Download pdf - LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL DE MATEMÁTICA 2º ANO 2º ... · LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL DE MATEMÁTICA – 2º ANO – 2º TRIMESTRE ÁLGEBRA 1. (Upe-ssa 3 2017) Se a função

Ensino Infantil - Ensino Fundamental

Ensino Médio – Período Integral

Unidade I: Av. Mascote, 913 - Vila Mascote - S.P. - Fone: (11) 5564 3466 - CEP: 04363-001

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LISTA DE REVISÃO PROVA MENSAL DE MATEMÁTICA – 2º ANO –

2º TRIMESTRE

ÁLGEBRA

1. (Upe-ssa 3 2017) Se a função trigonométrica y a bsen(px) tem imagem I [1, 5] e período 3

,π

qual é o valor

da soma a b p? Adote 3.π

a) 5 b) 6 c) 8 d) 10 e) 11 2. (Ucs 2016) O gráfico abaixo representa uma função real de variável real.

Assinale a alternativa em que consta a função representada pelo gráfico.

a) f(x) 2cos x

b) x

f(x) 2 cos2

c) f(x) 2 sen x

d) f(x) 2 sen 2x

e) x

f(x) sen2

3. (Unisc 2016) Se f é uma função real dada por f(x) 2 cos(2x), então é correto afirmar que:

a) 1 f(x) 3 para todo x real.

b) O gráfico de f intercepta o eixo x.

c) f(x) 2 para todo x real.

d) f(0) 2.

e) f(x) 3 para todo x real.





4. (Upe-ssa 3 2016) Qual dos gráficos a seguir representa a função f 2 se(x) n 3x?

a)

b)

c)

d)

e)

5. (Ufsm 2015) Cerca de 24,3% da população brasileira é hipertensa, quadro que pode ser agravado pelo consumo

excessivo de sal. A variação da pressão sanguínea P (em mmHg) de um certo indivíduo é expressa em função do tempo

por 8

P(t) 100 20cos t3

π

onde t é dado em segundos. Cada período dessa função representa um batimento

cardíaco.

Analise as afirmativas:

I. A frequência cardíaca desse indivíduo é de 80 batimentos por minuto.

II. A pressão em t 2 segundos é de 110mmHg.

III. A amplitude da função P(t) é de 30mmHg.

Está(ão) correta(s)

a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III.





6. (G1 - cftmg 2015) O esboço do gráfico da função f(x) a bcos(x) é

mostrado na figura ao lado.

Nessa situação, o valor de a b é

a) 2 b) 3 c) 5 d) 6

7. (Ufpe 2013) Seja f uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por

f x a sen x b ,ω com a, ω e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao intervalo

fechado 5

, .6 6

π π

A função f tem período π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado 5,5 .

Determine as constantes a e ω e o menor valor positivo de b. Indique 2 2a 3b .ω π

8. (Unicamp 2017) Sendo a um número real, considere a matriz 1 a

.0 1

Então,

2017A é igual a

a) 1 0

.0 1

b) 1 a

.0 1

c) 1 1

.1 1

d) 20171 a

.0 1





9. (Fgv 2017) Uma matriz A de ordem 2 transmite uma palavra de 4 letras em que cada elemento da matriz

representa uma letra do alfabeto.

A fim de dificultar a leitura da palavra, por se tratar de informação secreta, a matriz A é multiplicada pela matriz

3 1B

5 2

obtendo-se a matriz codificada B A. Sabendo que a matriz B A é igual a

10 27,

21 39

podemos

afirmar que a soma dos elementos da matriz A é:

a) 46 b) 48 c) 49 d) 47 e) 50

10. (G1 - ifpe 2017) Anselmo (1), Eloi (2), Pedro (3) e Wagner (4) são matemáticos e, constantemente, se desafiam com

exercícios. Com base na matriz D, a seguir, que enumera cada elemento ija representando o número de desafios que "i"

fez a "j", assinale, respectivamente, quem mais desafiou e quem foi mais desafiado.

0 5 2 7

6 0 4 1D

1 7 0 3

2 1 8 0

a) Anselmo e Pedro. b) Eloi e Wagner. c) Anselmo e Wagner. d) Pedro e Eloi. e) Wagner e Pedro.

11. (G1 - ifal 2016) A matriz ijA (2 3) tem elementos definidos pela expressão 3 2

ija i – j . Portanto, a matriz A é

a) 0 3 8

.7 4 1

b) 0 7 26

.3 4 23

c)

0 3

7 4 .

26 23

d)

0 7

3 4 .

8 1

e) 0 1 2

.1 0 1





12. (G1 - ifpe 2016) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de comida japonesa e saíram para comer temaki,

também conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato lembra o de um cone. Foram, então, visitando vários

restaurantes, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos temakis cada um consumiu e

como a despesa foi dividida:

3 2 0

S 1 1 2

0 3 2

e

2 3 0

D 0 2 1

1 0 2

S refere-se às quantidades de temakis de sábado e D às de domingo. Cada elemento ija nos dá o número de cones que a

pessoa i pagou para a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 2 e Ronaldo, o número 3

ij((a ) representa o elemento da linha i e da coluna j de cada matriz). Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3

temakis que ele próprio consumiu 11(a ), 2 temakis consumidos por Otávio 12(a ) e nenhum por Ronaldo 13(a ), que

corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim de semana?

a) nenhum b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

13. (Cefet MG 2015) Cinco amigos 1 2 3 4 5A , A , A , A , A viajaram juntos num fim de semana e, durante a viagem, as

despesas foram divididas igualmente entre eles. Entretanto, para facilitar o troco, algumas vezes um emprestava dinheiro

para o outro.

Considere que nas matrizes S e D, abaixo, estão registrados os valores, em Reais, que cada um emprestou para o outro

no sábado e no domingo, respectivamente, sendo que o elemento da linha i e da coluna j representa o que o amigo iA

emprestou ao amigo jA nesse dia, com i e j variando de 1 a 5.

0 4 7 10 2

15 0 11 1 0

S 12 5 0 4 8

5 0 2 0 10

5 1 3 2 0

0 1 4 2 1

0 0 16 7 10

D 15 8 0 11 0

0 4 5 0 5

18 3 0 4 0

Ao final da viagem, o amigo 4A ainda devia aos demais amigos, em reais, a quantia de

a) 10. b) 15. c) 31. d) 41. e) 72.





14. (Esc. Naval 2013) Sejam 1 1 2

A4 3 0

e

5 0 3B

1 2 6

e B' a transposta de B. O produto da matriz A

pela matriz B' é

a)

9 2 10

8 6 0

21 21 6

b) 5 0 6

4 6 0

c)

5 4

0 6

6 0

d) 1 11

20 10

e) 1 10

2 1

15. (Espm 2013) A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de apartamentos é dada pela matriz

4 x 5

1 3 y ,

6 y x 1

onde cada elemento ija representa a quantidade de moradores do apartamento j do andar i.

Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas

ao todo. O valor de n é:

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e) 34 16. (Fgvrj 2012) Seja X a matriz que satisfaz a equação matricial X.A = B, em que:

2 1A

5 3

e B 8 5 .

Ao multiplicar os elementos da matriz X , obteremos o número:

a) - 1 b) - 2 c) 1 d) 2 e) 0

17. (Uern 2012) Sejam as matrizes 2 3 4 0

M , N e P M N N M.1 0 1 5

O menor elemento da matriz P é

a) – 7. b) – 1. c) – 5. d) 2.





18. (Pucrs 2012) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos de Engenharia, o professor pediu que os alunos

resolvessem a seguinte questão:

Se 1 2

A ,3 4

então 2A é igual a

a) 1 3

2 4

b) 1 4

9 16

c) 7 10

15 22

d) 5 11

11 25

e) 5 5

25 25

19. (Udesc 2011) Dadas as matrizes 1 5

A1 3

e 1 0

B ,3 2

calcule as matrizes (C, D, E, F e G) resultantes das

seguintes operações:

a) tC A B

b) 2D A

c) tE 2A B -

d) F 3A 2B

e) G A B

Obs.: tB é a matriz transposta da matriz B.

20. (Ueg 2017) Cinco jovens, que representaremos por a, b, c, d, e, foram a um restaurante e observaram que o

consumo de cada um obedecia ao seguinte sistema linear

a d 20

b c e 30

a c 15

e a 10

c e 25

O total da conta nesse restaurante foi de

a) R$ 50,00

b) R$ 80,00

c) R$ 100,00

d) R$ 120,00

e) R$ 135,00





21. (Upe-ssa 2 2017) Márcia e Marta juntas “pesam” 115 kg; Marta e Mônica “pesam” juntas 113 kg; e Márcia e

Mônica “pesam” juntas 108 kg. Qual é a soma dos “pesos” de Márcia, Marta e Mônica?

a) 205 kg

b) 195 kg

c) 187 kg

d) 175 kg

e) 168 kg

22. (G1 - ifal 2016) Um hospital administra 2016 mg de um certo medicamento em cápsulas para três pacientes, em

conjunto, por mês. O paciente A usa cápsulas de 10 mg, o paciente B, de 12 mg e o paciente C, de 15 mg. O

paciente A toma metade do número de cápsulas de B e os três juntos tomam 163 cápsulas por mês. Quantas cápsulas o

paciente C toma por mês?

a) 39. b) 46. c) 62. d) 78. e) 92.

23. (Uem 2016) Uma empresa que faz doces para festas oferece três tipos de kits, conforme mostra o quadro abaixo.

Quantidade

de

brigadeiro

Quantidade

de beijinho

Quantidade

de

cajuzinho

Preço R$

KIT A 3 3 6 12,00

KIT B 2 5 4 11,00

KIT C 5 3 2 14,00

Sobre o exposto assinale o que for correto.

01) O cajuzinho é o doce mais caro dos kits. 02) O beijinho é o doce mais barato dos kits. 04) O cajuzinho custa 25% do valor do brigadeiro. 08) O preço de cada brigadeiro é igual ao dobro do preço de cada beijinho. 16) O preço de cada beijinho é R$ 1,50.

24. (Pucrs 2016) Nas olimpíadas de 2016, serão disputadas 306 provas com medalhas, que serão distribuídas entre

competidores de esportes masculinos, femininos e, ainda, de esportes mistos. Sabe-se que o total de competições

femininas e mistas é 145. Sabe-se, também, que a diferença entre o número de provas disputadas somente por homens e

somente por mulheres é de 25. Então, o número de provas mistas é

a) 3 b) 9 c) 25 d) 136 e) 161





25. (Enem PPL 2015) Um técnico precisa consertar o termostato do aparelho de ar-condicionado de um escritório, que

está desregulado. A temperatura T, em graus Celsius, no escritório, varia de acordo com a função

T(h) A B sen (h 12) ,12

π

sendo h o tempo, medido em horas, a partir da meia-noite (0 h 24) e A e B os

parâmetros que o técnico precisa regular. Os funcionários do escritório pediram que a temperatura máxima fosse 26 C,

a mínima 18 C, e que durante a tarde a temperatura fosse menor do que durante a manhã.

Quais devem ser os valores de A e de B para que o pedido dos funcionários seja atendido?

a) A 18 e B 8

b) A 22 e B 4

c) A 22 e B 4

d) A 26 e B 8

e) A 26 e B 8

26. (G1 - ifsul 2015) Um bar recebe três grupos de amigos que fizeram os seguintes pedidos: o primeiro, 6

refrigerantes, 4 porções de batatas fritas e 5 sorvetes; o segundo, 2 refrigerantes, 1 porção de batata frita e 4 sorvetes e

o último, 3 refrigerantes e 2 porções de batatas fritas. Após, uma pessoa chegou ao estabelecimento e fez o pedido de 1

refrigerante, 1 porção de batatas-fritas e 1 sorvete.

Se o primeiro grupo pagou R$ 62,50 pelo seu pedido, o segundo pagou R$ 24,00 e o terceiro R$ 25,00, quanto

pagou o cliente que estava sozinho?

a) R$ 10,29

b) R$ 12,50

c) R$ 13,50

d) R$ 37,17

GEOMETRIA

27. (Ufpr) Considere a reta r de equação y 2x 1. Qual das retas abaixo é perpendicular à reta r e passa pelo ponto

P (4, 2)?

a) 1

y x2

b) y 2x 10

c) 1

y x 52

d) y 2x

e) 1

y x 42





28. (Ita) Considere a reta r : y 2x. Seja A (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal BD está contida

em r. A área deste quadrado é

a) 9

.5

b) 12

.5

c) 18

.5

d) 21

.5

e) 24

.5

29. (Uerj) Uma ferrovia foi planejada para conter um trecho retilíneo cujos pontos são equidistantes dos centros A e B

de dois municípios. Em seu projeto de construção, utilizou-se o plano cartesiano, com coordenadas em quilômetros, em

que A (1, 2) e B (7,14). Observe o gráfico e determine, utilizando esse sistema referencial, a equação da reta

suporte desse trecho retilíneo da ferrovia.

30. (Fgv) No plano cartesiano, considere o triângulo de vértices A 1,4 , B 4,5 e C 6,2 . A reta suporte da altura

relativa ao lado AC intercepta o eixo x no ponto de abscissa

a) 2 b) 2,2 c) 2,4 d) 2,6 e) 2,8 31. (Espcex (Aman)) Considere a reta t mediatriz do segmento cujos extremos são os pontos em que a reta

s : 2x 3y 12 0 intercepta os eixos coordenados. Então, a distância do ponto M(1,1) à reta t é

a) 13 3

11

b) 10 13

13

c) 13 11

13

d) 3 11

13

e) 3 3

11





32. (Uece) Em um plano, munido do referencial cartesiano usual, seja A o ponto de interseção das retas 3x y 4 0

e 2x 5y 14 0. Se os pontos B e C são respectivamente as interseções de cada uma destas retas com o eixo-x,

então, a área do triângulo ABC, é igual

a) 13

u.a.3

b) 14

u.a.3

c) 16

u.a.3

d) 17

u.a.3

33. (Uerj) Considere o gráfico a seguir, em que a área S é limitada pelos eixos coordenados, pela reta r, que passa por

A(0, 4) e B(2, 0), e pela reta perpendicular ao eixo x no ponto oP(x ,0), sendo o0 x 2.

Para que a área S seja a metade da área do triângulo de vértices C(0, 0), A e B, o valor de ox deve ser igual a:

a) 2 2

b) 3 2

c) 4 2

d) 5 2

34. (Eear) Dada a reta r : 2x 3y 5 0 e o ponto P(5, 6), a distância de P à reta r é

a) 91

b) 30 13

c) 3 91

91

d) 3 13

13





35. (Ufjf-pism 3) Dados os pontos A (1, 2), B (3, 5), C (1,1) e D (2, 3), considere as afirmações:

I. Os pontos A, B e D são colineares.

II. Uma reta perpendicular à reta determinada pelos pontos A e B tem coeficiente angular 2

m .3

III. A distância do ponto A à reta determinada pelos pontos B e C é 10 unidades de comprimento.

É CORRETO afirmar que:

a) Apenas a afirmação II é verdadeira. b) Apenas a afirmação III é verdadeira. c) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras. d) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras. e) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

36. (Enem 2ª aplicação) Uma região de uma fábrica deve ser isolada, pois nela os empregados ficam expostos a riscos

de acidentes. Essa região está representada pela porção de cor cinza (quadrilátero de área S) na figura.

Para que os funcionários sejam orientados sobre a localização da área isolada, cartazes informativos serão afixados por

toda a fábrica. Para confeccioná-los, programador utilizará um software que permite desenhar essa região a partir de um

conjunto de desigualdades algébricas.

As desigualdades que devem ser utilizadas no referido software, para o desenho da região de isolamento, são

a) 3y x 0; 2y x 0; y 8; x 9

b) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8

c) 3y x 0; 2y x 0; y 9; x 8

d) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 8; x 9

e) 4y 9x 0; 8y 3x 0; y 9; x 8





37. (Ufrgs) Considere as desigualdades definidas por | x 5 | 2 e | y 4 | 1 representadas no mesmo sistema de

coordenadas cartesianas. Qual das regiões sombreadas dos gráficos abaixo melhor representa a região do plano

cartesiano determinada pela interseção das desigualdades?

a)

b)

c)

d)

e)

38. (Pucrj-adaptada) Considere a região descrita pelo sistema:

x y 3

y 2x

2y x

Quanto vale a área desta região?

a) 1

b) 2

c) 3

2

d) 2 2 e) 3

39. (G1 - ifal) O diâmetro de uma circunferência tem extremidades nos pontos A( 2, 6) e B(4, 0) do plano

cartesiano. A equação reduzida dessa circunferência é

a) 2 2(x 1) (y 3) 18.

b) 2 2(x 1) (y 3) 72.

c) 2 2(x 1) (y 3) 9.

d) 2 2(x 3) (y 3) 18.

e) 2 2(x 3) (y 3) 72.





40. (Pucrj) Considere o quadrado ABCD como na figura. Assuma que A (5,12) e B (13,6).

a) Determine a medida do lado do quadrado ABCD.

b) Determine a equação da reta que passa por C e D.

c) Determine a equação do círculo inscrito no quadrado ABCD.

41. (Mackenzie) A equação da circunferência concêntrica à circunferência 2 2(x 2) (y 1) 1 e tangente à reta

4x 3y 20 0 é

a) 2 2(x 2) (y 1) 36

b) 2 2(x 2) (y 1) 25

c) 2 2(x 2) (y 1) 20

d) 2 2(x 2) (y 1) 16

e) 2 2(x 2) (y 1) 9

42. (Fgv) No plano cartesiano, a equação da reta tangente ao gráfico de 2 2x y 25 pelo ponto (3, 4) é

a) 4x 3y 25 0.

b) 4x 3y 5 0.

c) 4x 5y 9 0.

d) 3x 4y 25 0.

e) 3x 4y 5 0.





43. (Pucsp) Na figura tem-se a representação de ,λ circunferência de centro C e tangente aos eixos coordenados nos

pontos A e B.

Se a equação de λ é 2 2x y 8x 8y 16 0, então a área da região hachurada, em unidades de superfície, é

a) 8 ( 2)π

b) 8 ( 4)π

c) 4 ( 2)π

d) 4 ( 4)π

44. (Fuvest) No plano cartesiano, 0xy, a circunferência C tem centro no ponto P (2,1), e a reta t é tangente a C no

ponto Q ( 1, 5).

a) Determine o raio da circunferência C.

b) Encontre uma equação para a reta t.

c) Calcule a área do triângulo PQR, sendo R o ponto de interseção de t com o eixo 0x.

45. (Fgv) No plano cartesiano, a reta de equação 3x 4y 17 tangencia uma circunferência de centro no ponto (1,1).

A equação dessa circunferência é:

a) 2 2x y 2x 2y 4 0

b) 2 2x y 2x 2y 2 0

c) 2 2x y 2x 2y 5 0

d) 2 2x y 2x 2y 3 0

e) 2 2x y 2x 2y 1 0





46. (Ulbra) As retas 2x y 4 0 e 2x 3y 12 0 interceptam-se no centro de uma circunferência de raio igual a

3. Então podemos dizer que

a) a circunferência possui centro no ponto (2, 3).

b) a circunferência corta o eixo y em dois pontos.

c) a circunferência corta o eixo x em um ponto. d) a circunferência é tangente ao eixo x.

e) a circunferência é tangente ao eixo y.

47. (Fgv) No plano cartesiano, a região determinada pelas inequações simultâneas 2 2x y 4 e x y 0 tem área

igual a:

a) 2π b) 2,5π

c) 3π d) 3,5π

e) 4π

BOM ESTUDO!!!





Gabarito: Resposta da questão 1: [E]

Considerando a, b e p números positivos, podemos escrever que:

senx 1 a b 1 5 a b 5

senx 1 a b ( 1) 1 a b 1

Resolvendo o sistema, temos:

a b 5a 3 e b = 2

a b 1

Lembrando que p 0, o período da função será dado por:

2 3 (considerando 3)

p

3p 18

p 6

ππ

π

Logo, a b p 3 2 6 11.

Resposta da questão 2:[D]

Desde que f(0) 0 e f 2,4

π

dentre as leis apresentadas, só pode ser f(x) 2sen2x.

Resposta da questão 3: [A]

Sabendo que 1 cos2x 1, para todo x real, temos

1 cos2x 1 1 cos2x 1

2 1 2 cos2x 2 1

1 f(x) 3.


Somente o primeiro gráfico apresenta as características da função f 2 se(x) n 3x : amplitude 2, início decrescente e

na origem. Resposta da questão 5: [B]

[I] Verdadeira. A frequência cardíaca em segundos:

1 1 4,

3 32 48

3

π

π

em minutos basta

π

π2

3

8cos20100)2(P multiplicar por 60, o que resulta em 80

batimentos por minuto.





[II] Verdadeira. Pois

8P(2) 100 20 cos 2

3

16100 20 cos

3

4100 20 cos 2 2

3

1100 20

2

110mmHg.

π

π

ππ

[III] Falsa. A amplitude da função é de 20mmHg. Resposta da questão 6: [D]

f(0) 5 a b cos0 5 a b 5

f( ) 1 a b cos 1 a b 1π π

Resolvendo o sistema temos a = 3 e b = 2.

Portanto, a b 6.

Resposta da questão 7:

Sabendo que o período fundamental da função seno é 2 ,π e que o período de f é ,π temos 2 | | 2.| |

ππ ωω

Além disso, como a imagem da função seno é o intervalo [ 1,1], e a imagem de f é o intervalo [ 5, 5], temos

[ 5, 5] a [ 1,1] a 5 (supondo senb 0).

Finalmente, como f 0,6

π

temos:

0 5 sen 2 b sen b sen0,6 3

π π

donde concluímos que o menor valor positivo de b que satisfaz a igualdade é b .3

π

Portanto,

2 2 2 23b 3a 5 2 30.

3

πω

π π

Resposta da questão 8: [B]

Calculando:

2

2

4 2 2

6 4 2

2016 2014 2

2017 2016 2017

1 a 1 a 1 0A

0 1 0 1 0 1

A I

A A A I I I

A A A I I I

A A A I I I

1 aA A A I A A A

0 1





Resposta da questão 9: [D]

Calculando:

10 27 3 1 a b 10 27B A

21 39 5 2 c d 21 39

3a c 3b d 10 27

5a 2c 5b 2d 21 39

3a c a 1

5a 2c c 13

3b d b 15

5b 2d d 18

a b c d 1 13 15 18 47


Se as entradas são descritas como "o número de desafios que 'i' fez a 'j' ", temos que "i" é quem mais desafia e " j" o

mais desafiados, logo deve-se somar os valores de todas as linhas e todas as colunas.

Sendo assim, o maior valor das entradas de uma linha somada será aquele que mais desafiou e o maior valor das entradas

de uma coluna somada será aquele que mais foi desafiado.

Então temos:

linha 1 0 5 2 7 14

linha 2 6 0 4 1 11

linha 3 1 7 0 3 11

linha 4 2 1 8 0 11

coluna 1 0 6 1 2 9

coluna 2 5 0 7 1 13

coluna 3 2 4 0 8 14

coluna 4 7 1 3 0 11

Dessa maneira, a primeira linha (Anselmo) e a terceira coluna (Pedro) foi o maior desafiador e o maior desafiado,

respectivamente. Resposta da questão 11: [A]

3 2ij

3 2 3 2 3 2

11 12 13

3 2 3 2 3 221 22 23

a i – j

1 1 1 2 1 3a a a

a a a 2 1 2 2 2

0 3 8

7 4 13

Resposta da questão 12: [E]

Efetuando a soma das matrizes, temos:

3 2 0 2 3 0 3 2 2 3 0 0 5 5 0

1 1 2 0 2 1 1 0 1 2 2 1 1 3 3

0 3 2 1 0 2 0 1 3 0 2 2 1 3 4

Logo:

Rodrigo pagou para Otavio 12a 5 temakis e Otávio pagou para Rodrigo apenas 21a 1 temaki, logo Otavio deve 4

temakis a Rodrigo.






Sejam ij 5 5S (s ) e ij 5 5D (d ) . Tem-se que o valor total emprestado ao amigo 4A , em reais, é dado por

5

i4 i4

i 1

(s d ) 10 2 1 7 4 11 2 4 41.

Por outro lado, o amigo 4A emprestou

5

4j 4j

j 1

(s d ) 5 4 2 5 10 5 R$ 31,00.

Desse modo, podemos concluir que o amigo 4A ainda devia 41 31 R$ 10,00 ao final da viagem.


5 11 1 2 5 0 6 1 2 12 1 11

0 24 3 0 20 0 0 4 6 0 20 10

3 6

Resposta da questão 15: [C]

Sabendo que os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao todo, temos:

5 y x 1 12 x y 6.

Portanto, o valor de n é dado por:

4 1 6 x 3 y 12 26 6 32.


Logo, 2a b a 3b 8 5


2a 5b 8

a 3b 5

a 1 e b 2

X 1 2

Portanto, o produto dos elementos de X é 2 1 2 .





Resposta da questão 17:[A]

A matriz P é tal que

2 3 4 0 4 0 2 3P

1 0 1 5 1 5 1 0

8 3 0 15 8 0 12 0

4 0 0 0 2 5 3 0

11 15 8 12

4 0 3 3

19 27.

7 3

Portanto, o menor elemento da matriz P é 7. Resposta da questão 18: [C]

Como 2A A A, segue que

2 1 2 1 2A

3 4 3 4

1 1 2 3 1 2 2 4

3 1 4 3 3 2 4 4

7 10.

15 22


a) t 1 5 1 3 0 8

C A B1 3 0 2 1 5

b) -1 5 1 5 6 10

D 1 3 1 3 2 14

c) 1 5 1 3 1 13

E 21 3 0 2 2 8

d) 1 5 1 0 5 15

F 3. 2.1 3 3 2 3 5

e) -1 5 1 0 14 10

G .1 3 3 2 10 6


Somando todas as equações, temos a b c d e R$ 100,00.





Resposta da questão 21:[E]

Considerando que: Márcia “pesa” x kg, Marta “pesa” y kg e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:

x y 115

y z 113

x z 108

Somando as equações, obtemos:

2x 2y 2z 336

Portanto,

x y z 168 kg


Calculando (sendo a, b e c as quantidades de cada um dos comprimidos):

10a 12b 15c 2016

ba b 2a2

a b c 163

a 2a c 163 3a c 163 c 163 3a

10a 12 2a 15 163 3a 2016

10a 24a 2445 45a 2016 11a 429 a 39

b 78

39 78 c 163 c 46

Resposta da questão 23: 04 + 08 = 12.

x é o preço do brigadeiro

y é o preço do beijinho.

z é o preço do cajuzinho

De acordo com a tabela acima, podemos escrever o seguinte sistema:


y 1, z 0,5 e x 2.

[01] Falsa. O mais caro é o brigadeiro

[02] Falsa. O mais barato é o cajuzinho.

[04] Verdadeira, pois 25% de 2 é igual a 0,5.

[08] Verdadeira, pois 2 1 2.

[16] Falsa, pois o preço de cada beijinho é R$ 1,00.

Resposta da questão 24:[B]

Sejam x, y e z, respectivamente, o número de provas disputadas apenas por homens, apenas por mulheres e mistas.

Desse modo, vem

x y z 306 x 161

y z 145 y 136.

x y 25 z 9

Portanto, a resposta é 9.






Substituindo os valores na equação por 26 C pela manhã, às 6h e 18 C às 18h, tem-se:

T(h) A B sen (h 12)12

T(6) 26 A B sen (6 12) 26 A B sen 26 A B12 2

T(18) 18 A B sen (18 12) 18 A B sen 18 A B12 2

A B 26

A B 18

2A 44 A 22 B 4

π

π π

π π


Nomeando os grupos de amigos e a pessoa sozinha como 1G , 2G , 3G e P, bem como os consumos como r

(refrigerante), b (batata) e s (sorvete), podemos escrever as seguintes equações:

1

2

3

G 6r 4b 5s 62,50

G 2r b 4s 24,00

G 3r 2b 25,00

P r b s x

x ?

Isolando r na equação do grupo 3G e substituindo na equação do grupo 1G , temos:

25 2b3r 2b 25,00 r

3

25 2b6 4b 5s 62,50 50 4b 4b 5s 62,50 s 2,50

3

Substituindo r e s na equação do grupo 2G , temos:

25 2b 50 4b2 b 4 2,50 24,00 b 10 24 b 8

3 3 3

Substituindo b na equação do grupo 3G , temos:

3r 2 8 25 r 3

Finalmente, substituindo os valores de r, b e s na equação que representa o consumo da pessoa que veio sozinha ao bar,

temos:

P r b s x

3 8 2,5 x

x 13,50


Seja s a reta perpendicular a r e que passa pelo ponto P (4, 2). Logo, como rm 2, segue que a equação de s é

1 1y 2 (x 4) y x 4.

2 2






Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem 2. A distância do ponto A até a reta r é igual a metade da

diagonal. Assim, pode-se escrever:

A r2 2

22

2 3 32 6d

2 102 1

6 18S S

510


A reta cujos pontos são equidistantes de A e B é exatamente a mediatriz do segmento de extremos A e B. Portanto,

devemos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto médio de AB e é perpendicular a ele.

Cálculo do ponto médio de AB : 0 01 7 2 14

, 4,8 (x ,y )2 2

Coeficiente angular da reta que passa por A e B : 14 2

27 1

Portanto, o coeficiente angular da mediatriz r é r1

m2

Encontrando, agora, a equação da mediatriz r.

1y 8 (x 4) 2y 16 x 4 x 2y 20 0

2


O coeficiente angular da reta AC é dado por

C A

C A

y y 2 4 2.

x x 6 1 5

Assim, o coeficiente angular da reta suporte da altura relativa ao lado AC é 5

2 e, portanto, sua equação é

5 5y 5 (x 4) y x 5.

2 2

A abscissa do ponto de interseção dessa reta com o eixo x é tal que

50 x 5 x 2.

2






Intersecção da reta s com o eixo x. (y 0)

2x 12 0 x 6 P( 6, 0)

Intersecção da reta s com o eixo y. (x 0)

3y 12 0 y 4 Q(0, 4)

Considerando que N é o ponto médio de PQ, temos:

N

N

6 0x 3

2

0 4y 2

2

Portanto, N ( 3, 2).

A reta s tem coeficiente angular 2 3, portanto a reta t terá coeficiente angular 3 2, pois são perpendiculares.

Determinando agora a equação da reta t, que passa pelo ponto N e é perpendicular à reta s, temos:

3

y 2 x ( 3) 3x 2y 5 02

Calculando a distância do ponto M(1, 1) à reta (t) 3x 2y 5 0, temos:

2 2

3 1 2 1 5 10 10 13d

13 133 2

Resposta da questão 32:[D]

Determinando os pontos de intersecção da reta de equação 3x y 4 0 com o eixo x.

Fazendo y 0, temos:

4 43x 0 4 0 x B , 0

3 3

Determinando os pontos de intersecção da reta de equação 2x 5y 14 0 com o eixo x.

Fazendo y 0, temos:

2x 5 0 14 x 7 C ( 7, 0).

Determinado agora a ordenado do ponto de intersecção entre as retas.

3x y 4 0

2x 5y 14 0.





Resolvendo o sistema temos x 2 e y 2 (altura do triângulo) e o ponto A( 2, 2).

Temos então o triângulo ABC representado abaixo:

Logo, a área A do triângulo será dada por:

4

7 2173

A2 3


0 0 0

0 0 2 2trapézio 0 0 0 0

2

00

0

4 2S 4 Metade de S será 2

2

0 4Reta r a 2 y 2x 4

2 0

Ponto D x ,y y 2x 4 com x 2

4 2x 4 xS 2 2x 8x 4 0 x 4x 2 0

2

4 4 1 2 8

x 2 2 2 2 2 (não convém)4 8 4 2 2x

2 2 x 2 2


Calculando a distância do ponto P(5, 6) a reta r, temos:

2 2

2 5 3 6 5 3 13 3 13d

1313 132 ( 3)


[I] Falsa.

[II] Verdadeira. O coeficiente angular da reta AB é AB

5 2 3m .

3 1 2

Logo, qualquer reta perpendicular à reta AB

tem coeficiente angular igual a 2

.3

[III] Falsa. A equação da reta da reta BC é

5 1y 1 (x 1) 2x y 1 0.

3 1

Portanto, a distância do ponto A à reta BC é igual a

2 2

| 2 1 2 1| 1 5d u.c.

552 ( 1)





Resposta da questão 36: [E]

A equação da reta que passa pelos pontos (0, 0) e (4, 9) é 9

y x,4

isto é, 9x 4y 0. Ademais, a equação da reta que

passa pelos pontos (0, 0) e (8, 3) é 3

y x,8

ou seja, 3x 8y 0. Portanto, é fácil ver que a região S é limitada pelas

desigualdades 9x 4y 0, 3x 8y 0, x 8 e y 9.


x 5 2 2 x 5 2 7 x 3

y 4 1 1 y 4 1 3 y 5

Representando as duas regiões acima num mesmo sistema cartesiano e determinando a intersecção entre elas, temos a

seguinte região

Portanto, a alternativa [E]. Resposta da questão 38: [C]


O ponto médio entre os pontos A e B será o centro da circunferência. Assim, pode-se escrever:

A B A Bm

x x y y 2 4 6 0P C , , C(1, 3)

2 2 2 2

O comprimento do raio será igual à metade da distância entre os pontos A e B. Tem-se: 2 2 2 2 2 2

B A B AR (x x ) (y y ) (1 2) ( 3 6) R 18

Assim a equação reduzida dessa circunferência será 2 2(x 1) (y 3) 18.


a) A medida do lado do quadrado é igual a

2 2d(A, B) (13 5) (6 12)

64 36

10 u.c.





b) O coeficiente angular da reta AB é igual a

AB

6 12 3m .

13 5 4

Como ABCD é quadrado, segue que AB BC. Logo, se BC

m denota o coeficiente angular da reta BC, então

BC

4m .

3

Seja C ( , ),α β com 13α e 6,β de acordo com a figura abaixo.

Sabendo que BC

m tgPBC, tem-se

PC 4tgPBC PC PB.

3PB

Por (a) vem que BC 10. Agora, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo BPC, concluímos que PB 6, o

que implica em PC 8. Donde obtemos C (19,14).

Finalmente, segue que a equação da reta que passa por C e D é

3 3 113y 14 (x 19) y x .

4 4 4

c) O centro do círculo é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, 5 19 12 14

, (12,13),2 2

e seu raio mede a

metade do lado do quadrado, isto é, 5. Portanto, a equação pedida é 2 2(x 12) (y 13) 25.


O centro da circunferência dada é dado por ( 2,1), logo a circunferência pedida terá equação da forma

2 2 2(x 2) (y 1) R . Sendo R a distância do ponto ( 2,1) à reta de equação 4x 3y 20 0.

2 2

4 2 3 1 20 25R R 5.

54 3

Portanto, a equação pedida será dada por: 2 2(x 2) (y 1) 25






2 2

rCT

x y 25

tangência T(3, 4)

4 0 4 3m reta tangente r CT m

3

circunferência C 0,0 e

0 3 4

3reta r y 4 x 3 3x 4y 25 0

R

4

5


Determinando o centro e o raio da circunferência. 2 2 2 2 2 2 2x y 8x 8y 16 0 x 8x 16 y 8y 16 16 (x 4) (y 4) 4

O centro é o ponto (4, 4) e o raio mede 4.

Calculando a área do setor de 90 do círculo determinado por esta circunferência, temos:

2

S4

A 44

ππ

Calculando, agora, a área do triângulo ABC.

ABC4 4

A 82

Δ

Portanto, a área do segmento circular pedida é:

S ABCA A A A 4 8 A 4 2Δ π π


a) Como Q é tangente à circunferência C, então o segmento PQ é igual ao raio. Logo:

2 2

r 2 ( 1) 1 5 9 16 25 r 5

b) Como t é tangente à circunferência em Q, sabe-se então que t é perpendicular ao segmento PQ. Assim, os

coeficientes angulares da reta t e do segmento PQ tem a seguinte relação:

tPQ

PQ PQ t

1

5 1 4 3

1 2 3 4

αα

α α α

Assim, a reta t é dada pela equação

3

reta t y 5 x 1 3x 4y 23 04

c) Se o ponto R intercepta o eixo x, então suas coordenadas são do tipo (a, 0). Para encontrar o valor de a, basta

substituir na equação da reta:

23 233a 23 0 a R ,033

Assim, a área S do triângulo PQR é 125/6:






Do enunciado, temos:

2 2

3 1 4 1 17r

3 4

10r

25

10r

5

r 2

Assim, a equação da circunferência acima é:

2 2 2

2 2

2 2

x 1 y 1 2

x 2x 1 y 2y 1 4

x y 2x 2y 2 0


Calculando as coordenadas do centro da circunferência, tem-se:

y 4 3y 12 4y 8 y 2

Centro Circunferência 3,22x 2 4 0 2x 6 x 3

Sabendo-se as coordenadas do centro e o raio, é possível desenhar a circunferência no plano cartesiano. Esta tangencia o

eixo y e corta o eixo x em dois pontos. Logo, a alternativa correta é a letra [E].

Resposta da questão 47:[A]

Sobre as inequações apresentadas: 2 2x y 4 Circunferência de raio 2 e centro na origem.

x y 0 Reta que passa pelo segundo e quarto quadrantes cortando-os diagonalmente, passando também pela

origem. Assim, existirá um segmento de reta pertencente à mesma que é diâmetro da circunferência anterior.

Assim, a região delimitada será um semicírculo de raio 2, ou seja:

22S S 2

2

ππ