Upload
melanie-moore
View
213
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
flallfo
Citation preview
MP* Formulaire d’opérateurs différentiels
opérateur gradient
Coordonnées Opérateur ~grad f ou ~∇f
Cartésiennes ∂f
∂x~ex + ∂f
∂y~ey + ∂f
∂z~ez
Cylindriques ∂f
∂r~er + 1
r
∂f
∂θ~eθ + ∂f
∂z~ez
Sphériques ∂f
∂r~er + 1
r
∂f
∂θ~eθ + 1
r sin θ∂f
∂ϕ~eϕ
opérateur divergence
Coordonnées Opérateur div ~A ou ~∇ · ~A
Cartésiennes ∂Ax∂x
+ ∂Ay∂y
+ ∂Az∂z
Cylindriques 1r
∂(rAr)∂r
+ 1r
∂Aθ∂θ
+ ∂Az∂z
Sphériques 1r2∂(r2Ar)∂r
+ 1r sin θ
∂(sin θAθ)∂θ
+ 1r sin θ
∂Aϕ∂ϕ
Astuce : en coordonnées cartésiennes (uniquement !), la divergence s’obtient for-
mellement par le « produit scalaire », en notant ∂x ≡∂
∂xet de même pour les
autres coordonnées y et z :
~∇ · ~A = (∂x, ∂y, ∂z) · (Ax, Ay, Az) = ∂xAx + ∂yAy + ∂zAz
= ∂Ax∂x
+ ∂Ay∂y
+ ∂Az∂z
opérateur rotationnel
Coordonnées Opérateur ~rot ~A ou ~∇∧ ~A
Cartésiennes(∂Az∂y− ∂Ay
∂z
)~ex +
(∂Ax∂z− ∂Az
∂x
)~ey +
(∂Ay∂x− ∂Ax
∂y
)~ez
Cylindriques(
1r
∂Az∂θ− ∂Aθ
∂z
)~er +
(∂Ar∂z− ∂Az
∂r
)~eθ
+(
1r
∂(rAθ)∂r
− 1r
∂Ar∂θ
)~ez
Sphériques 1r sin θ
(∂(sin θAϕ)
∂θ− ∂Aθ
∂ϕ
)~er +
(1
r sin θ∂Ar∂ϕ− 1r
∂(rAϕ)∂r
)~eθ
+1r
(∂(rAθ)∂r
− ∂Ar∂θ
)~eϕ
Astuce : en coordonnées cartésiennes (uniquement !), l’opérateur rotationnels’obtient formellement par le « produit vectoriel » :
~∇∧ ~A =
∣∣∣∣∣∣∂x∂y∂z
∧
∣∣∣∣∣∣AxAyAz
=(∂Az∂y− ∂Ay
∂z
)~ex+
(∂Ax∂z− ∂Az
∂x
)~ey+
(∂Ay∂x− ∂Ax
∂y
)~ez
opérateur dérivée selon un vecteur
Coordonnées Opérateur ( ~A · ~grad ) ~B
Cartésiennes ( ~A · ~grad )Bx~ex + ( ~A · ~grad )By~ey + ( ~A · ~grad )Bz~ez
=(Ax
∂Bx∂x
+Ay∂Bx∂y
+Az∂Bx∂z
)~ex + ...
1
MP* Formulaire d’opérateurs différentiels
Laplacien scalaire
Coordonnées Opérateur ∆f = div ( ~grad f) = ~∇ · ~∇f
Cartésiennes ∂2f
∂x2 + ∂2f
∂y2 + ∂2f
∂z2
Cylindriques 1r
∂
∂r
(r∂f
∂r
)+ 1r2∂2f
∂θ2 + ∂2f
∂z2
Sphériques 1r2
∂
∂r
(r2 ∂f
∂r
)+ 1r2 sin θ
∂
∂θ
(sin θ∂f
∂θ
)+ 1r2 sin2 θ
∂2f
∂ϕ2
Remarque : Le premier terme de l’expression en coordonnées sphériques s’écrit
aussi 1r2
∂
∂r
(r2 ∂f
∂r
)= 1r
∂2(rf)∂r2 .
Laplacien vecteur
Coordonnées Opérateur ~∆ ~A ou ∆ ~A
Cartésiennes ∆Ax~ex + ∆Ay~ey + ∆Az~ez
Autres ~grad (div ~A)− ~rot ( ~rot ~A)
Identités différentielles
div ( ~rot ~A) = 0 ~rot ( ~grad f) = ~0
Développements
~grad (fg) = f ~grad g + g ~grad f
div (f ~A) = fdiv ~A+ ~A · ~grad f
~rot (f ~A) = f ~rot ~A+ ~grad f ∧ ~A
~grad ( ~A · ~B) = ( ~A · ~grad ) ~B + ( ~B · ~grad ) ~A+ ~A ∧ ~rot ~B + ~B ∧ ~rot ~A
div ( ~A ∧ ~B) = ~B · ~rot ~A− ~A · ~rot ~B
~rot ( ~A ∧ ~B) = ~B div ~A+ ( ~B · ~grad ) ~A− ~Adiv ~B − ( ~A · ~grad ) ~B
2