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MODELISATION DES
MECANISMES
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SOMMAIRE
MODELISATION DES MECANISMES ................................................................................................................................................................... 4
Introduction : ................................................................................................................................................................ 4
1. Modélisation d'un mécanisme existant : .............................................................................................................. 4
a. Modélisation des pièces mécaniques : .................................................................................................. 5
b. Classes d'équivalences : ......................................................................................................................... 5
c. Modélisation des contacts : ................................................................................................................... 7
2. Etude des liaisons : ............................................................................................................................................... 7
a. Liaisons simples ou élémentaires .......................................................................................................... 7
b. Liaisons composées : ............................................................................................................................. 8
c. Torseur cinématique : ............................................................................................................................ 8
d. Torseur transmissible par une liaison parfaite : .................................................................................... 9
e. Liaison parfaite : .................................................................................................................................... 9
3. Torseurs associés aux liaisons classiques : .......................................................................................................... 11
a. Réciprocité du torseur d'action mécanique transmissible et du torseur cinématique : ..................... 12
b. Forme particulière des torseurs cinématiques : .................................................................................. 14
4. Liaisons obtenues par l'ajout de composants : ................................................................................................... 16
a. Les coussinets : .................................................................................................................................... 16
b. Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles : .............................................................................. 16
c. Les butées à billes et à rouleaux : ........................................................................................................ 16
d. Les douilles à billes ou à rouleaux : ..................................................................................................... 16
e. Les vis à billes : ..................................................................................................................................... 16
f. Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails : ...................................................................................... 17
g. Les rotules lisses : ................................................................................................................................ 17
5. Représentations schématiques complémentaires : ............................................................................................ 17
a. Transmission par adhérence : roues à friction. ................................................................................... 17
b. Transmission par obstacles : Engrenages. ........................................................................................... 17
c. Transmission par obstacles : Pignon crémaillère. ................................................................................ 18
d. Transmission par obstacles : Roue et vis sans fin. ............................................................................... 18
e. Transmissions par lien flexible : pignons-chaîne. ................................................................................ 18
f. Transmissions par lien flexible : poulies-courroie. .............................................................................. 19
6. Schématisation : ................................................................................................................................................ 19
a. Graphe des contacts, des liaisons : ...................................................................................................... 19
b. Graphe de structure ou graphe des liaisons élémentaires : ................................................................ 21
c. Schéma cinématique minimal : ........................................................................................................... 21
d. Méthode pour représenter un schéma cinématique : ........................................................................ 22
7. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes : ...................................................................................... 23
a. Mobilité (Principe de Maxwell et Kelvin) : ........................................................................................... 23
b. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes : ..................................................................... 23
c. Système hyperstatique : ...................................................................................................................... 26
d. Application à la clé étau : ..................................................................................................................... 27
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8. Chaînes de solides - Structure des mécanismes : ................................................................................................ 27
a. Chaînes ouvertes : ............................................................................................................................... 28
b. Chaîne fermée simple : ........................................................................................................................ 29
c. Chaîne cinématiques complexes : ....................................................................................................... 30
9. Liaisons cinématiquement équivalentes : ........................................................................................................... 31
a. Liaisons en parallèle : .......................................................................................................................... 31
b. Liaison en série : .................................................................................................................................. 35
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MODELISATION DES MECANISMES
Problématique : Comment obtenir un modèle du mécanisme représenté sous forme de schéma (image symbolique simplifiée) permettant différentes études :
Cinématique : - relations entrées-sorties en position et vitesse - étude des mouvements
Statique : - relations entrées-sorties en efforts - efforts de liaisons entre solides - efforts dans les liaisons
Combinés : - Dynamique - Energétique
Exemple : Nacelle élévatrice
INTRODUCTION :
Nous limiterons notre étude aux ensembles mécaniques constitués d’éléments rigides (solides) qui sont en contact entre eux (assemblages). Afin de permettre une bonne approche du mécanisme réel, on associe les pièces mécaniques à des solides indéformables et, les liens entre elles, à des modèles de liaisons technologiques. Mécanisme : - Un mécanisme est un agencement de pièces mécaniques reliées entre elles et conçu en vue de
réaliser une fonction déterminée. - Un mécanisme est généralement conçu pour établir une relation particulière entre des
informations d’entrée qui sont des informations exercées par le milieu extérieur sur le mécanisme, et des informations de sortie qui sont des informations exercées par le système sur le milieu extérieur.
1. MODELISATION D'UN MECANISME EXISTANT :
Un mécanisme réel étant toujours très complexe, il est nécessaire, pour le comprendre et l’améliorer, d’élaborer des modèles, afin de pouvoir lui appliquer les lois de la mathématique ou de la mécanique. Cette modélisation permet de comprendre de façon fine le fonctionnement réel, d’en voir les limites et de proposer des modifications sur le modèle afin de l’améliorer.
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Lors de l'étude d'un mécanisme, la modélisation des pièces, des liaisons et des actions mécaniques va permettre de déterminer les performances de ce mécanisme et son dimensionnement. La modélisation et la schématisation cinématiques sont des moyens privilégiés pour expliquer le fonctionnement d’un mécanisme et pour exprimer certaines caractéristiques grâce à un paramétrage adéquat.
a. Modélisation des pièces mécaniques :
Solides parfaits, indéformables ayant une géométrie bien définie. Cette modélisation exclut naturellement les fluides, ainsi que les pièces qui subissent de grandes déformations, comme les ressorts ou les courroies de transmission.
b. Classes d'équivalences :
Un mécanisme est un agencement de pièces mécaniques reliées entre elles par des liaisons. Ces pièces liées entre elles par des assemblages permettent :
- une transmission d’effort avec mouvement c’est le cas des systèmes de transformation de mouvement (système bielle manivelle, réducteur, came….)
- une transmission d’effort sans mouvement c’est le cas de mécanisme de positionnement (montages d’usinage…)
Afin de simplifier la représentation du mécanisme et la schématisation qui en résulte, il faut commencer par regrouper tous les éléments en contact n'ayant aucun mouvement relatif pendant l'usage du mécanisme à l'exception des pièces déformables. Chaque groupe constitue une classe d'équivalence selon la relation "pas de mouvement relatif" et sera affecté d'un même repère (celui de la pièce la plus représentative du groupe de par sa forme ou sa fonction). L'intitulé "groupe cinématiquement lié" pourra également être utilisé pour définir ces groupes. En principe on commence par repérer tous les éléments qui sont liés au bâti et qui serviront de référence pour l’étude du mécanisme.
Application à la clé étau :
La clé étau est un outil très polyvalent. Légère et facile à manier, elle est très appréciée des différents corps de métiers (mécanicien, carrossier, …). On la caractérise par sa capacité maximale d’ouverture des mors : 23 mm. Cet outillage peut intervenir sur de la boulonnerie détériorée ou mal calibrée grâce à une force de serrage de 6000 N, mais peut servir également pour maintenir en pression afin de coller, riveter, souder… Dotée de mors doux (lisse), la clé peut être utilisée sur une boulonnerie fragile, par exemple en plastique.
Modélisation
Modèle
amélioré
Mécanisme réel amélioré
Mécanisme
réel
Concepts simplificateurs
Etude critique du modèle
Modifications des dispositions constructives
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𝑥Ԧ
𝑦Ԧ
⨀ 𝑧Ԧ
𝑥1ሬሬሬԦ
𝑦1
ሬሬሬԦ
A +
+ B
+ C
+ D
+ E
+ F
Numéro d'article Nom de la pièce Quantité
1 Mors 1
2 Chape 1
3 Corps 1
4 Vis à droite 1
5 Poignée 1
6 Vis à gauche 1
7 Ecrou double 1
8 Rivet poignée 2
9 Rivet chape 2
10 Rivet corps 1
Cas particulier des éléments interposés roulants ou glissants : exemple du roulement.
Si on observe la constitution d'un roulement on se rend assez vite compte qu'au lieu de simplifier le mécanisme on risque plutôt d'en compliquer la compréhension. En effet, ces composants sont présents en grand nombre dans les mécanismes et on peut difficilement imaginer d'affecter une classe d'équivalence à chacun des constituants du roulement (bague intérieure, extérieure, billes, cage et parfois flasques). Afin d'éviter le phénomène de corrosion sous charge, on monte toujours serrée la bague qui tourne par rapport à la direction de la charge. Par conséquent la totalité du roulement sera considéré comme faisant partie de la classe d'équivalence sur laquelle la bague est montée serrée. Corrosion sous charge : Quand un roulement est mis en charge, les forces résistantes des billes ont tendance à
freiner la bague qui tourne par rapport à la direction de la charge. S'il existe un jeu entre cette bague et l'arbre ou le logement correspondant et qu'un mouvement relatif apparaît, il y a décollement de la couche d'oxydation. Les particules d'oxydes de fer (ou d'aluminium dans le cas de carter en alu) très abrasives viennent user l'arbre d'où destruction rapide par prise de jeu.
Corrosion sous charge dû à la rotation d'une charge Fr par rapport à une bague :
Identifiez les classes d'équivalence qui composent la clé étau :
3D
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c. Modélisation des contacts :
Les contacts mécaniques entre pièces sont parfaits, sans jeu, les surfaces fonctionnelles sont géométriquement exactes, sans frottement ni adhérence et sans déformations sous charge. La modélisation des liaisons est basée sur l'analyse des surfaces de contact entre les groupes cinématiquement liés.
2. ETUDE DES LIAISONS :
En construction mécanique pour étudier les mouvements d’un mécanisme, on construit des modèles qui mettent en évidence les relations cinématiques entre ses constituants. C’est pourquoi il est intéressant de modéliser les liaisons mécaniques, c’est à dire les possibilités de mouvements compatibles avec les surfaces de contact. Hypothèses: La modélisation est faite sous les hypothèses suivantes :
- solides indéformables en mouvement relatif - surfaces géométriquement parfaites et positionnement géométrique relatif parfait des
surfaces - contact sans jeu et sans adhérence pour les pièces en mouvement relatif - liaisons considérées comme permanentes: bilatéralité
Une liaison est bilatérale si elle peut transmettre au même point deux torseurs statiques opposés, liaisons ponctuelles, linéaire rectiligne, appui plan sont bilatérales.
a. Liaisons simples ou élémentaires
On appelle liaison élémentaire de deux solides S1 et S2, tout contact mécanique de S1 et S2 s’effectuant suivant deux surfaces parmi les surfaces élémentaires suivantes: surface plane, surface cylindrique, surface sphérique. Les différentes combinaisons donnent naissance à 6 liaisons simples.
Surface S1
Surface S2
Contact :
Liaison :
Contact :
Liaison :
Contact :
Liaison :
Contact :
Liaison :
Contact :
Liaison :
Contact :
Liaison :
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b. Liaisons composées :
On appelle liaison composée, toute liaison entre deux solides S1 et S2 s’effectuant au moyen d’au moins deux liaisons élémentaires. Essentiellement à cause des problèmes de fabrication, il est très rare de trouver des liaisons pivot, glissière, hélicoïdale et sphérique à doigt réalisées de façon élémentaire. Exemple de combinaisons possibles :
Appui-plan
Pivot
Pivot glissant
Appui-plan
Glissière
Appui-plan
Pivot glissant
Hélicoïdale
Ponctuelle
Sphérique
Sphérique à doigt
Linéaire rectiligne
D'autres combinaisons existent, celles présentées sont parmi les plus répandues.
c. Torseur cinématique :
On appelle torseur cinématique associé à la liaison de S1 et S2, le torseur noté 12 S/S représentatif de
tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison des solides S1 et S2.
z.Vy.Vx.V
z.y.x.
V
V
V
V zyx
zyx
Az,y,xzz
yy
xx
AS/S,A
S/S
A
S/S
12
12
12
Si entre les deux solides n'existe aucune liaison, les six grandeurs ωx, ωy, ωz, Vx, Vy et Vz sont quelconques. On dit que S2 possède six degrés de liberté par rapport à S1. Si entre les solides existe une liaison mécanique, celle-ci va imposer "n" relations entre les grandeurs ωx, ωy, ωz, Vx, Vy et Vz. On dit que S2 possède (6-n) degrés de liberté par rapport à S1. Les relations les plus simples et les plus fréquentes correspondent à la nullité de certaines grandeurs cinématiques ou à des proportionnalités ente ces grandeurs. Définition : Le nombre de degrés de liberté entre deux solides liés est le nombre de paramètres cinématiques
indépendants à définir pour spécifier le torseur cinématique relatif entre ces deux solides. Pour plus de simplicité, on appellera ce nombre Nc. (Tableau des liaisons)
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d. Torseur transmissible par une liaison parfaite :
On appelle torseur transmissible par une liaison parfaite le torseur des actions de contact exercées par le solide S1 sur le solide S2 dont la puissance est nulle dans tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison des solides S1 et S2.
z.Ny.Mx.L
z.Zy.Yx.X
NZ
MY
LX
M
RT
121212
121212
Az,y,x1212
1212
1212
ASSA
SS
A
SS
21
21
21
Définition : Le nombre de degrés de liaison entre deux solides liés est le nombre de paramètres statiques
indépendants à définir pour spécifier le torseur statiques relatif entre ces deux solides. Pour plus de simplicité, on appellera ce nombre Ns.
e. Liaison parfaite :
On appelle liaison parfaite entre deux solides S1 et S2, toute liaison pour laquelle la puissance des efforts
intérieurs au système S1 S2 est nulle dans tout mouvement de S2 par rapport à S1 compatible avec la liaison. On appelle puissance développée par les efforts exercés par S1 sur S2 dans le mouvement de S2 par rapport à S1, le scalaire :
122121 S/SASSASS TP
torseurs exprimés au même point
Soit :
12211221
12
12
21
21
21 S/SSSAS/S,ASSS/S,A
S/S
ASSA
SS
A
SS .MV.RVM
RP
La puissance des efforts intérieurs au système S1 S2 est nulle lorsque le facteur de frottement des surfaces en contact est nul. Exemple du stylo à bille :
𝑥Ԧ
𝑦Ԧ
𝑧Ԧ
A
O
𝑉𝐴,𝑆2 𝑆1ΤሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
S2
S1
𝑥Ԧ
𝑦Ԧ
𝑧Ԧ
A
O
𝑉𝐴,𝑆2 𝑆1ΤሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ
S2
S1
Modèle équivalent
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On donne le torseur statique de la liaison ponctuelle de normale (𝐴, 𝑧Ԧ) avec frottement (f coefficient de frottement, la liaison est donc non parfaite) :
{𝑇𝑆1→𝑆2} = {
−𝑓. 𝑍12 00 0
𝑍12 0}
𝐴,𝑅
définir le torseur cinématique de la liaison puis définir les inconnues cinématiques
correspondants au problème.
Calculer la puissance développée par la liaison, à quoi correspond-elle ?
A quelle condition cette puissance est nulle ?
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3. TORSEURS ASSOCIES AUX LIAISONS CLASSIQUES :
LIAISON MOUVEMENTS POSSIBLES TORSEUR CINEMATIQUE
TORSEUR TRANSMISSIBLE
REPRESENTATION PLANE REPRESENTATION EN
PERSPECTIVE FORME
PARTICULIERE
ENCASTREMENT
TX = 0 RX = 0
z,y,xA
S/S 12
z,y,xA
SS 21T
conservée en :
TY = 0 RY = 0
TZ = 0 RZ = 0
Rotations = 0 Translations = 0 D.d.l. = 0
PIVOT
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
GLISSIERE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
HELICOIDALE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
PIVOT-GLISSANT
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
SPHERIQUE A DOIGT
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
APPUI-PLAN
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
SPHERIQUE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
LINEAIRE RECTILIGNE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
LINEAIRE-ANNULAIRE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
PONCTUELLE
TX = RX =
z,y,xA
S/S 12
Nc =
z,y,xA
SS 21T
Ns =
conservée en :
TY = RY =
TZ = RZ =
Rotations = Translations = D.d.l. =
Navigation : Torseur statique Liaison hélicoïdale Forme particulière Liaisons avec composant
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a. Réciprocité du torseur d'action mécanique transmissible et du torseur cinématique :
Lorsqu’une liaison est parfaite, nous avons vu qu’il n’y a pas de phénomène de frottement entre les surfaces de liaison; ceci implique notamment que la puissance développée par les actions mécaniques de liaison est nulle et donc que le comoment des torseurs
21 SST et
12 S/S est nul.
(Comoment = produit scalaire de deux torseurs)
21
21
21
SSA
SS
A
SSM
RT
12
12
12
S/S,A
S/S
A
S/SV
Exprimons la puissance développée par les actions mécaniques transmissibles de la liaison 12 SS :
0.MV.R12211221 S/SSSAS/S,ASS soit :
1/2z211/2y211/2x211/2z211/2y211/2x21 .N.M.LV.ZV.YV.X0 (a)
Comme les inconnues de liaison NS et les degrés de liberté de cette liaison NC sont indépendants, il résulte de l’équation (a) que chacun des six monômes du premier membre doit être nul. D’autre part, on observe que les deux termes qui composent un monôme ne peuvent pas être nuls simultanément. En effet considérons le monôme 1/2x21 V.X
. Si 0X 21 cela signifie que la résultante
21 SSR a une composante non nulle sur x,A et donc que le degré de liberté en translation suivant x n’existe
pas: par conséquent 0V 1/2x .
Réciproquement, si 0V 1/2x alors le degré de liberté en translation suivant x existe et compte tenu
du fait que la liaison est parfaite, il ne peut y avoir d’effort transmis suivant x , par conséquent 0X 21 .
Conclusion: il y a dans l’équation (a) un terme nul par monôme. Les deux torseurs 21 SST
et 12 S/S
sont réciproques et NS + NC = 6.
Exemple 1 : Liaison pivot d'axe 𝒙ሬሬԦ :
Nous avions trouvé la forme particulière en A xA du torseur cinématique :
z,y,x
x
AS/S,A
S/S
A
S/S
00
00
0
V12
12
12
Nc = 1
Exprimons au même point A et dans la même base z,y,x le torseur d'action mécanique transmissible
et ce de façon que le comoment de ces deux torseurs soit nul.
z,y,x1212
1212
12
ASSA
SS
A
SS
NZ
MY
0X
M
RT
21
21
21
Ns =5
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Exemple 2 : Liaison rotule (ou sphérique) de centre A : La forme particulière en A du torseur cinématique s'écrit :
z,y,xA
S/S,A
S/S
A
S/S
12
12
12 V
Nc =
Exprimons au même point A et dans la même base z,y,x le torseur d'action mécanique transmissible
et ce de façon que le comoment de ces deux torseurs soit nul.
z,y,xA
SSA
SS
A
SS
21
21
21 M
RT
Ns =
Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons) Retour sur la liaison hélicoïdale :
On a défini le torseur cinématique de cette liaison par :
z,y,x
xx
A
S/S
00
00
V
12
Quelle est la relation entre ωx et Vx ? Posons-nous la question en déplacement (on déroule l'hélice) :
Relation en x et θ : x translation θ rotation On applique le théorème de Thalès :
R2
p
R.
x
donc
2
px
Relation que l'on dérive par rapport au temps qui nous donne la relation entre ωx et Vx :
dt
d
2
p
dt
dx
soit xx
2
pV
Le torseur cinématique s'écrit donc :
z,y,x
xx
A
S/S
00
002
p
12
p le pas de l'hélice. NC = 1
Qu'en est-il du torseur des efforts transmissibles : z,y,xA
SS
NZ
MY
LX
T21
Pour une liaison parfaite, la puissance des efforts intérieurs est nulle : 0TP211212 SSS/SS/S
Soit : 121212 S/SAS/S,AS/S .MV.RP
θ.R
2π.R
x
p
1
2
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Le torseur des efforts transmissibles s'écrit donc :
z,y,xA
SS
NZ
MY
X2
pX
T21
NS = 5
Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons)
b. Forme particulière des torseurs cinématiques :
La forme particulière d’un torseur cinématique ou autre, est définie à partir des zéros des coordonnées
de ce torseur en un point, exprimées dans . Considérons le torseur cinématique de la liaison pivot d’axe x,A .
z,y,x
x
AS/S,A
S/S
A
S/S
00
00
0
V12
12
12
En quels autres points de l’espace, ce torseur peut-il s’exprimer sous cette forme, c’est à dire avec ces cinq zéros à cette place ? Soit B(xB, yB, zB) un point, s’il existe, qui répond à cette question. Ecrivons le torseur
12 S/S en B sachant
que z.zy.yx.xBA BBB
.
Champ des vecteurs vitesse : 121212 S/SS/S,AS/S,B BAVV
y..zz..yx.)z.zy.yx.x(V xBxBxBBBS/S,B 12
Le torseur 12 S/S au point B s’écrit :
z,y,xxB
xB
x
BS/S,B
S/S
B
S/S
.y0
.z0
0
V12
12
12
Pour que la forme particulière de 12 S/S soit conservée en B, il faut et il suffit que :
0.z xB et 0.y xB x donc il faut que zB = 0 et yB = 0
Donc le point B à x,A .
Conclusion :
La forme particulière du torseur cinématique d’une liaison pivot d’axe x,A est conservée pour tout point B
x,A .
La recherche de la conservation de la forme particulière du torseur
12 S/S peut se conduire de la même
façon pour les torseurs cinématiques ou statiques de toutes les liaisons. Remarque : L’étude d’un système mécanique nécessite le choix d’un repère général dans lequel on peut
situer toutes les liaisons. On lie par ailleurs à chaque liaison un repère local que l’on appelle également repère idéal.
L’origine A du repère idéal est le centre géométrique de la liaison. La notion de centre géométrique désigne en fait un lieu des centres admissibles.
Ex : pour une liaison pivot d’axe y,A , ce lieu est la droite yA
Dans ce repère local ou repère idéal, les torseurs d’efforts et cinématiques admettent leur forme canonique. Ils ont un nombre de composantes non nulles minimal, c’est ce qui fait l’intérêt de ce choix pour le calcul.
• x
y
z,A
Forme particulière d'une pivot d'axe x
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Exemple : Liaison ponctuelle de normale x,A :
Considérons le torseur cinématique de la liaison ponctuelle de normale x,A
➢ Déterminer le lieu des points B ou la forme particulière du torseur cinématique est conservée.
Retour sur les torseurs associés aux liaisons (Tableau des liaisons)
•
x
y z,A
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4. LIAISONS OBTENUES PAR L'AJOUT DE COMPOSANTS :
Certaines liaisons dans les mécanismes n’utilisent pas le principe de contact direct entre les deux solides. Grâce à l’interposition d’éléments glissants ou roulants entre les solides, il est possible d’obtenir des mouvements relatifs plus performants d’un point de vue énergétique.
a. Les coussinets :
Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot ou pivot glissant.
b. Les roulements à billes, à rouleaux ou à aiguilles :
La modélisation du roulement seul sera développé plus tard, pour le moment nous considérerons que lorsque les roulements sont au moins au nombre de deux entre les deux solides qu'ils sont modélisables par une liaison pivot.
Exemple d'éléments roulants :
c. Les butées à billes et à rouleaux :
Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot.
d. Les douilles à billes ou à rouleaux :
Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison pivot glissant.
e. Les vis à billes :
Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison hélicoïdale.
Spé
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f. Les guidages à billes ou à rouleaux sur rails :
Ils permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison glissière.
g. Les rotules lisses :
Elles permettent d’obtenir un mouvement relatif entre deux solides modélisable par une liaison sphérique.
5. REPRESENTATIONS SCHEMATIQUES COMPLEMENTAIRES :
a. Transmission par adhérence : roues à friction.
Schémas normalisés :
Principe : Deux roues cylindriques ou coniques sont en contact linéique. L’adhérence au contact des deux roues permet de transmettre le mouvement d’entrée (roue menante 1) à la roue de sortie (roue menée 2). Pour un bon fonctionnement, il faut assurer un roulement sans glissement en utilisant : - un couple de matériaux avec un fort coefficient d’adhérence ; - un effort presseur entre les deux roues. Utilisation : Transmissions de faible puissance (petits appareils portables comme des baladeurs), ou dans des variateurs de vitesse. Caractéristiques géométriques : Les rayons des roues : R1 et R2.
b. Transmission par obstacles : Engrenages.
Utilisation : Transmissions de faible et forte puissances. Applications : de la montre à la boite de vitesse
automobile. Caractéristiques géométriques : Les rayons primitifs des roues dentées : R1 et R2.
Schémas normalisés :
Spé
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c. Transmission par obstacles : Pignon crémaillère.
Utilisation : Transmissions de faible et forte puissances. Applications : direction de voiture. Caractéristiques géométriques : Le rayon primitif de la roue dentée : R.
d. Transmission par obstacles : Roue et vis sans fin.
Utilisation : Transmission entre arbres à axes non concourants. Irréversibilité possible → sécurité anti-retour
(utile quand le récepteur peut devenir moteur : exemple : appareils de levage). Grand rapport de réduction (entre 5 et 150).
Inconvénient : L’engrènement se fait avec beaucoup de glissement entre les dentures, donc usure, et rendement faible (60%). La vis supporte un effort axial important.
Pour déterminer le rapport de transmission, on prendra le nombre de filets pour la vis.
e. Transmissions par lien flexible : pignons-chaîne.
Les liens flexibles sont particulièrement avantageux lorsqu’il s’agit de transmettre un mouvement de rotation entre deux axes parallèles très distants. Attention les roues ou poulies tournent dans le même sens (contrairement aux engrenages à contact extérieur).
Avantages : Transmission de couples très importants. Aucun glissement. Inconvénients : Bruyant et nécessite une lubrification.
Schéma normalisé :
Schémas normalisés :
Spé
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f. Transmissions par lien flexible : poulies-courroie.
La transmission de puissance par poulies-courroie se fait par l’intermédiaire de l’adhérence entre la courroie et les poulies.
Avantages: Rigidité en torsion assez faible, ceci permet leur utilisation lorsque les axes des poulies ne sont pas parallèles (possibilité d’utiliser des galets intermédiaires). Solution économique. Fonctionnement silencieux. Amortissement des à-coups grâce à l'élasticité des courroies. Inconvénients : Matériaux des courroies non adaptés à des conditions difficiles (température élevée par exemple). Durée de vie limitée. Nécessite une surveillance périodique en vue du remplacement de la courroie. Glissement (sauf pour courroie crantée).
6. SCHEMATISATION :
a. Graphe des contacts, des liaisons :
Le graphe des contacts est un outil descriptif qui permet de faire le bilan des solides et des contacts entre les solides d’un mécanisme. Etant donné que les liaisons sont déterminées par les possibilités de mouvements compatibles avec les surfaces de contact, ces contacts vont donc être modélisés par des liaisons. D'où l'appellation graphe des liaisons. Les solides sont placés aux sommets du polygone et les liaisons en sont les côtés. Les pièces en liaison fixe sont regroupées sous un même solide numéroté (classe d'équivalence).
2
1 4
3 ...
L1-2
L1-4
L2-3
L3-4
Spé
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𝑥Ԧ
𝑦Ԧ
⨀ 𝑧Ԧ
𝑥1ሬሬሬԦ
𝑦1
ሬሬሬԦ
A +
+ B
+ C
+ D
+ E
+ F
Application à la clé étau :
A l'aide des classes d'équivalence déterminées précédemment tracer le graphe des contacts (graphe ou seuls des liens représentants un contact entre les groupes sont tracés) :
Nous allons à présent étudier les surfaces en contact pour déterminer les liaisons, une fois fait, le graphe précédent deviendra un graphe des liaisons.
Liaisons Surface(s) Composant n°1 Surface(s) Composant n°2 Nature du ou des contacts Définition
ℓ1−3
ℓ1−5
ℓ5−6
ℓ6−7
ℓ7−4
ℓ3−4
3D
Spé
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b. Graphe de structure ou graphe des liaisons élémentaires :
Le graphe de structure met en évidence les liaisons en série ou en parallèle.
c. Schéma cinématique minimal :
Le schéma cinématique est un outil de représentation fonctionnelle. Il met en évidence l’agencement des différentes liaisons mécaniques d’un mécanisme. Le schéma cinématique d'un mécanisme est une représentation géométrique plane ou spatiale du graphe des liaisons. Pour construire ce schéma, on dessine les symboles normalisés des liaisons en respectant les caractéristiques géométriques relatives des différentes liaisons (parallélisme, orthogonalité, perpendicularité, coaxialité, contenant et contenu.). Les solides sont représentés par des traits continus qui relient les symboles normalisés des liaisons. En fonction des objectifs de l'étude, on pourra définir :
- Un graphe des liaisons et un schéma cinématique dans le cas d'une étude géométrique, cinématique.
M
8
6
21
13
Schéma cinématique Graphe des liaisons
2
1 4
3 ...
L1-2 L3-4
L2-3
L’1-4
L"1-4
Modélisation cinématique d’un mécanisme
Schéma cinématique minimal (représentation graphique du
modèle cinématique)
Spé
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Maintien de la liaison unilatérale
Décomposition de liaisons en parallèle
Décomposition de liaisons en série
Schéma d'architecture Graphe de structure
𝑥Ԧ
𝑦Ԧ
⨀ 𝑧Ԧ
𝑥1ሬሬሬԦ
𝑦1
ሬሬሬԦ
A +
+ B
+ C
+ D
+ E
+ F
- Un graphe de structure ou graphe des liaisons et efforts et un schéma d'architecture dans le cas d'une étude des efforts dans les liaisons, en statique ou dynamique.
d. Méthode pour représenter un schéma cinématique :
1. Choisir une représentation (spatiale ou plane) et l'orientation la plus représentative (si elle n'est pas imposée).
2. Mettre en place le(s) repère(s) en respectant l'orientation choisie. 3. Placer les centres des liaisons en respectant la géométrie du mécanisme et ses proportions. 4. Représenter en leur centre chaque liaison en respectant son orientation et les contenant-contenu. 5. Relier les classes d'équivalences. 6. Ajouter la symbolique à la classe d'équivalence fixe.
Remarque : Afin d'améliorer la lecture (et la représentation) du schéma cinématique il est fortement
recommandé d'utiliser une couleur par classe d'équivalence.
Application à la clé étau :
3
1
5
6 7 4
Glissière (𝐴, 𝑥Ԧ)
Pivot (𝐵, 𝑧Ԧ)
Pivot (𝐷, 𝑧Ԧ)
Schéma
Spé
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y
A O
z
x 3
1 2
0
7. RELATION FONDAMENTALE DE LA THEORIE DES MECANISMES :
a. Mobilité (Principe de Maxwell et Kelvin) :
Un solide supposé libre dans l’espace, a par rapport à un repère, 6 mobilités ou 6 degrés de liberté qui sont : - 3 translations TX, TY, TZ (ces translations sont appelées : longitudinale, transversale, verticale)
- 3 rotations RX, RY, RZ (roulis, tangage, lacet). Si l’on supprime, par des liaisons, les 6 degrés de liberté d’une pièce, celle-ci occupe alors une position bien précise et le repérage de la pièce est dit isostatique. Nous savons que les 6 degrés de liberté peuvent être définis par les coordonnées d’un point plus trois angles d’Euler. Définition : On appelle degré de mobilité d’un mécanisme quelconque, le nombre de paramètres qui
décrivent le mouvement et qui sont indépendants. Notations : mu = degré de mobilité utile du mécanisme. Il correspond au nombre de paramètres
indépendants servant à définir le mécanisme. - Pour un mécanisme de positionnement comme par exemple un montage d’usinage, mu = 0 - Pour un mécanisme de transformation de mouvement, mu = 1. - Pour un mécanisme de transformation de mouvement avec réglage, mu = 2.
mi = mobilités internes ne modifiant pas le fonctionnement du mécanisme. Exemple : Mécanisme de transformation de mouvement :
• Si OA = cte le déplacement de la pièce 3 est fonction de θ uniquement mu = 1
• Supposons OA = r réglable le déplacement de la pièce 3 est fonction de θ et r mu = 2
b. Relation fondamentale de la théorie des mécanismes :
Cette relation permet de déterminer si un mécanisme est isostatique ou non mais ne permet pas de déterminer les actions dans les liaisons. Remarque : Cette relation peut s’appliquer à une liaison particulière, a une partie de mécanisme ou à
l’ensemble d’un mécanisme que l’on a modélisé. Notations : p = nombre de pièces sans compter le bâti. nij = nombre de degré de liaison (nombre de composantes non nulles et indépendantes du
torseur des actions transmissibles de la liaison Lij). CG = conditions géométriques. Chaque condition géométrique correspond à une translation ou
à une rotation par rapport au bâti ou référentiel. h = représente le degré d’hyperstatisme du mécanisme.
- Si h = 0 le mécanisme est isostatique - Si h > 0 le mécanisme est hyperstatique d’ordre h.
Spé
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z,y,xO
1Ext
N
M
L
Z
Y
X
T
Exemple 1 : Guidage en rotation surabondant : Liaison pivot d’axe x,O1
+ liaison pivot glissant d'axe x,O2
.
p = 1 , nij = 5 + 4 h = 4 Ce système est hyperstatique d’ordre 4. Solutions pour rendre le système isostatique :
- rendre 4 mobilités sans modifier la cinématique du système :
Conserver la liaison pivot glissant et remplacer la pivot par une ponctuelle de normale x,O1
- ou introduire des conditions géométriques CG (démonstration page suivante)
La liaison en O2 doit avoir son axe i,O2 confondu avec l’axe de la liaison O1 qui est x,O1
. Pour cela il
faut partant de la position i,O2 effectuer deux rotations RZ et RY et deux translations TY et TZ pour que i,O2
soit
confondu avec l’axe x,O1
.
Etude statique :
1. Isolons l’arbre 1 : Le torseur des actions extérieures agissant sur l’arbre 1 supposé connu s'écrit :
Le torseur transmissible par la liaison pivot en O1 s’écrit :
z,y,x01
01
01
01
01
O
10
N
M
0
Z
Y
X
T
1
Le torseur transmissible par la liaison pivot glissant en O2 s’écrit :
z,y,x02
02
02
02
O
10
N
M
0
Z
Y
0
T
2
2. L’équilibre de l’arbre 1 se traduit par (d'après le Principe Fondamental de la Statique) :
0TTT 1Ext1O101O101O
0ZZZ)3(
0YYY)2(
0XX)1(
0102
0102
01
0NNN)6(
0MMM)5(
0L)4(
0201
0201
O z
x
y
O2
O1
1
1 degré de mobilité = rotation d’axe x,O1
Spé
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On a 4 équations (2), (3), (5) et (6) pour 8 inconnues système hyperstatique d’ordre 4 ! Les conditions géométriques sont données par : - les équations (2) et (3) : translations Ty et Tz - les équations (5) et (6) : rotations Ry et Rz.
La liaison en O2 doit avoir son axe confondu avec x pour cela il faut 4 C.G. : Ry+Rz+Ty+Tz
Exemple 2 : Guidage d’un arbre sur 3 paliers de façon à obtenir une liaison pivot : On se propose de déterminer le degré d'hyperstatisme par une étude statique et de proposer deux types de solutions pour rendre le système isostatique.
y y O2
x
O1
O
z
Tz
Ty
Ry
Rz
x
O1
O
z
A
B
x
z
y
O
Spé
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Interprétation et conclusion : En extrapolant les conclusions faites sur l'étude d'un solide à un mécanisme complet, on obtient, avec les notations que l'on vient de voir, la relation fondamentale de la théorie des mécanismes (relation de Tchebichev) :
➢ Dans le cas où aucune condition géométrique n'est donnée, on utilise la relation simplifiée :
hmmp.6n iuij
➢ Dans le cas où des conditions géométriques sont définies sur le système :
hmmp.6CGn iuij
c. Système hyperstatique :
Si l’on veut s’assurer qu’un mécanisme est isostatique il ne faut pas se contenter de vérifier que h = 0 pour tout le mécanisme (c’est une condition nécessaire mais pas suffisante). Il faut que h=0 pour toutes les parties du mécanisme ou sous ensemble ainsi que pour les liaisons complexes du mécanisme. D’un point de vue mathématique, un mécanisme est hyperstatique si l’on ne peut pas calculer toutes les inconnues de liaison à partir de l’écriture du Principe Fondamental de la Statique. Ceci implique qu'en statique il est important de le déterminer avant de faire l'étude du système. Pour le résoudre il faut imposer ces inconnues hyperstatiques. D’un point de vue mécanique, on impose souvent à zéro ces inconnues hyperstatiques, ce qui revient à rajouter des degrés de liberté au mécanisme. Pour rendre un mécanisme isostatique on peut : réduire l’amplitude des contacts c’est à dire par exemple passer d’un contact surfacique à un contact
linéique voire ponctuel. (autrement dit remplacer la liaison par une autre ayant plus de mobilités). Exemple : contact plan (liaison appui-plan, Ns=3) réduit à un contact linéique (linéaire rectiligne, Ns=2)
rajouter des liaisons et donc des pièces. Ceci augmente les jeux potentiels et les possibilités de déformation des pièces. Exemple : Le joint d'Oldham sur le Maxpid.
Les Conditions Géométriques permettent de définir les tolérances géométriques sur les surfaces
fonctionnelles afin de conserver le système étudié tel quel. Au niveau de la relation de Tchebichev, l'hyperstatisme peut se ramener à zéro, mais le système conserve en fait son hyperstatisme !
c
Spé
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Exemples de conditions géométriques :
Tolérances de forme Tolérances d'orientation Tolérances de position Tolérances de
battement R
ecti
tud
e
Pla
néi
té
Cir
cula
rité
Cyl
ind
rici
té
Par
allé
lism
e
Per
pen
dic
ula
rité
Incl
inai
son
Loca
lisat
ion
Co
nce
ntr
icit
é et
coax
ialit
é
Sym
étri
e
Bat
tem
ent
sim
ple
Bat
tem
ent
tota
l
En conséquence, l’hyperstatisme, très souvent, coûte cher. A notre époque de compétition industrielle, il faut être en mesure de choisir à coup sûr les assemblages, les surfaces de liaison en les optimisant. Pour cela une analyse est indispensable.
d. Application à la clé étau :
Déterminer si le système est isostatique ou non ?
Proposer une solution pour rendre le système isostatique :
8. CHAINES DE SOLIDES - STRUCTURE DES MECANISMES :
Les graphes des liaisons, qui représentent la structure des mécanismes, peuvent se classer en trois catégories, suivant qu'ils constituent entre les différents solides :
Chaîne ouverte Une chaîne de solides 0, 1, 2… est ouverte si les solides des extrêmes sont différents.
Exemple : le robot : Le premier solide étant le bâti et le dernier, la pince.
Chaîne fermée Une chaîne de solides 0, 1, 2… est fermée si le solide initial est le même que le solide final.
Exemple : lève-barrière
Chaîne complexe Une chaîne de solides 0, 1, 2… est complexe si elle comporte plusieurs chaînes ouvertes ou fermées.
Exemple : plate forme élévatrice
Spé
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C a
B D
A
F
4
3
x 4
b
x 1 , x 2 z 0 , z 1 , z 2
x 3
z 4 z 3
y 3 , y 4
y 1
y 0
x 1
x O
O
2
1
0
E
a. Chaînes ouvertes :
Une chaîne ouverte est constituée de solides assemblés en série. Les chaînes ouvertes permettent de concevoir une liaison non réalisable directement. Elles permettent également de réaliser des liaisons ponctuelles et linéaires en contacts surfaciques. Exemple : Manipulateur pneumatique. A l'aide de la composition des torseurs cinématiques, déterminer le
torseur cinématique {𝜐2/0}𝑂
et déduire la liaison équivalente
correspondante :
Loi entrée-sortie d'une chaîne ouverte : En général il suffira de connaître l'état des différents paramètres de positions pour trouver cette relation.
Spé
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b. Chaîne fermée simple :
Une chaîne fermée simple est une chaîne ouverte dont les solides extrêmes ont une liaison. Exemples: réducteurs à un étage, mécanisme de transformation de mouvement... Application : attelle de rééducation L46-53 : Liaison glissière L53-41 : Liaison pivot L41-55 : Liaison pivot L55-46 : Liaison pivot Calculer le degré d'hyperstatisme du mécanisme :
Proposez une solution pour rendre le mécanisme isostatique :
Loi entrée-sortie d'une chaîne fermée : Les paramètres des liaisons étant liés les uns aux autres cette loi sera plus difficile à déterminer que pour une chaîne ouverte. La méthode la plus répandue est l'utilisation de la fermeture géométrique qui traduit, en s'appuyant sur la géométrie du mécanisme, une somme vectorielle nulle. Voir cours Cinématique du Solide.
46
53 41
55
L14-2
L2-16
L7-16
L7-14
41 55
46
53
Spé
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c. Chaîne cinématiques complexes :
Une chaîne complexe est un mécanisme dont le graphe des liaisons est constitué de plusieurs chaînes fermées imbriquées appelées cycles. Exemples: réducteurs à plusieurs étages, trains épicycloidaux, pompes à pistons axiaux.
Application : Pompe à pistons axiaux
Graphe des liaisons et schéma cinématique pour 1 piston
Le mécanisme est composé de 7 classes d’équivalence {1}, {18}, {23}, {3}, {4}, {5} et {9} d'où :
n = p+1 avec p = nombre de pièces sans compter le bâti. Le nombre de cycles indépendants dans un graphe de structure est donné par la relation :
1n
= nombre de cycles indépendants (correspond au nombre d’études à faire)
= nombre de liaisons
n = nombre de pièces avec le bâti. Définition d’un cycle: Un cycle est une suite de classes d’équivalence et de liaisons en chaîne fermée telle
qu’on ne rencontre pas deux fois la même classe (sauf bien sur la classe début et la classe fin qui sont identiques).
C’est un chemin fermé du graphe, ne passant pas deux fois par le même sommet. La connaissance du nombre cyclomatique est intéressante car elle permet de définir le nombre minimal de chaînes à étudier pour décrire le mécanisme. Application : Pompe à pistons axiaux. Cas avec un piston :
23
18
3
4 5 9
1
C
D
A
G
B
E
F
Spé
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Cas avec cinq pistons :
9. LIAISONS CINEMATIQUEMENT EQUIVALENTES :
On appelle liaison cinématiquement équivalente entre deux pièces, la liaison qui se substituerait à l’ensemble des liaisons réalisées entre ces pièces ou sans pièce intermédiaire. La liaison équivalente est la liaison qui a le même comportement que cette association de liaisons, c'est-à-dire qui transmet la même action mécanique et qui autorise le même mouvement.
a. Liaisons en parallèle :
Il est fréquent dans un mécanisme qu’une pièce soit liée à une autre pièce de ce mécanisme par l’intermédiaire de plusieurs liaisons simples. Le but de l’étude qui suit est d’examiner l’isostatisme ou l’hyperstatisme ainsi que la mobilité qui vont résulter de ces liaisons " en parallèle " et de définir, dans ce cas, la structure des torseurs statique et cinématique résultants. Exemple : Réducteur
• Schéma cinématique :
M
8
6
21
13
Spé
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• Etude fonctionnelle : La fonction du sous-ensemble (arbre intermédiaire 6) est de transmettre la puissance de la roue 3 vers
le pignon 15, de telle façon que la fréquence de rotation 15 soit la même que la fréquence de rotation 3.
La loi d’entrée-sortie du mécanisme s’écrit: 15 = 3
Si le rendement du système est = 1, alors la loi d’entrée-sortie peut également se traduire par l’égalité des couples: C15 = C3 Le graphe fonctionnel du mécanisme est :
• Etude mécanique : Classes d’équivalence cinématiques :
{6} = { 1, 3, 5, 6, 2 (bague intérieure), 15, 16 (bague intérieure), 18 } {13} = { 2 (bague extérieure), 13, 14, 16 (bague extérieure), 18 }
• Graphe des liaisons :
L6-13 = liaison pivot d’axe x,O
• Schéma cinématique minimal :
• Torseur cinématique associé à la liaison L6-13 :
z,y,x
136x
O
13/6
00
00
0
• Torseur d’action mécanique transmissible de la liaison L6-13 :
z,y,x613613
613613
613
O
613
NZ
MY
0X
T
• Equilibre de 6 : ( 6 est supposé en mouvement de rotation en uniforme ) L’arbre 6 est en équilibre sous l’action :
- du torseur d’action mécanique transmissible par la liaison (13- 6) : 613T
- d’un torseur d’action mécanique extérieure associé aux forces exercées sur la roue 3 par 8 et sur le pignon 15 par 23, que nous noterons au point O par : 6ExtT
Nous pouvons donc écrire, d'après le principe fondamental de la dynamique pour un solide en mouvement de rotation uniforme :
0TT 6ExtO613O (1)
15 3
13
6 y
x
O
L 6-13
13 6
Entrée roue 3
3 Sortie pignon 15
Transmission de Puissance sans changement de
fréquence
Spé
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Modélisation du roulement seul :
Nous avons vu précédemment que, lorsqu'ils étaient par paire, les roulements seraient associés à une liaison pivot. C'est généralement vrai mais ce modèle ne nous permet de déterminer avec précision les efforts dans les paliers qui sont utiles aux calculs de durée de vie de roulement. Le rotulage : Il existe toujours un jeu, aussi minime soit-il, entre les billes et les bagues.
Ce jeu a pour conséquence de permettre une rotation relative des bagues, autour des axes perpendiculaires à l'axe principal du roulement. Ces rotations sont appelées « rotulage ».
Roulement à une rangée de billes
Le plus souvent le rotulage > 5’
Roulement à deux rangées de billes
Le plus souvent le rotulage <5'
Roulement à aiguilles ou à rouleaux
Le plus souvent le rotulage <5'
Roulement à rotule (billes ou rouleaux)
Rotule entre 2 et 4°
Remarques : Si l’angle maximal de rotulage (fourni par le constructeur) est >5’, alors les mouvements de
rotation autour des axes secondaires sont considérés possibles. De plus, si les bagues du roulement ne sont pas arrêtées transversalement, alors le mouvement
de translation suivant la direction de l’axe principal est possible.
Exemple 1 : Angle de rotulage du roulement <5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation
→ modélisable par une liaison pivot
Exemple 2 : Angle de rotulage du roulement <5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation
→ modélisable par une liaison pivot glissant
Exemple 3 : Angle de rotulage du roulement >5’ Les deux bagues sont arrêtées en translation
→ modélisable par une liaison sphérique ou rotule
Exemple 4 : Angle de rotulage du roulement >5’ Une de deux bagues n’est pas arrêtée en translation
→ modélisable par une liaison linéaire annulaire
Spé
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x.OC
• Etude technologique : La liaison pivot L6-13 d’axe x,O est réalisée par l’intermédiaire de deux roulements à billes. D’après le
montage du dessin d’ensemble et en supposant que les angles de rotulage des roulements 2 et 16 sont suffisants pour encaisser les déformations de flexion de l’arbre 6, nous pourrons modéliser le guidage en rotation de l’arbre 6 dans le carter 13 par deux liaisons élémentaires. La liaison LC, réalisée par le roulement 16 dont les deux bagues sont épaulées, est une liaison rotule de centre B. La liaison LO, réalisée par le roulement 2 dont la bague intérieure est épaulée et la bague extérieure est libre, est une liaison linéaire annulaire d’axe x,O .
• Schéma technologique de l'arbre intermédiaire 6 :
• Relation entre les torseurs statiques : Exprimons l’équilibre de 6 :
- 6 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 6ExtT
- du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison LO 613O'T
- du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison LC 613C"T .
L’équilibre de 6 se traduit par:
0"T'TT 613CO613OO6ExtO (2)
En identifiant les relations (1) et (2), il vient:
613CO613OO613O "T'TT
Cette relation traduit que les composantes d’action mécanique transmissibles entre 13 et 6 sont celles qui sont transmissibles par les liaisons LO et LC.
Cette relation peut être généralisée et s’appliquer dans le cas ou entre les deux pièces il existe n liaisons simples en parallèle.
A
B
O
C
B
A
O
y y
z x
Spé
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• Etude de la compatibilité cinématique : Le torseur cinématique 13/6 associé à la liaison équivalente L6-13 est à priori quelconque et on le
notera en O dans la base z,y,x :
z,y,xzz
yy
xx
O
13/6
V
V
V
Le torseur cinématique 13/6O' associé à la liaison linéaire annulaire d’axe x,O est :
z,y,xOz
Oy
OxOx
O
13/6O
0
0
V
'
Le torseur cinématique 13/6C" associé à la liaison rotule de centre C est :
z,y,xCz
Cy
Cx
C
13/6C
0
0
0
"
• Condition de compatibilité cinématique
Pour que la liaison équivalente L6-13 soit compatible avec les liaisons simples en parallèle qui la composent, il faut que le torseur cinématique de la liaison équivalente, réduit au centre de chaque liaison simple autorise la même mobilité que cette dernière.
Ceci implique que le torseur cinématique de la liaison équivalente est égal au torseur cinématique de chaque liaison simple.
13/6CO13/6OO13/6O"'
En réduisant les torseurs en O, on obtient :
CzOzz
CyOyy
CxOxx
0.0V
0.0V
0VV
CyCyz
CzCzy
Oxx
Le torseur équivalent s'écrit alors :
z,y,x
x
O
13/6
00
00
0
qui est le torseur d'une liaison pivot d'axe x,O
b. Liaison en série :
Définition: Si une pièce n est liée à un bâti 0 par l’intermédiaire de n-1 pièces placées en série, et si ces n
pièces sont liées 2 à 2 par une liaison simple, alors ces n pièces et ces n liaisons constituent une chaîne continue ouverte.
0 1 n-1 n
Ln L3 Ln-1 L2 L1
2
Spé
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Exemple :
L1-0 : liaison pivot d’axe z,O
L2-1 : liaison rotule de centre A
• Relation entre les torseurs statiques : Exprimons l’équilibre de 2 :
Le solide 2 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 2ExtT et du torseur
d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-2 21T on peut écrire:
0TT 21A2ExtA ou 21A2ExtA TT (a)
Exprimons l’équilibre de 1 :
Le solide 1 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-2 12T et du torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-0 10T , on peut écrire
:
0TT 10A12A ou 10A12A TT (b)
Exprimons l’équilibre de l’ensemble 1+2 :
Le système 1+2 est en équilibre sous l’action du torseur d’action mécanique extérieure 21ExtT et du
torseur d’action mécanique transmissible associé à la liaison L1-0 210T , on peut écrire :
0TT 210A21ExtA ou 210A21ExtA
TT (c)
Sachant que 2ExtA21A12A TTT et 2ExtA21ExtATT , les 3 équations a, b et c permettent donc
d’écrire :
210A10A12A2ExtA TTTT soit :
02A01A12A2ExtA TTTT
Le torseur d’action mécanique transmissible par la liaison équivalente L2-0 à l’ensemble des liaisons en série L1 et L2 est égal au torseur d’action extérieure qui s’exerce sur la pièce d’extrémité 2.
Plus simplement on peut dire que si une composante d’un torseur statique d’une liaison Li est nulle, la composante correspondante du torseur statique de la liaison équivalente est nulle. Les composantes d’action mécanique transmissibles entre 0 et 2 sont donc celles qui sont transmissibles simultanément par les liaisons L1 et L2. Nous obtenons donc pour notre exemple :
000 z,y,x10
1010
1010
A
01
0Z
MY
LX
T
et
000 z,y,x21
21
21
A
12
0Z
0Y
0X
T
soit :
000 z,y,x20
20
20
A
02
0Z
0Y
0X
T
Qui est le torseur d'une liaison rotule de centre A.
0 1
L2-1 L1-0
2
z0, z1
S2 x2
x1
y2
y1 A
S1
O
S0
x0 y0
z2
Spé
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• Etude de la compatibilité cinématique :
On note :
000 z,y,xzz
yy
xx
A
0/2
V
V
V
le torseur associée à la liaison
équivalente L2-0
La loi de composition des torseurs cinématiques des mouvements relatifs permis par chacune des liaisons simples permet d’écrire:
0/1A1/2A0/2A
Liaison L1-0 : pivot d’axe 0z,O ou 1z,O
0z01zO
0/1
0
00
00
le point de réduction )z,O( 0
Liaison L2-1 : rotule de centre A.
000 z,y,x12z
12y
12x
A
0/2
0
0
0
Les équations algébriques tirées de la composition des torseurs cinématiques sont au nombre de six. Il y a quatre inconnues cinématiques indépendantes. ( 12x , 12y , 12z et 01z ).
12z01zz
12yy
12xx
0
0
00V
00V
00V
z
y
x
donc :
000 z,y,xz
y
x
A
0/2
0
0
0
On retrouve le torseur d'une liaison rotule de centre A. La mobilité cinématique utile mcu de la liaison équivalente est égale à 3 car il n’existe que 3 inconnues
cinématiques indépendantes dans l’expression de 0/2 , ce sont x, y, z.
• Mobilité cinématique mc de la chaîne ouverte Définition: La mobilité cinématique mc de la chaîne continue ouverte est égale au nombre total d’inconnues
cinématiques Nc relatif à l’ensemble des liaisons simples de la chaîne.
Ncmc
z0, z1
S2 x2
x1
y2
y1 A
S1
O
S0
x0 y0
z2
0 1
L2-1 L1-0
2
L0-2
Spé
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Pour le système que nous étudions: mc = Nc = NcL1 + NcL2 = 3 + 1 Mobilité cinématique interne mci s’obtient par la relation
cicuc mmm
donc mci = mc - mcu = 4 - 3 = 1 Les mobilités internes mci d’une chaîne continue ouverte sont les degrés de liberté qui existent entre les différentes pièces de la chaîne lorsque la pièce d’extrémité n est immobilisée par rapport au bâti 0. Dans l’exemple qui nous concerne, la mobilité interne correspond à la rotation 01z .
En effet on avait: 12z01zz supposons 0z 12z01z
Application : Pompe hydraulique à piston axiaux.
➢ Déterminer la liaison équivalente L3-5.
➢ Déterminer les différentes mobilités :