（注）X x a= - とおくと、dX dx 1= より、dx dX=

x a dx XdX X C x a C21

212

02

0- = = + = - +] ]g g##

-1-

幾つかの負荷が作用しているはりのたわみを解の重ね合わせで求める

単純支持はりに複数の荷重が作用している場合のたわみ

v(x)を求めるために、まず図−１に示す単純支持はりに集

中荷重が一つ作用している場合のたわみを求めてみよう。

はりの断面形状は全長 lにわたって一様で、断面２次モー

メントを I、このはりの縦弾性係数を E、左端 Aから中立

軸にそって Bの向きに x座標を採るものとする。また、AC

間のたわみを v1(x)、CB間のたわみを v2(x)で表すものとする。

左端 Aにおける鉛直上向きの支持力を R1とすると、基準点を B点とした時のモーメントのつり合い式

lR P l a1= -] g

から、

Rl

P l a1=

-] g

を得る。したがって、このはりに生ずる曲げモーメント M(x)は次のようになる。

x a0 1# のとき

M xl

P l ax=

-]

]g

g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１）

a x l1# のとき

M xl

P l ax P x a=

-- -]

]]g

gg　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２）

で与えられる。

-はりのたわみ v(x)は、次の微分方程式を解くことによって求められる。vdxd x

EIM x

2

2

=-] ]g g

したがって、EIははりの全長にわたって一定値であるから、次式v

EIdxd x

M x2

2

- =]

]g

g

を xで２回積分することにより求めることができる。

　AC間のたわみ v1(x)は曲げモーメントは式（１）で与えられるから、次の微分方程式を解けば良い。v

EIdxd x

lP l a

x2

21

- =-] ]g g

上式を xでの積分を２回繰り返せば、v

EIdxd x

lP l a

x C2

20

1- =

-+

] ]g g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（３）

vEI xl

P l ax C x C

63

0 11- =-

+ +]]

gg

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（４）

となる。ただし、C0、C1は、積分定数である。

　一方、CB間のたわみ v2(x)は、曲げモーメントは式（２）で与えられるから、次式v

EIdtd x

lP l a

x P x a2

22

- =-

- -] ]

]g g

g

を xで２回積分すれば、v

EIdxd x

lP l a

x P x a C2 2

12 22

2- =

-- - +

] ]]

g gg 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（５）

x

v

al

P

R1

A BC

図−１　単純支持はり

-2-

vEI xl

P l ax P x a C x a C

6 613 3

2 3- =-

- - + - +]]

] ]gg

g g 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（６）

ただし、C2、C3は積分定数である。

　式（３）〜（６）に含まれる積分定数、C0、C1、C2、C3は以下の４つの境界条件によって決めるこ

とができる。

境界条件

x=0のとき、v1(x)=0　　　　　（支持点 A（x=0）で、たわまない（v1(x)=0）。）

x=lのとき、v2(x)=0　　　　　（支持点 B（x=l）で、たわまない（v2(x)=0）。）

x=aのとき、v1=v2　　　　　--（C点 (x=a) で、AC部分と CB部分でつながっているための条件。）

x=aのとき、 v vdxd x

dxd x1 2

=] ]g g

　（C点 (x=a) で、はりが折れ曲がっていない条件。）

　まず、x=0のとき、v1(x)=0であるから、式（４）の右辺の xに 0を代入して、0とおけば、

C 01= 　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（７）

を得る。次に x=lのとき、v2(x)=0であるから、式（６）の右辺の xに lを代入し 0とおけば、P l a

l P l a C l a C6 6

102 3

2 3

-- - + - + =

]] ]

gg g 　 -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- -- --（８）

を得る。x=aのとき、v1=v2であるから、式（４）および式（６）の右辺の xに aを代入し、それらを

等号で結べば、

lP l a

a C a Cl

P l aa C

6 63

0 13

3

-+ + =

-+

] ]g g

すなわち、式（７）を考慮すれば、

C a C0 3= 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（９）

を得る。さらに、x=aのとき、 v vdxd x

dxd x1 2

=] ]g g

であるから、式（３）および式（５）の右辺の xに a

を代入し、それらを等号で結べば、

lP l a

a Cl

P l aa C

2 22

02

2

-+ =

-+

] ]g g

すなわち、

C C0 2= 　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１０）

を得る。式（９）と式（１０）の関係から、C C a3 2= となり、これを式（８）に代入すれば、P l a

l P l a C l a C a6 6

102 3

2 2

-- - + - + =

]] ]

gg g

となり、これから、

C Cl

P l aa l a

622 0= =-

--

]]

gg　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１１）

C C al

P l aa l a

623 2

2= =--

-]

]g

g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１２）

を得る。式（７）、（１１）、（１２）を式（４）および（６）に代入して整理すれば、図−１に示す単純

支持はりのたわみ v(x)は、次式により求められる。

x a0 1# のとき

v xEIl

P l ax al a x

62 2 2=

-- -]

]]g

gg　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１３）

-3-

a x l1# のとき

v xEIlPa

x a lx x a6

2 2 2= - - -] ] ]g g g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１４）

-　以上の結果をまとめると、下の表に示す通りである。

　次に図−２に示すように先と同じ単純支持はりに２つの集中力 P1、P2が作用する場合を考える。A

点における鉛直上向きの支持力を R1とすれば、B

点を基準点としたときのモーメントのつり合い

式、

lR P l a P l b1 1 2= - + -] ]g g

より、

Rl

P l al

P l b1

1 2=

-+

-] ]g g

をえる。次に曲げモーメントを求めると、

x a0 1# のとき

M x R xl

P l ax

lP l b

x11 2

= =-

+-

]] ]

gg g

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１５）

a x b1# のとき

M x R x P x al

P l ax

lP l b

x P x a1 11 2

1= - - =-

+-

- -] ]] ]

]g gg g

g

lP l a

x P x al

P l bx

11

2=

-- - +

-]]

]gg

g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１６）

b x l1# のとき

M x P x a P x bR x P x a P x bl

P l ax

lP l b

x 1 21 1 21 2

- - - -= - - - - =-

+-

] ] ]] ]

] ]g g gg g

g g

lP l a

x P x al

P l bx P x b

11

22=

-- - +

-- -

]]

]]

gg

gg　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１７）

となる。

　次に、２つの集中荷重が作用するはりを、図−３、図−４に示すように、集中荷重 P1あるいは P2の

みが作用する問題に分解してみる。

　図−３の問題での曲げモーメントは、図−１とのちがい

は、荷重が Pから P1になっただけであるから、式（１）お

よび式（２）の Pを P1に書き直せばよい。

したがって、

x a0 1# のとき

表−１

x

v

al

P

R1

A BC

曲げモーメントx a0 1# a x l1#

M xl

P l ax=

-]

]g

gM x

lP l a

x P x a=-

- -]]

]gg

g

たわみx a0 1# a x l1#

v xEIl

P l ax al a x

62 2 2=

-- -]

]]g

gg v x

EIlPa

x a lx x a6

2 2 2= - - -] ] ]g g g

xa

bl

P1 P2

A BC D

R1

図−２　２つの集中荷重が作用する単純支持はり

x

al

P1

A BC

図−３　単純支持はり

-4-

M xl

P l ax

1=

-]

]g

g　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１８）

a x l1# のとき

M xl

P l ax P x a

11=

-- -]

]]g

gg　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（１９）

となる。

　図−４の問題の曲げモーメントは、図−１と図−４の違

いが、P→ P2、a→ bであるから、式（１）、（２）を書き直

して、

x b0 1# のとき

M xl

P l bx

2=

-]

]g

g　- - - - - - - - - - - - - - - - - -（２０）

b x l1# のとき

M xl

P l bx P x b

22=

-- -]

]]g

gg　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２１）

　以上の式（１５）から式（２１）をまとめて整理すると、次のようになる。

　この表から、図−２の問題の曲げモーメント M(x)は、xのそれぞれの領域（ x a0 1# 、a x b1# 、

b x l1# ）で図−３の問題の曲げモーメントと図−４の問題の曲げモーメントの和で構成されているこ

とが分かる。図−３の問題の曲げモーメントをM1(x)、図−４の問題の曲げモーメントをM2(x)で表せば、

図−２の問題の曲げモーメント M(x)は、xの各領域（ x a0 1# 、a x b1# 、b x l1# ）で、

M x M x M x1 2= +] ] ]g g g　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２２）

であることが分かる。　　　−曲げモーメントの重ね合わせ−

　次に微分演算について考える。２つの xの関数 f(x)、g(x)の和の微分演算は、

dxdf x f x g xg x

dxd

dxd

+ = +] ] ] ]g g g g" ,

dxd

f x g xdxddxdf x g x

dxddxdf x

dxdg x f x

dxdg x

dxd

2

2

2

2

2

2

+ = + += = +] ] ] ] ] ] ] ]g g g g g g g g< <F F" ", , 　-（２３）

である。一般には、２つの関数の和、 f x g x+] ]g g、の xに関する n階の微係数は、個々の関数の n階の

xb

l

P2A BD

図−４　単純支持はり

表−２　各問題の曲げモーメント M(x)問題 x a0 1# a x b1# b x l1#

x

al

P1

A BC

M xl

P l ax

1=

-]

]g

gM x

lP l a

x P x a1

1=-

- -]]

]gg

g

図−３

xb

l

P2A BD

M xl

P l bx

2=

-]

]g

gM x

lP l b

x P x b2

2=-

- -]]

]gg

g

図−４

xa

bl

P1 P2

A BC DM x

lP l a

x

lP l b

x

1

2

=-

+-

]]

]

gg

g

M xl

P l ax P x a

lP l b

x

11

2

=-

- -

+-

]]

]

]

gg

g

g

M xl

P l ax P x a

lP l b

x P x b

11

22

=-

- -

+-

- -

]]

]

]]

gg

g

gg

図−２

-5-

微係数の和、dxdf x

dxdg xn

n

n

n

+] ]g g、に等しい。

-　次に、図−３および図−４の問題のはりのたわみ v(x)を求める問題を考える。図−３の問題の曲げ

モーメントを M1(x)、図−４の問題の曲げモーメントをM2(x)で表せば、はりのたわみ v(x)を求めるこ

とは、xの各領域（ x a0 1# 、a x b1# 、b x l1# ）で、

問題　図−３-では次の微分方程式vdxd x

EIM x

2

21

=-] ]g g

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２４）

を解くことであり、

問題　図−４では次の微分方程式vdxd x

EIM x

2

22

=-] ]g g

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２５）

を解くことである。

　一方、図−２の問題では、曲げモーメントを M(x)で表せば、xの各領域（ x a0 1# 、a x b1# 、

b x l1# ）で、次の微分方程式

dxd v x

EIM x

2

2

=-] ]g g

を解くことである。しかし、図−２の問題の曲げモーメントM(x)は、式（２２）により M1(x)+M2(x)で

表せることから、上式の右辺に代入すれば、図−２の問題のはりのたわみ v(x)を求めることは、xの各

領域（ x a0 1# 、a x b1# 、b x l1# ）で、次の微分方程式vdxd x

EIM x

EIM x

2

21 2

=- -] ] ]g g g

　- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２６）

を解くことである。

　今、式（２４）の解を v1(x)、式（２５）の解を v2(x)とする。v1(x)は式（２４）の解であるから、式（２４）

の左辺の v(x)の代わりに v1(x)を代入すれば、それ（左辺）はEIM x1

-] gに等しい。すなわち、次式が成

り立つ。vdxd x

EIM x

2

211

=-] ]g g

　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２７）

　また、同様に v2(x)は式（２５）の解であるから、式（２５）の左辺の v(x)の代わりに v2(x)を代入す

れば、それ（左辺）はEIM x2

-] gに等しい。すなわち、次式が成り立つ。

vdxd x

EIM x

2

22 2

=-] ]g g

　 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -（２８）

　さて、式（２６）の左辺の v(x)に、式（２４）の解（問題　図−３の解）v1(x)と式（２５）の解（問

題　図−４の解）v2(x)の和、すなわち、v1(x)+v2(x)を代入してみよう。式（２３）の関係、および式（２７）

および式（２８）の関係から、v v v vvdxd x

dxd

xx

dxd x

EIM x

EIM x

xdxd

2

2

2

2

11

2

22 1 2

2 2

2

= =- -+ = +]

] ]] ] ] ]g

g gg g g g

" ,

となるから、式（２４）の解（問題　図−３の解）v1(x)と式（２５）の解（問題　図−４の解）v2(x)の和、

すなわち、v1(x)+v2(x)は式（２６）を満足している。したがって、v1(x)+v2(x)は式（２６）の解（問題

　図−２の解）であることが分かる。このようにして作った式（２６）の解が、式（２６）の唯一の解

-6-

であることは簡単に証明される（微分方程式の本参照）。

-　以上のことから、図−２の問題の解は、図−３の解および図−４の解から作ることができることが

分かった。

　図−３の解は、表−１に記載されている図−１の解の P→ P1に書き直せば求められる。一方、図−

４の解は、表−１に記載されている図−１の解の P→ P2、a→ bに書き直せば求められる。このように

して得られる図−３および図−４の解から、図−２の解は表−３に示す手順（xの各領域（ x a0 1# 、

a x b1# 、b x l1# ）でのそれぞれの解の和）で求められる。

　このように幾つかの問題の解から、欲しい問題の解を求める方法を解の重ね合わせ法という。

表−３　はりのたわみ v(x)

問題 x a0 1# a x b1# b x l1#

x

alP 1

AB

C

v xEIl

P l ax al a x

62

1 2 2=-

- -]]

]gg

g v xEIlP a

x a lx x a6

21 2 2= - - -] ] ]g g g

xb

l

P 2A

BD v x

EIlP l b

x bl b x6

22 2 2=-

- -]]

]gg

g v xEIlP b

x b lx x b6

22 2 2= - - -] ] ]g g g

xa

bl

P 1P 2

AB

CD

v xEIl

P l ax al a x

EIlP l b

x bl b x

62

62

1 2 2

2 2 2

=-

- -

+-

- -

]]

]

]]

gg

g

gg

v xEIlP a

x a lx x a

EIlP l b

x bl b x

62

62

1 2 2

2 2 2

= - - -

+-

- -

] ] ]

]]

g g g

gg

v xEIlP a

x a lx x a

EIlP b

x b lx x b

62

62

1 2 2

2 2 2

= - - -

+ - - -

] ] ]

] ]

g g g

g g