Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

1

0,

21

pF

ParabolaParabolaParabolaParabola.... ParabolaParabolaParabolaParabola i pravai pravai pravai prava JednaJednaJednaJednaččččinainainaina paraboleparaboleparaboleparabole

Neka Neka Neka Neka je fokusje fokusje fokusje fokus parabole u tačk parabole u tačk parabole u tačk parabole u tačkiiii

0,

21

pF i i i i

direktrisa direktrisa direktrisa direktrisa 2

px −−−−==== .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka .Tačka M je proizvoljna tačka

na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:na paraboli.Prema definiciji parabole je:

21 rr ====

2

2

2122

yp

xrp

xr ++++

−−−−====∧∧∧∧++++==== ili ili ili ili

2

2

22y

px

px ++++

−−−−====++++

⇒⇒⇒⇒++++++++−−−−====++++++++ 2

2

2

2

2

44y

ppxx

ppxx

pxy 22 ====

Što pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu paraboleŠto pretstavlja osnu jednačinu parabole.p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole..p se naziva poluparametar parabole. Parabola Parabola Parabola Parabola i prava i prava i prava i prava IspitajIspitajIspitajIspitajmo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:mo položaj prave prema paraboli:

(((( )))) ⇒⇒⇒⇒====++++⇒⇒⇒⇒

++++====

====pxnkx

nkxy

pxy2

2 22

(((( )))) 022022222222 ====++++−−−−++++⇒⇒⇒⇒====−−−−++++++++ nxpknxkpxnknxxk

Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:Da bi ova kvadratna jednačina imala dvostruko rješenje:

(((( )))) 020448404220222222222 ====−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−++++−−−−⇒⇒⇒⇒====−−−−−−−−⇒⇒⇒⇒==== knppnkpknpnknkpknD

knp 2====⇒⇒⇒⇒ uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom uvjet tangente na parabolu sa dodirnom tačkom

n

k

nT 2, dok je jednačina dok je jednačina dok je jednačina dok je jednačina

tangente u tački parabole tangente u tački parabole tangente u tački parabole tangente u tački parabole (((( ))))11 , yxT (((( ))))11 xxkyy −−−−====−−−− Kako je tačka Kako je tačka Kako je tačka Kako je tačka (((( ))))11 , yxT i i i i

n

k

nT 2,

ista tačka to je ista tačka to je ista tačka to je ista tačka to je 1

1

112

2x

ykynx

k

n====⇒⇒⇒⇒====∧∧∧∧==== pa je sada pa je sada pa je sada pa je sada (((( ))))

1

1

1

12

xxx

yyy −−−−====−−−− ili ili ili ili

1111111111 222 xyxyyxxyxyyxyx ++++====⇒⇒⇒⇒−−−−====−−−− kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je kako tačka pripada paraboli to je 1

2

1 2 pxy ====

ili ili ili ili 1

2

1

2x

p

y==== a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani a odavdje ako uvrstimo na lijevoj strani (((( ))))

11

2

1111

2

1

22 xxpyyyxyxyy

p

y++++====⇒⇒⇒⇒++++====⋅⋅⋅⋅

(((( ))))11 xxpyy ++++==== ....

Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački Parabola sa tjemenom u tački (((( ))))00

, yxT ima oblik: ima oblik: ima oblik: ima oblik:

(((( )))) (((( ))))02

0 2 xxpyy −−−−====−−−−

Kemal Halilović,profesor matematike Brčko

2

ZADACIZADACIZADACIZADACI:::: 1.1.1.1.Naći jednačine taNaći jednačine taNaći jednačine taNaći jednačine tangenata ngenata ngenata ngenata parabolparabolparabolparaboleeee xy 8

2 ==== kojkojkojkoja je normalna na pravoja je normalna na pravoja je normalna na pravoja je normalna na pravoj 0542 ====−−−−++++ yx . . . . Rješenje:Rješenje:Rješenje:Rješenje:

Kako je Kako je Kako je Kako je 4

5

2

10542 ++++−−−−====⇒⇒⇒⇒====−−−−++++ xyyx to je to je to je to je

2

1−−−−====k dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene dok je koeficijent pravca tražene

tangente tangente tangente tangente 21

1

2====−−−−====

kk .Kako je parabola .Kako je parabola .Kako je parabola .Kako je parabola

xy 82 ==== to je to je to je to je 482 ====⇒⇒⇒⇒==== pp pa prema uvjetu pa prema uvjetu pa prema uvjetu pa prema uvjetu

tangente tangente tangente tangente 1442 ====⇒⇒⇒⇒====⇒⇒⇒⇒==== nnknp .Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:.Tražena tangenta je:

12 ++++==== xy ili ili ili ili 012 ====++++−−−− yx 2222....Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole Napisati jednačine tangenti parabole xy 24

2 ==== kojkojkojkoja je povučena iza je povučena iza je povučena iza je povučena iz tačke tačke tačke tačke (((( ))))9,3P ....Naći Naći Naći Naći odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti.odsojanje tačke P od prave određene dodirnim tačkama tangenti. Rješenje:Rješenje:Rješenje:Rješenje: Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta Neka je tražena tangenta nkxy ++++==== .Kako .Kako .Kako .Kako tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi:tačka pripada tangenti to važi: ⇒⇒⇒⇒++++==== nk39

kn 39 −−−−==== Također je iTakođer je iTakođer je iTakođer je ispunjen uvjet spunjen uvjet spunjen uvjet spunjen uvjet (((( ))))kkpknp 3922 −−−−====⇒⇒⇒⇒==== Iz parabole je Iz parabole je Iz parabole je Iz parabole je

12242 ====⇒⇒⇒⇒==== pp pa je pa je pa je pa je (((( ))))⇒⇒⇒⇒−−−−==== kk 39212

(((( )))) 023069339622 ====++++−−−−⇒⇒⇒⇒====++++−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−==== kkkkkk

36212

1321212,1====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒====∨∨∨∨====⇒⇒⇒⇒

±±±±==== nnkkk

Tražene tangente su Tražene tangente su Tražene tangente su Tražene tangente su nkxy ++++==== dakle dakle dakle dakle 326 ++++====∨∨∨∨++++==== xyxy ili ili ili ili

03206 ====++++−−−−∨∨∨∨====++++−−−− yxyx Dodirne tačke Dodirne tačke Dodirne tačke Dodirne tačke

nalazimo po nalazimo po nalazimo po nalazimo po (((( ))))12;66;2

32, BAn

k

nT ∧∧∧∧

⇒⇒⇒⇒

Prava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinuPrava AB ima jedenačinu

(((( )))) 012342

3

3

46

2

3

2

36

61261

12

12

1 ====++++−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒

−−−−

−−−−

−−−−====−−−−⇒⇒⇒⇒−−−−

−−−−

−−−−====−−−− yxxyxyxx

xx

yyyy

Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:Odstojanje tačke P o dprave AB računamo po obrazcu:5

3

916

122712

22

11 ====++++

++++−−−−====

++++

++++++++====

ba

cbyaxd

************************mogumogumogumoguććććeeee susususu š š š štamparsketamparsketamparsketamparske gregregregrešššškekekeke************************