Misal diketahui suatu fungsi f yang terderensialkanpada suatu selang yang memuat akar. Ambilsebarang nilai awal x0. Karena f terderensial di x0,maka f mempunyai garis singgung di x0. Asumsikanbahwa gradiennya tidak sama dengan 0. Akibatnyagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x,sebut di x1. Dengan cara yang sama, f di x1 jugamempunyai garis singgung yang tidak nol, sehinggagaris singgung tersebut akan memotong sumbu x dix2. Proses berlanjut sehingga titik potong-titikpotong tersebut akan konvergen ke akar f.
Akar
x0 x1x2x3
Perhatikan bahwa
)('
)(
)(0)('
0
001
01
00
xf
xfxx
xx
xfxf
Dengan cara yang sama diperoleh:
)('
)(
1
112
xf
xfxx
Secara umum diperoleh model iterasi N-R sebagai berikut:
0)(',)('
)(1 i
i
iii xfdengan
xf
xfxx
Proses iterasi berhenti, bila:
ii xx 1
Atau
ex
xx
i
ii
1
1
Perhatikan grafik berikut:
Proses iterasi akan divergen berosilasi.
akar
x0x1 x2
Agar metode N-R konvergen, maka harus dipenuhi syarat sbb:
0)(',1)('
)(")(2
xfdenganxf
xfxf
)(1 ii xgx
Perhatikan kembali model iterasi titik tetap sebagai berikut:
Misalkan
)('
)()(
xf
xfxxg
2
2
)('
)(")(
)('
)(")()(')('1)('
xf
xfxf
xf
xfxfxfxfxg
Dengan demikian diperoleh syarat konvergensi metode N-R adalah :
1)('
)(")(2
xf
xfxf
Contoh :
Lakukan 6 langkah iterasi metode N-R untuk menghampirisalah akar dari persamaan :
xexf x 4)(Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!
x0x1x2
Pada metode Newton-Raphson diperlukan perhitungan
turunan fungsi f, f’. Turunan tersebut dapat dihilangkan
dengan cara menggantinya dengan bentuk yang ekuivalen,
yakni gradien talibusur. Perhatikan gambar berikut:
Misalkan diberikan dua nilai awal, sebut x0 dan x1. Karena f
kontinyu, maka f0 dan f1 pasti ada. Kemudian dibuat tali busur
yang menghubungkan titik (x0, f0) dan (x1, f1).
akar
Jika diasumsikan gradiennya tidak nol, maka talibusur
tersebut akan memotong sumbu x, katakan di x2.
Karena f kontinyu, maka f2 pasti ada. Kemudian dibuat
talibusur yang menghubungkan (x1, f1) dan (x2, f2),
yang memotong sumbu x di x3, proses berlanjut dan
pada akhirnya titik potong talibusur dengan sumbu x
akan konvergen ke akar.
Pandang model iterasi N-R
0)(',)('
)(1 i
i
iii xfdengan
xf
xfxx
1
1)()()('
ii
ii
xx
xfxf
x
yxf
Jika
Maka diperoleh model iterasi secant sebagai berikut:
)()(
))((
1
11
ii
iiiii
xfxf
xxxfxx
Proses iterasi berhenti , jika :
ex
xxatauxx
i
iiii
1
11
Contoh :
Lakukan 6 langkah iterasi metode secant untukmenghampiri akar dari persamaan :
xexf x 4)(
Hitung juga kesalahan relatif dari akar aproksimasi yang diperoleh!