .
Berikut adalah teorema segitiga kongruen.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Teorema 2.5 (SAS: Side-Angle-Side)
Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sisi yang bersesuaian dari dua segi-
tiga tersebut kongruen dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu kongruen.
Gambar 2.25 Segitiga kongruen SAS
Bukti:
)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik
dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.24, ,
, , , , dan .
Dengan kata lain, , , dan (SAS).
)( Diberikan sebarang dan dengan , ,
dan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik , dan
titik dengan titik . Menurut Definisi 2.24, jika .
Andaikan .
Gambar 2.26 Segitiga kongruen SAS
A
B C
X
Y Z
A
B C
X
Y Z
DD
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
Kosntruksikan titik sedemikian sehingga dan . Menurut
Definisi 2.24, . Oleh karena itu, . Karena
dan , maka . Berarti titik dan adalah
dua titik yang berimpit, jadi . Terjadi kontradiksi, berarti pengandaian
salah, jadi , sehingga menurut Definisi 2.24, . ■
Teorema 2.6 (ASA: Angle-Side-Angle)
Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari dua se-
gitiga tersebut kongruen dan sisi yang menghubungkan kedua sudut itu kongruen.
Gambar 2.27 Segitiga kongruen ASA
Bukti:
)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik
dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.24, ,
, , , , dan .
Dengan kata lain, , , dan (ASA).
A
B
C
X
Y
Z
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
Gambar 2.28 Pembuktian segitiga kongruen ASA
)( Diberikan dan dengan , , dan
. Titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik ,
dan titik dengan titik . Berdasarkan Teorema 2.5, jika
.
Andaikan . Konstruksikan titik pada atau perpanjangan
sedemikian sehingga . Menurut Teorema 2.5, . Oleh
karena itu, . Karena dan , maka
.
Berarti dan adalah ruas garis yang berimpit, jadi titik dan berhimpit.
Jadi . Kontradiksi dengan pengandaian, jadi . Menurut
Teorema 2.5, . ■
Teorema 2.7 (AAS: Angle-Angle-Side)
Dua segitiga kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari dua
segitiga tersebut kongruen dan sisi yang berhadapan dengan salah satu dari kedua
sudut itu kongruen.
A
B
C
X
Y
Z
D
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
Gambar 2.29 Segitiga kongruen AAS
Bukti:
)( Diberikan , menurut Definisi 2.24, , ,
, , , dan . Dengan kata
lain, , , dan (AAS).
)( Diberikan sebarang dan dengan ,
, dan . Titik berkorespodensi dengan titik , titik dengan titik
, dan titik dengan titik . Menurut Teorema 2.4,
,
sehingga .
Jadi ,
sehingga menurut Teorema 2.8, . ■
Definisi 2.25
Ruas garis yang menghubungkan titik sudut suatu poligon dengan titik yang terle-
tak pada sisi di hadapannya secara tegak lurus disebut garis tinggi poligon dan sisi
di hadapan titik sudut itu disebut alas poligon itu.
Definisi 2.26
Poligon yang terdiri dari empat sisi disebut segi empat.
A
B
C
X
Y
Z
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Definisi 2.27
Segi empat yang keempat sudutnya siku-siku disebut persegi panjang. Sedangkan
persegi panjang yang semua sisinya kongruen disebut persegi. Suatu persegi atau
persegi panjang dilambangkan dengan □, misalnya □ dan □ (Gambar
2.30). Panjang sisi persegi panjang yang lebih panjang disebut panjang dan pan-
jang sisi yang lebih pendek disebut lebar. Pada suatu persegi, panjang sama deng-
an lebar.
Pada persegi panjang □ (Gambar 2.30), panjang sisi adalah panjang dan
panjang sisi adalah lebar.
Gambar 2.30 Persegi dan Persegi Panjang
Definisi 2.28
Besaran yang menyatakan ukuran dua dimensi suatu polygon disebut luas. Dilam-
bangkan dengan , misalnya luas persegi □ adalah □ dan luas
segitiga adalah .
Definisi 2.29
Dua poligon dikatakan ekivalen jika dan hanya jika kedua poligon tersebut terdiri
dari sejumlah berhingga poligon yang kongruen.
Pada Gambar 2.31, poligon ekivalen dengan poligon , karena
poligon terdiri dari dua poligon yang kongruen dengan dua poligon yang
membentuk poligon , yaitu poligon kongruen dengan poligon
dan poligon kongruen dengan poligon .
A B
CD
P Q
RS
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2.31 Dua poligon ekivalen
Definisi 2.30
Dua poligon dikatakan mempunyai luas yang sama jika dua poligon itu ekivalen.
Definisi 2.31
Luas suatu persegi dikatakan satu satuan luas jika panjang sisi persegi tersebut sa-
tu satuan.
Teorema 2.8
Luas persegi adalah hasil kali panjang dua sisi persegi itu.
Bukti:
Diberikan persegi □ dengan panjang sisi satuan ( ). Akan
dibuktikan □ satuan luas.
Gambar 2.32 Persegi □
A B
CD
x
x
A
B
C
D
E
F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
Jika , maka menurut Definisi 2.31, luas persegi itu adalah satu satuan. Jika
dan , maka □ dapat dibentuk dari persegi-persegi yang panjang
sisinya satu satuan. Karena ada persegi pada setiap sisi □ , maka ada
yang memenuhi persegi □ . Karena luas dari persegi dengan pan-
jang sisi satuan adalah satu satuan luas, maka luas persegi □ adalah
satuan luas.
Jika , maka
. Misalkan □ adalah . Dapat dibu-
at persegi dengan panjang sisi dan luas persegi ini adalah
. Persegi ini dapat dibagi menjadi persegi-persegi yang lebih kecil dengan
panjang sisi . Karena ada persegi dengan panjang sisi pada setiap sisi pada
persegi dengan panjang sisi , maka ada persegi dengan panjang sisi , se-
hingga . Maka
sehingga .
Jika , maka mengingat kerapatan dalam
| | | | .
Oleh karena itu, menurut definisi limit
dan .
Karena persegi dengan panjang sisi dapat memuat persegi dengan panjang sisi
dan persegi dengan panjang sisi dapat memuat persegi dengan panjang sisi ,
maka luas persegi dengan panjang sisi □ luas persegi dengan
panjang sisi .
Karena dan adalah bilangan rasional, maka menurut bagian kedua pembukti-
an ini
Luas persegi dengan panjang sisi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
dan Luas persegi dengan panjang sisi .
Karena Luas persegi dengan panjang sisi
dan Luas persegi dengan panjang sisi ) ,
maka □ ,
sehingga □ satuan luas.
Jadi □ satuan luas. ■
Teorema 2.9
Luas persegi panjang adalah hasil kali panjang dan lebar persegi panjang tersebut.
Bukti:
Diberikan persegi panjang □ dengan dan .
Akan dibuktikan □ .
Gambar 2.33 Persegi Panjang
Konstruksikan persegi □ dengan panjang sisi-sisinya . Konstruksikan
titik pada sedemikian sehingga dan . Konstruksikan titik
pada sedemikian sehingga dan . Konstruksikan titik pada
sedemikian sehingga dan . Kosntruksikan titik pada
sedemikian sehingga dan . Ruas garis dan berpotongan
pada titik , sehingga dan .
A B
CD
a
b
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Gambar 2.34 Persegi □
Menurut Definisi 2.27, □ adalah persegi dengan panjang sisi dan □
adalah persegi dengan panjang sisi . Menurut Teorema 2.8, □ dan
□ .
Karena dan , maka □ ekiva-
len dengan □ sehingga menurut Definisi 2.30, □ □ .
Selanjutnya
□ □ □ □ □
□
□
sehingga □ .
Jadi □ . ■
Definisi 2.32
Segi empat yang kedua pasang sisi yang berhadapannya sejajar disebut jajaran
genjang. Jajaran genjang dilambangkan dengan ◊, misalkan ◊ .
A B
CD
I
GEF
H
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
Gambar 2.35 Jajaran genjang
Teorema 2.11
Luas jajaran genjang adalah hasil kali panjang alas dengan panjang garis tinggi
jajaran genjang tersebut.
Bukti:
Diberikan jajaran genjang dengan dan . Konstruksikan
garis tinggi melalui titik dan , yang memotong dan perpanjangan pada
titik dan , seperti pada Gambar 2.35.
Gambar 2.36 Jajar genjang
Menurut Teorema 2.2, . Karena dan , maka
menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu, menurut Definisi 2.30
◊ □
sehingga ◊ .
A
B
C
D
AB
CD
EF
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Karena , maka , sehingga , sehingga
◊ . ■
Teorema 2.11
Luas segitiga adalah setengah dari hasil kali panjang alas segitiga dengan panjang
garis tinggi segitiga tersebut.
Bukti:
Diberikan . Konstruksikan titik sedemikian sehingga sejajar dengan
dan . Akibatnya, adalah jajaran genjang, sehingga .
Gambar 2.37 Pembuktian Teorema 2.12
Menurut Teorema 2.3, . Karena , , dan
, maka menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu, menurut
Definisi 2.30, . Maka
◊
◊ .
Konstruksikan garis tinggi melalui titik yang memotong pada titik . Maka
. ■
A B
C D
E
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Teorema 2.12
Jika dan yang mempunyai alas yang sama, yaitu , dan
sejajar dengan , maka .
Bukti:
Konstruksikan garis tinggi melalui titik dan garis tinggi melalui
titik .
Gambar 2.38 Segitiga dan
Karena sejajar dengan , maka , sehingga
.
Jadi, . ■
Teorema 2.13
Jika diberikan dan titik pada , maka
.
A
B C
'A
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Bukti:
Gambar 2.39 Segitiga
Karena titik pada , maka garis tinggi sama dengan garis tinggi ,
yaitu . Oleh karena itu,
. ■
Teorema 2.14
Jika diberikan dan garis yang sejajar dengan memotong pada titik
dan memotong pada titik , maka
.
Gambar 2.40 Ilustrasi Teorema 2.14
A
B CD E
A
B C
D El
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Bukti:
Gambar 2.41 Ilustrasi Pembuktian Teorema 2.14
Konstruksikan dan garis tinggi dan melalui titik (Gambar
2.41). Menurut Teorema 2.13,
. (2.1)
Gambar 2.42 Ilustrasi Pembuktian Teorema 2.14
Konstruksikan dan garis tinggi dan melalui titik (Gambar
2.42). Menurut Teorema 2.13,
. (2.2)
Menurut Teorema 2.12, , maka
.
A
B C
D E
A
B C
D E
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Jadi, . (2.3)
Dari persamaan (2.1), (2.2), dan (2.3), diperoleh
sehingga
. ■
Definisi 2.33
Dua segitiga dikatakan sebangun jika dan hanya jika ada korespondensi satu-satu
antara titik-titik sudut segitiga yang satu dengan titik-titik sudut segitiga lainnya
sedemikian sehingga sudut-sudut bersesuaian kongruen.
Jika sebangun dengan , dengan titik berkorespondensi dengan titik
, titik dengan titik , dan titik dengan titik , maka dinotasikan dengan
. Dengan kata lain, jika dan hanya jika
, , dan .
Teorema 2.15
Jika dua segitiga sebangun, maka sisi-sisinya sebanding.
Bukti:
Diberikan , titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan
titik , dan titik dengan titik , maka , , dan
. Akan dibuktikan
.
Jika , maka menurut Teorema 2.6, , sehingga
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
Jika , maka ada titik pada atau perpanjangan sedemikian
sehingga . Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksi-
kan garis yang sejajar dan memotong pada titik .
Gambar 2.43 Pembuktian Teorema 2.15
Menurut Teorema 2.14,
.
Menurut Teorema 2.2, . Karena , maka
. Menurut Teorema 2.6, . Jadi,
dan
,
sehingga
. (2.4)
Ada titik pada atau perpanjangan sedemikian sehingga .
Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis yang sejajar
dan memotong pada titik .
A
B C
D
E F
P Q
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Gambar 2.44 Pembuktian Teorema 2.15
Menurut Teorema 2.14,
.
Menurut Teorema 2.2, . Karena , maka
. Menurut Teorema 2.6, . Jadi,
dan
se-
hingga
. (2.5)
Dari persamaan (2.4) dan (2.5) diperoleh
. ■
Teorema 2.16
Jika , titik berkorespondensi dengan titik , titik dengan titik
, dan titik dengan titik , maka
, , dan ( .
Bukti:
Karena , maka menurut Teorema 2.16
A
B C
D
E FX
Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
.
Misalkan
( , maka
sehingga ,
sehingga ,
dan
sehingga . ■
Teorema 2.17 (AA: Angle-Angle)
Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika dua sudut dari satu segitiga kongruen
dengan dua sudut segitiga lainnya.
Gambar 2.45 Segitiga Sebangun AA
Bukti:
)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik
dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.33, ,
, dan . Dengan kata lain, dua sudut dari satu segi-
tiga kongruen dengan dua sudut segitiga lainnya.
A B
C Z
X Y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
)( Diberikan dan dengan titik berkorespondensi dengan titik ,
titik dengan titik , titik dengan titik , dan .
Menurut Teorema 2.4,
,
sehingga .
Jadi ,
sehingga menurut Definisi 2.33, . ■
Teorema 2.18 (SAS: Side-Angle-Side)
Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika sudut dari satu segitiga kongruen
dengan sudut segitiga lainnya, dan panjang sepasang sisi yang membentuk sudut
tersebut sebanding.
Gambar 2.46 Segitiga Sebangun SAS
Bukti:
)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik
dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Definisi 2.33, .
Menurut Teorema 2.15,
.
)( Diberikan sebarang dan dengan titik berkorespondensi
dengan titik , titik dengan titik , titik dengan titik , dan
.
A B
C Z
X
a
kaY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
Gambar 2.47 Segitiga sebangun SAS
Konstruksikan titik pada atau pada perpanjangan sedemikian sehingga
. Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis
yang sejajar dan memotong di titik . Menurut Teorema 2.2,
dan . Oleh karena itu, menurut Teorema 2.18,
. Menurut Teorema 2.15,
sehingga
.
Karena , maka , , , dan
, menurut Teorema 2.5, . Oleh karena itu,
. Jadi menurut Teorema 2.17, . ■
Teorema 2.19 (SSS:Side-Side-Side)
Dua segitiga sebangun jika dan hanya jika panjang tiga sisi dari satu segitiga
sebanding dengan panjang tiga sisi dari segitiga lainnya.
Gambar 2.48 Segitiga Sebangun SSS
AB
C
X
Y
Z
D
D
E
E
A B
C Z
X Y
a
bc
ka
kbkc
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
Bukti:
)( Diberikan . Titik berkorespondensi dengan titik , titik
dengan titik , dan titik dengan titik . Menurut Teorema 2.15,
.
)( Diberikan dan dengan titik berkorespondensi dengan titik ,
titik dengan titik , titik dengan titik , dan
.
Gambar 2.49 Segitiga sebangun SSS
Konstrusikan titik pada atau pada perpanjangan sedemikian sehingga
. Menurut Postulat Playfair, melalui titik dapat dikonstruksikan garis
yang sejajar dan memotong pada titik . Menurut Teorema 2.2,
dan . Oleh karena itu, sehingga menurut
Teorema 2.15,
sehingga
dan
.
Karena , , dan , maka menurut Definisi 2.24,
. Oleh karena itu, dan . Karena
AB
C
XY
Z
D
D
E
E
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
dan , maka dan .
Menurut Teorema 2.17, . ■
Definisi 2.34
Sumbu simetri suatu bangun datar adalah garis yang membagi bangun itu menjadi
dua bagian yang kongruen.
Gambar 2.50 Sumbu simetri
Definisi 2.35
Lingkaran adalah himpunan semua titik di bidang datar yang berjarak sama ter-
hadap suatu titik tertentu. Titik tertentu tersebut disebut titik pusat lingkaran
(Gambar 2.51).
Gambar 2.51 Lingkaran dengan titik pusat T
Definisi 2.36
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang titik pangkalnya titik pusat lingkaran
dan titik ujungnya sembarang titik pada lingkaran
A B
CD
K L
M
T
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Gambar 2.52 adalah ilustrasi jari-jari lingkaran yang dilambangkan dengan .
Gambr 2.52 Jari-jari lingkaran
Definisi 2.37
Diameter lingkaran adalah ruas garis yang melewati titik pusat lingkaran dan titik
pangkal dan titik ujungnya adalah sebuah titik pada lingkaran. Diameter lingkaran
dilambangkan dengan (Gambar 2.53).
Gambar 2.53 Diameter lingkaran
Definisi 2.38
Busur lingkaran adalah bagian dari lingkaran.
Definisi 2.39
Tali busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Tr
T
d
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
busur
tali busur
Gambar 2.54 Busur dan tali busur
Definisi 2.40
Sudut pusat pada lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran
tersebut.
Gambar 2.55 Sudut pusat
Definisi 2.41
Jarak dari satu titik pada lingkaran dalam satu putaran penuh hingga kembali ke
titik itu disebut keliling lingkaran.
Karena adalah keliling lingkaran dibagi diameternya, maka keliling lingkaran
adalah hasil kali dengan diameter atau dua kali jari-jari lingkaran terse-
but. Jika keliling lingkaran dilambangkan dengan , maka
, sehingga
.
T
C
D
A
B
T
A
B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Teorema 2.20
Panjang busur pada lingkaran sama dengan besarnya sudut pusat dalam satuan
radian yang kaki-kakinya melalui titik pangkal dan titik ujung busur tersebut dika-
likan dengan jari-jari lingkaran.
Bukti:
Diberikan lingkaran dengan pusat dan jari-jari . Misalkan adalah busur pa-
da lingkaran tersebut dengan panjang dan misalkan besar sudut pusat yang
menghadap busur tersebut adalah radian, maka berlaku perbandingan
.
Dengan kata lain,
sehingga . ■
Definisi 2.42
Sudut keliling pada lingkaran adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang
berpotongan di satu titik pada lingkaran.
Gambar 2.56 Sudut keliling
O
A B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
2. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Ruang
Karena geometri bola tidak lepas dari geometri ruang, maka sebelum
membahas geometri bola akan dibahas terlebih dahulu geometri ruang. Berikut
adalah beberapa konsep pada geometri ruang yang dibutuhkan pada geometri
bola.
Definisi 2.43
Bidang adalah himpunan titik-titik yang mempunyai panjang dan lebar.
Gambar 2.57 Bidang
Definisi 2.44
Suatu garis dikatakan tegak lurus bidang jika garis itu tegak lurus pada setiap ga-
ris yang terletak pada bidang itu dan berpotongan dengan garis tersebut.
Gambar 2.58 Garis tegak lurus bidang
Teorema 2.21
Jika suatu garis tegak lurus dengan dua ruas garis yang berpotongan, maka garis
tersebut tegak lurus dengan bidang yang memuat dua ruas garis tersebut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Bukti:
Diketahui dan pada bidang . Misalkan tegak lurus dan
pada titik . Konstruksikan dan konstruksikan sebarang ruas garis pada
dengan titik terletak pada . Perpanjang dengan sedemikian
sehingga . Oleh karena itu, dan juga tegak lurus .
Konstruksikan , , , , , dan .
Gambar 2.59 Garis tegak lurus bidang
Karena , , dan , maka . Oleh
karena itu, . Karena , , dan , maka
. Oleh karena itu, . Karena , , dan
, maka . Oleh karena itu, . Karena
terletak pada , maka .
Karena , , dan , maka . Oleh
karena itu, . Karena , , dan , maka
. Oleh karena itu, . Karena adalah perpanjangan ,
maka
A
B
CD
E
F
M
N
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
.
Jadi, tegak lurus . Berarti tegak lurus terhadap sebarang garis pada
bidang yang berpotongan dengan , sehingga tegak lurus bidang . ■
Definisi 2.45
Perpotongan dua bidang membentuk garis yang disebut rusuk.
Gambar 2.60 Perpotongan dua bidang
Definisi 2.46
Suatu bangun yang terbentuk oleh dua bidang yang berpotongan disebut sudut
dihedral.
Sudut dihedral dapat dinotasikan dengan nama rusuk yang membentuk sudut
dihedral tersebut. Contohnya sudut dihedral pada Gambar 2.61.
A
B
EF
G
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Gambar 2.61 Sudut dihedral
Definisi 2.47
Sudut bidang dari sudut dihedral adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang
terletak pada masing-masing pada bidang, dan tegak lurus rusuk sudut dihedral
pada satu titik di rusuk tersebut.
Contohnya pada Gambar 2.61, adalah sudut bidang dari sudut dihedral
.
Definisi 2.48
Suatu bangun yang terbentuk dari tiga atau lebih bidang yang berpotongan pada
satu titik disebut sudut polihedral. Titik perpotongan bidang-bidang itu disebut
titik puncak (Gambar 2.62).
(a) (b)
Gambar 2.62 Sudut polihedral
Setiap dua bidang pada sudut polihedral membentuk sudut dihedral.
Sama seperti sudut dihedral, perpotongan setiap dua bidang disebut rusuk dari
sudut polihedral.
Sudut polihedral disebut trihedral jika terbentuk dari tiga bidang yang
berpotongan, tetrahedral jika terbentuk dari empat bidang yang berpotongan, dan
seterusnya tergantung jumlah bidang yang membatasi. Jika adalah titik puncak,
A
B
C
S S
A
B C
DE
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
maka trihedral dinotasikan dengan - , tetrahedral dinotasikan dengan -
, dan seterusnya.
Definisi 2.49
Sudut muka dari sudut polihedral adalah sudut yang terbentuk dari dua rusuk
sudut polihedral.
Pada Gambar 2.62(b), adalah titik puncak dan , , ,
adalah rusuk dari sudut polihedral. Sudut , , , ,
adalah sudut muka.
Teorema 2.22
Jumlah besar dua sudut muka trihedral lebih besar dari pada besar sudut muka
ketiga.
Gambar 2.63 Sudut Trihedral
Bukti:
Diberikan sebarang sudut trihedral - dengan lebih besar daripada
dan . Akan dibuktikan .
Pada bidang konstruksikan , sedemikian sehingga
dan . Karena , , dan , maka
. Oleh karena itu .
Pada , . Tetapi karena , maka
S
A
B
CD
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
Pada dan , dan tapi sehingga
Karena , maka
sehingga . ■
3. Konsep-Konsep Dasar dalam Geometri Bola
Geometri bola adalah geometri pada permukaan sebuah bola. Akan
menjadi lebih sederhana jika pada subbab ini dipilih bola dengan radius satu
satuan.
Definisi 2.50
Bola adalah himpunan semua titik di yang berjarak sama terhadap sebuah titik
tertentu, yang disebut titik pusat.
Gambar 2.64 merupakan ilustrasi sebuah bola, dengan titik adalah titik pusat
bola.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Gambar 2.64 Bola dengan titik pusat
Definisi 2.51
Jari-jari bola adalah ruas garis yang titik pangkalnya adalah titik pusat bola dan
titik ujungnya adalah sebuah titik pada permukaan bola.
Gambar 2.65 adalah ilustrasi jari-jari sebuah bola yang dilambangkan dengan .
Gambar 2.65 Jari-jari bola
Definisi 2.52
Diameter bola adalah ruas garis yang melewati titik pusat dan titik pangkal dan
titik ujungnya adalah dua titik pada permukaan bola. Diameter bola seringkali
juga disebut sumbu bola.
Gambar 2.66 adalah ilustrasi diameter bola yang dilambangkan dengan .
O
O O
RR
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Gambar 2.66 Diameter bola
Definisi 2.53
Lingkaran besar pada bola adalah perpotongan antara bola dengan bidang yang
melewati titik pusat bola (Gambar 2.67(a)).
Definisi 2.54
Lingkaran kecil pada bola adalah perpotongan bola dengan bidang yang tidak
melewati titik pusat bola (Gambar 2.67(b)).
Gambar 2.67 (a) Lingkaran besar; (b) lingkaran kecil
Pada geometri Euclides, garis dapat dikonstruksikan dari dua titik.
Demikian pula pada geometri bola, namun “garis” pada geometri bola adalah
lingkaran besar.
Definisi 2.55
Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari bola disebut sudut pusat bola.
O OD
D
O O
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
Definisi 2.56
Busur pada bola adalah busur dari sebuah lingkaran besar. Busur pada bola dilam-
bangkan dengan (Gambar 2.68).
Definisi 2.57
Panjang busur pada bola adalah panjang busur pada lingkaran besar. Dengan kata
lain, panjang busur pada bola adalah besar sudut pusat bola yang menghadap bu-
sur tersebut dikalikan dengan jari-jari bola.
Berdasarkan panjangnya, busur pada bola dibagi menjadi dua macam,
yaitu busur pendek dan busur panjang. Busur pendek adalah busur yang besar su-
dut pusatnya lebih kecil dan busur panjang adalah busur yang besar sudut pusat-
nya lebih besar.
Gambar 2.68 Busur pada bola
Definisi 2.58
Jarak antara dua titik dan pada bola (yang dilambangkan dengan ) adalah
panjang busur pendek yang melalui kedua titik tersebut.
Pada Gambar 2.69, jika adalah jari-jari bola dan
rad, maka
satuan panjang. Karena dalam subbab ini adalah satu satuan, maka
satuan panjang.
P
Q
u
v
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 2.69 Jarak dua titik pada bola
Definisi 2.61
Sudut bola adalah sudut yang dibentuk oleh dua busur yang berpotongan pada
bola. Titik perpotongan dua busur itu disebut titik sudut dan dua busur yang mem-
bentuk sudut bola itu disebut sisi. Besar sudut bola adalah besar sudut bidang dari
sudut dihedral yang dibentuk oleh dua bidang yang melalui busur tersebut.
Pada Gambar 2.70, sudut bola dengan titik sudut yang dibentuk oleh sisi
dan mempunyai besar sudut .
Gambar 2.70 Sudut bola
Definisi 2.60
Dua busur dikatakan tegak lurus jika besar sudut bola yang dibentuk oleh dua
busur tersebut adalah 90°.
A
'A
B C
O
A
B C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Gambar 2.71 Busur tegak lurus
Definisi 2.61
Poligon bola adalah bangun pada permukaan bola yang dibatasi oleh tiga atau
lebih busur pada bola. Busur pembatas itu disebut sisi dari poligon bola, sudut
yang dibentuk oleh dua sisi disebut sudut dari poligon bola, dan titik potong sisi-
sisi disebut titik sudut poligon.
Gambar 2.72 Poligon bola
Dari poligon bola dapat terbentuk sudut polihedral yang titik puncak-
nya adalah titik pusat bola, rusuknya adalah jari-jari bola.
Pada Gambar 2.72, sudut polihedral yang terbentuk adalah - .
Besar sudut muka , , dan berturut-turut sama dengan
, , , dan . Besar sudut bidang dari sudut dihedral dengan rusuk
sama dengan besar sudut bola .
O
O
A BC
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Definisi 2.62
Segitiga bola adalah poligon bola yang terdiri dari tiga busur pada bola. Segitiga
bola disajikan dengan lambang . Busur yang membentuk segitiga bola disebut
sisi dan titik perpotongan sisi-sisi tersebut disebut titik sudut.
Misalnya pada (Gambar 2.73), , , dan adalah titik-titik sudut dan ,
, dan adalah sisi-sisi.
Gambar 2.73 Segitiga bola
Definisi 2.63
Segitiga bola sama kaki adalah segitiga bola yang dua sisinya sama panjang.
Gambar 2.74 Segitiga bola sama kaki
Definisi 2.64
Segitiga bola sama sisi adalah segitiga bola yang ketiga sisinya sama panjang.
A B
C
ab
c
AB
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Gambar 2.75 Segitiga bola sama sisi
Definisi 2.65
Segitiga bola siku-siku adalah segitiga bola yang sekurang-kurangnya satu sudut
besarnya 90°. Segitiga bola siku-siku dengan dua buah sudut siku-siku disebut se-
gitiga bola birectangular, sedangkan segitiga dengan tiga buah sudut siku-siku
disebut segitiga bola trirectangular.
Gambar 2.76 Segitiga bola siku-siku
Definisi 2.66
Lingkaran yang titik-titiknya dan titik pusatnya terletak pada bola disebut lingka-
ran bola. Jari-jari lingkaran bola adalah busur yang titik pangkalnya adalah titik
pusat lingkaran bola itu dan titik ujungnya adalah sebarang titik pada lingkaran
bola itu.
A B
C
A B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Gambar 2.77 Lingkaran Bola
Definisi 2.67
Diameter lingkaran bola adalah busur pada bola yang melewati titik pusat
lingkaran bola itu dan titik pangkal dan titik ujungnya terletak pada lingkaran bola
itu.
Gambar 2.78 Diameter lingkaran bola
Definisi 2.68
Tali busur lingkaran bola adalah busur pada bola yang menghubungkan dua titik
pada lingkaran bola itu.
Gambar 2.79 Tali busur lingkaran bola
A
B
O
A
B
O
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Definisi 2.69
Sudut keliling lingkaran bola adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur ling-
karan bola yang berpotongan di satu titik pada lingkaran bola itu.
Definisi 2.70
Lingkaran bola yang memuat ketiga titik sudut suatu segitiga bola disebut lingka-
ran bola luar segitiga bola.
Pada Gambar 2.80, memiliki lingkaran bola luar segitiga bola
dengan pusat dan memiliki lingkaran bola luar segitiga bola dengan
pusat .
Gambar 2.80 Lingkaran bola luar segitiga bola
Definisi 2.71
Titik pada bola yang jaraknya
dari semua titik pada suatu busur lingkaran besar
disebut kutub dari busur tersebut.
Teorema 2.23
Jika diberikan bola dengan jari-jari satu satuan dan suatu titik pada bola memiliki
jarak
ke sebarang dua titik pada suatu busur lingkaran besar, maka titik itu me-
rupakan kutub dari busur lingkaran besar tersebut.
A
B
C O
X
Y
Z
P
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Bukti:
Gambar 2.81 Kutub
Diberikan bola dengan pusat dan jari-jari satu satuan, sebarang lingkaran besar
dengan titik dan pada lingkaran besar tersebut. Diketahui titik sedemikian
sehingga
dan
, dengan kata lain,
radian.
Menurut Teorema 2.21, tegak lurus bidang lingkaran . Berarti tegak
lurus semua garis yang ada pada bidang lingkaran . Diberikan sebarang titik
pada busur , kontruksikan . Karena tegak lurus semua garis yang ada
pada bidang lingkaran , sehingga tegak lurus , berarti
ra-
dian. Dengan kata lain,
. Jadi adalah kutub dari busur . ■
Definisi 2.72
Jika dan adalah dua segitiga bola sedemikan sehingga adalah
kutub dari busur , adalah kutub dari busur , adalah kutub dari busur
, maka disebut segitiga polar dari .
Gambar 2.82 Segitiga polar
O
P
A B
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Teorema 2.24
Jika adalah segitiga polar dari , maka adalah segitiga polar
dari .
Bukti:
Diberikan adalah segitiga polar dari . Akan dibuktikan
segitiga polar dari
.
Karena adalah segitiga polar dari , maka adalah kutub dari
busur dan adalah kutub dari busur . Oleh karena itu, menurut Definisi
2.71, jarak titik ke titik adalah
dan jarak dari titik ke titik adalah
.
Menurut Teorema 2.23, adalah kutub dari busur . Dengan cara yang sama,
adalah kutub dari busur dan adalah kutub dari busur . Menurut
Definisi 2.72, adalah segitiga polar dari . ■
Teorema 2.25
Dalam dua segitiga polar, masing-masing sudut saling berdampingan dengan sisi
yang berlawanan.
Bukti:
Gambar 2.83 Segitiga polar
Diberikan dua segitiga polar dan , dengan jari-jari bola satu satuan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
Akan dibuktikan
Perpanjang busur dan sehingga memotong busur pada titik dan
seperti pada Gambar 2.83. Sekarang menjadi kutub dari busur sehingga
. Serta
menjadi kutub dari busur sehingga
. Oleh karena
itu,
Karena , maka
.
Karena , maka
Tetapi (tanpa satuan), sehingga
.
Dengan cara yang sama semua lainnya dapat dibuktikan. ■
Definisi 2.73
Dua sisi suatu poligon bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika panjang kedua
sisi tersebut sama.
Definisi 2.74
Dua sudut suatu poligon bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika besar sudut
bola kedua sudut itu sama.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
Definisi 2.75
Dua segitiga bola dikatakan kongruen jika dan hanya jika ada korespondensi satu-
satu antara titik-titik sudut kedua segitiga bola tersebut sedemikian sehingga se-
mua sisi bersesuaiannya kongruen dan semua sudut bersesuaiannya kongruen.
Jika kongruen dengan , maka dinotasikan dengan .
Dengan kata lain, jika dan hanya jika
, ,
dan
, , .
Gambar 2.84 Segitiga bola kongruen
Berikut adalah teorema segitiga bola kongruen.
Teorema 2.26 (SAS: Side-Angle-Side)
Dua segitiga bola kongruen jika dan hanya jika dua sisi yang bersesuaian dari dua
segitiga bola kongruen dan sudut yang dibentuk oleh sisi-sisi itu kongruen.
Gambar 2.85 Segitiga bola kongruen SAS
A
B
C
X
Y
Z
A
B
C
X
Y
Z
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Bukti:
)( Diberikan , maka menurut Definisi 2.75, ,
, , , , dan . Maka
syarat Side-Angle-Side terpenuhi, yaitu , , ;
, , ; dan , , .
)( Diberikan dua segitiga bola dan dengan ,
, dan . Korespondensikan titik sudut dengan titik sudut , titik
sudut dengan titik sudut , dan titik sudut dengan titik sudut . Menurut
Definisi 2.75, jika .
Gambar 2.86 Pembuktian segitiga bola kongruen SAS
Andaikan . Kostruksikan titik sedemikian sehingga dan
. Menurut Definisi 2.75, . Oleh karena itu,
. Karena dan , maka .
Berarti titik dan adalah titik yang berhimpit, jadi . Terjadi
kontradiksi, sehingga dan menurut Definisi 2.75, . ■
Teorema 2.27 (ASA: Angle-Side-Angle)
Dua segitiga bola kongruen jika dan hanya jika dua sudut yang bersesuaian dari
dua segitiga bola kongruen dan sisi yang menghubungkan kedua sudut itu
kongruen.
A
B
C
X
Y
ZD
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Gambar 2.87 Segitiga bola kongruen ASA
Bukti:
)( Diberikan , maka menurut Definisi 2.75, ,
, , , , dan . Maka
syarat Angle-Side-Angle terpenuhi, yaitu , ,
; , , ; dan ,
, .
)( Diberikan dan dengan , , dan
. Korespondensikan titik sudut dengan titik sudut , titik sudut
dengan titik sudut , dan titik sudut dengan titik sudut . Berdasarkan
Teorema 2.26, jika .
Gambar 2.88 Pembuktian segitiga bola kongruen ASA
Andaikan . Konstruksikan titik pada atau perpanjangan
sedemikian sehingga . Menurut Teorema 2.26, . Oleh
A
B
C
X
Y
Z
A
B
C
X
Y
ZD
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
karena itu, , sehingga . Berarti dan
adalah busur yag berhimpit, jadi titik dan juga berhimpit, sehingga
. Kontradiksi dengan pengandaian, jadi . Menurut
Teorema 2.26, . ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
BAB III
SIFAT-SIFAT SEGITIGA PADA GEOMETRI EUCLIDES DAN
GEOMETRI BOLA
A. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Euclides
Telah didefinisikan sebelumnya bahwa segitiga adalah poligon yang
memiliki tiga sisi. Segitiga selalu memiliki tiga sisi merupakan sifat umum sebuah
segitiga. Sebelum membahas sifat-sifat khusus segitiga, terlebih dahulu dibahas
sifat-sifat umum lainnya dari segitiga.
Teorema 3.1
Jumlah panjang dua sisi segitiga lebih besar daripada panjang sisi yang ketiga dan
selisih panjang dua sisi lebih kecil daripada sisi ketiga.
Bukti:
Gambar 3.1 Segitiga
Diberikan dan ruas garis adalah sisi terpanjang. Akan dibuktikan
dan .
Menurut Definisi 2.5, panjang ruas garis adalah jarak terdekat antara titik
dan , sehingga
.
A B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
Maka
dengan kata lain . ■
Setelah mengetahui sifat umum sebuah segitiga, akan dibahas sifat-
sifat segitiga sama kaki, segitiga sama sisi, dan segitiga siku-siku.
1. Segitiga Sama Kaki
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua sisinya kongruen. Sifat-
sifat segitiga sama kaki adalah sebagai berikut.
Teorema 3.2
Sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi-sisi yang kongruen dari suatu segitiga
sama kaki adalah kongruen.
Gambar 3.2 Segitiga sama kaki
Bukti:
Diberikan sebarang segitiga sama kaki , dengan . Konstruksikan
garis bagi pada seperti pada Gambar 3.3.
A B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
Gambar 3.3 Segitiga sama kaki
Karena adalah garis bagi, maka . Oleh karena itu, menurut
Teorema 2.5, , sehingga . ■
Teorema 3.3
Segitiga sama kaki hanya memiliki satu sumbu simetri.
Bukti:
Gambar 3.4 Segitiga bola sama kaki
Diberikan sebarang segitiga sama kaki dengan . Pada Teorema
3.2 telah dibuktikan bahwa garis bagi membagi segitiga sama kaki menjadi
dua segitiga yang kongruen, yaitu . Jadi garis bagi adalah
sumbu simetri segitiga sama kaki .
Konstruksikan garis bagi sehingga dan . Karena sisi
yang kongruen pada segitiga sama kaki adalah dan , maka
belum tentu kongruen dengan sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh
A B
C
A B
C
E F
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
karena itu, . Jadi garis bagi bukan sumbu simetri segitiga sama
kaki .
Konstruksikan garis bagi sehingga dan . Karena sisi
yang kongruen pada segitiga sama kaki adalah dan , maka
belum tentu kongruen dengan sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh
karena itu, . Jadi garis bagi bukan sumbu simetri segitiga sama
kaki .
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga sama kaki hanya
memiliki satu sumbu simetri. ■
2. Segitiga Sama Sisi
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang semua sisinya kongruen.
Berikut adalah sifat-sifat segitiga sama sisi.
Teorema 3.4
Ketiga sudut segitiga sama sisi adalah kongruen, yaitu 60°.
Gambar 3.5 Segitiga sama sisi
Bukti:
Diberikan sebarang segitiga sama sisi, dengan . Konstruk-
sikan garis bagi pada setiap titik sudutnya seperti pada Gambar 3.5.
A B
C
D
E
F
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Menurut Teorema 3.2, karena dan adalah garis bagi , maka
(3.1)
Karena dan adalah garis bagi , maka
(3.2)
Karena dan adalah garis bagi , maka
. (3.3)
Dari persamaan (3.1), (3.2), dan (3.3) dapat disimpulkan
Ketiga sudut pada segitiga sama sisi kongruen. Karena ketiga sudutnya kongruen
dan jumlah ketiga sudut segitiga selalu 180°, maka besar masing-masing sudutnya
adalah 60°. ■
Teorema 3.5
Segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri.
Bukti:
Gambar 3.6 Segitiga sama sisi
Diberikan sebarang segitiga sama sisi , dan . Konstruksikan
garis bagi , sehingga . Karena dan setiap sudut me-
X Y
Y
P
Q R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
miliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh . Jadi garis
bagi adalah sumbu simetri.
Konstruksikan garis bagi , sehingga . Karena dan se-
tiap sudut memiliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh
. Jadi garis bagi adalah sumbu simetri.
Konstruksikan garis bagi , sehingga . Karena dan se-
tiap sudut memiliki sudut yang sama, dengan syarat ASA diperoleh
. Jadi garis bagi adalah simbu simetri.
Jadi segitiga sama sisi mempunyai tiga sumbu simetri. ■
3. Segitiga Siku-Siku
Seperti sudah dijelaskan pada bab sebelumnya, segitiga siku-siku ada-
lah segitiga yang besar salah satu sudutnya adalah 90°.
Teorema 3.6
Diberikan segitiga siku-siku dengan dan garis tinggi
(seperti pada Gambar 3.7), maka (Owen Byer, 2010) :
a.
b. √ ,
, dan
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 3.7 Ilustrasi Teorema 3.6
Bukti:
(a) Karena adalah garis tinggi, maka , , dan adalah
segitiga siku-siku, sehingga
(3.4)
(3.5)
dan (3.6)
Karena , maka dengan substitusi ke (3.1.4) diperoleh
(3.7)
Persamaan (3.7) dikurangi persamaan (3.6) akan menghasilkan
Sehingga
Karena , maka dengan substitusi ke (3.1.4) diperoleh
. (3.8)
Persamaan (3.8) dikurangi persamaan (3.5) akan menghasilkan
.
Oleh karena itu, dengan syarat segitiga sebangun AA, diperoleh
.
(b) Karena , maka
A B
C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
√
Karena , maka
sehingga
.
Karena , maka
sehingga
. ■
Teorema 3.7 (Teorema Pythagoras)
Pada segitiga , jika dan hanya jika .
Bukti:
Gambar 3.8 Segitiga siku-siku
)( Diketahui dan adalah garis tinggi. Oleh karena itu,
. Menggunakan Teorema 3.6(b) didapat
A B
C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
.
)( Diketahui adalah segitiga dengan . Jika
adalah segitiga siku-siku dengan dengan , , dan
, maka dengan menggunakan bagian pertama dengan dari pembuktian ini
diperoleh
√ √ √ .
Dengan SSS diperoleh , sehingga
. ■
Segitiga siku-siku mempunyai teorema tersendiri untuk mencari
panjang sisi miringnya. Hal ini yang membuat segitiga siku-siku istimewa diban-
dingkan dengan segitiga lainnya.
Teorema 3.8 (Teorema Cosinus)
Jika diketahui dengan adalah panjang , adalah panjang , adalah
panjang , dan adalah besar sudut yang menghadap sisi , maka berlaku
.
Bukti:
Diberikan segitiga dengan adalah panjang , adalah panjang ,
adalah panjang , dan adalah besar sudut yang menghadap sisi . Konstruk-
sikan garis tinggi . Misalkan adalah panjang garis tinggi .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Gambar 3.9 Segitiga
Pada segitiga siku-siku berlaku
sehingga (3.9)
dan
sehingga . (3.10)
Pada segitiga siku-siku berlaku
.
Karena , maka
( )
Substitusi dengan persamaan (3.9) dan (3.10), menjadi
( )
. ■
A
BCE
c
a
b h
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Teorema 3.9
Besar sudut keliling adalah setengah besar sudut pusat yang menghadap busur
yang sama.
Bukti:
Gambar 3.10 Sudut pusat dan sudut keliling
Diberikan lingkaran dengan titik pusat , sudut pusat , dan sudut keliling
. Akan dibuktikan
.
Titik adalah titik pada lingkaran sedemikian sehingga ruas garis adalah
diameter lingkaran. Karena , , , dan adalah jari-jari lingkaran, maka
.
Karena dan adalah sudut pelurus, maka
Perhatikan . Karena pada , , maka menurut Teorema 3.2
sehingga
( )
A
B
C
DO
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
.
Karena dan adalah sudut pelurus, maka
.
Selanjutnya perhatikan . Karena pada , maka menurut
Teorema 3.2
Sehingga
( )
.
Karena
dan
maka
. ■
Teorema 3.10
Jika sudut keliling menghadap diamater bola, maka besar sudut keliling itu 90°.
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
Gambar 3.11 Sudut keliling
Diberikan lingkaran dengan titik pusat dan sudut keliling yang
menghadap diameter lingkaran . Akan dibutikan .
Diameter juga merupakan sudut pusat, yaitu . Dari Teorema 3.9
diperoleh
Karena diameter bola adalah sudut lurus, maka
. ■
B. Sifat-Sifat Segitiga pada Geometri Bola
Segitiga bola adalah bentuk pada permukaan bola yang disusun oleh
busur tiga buah lingkaran besar yang tidak melewati titik yang sama. Sama seperti
segitiga pada geometri Euclides, segitiga bola juga terdiri dari enam bagian, yaitu
tiga sisi dan tiga sudut.
Teorema 3.11
Jumlah panjang dua sisi segitiga bola lebih besar daripada panjang sisi yang
ketiga.
A
B
C
O
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
Bukti:
Diberikan bola dengan jari-jari satu satuan, , dan adalah sisi terpanjang.
Akan dibuktikan .
Menurut Definisi 2.57, (tanpa satuan), sehingga menurut Teorema
2.22,
.
Menurut Definisi 2.57,
■
Teorema 3.12
Jumlah panjang ketiga sisi segitiga bola dengan jari-jari satu satuan kurang dari
.
Bukti:
Gambar 3.12 Segitiga bola
Diberikan sebarang dengan jari-jari bola satu satuan. Menurut Teorema
3.11, untuk ,
Karena dan , maka
( ) ( )
A
'A
BC
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
sehingga
. ■
Teorema 3.13
Jumlah besar ketiga sudut segitiga bola lebih besar dari radian dan kurang dari
radian.
Bukti:
Diberikan sebarang dengan jari-jari bola satu satuan satu satuan dan
adalah segitiga polar dari .
Gambar 3.13 Segitiga bola dan segitiga polarnya
Karena dan adalah segitiga polar satu terhadap yang lain, maka
menururt Teorema 2.25
, , .
Oleh karena itu,
( )
Menurut Teorema 3.11, , maka
. ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
Setelah mengetahui sifat-sifat umum sebuah segitiga bola, selanjutnya
akan dibahas sifat-sifat segitiga bola sama kaki, segitiga bola sama sisi, dan segiti-
ga bola siku-siku.
1. Segitiga Bola Sama Kaki
Menurut Definisi 2.63 segitiga bola sama kaki adalah segitiga bola
yang dua sisinya sama panjang. Sifat-sifat segitiga bola sama kaki adalah sebagai
berikut.
Teorema 3.14
Segitiga bola sama kaki jika dan hanya jika memiliki dua sudut yang sama besar.
Bukti:
Gambar 3.14 Segitiga bola sama kaki
)( Diberikan dengan . Akan dibuktikan bahwa
.
Konstruksikan busur dari lingkaran besar dari titik ke titik sehingga
. Karena dan , maka menurut Definisi 2.74,
. Oleh karena itu .
)( Diberikan sebarang segitiga bola dan . Akan
dibuktikan .
AB
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Gambar 3.15 Pembuktian Teorema 3.14
Diberikan segitiga polar dari segitiga . Karena ,
maka menurut Teorema 2.25
sehingga menurut bagian pertama pembuktian ini
dan menurut Teorema 2.25
. ■
Teorema 3.15
Segitiga bola sama kaki hanya memiliki satu sumbu simetri.
Bukti:
Gambar 3.16 Segitiga bola sama kaki
A
D
E F
B
C
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
Diberikan segitiga bola sama kaki dengan . Konstruksikan busur
sedemikian sehingga . Oleh karena itu, dengan Teorema 2.26,
yaitu , , dan , diperoleh . Jadi,
merupakan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .
Konstruksikan busur sedemikian sehingga . Karena sisi yang
kongruen pada adalah dan , maka belum tentu kongruen dengan
sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh karena itu, . Jadi
bukan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .
Konstruksikan busur sedemikian sehingga . Karena sisi yang
kongruen pada adalah dan , maka belum tentu kongruen dengan
sehingga tidak memenuhi syarat SAS. Oleh karena itu, . Jadi
bukan sumbu simetri segitiga bola sama kaki .
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa setiap segitiga bola sama kaki hanya
memiliki satu sumbu simetri. ■
Teorema 3.16
Jika dua sudut dari segitiga bola tidak sama, maka sisi yang lebih besar adalah sisi
yang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
Bukti:
Gambar 3.17 Pembuktian Teorema 3.16
A B
C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Diberikan sebarang segitiga bola , dengan . Akan
dibuktikan .
Konstruksikan dari lingkaran besar, sehingga . Maka
menurut Teorema 3.14, . Menurut Teorema 3.11
sehingga .
Karena , maka
. ■
2. Segitiga Bola Sama Sisi
Menurut Definisi 2.64, segitiga bola sama sisi adalah segitiga bola
yang tiga sisinya sama panjang. Sifat-sifat segitiga bola sama kaki adalah sebagai
berikut.
Teorema 3.17
Segitiga bola sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama besar.
Bukti:
Gambar 3.18 Segitiga bola sama sisi
A B
C
D
E
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Diberikan segitiga bola sama sisi dengan . Akan
dibuktikan .
Pada bagian pertama pembuktian Teorema 3.14 telah dibuktikan bahwa jika
maka .
Demikian pula, karena , maka . Jadi diperoleh
.
Diberikan sebarang segitiga bola dan .
Akan dibuktikan .
Pada bagian kedua pembuktikan Teorema 3.14 telah dibuktikan bahwa jika
maka .
Demikian pula, karena maka
,
sehingga diperoleh
. ■
Teorema 3.18
Segitiga bola sama sisi memiliki tiga sumbu simetri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Bukti:
Gambar 3.19 Segitiga bola sama sisi
Diberikan sebarang segitiga bola sama sisi dengan .
Konstruksikan sedemikian sehingga . Karena , maka
menurut Teorema 2.26 diperoleh . Jadi adalah sumbu simetri
dari segitiga bola sama sisi .
Konstruksikan sedemikan sehingga . Karena , maka
menurut Teorema 2.26 diperoleh . Jadi adalah sumbu simetri
dari segitiga bola sama sisi .
Konstruksikan sedemikian sehingga . Karena , maka
menurut Teorema 2.26 diperoleh . Jadi adalah sumbu simetri
dari segitiga bola sama sisi .
Jadi segitiga bola sama sisi memiliki tiga buah sumbu simetri. ■
3. Segitiga Bola Siku-Siku
Menurut Definisi 2.65 segitiga bola siku-siku adalah segitiga bola
yang sekurang-kurangnya satu sudut besarnya 90°. Sifat-sifat segitiga bola siku-
siku adalah sebagai berikut.
X
P
Q R
Y
Z
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
Pada geometri Euclides, sudut keliling yang menghadap diameter
lingkaran besarnya pasti 90°. Namun, ada perbedaan pada geometri bola.
Teorema 3.19
Sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran luar segitiga bola besarnya
lebih dari
radian.
Bukti:
Gambar 3.20 Sudut keliling pada bola
Diberikan sudut keliling yang menghadap diameter dari lingkaran luar
dengan pusat . Akan dibuktikan
radian.
Titik , , terletak pada lingkaran luar segitiga bola dengan titik pusat ,
sehingga
.
Oleh karena itu dan adalah segitiga bola sama kaki. Karena
adalah segitiga sama kaki maka menurut Teorema 3.14
Demikian pula, karena adalah segitiga bola sama kaki, maka
A
B
C
D
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
Karena jumlah sudut pada segitiga bola lebih besar dari radian, maka
radian.
Karena dan ,
maka
radian.
Karena , maka
radian
radian
Jadi
radian. ■
Teorema 3.20 (Teorema Cosinus Bola)
Jika diketahui dengan adalah panjang busur , adalah panjang busur
, adalah panjang busur , adalah besar sudut bola dari busur dan ,
dan adalah panjang jari-jari bola, maka
(
) (
) (
) (
) (
) .
Bukti:
Diketahui segitiga bola dengan adalah titik pusat bola. Segitiga bola
membentuk sudut trihedral - . Konstruksikan yang tegak lurus
dengan titik terletak pada perpanjangan dan konstruksikan tegak lurus
dengan titik terletak pada perpanjangan .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
Gambar 3.21 Segitiga bola
Menurut Definisi 2.57,
sehingga
,
sehingga
,
dan sehingga
.
Pada dan , menurut Teorema Cosinus pada geometri Euclides
(
) (3.11)
dan ( ).
Karena pada bidang dan pada bidang tegak lurus dengan ,
maka . Jadi
(3.12)
Karena dan adalah segitiga siku-siku, maka
dan . (3.13)
Substitusi persamaan (3.13) ke persamaan (3.11), sehingga
(
)
A
B
C
O
D
E
a
b
c
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
(
) . (3.14)
Persamaan (3.14) dikurangi persamaan (3.12) menghasilkan
(
)
sehingga
(
)
(
)
(
) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) (
) (
) (
) (
) . ■
Teorema 3.21 (Teorema Pythagoras Bola)
Jika adalah segitiga bola siku-siku dengan ,
, , , , , dan jari-jari bola , maka
(
) (
) (
)
Gambar 3.22 Segitiga bola
A B
C
ab
c
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
Bukti:
Menurut Teorema Cosinus Bola yang berlaku untuk sebarang segitiga bola
dengan , , , , dan jari-jari , maka
(
) (
) (
) (
) (
) .
Karena , maka , sehingga
(
) (
) (
). ■
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
BAB IV
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan pada bab-bab sebelumnya, dapat diam-
bil kesimpulan mengenai sifat-sifat segitiga pada geometri Euclides dan geometri
bola serta perbandingannya seperti terangkum pada tabel di bawah ini:
Jenis
Segitiga
Sifat Geometri Euclides Geometri Bola
Sebarang
segitiga
a. Kekongruenan SAS, ASA, dan
AAS
SAS dan ASA
b. Kesebangunan AA, SAS, dan SSS Tidak ada
c. Jumlah
panjang dua
sisi
Jumlah panjang dua
sisi lebih besar dari-
pada panjang sisi ke-
tiga
Jumlah panjang dua sisi le-
bih besar daripada panjang
sisi ketiga
d. Jumlah
panjang ketiga
sisi (
(jari-jari bola
satu satuan)
e. Jumlah besar
ketiga sudut
180° ( radian) Lebih besar dari radian
dan kurang dari radian
f. Teorema
Cosinus
( adalah panjang
sisi yang mengha-
dap sudut , dan
dan adalah pan-
(
) (
) (
)
(
) (
)
( adalah panjang sisi yang
menghadap sudut bola ,
dan adalah panjang dua
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
jang dua sisi lain-
nya)
sisi lainnya, dan adalah
jari-jari bola)
Segitiga
sama
kaki
a. Jumlah sisi
kongruen
Dua sisi Dua sisi
b. Jumlah sudut
kongruen
Dua sudut Dua sudut
c. Jumlah sumbu
simetri
Satu sumbu simetri Satu sumbu simetri
Segitiga
sama sisi
a. Jumlah sisi
kongruen
Tiga sisi Tiga sisi
b. Jumlah sudut
kongruen
Tiga sudut Tiga sudut
c. Jumlah sumbu
simetri
Tiga sumbu simetri Tiga sumbu simetri
Segitiga
siku-siku
a. Jumlah sudut
siku-siku
Tepat satu sudut Sekurang-kurangnya satu
sudut
b. Teorema
Pythagoras
( adalah panjang
sisi yang mengha-
dap sudut siku-siku,
dan dan adalah
panjang dua sisi
lainnya)
(
) (
) (
)
( adalah panjang sisi yang
menghadap sudut bola si-
ku-siku, dan adalah
panjang dua sisi lainnya,
dan adalah jari-jari bola)
B. Saran
Untuk penelitian selanjutnya, dapat dibahas mengenai sifat-sifat
bangun lain seperti bangun segiempat. Peneliti selanjutnya dapat membandingkan
sifat-sifat segiempat pada geometri Euclides dengan sifat-sifat segiempat pada
geometri bola.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
DAFTAR PUSTAKA
Ariawan, I Putu Wisna. (2014). Geometri Bidang. Yogyakarta: Graha Ilmu.
Brenke, C. William. (1943). Plane and Spherical Trigonometry. New York: The
Dryden Press.
Brink, Raymond W. (1942). Spherical Trigonometry. New York: Appleton
Century Croffs, Inc.
Byer, O., Lazebnik F., dan Smeltzer L. D. (2010). Methods for Euclidean
Geometry. Washington DC: The Mathematical Association of America.
Dickinson, William dan Mohammad S. (2008). The Right Right Triangle on The
Sphere. The College Mathematics Journal. (39) 1: 24-33.
Hvidsten, Michael. (2004). Geometry with Geometry Explorer. New York:
McGraw-Hill.
Kay, David C. (1993). College Geometry: A Discovery Approach. New York:
Harper Collins Publishers.
Wentworth, George A. dan David Eugene S. (1939). Plane and Solid Geometry.
Boston: Ginn & Company Publishers.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI