Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
1
0,
21
pF
ParabolaParabolaParabolaParabola.... ParabolaParabolaParabolaParabola i pravai pravai pravai prava JednaJednaJednaJednaččččinainainaina paraboleparaboleparaboleparabole
Neka Neka Neka Neka je fokusje fokusje fokusje fokus parabole u tačk parabole u tačk parabole u tačk parabole u tačkiiii
0,
21
pF i i i i
direktrisa direktrisa direktrisa direktrisa 2
px −−−−==== .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka
na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:
21 rr ====
2
2
2122
yp
xrp
xr ++++
−−−−====∧∧∧∧++++==== ili ili ili ili
2
2
22y
px
px ++++
−−−−====++++
⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−====++++++++ 2
2
2
2
2
44y
ppxx
ppxx
pxy 22 ====
Što pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu parabole.p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole. Parabola Parabola Parabola Parabola i prava i prava i prava i prava IspitajIspitajIspitajIspitajmo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:
(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒
++++====
====pxnkx
nkxy
pxy2
2 22
(((( )))) 022022222222 ====++++−−−−++++⇒⇒⇒⇒====−−−−++++++++ nxpknxkpxnknxxk
Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:
(((( )))) 020448404220222222222 ====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒==== knppnkpknpnknkpknD
knp 2====⇒⇒⇒⇒ uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom
n
k
nT 2, dok je jednačina dok je jednačina dok je jednačina dok je jednačina
tangente u tački parabole tangente u tački parabole tangente u tački parabole tangente u tački parabole (((( ))))11 , yxT (((( ))))11 xxkyy −−−−====−−−− Kako je tačka Kako je tačka Kako je tačka Kako je tačka (((( ))))11 , yxT i i i i
n
k
nT 2,
ista tačka to je ista tačka to je ista tačka to je ista tačka to je 1
1
112
2x
ykynx
k
n====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧==== pa je sada pa je sada pa je sada pa je sada (((( ))))
1
1
1
12
xxx
yyy −−−−====−−−− ili ili ili ili
1111111111 222 xyxyyxxyxyyxyx ++++====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−− kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je 1
2
1 2 pxy ====
ili ili ili ili 1
2
1
2x
p
y==== a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani (((( ))))
11
2
1111
2
1
22 xxpyyyxyxyy
p
y++++====⇒⇒⇒⇒++++====⋅⋅⋅⋅
(((( ))))11 xxpyy ++++==== ....
Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački (((( ))))00
, yxT ima oblik: ima oblik: ima oblik: ima oblik:
(((( )))) (((( ))))02
0 2 xxpyy −−−−====−−−−
Kemal Halilović,profesor matematike Brčko
2
ZADACIZADACIZADACIZADACI:::: 1.1.1.1.Naći jednačine taNaći jednačine taNaći jednačine taNaći jednačine tangenata ngenata ngenata ngenata parabolparabolparabolparaboleeee xy 8
2 ==== kojkojkojkoja je normalna na pravoja je normalna na pravoja je normalna na pravoja je normalna na pravoj 0542 ====−−−−++++ yx . . . . Rješenje:Rješenje:Rješenje:Rješenje:
Kako je Kako je Kako je Kako je 4
5
2
10542 ++++−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−++++ xyyx to je to je to je to je
2
1−−−−====k dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene
tangente tangente tangente tangente 21
1
2====−−−−====
kk .Kako je parabola .Kako je parabola .Kako je parabola .Kako je parabola
xy 82 ==== to je to je to je to je 482 ====⇒⇒⇒⇒==== pp pa prema uvjetu pa prema uvjetu pa prema uvjetu pa prema uvjetu
tangente tangente tangente tangente 1442 ====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒==== nnknp .Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:
12 ++++==== xy ili ili ili ili 012 ====++++−−−− yx 2222....Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole xy 24
2 ==== kojkojkojkoja je povučena iza je povučena iza je povučena iza je povučena iz tačke tačke tačke tačke (((( ))))9,3P ....Naći Naći Naći Naći odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti. Rješenje:Rješenje:Rješenje:Rješenje: Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta nkxy ++++==== .Kako .Kako .Kako .Kako tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi: ⇒⇒⇒⇒++++==== nk39
kn 39 −−−−==== Također je iTakođer je iTakođer je iTakođer je ispunjen uvjet spunjen uvjet spunjen uvjet spunjen uvjet (((( ))))kkpknp 3922 −−−−====⇒⇒⇒⇒==== Iz parabole je Iz parabole je Iz parabole je Iz parabole je
12242 ====⇒⇒⇒⇒==== pp pa je pa je pa je pa je (((( ))))⇒⇒⇒⇒−−−−==== kk 39212
(((( )))) 023069339622 ====++++−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−==== kkkkkk
36212
1321212,1====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒
±±±±==== nnkkk
Tražene tangente su Tražene tangente su Tražene tangente su Tražene tangente su nkxy ++++==== dakle dakle dakle dakle 326 ++++====∨∨∨∨++++==== xyxy ili ili ili ili
03206 ====++++−−−−∨∨∨∨====++++−−−− yxyx Dodirne tačke Dodirne tačke Dodirne tačke Dodirne tačke
nalazimo po nalazimo po nalazimo po nalazimo po (((( ))))12;66;2
32, BAn
k
nT ∧∧∧∧
⇒⇒⇒⇒
Prava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinu
(((( )))) 012342
3
3
46
2
3
2
36
61261
12
12
1 ====++++−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒
−−−−
−−−−
−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−
−−−−
−−−−====−−−− yxxyxyxx
xx
yyyy
Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:5
3
916
122712
22
11 ====++++
++++−−−−====
++++
++++++++====
ba
cbyaxd
************************mogumogumogumoguććććeeee susususu š š š štamparsketamparsketamparsketamparske gregregregrešššškekekeke************************