DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski programi: matematika,matematika-fizika,matematika-informatikamatematika- druga godina , matematika-fizika,matematika-informatika -cetvrta godina OAS

MATEMATICKA ANALIZA 3( pismeni deo ispita,april 2015)

1. Data je funkcija

f(x, y) =

x5

(x2 + y2)√

x2 + y2, za x2 + y2 > 0

0 , za x2 + y2 = 0.

U tacki (0, 0):

(a) Dokazati diferencijabilnost funkcije f dokazujuci da su parcijalni izvodi∂f

∂x,∂f

∂yneprekidni u toj tacki. 10

(b) Dokazati diferencijabilnost funkcije f po definiciji (preko prirastaja funkcije) 10

(c) Proveriti egzistenciju mesovitih parcijalnih izvoda drugog reda funkcije f i ukoliko

postoje proveriti tacnost jednakosti :∂2f

∂x∂y(0, 0) =

∂2f

∂y∂x(0, 0) = 0. 10

2. Odrediti tacke uslovnih ekstrema funkcije u(x, y, z) = x3 + y3 + z3 pri uslovu1

x+

1

y+

1

z= 1 . 20

3. Dokazati da parcijalni izvodi∂f

∂x,∂f

∂yfunkcije

f(x, y) =

(x2 + y2) cos1

x2 + y2, za x2 + y2 > 0

0 , za x2 + y2 = 0

nisu neprekidni u tacki (0, 0) ,ali da je ipak funkcija diferencijabilna.(kaze se jos dafunkcija koja nije neprekidno-diferencijabilna ili nije C1 ,moze biti diferencijabilna ,dokje obrnuto,naravno uvek tacno;neprekidno-diferencijabilna funkcija (prvi izvodi lokalnopostoje i neprekidni su u posmatranoj tacki) je uvek diferecijabilna ) 20

4. Dokazati da funkcija u(x, y, z) = max{√

x2 + y2, z} nije diferencijabilna u tackama(a, b, c) ∈ R3 za koje je

√a2 + b2 = c i a 6= 0,dok je za sve (a, b, c) ∈ R3 za koje je

a 6= 0 i√a2 + b2 > c funkcija diferencijabilna. 10+10+10=30

∑=100

broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10