BAB I
PENDAHULUAN
Metode yang berkaitan dengan geostatistika ditemukan oleh para ilmuwan
yang membuat peta tentang sifat-sifat tanah dari Suatu lokasi menggunakan
sejumlah data dari lokasi yang diketahui. Sifat -sifat tersebut antara lain keasaman
tanah dalam air, konduktivitas listrik, perubahan potassium dalam tanah dan
perembesan air tanah. Matheron menggunakan istilah geostatistika dalam konteks
geologi untuk menunjukkan teori dan metode-metode menduga persediaan bijih
besi dari data spasial yang menyebar sepanjang area. Penggunaan lain dari
geostatistika diantaranya penyerapan air hujan dan pendugaan konsentrasi bahan-
bahan yang mencemari air tanah.
Data spasial adalah data yang dikumpulkan dari lokasi-lokasi yang
berkorelasi satu sama lain. Lokasi yang saling berdekatan memiliki sifat-sifat
yang mirip dibandingkan dengan lokasi yang saling berjauhan. Ini dikenal dengan
kekontinuan spasial (spatial continuity).
Penempatan data spasial merupakan langkah awal yang penting. Hal ini
dikarenakan penempatan nilai tertinggi dan terendah akan menciptakan beberapa
kecenderungan (trend) dalam data. Semua trend yang ada dalam data dapat
digambarkan dengan peta kontur.
Salah satu masalah penting dalam geostatistika adalah menduga data suatu
lokasi yang tidak bisa diamati secara langsung menggunakan data dari lokasi
spasial yang diketahui. Matheron menyebut proses ini sebagai pendugaan kriging.
Kriging merupakan metode yang mempertimbangkan kondisi tak bias dan ragam
minimum.
BAB II
ORDINARY KRIGING
Kriging adalah metode geostatistik yang digunakan untuk mengestimasi
nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai conto yang
terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil
variansi estimasi minimum dengan memperluas penggunaan semi-variogram.
Estimator kriging dapat diartikan sebagai variabel tidak bias dan penjumlahan dari
keseluruhan bobot adalah satu. Bobot inilah yang dipakai untuk mengestimasi
nilai dari ketebalan, ketinggian, kadar atau variabel lain.
Istilah kriging diambil dari nama seorang ahli, yaitu D.G. Krige, yang
pertama kali menggunakan korelasi spasial dan estimator yang tidak bias. Istilah
kriging diperkenalkan oleh G. Matheron untuk menonjolkan metode khusus dalam
moving average terbobot (weighted moving average) yang meminimalkan varians
dari hasil estimasi.
Kriging memberikan lebih banyak bobot pada conto dengan jarak terdekat
dibandingkan dengan conto dengan jarak lebih jauh, kemenerusan dan anisotropi
merupakan pertimbangan yang penting dalam kriging, bentuk geometri dari data
dan karakter variabel yang diestimasi serta besar dari blok juga ditaksir.
Sifat-sifat Kriging :
1. Struktur dan korelasi variabel melalui fungsi γ(h)
2. Hubungan geometri relatif antar data yang mencakup hal penaksiran dan
penaksiran volume melalui (Si,Sj) (hubungan antar data) dan sebagai (Si,V)
(hubungan antara data dan volume)
3. Jika variogram isotrop dan pola data teratur, maka sistem kriging akan
memberikan data yang simetri
4. Dalam banyak hal hanya conto-conto di dalam blok dan di sekitar blok
memberikan estimasi dan mempunyai suatu faktor bobot masing-masing nol
5. Dalam hal ini jangkauan radius conto yang pertama atau kedua pertama tidak
memengaruhi (tersaring).
6. Efek screen ini akan terjadi, jika tidak ada nugget effect atau kecil sekali ε =
C0/C
7. Efek nugget ini menurunkan efek screen
8. Untuk efek nugget yang besar, semuai conto mempunyai bobot yang sama.
9. Conto-conto yang terletak jauh dari blok dapat diikutsertakan dalam estimasi
ini melalui harga rata-ratanya
Jenis -jenisnya antara lain :
1. Ordinary Kriging
Yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan
dengan mengamati data sejenis pada daerah lain.
2. Blok Kriging ,
Yaitu pendugaan nilai suatu peubah pada area dan area tersebut dipecah-
pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3. Cokriging,
Yaitu pendugaan nilai su atu peubah pada suatu titik tertentu menggunakan
data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi
lain. Ordinary kriging biasanya hanya memiliki satu fungsi variogram yang
berlaku untuk semua lokasi.
Variogram, Semivariogram, Kovariogram dan Korelogram
Pada pemodelan variogram dan kriging, data spasial diasumsikan sebagai
proses stokastik {Z(S):S E D} dengan D adalah himpunan bagian dalam ruang
berdimensi Rd, d > 0. Kovarian nilai antara dua titik sembarang si dan sj
didefinisikan sebagai,
dengan nilai korelasi adalah
Suatu proses dikatakan stasioner pada ratarata dan varians jika dan hanya jika
μ(Si) = μ dan μ2(Si)=μ2, akibatnya:
C(Si,Sj) = C(Si –Sj) = C(h)
ρ(Si,Sj) = ρ(Si –Sj) = ρ(h)
di mana h adalah vektor jarak antara titik i dan j, C(h) disebut kovariogram dan
ρ(h) disebut korelogram.
Varians nilai antara dua lokasi dengan jarak tertentu ditentukan sebagai
Var [Z(S + h) -Z(S)] = 2ϒ(h), 2ϒ(h)disebut variogram dan ϒ (h) disebut
semivariogram.
Hubungan antara kovariogram, korelogram dan semivariogram
berdasarkan kestasioneran dinyatakan dengan [2]
Semivariogram Empirik
Semivariogram empirik dihitung dari data sampel yang kemudian
diplotkan sebagai fungsi dari jarak. MisalZ(Si) adalah nilai hasil pengukuran pada
lokasi i, sedangkan Si = (Xi,yi) adalah vektor yang mengandung koordinat spasial
x, y, semivariogram cloud didefinisikan sebagai
ϒij=0,5[Z(Si)-Z(Sj)]2
untuk semua pasangan jarak yang mungkin {(Si,Sj); i,j = 1,2,3,…,n} dan
diplotkan sebagai fungsi jarak, yang dihitung dengan:
|h| = lSi -Sjl = [(Xi –Xj)2
+ (yi –yj)2]1/2 Perhitungan ini melibatkan ribuan
titik pada plot semivariogram sehingga mengakibatkan sulitnya melihat pola
tertentu.
Untuk mengatasi hal tersebut maka yij dikelompokkan (binning)
berdasarkan kesamaan jarak. Berikut rumusan semivariogram yang
dikelompokkan (semivariogram empirik):
ϒ(h) =
di mana
N(h) : himpunan pasangan data pada Si dan Sj yang mempunyai selisih jarak yang
sama, h E T(h), sedangkan T(h) merupakan daerah toleransi di sekitar h. |N(h)| :
banyak pasangan jarak di dalam himpunan N(h).
Spatial Outlier
Spatial Outlier (pencilan spasial) didefinisikan sebagai nilai lokasi observasi
yang tidak konsisten (ekstrim) terhadap nilai lokasi observasi yang lainnya.
Munculnya pencilan dapat disebabkan oleh mekanisme pengambilan nilai
observasi yang berbeda dengan yang lainnya, Ada banyak metode yang digunakan
untuk mendeteksi adanya pencilan salah satunya adalah dengan spatial statistics Z
test. Untuk spatial statistics Z test, didefinisikan sebagai:
Jika Zs(x) > θ, maka dideteksi sebagai pencilan (outlier), untuk tingkat
signifikansi 5%, nilai θ = 2.
Robust Kriging
Model yang mendasari robust kriging adalah
Dengan W(·) stasioner intrinsik dan gaussian dan ɳ(·)+ϵ(·) =
ε(·) . Berbeda dengan kriging klasik (simple, ordinary), untuk mengakomodir
adanya outlier, variogram empirik untuk robust kriging dirumuskan sebagai :
Robust kriging mengakomodir adanya outlier sehingga semivariogram yang
digunakan adalah semivariogram empirik terboboti. Adapun paket program
ArcGIS 9.2 yang digunakan untuk membuat peta kontur prediksi pada ordinary
kriging masih belum menyediakan fasilitas penghitungan nilai dan pembuatan
peta kontur prediksi untuk robust kriging, demikian pula untuk semua paket
program geostatistika. Oleh karena itu, diperlukan pembuatan program yang
sesuai untuk algoritma robust kriging.
Penelitian tentang aplikasi robust kriging masih terbatas. Pada umumnya, para
peneliti hanya sampai pada ilustrasi statistika matematika dari modelmodel yang
menunjang penggunaan robust kriging. Pada penelitian ini, untuk mengestimasi
nilai pada suatu daerah tertentu adalah dengan menggunakan macro Minitab v.14 .
Namun, kelemahan pada macro tersebut adalah ketidakmampuan untuk
mengestimasi nilai pada daerah lain, sehingga pada penelitian ini hanya dicari
nilai estimasi pada daerah yang sudah diketahui nilai asalnya yang kemudian
dihitung tingkat ketepatan dalam mengestimasi.
Langkah awal dari macro adalah menghitung jarak masingmasing titik,
menghitung interval masingmasing lag dimana besar lag didapatkan dari proses
perhitungan via ArcGIS 9.2, kemudian mengelompokkan jarakjarak tersebut pada
lag yang bersesuaian. Langkah kedua adalah menghitung variogram dan
semivariogram untuk robust kriging.
Selanjutnya menghitung matrik C yang terbentuk dari semivariogram robust,
matrik C0 yang terbentuk dari semivariogram dari titik yang diestimasi dengan
semua titik yang diketahui. Langkah terakhir adalah menghitung matrik lambda
yang digunakan untuk menentukan nilai estimasi.
Berdasarkan hasil analisis dari macro didapat nilai estimasi yang relatif sama
dengan nilai asalnya atau dengan kata lain tingkat presisif dari robust kriging
untuk data yang mengandung pencilan sangat tinggi.
Ordinary Kriging
Teori Kriging sering dihubungkan dengan akronim BLUE, yang
merupakan akronim dari Best Linear Unbiased Estimator. Ordinary Kriging
disebut Linear karena estimasinya merupakan kombinasi linear berbobot dari
data yang tersedia. Unbiased sejak Ordinary Kriging mencoba mempunyai mR
, yaitu mean residual error, sama dengan nol. Best karena tujuannya
adalah meminimasi σ 2 R , variansi error. Kebanyakan metode estimasi
yang ada sekarang ini juga mempunyai sifat linear dan secara teori
mempunyai sifat unbiased juga, tetapi hal yang membedakan Ordinary
Kriging dengan metode lainnya adalah Ordinary Kriging bertujuan
meminimasi variansi error.
Ketepatan dugaan kriging sangat bergantung pada model semivariogram
yang dipilih yang digunakan untuk menentukan bobot kriging. Pertimbangan
terpenting dalam kriging adalah metode ini memberikan bobot yang lebih besar
pada titik contoh dengan jarak yang lebih dekat dibandingkan dengan titik contoh
dengan jarak lebih jauh. Penjumlahan dari keseluruhan bobot sama dengan satu.
Pendugaan data yang tidak diketahui menggunakan persamaan berikut.
Pada titik yang akan diduga nilainya, model merupakan fungsi acak
stasioner yang terdiri dari beberapa peubah acak yaitu V(x1), V(x), ditambah
dengan satu nilai peubah V(x) yang diinterpolasi nilainya. Masing-masing peubah
acak mempunyai peluang yang sama pada semua lokasi dengan nilai tengah E(Z).
Sisaan yang diperoleh sebesar R(x0)
Telah diasumsikan sebelumnya bahwa fungsi acak stasioner dan nilai
harapan sisaannya nol sehingga dapat dituliskan sebagai berikut.
Agar nilai dugaan yang dihasilkan tidak bias, maka jumlah pembobot
masing-masing nilai peubah pada lokasi lainnya adalah sama dengan satu (Isaaks
& Srivastava 1989). Semua prosedur pendugaan dalam kasus ini menggunakan
kondisi ketidakbiasan. menerangkan bahwa ragam duga adalah sebagai berikut.
dimana merupakan semivarian antara data pada titik atau lokasi
pengamatan dan , x0 sedangkan adalah semivarian antara data pada titik ke-i dan
data pada titik ke-j.
Metode interpolasi ordinary kriging adalah metode pendugaan yang
menghasilkan ragam minimum dengan menggunakan parameter lagrange µ
Dengan menghitung turunan parsial persamaan G terhadap µ dan wi
sebagai berikut:
Maka dalam notasi matriks akan diperoleh:
dengan :
C : matriks kovarian antar pasangan lokasi/titik ke-i dan ke-j
w : vektor pembobot-i
D : vektor kovarian antara lokasi/titik yang diduga dengan lokasi pengamatan
yang telah ada
Selanjutnya, besarnya bobot masing-masing nilai peubah V(x1), ..., V(xn)
diperoleh sebesar:
Untuk mengetahui apakah metode Ordinary Kriging dapat digunakan
untuk menduga data hilang, data harus memenuhi asumsi stasioner intrinsik.
Pemeriksaan kestasioneran data secara formal dilakukan dengan menggunakan
Uji Dickey Fuller. Hipotesis yang diuji adalah:
H0 : γ = 0 (data tidak stasioner) H
H1: γ < 0 (data stasioner)
Jika nilai p < a, atau t hitung < nilai kritisnya maka keputusan yang
diambil adalah menolak H0 yang berarti data bersifat stasioner.
Contoh perhitungan ordinary kriging
BAB III
PENUTUP
Kesimpulan
Kriging adalah metode geostatistik yang digunakan untuk mengestimasi
nilai dari sebuah titik atau blok sebagai kombinasi linier dari nilai conto yang
terdapat disekitar titik yang akan diestimasi. Bobot kriging diperoleh dari hasil
variansi estimasi minimum dengan memperluas penggunaan semi-variogram.
Jenis -jenisnya antara lain :
1. Ordinary Kriging
Yaitu pendugaan suatu nilai peubah pada suatu titik tertentu yang dilakukan
dengan mengamati data sejenis pada daerah lain.
2. Blok Kriging ,
Yaitu pendugaan nilai suatu peubah pada area dan area tersebut dipecah-
pecah menjadi area-area yang lebih kecil dimana suatu nilai menggambarkan
nilai potongan area yang kecil tersebut.
3. Cokriging,
Yaitu pendugaan nilai su atu peubah pada suatu titik tertentu menggunakan
data lebih dari satu peubah dengan mengamati data yang sejenis pada lokasi
lain. Ordinary kriging biasanya hanya memiliki satu fungsi variogram yang
berlaku untuk semua lokasi.
Pengembangan ordinary kriging adalah robust kriging yang
mentransformasi bobot variogram pada variogram klasik sehingga menjadi
variogram yang robust terhadap outlier.
DAFTAR PUSTAKA
Angen Laksana, Endra. 2010. Analisis Data Geostatistik Dengan Pendekatan
Kriging Universal. Yogyakarta.
Darmanto dan Soepraptini. 2007. Robust Kriging Untuk Interpolasi Spasial Pada Data Spasial Berpencilan (Outlier). Malang
Rokhma, Wenny. S. 2006. System Ordinary Kriging Untuk Matriks Data yang
Dibagi Menjadi 4 Bagian. Bandung.
Suharjo, Bambang. 2005. Pendekatan Fuzzy Kriging Pada Analisis Data Spasial.
Jakarta.
Mata Kuliah : Rekayasa Perhitungan Cadangan
Metode Ordinary Kriging
OLEH:
IRIANTO RANTE PASANG
YASER
ADHITYA ACHMAD
PABIANUS RAMPEAN
PANGKI TRI SADLY D62109281
CHRISTIANUS SANDY D62109282
DADANG ARYANDA D62109284
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
UNIVERSITAS HASANUDDIN
FAKULTAS TEKNIK
PROGRAM STUDI TEKNIK PERTAMBANGAN
MAKASSAR
2012