MP* Formulaire d’opérateurs différentiels

opérateur gradient

Coordonnées Opérateur ~grad f ou ~∇f

Cartésiennes ∂f

∂x~ex + ∂f

∂y~ey + ∂f

∂z~ez

Cylindriques ∂f

∂r~er + 1

r

∂f

∂θ~eθ + ∂f

∂z~ez

Sphériques ∂f

∂r~er + 1

r

∂f

∂θ~eθ + 1

r sin θ∂f

∂ϕ~eϕ

opérateur divergence

Coordonnées Opérateur div ~A ou ~∇ · ~A

Cartésiennes ∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

Cylindriques 1r

∂(rAr)∂r

+ 1r

∂Aθ∂θ

+ ∂Az∂z

Sphériques 1r2∂(r2Ar)∂r

+ 1r sin θ

∂(sin θAθ)∂θ

+ 1r sin θ

∂Aϕ∂ϕ

Astuce : en coordonnées cartésiennes (uniquement !), la divergence s’obtient for-

mellement par le « produit scalaire », en notant ∂x ≡∂

∂xet de même pour les

autres coordonnées y et z :

~∇ · ~A = (∂x, ∂y, ∂z) · (Ax, Ay, Az) = ∂xAx + ∂yAy + ∂zAz

= ∂Ax∂x

+ ∂Ay∂y

+ ∂Az∂z

opérateur rotationnel

Coordonnées Opérateur ~rot ~A ou ~∇∧ ~A

Cartésiennes(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)~ex +

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)~ey +

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)~ez

Cylindriques(

1r

∂Az∂θ− ∂Aθ

∂z

)~er +

(∂Ar∂z− ∂Az

∂r

)~eθ

+(

1r

∂(rAθ)∂r

− 1r

∂Ar∂θ

)~ez

Sphériques 1r sin θ

(∂(sin θAϕ)

∂θ− ∂Aθ

∂ϕ

)~er +

(1

r sin θ∂Ar∂ϕ− 1r

∂(rAϕ)∂r

)~eθ

+1r

(∂(rAθ)∂r

− ∂Ar∂θ

)~eϕ

Astuce : en coordonnées cartésiennes (uniquement !), l’opérateur rotationnels’obtient formellement par le « produit vectoriel » :

~∇∧ ~A =

∣∣∣∣∣∣∂x∂y∂z

∧

∣∣∣∣∣∣AxAyAz

=(∂Az∂y− ∂Ay

∂z

)~ex+

(∂Ax∂z− ∂Az

∂x

)~ey+

(∂Ay∂x− ∂Ax

∂y

)~ez

opérateur dérivée selon un vecteur

Coordonnées Opérateur ( ~A · ~grad ) ~B

Cartésiennes ( ~A · ~grad )Bx~ex + ( ~A · ~grad )By~ey + ( ~A · ~grad )Bz~ez

=(Ax

∂Bx∂x

+Ay∂Bx∂y

+Az∂Bx∂z

)~ex + ...

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MP* Formulaire d’opérateurs différentiels

Laplacien scalaire

Coordonnées Opérateur ∆f = div ( ~grad f) = ~∇ · ~∇f

Cartésiennes ∂2f

∂x2 + ∂2f

∂y2 + ∂2f

∂z2

Cylindriques 1r

∂

∂r

(r∂f

∂r

)+ 1r2∂2f

∂θ2 + ∂2f

∂z2

Sphériques 1r2

∂

∂r

(r2 ∂f

∂r

)+ 1r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ∂f

∂θ

)+ 1r2 sin2 θ

∂2f

∂ϕ2

Remarque : Le premier terme de l’expression en coordonnées sphériques s’écrit

aussi 1r2

∂

∂r

(r2 ∂f

∂r

)= 1r

∂2(rf)∂r2 .

Laplacien vecteur

Coordonnées Opérateur ~∆ ~A ou ∆ ~A

Cartésiennes ∆Ax~ex + ∆Ay~ey + ∆Az~ez

Autres ~grad (div ~A)− ~rot ( ~rot ~A)

Identités différentielles

div ( ~rot ~A) = 0 ~rot ( ~grad f) = ~0

Développements

~grad (fg) = f ~grad g + g ~grad f

div (f ~A) = fdiv ~A+ ~A · ~grad f

~rot (f ~A) = f ~rot ~A+ ~grad f ∧ ~A

~grad ( ~A · ~B) = ( ~A · ~grad ) ~B + ( ~B · ~grad ) ~A+ ~A ∧ ~rot ~B + ~B ∧ ~rot ~A

div ( ~A ∧ ~B) = ~B · ~rot ~A− ~A · ~rot ~B

~rot ( ~A ∧ ~B) = ~B div ~A+ ( ~B · ~grad ) ~A− ~Adiv ~B − ( ~A · ~grad ) ~B

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