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Números decimales Figuras circulares medidas de capacidad y de volumeN

Objetivosdelaunidad:

Aplicarás las operaciones de números decimales, utilizando las reglas y procedimientos para realizar correctamente dichas operaciones al resolver situaciones problemáticas de tu entorno.

Utilizarás los elementos de la circunferencia al determinar medidas de superficie con forma circular, en la solución de problemas de tu entorno.

Aplicarás las medidas y estimaciones de volumen y capacidad al proponer soluciones a situaciones problemáticas de la vida cotidiana.

MATEMÁTICAUnidad 3

56 matemática - séptimo grado

Losnúmerosdecimales

Suma

seestudiaran

resultande

de

Lasoperaciones

Lasfraccionesdecimales

Resta Multiplicación

División

Lacircunferencia

Radio

seestudiaran

esunapartede

como

Elementos

Elcírculo

DiámetroCuerda

Tangente

seestudiaran

Arco

Perímetro Área

Lasmedidasdecapacidad

seestablece

se

Launidadfundamental

relacionan

Multiplos

seestudiaran

Perímetro Área

con Medidasdevolumen

Submultiplos

considerandoademás

Descripcióndelproyecto

Este consiste en calcular cuantos litros de agua, caben en una pila de dimensiones que expresarías en metros.

séptimo grado - matemática 57

Tercera Unidad

Motivación

Lección 1

Transformarás con interés fracciones en decimales y decimales en fracciones...

realizarás con seguridad suma y resta con números decimales positivos y negativos.

resolverás problemas con números decimales positivos y negativos.

Indicadoresdelogro:

Doña Juana tiene una tira de listón y le solicita a su hija Berta y a dos de sus amigas: Roxana y Evelyn, que midan dicho listón. Los resultados obtenidos fueron: Berta: 1.2 m Roxana: 12 dm Evelyn: 120 cm¿Puedes decir si coincidieron en las medidas?

iNTroduccióN a los Números decimales

¿En cuántas partes se divide cada figura? ¿Qué relación hay entre cada figura y la inmediata anterior?

Puedes ver que cada figura es la décima parte o 110

de la anterior. Es decir:

B = 110

de A, C = 110

de B, D = 110

de C, E = 110

de D.

A B C D E

UNIDAD 3


¿Qué parte de A es C? Puedes ver que C es la centésima parte de A;

o sea: C = 1

100 de A.

¿Qué parte de A es D? Puedes ver que D es la milésima parte de A; o sea:

D = 1

1 000, de A.

¿Qué parte de A es E? D es la diezmilésima parte de A; o sea:

D = 1

10 000, A.

Como recuerdas, las fracciones decimales se escriben de acuerdo al valor posicional de nuestro sistema de numeración base 10: diez unidades de un orden equivalen a una unidad del orden inmediato superior.

De acuerdo al valor posicional, puedes responder:

¿Cuántas décimas hay en una unidad?

1 Unidad = 10 décimos o décimas.

¿Cuántas milésimas hay en una unidad?

1 Unidad = 100 milésimos o milésimas

¿Cuántas décimas hay en 2.3?

Hay 23 décimas

¿Cuántas milésimas hay en 2.3?

Hay 2,300 milésimas

Unidadesdemillón

Centenasdemilllar

Decenasdemillar

Unidadesdemilllar

Centenas

Decenas

Décimas

Centésimas

Milésimas

Diezmilésimas

Cienmilésimas

Millonésimas

Expresiones como 110

, 1

100, 5

1 000,, 1

10 000,, 1

100 000,, reciben el nombre de

fracciones decimales, ya que resultan de dividir a la unidad, en 10; 100; 1,000; 10,000; 100,000, etc. partes iguales.

Enteros Decimales

UNIDAD 3


¿Cuántas centésimas hay en 12?

Hay 1,200 centésimas

Ahora puedes decir que las mediciones que hicieron Berta, Roxana y Evelyn son correctas, que la diferencia es la forma de expresar sus resultados. Así tienes que

1.2 = 12 décimas

1.2 = 120 centésimas

Observa que las décimas ocupan 1 cifra decimal; las centésimas, 2 cifras decimales, etc. ¿Cuántas cifras decimales ocupan las millonésimas?

Fracción Enteros Decimalesd c m Diezmilésimas Cienmilésimas Millonésimas

1

10

0 1

1

100

0 0 1

1

1 000,

0 0 0 1

5

10 000,

0 0 0 0 5

127

100 000,

0 0 0 1 2 7

37

1000 000,

0 0 0 0 0 3 7

347

100

3 4 7

5 4241 000

,,

5 4 2 4

91 127

10 000

,

,

9 1 1 2 7

Al escribir las fracciones decimales de acuerdo al valor posicional, o sea, como números decimales, tienes:

De acuerdo al valor posicional, tienes:

1 Unidad = 10 décimos o décimas

1 Décimo = 10 centésimos o centésimas.

1 Centésimo = 10 milésimos o milésimas.

1 Milésimo = 10 diezmilésimos o diezmilésimas.

1 Diezmilésimo = 10 cienmilésimos o cienmilésimas.

1 Cienmilésimo = 10 millonésimos o millonésimas etc.

UNIDAD 3


4. Para estas actividades necesitas una cinta métrica o un metro de madera.

Es importante destacar que al escribir un número decimal se llenan con ceros los lugares de los órdenes que faltan:

Veintitrés milésimos = 0. 023 Cuatro diezmilésimos = 0.0004

Si hay una parte entera que precede al decimal, ésta debe leerse primero:

18.735 = dieciocho enteros, setecientos treinta y cinco milésimos. 6.039 = seis enteros, treinta y nueve milésimas.

Rosa mide 1.58m ¿Cómo se lee? 1.58m = 1 metro y 58 centésimas de metro.

Arturo pesa 152.8 libras, es decir: 152 libras y 8 décimas de libra.

Actividad11. Copia y completa el cuadro siguiente:

2. Escribe mediante números

a) Trece centésimasb) Quince milésimasc) Siete décimasd) Tres enteros nueve milésimase) Quince enteros dieciocho Millonésimasf) Catorce cienmilésimas milésimas

3. Escribe cómo se leen los siguientes números.

a) 0.45 e) 3.072

b) 7.28 f) 0.000009

c) 0.09 g) 0.00009

d) 0.018 h) 0.0009

Fraccióndecimal

35

100

37

10

5

1 000,

NúmeroDecimal

0.731 0.028 2.39

Traza en el suelo, con yeso, segmentos de longitud.

a) 0.6 m e) 1.08 mb) 0.06 m f) 1.08 mc) 0.006 m g) 1.008 md) 1.3 m h) 1.23 mi) Si un segmento mide 0.7 m :¿Cuántas décimas de metro

mide? ¿Y cuántas centésimas? ¿Y cuántas milésimas de metro?

j) Si un segmento mide 0.85 m: ¿Cuántas centésimas mide? ¿Cuántas milésimas? ¿Cuántas décimas?

k) Comprueba las siguientes equivalencias: 0.6 m = 0.60 m = 0.600 m; 0.35 m = 0.350 m

5. Ordena de menor a mayor las siguientes cantidades: $ 0.09, $ 0.07, $ 0.10, $ 0.12, $ 0.1.

6. ¿Existen cantidades iguales en el numeral anterior?

UNIDAD 3


20.00

– 14.40

5.60

R: José regresa con $ 5.60

Solución:

Cómo habrás observado, para saber cuánto gastó José, hay que sumar: 2.45 + 5.75 + 2.50 + 3.70

Proceso:

2.45 5.75 2.50 + 3.70 14.40 R: José gastó $14.40

Para sumar números decimales, colocas uno debajo de otro, de manera tal que en la parte entera esten debajo de las unidades, decenas bajo las decenas, etc. Y en la parte decimal coincidan décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc. Se suman como enteros respetando el punto decimal que establece la diferencia entre enteros y decimales.

Ejemplo1

José va al mercado, y compra $ 2.45 de verduras, $ 5.75 de carne, $ 2.50 de fruta y $ 3.70 de cereales. ¿Cuánto gastó José?

Observa

Para restar dos números decimales, colocas el minuendo debajo del sustraendo y completas con ceros los valores que no existen.

En los enteros deben coincidir unidades con unidades, decenas con decenas, etc., y en los decimales décimas con décimas, centésimas con centésimas, etc., se restan como números enteros y se coloca el punto decimal en la columna de los puntos.

Sumayrestadenúmerosdecimales

En relación al caso anterior, si José lleva al mercado un billete de $ 20, ¿cuánto trae de regreso a casa?

Como José gasta $ 14.40, para saber con cuánto regresa restas $ 20 − $ 14.40.

UNIDAD 3


Actividad21. Efectúa en tu cuaderno las siguientes sumas.

2. Realiza las operaciones siguientes:

a) 1.5 + 2.87 + 3.159 c) 3.96 – 1.99

b) 8.25 – 7.16 d) 12.88 – 1059

c) 36.97

25.72

6.48

+ 0.15

b) 6.289

3.157

+ 2.631

a) 5.36

+ 3.47

Operacionesdenúmerosdecimales

En un taller de mecánica industrial, a una varilla de 4.5 m de longitud se le cortan segmentos de 1.0, 1.2, y 1.7 m, respectivamente.

¿Cuál es la longitud de la varilla después de realizar los cortes?

¿Qué operaciones efectuarás para resolver la situación anterior? ¿Cómo se aplica la ley de los signos?

4.5 – 1.0 – 1.2 – 1.7 = 4.5 – (1.0 + 1.2 + 1.7)

= 4.5 − (1.0 + 1.2 + 1.7)

= 4.5 − 3.9 = 0.6

R: La longitud de la varilla resultante es de 0.6 m.

3. Resuelve:

Entre A y B hay 95 km. de distancia. Un carro va de A hacia B, y se detiene a 38.76 km, de A para revisar el motor. ¿Qué distancia le falta por recorrer?

UNIDAD 3


Solución:

11.8 – 1.8 – 1.3 – 2.1 = 11.8 – (1.8 + 1.3 + 2.1)

= 11.8 – (5.2)

= 11.8 – 5.2 = 6.6

El vehículo tiene 6.6 galones cuando llega a la Unión.

Observa que el vehículo de Rosa consume 5.2 galones de gasolina para llegar a La Unión y le sobran 6.6 galones. Si regresa por la misma ruta que usó en la ida, ¿le alcanza la gasolina para regresar a San Salvador? ¿Por qué?

Actividad 31. La ventas diarias de una tienda fueron: golosinas, $ 23.45;

pan,$ 32.24; vegetales, $15.98; refrescos, $8.57; huevos, $6.54; carnes y embutidos, $ 43.32; y varios, $23.45. Las compras que se efectuaron ese día ascendieron a $ 148.34, y el pago de la empleada fue de $12. Ese día, ¿cuáles fueron mayores, los egresos o los ingresos? ¿Cuál fue su diferencia?

2. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3.46 – 6.45 + 45.87 – 232.45

b) 4.9 - 4.34 – (4.34 + 5.36 – 12.54)

c) 3.45 + 4.35 –1.5 + 2.4 - 4.6 -2.4 – 1.4 -9.7

d) {2 − 3 + [3.24 + 6.67 − (3.78 − 2.45)]}

Fracción decimal es aquella que resulta de dividir a la unidad entre 10, 100, 1000, 10 000, etc, partes. Las fracciones decimales se escriben como números decimales. Éstos se escriben de acuerdo al valor posicional de sus cifras. Las operaciones de suma y resta con números decimales siguen las mismas leyes que aprendiste con los números enteros.

Resumen

Ejemplo2

Observa como se han realizado las siguientes sumas:

a) Sumar: 2.8 + (−1.5) 2.8 + (– 1.5) = 2.8 – 1.5 = 1.3

b) Sumar: 2.8 + (−3.2) 2.8 + (– 3.2) = 2.8 – 3.2 = – 0.4

c) Sumar: − 2.5 + (−1.4) – 2.5 + (– 1.4) = – 3.9

d) Sumar: 0.5 − (−0.3)

¿Cómo restas 0.5 – (– 0.3)? 0.5 – (– 0.3) = 0.5 + 0.3 = 0.8

Ejemplo3

Rosa trabaja en ventas y llena el tanque de su carro con 11.8 galones de gasolina. Cuando sale de San Salvador y se detiene en Zacatecoluca, el carro consume 1.8 galones. De Zacatecoluca a Usulután consume 1.3 galones, y de Usulután a La Unión 2.1. ¿Cuántos galones tiene el vehículo cuando llega a La Unión?

UNIDAD 3


Autocomprobación

4 Cierto día la temperatura de Apaneca a las 7 a.m. era de 18.1 oC. A las 2 p.m. ascendió 3.2 oC, y 6 horas después a las 8 p.m descendió 5.1 oC. La temperatura a las 8 p.m. es de:a) 19 oCb) 15.1 oCc) 16.2 oCd) 9.8 oC

2 Dos números equivalentes son:a) 0.35 y 0.350001b) 3.5 y 3.50c) 0.384 y 0.38401d) b y c son correctas

1 Dos décimas nueve milésimas” se escriben así:a) 0.29b) 2.29c) 2.209d) 0.209

1. d. 2. b. 3. b. 4. c. Soluciones

3 Al efectuar 3.8 – 2.1 – 1.954 resulta:a) 0.254b) – 0.254c) 0.237d) – 0.237

Aveces,unasimpleidearesultadegranutilidad.En1585elbelgaSimónStevincreólanotacióndecimalalescribirfraccionespropiascuyo

denominadoreslaunidadseguidadecero,talcomohoyconocemoslaescrituradecimal.

Segúnlosantropólogoselorigendelsistemadecimalestáenlosdiezdedosquetenemosloshumanosenlasmanos,loscualessiemprenoshanservidodebaseparacontar.Elsistemadecimalesunsistemadenumeración,porloqueelvalordeldígitodependedesuposicióndentro

delnúmero.

TM07P110

NOTACIÓNDECIMAL

SimónStevin


Motivación

Tercera Unidad

realizarás con seguridad las operaciones de multiplicación con números decimales positivos y negativos

Indicadoresdelogro:

¿Qué representa el gráfico de la derecha? Observa que representa los precios que hay en una pupusería. ¿Cuánto valen siete pupusas revueltas? ¿Y cuánto valen seis de queso, dos de ayote y dos tasas de café?

Observa que para calcular el precio de siete pupusas revueltas, multiplicas el precio de una pupusa por siete. De igual forma calculas los otros precios.

mulTiplicacióN y divisióN de Números decimales

Lección 2

resolverás problemas con números decimales positivos y negativos.

Juan es un albañil que cobra $ 0.23 por cada azulejo que pega. ¿Cuánto cobra por pegar 10, 100 y 1,000 azulejos?

0.23

× 10

= 2.30

0.23

× 100

= 23.00

0.23

× 1,000

= 230.00

Por pegar 10 azulejos, Juan cobra $ 2.30; por pegar 100, cobra $ 23; y por pegar 1000 cobra $ 230.

Compara ahora el primer factor de cada multiplicación con el resultado obtenido. ¿Qué diferencia hallas? Puedes ver que dicho resultado se diferencia del primer factor en la ubicación del punto decimal.

Multiplicaciónporlaunidadseguidadeceros

La multiplicación por la unidad seguida de ceros, puede efectuarse directamente.

Factor:

0.23

10 2.3 Se corre 1 lugar a la derecha

Se corre 2 lugares a la derecha

Se corre 3 lugares a la derecha

23.

230.

100

1,000

Multiplicacióndenúmerosdecimales

UNIDAD 3


Escribe la regla que se aplica cuando multiplicas un número decimal por una potencia de diez.

Ahora observa el siguiente producto:

12100

310

361 000

0036 = × =,

.

En forma decimal:

0.12 × 0.3 = 0.036

¿Cuántas cifras decimales tiene el primer factor? ¿Cuántas tiene el segundo factor? ¿Y cuántas cifras decimales tiene el resultado?

¿Puedes saber cuántas cifras decimales tiene el resultado de multiplicar números decimales conociendo el número de cifras que tienen los factores?

Ejemplo1

Escribe el punto decimal al número de la derecha del signo de igualdad, para que se convierta en la respuesta de la respectiva multiplicación.

a) 5.4 × 0.5 = 270 c) 6.3 × 9.8 = 6174

b) 7.9 × 6 = 474 d) 0.35 × 1.47 = 5145

Solución:

Como habrás observado, el número de cifras decimales del resultado de una multiplicación, es igual a la suma de las cifras decimales de los factores. Luego:

a) b)

c) 6.3 × 9.8 = 61.74 d) 0.35 × 1.47 = 0.5145

5.4 × 0.5 = 2.70

Dos cifras decimales

7.9 × 6 = 47.4

Una cifra decimal

UNIDAD 3


1. Copia en tu cuaderno las siguientes multiplicaciones. Efectúalas mentalmente y escribe su respuesta:

a) 5 × 0.3 i) 0.04 × 0.2

b) 7 × 0.5 j) 0.003 × 0.04

c) 4 × 0.8 k) 0.005 × 0.3

d) 9 × 0.4 l) 0.008 × 5

e) 0.5 × 0.5 m) 0.4 × 10

f) 0.3 × 0.6 n) 0.5 × 100

g) 0.9 × 0.4 o) 15.7 × 1000

h) 0.7 × 0.5 p) 0.183 × 1000

2. Coloca el punto decimal en la respuesta de cada multiplicación para que ésta sea correcta:

a) 3.54 × 6.576 = 232578

b) 65.29 × 0.008 = 52232

c) 7.5 × 12.54 = 9405

d) 74.89 × 0.36 = 269604

e) 2385 × 0.4 = 9544

f) 0.35 × 0.62 = 2170

3. Coloca el punto decimal en uno o ambos factores para que la respuesta sea correcta:

a) 7 × 6 = 4.2 e) 47 × 285 = 13.395

b) 15 × 15 = 2.25 f) 8 × 6 = 0.0048

c) 23 × 75 = 1.725 g) 175 × 69 = 12.075

d) 185 × 65 = 12.025 h) 96 × 9 = 0.864

4. Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) 7.2 × 3 c) 0.83 × 4.25 e) 3.83 × 6

b) 0.75 × 5.4 d) 0.34 × 0.25 f) 7.5 × 8

5. Resuelve las siguientes situaciones:

a) Si una caja de 1 libra de leche en polvo vale $ 3.46, ¿Cuánto cuestan 4 cajas?

b) Calcula el área de un cuadrado de 0.85 m de lado.

c) Encuentra el área de un terreno rectángular de 12.85 m de frente por 10.42 m de fondo.

12.85 m

10.42 m

0.85 m

0.85 m

Actividad 1

UNIDAD 3


En El Salvador y Latinoamérica se celebran muchas tradiciones. Una de ellas es el Día de la Cruz, en el cual se exponen en varias casas el símbolo cristiano acompañado de adornos de papel y frutas. Veamos algunas situaciones que pueden presentarse en la elaboración de adornos.

Ejemplo2

Una tira de 65.8 cm de largo necesita cortarse en 4 pedazos de igual longitud. ¿Cuánto medirá cada uno?

De otra tira de 75 cm, ¿cuántos pedazos de 12.5 puede obtenerse?

De un tercera tira de 47.6 cm de largo, ¿cuántos pedazos de 6.8 cm cada uno pueden cortarse? ¿Qué operación realizas para resolver estas situaciones?

a) Si una tira de 65.8 cm quieres dividirlo en 4 pedazos, cada uno mide 65.8 ÷ 4.

Solución:

División de un número decimal entre un entero.

658

4

658 10

4 10

. .

=××

658 4016.45

= 65840

b) Para saber cuántos pedazos de 12.5 cm pueden obtenerse de una tira de 75 cm, dividimos 75 ÷ 12.5.

Solución:

División de un número entero entre un decimal.

75

125

75 10

125 10. .

=××

750 1256

= 720125

R: Se pueden tener 6 pedazos.

c) De una tira de 47.6 cm de largo, el número de pedazos de 6.8 cm se halla dividiendo 47.6 ÷ 6.8.

Solución:

División entre dos números con un decimal.

476

68

476 10

68 10

.

.

.

.

=××

476 687

= 47668

R: Se pueden cortar 7 pedazos de 6.8 cm.

Observa que en todas las situaciones multiplicas ambos términos por 10.

Esto significa que:

Dividir 65.8 ÷ 4 equivale a dividir 658 ÷ 40 Dividir 75 ÷ 12.5 equivale a dividir 750 ÷ 125 Dividir 47.6 ÷ 6.8 equivale a dividir 476 ÷ 68

Efectúa cada una de esas divisiones: 658

4

658

40

. =

658 4040 1645− .2582401801602

−

−0002000

−

Divisióndenúmerosdecimales

Observa

Como el residuo es diferente de cero, agregamos ceros al dividendo y continuamos dividiendo.

UNIDAD 3


2.5 ÷ 7.83 = 2.50 ÷ 7.83 = 250 ÷ 783

2 lugaresSe complementa con ceros

0.005 ÷ 0.2 = 0.005 ÷ 0.200 = 5 ÷ 2003 lugares

Luego, 16.45 cm es la longitud de cada pedazo de papel.

Ahora vas a dividir 75 ÷ 12.5.

75

125

750

125. = 750 125

750 60

−

Luego, seis es el número de pedazos de 12.5 cm cada uno. Ahora observa como se divide 47 ÷ 6.8.

476

68

476

68

.

. = 68

476 70

476−

Lo que significa que siete es el número de pedazos de 6.8 cm cada uno.

Ejemplo3

Para dividir números decimales éstos se convierten a enteros. Puedes ver que para transformar en enteros el dividendo y el divisor, sólo corres en ambos el punto decimal igual número de lugares.

Observa

Ejemplo4

Una varilla mide 3.5 m, y se parte en pedazos de 0.5 cada uno. ¿Cuántos pedazos se obtienen?

Solución:

Como la varilla mide 3.5 m y se parte en pedazos de 0.5 m, para averiguarel número de pedazos divides la longitud de la varilla entre la longitud de cada pedazo:

3.5 m ÷ 0.5 m 3.5 × 10 ÷ 0.5 × 10

35 ÷ 5

35 50 7

R: 7 pedazos.

¿Qué sucede cuando divides entre la unidad seguida de ceros?

2.7 ÷ 10 = 27 ÷ 100 = 0.27 Al dividir entre 10, el punto decimal se corre un lugar hacia la izquierda.

2.7 ÷ 100 = 27 ÷ 1000 = 0.027 Al dividir entre 100, el punto decimal se corre dos lugares hacia la izquierda.

¿Y qué sucede cuándo divides entre 1,000? ¿Y entre 10,000? En general, ¿qué sucede cuándo divides entre una potencia de diez?

UNIDAD 3


1. Efectúa de forma mental las siguientes divisiones.

a) 6 ÷ 2 d) 6 ÷ 0.002 g) 0.12 ÷ 4 j) 0.25 ÷ 0.05

b) 6 ÷ 0.2 e) 12 ÷ 4 h) 0.0012 ÷ 4 k) 0.25 ÷ 0.

c) 6 ÷ 0.02 f) 1.2 ÷ 4 i) 0.12 ÷ 5 l) 20 ÷ 4

2. Convierte dividendo y divisor a números enteros y efectúa las siguientes divisiones.

a) 0.8 ÷ 2 d) 0.8 ÷ 0.02 g) 0.0064 ÷ 8 j) 0.45 ÷ 0.0

b) 8 ÷ 0.02 e) 16 ÷ 3.2 h) 0.064 ÷ 0.85 k) 48 ÷ 1.2

c) 8 ÷ 0.02 f) 1.6 ÷ 3.2 i) 0.36 ÷ 9 l) 18 ÷ 0.8

3. Calcula de forma mental el resultado de dividir:

a) 1.2 ÷ 10 e) 0.7 ÷ 100 i) 3.5 ÷ 10000

b) 12.4 ÷ 100 f) 0.25 ÷ 1000 j) 128.4 ÷ 100

c) 12.4 ÷ 1000 g) 15.23 ÷ 10000 k) 0.03 ÷ 10

d) 12.4 ÷ 10000 h) 0.5 ÷ 10 l) 0.2 ÷ 10000

4. De un rollo que contiene 600 m de alambre se cortan pedazos de 1.2 m. ¿Cuántos pedazos se sacaron?

5. Para señalizar una autopista, se gastan 12.5 galones de pintura por kilómetro. Si la autopista mide 200 km, ¿cuántos galones de pintura se necesitan para señalizarla en su totalidad?

6. En una venta de comida típica, la orden de yuca vale $ 0.75; las pupusas de queso valen $ 0.45; las de ayote, $ 0.35 y las revueltas $ 0.40. Una tasa de café vale $0.25. Una familia pide dos órdenes de yuca, cinco pupusas de queso, cuatro de ayote y dos revueltas. ¿Cuánto gasta la familia?

7. Si una bujía para vehículo cuesta $ 3.50, ¿cuánto cuesta el juego de cuatro bujías?

Actividad2

UNIDAD 3


Multiplicaciónydivisiónconnúmerosdecimales

Efectúa las siguientes operaciones:

a) − ×7

10

3

100 b) −

3

100

1

10 ×

c) − −

7

100

9

100 ÷

Como estudiaste en las operaciones con fracciones, éstas siguen las mismas leyes que los números enteros. Luego, al expresar las anteriores operaciones como números decimales tienes lo siguiente:

a) −7

10

3

100 × = − 0.7 × 0.03 = − 0.021

b) −3

100

1

10 ×

= − 0.03 × (0.1) = − 0.003

c) − −7

100

9

100 ÷

= − 0.07 ÷ (− 0.09) = − 7 ÷ (− 9)

Efectúas la división:

90.777

7070707

Luego, − 0.07 ÷ (− 0.09) = 0.777, (por la ley de los signos, (−) ÷ (−) = +)

Actividad 3Resuelve las siguientes operaciones:

a) 2.4 × (− 9.8) c) − 1.32 × − −12432

14..

( . )×

b) −−

−35282

154..

( . )× d) (− 1.1) × (− 2.8) × (− 3.4) × 2315..

Para multiplicar números decimales, se multiplica como si fueran números enteros. El resultado de la multiplicación tiene tantas cifras decimales como la suma de cifras decimales de ambos factores. Para dividir números decimales se convierten dividendo y divisor a números enteros. Para ello, se corre el punto decimal tantos lugares como cifras decimales existan en el número que posee más de ellos.

Para multiplicar o dividir un número por una potencia de diez, se corre el punto decimal a la derecha o a la izquierda, respectivamente, tantos lugares como ceros posee la potencia de diez.

Resumen

UNIDAD 3


Sellamadecimalexactoaaquelquetieneunnúmerofinitodecifrasdiferentesdecero.Porejemplo,0.5,0.58,0.32.Decimalperiódicoesaquelenelcualserepiteindefinidamenteungrupodecifrasdecimales,llamadoperíodo.Porejemplo,0.333...,0.282828...,

0.0353353...

Todosellosresultandedividirunenteroentreotroentero.Losnúmerosirracionalessonaquelloscuyapartedecimalesinfinitanoperiódica,comolarelaciónentrelalongituddelacircunferenciaysudiámetro.Éstese

representaporπ (pi),yesiguala3.141592...

Soluciones1. c. 2. c. 3. d. 4. a.

Autocomprobación

Al dividir 0.085 ÷ 0.001 resulta:a) 85b) 8.5c) 0.85d) 850

4 Si una libra de frijoles vale $0.80 el precio de 1.25 de libra es:a) $ 1.15b) $ 1.10c) $ 1.00d) $ 1.20

2

Una hoja de papel tiene un espesor de 0.0064 cm. El espesor de 1,000 hojas es, en cm:a) 0.064b) 0.64c) 6.4d) 64

1 3 En una presentación musical cada boleto vale $ 5.25. Si el total recaudado fue de $ 651, el número de boletos vendidos es de:a) 5.25 × 6.51b) 651 ÷ 5.25c) 124d) b y c son correctas

πELNÚMEROπ


Tercera Unidad

Motivación

identificarás con interés los elementos de la circunferencia.

determinarás con seguridad las relaciones que existen entre los elementos de la circunferencia.

deducirás con seguridad la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia

construirás el círculo y deducirás con interés la fórmula para calcular su área.

calcularás con seguridad el área de un círculo con figuras planas.

utilizarás con seguridad la fórmula del área y del perímetro en ejercicios de aplicación.

resolverás con esmero problemas aplicando la fórmula del área y del perímetro.

Indicadoresdelogro:

Se necesita colocar etiquetas en unas latas de jugo con base circular. Si el radio de la base mide 3.5 cm. ¿Podrías calcular el largo de cada etiqueta?

circuNFereNcia y círculo

Lección 3

Observa los polígonos que están a la derecha; un pentágono, un hexágono, ¿recuerdas como se llaman los otros dos?

Muy bien, se llaman octógonos y dodecágonos. Cada uno de ellos está inscrito en una circunferencia.

¿Qué pasaría con el polígono si aumentamos más y más el número de lados?

El polígono tiende a formar una curva cerrada a la que se denomina circunferencia.

Circunferencia

Cuadrado Hexágono Decágono Dodecágono Polígono de 16 lados

UNIDAD 3


La distancia del centro a un punto cualesquiera de la circunferencia se llama radio (r)

Ejemplo1

Escribe en tu cuaderno los nombres a los elementos de la circunferencia.

Observa los elementos que aparecen en la circunferencia. Haz corresponder cada elemento con su notación.

Solución:

Toma en cuenta lo siguiente:

Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia, AB , HI

Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia.

Actividad1

a) Radio, es una cuerda de una circunferencia.

b) Diámetro, es una cuerda de una circunferencia.

c) Toda cuerda contiene exactamente dos puntos en una circunferencia.

d) Si una recta tiene un punto en común con la circunferencia, entonces debe interceptarla en dos puntos.

H

I

A

C

Centro

F

G

A

D

B

e) Ninguna cuerda pasa por el centro de una circunferencia.

f) Una secante intersecta a una circunferencia exactamente en un punto.

g) No existe otra cuerda de mayor longitud que el diámetro.

Secante: es la recta que corta dos puntos de circunferencia, BD

Diámetro: es toda cuerda que pasa por el centro, AB

Tangente: es la recta que toca un punto de la circunferencia.

¡Muy bien! Ahora compara tus respuestas con las siguientes.

Radio = CB y CA Cuerda = HI y AB

Secante = recta BD

Diámetro = AB Tangente = recta FG

Copia las siguientes proposiciones e indica en cada una si es verdadera (V) o falsa (F).

UNIDAD 3


Relaciónentreloselementosdelacircunferencia

Observa el radio y el diámetro de la circunferencia.

¿Qué relación existe entre ellos? Si representas al radio y al diámetro, ¿cómo representas a ambos mediante una igualdad?

Observa que los puntos extremos de una cuerda determinan dos arcos de circunferencia: uno ubicado a un lado de la cuerda y el otro ubicado al otro lado de ella.

¿Cómo son entre sí los arcos que determina el diámetro?

Los arcos de circunferencia determinados por el diámetro, se llaman semicircunferencias

Reúne varias tapaderas de diferente diámetro.

Mide en centímetros la longitud de la circunferencia de cada una con una cinta métrica. También puedes hacerlo con una pita, midiendo después su longitud con una regla graduada. Después mide el diámetro de cada tapadera, también en centímetros. Divide la longitud de cada circunferencia ( ) entre su diámetro respectivo (d). Escribe tus resultados en una tabla como la siguiente:

TapaderaNº Longituddelacircunferencia(

)Longituddeldiámetro(d)

d(hastalascentésimas)

1234

Observa los cocientes de la derecha que están en el cuadro

Longituddelacircunferencia

radio

Diámetro

Cuerda

UNIDAD 3


Solución:

Como: = 3.14 × d

= 3.14 × 8 cm

= 25.12 cm

La longitud de la circunferencia de la pupusa es 25.12 cm

Al dividir la longitud de la circunferencia entre su diámetro, éste se halla contenido π veces en su respectiva circunferencia. Tienes entonces:

longitud de la circunferencia

longitud del diámettro =

d= π

¿Qué tienen en común? Si tu procedimiento de medición fue correcto, los resultados obtenidos son todos aproximadamente iguales a 3.14. Al efectuar las mediciones con instrumentos de gran precisión, el resultado que se obtiene es 3.141592653589. . . , el cual se representa con la letra del alfabeto griego π (se lee “pi”).

Ejemplo3

Se necesita colocar etiquetas en unas latas de jugo con base circular. Si el radio de la base mide 3.5 cm, ¿cuál es el largo de cada etiqueta?

Solución:

Como r = 3.5 cm, d = 2 × 3.5 cm = 7 cm

Luego, = 3.14 × d = 3.14 × 7 cm = 21.98 cm

La longitud de la etiqueta es de 21.98 cm

Lo cual significa que:

= π × d

En este grado aproximarás el valor de π a dos cifras decimales, o sea,π = 3.14.Luego, la fórmula de la longitud de la circunferencia queda así: = 3.14 × d

Ejemplo2

Si el diámetro de una pupusa mide 8 cm, ¿cuál es la longitud de su circunferencia?

1. Calcula la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es:

a) 10 cm c) 15 dm

b) 20 m d) 8 cm

2. Calcula la longitud de la circunferencia de radio:

a) 5 dm c) 3.4 cm

b) 8 m d) 5.4 cm

3. Encuentra cuántos metros de encaje se necesitan para adornar el borde de un cobertor circular de radio 1.25 m.

4. Para cercar un jardín circular se utilizaron 15.7 m de malla ciclón. Determina el diámetro del jardín.

5. Si una semicircunferencia tiene una longitud de 46 cm, ¿cuál es el valor de su radio?

Actividad2

UNIDAD 3


Áreadelcírculo

Observa el siguiente polígono regular llamado hexágono el cual está inscrito en una circunferencia.

c

a

Donde: = lado del hexàgonoa = apotema (altura del triángulo) r = radio de la circunferencia C = centro del polígono del hexágono, lo dividimos en seis triángulos iguales. El área de cada triángulo es igual a:

base alturax

2

Figuradelpolígonoregular Área

32(a)

42(a)

62(a)

n(a)2

En el área de un polígono regular:

A np = (a)2

A np =

a2

n es el perímetro del polígono (P)

A Pp = a2

Observa

Por otra parte, observa en la siguiente figura, que al aumentar el número de lados del polígono la apotema se acerca cada vez más al radio de la circunferencia y el perímetro del polígono se acerca a la longitud de la circunferencia

Por lo tanto el área del círculo es: A P

rr

r

c =

=

=

a2

22

2

π

π

(Recuerda la longitud de la circunferencia que es el perímetro del círculo es 2πr)

Área del círculo = πr2

Triángulo equilátero

Cuadrado Hexágono regular

Octógono regular

Círculo (polígono regular de infinitos lados)

En este caso Aa

=( )

2, como son 6 triángulos el área del hexágono es 6

2( )a

De la misma forma al considerar un polígono regular inscrito en una circunferencia su área, según el número de datos, la observas en el siguiente cuadro.

UNIDAD 3


Has constatado que una región poligonal es aquella formada por un polígono junto con su interior. Así, los puntos que forman la circunferencia están incluidos en la superficie circular. Por ejemplo, ésta es la región limitada por la circunferencia, la cual se llama círculo.

Áreadelcírculo

¿Eres hábil para contar cuadrados? Considera a cada una de las regiones cuadradas como unidad cuadrada de área. Luego, contando esos cuadrados obtienes aproximadamente el área del círculo.

Si además tomas en cuenta los cuadrados que están parcialmente dentro del círculo, ¿sería ésta una medida más aproximada al valor del área?

Ahora calcula el cociente que resulta de dividir el número de unidades cuadradas entre el valor del radio al cuadrado. Compara tu resultado con el siguiente:

Área del círculo 28 28

3 93112 = = .

Si repites este experimento en otros círculos, llegas a la siguiente conclusión: el cociente que resulta de dividir el área del círculo entre el radio al cuadrado es igual: π a. Es decir,

Área del círculo

Radio al cuadrado= =Ar 2 π A = π × r2

Ejemplo4

Encuentra el área de un círculo que tiene de radio 3 m.

Solución:

r = 3 m A = π × r2

A = 3.14 × 32

A = 28.26 m2

El área del círculo mide 28.26 m2

Ejemplo5

¿Cuál es el resultado de dividir el área de un círculo que es 528.54 m2 entre el valor de su radio al cuadrado?

Solución:

Es independiente de los valores del área y radio de un círculo: A

r 23 14= .

r = 3 m

UNIDAD 3


Actividad 31. Calcular el área del círculo cuyos datos se proporcionan:

a) El radio mide 10 cm

b) El diámetro mide 15 m

2. Si el área de una piscina circular mide 452.57 m2, ¿cuántos metros tiene que nadar una persona que se halla en el centro de la piscina para llegar a la orilla?

3. En cada situación, calcula el área de la región sombreada, considerando que las figuras tienen las medidas indicadas.

a) r = 4.5 m

b) d = 8 dm

En esta unidad tuviste la oportunidad de recordar:

Los elementos principales de la circunferencia son: centro, radio, diámetro, cuerda, tangente y secante.

Calcular la longitud de la circunferencia, calcular el diámetro conociendo el área, calcular áreas circulares.

Confirmaste que el diámetro es la cuerda mayor y que toda cuerda determina dos arcos de circunferencia.

La longitud de la circunferencia es igual a π veces su diámetro, o sea, π × d. El área de un círculo es igual a π veces el cuadrado del radio, o sea, π × r2

Resumen

c) r1 = 10 cm; r2 = 4 cm

r = 4.5 m

d = 8 dm

r1 = 10 cm

r2 = 4 cm

metros ?

UNIDAD 3


Soluciones1. c. 2. d. 3. a. 4. b.

Desdetiemposantiguos,elvalorde“pi”hasidoconsideradodebidoasugranimportancia,sobretodoenproblemasdeconstrucciónde

monumentos.InclusolaBiblialomencionavariasveces.Porejemplo,enIICrónicas,apareceenunalistadeelementosparalaconstruccióndelGranTemplodeSalomón(950aC).Enesta

cita,aligualquelamencionadaenIReyes7:23,ledaelvalorde3,locualesunapérdidadeprecisiónrespectoalasestimacionesanterioresdelosegipciosymesopotanos.En2004,lasupercomputadoraHitachiempleo500horas

paracalcular1,351billonesdecifrasdecimales.

TM7P126B

Ilustración del templo de

Salomón

La tapadera de un barril tiene un radio de 6 cm. La cantidad de lámina necesaria para fabricarla es:a) 113.04 cmb) 113.04 cm2

c) 226.08 cmd) 226.08 cm2

4 La tangente es:a) El segmento A Cb) La recta C D c) El segmento S Dd) La recta T B

2

Una cuerda es:a) El segmento A Cb) La recta C Dc) El segmento S Dd) La recta T B

1

Autocomprobación

3 Una rueda tiene un radio de 20 cm. Si da 3 vueltas, la distancia que recorre es:a) 376.8 cmb) 125.6 cmc) 251.2 cmd) Ninguna de las anteriores

Las preguntas 1 y 2 se refieren al gráfico de la derecha

C

D

S

A

B

T

CONSTRUCCIÓNDEMONUMENTOSYπ


Motivación

Tercera Unidad

identificarás con interés las unidades de capacidad.

determinarás con seguridad múltiplos y submúltiplos con sus valores correspondientes

resolverás con seguridad problemas sobre medidas de capacidad aplicando conversiones.

Indicadoresdelogro:

Todos los líquidos, como el agua, la leche y el vinagre, toman la forma del recipiente que los contiene. Habrás visto que los envases de leche te indican la cantidad de ésta. Si un envase marca 1.5 litros y otro 2 botellas, ¿cuál envase contiene más leche?

medidas de capacidad

Lección 4

Para medir el volumen ocupado por un líquido se emplean las medidas de capacidad.

Indica si los siguientes volúmenes líquidos se miden en litros, en unidades mayores o en unidades menores que él. La cantidad de leche que produce diariamente una granja de tipo industrial. La producción semanal de alcohol en un laboratorio. La cantidad de líquido contenido en un frasco de gotas para los ojos.

Un litro es la cantidad de líquido que cabe en un cubo de un decímetro (1 dm) de arista. El litro se representa por : 1 litro = 1

Ellitro

En el Sistema Internacional de medidas, SI, la unidad fundamental de capacidad es el litro.

UNIDAD 3


Para medir grandes cantidades de líquidos, como en la primera y segunda de las situaciones, se usan los múltiplos del litro. Para medir pequeñas cantidades de líquidos se usan los submúltiplos del litro, como en la tercera de las situaciones.

Múltiplosdellitro

El ser humano necesita guardar y transportar grandes cantidades de líquidos. Para medir la capacidad de los depósitos donde almacena esos líquidos, se utilizan los múltiplos del litro. Éstos son:

1 decalitro = 1 da = 10

1 hectolitro = 1 h = 100

1 kilolitro = 1 k = 1,000

Puedes ver que el litro y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior. O sea:

Múltiplo Abreviatura Equivalenciaenlitrosdecalitro hectolitro kilolitro

da h k

10 100

1,000

Puedes ver que el litro y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior:

1 k = 10 h = 100 da

= 1,000 1 h = 10 da = 100 1 da = 10

1 Kl = 10 Hl = 100 Dal = 1000 litros

1 Hl = 10 Dal = 100 litros

1 da = 10 litros ( )

1 h = 10 da = 100 litros ( )

1 k = 10 h = 100 da = 1000 litros (

)

UNIDAD 3


En un barril hay 5 k de gas kerosén. Expresa esa medida en hectolitros, decalitros y litros.

Para resolver este problema, recurre al cuadro de valor posicional similar al que utilizaste con otras medidas.

La cooperativa produce 3.25 h , o 32.5 da o 0.325 k ¿De qué otra forma puedes resolver este problema? Para ello observa en cada caso que la línea divisora indica el punto decimal.

Otra forma:

3251100

325

325 325

3251

hh

h

=

=

.

.

dada

10325

= .

325 da

k

=

=

325

3251

1 0000

.

,.3325

5 0325

k

32 k

= .

Ejemplo3

Expresa la medida de capacidad 72.5 da en k , h y

Solución:

O sea que 7.25 da = 725 = 7.25 h = 0.725 k Resuelve el problema anterior aplicando las equivalencias que existen entre las correspondientes unidades

Otra forma:

725101

725

725 725

725

.

.

dada

da

=

=h

h

1100

725

= .

72.5 da h

k

=

725

7251

1 000

.

, =

=

0725

725

.

.

k

da

00725. k

kl hl dal

5k = 5 0 = 50 hl

= 5 0 0 = 500 dal= 5 0 0 0 = 5000

kl hl dal

325 = 3 2 5 = 3.25 h = 3 2 5 = 32.5 da = 0 3 2 5 = 0.325 k

kl hl dal

72.5 da = 7 2 5 = 725 = 7 2 5 = 7.25 h = 0 7 2 5 = 0.725 k

5kl de kerosén equivalen a 50 h , o 500 dal o 5,000 . Resuelve este problema multiplicando por la respectiva equivalencia. Por ejemplo, 5 k = 5 × 10 = 50 h .

Otra forma:

Si 1 k = 1,000

51 0001

5 000

5000100

5

kkh

,,

=

= 00

5 50

500

h

k h

=

00110

500da

da

=

k da5 500 = Ejemplo2

La cooperativa “Los lácteos” produce 325 litros de leche al día. ¿Cuántos decalitros, hectolitros y kilolitros producen?

Solución:

UNIDAD 3


Actividad11. Expresa de forma abreviada las siguientes medidas de capacidad:

a) 3 litros d) 64 decalitros

b) 5 kilolitros e) 8.5 litros

c) 2.8 hectolitros

2. Escribe cómo se leen las siguientes expresiones:

a) 5.4 b) 2.8 k c) 7 da d) 8.1 h

SubmúltiplosdellitroEn muchas actividades de tu vida utilizas cantidades de líquidos menores que el litro.

Debido a ello se necesitan unidades de medidas menores que el litro. Éstas son:

El decilitro = d = décima parte del litro = 0.1

El centilitro = c = centésima parte del litro = 0.01

El mililitro = m = milésima parte del litro = 0.001

O sea:

3. En una bodega hay 3 depósitos que contienen ácido muriático. El primero tiene 3 k ; el segundo, 6 h y el tercero 15 dal. Se envasan para la venta en recipientes de un litro. ¿Cuántos de éstos resultan?

4. Expresa: 57 en da , h y k .

5. Expresa: 82 h en k , da y .

Submúltiplo Abreviatura Equivalenciaenlitrosdecilitro d 0.1 centilitro c 0.01 mililitro m 0.001

Puedes ver que el litro y sus submúltiplos forman un sistema posicional, donde cada submúltiplo equivale a diez unidades del múltiplo inmediato inferior.

1 = 10 d = 100 c = 1,000 m 1 d = 10 c = 100 m 1 c = 10 m

UNIDAD 3


Otra forma: Si 1 = 10 d

5101

5 50

51001

d50 d

d

c

=

=

==

=

=

500

5 500

51 000

15 000

5

c

c

mm

,,

== 5 000, m

Luego, 5 de medicamento equivalen a 5,000 m . Como cada frasco contiene 10 m , el número de frascos es igual a 5,000 ÷ 10 = 500. Resuelve este problema operando con las equivalencias respectivas y comprueba las respuestas.

Recuerda que en el Sistema Internacional de unidades, SI, las unidades de capacidad siguen las reglas del sistema decimal: 10 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior. O sea, una unidad de un orden forma 10 unidades del orden inmediato inferior.

Puedes ver que con 1 de loción puedes llenar 10 frascos de 1 d , 100 de 1 c o 1,000 de 1 m .

Ejemplo5

En un laboratorio farmacéutico se dispone de 5 de cierto medicamento. Si se envasa en frascos que contienen 10 m cada uno. ¿Cuántos frascos serán envasados?

Solución:

Recurriendo al cuadro de valor posicional, tienes:

d c m

5 = 5 0 = 50 d

5 = 5 0 0 = 500 c

5 = 5 0 0 0 = 5,000 m

d c m

1 = 1 0 = 10 d

1 = 1 0 0 = 100 c

1 = 1 0 0 0 = 1,000 m

Ejemplo4

¿Cuántos frascos de 1 d puedes llenar con 1 de una loción? ¿Cuántos de 1 c ? ¿Cuántos de m ?

Solución:

UNIDAD 3


Solución:

Puedes ver que ahora vas a trabajar con un múltiplo del litro, el decalitro (da ) y con un submúltiplo, el decilitro (d ). Para ello vas a considerar la siguiente tabla:

Como 32 da = 3,200 d , y cada recipiente contiene 8 d , entonces se envasan 3,200 ÷ 8 = 400

R: Se obtiene 400 recipientes.

Otra forma:

32101

320101

dada

320

3

=

= 2200 d

da 3200 d

32 =

R: El camión transporta 875 decalitros o sea 8,750 litros de leche.

810001

kt

8000

=

k 8000

hh

700

da

8

7100

510

=

=

1da50

=

800070050

da

8750

8750110

=875

875 da

k h da d c m 3 2 0 0 3,200 d

k h da

8 k , 7 h , 5 da = 8 7 5 = 875 da

8 k , 7 h , 5 da = 8 7 5 0 = 8 750

Ejemplo7

Un camión transporta 8 k , 7 h y 5 da de leche. ¿Cuántos decalitros lleva? ¿Y cuántos litros?

Solución:

Al ubicar 8 k , 7 h y 5 da de leche en la tabla de unidades de capacidad, obtienes:

Ejemplo6

Un recipiente contiene 32 da de kerosene para encender parrillas. Si se envasa en recipientes de 8 d cada uno, ¿cuántos recipientes se obtienen?

UNIDAD 3


1 k = 100 da 1 h = 10 da 1 da = 1 da 1 = 0.1 da

6 k = 6 × 100 da = 600 da 2 h = 2 × 10 da = 20 da 4 da = 4 da 6

= 6 ÷ 10 dal = 0.6 da Total = 624.6 da

R: En 6 k , 2 h , 4 da y 6 hay 624.6 da

¿Cuántos d caben en la anterior cantidad?

Ejemplo8

Expresar 6 k , 2 h , 4 da , 6 , en decalitros (dal).

Solución:

Comienzas convirtiendo cada cantidad a da .

En nuestro país se utilizan dos medidas de capacidad que no pertenecen al SI. Éstas son el galón y la botella. Sus equivalentes son:

Resumen

El litro es la unidad de medida fundamental del SI. Es la cantidad de líquido que cabe en un cubo de 1 dm de arista. Los múltiplos del litro son el kilolitro (k ), el hectolitro (h ) y el decalitro (da ), y los submúltiplos son el decilitro (d ), el centilitro (c ) y el mililitro (m ). En El Salvador se utilizan también el galón y la botella.

k h da

6 2 4 6

Ejemplo9

Si Carmen le pone a su auto 8.2 galones de gasolina, Encuentra las equivalencias en litros y botellas.

Solución:

8.2 galones = 8.2 galones 3751

3075.

.

galón

=

8.2 galones = 8.2 galones 51

41botellasgalón

botellas

=

R: 8.2 galones = 30.75 8.2 galones = 41 botellas.

Ahora ya puedes resolver el problema que aparece al principio de esta lección.

Como 1 = 1.3 botellas

1.5 = 1.5 × 1.3 botellas

1.5 = 1.95 botellas

Luego, contiene más leche el envase que marca 2 botellas.

1 botella = 0.75 1 galón = 3.75 1

= 1.3 botellas1 galón = 5 botellas.

1. Necesitas llenar el tanque de gasolina de un vehículo al que le caben 4 da l. Si para ello utilizas un depósito de 1 , ¿Cuántas veces lo utilizas?

2. En una farmacia hay un total de 5 k 5 da de alcohol. ¿Cuántos recipientes de 1 litro pueden llenarse? ¿Y cuántos de 1 decalitro?

3. Convierte a las unidades indicadas:

a) 3 h a d d) 30 a da

b) 7 k a d e) 20 h a k

c) 30 da a h f) 7.5 h a d

4. Expresa la cantidad de 236 h en una sola expresión que contenga h . da . y d .

Actividad 2

UNIDAD 3


1. b. 2. a. 3. c. 4. d. Soluciones

Lapintaesotramedidadecapacidad,yequivaleaproximadamenteamediolitro.

Estálaonza(medidadecapacidad),queequivalea0.0296litros.

Lapalabraonzaderivadellatínuncia,doceavapartedelalibraromana(27.29g),ademássetieneelcuarto,elgalón,eltonel;medidasdecapacidadempleadasenpaísesanglosajones.

Elgalónequivaleacuatrocuartosodospintas.Lacapacidadoarqueodelosbuquessemideentonelesotoneladasdearqueo.Eltonelajenetoqueindicalacapcidaddecargaequivale

a1.44m3.

Autocomprobación

El equivalente de 3 botellas en litros es:

a) 2.31 b) 0.65 c) 22.7 d) 1.5

2

Un hectolitro equivale a:

a) mil litrosb) cien litrosc) 0.01 litrosd) 0.001 litros

1 3 En una bodega hay 8 k y 5 da de alcohol. El número de litros que hay es:

a) 805 b) 80.05 c) 8050 d) 8005

Medio litro equivale a:

a) 2 botellasb) 1.2 botellasc) 2.4 botellasd) 0.65 botellas

4

OTRASMEDIDASDECAPACIDAD


Motivación

Tercera Unidad

Un pichel tiene capacidad de 1 litro y 8 decilitros. ¿Cuántos vasos de 20 centilitros de refresco se pueden servir del contenido del pichel?

Indicadoresdelogro:

identificarás con interés las unidades de volumen.

determinarás con seguridad múltiplos y submúltiplos con sus valores correspondientes.

medidas de volumeN

Lección 5

convertirás con destreza unidades de volumen

convertirás unidades de volumen a unidades de capacidad.

Le llamamos volumen al espacio que ocupa un cuerpo. En el sistema internacional de unidades de medida (SI), la unidad fundamental para medir volúmenes es el metro cúbico (m3).

Para medir el volumen del metal que se usó para fabricar una de las prendas del dibujo, no puedes utilizar el metro cúbico ya que el resultado es un número muy pequeño. Por esa razón, utilizarás los submúltiplos.

1 m1 m

1 m

Volumen

¿En qué unidades se mide el volumen de agua que se consume al mes en una vivienda?

Para responder observa un recibo de ANDA.

El m3 es el volumen que ocupa un cubo cuya arista mide un metro.

UNIDAD 3


¿Cuántos dm3 hay en 1 m3?

Notarás que esta situación es similar a la anterior. Esto significa que, 1 dm3 = 1,000cm3

Siguiendo el mismo razonamiento, ¿cuántos mm3 están contenidos en 1 cm3?

Al analizar las equivalencias anteriores puedes ver que en el SI, el m3 y sus submúltiplos forman un sistema posicional, donde cada submúltiplo equivale a 1,000 unidades del submúltiplo inmediato inferior:

Ejemplo1

Una cañería transporta agua a razón de 12 m3 por minuto. ¿Cuántos dm3 transporta en una hora?

Solución:

Como 1 m3 = 1,000 dm3,

12 121 0001

12 0003 33

33m m

dmm

dm= =,,

En la cañeria se transporta 12,000 dm3 de agua en 1 minuto:

1 cm1 cm

1 cm

m3 dm3

× 1,000 × 1,000 × 1,000

cm3 mm3

1 hr = 60 minutos

60 × 12,000 = 720,000

R: La cañeria transporta 720,000 dm3 por hora.

Capacidadyvolumen

Cuando el interior de un recipiente es ocupado por un líquido, es más común hablar de capacidad que de volumen. En otras palabras, capacidad es la medida del espacio que ocupa el líquido.

Así, hablamos de la capacidad de un tanque de gasolina, la capacidad de un envase de refresco, etc. No sería incorrecto hablar del volumen de un tanque de gasolina, y del volumen de un envase de refresco.

1m1 dm

1 dm1 dm1m1m

1 dm3 =

Submúltiplosdelmetrocúbico

¿Cuáles son los submúltiplos del metro cúbico?

Observa como el metro cúbico se descompone en decímetros cúbicos.

Para convertir una medida de capacidad en su equivalente medida de volumen, aplicas la equivalencia:

1 = 1 dm3

Observa ahora como se descompone el dm3 en cm3. ¿Cuántos cm3 hay en 1 dm3?

La primera capa tiene 10 × 10 = 100 cubos de 1 dm3 y son 10 capas de 100 dm3 cada una.

Esto significa que, 1 m3 = 1,000 dm3

UNIDAD 3


Ejemplo2

Expresa la medida de 1 m

en su equivalente unidad de volumen.

Solución:

1 = 1 dm3 = 1,000 cm3

Además, 1 = 1,000 m .

Luego, 1,000 m = 1,000 cm3.¿Cuántos cm3 tiene entonces el m ?

Ejemplo3

En una lechería, la venta fue de 2.5 m3 en determinado día. ¿Cuántos litros de leche se vendieron?

1 dm

1 dm1 dm

Solución:

1 m3 = 1,000 dm3

Pero 1 = 1 dm3

Luego, 1 m3 = 1,000

2.5 m3 = (1,000 × 2.5)

2.5 m3 = 2,500

R: Se vendieron 2,500 de leche.

Ahora resuelve en tu cuaderno el problema planteado al principio de esta lección. ¿lo haces así?

Capacidad del pichel: 1 = 100 c 8 d = 8 × 10 = 80 c

Luego, en 180 c caben 180 ÷ 20 = 9 vasos de 20 c cada uno.

Ejemplo4

Una refrigeradora tiene una capacidad de 2,000

Expresa esa capacidad en m3.

Solución:

Como 1 m3 = 1,000 dm3 = 1,000

20,00 = 2 m3

Luego, la capacidad de la refrigeradora es de 2 m3.

UNIDAD 3


Actividad1a) ¿Cuál es la unidad fundamental de las medidas de volumen?

b) ¿A cuántos dm3 equivale 1 ?

c) ¿En cuál medida de volumen caben 1,000 ?

d) ¿A cuál medida de volumen equivale 1 m ?

e) Expresa 1.8 m3 en dm3, cm3 y mm3.

f) El oro ocupado para fabricar una cadena tiene un volumen de 2,5 cm3. Expresa esa medida en mm3.

g) Por cada corte que se realiza en un tubo metálico, se desprenden 0.5 mm3 de viruta. Si en un procedimiento industrial se realizan 4,000 cortes, ¿cuántos cm3 del metal se convierten en viruta?

h) En un recibo de agua aparece que se consumieron 40 m3 en determinado mes. ¿Cuántos litros de agua se consumieron?

Múltiplosdelmetrocúbico

En determinada época del año, en una presa hidroeléctrica se descargan 25 millones de metros cúbicos de agua en 1 minuto.

¿Qué desventaja presenta ese número para calcular la cantidad de agua que se elimina en 25 descargas?

UNIDAD 3


Cuando se trata de volúmenes mucho mayores que el metro cúbico, es conveniente expresarlos en múltiplos de éste.

El volumen ilustrado en el gráfico equivale a un decámetro cúbico (dam3). Para calcular cuántos m3 hay en un dam3 observas que la primera capa posee 10 × 10 = 100 cubos de 1 m3. Como son 10 capas, entonces tienes un total de 10 capas de 100 m3 cada una.

1 dam3 = 1,000 m3

Siguiendo el mismo procedimiento compruebas que 1 hm3 = 1,000 dam3 y 1 km3 = 1,000 hm3

El m3 y sus múltiplos forman un sistema posicional, donde cada múltiplo equivale 1,000 unidades del múltiplo inmediato inferior:

Ejemplo5

Expresa en dam3, hm3 y km3 el volumen de 25 millones de metros cúbicos de agua que pasan en un minuto en una presa hidroeléctrica.

Solución:

Como 1 dam3 = 1,000 m3, entonces:

25,000, 000 m3 = 25 000 000 1

1 000 3, ,,

dam

m

= 25,000 dam3

Como 1 hm3 = 1,000 dam3, entonces:

25,000 dam3 = 25 000

1 000

,

,

hm3 = 25 hm3

Como 1 km3 = 1,000 hm3, entonces:

25 hm3 = 25 33

3

1

1 000hm

km

hm

,

= 0.025 km3

Concluyes que un volumen de 25 millones de m3 equivale a 25,000 dam3, 25 hm3 ó 0.025 km3.

km3 hm3

× 1,000 × 1,000 × 1,000

dam3 m3

1 dam

1 dam1 dam

UNIDAD 3


Ejemplo6

Un tanque de forma cúbica mide 10 m de arista. ¿Cuántos litros de agua le caben?

Ejemplo7

Un médico le indicó a un paciente que se inyectara 2.5 cm3 diarios de un medicamento. Si la jeringa está graduada en mililitros, ¿cuántos mililitros debe inyectarse el paciente?

Ejemplo8

Imagina que colocas todos los milímetros cúbicos contenidos en un metro cúbico, uno sobre otro, formando una columna. ¿Cuántos metros de altura tiene dicha columna?

Solución:

Como 1 m3 = 1,000,000,000 mm3, entonces la columna tendrá una altura de:

1,000,000,000 de milímetros, o sea:

1 000 000 0001 000

1 000 000, , ,

,, ,m = = 1,000,000 m.

¡Imagínate una columna de un millón de metros de altura!

Solución:

V = 10 m × 10 m × 10 m = 1,000 m3

= 1,000 × 1,000 dm3

= 1,000,000 dm3

Como 1 dm3 = 1 entonces 1,000,000 dm3 = 1,000,000 .

El tanque tiene una capacidad de 1,000,000 .

Solución:

Como 1 m = 1 cm3, entonces el paciente debe inyectarse 2.5 m del medicamento.

UNIDAD 3


1. Copia el siguiente cuadro y marca la unidad más apropiada que se usa para medir en cada situación

2. Indica cuáles son las unidades fundamentales de medidas de volumen y de capacidad.

3.Escribe en tu cuaderno las siguentes preguntas:

a) ¿A cuántos dm3 equivale 1 ?

b) 1 dm3 =

c) En un cúbico caben 1,000 litros

d) Un mililitro equivale a un cúbico

4. El volumen de una piscina es de 240 m3. Exprésalo en dam3 y hm3

Un dormitorio de tu casa m3 dm3 cm3 mm3

El borrador de la pizarra m3 dm3 cm3 mm3

Una tableta de aspirina m3 dm3 cm3 mm3

Una caja de zapatos m3 dm3 cm3 mm3

Un frasco de loción

dm3 cm3 m Un envase de refresco

dm3 cm3 m

Resumen

El espacio que ocupa un cuerpo se llama volumen de dicho cuerpo. La unidad fundamental de medida del volumen es el metro cúbico o m3. Los submúltiplos del m3 son el decímetro cúbico (dm3), centímetro cúbico (cm3) y el milímetro cúbico (mm3). Los múltiplos son el decámetro cúbico (dam3), hectómetro cúbico (hm3) y el kilómetro cúbico (km3).

Cuando se trata de un líquido, a su volumen suele llamársele capacidad del líquido.

El metro cúbico forma junto con sus múltiplos y submúltiplos un sistema posicional, donde cada unidad equivale a mil unidades de la unidad inmediata inferior.

5. Un equipo de agrónomos está interesado en averiguar cuánta agua cae por una cascada. Determinan que el volumen de agua en un día es 2.58 km3. Expresa esta medida en hm3, dam3, m3 y .

6. Se calcula que un lago acumula 20 km3 de agua en cierta época del año. Expresa esta medida en dam3, m3 y .

7. Un hombre extrae de un pozo 10

de agua en un minuto. En una hora:

a) ¿Cuántos dal extrae?

b) ¿Cuántos h extrae?

Actividad 2

UNIDAD 3


1. d. 2. c. 3. d. 4. b. Soluciones

ElprogramanacionaldeelectrificaciónenElSalvadorseinicióconlainauguracióndelaCentralHidroeléctrica5deNoviembre,el21dejuniode1954.Estaseencuentraenelsitioconocidocomo

ChorreradelGuayaboenelríoLempa.ActualmentelaComisiónEjecutivaHidroeléctricadelRíoLempa,(CEL),poseeentotalcuatrocentralesconsusrespectivosembalses,almacenandoaguaduranteelinviernoy

generandoenergíaeléctricaenverano,supliendoasílamayorpartedelademandadeenergía

eléctricaanivelnacional.InvestigasobrelaCentralHidroeléctrica

CerrónGrande.

Autocomprobación

Un garrafón contiene 3.5 de agua. El número de vasos de 175 cm3 que pueden llenarse es:a) 10b) 20c) 30d) 45

4 La unidad más apropiada para medir el volumen de la cantidad de líquido que hay en un cántaro de agua es:a) m3

b) mlc)

d) km3

2

La unidad fundamental de las medidas de volumen es:a) mb) m2

c) km3

d) m3

1 3 El equivalente de un mililitro es:a) 1 dm3

b) 1 m3

c) 1 mm3

d) 1 cm3

PRESASHIDROELÉCTRICASDEELSALVADOR


Solucionario

Lección1

Actividad 1

2. a) 0.13 d) 3.009 g) 4.2

b) 0.015 e) 15.000018 h) 0.00014

c) 0.7 f) 2.0017

3. a) cuarenta y cinco centésimos.

b) siete enteros veintiocho centésimos.

c) nueve milésimos.

ñ) tres mil uno diez milésimos.

o) dos enteros diez mil cuatro diez milésimos.

4. i) siete décimas; setenta centésimas 700 milésimas.

j) ochenta y cinco centésimas; ochocientos cincuenta milésimas; 8 décimas y 5centésimas.

5. 0.07, 0.09, 0.10, 0.12

6. Si 0.10 = 0.1

Actividad 2

3. le falta recorrer 95 − 38.76 =56.24 km

Actividad 3

1. Como los ingresos fueron $153.55 y los egresos $160.34, éstos fueron mayores.

2. b) = 4.9 − 4.34 – (9.7 − 12.54) = 0.56 − (2.84)= 3.4

d) = − + −[ ]{ }= − +{ } =1 991 133 1 858 758. . . .

Lección2

Actividad 1

2. a) 2.32578 c) 94.05

b) 0.52232 d) 26.9604

3. a) 0.7 × 6 b) 1.5 × 1.5 c) 2.3 × 0.75

5. a) 3.46 × 4 =$13.84 b) A=0.7225 m2

c) 12.85 × 10.42=133.897

Actividad 2

2. a) 8 ÷ 20=0.4 3. b) 124 1000=0.124

c) 124 10000=0.0124 k)3 1000=0.003

4. 600 1.2 = 500 pedazos

5. 200 12.5= 16 galones

6. 0.75 × 2+ 0.45 × 5+0.35 × 4+ 0.40 × 2 = $5.95

7. 14

Actividad 3

a) – 23.52b)= 1.2411348 × (− 1.54)= − 1.9113475 d) – 10.42 × 1.53333…= − 15.977333…

Lección3

Actividad 1

a) F c) V e) F g) V

b) V d) F f) F

Actividad 2

1. a) 31.4 m b) 62.8 m c) 47.1 dm

2. a) 31.4 dm b)50.24 m c)21.352 cm

3. 3.14 × 2.50=7.85 m

4. 4. dl= = =π

157314

5..

m

5. L= 46 × 2=92 cm d = =9314

2930.

. m = 29.30 m

luego r = 29.30m ÷ 2= 14.65 m


Solucionario

Actividad 3

1. a)3.14 × 102 = 314cm2

b) 3.14 × 7.5 2= 176.63 m2

3. a) 3 .14 (4.5)2 = 63.59 m2 b) 3.14 (4)2

c) 3.14 (10)2 − 3.14 (4)2 = 263.7cm 2

Lección4

Actividad 1

1. a) 3 c) 2.8h e) 8.5

b) 5k d) 64 da

3. 3(100) +6(100) +15(10) = 3750

4. 57 = 57 da = 0.57h = 0.057 k

5. 82 h = 8.2 k = 820 da = 8200

Actividad 2

1. 4 da = 4 × 10 =40

2. 5000 + 50 = 5050 = 505da

4. 236 h = 2 h , 3da ,6

Lección5

Actividad 1

a) el metro cúbico o m3

b) 1 = 1dm3

c) en 1m3

d) 1ml =1 cm3

e) 1.8 m3 1000d m3 = 1,000,000 c m3=10000000000

f) 2.5 × 100=2500m m3

g) 0.5 × 4000=2000m m3 =2 cm3

h) 40 m3= 40 × 1000 dm3 40,000 dm3 = 40,000

Actividad 2

4. 240 m3 =2 40 1000d am3 =0.24dam3

=0.24 1000h m3 =0.00024h m3

5. 2.58 km3 =2.58 × 1000 hm3 =2580 hm3

=2580 × 1000 dam3 = 2,580,000dam3

=2580000 × 1000 m3 = 2580,000,000m3

= 2580000000 × 1000


Proyecto

a) Mide la pila de agua de tu casa, encuéntrale sus dimensiones: largo, ancho y profundidad.

b) Determina cuántos litros de agua puede contener la pila. (adjuntar dibujo)


Recursos

Dolciani y otros.

Matemáticas modernas para escuelas secundarias,

Tomos 1 y 2. Publicaciones Cultural, S.A., séptima reimpresión, 1980, México

GARDER, Martin, Nuevos pasatiempos matemáticos. Editorial: Alianza Editorial, primera edición, 2008, España

STEWART, Ian. El Laberinto Mágico. Editorial: Critica (Drakontos), primera edición, 2004, España

http://webs.adam.es7rllorens/pidoc.htm

http://www. microsiervos.com/archivo/ciencia/descubriendo-valor-pi.html