© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
OSNOVE PREDSTAVLJANJA PODATAKA
Oznaka predmeta: IT270
Naziv predmeta: IT infrastruktura
Predavanje br. 02. Osnove predstavljanja podataka
Nastavna jedinica 1/2: Celi brojevi
Nastavna tema: Brojevi u računarskim sistemima
Pripremio: Prof dr Nedžad Mehić
Školska godina: 2014/2015
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd / Kopiranje i umnožavanje nije dozvoljeno. 1
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Osnove predstavljanja podataka
• Aritmetika u računarskim sistemima se bitno razlikuje od aritmetike koju koristimo u svakodnevnom životu– Osnovna razlika je u tome što računari koriste
operacije nad brojevima čije su vrednosti konačne i fiksne
– Računari takođe koriste binarnu aritmetiku za razliku od svakodnevne koja je dekadna.
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
2
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Brojevi konačne preciznosti
• = 1000 000 000 000 000 ...000 • Broj ima 78 nula• Kod računara radimo sa brojevima fiksne
preciznosti (engl. finite-precision numbers)
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
7810
3
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Primjer 1: Skup brojeva sa 3 cifre
• 000, 001, 002, 003,...,999– Ima tačno 1000 ovakvih brojeva
• Nemogućnost predstavljanja drugih
vrsta brojeva:• brojeva većih od 999• negativnih brojeva• racionalnih brojeva• iracionalnih brojeva• kompleksnih brojeva
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
4
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
RADIX brojni sistemi
Number = dn x 10n + dn-1 x 10n-1 +.. + d-k x 10-k
5
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Primjeri brojnih sistema
1. Decimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 104=10000, 103=1000, 102=100, 101=10, 100=1
2. Binarni brojni sistem (0,1) 24=16, 23=8, 22=100, 21=10, 20=1
3. Oktalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7) 83=512, 82=64, 81=8, 80=1
4. Hexadecimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)
162=256, 161=16, 160=1
6
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Primjeri brojnih sistema (2)
7
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Binarni sistem (2)
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Bilo koji broj na stepen 0 je 1.10=1, 100=1
9
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Kilobajt, Megabajt
Kilobajt• The value of a kilobajt is 1024 (210).
Megabajt• 1024KB is referred to as a "Megabyte“ (220 , or
210 x 210 =1024*1024).
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
10
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Binarni prikaz broja 200110
11
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Stepen baze
84 83 82 81 80
Vrijednost pozicije
4096 512 64 8 1
Oktalni sistem
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
12
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Oktalni prikaz broja 200110
13
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Decimalni prikaz broja 200110
14
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Heksadecimalni sistem
Binary 0100 1111 0101 1000
Hex 4 F 5 8
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
15
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Heksadecimalni sistem (2)
123416 = 466010
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
16
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Hexadecimalni prikaz broja 200110
17
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Tabela konverzije (2)
19
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija iz jednog radix-a u drugi
• Konverzija između oktalnih, heksadecimalnih i binarnih brojeva je jednostavna.
• Konverzija u decimalni i obrnu je nešto komplikovanija.
20
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija iz binarnog u oktalni format• Binarni broj se podijeli u grupe sa po 3 binarne
cifre počevši od binarne zapete.
• Svaka grupa se direktno konvertuje na osnovu konverzione tablice (iz predhodnog primjera).
• Konverzija iz binarnog u heksadecimalni brojni sistem je slična stim što se formiraju grupe od po 4 binarna digita
21
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija: Decimalni format u binarni formatMetod 1• Metod direktno prati definiciju binarnog broja:
– Uzme se najveći stepen broja 2 manji od posmatranog broja pa se oduzima od broja
• Proces se repetitivno ponavlja: – primenjen svaki put na ostatak od oduzimanja sa
smanjenjem stepena broja 2 za jedan
• Jednom dekomponovan broj se asemblira na taj način što se dodaje – 1 svaki put kada se u broju nađe sadržaj stepena 2– 0 kada se on ne nađe
24
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Primjer 3 - metod 1
14310 u binarni format
143> 128, 27 1
143 - 128 = 15
15 > 8, 23 1
15 - 8 =7
7-4, 22 1
7-4 = 3
3>2, 21 1
3-2 = 1, 20 1
1-1 =0IT270 IT INFRASTRUKTURA
Predavanje br. 2
27 26 25 24 23 22 21 20
128 64 32 16 8 4 2 11 0 0 0 1 1 1 1
14310 = 100011112
25
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija: Decimalni format u binarni format (2)
Metod 2 (važi za celobrojne vrednosti)• Sastoji se u tome da se broj dijeli sa 2
– 0 se pripisuje kada je broj dijeljiv sa 2 – 1 se pripisuje kada nije dijeljiv sa 2
• Ostatak se formira kao najveći cijeli broj koji je manji od dijeljenog sa 2.
26
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Konverzija: Decimalni format u heksadecimalni format
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
28
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Konverzija: Binarni broj u decimalni broj
• Pretvaranjem decimalnog broja 1492 u binarni broj uzastopnim delenjem sa 2, s početkom na vrhu i idući prema dole
• Na primer, 93 /2 daje količnik 46 i ostatak 1, napisano u redu ispod.
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
29
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Konverzija: Binarni broj u decimalni broj
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
30
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Metoda oduzimanja
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
31
Metoda ponovnog oduzimanjaOvaj metod oduzimanja je rekurzivan. Na primer, treba konvertovati broj 10410 u bazu 3 sa 5 digita.
Koraci konverzije34 = 81 je najveći stepen 3 koji je manji od broja 10410 (8110<10410) 8110 “ide jednom” u 10410,a ostatak je 2310. (zapisati 1) Sledeći stepen broja 3 je 33 = 27, 27>23 (zapisati 0) Koliko puta 32 = 9 “ide” u 23? Dva puta i ostatak je 5. (zapisati 2) Ostatak je 5 od koga se oduzima 31 = 3 što daje 2. (zapisati 1) Sad je 2=2 x 30 (zapisati 2). .
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Metoda oduzimanja (2)
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
32
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija: Binarni format u decimalni format
Metod 1• Konverzija se sprovodi formiranjem sume:
22241622210110 124
33
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Primer
• Konvertovati broj 9731010 u binarni format
97310 > 512 = 29, 973 – 512 =461
461 >256 =28, 461 – 256 =205
205 > 128 = 27, 205 – 128 =77
77 > 64 =26, 77 – 64 =13
13>8 = 23, 13 – 8 =5
5> 4= 22, 5 – 4 =1 =20
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
34
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija: Binarni format u decimalni format (2)
Metod 2• Bazira na sukscesivnom dupliranju startujući od
najteže binarne cifre (engl. most significant bit- MSB) .
35
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Konverzija: Binarni format u decimalni format (3)
36
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Negativni binarni brojevi
• Postoje četiri sistema za predstavljanje negativnih binarnih brojeva:
• Signed magnitude 10000110 (-6)• 1‘s complement 11111001 (-6)• 2‘s complement 11111010 (-6)• Excess 2m-1
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
37
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Znak i magnituda (engl. sign-magnitude)
• Lijevi najznačajnini bit je bit znaka (engl. sign bit)• 0 znači pozitivan broj• 1 znači negativan broj
+18 =00010010 = + (24 + 21)
-18 =10010010 = - (24 + 21)• Dvije prezentacije broja 0
+0 =00000000
-0 =10000000
0 0 0 1 0 0 1 01 0 0 1 0 0 1 0
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
38
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Nepotpuni komplement(engl. one’s complement)
+3 = 00000011
+2 = 00000010
+1 = 00000001
+0 = 00000000
-1 = 11111110 00000001 11111110
-2 = 11111101 00000010 11111101
-3 = 11111100
-9 = 11100110
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
39
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Potpuni komplement(engl. two’s complement)+3 = 00000011
+2 = 00000010
+1 = 00000001
+0 = 00000000
-1 = 11111111 00000001 11111110 +1
-2 = 11111110
-3 = 1111110
+3 = 00000011, 1’ komplement 11111100
11111100 + 1 = 1111101
40IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Excess 2m-1
• Broj sa m cifara se pohranjuje kao suma samog sebe i broja 2m-1.
• Na primjer, za 8-bitne brojeve, m=8 i sistem se zove Excess 128.
• Sada broj -3 postaje:
-3 + 128 = 125• Brojevi od -128 do +127 se preslikavaju u
opseg 0 do 256.
.IT270 IT INFRASTRUKTURA
Predavanje br. 241
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
Primjer negativnih 8-bitnih brojeva u svim sistemima
42
Primjer negativnih 8 bitnih brojeva u svim sistemima (2)
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
43
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Nula (engl. Zero)
• Znak i magnituda i 1 komplement imaju dve reprezentacije za vrednost 0.
• To su: -0 i +0• Signed magnitude 1’s complement
– +0 = 0 0000000 0 0000000
– -0 = 1 0000000 1 1111111
• Brojevi u 2 komplementu nemaju dvostruku reprezentaciju 0.
• 00000000
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
44
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Oduzimanje dva binarna broja sa predznakom
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
48
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Primer operacije u drugom komplementu
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
49
© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd
Primeri oduzimanja u drugom komplementu
IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2
50