MatheprojektMatheprojekt
Gruppenmitglieder des Gruppenmitglieder des Leistungskurs Mathe ABI 09Leistungskurs Mathe ABI 09
Celina Schneider Celina Schneider Johanna PetersenJohanna Petersen
Liuyi DaiLiuyi DaiFranziska AndresenFranziska Andresen
Teil 1Teil 1
Unsere Wahl: Eine MilchtüteUnsere Wahl: Eine Milchtüte
Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße?Besitzt eine Milchtüte die optimalen Maße?
Inhalt der Tüte: 1 LiterInhalt der Tüte: 1 Liter
Errechnung der optimalen MaßeErrechnung der optimalen Maße
1) Skizze einer Milchtüte1) Skizze einer Milchtüte
h
a a
2) Zielfunktion2) Zielfunktion
[Oberfläche = O][Oberfläche = O]
O = 2(h a + h a + a²)O = 2(h a + h a + a²)
3) Nebenbedingung3) Nebenbedingung
h
a a
4) Verbesserte Zielfunktion4) Verbesserte Zielfunktion
5) Berechnung des Minimums5) Berechnung des Minimums
Bedingung : O‘(a) = 0 ; O‘‘(a) > 0Bedingung : O‘(a) = 0 ; O‘‘(a) > 0 O‘(a) = 0O‘(a) = 0 0 = 4a – 4000a | a²0 = 4a – 4000a | a² 0 = 4a³ - 4000 | : 40 = 4a³ - 4000 | : 4 0 = a³ - 1000 | + 10000 = a³ - 1000 | + 1000 1000 = | 1000 = |
10= a10= a
ÜberprüfungÜberprüfung
O‘‘(10) = 12 > 0 T ! O‘‘(10) = 12 > 0 T !
3
3a3a
6) Weitere Werte6) Weitere Werte
cm10hcm100
cm1000h
a
cm1000h
2
3
2
3
Antwort auf die Frage nach den Antwort auf die Frage nach den optimalen Wertenoptimalen Werten
Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Die Verpackung wäre ideal, wenn sowohl Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm Länge, als auch Breite und Höhe 10 cm
betragen würden.betragen würden.
Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und Die wirklichen Maße von 19,6 cm Höhe und 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also 7 cm Breite, bzw. Länge stimmen also
nicht mit den optimalen Maßen überein.nicht mit den optimalen Maßen überein.
Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Um alle Dinge zu berücksichtigen, die für die Herstellung einer Milchpackung verwendet Herstellung einer Milchpackung verwendet
wurden, müssen Ränder für die wurden, müssen Ränder für die Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung Klebestreifen (in der folgenden Zeichnung
grün markiert) berechnet werden. Wir grün markiert) berechnet werden. Wir haben den neuen Materialverbrauch unter haben den neuen Materialverbrauch unter Berücksichtigung eines konstanten Wertes Berücksichtigung eines konstanten Wertes von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt. von 0,7cm für die Klebestreifen benutzt.
Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, Wenn man sich eine Milchtüte genau anschaut, fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu fällt auf, dass nicht nur Klebestreifen zu
berücksichtigen sind, sondern auch seitlich berücksichtigen sind, sondern auch seitlich weggeknickte Seiten, die auch mit in den weggeknickte Seiten, die auch mit in den Materialverbrauch hineinzählen. Dieser Materialverbrauch hineinzählen. Dieser
„Überschuss“ an Material ist in der folgenden „Überschuss“ an Material ist in der folgenden Zeichnung ebenfalls grün markiert.Zeichnung ebenfalls grün markiert.
Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der Wir stellen uns nun die Frage, wie groß der optimale Materialverbrauch wäre!optimale Materialverbrauch wäre!
_______________e________________e_____________________________________
2
ac
AnnahmenAnnahmen _______e_________ _______e_________ d = 0, 7 cmd = 0, 7 cm e = 4a + de = 4a + d c = c = f = h +a+ 2df = h +a+ 2d
O = MaterialverbrauchO = Materialverbrauch
1) Zielfunktion1) Zielfunktion
O= O= O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d²O= 4ha + 4a² + 8ad +hd +ad +2d²
2) Nebenbedingung2) Nebenbedingung V = 960 cm³ V = 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³ (Nach unseren Messungen scheinen nur 960 cm³
hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in hinein zu passen. Die restlichen 40 cm³ befinden sich vermutlich in den Ausbuchtungen der Milchtüte.)den Ausbuchtungen der Milchtüte.)
V = a² h V = a² h
960 = a² h960 = a² h
960960 = h = h
a²a²
d ) d2 a h( ad 4 2 a2 ) a ha 2( 22 2
3) Verbesserte Zielfunktion:3) Verbesserte Zielfunktion:O = 4 960 a+4a²+8 0,7a+960 0,7+0,7a+0,98
a² a²
O = 3840 +4a²+5,6a+672+0,7a+0,98
a a²
O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672
a a²
4) Extrempunkte4) Extrempunkte
Bedingung: O‘=0 und O‘‘> 0Bedingung: O‘=0 und O‘‘> 0
O‘= 8a+6,3-3840a -1344a O‘= 8a+6,3-3840a -1344a
O‘‘ = 8+7680a +4032a O‘‘ = 8+7680a +4032a
Notwendige BedingungNotwendige Bedingung
8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³8a + 6,3 –3840a -1344a = 0 | a³
8a + 6,3a³ - 3840a – 1344 = 08a + 6,3a³ - 3840a – 1344 = 0
a= 7, 69 cma= 7, 69 cm
5) Überprüfung5) Überprüfung
O‘‘(7,69) = 26, 04 >O‘‘(7,69) = 26, 04 > 00
=> lokale Minimumstelle=> lokale Minimumstelle
6) Weitere Werte6) Weitere Werte960 = h
a²
960 = h
(7, 59)²
16,23 = h (cm)
7) Neue Berechnung des7) Neue Berechnung des
MaterialverbrauchsMaterialverbrauchs
O = 4a²+6,3a+0,98+3840+672
a a²
O = 4(7, 69)²+6,3(7, 69)+0, 98+3840 + 672
7,69 (7, 69)²
O = 796, 68 (cm²)
ErgebnisErgebnis
Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist Der Materialverbrauch der Milchindustrie ist nur etwas höher, als der errechnete nur etwas höher, als der errechnete
optimale Verbrauch und das lässt sich optimale Verbrauch und das lässt sich dadurch erklären, dass bei dadurch erklären, dass bei
Lebensmittelverpackungen auch die Lebensmittelverpackungen auch die Hygiene mit im Vordergrund steht. Hygiene mit im Vordergrund steht.
FazitFazit: Die Milchindustrie nutzt die für sie und : Die Milchindustrie nutzt die für sie und uns optimale Verpackung.uns optimale Verpackung.