7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 1/10
TUGAS MATA KULIAH ANALISIS STATISTIKA
(Ringkasan Bab 4 : Penarikan Contoh dari Sebuah Populasi Normal)
Oleh :
Nama : Ikin Sodikin
NIM : 156090500111001
Tanggal : Senin, 21 September 2015
JURUSAN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG
2015
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 2/10
BAB IV
PENARIKAN CONTOH DARI SEBUAH POPULASI NORMAL
4.1 PENDAHULUAN
Penghitungan statistik-statistik yang banyak digunakan seperti , dan s sebagai ukuran
pemusatan dan penyebaran telah dibicarakan. Bila dihitung sebagai contoh, merupakan
nilai dugaan tak-bias bagi parameter populasi µ dan (salah satu sifat penduga yang mengharuskan
nilai tengah semua kemungkinan nilai dugaan dari suatu penduga sama dengan parameter yang
diduga), sedangkan s adalah nilai dugaan berbias bagi σ (karena pembaginya n-1, bukan n).
Simpangan baku nilai tengah dapat diduga dari pengamatan-pengamatan contoh melalui rumus
√ , sedangkan dalam hal ini s adalah simpangan baku contoh.
Meskipun merupakan nilai dugaan tak bias bagi µ dan , tetapi kecil sekali
kemungkinannya sama dengan parameter itu sendiri. Oleh karena itu, disarankan untuk membuat
selang kepercayaan di sekitar dengan memanfaatkan sebaran t , sehingga memberikan
keyakinan yang cukup berarti bahwa µ atau berada di dalam selang ini. Dengan cara tersebut
akan diperoleh proporsi selang yang mencakup µ, disebut sebagai peluang kepercayaan (confidence
probability) atau koefisien kepercayaan (confidence coefficient).
Metode empirik, sejauh ini, digunakan untuk memperoleh hasil-hasil berdasarkan teorema-teorema
dan prosedur-prosedur matematik dengan tingkat ketelitian yang memadai melalui penarikan
contoh berskala besar. Bab ini akan menjelaskan penggunaan penarikan contoh sebagai metode
untuk memeriksa sebaran sejumlah statistik dan prosedur pembuatan selang kepercayaan.
4.2 POPULASI NORMAL
# SEBARAN NORMAL
Sebaran normal merupakan salah satu bentuk sebaran yang sangat penting dalam teori maupun
penerapan statistika. Bentuk sebarannya menyerupai genta atau lonceng, dan disebut juga sebagai
kurva Gauss. Lokasi pusat kurva ini terletak pada µ dan gemuk kurusnya kurva bergantung pada
besarnya . Nilai yang kecil akan menyebabkan kurvanya tinggi dan ramping, sebaliknya akan
menyebabkan kurvanya pendek dan gemuk. Sebaran normal termasuk ke dalam sebaran peubahacak kontinu (dalam bentuk decimal dan biasanya dapat diukur, spt tinggi badan, berat badan, luas
lahan dan sejenisnya).
Berikut ini beberapa karakteristik atau ciri dari sebaran normal :
1) Karakteristik yang paling kasat mata adalah bentuk dari sebaran normal. Seperti yang
disebutkan sebelumnya bahwa sebaran Normal berbentuk lonceng (bell-shaped ).
2)
Simetris; simetris terhadap rata-ratanya. Rata-rata ini ditunjukkan oleh 'midpoint' di Gambar
N.1.
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 3/10
3)
Rata-rata, modus, dan median terletak pada satu titik yang sama. Titik ini ditunjukkan oleh
'midpoint' di Gambar N.1. Note: nilai rata-rata yang dimaksud adalah rata-rata hitung atau
aritmetik; yakni rata-rata yang pada umumnya = jumlah seluruh data dibagi banyaknya data.
4)
Keseluruhan luas di bawah kurva normal bernilai 1. (Hal ini dapat dipahami dari konsep
sebaran peluang: contoh sebaran peluang yang jumlah peluang muncul A dan peluang
muncul G dari pelemparan sebuah koin adalah 1 ).
5) Asimptotic: kurva normal bersifat asimtot; maksudnya adalah kurva akan mendekati sumbu
horizontal namun tidak pernah menyentuhnya (seperti diperlihatkan pada Gambar N.2).
6) Ukuran lokasi dan dispersi ditunjukkan oleh nilai rata-rata (µ) dan standar deviasi (σ).
Berikut ini ditampilkan beberapa gambar terkait kurva normal (diambil dari powerpoint yang tidak
menyebutkan sumber sehingga tidak dapat mencantumkan sumbernya di sini) :
Gambar N.1 Bentuk Kurva Sebaran Normal Gambar N.2 Kurva Sebaran Normal
Gambar N.3. Sebaran Normal dengan Beberapa Standar Deviasi
Gambar N.3. merupakan sebaran normal dengan µ=20 dan σ = 3.1, 3.9, dan 5.0. Jika diperhatikan,
sebaran normal dengan STD (standar deviasi) yang semakin tinggi akan semakin landai; puncaknya
semakin rendah; data semakin tersebar. Seperti telah kita ketahui bahwa standar deviasi merupakan
salah satu ukuran penyebaran data yang mencerminkan keragaman data, bagaimana data menyebar
di sekitar rata-rata. Standar deviasi merupakan akar dari varians, dan varian dihitung dengan
menjumlakan jarak antara data dengan rata-rata yang telah dikuadratkan kemudian dibagi dengan
banyaknya data atau n. Dari rumus terlihat bahwa STD merupakan ukuran rata-rata jarak antara datadengan rata-rata.
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 4/10
Gambar N.4. berikut ini memperjelas bahwa semakin kecil sigma, maka semakin mengerucut data ke
nilai tengah.
Gambar N.4. Sebaran Normal dengan µ dan σ berbeda
Jika memiliki nilai σ sama, bentuk kurvanya akan sama seperti diperlihatkan dalam gambar berikut :
Gambar N.5. Sebaran Normal dengan σ sama dan σ berbeda
# POPULASI NORMAL
Populasi normal yaitu populasi yang memiliki sebaran normal, berasal dari suatu peubah kontinu
dengan batas tak terhingga (- ∞ sampai dengan ∞), dengan demikian suatu pengamatan dari
populasi normal dapat berupa sembarang bilangan nyata, positif, atau negatif.
Ciri menonjol dari populasi dengan sebaran normal dapat diperlihatkan dari histogram sebaran data,
dimana data pada sumbu mendatar dan frekuensi data pada sumbu tegak. Nilai-nilai pengamatan
akan terkonsentrasikan di pusat dan kemudian menyebar secara setangkup ke kedua arah, mula-
mula cepat tetapi kemudian semakin lambat. Selain itu, juga dapat dijelaskan dengan penyajian
grafik yang menggambarkan keseluruhan data pengamatan secara kumulatif. Dari grafik ini, untuk
menentukan banyaknya pengamatan (atau posisi dalam susunan tabel) dapat dilakukan dengan cara
menarik sebuah garis tegak dari sebuah titik pada sumbu mendatar sehingga memotong kurva dan
kemudian tarik garis mendatar dari titik potong dengan kurva sampai memotong sumbu tegak, dan
disitulah bilangan yang dicari itu ditemukan.
Apabila sebuah populasi normal disusun dalam sebuah tabel sebaran frekuensi dengan lebar kelas
tertentu, maka akan terlihat bahwa frekuensi data yang muncul akan terpusat ke lokasi nilai tengah
data populasi.
4.3 CONTOH ACAK DARI SUATU SEBARAN NORMAL
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 5/10
Pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa seseorang tidak dapat mengambil suatu
contoh acak jika tidak menggunakan suatu proses mekanik. Proses mekanik untuk mendapatkan
contoh acak atau memasukkan unsur keacakan dalam suatu percobaan atau survey biasanya
menggunakan suatu tabel bilangan teracak seperti Tabel A.1. Tabel ini tersusun dari angka-angka
0,1,2,3,…..9 yang disusun dalam bentuk 100 baris dengan masing-masingnya 100 angka; jadi secara
keseluruhan ada 10000 angka acak. Angka-angka ini dihasilkan oleh sebuah computer sedemikian
rupa sehingga tidak ada alasan untuk mengharapkan bahwa suatu bilangan tertentu muncul lebih
sering daripada bilangan lainnya. Atau suatu sekuens bilangan muncul lebih sering daripada sekuens
lainnya, kecuali karena kebetulan.
Prosedur pengambilan contoh acak dengan menggunakan tabel A.1 demikian bersifat acak, setara
dengan mengambil sampel dari sebuah kantung yang berisi 100 gulungan kertas kecil yang
bertuliskan nilai pengamatan. Setiap kertas dikembalikan lagi setelah dicatat angkanya, untuk
kemuadian diasuk sebelum pengambilan berikutnya. Sehingga, penarikan contoh ini dikatakan
dengan pemulihan (with replacement). Setiap pengamatan mungkin terambil lebih dari sekali.
Penarikan contoh selalu berasal dari populasi yang sama dan peluang terpilihnya suatu pengamatan
secara praktis sama. Prosedur ini pada hakikatnya sama seperti mengambil contoh dari sebuah
populasi tak terhingga.
Penarikan contoh acak tidak boleh dilakukan secara subjektif, tetapi harus merupakan akibat dari
suatu metode yang objektif dan lebih disukai yang mekanik. Contohnya adalah dengan
menggunakan Tabel Acak A.1 tersebut tadi. Agar mudah, setiap individu dalam populasi diberi
nomor urut.
4.4 SEBARAN NILAI TENGAH CONTOH
Sebaran nilai tengah contoh dapat dilihat dengan cara menyusun tabel frekuensi dari penarikan
sejumlah contoh acak yang terdiri dari n pengamatan. Dengan lebar selang yang ditentukan, tabel
frekuensi yang disusun tersebut menonjolkan beberapa ciri dari penarikan contoh, yaitu :
a)
Sebaran nilai-tengah mendekati normal; Teori mengatakan bahwa walaupun populasi
induknya menyimpang dari normal, sebaran nilai-tengah contoh cenderung mendekati
normal bila ukuran contohnya semakin besar. Hal ini sangat penting, karena dalam
penerapannya, bentuk sebaran populasi induk jarang sekali diketahui.
b) Rata-rata dari nilai tengah-nilai tengah contoh acak mendekati nilai µ (nilai tengah populasi
induknya). Ini mengilustrasikan sifat ketakbiasan. Nilai tengah contoh dikatakan tak berbiaskarena nilai tengah dari semua nilai tengah contoh sama dengan nilai tengah populasi
induknya. Dalam teladan rata-rata dari ke-500 nilai-tengah contoh sebesar 39.79 lb, sangat
dekat dengan µ = 40 lb (nilai tengah populasi induknya).
c)
Keragaman nilai tengah contoh jauh lebih kecil daripada keragaman individunya (namun
hampir sama/mendekati). Sesuai teori bahwa (untuk populasi), dan
(untuk
contoh). Dalam teladan, untuk populasi dan √ ,
sedangkan untuk contoh, jika rumus diatas diterapkan terhadap rata-rata dari ke-500 ragam
contoh, maka diperoleh
dan
√ , sedangkan
apabila menggunakan perhitungan secara langsung terhadap masing-masing semua nilai-
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 6/10
tengahnya diperoleh ∑ ∑ ∑ ∑
dan menjadi =
(3.71)2 = 13.76 lb
2.
4.5 SEBARAN RAGAM CONTOH DAN SIMPANGAN BAKU
Untuk setiap contoh, dihitung ragam dan simpangan bakunya. Berikut ringkasan nilai-nilainya
a) Ragam-ragam dari penarikan sejumlah contoh acak yang terdiri dari n pengamatan, akan
menumpuk disebelah kiri nilai-tengahnya, tapi mengurus disebelah kanannya (dalam arti lain
sebarannya menjulur ke kanan). Besaran ragam ( ) menyebar
menurut sebaran dengan derajat bebas (n-1). Dalam teladan, (dari tabel 4.5 sebaran
frekuensi 500 ragam bagi contoh acak 10 pengamatan), ragam contoh acaknya adalah
(diperoleh dengan merata-ratakan semua ragam contoh acaknya), sangat
menghampiri ragam populasinya Fakta ini mengilustrasikan ketakbiasan dari
sebagai suatu nilai dugaan bagi . Nilai-nilainya bervariasi antara 20 sampai dengan 380 lb2
.b)
Sedangkan simpangan-simpangan bakunya akan terlihat bahwa ragam diatas rata-ratanya
bertambah lebih cepat dibandingkan dengan ragam diatas rata-ratanya. Penarikan akar dari
ragam-ragamnya telah menghilangkan sifat kemenjuluran yang diperlihatkan oleh sebaran
dari ragam. Dalam teladan, (dari tabel 4.6 sebaran frekuensi 500 simpangan baku padanan
ragam) diperoleh nilai ̅ (diperoleh dengan cara merata-ratakan semua
simpangan baku contoh acaknya), sedangkan simpangan baku populasi = 12 lb. Dengan
cara menduga, melalui akar dari rataan ragamnya yaitu √ . Tidak
mengherankan bahwa ̅ lebih kecil daripada , karena s menduga lebih kecil σ (s penduga
yang bias bagi σ). Untuk mendapatkan nilai dugaan tak bias bagi σ, maka rumus ⟨ ⟩ akan menjadi hampiran yang sangat baik, bahkan
untuk n yang kecil sekalipun.
4.6. KETAKBIASAN
Penduga tak bias bagi adalah ∑ . Bila ragam contoh didefinisikan
sebagai ∑ , maka akan diperoleh suatu penduga yang berbias bagi , karena rata-
rata dari populasi nilai-nilai ini adalah (n-1) /n. Jumlah kuadrat dapat diperoleh kembali dari
persamaan (n-1) = ∑ . Perbedaan antara nilai-nilai yang diperoleh dengan
menggunakan n dan n-1 jelas semakin kecil jika n semakin besar.
Dalam teladan, rata-rata dari 500 ragam contoh, adalah 140.4 (dimana
∑ ), mendekati nilai
(ragam populasi induk). Sedangkan apa bila menggunakan rumus∑
(nilai ini jauh lebih kecil dari 140.4).
4.7 SIMPANGAN BAKU NILAI TENGAH CONTOH ATAU GALAT BAKU
Simpangan baku nilai-tengah merupakan salah satu statistik yang paling bermanfaat. Besaran ini
dihitung menurut rumus √
, dan merupakan penduga yang berbias bagi
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 7/10
(simpangan baku nilai-tengah dari suatu contoh acak berukuran n yang berasal dari suatu
populasi induk dengan simpangan baku σ.
Sesuai teladan dari tabel 4.1, untuk suatu contoh berukuran n=10, maka nilai dugaan bagi
simpangan baku populasi
√
√ . Sedangkan untuk mendapatkan nilai dugaan
bagi ragam dari ke-500 contoh itu, dapat dihitung melalui 3 cara sebagai berikut
a) ;
b) ̅ √ √ ; atau
c) ∑ ∑ ∑ ∑
Jadi prosedur pertama lebih baik jika dibandingkan dengan prosedur lainnya, yaitu dengan
menarik akar dari rata-rata ragam 500 contoh dibagi dengan n=10. Kesesuaian yang sangat dekat
antara nilai ini membuat kita dapat mengatakan dengan lebih yakin bahwa hubungandengan memang sah.
Setiap contoh acak selalu dapat menghasilkan sebuah nilai dugaan bagi galat baku nilai
tengah contoh .
Ragam, baik populasi maupun contoh, dari suatu nilai tengah contoh berbanding terbalik dengan
n, sedangkan simpangan baku nilai tengah contoh berbanding terbalik dengan √ .
4.8 SEBARAN t-STUDENT
Willian Sealy Gosset melihat bahwa penggantian dan s dalam perhitungan nilai-nilai Z tidakdapat dipercaya untuk contoh-contoh berukuran kecil, oleh karena itu sebuah peubah yang
berhubungan erat dengan peubah
, sebuah bentuk yang melibatkan dua statistik
dan , digunakan sebagai penduga untuk contoh yang berasal dari suatu sebaran normal
yang dikenal dengan t-student .
t-Student adalah simpangan nilai-tengah contoh dari nilai-tengah populasi dalam satuan
simpangan baku nilai-tengah contoh (suatu ukuran yang sering digunakan untuk menilai biasa
atau tidak biasanya suatu simpangan.
Setiap nilai derajat bebas, t mempunyai sebaran tersendiri. Dari Tabel A.3 yang memuat nilai-
nilai t, dibagian atasnya mencantumkan nilai peluang untuk nilai-nilai t lebih besar (tanda
diabaikan), peluang-peluang ini disebut sebagai peluang dua arah (two tailed probabilities).
Sedangkan, dibagian bawahnya memberikan peluang untuk nilai-nilai t yang lebih besar (tanda
tidak diabaikan), disebut juga peluang satu arah (one tailed probabilities).
Kurva untuk t bersifat setangkup, seperti yang diimplikasikan pada sebaran normal Z, namun
kurva bagi peubah acak t lebih landai (disebabkan nilai ragamnya σ>1, sedangkan ragam pada
sebaran Z, σ=1); dibagian sekitar pusat terletak dibawah kurva bagi Z, sedangkan di kedua
ekornya terletak disebelah atasnya. Bila derajat bebasnya semakin besar, dalam hal ini, n makinbesar, maka sebaran bagi t semakin mendekati normal. Oleh karena itu, pada tabel A.3 baris
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 8/10
terakhir db = ∞. Salah satu ciri penting dari dari t untuk contoh yang berasal dari populasi
normal adalah bahwa komponen-komponennya, yaitu dan , tidak menunjukkan adanya
hubungan.
Meskipun merupakan nilai dugaan tak bias bagi µ dan , tetapi kecil sekali
kemungkinannya sama dengan parameter itu sendiri. Oleh karena itu, disarankan untuk
membuat selang kepercayaan di sekitar dengan memanfaatkan sebaran t , sehingga
memberikan keyakinan yang cukup berarti bahwa µ atau berada di dalam selang ini. Dengan
cara tersebut akan diperoleh proporsi selang yang mencakup µ, disebut sebagai peluang
kepercayaan (confidence probability) atau koefisien kepercayaan (confidence coefficient).
Dengan menggunakan , kita ingin membuat selang sehingga dengan peluang tertentu
parameter µ berada di dalam atau di luar selang itu.
Pada pernyataan peluang :
(
) , yang mengatakan bahwa
peluang peubah acak t terletak di dalam selang dan adalah 0.95. Perhatikan
bahwa t sesungguhnya sama dengan Z tetapi dengan mengganti simpangan baku populasi
dengan nilai dugaannya dari contoh. Dengan demikian tinggal satu parameter populasi µ yang
tidak diketahui dalam peubah acak itu. Maka pernyataannya menjadi : , sekarang pernyataan ini menyatakan bahwa peluang µ terletak dalam
selang acak ( ) adalah 0.95.
Pada teladan dari tabel 4.3 dan 4.7, dalam suatu populasi nilai-nilai t, 2.5 persen lebih besar dari
+2.262 dan 2.5 persen lebih kecil dari -2.262 (terlihat dari frekuensi kumulatif satu arah pada
teoritisnya), nilai ini dilambangkan dengan
. Sedangkan jika dilihat dari frekuensi kumulatif
dua arah teoritisnya, dikatakan bahwa 5 persen dari nilai-nilai t terletak disebelah kanan dari
1.833, nilai ini dilambangkan dengan .
Dari tabel tersebut menunjukkan adanya kesesuaian yang memadai antara nilai-nilai contoh
dengan teoritiknya. Suatu perbandingan antara nilai-nilai contohdengan teoritiknya pada taraf
peluang yang lain juga menunjukkan adanya kesesuaian yang memadai.
4.9 PERNYATAAN KEPERCAYAAN
Untuk melihat apakah kepercayaan yang dinyatakan masih dapat diterima atau tidak, maka
harus dilakukan pemeriksaan terhadap pernyatan-pernyatan kepercayaan yang didasarkan padanilai-nilai contoh. Untuk setiap contoh acak dan sembarang taraf peluang, dibuat sebuah selang
kepercayaan disekitar nilai-tengah contohnya, yaitu dengan menyelesaikan kedua persamaan ± t
=
bagi µ sehingga diperoleh µ = (dalam hal ini dilambangkan l1 dan l2. Keduanya
merupakan titik ujung selang kepercayaan tertentu.
Didalam praktiknya nilai parameter µ tidak diketahui, sehingga hanya diketahui persentase
penarikan kesimpulan yang benar mengenai µ dan tidak pernah mengetahui apakah µ terletak
dalam suatu selang kepercayaan tertentu.
Sebaran nilai-tengah contoh terpusat pada nilai-tengah populasi dan tidak pada nilai-tengah
contoh tertentu. Sehingga salah apabila ada anggapan bahwa selang kepercayaan 95 persen
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 9/10
disekitar nilai-tengah contoh menunjukkan bahwa 95 persen dari nilai-tengah-nilai-tengah
contoh akan jatuh di dalam selang tertentu. Akan lebih baik jika digunakan prosedur
pengamatan atau nilai-tengah yang akan datang atau dengan prosedur selang toleransi.
4.10 PENARIKAN CONTOH SELISIH DUA PENGAMATAN
Untuk menentukan apakah ada perbedaan respon yang sesungguhnya natara dua perlakuan
atau apakah perbedaan yang teramati cukup kecil untuk berasal dari faktor kebetulan, maka
dapat dilakukan dengan memperhatikan hasil-hasil dari suatu prosedur penarikan contoh
terhadap dua perlakuan boneka. Dengan kata lain, mengambil contoh dari satu populasi tetapi
menganggap data yang diperolehnya seolah-olah berasal dari dua populasi.
Beda dua pengamatan yang diambil secara acakdari suatu populasi normal akan menyebar
normal pula dengan nilai tengah nol.
Pada teladan dari penarikan 500 contoh acak dari tabel 4.1, dipasang-pasangkan secara acak dan
selisih antara unsur pertama dan kedua dari setiap pasangan diperoleh. Untuk setiap contoh
yang terdiri atas 10 beda (D) sebanyak 250 contoh, kemudian diperoleh statistik-statistik berikut
yang diilustrasikan melalui tabel 4.8 , 4.9, 4.10, dan 4.11 :
a) Nilai-tengah Beda : -0.533 (mendekati nilai 0, yaitu sebagai nilai tengah populasi)
b)
Ragam dari beda-beda :
-
Dari rata-rata dari 250 ragam beda ( ) = 272.7
- Dengan menduga dari nilai . Sesuai dengan kaidah aritmetika diperlihatkan bahwa jika
, maka 2 dapat diduga dengan 2 . Sehingga dari tabel 4.5, telah
diketahui , jadi 2
Keduanya cukup dekat dengan 2=2(144)=288, hasil ini mengilustrasikan bahwa ragam
beda pengamatan berpasangan yang diambil secara acak dua kali dari ragam pengamatan
dalam populasi induknya. Sehingga dapat dikatakan bahwa ragam contoh dari beda
pengamatan berpasangan merupakan penduga tak bias bagi 2.
c)
Simpangan baku beda
- Rata-rata simpangan baku 250 beda ( = 16.04, atau
-
√
Keduanya masih dekat dengan simpangan baku populasi beda √ √ .
Simpangan baku itu sedikit berbias, sedangkan ragam bersifat tak bias.
d) Simpangan baku beda nilai tengah
Diketahui bahwa , dengan arti lain bahwa ragam suatu beda antara
dua nilai tengah, dilambangkan dengan , bila setiap nilai tengah berasal dari n
pengamatan. Jadi
.
-
Untuk ke 250 contoh diperoleh nilai
, atau
7/23/2019 Pengambilan Contoh dari Populasi Normal
http://slidepdf.com/reader/full/pengambilan-contoh-dari-populasi-normal 10/10
-
e) Nilai t
Nilai ini dihitung dengan rumus
, suatu simpangan dari nilai tengah populasi dalam
satuan simpangan baku dari . , karena . Tabel 4.12
menunjukkan sebaran yang sama dengan tabel 4.7, diantara nilai t itu, 118 positif dan 132
negatif dengan nilai tengah -0.00013.
f) Batas-batas kepercayaan bagi beda nilai tengah populasi, dalam hal ini Untuk menentukan apakah ada perbedaan sesungguhnya antara respon dari dua perlakuan,
prosedur penarikan contoh menunjukan apa yang dapat diharapkan bila sesungguhnya tidak
ada perbedaan dan hasil-hasil itu hanyalah disebabkan oleh factor kebetulan belaka.
Dengan menghitung nilai statistic t dan menentukan peluang memperoleh nilai yang sama
atau lebih besar suatu penarikan contoh acak berasal dari populasi bernilai tengah nol. Oleh
karena itu, jika peluang memperoleh nilai yang lebih besar itu kecil dan tidak yakin bahwa
penarikan contoh berasal dari suatu populasi bernilai tengah nol, maka mungkin akan
diputuskan bahwa ada beda yang nyata antara respon dari kedua perlakuan.
Selang kepercayaan menunjukkan pada kesimpulan serupa, nila suatu t contoh berada diluar
taraf peluang 5 persen atau , maka selang kepercayaan 95 persen tidak mencakup nol
(kurang yakin bahwa tidak ada perbedaan antara respon dari kedua perlakuan).
4.11 RINGKASAN
Melalui penarikan contoh dapat memperlihatkan sejumlah ciri dan teorema penting tentang
populasi yang menyebar normal, khususnya:
1. Nilai tengah contoh acak yang terdiri atas n pengamatan menyebar normal dengan nilai tengah µ
dan simpangan baku
√ . Mengenai kenormalan nilai tengah contoh, teorema ini masih
mendekati kebenaran meskipun penarikan –contohnya bukan berasal dari populasi normal;
sedangakan mengenai simpangan buku teorema diatas selalu benar).
2.
Nilai – tengah beda yang berasal dari contoh acak berukuran n pengamatan menyebar
normaldengan nilai-tengah nol dan simpangan baku
3.
Suatu contoh acak dapat menghasilkan nilai-nilai-dugaan tak-bias bagi µ, , , , dan .
4. Statistik t =
atau
menyebar secara setangkup di sekitar nilai – tengah nol
dan mengikuti sebaran t-student yang ditabelkan.