s
Part 3:
Hàm biến phức
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
I. Hàm biến phức
II. Chuỗi phức
III. Tích phân đường phức
IV. Điểm bất thường, zeros và thặng dư
V. Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
Ứng dụng của lý thuyết thặng dư
1. Định lý thặng dư
2. Tính tích phân thực
3. Tìm biến đổi Laplace ngược
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1. Định lý thặng dư
Ví dụ 5.01: Tính tích phân
với C là đường tròn:
a. |z| = 1 b. |z| = 3
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
Định lý thặng dư: Nếu f(z) là một hàm giải tích bêntrong và trên đường cong kín C, ngoại trừ tại một sốhữu hạn điểm cực zi (i = 1, 2,… n), khi đó:
1
( ) 2 Res ( ),n
iCi
f z dz j f z z
3 2
3
1
4C
z z zdz
z z
Đáp án ví dụ 5.01:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
3 2
3
1Res ( ),0
41 3 3
( ) Res ( ),28 44
3 3Res ( ), 2
8 4
f z
z z zf z f z j j
z z
f z j j
1. ( ) 2 .Res ( ),0 2
4 2
. ( ) 2 . Res ( ),0 Res ( ),2 Res ( ), 2
1 3 3 3 32 2
4 8 4 8 4
C
C
ja f z dz j f z j
b f z dz j f z f z j f z j
j j j j
1. Định lý thặng dư
Ví dụ 5.02: Tính tích phân
với C là đường tròn |z| = 3.
Đáp án:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
3 2( 2 2)C
dz
z z z
1 1 1 1 1
( ) 2 . 04 8 8 8 8C
f z dz j j j
1. Định lý thặng dư
2. Tính tích phân thực
Loại 1: Tích phân với cận , có dạng như sau:
trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n vàm, với m > n + 1.
với zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trênmặt phẳng phức, tức là Im{zi} > 0.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1
( ) ( )
2 Res ( ),
C
n
ii
f x dx f z dz
j f z z
( )( )
( )
P xf x dx dx
Q x
R
Ví dụ 5.03: Tính tích phân
Đáp án:
với C là đường cong kín vô cùng lớn, bao toàn bộ nữatrên mặt phẳng phức.
Dùng định lý thặng dư (hoặc công thức tích phânCauchy) để tính tích phân phức ở vế phải:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2 2( 4)
dx
x
2 2 2 2( 4) ( 4)C
dx dz
x z
2 2 2 2 2 2
12 .Res ; 2
16( 4) ( 4) ( 4)C
dx dzj j
x z z
2. Tính tích phân thực
Hệ quả 1: Tích phân có cận với dạng:
trong đó P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n vàm, với m > n + 1.
với zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trênmặt phẳng phức, tức là Im{zi} > 0.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1
( ) ( )
2 Res ( ) ,
jax jaz
C
njaz
ii
f x e dx f z e dz
j f z e z
( )( )
( )jax jaxP x
f x e dx e dxQ x
R
2. Tính tích phân thực
Hệ quả 2: Tích phân có cận với dạng:
Trong đó
P(x), Q(x) là các đa thức có bậc lần lượt là n và m, vớim > n + 1.
zi (i = 1,2,…,n) là các cực của f(z) nằm ở nữa trên mặtphẳng phức, tức là Im{zi} > 0.
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
1
1
( )( )cos cos 2 Im Res ( ) ,
( )
( )( )sin sin 2 Re Res ( ) ,
( )
njaz
ii
njaz
ii
P xf x axdx axdx f z e z
Q x
P xf x axdx axdx f z e z
Q x
2. Tính tích phân thực
Ví dụ 5.04: Tính các tích phân sau:
Đáp án:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2 2 2 2
cos sin. . ( 0; 0)
ax axa dx b dx a k
x k x k
. . 0ksa e bk
2. Tính tích phân thực
Loại 2: Tích phân hữu hạn có dạng sau:
trong đó G là hàm phân thức của sin và cos .
Đổi biến z = ej, khi đó:
Tích phân I trở thành:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2
0(sin ,cos )dI G
1 1 1 1sin ; cos
2 2z z
j z z
dzd
jz
( ) 1C
I f z dz where C is the unit circle z
2. Tính tích phân thực
Ví dụ 5.05: Tính tích phân
Đáp án: Đổi biến z = ej
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2
0 2 cos
dI
2
2
2
4 11 12
2
2 1 2.2 .Re ; 2 3
4 1 3
C C
dz dzI
j z zz jzz
j sj z z
1 1cos ;
2
dzz dz jz
2. Tính tích phân thực
Ví dụ 5.06: Tính các tích phân sau:
Đáp án:
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
2
0
2
cos.
3 2cos
.2 25
da
dxb
x x
3 5. 1
5
.2 6
a
b
2. Tính tích phân thực
trong đó zi (i = 1,2,…,n) là các cực của F(z).
Ví dụ 5.07: Tìm biến đổi Laplace ngược của
Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy
L-1{F(s)} = f(t)
1
Re ( ) ,n
zt
ii
s F z e z
3. Tìm biến đổi Laplace ngược
2 2
1( )
( 4)( 1)F s
s s