Upload
dzenis-pucic
View
20
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
DRZAVNI UNIVERZITET U NOVOM PAZARUdepartmanza matematicke naukestudijski programi: matematika,matematika-fizika,matematika-informatikamatematika- druga godina , matematika-fizika,matematika-informatika -cetvrta godina OAS
MATEMATICKA ANALIZA 3( pismeni deo ispita,april 2015)
1. Data je funkcija
f(x, y) =
x5
(x2 + y2)√
x2 + y2, za x2 + y2 > 0
0 , za x2 + y2 = 0.
U tacki (0, 0):
(a) Dokazati diferencijabilnost funkcije f dokazujuci da su parcijalni izvodi∂f
∂x,∂f
∂yneprekidni u toj tacki. 10
(b) Dokazati diferencijabilnost funkcije f po definiciji (preko prirastaja funkcije) 10
(c) Proveriti egzistenciju mesovitih parcijalnih izvoda drugog reda funkcije f i ukoliko
postoje proveriti tacnost jednakosti :∂2f
∂x∂y(0, 0) =
∂2f
∂y∂x(0, 0) = 0. 10
2. Odrediti tacke uslovnih ekstrema funkcije u(x, y, z) = x3 + y3 + z3 pri uslovu1
x+
1
y+
1
z= 1 . 20
3. Dokazati da parcijalni izvodi∂f
∂x,∂f
∂yfunkcije
f(x, y) =
(x2 + y2) cos1
x2 + y2, za x2 + y2 > 0
0 , za x2 + y2 = 0
nisu neprekidni u tacki (0, 0) ,ali da je ipak funkcija diferencijabilna.(kaze se jos dafunkcija koja nije neprekidno-diferencijabilna ili nije C1 ,moze biti diferencijabilna ,dokje obrnuto,naravno uvek tacno;neprekidno-diferencijabilna funkcija (prvi izvodi lokalnopostoje i neprekidni su u posmatranoj tacki) je uvek diferecijabilna ) 20
4. Dokazati da funkcija u(x, y, z) = max{√
x2 + y2, z} nije diferencijabilna u tackama(a, b, c) ∈ R3 za koje je
√a2 + b2 = c i a 6= 0,dok je za sve (a, b, c) ∈ R3 za koje je
a 6= 0 i√a2 + b2 > c funkcija diferencijabilna. 10+10+10=30
∑=100
broj bodova· · · = · · ·ocena/55-64=6/65-74=7/75-84=8/85-94=9/95-100=10