P02

© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd

IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2

OSNOVE PREDSTAVLJANJA PODATAKA

Oznaka predmeta: IT270

Naziv predmeta: IT infrastruktura

Predavanje br. 02. Osnove predstavljanja podataka

Nastavna jedinica 1/2: Celi brojevi

Nastavna tema: Brojevi u računarskim sistemima

Pripremio: Prof dr Nedžad Mehić

Školska godina: 2014/2015

© UNIVERZITET METROPOLITAN, Beograd / Kopiranje i umnožavanje nije dozvoljeno. 1


Osnove predstavljanja podataka

• Aritmetika u računarskim sistemima se bitno razlikuje od aritmetike koju koristimo u svakodnevnom životu– Osnovna razlika je u tome što računari koriste

operacije nad brojevima čije su vrednosti konačne i fiksne

– Računari takođe koriste binarnu aritmetiku za razliku od svakodnevne koja je dekadna.


2


Brojevi konačne preciznosti

• = 1000 000 000 000 000 ...000 • Broj ima 78 nula• Kod računara radimo sa brojevima fiksne

preciznosti (engl. finite-precision numbers)


7810

3


Primjer 1: Skup brojeva sa 3 cifre

• 000, 001, 002, 003,...,999– Ima tačno 1000 ovakvih brojeva

• Nemogućnost predstavljanja drugih

vrsta brojeva:• brojeva većih od 999• negativnih brojeva• racionalnih brojeva• iracionalnih brojeva• kompleksnih brojeva


4



RADIX brojni sistemi

Number = dn x 10n + dn-1 x 10n-1 +.. + d-k x 10-k

5



Primjeri brojnih sistema

1. Decimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) 104=10000, 103=1000, 102=100, 101=10, 100=1

2. Binarni brojni sistem (0,1) 24=16, 23=8, 22=100, 21=10, 20=1

3. Oktalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7) 83=512, 82=64, 81=8, 80=1

4. Hexadecimalni brojni sistem (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F)

162=256, 161=16, 160=1

6



Primjeri brojnih sistema (2)

7


Binarni sistem


8


Binarni sistem (2)


Bilo koji broj na stepen 0 je 1.10=1, 100=1

9


Kilobajt, Megabajt

Kilobajt• The value of a kilobajt is 1024 (210).

Megabajt• 1024KB is referred to as a "Megabyte“ (220 , or

210 x 210 =1024*1024).


10



Binarni prikaz broja 200110

11


Stepen baze

84 83 82 81 80

Vrijednost pozicije

4096 512 64 8 1

Oktalni sistem


12



Oktalni prikaz broja 200110

13



Decimalni prikaz broja 200110

14


Heksadecimalni sistem

Binary 0100 1111 0101 1000

Hex 4 F 5 8


15


Heksadecimalni sistem (2)

123416 = 466010


16



Hexadecimalni prikaz broja 200110

17



Tabela konverzije

18



Tabela konverzije (2)

19



Konverzija iz jednog radix-a u drugi

• Konverzija između oktalnih, heksadecimalnih i binarnih brojeva je jednostavna.

• Konverzija u decimalni i obrnu je nešto komplikovanija.

20



Konverzija iz binarnog u oktalni format• Binarni broj se podijeli u grupe sa po 3 binarne

cifre počevši od binarne zapete.

• Svaka grupa se direktno konvertuje na osnovu konverzione tablice (iz predhodnog primjera).

• Konverzija iz binarnog u heksadecimalni brojni sistem je slična stim što se formiraju grupe od po 4 binarna digita

21



Primjer 1

22



Primjer 2

23



Konverzija: Decimalni format u binarni formatMetod 1• Metod direktno prati definiciju binarnog broja:

– Uzme se najveći stepen broja 2 manji od posmatranog broja pa se oduzima od broja

• Proces se repetitivno ponavlja: – primenjen svaki put na ostatak od oduzimanja sa

smanjenjem stepena broja 2 za jedan

• Jednom dekomponovan broj se asemblira na taj način što se dodaje – 1 svaki put kada se u broju nađe sadržaj stepena 2– 0 kada se on ne nađe

24


Primjer 3 - metod 1

14310 u binarni format

143> 128, 27 1

143 - 128 = 15

15 > 8, 23 1

15 - 8 =7

7-4, 22 1

7-4 = 3

3>2, 21 1

3-2 = 1, 20 1

1-1 =0IT270 IT INFRASTRUKTURA

Predavanje br. 2

27 26 25 24 23 22 21 20

128 64 32 16 8 4 2 11 0 0 0 1 1 1 1

14310 = 100011112

25



Konverzija: Decimalni format u binarni format (2)

Metod 2 (važi za celobrojne vrednosti)• Sastoji se u tome da se broj dijeli sa 2

– 0 se pripisuje kada je broj dijeljiv sa 2 – 1 se pripisuje kada nije dijeljiv sa 2

• Ostatak se formira kao najveći cijeli broj koji je manji od dijeljenog sa 2.

26

Primjer 4 - metod 2

27IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2


Konverzija: Decimalni format u heksadecimalni format


28


Konverzija: Binarni broj u decimalni broj

• Pretvaranjem decimalnog broja 1492 u binarni broj uzastopnim delenjem sa 2, s početkom na vrhu i idući prema dole

• Na primer, 93 /2 daje količnik 46 i ostatak 1, napisano u redu ispod.


29


Konverzija: Binarni broj u decimalni broj


30


Metoda oduzimanja


31

Metoda ponovnog oduzimanjaOvaj metod oduzimanja je rekurzivan. Na primer, treba konvertovati broj 10410 u bazu 3 sa 5 digita.

Koraci konverzije34 = 81 je najveći stepen 3 koji je manji od broja 10410 (8110<10410) 8110 “ide jednom” u 10410,a ostatak je 2310. (zapisati 1) Sledeći stepen broja 3 je 33 = 27, 27>23 (zapisati 0) Koliko puta 32 = 9 “ide” u 23? Dva puta i ostatak je 5. (zapisati 2) Ostatak je 5 od koga se oduzima 31 = 3 što daje 2. (zapisati 1) Sad je 2=2 x 30 (zapisati 2). .


Metoda oduzimanja (2)


32



Konverzija: Binarni format u decimalni format

Metod 1• Konverzija se sprovodi formiranjem sume:

22241622210110 124

33


Primer

• Konvertovati broj 9731010 u binarni format

97310 > 512 = 29, 973 – 512 =461

461 >256 =28, 461 – 256 =205

205 > 128 = 27, 205 – 128 =77

77 > 64 =26, 77 – 64 =13

13>8 = 23, 13 – 8 =5

5> 4= 22, 5 – 4 =1 =20


34



Konverzija: Binarni format u decimalni format (2)

Metod 2• Bazira na sukscesivnom dupliranju startujući od

najteže binarne cifre (engl. most significant bit- MSB) .

35



Konverzija: Binarni format u decimalni format (3)

36


Negativni binarni brojevi

• Postoje četiri sistema za predstavljanje negativnih binarnih brojeva:

• Signed magnitude 10000110 (-6)• 1‘s complement 11111001 (-6)• 2‘s complement 11111010 (-6)• Excess 2m-1


37


Znak i magnituda (engl. sign-magnitude)

• Lijevi najznačajnini bit je bit znaka (engl. sign bit)• 0 znači pozitivan broj• 1 znači negativan broj

+18 =00010010 = + (24 + 21)

-18 =10010010 = - (24 + 21)• Dvije prezentacije broja 0

+0 =00000000

-0 =10000000

0 0 0 1 0 0 1 01 0 0 1 0 0 1 0


38


Nepotpuni komplement(engl. one’s complement)

+3 = 00000011

+2 = 00000010

+1 = 00000001

+0 = 00000000

-1 = 11111110 00000001 11111110

-2 = 11111101 00000010 11111101

-3 = 11111100

-9 = 11100110


39


Potpuni komplement(engl. two’s complement)+3 = 00000011

+2 = 00000010

+1 = 00000001

+0 = 00000000

-1 = 11111111 00000001 11111110 +1

-2 = 11111110

-3 = 1111110

+3 = 00000011, 1’ komplement 11111100

11111100 + 1 = 1111101

40IT270 IT INFRASTRUKTURA Predavanje br. 2


Excess 2m-1

• Broj sa m cifara se pohranjuje kao suma samog sebe i broja 2m-1.

• Na primjer, za 8-bitne brojeve, m=8 i sistem se zove Excess 128.

• Sada broj -3 postaje:

-3 + 128 = 125• Brojevi od -128 do +127 se preslikavaju u

opseg 0 do 256.

.IT270 IT INFRASTRUKTURA

Predavanje br. 241



Primjer negativnih 8-bitnih brojeva u svim sistemima

42

Primjer negativnih 8 bitnih brojeva u svim sistemima (2)


43


Nula (engl. Zero)

• Znak i magnituda i 1 komplement imaju dve reprezentacije za vrednost 0.

• To su: -0 i +0• Signed magnitude 1’s complement

– +0 = 0 0000000 0 0000000

– -0 = 1 0000000 1 1111111

• Brojevi u 2 komplementu nemaju dvostruku reprezentaciju 0.

• 00000000


44


Binarna aritmetika


45



Primjer sabiranja

46


Primjer


47


Oduzimanje dva binarna broja sa predznakom


48


Primer operacije u drugom komplementu


49


Primeri oduzimanja u drugom komplementu


50


Ulazni (engl. carry-in) i izlazni prenos (engl. carry-out)


51

Documents

P02