Matematika15.wordpress.com
1
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – PROGRAM LINEAR
Nama Siswa : ___________________
Kelas : ___________________
Kompetensi Dasar:
3.7 Memahami konsep sistem persamaan dan
pertidaksamaan linier dua variabel dan menerapkannya
dalam pemecahan masalah program linear.
3.8 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan
masalah program linear terkait masalah nyata dan
menganalisis kebenaran langkah-langkahnya.
3.9 Menganalisis bagaimana menilai validitas argumentasi
logis yang digunakan dalam matematika yang sudah
dipelajari terkait pemecahan masalah program linier.
4.5 Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa
masalah program linear, dan menerapkan berbagai
konsep dan aturan penyelesaian sistem pertidaksamaan
linier dan menentukan nilai optimum dengan
menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan.
A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL
Bentuk Umum:
a1 x + b1 y ≥ c1
SPtLDV
a2 x + b2 y ≤ c2
1. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian SPtLDV
Himpunan penyelesaian dari suatu Sistem Pertidaksamaan
Linear merupakan irisan dari himpunan penyelesaian masing-
masing pertidaksamaan linearnya.
Langkah-langkah dalam menentukan Himpunan SPtLDV
(menggunakan titik uji), yaitu :
a) Gambar garis : ax + by = c, sehingga membagi dua daerah
penyelesaiaan.
Gunakan format:
b) Menyelediki daerah yang merupakan penyelesaiaan dengan
mengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0,0).
c) Subtitusikan titik (0,0) kedalam pertidaksamaan.
Jika hasil benar, maka penyelesaiaannya adalah daerah
yang memuat titik tersebut.
Jika hasil salah, maka penyelesaiaannya adalah daerah
lain yang tidak memuat titik tersebut.
Contoh 1:
Gambarlah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem
pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 6, 5x + 6y ≤ 30 pada tempat yang
tersedia.
Titik uji:
3x + 2y ≥ 6
(0,0) → 3(0) + 2(0) ≥ 6 , benar/salah? ………
5x + 6y ≤ 30
(0,0) → 5(0) + 6(0) ≥ 30 , benar/salah? ………
Grafik Penyelesaian
Matematika15.wordpress.com
2
Catatan:
x ≥ 0 y ≥ 0
Latihan 1
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
3
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
7.
Matematika15.wordpress.com
4
Jawab
2. Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua
Variabel dari Daerah Penyelesaian
Jika diketahui daerah penyelesaian, maka suatu sistem
pertidaksamaan dapat diketahui dengan menentukan terlebih
dahulu persamaan-persamaan garis pada daerah
penyelesaiaan.
Menentukan Persamaan garis:
Latihan 2
1.
Jawab:
2.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
5
3.
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
6
B. PROGRAM LINEAR
Program Linear adalah bagian matematika terapan yang
digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan
(memaksimalkan / meminimumkan) suatu tujuan.
Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif (fungsi
sasaran) adalah fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak
dioptimumkan.
Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan:
Metode titik pojok
Garis selidik
1. metode titik pojok (uji titik)
Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode
titik pojok:
a) Gambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan
b) Tentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah
penyelesaiaan
c) Subtitusikan titik-titik sudut tersebut ke fungsi objektif
d) Tentukan nilai optimum
f(x,y) terbesar → nilai maksimum
f(x,y) terkecil → nilai minimum
Contoh 2:
Jawab:
a)
b) Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.
Titik A: titik potong garis …………………………… dengan
………………………… → titik A (…… , ……)
Titik B adalah titik potong garis ………………………. dengan
…………………………
x + 2 y = 10 X 1 ………………… = ……
3x + y = 15 X 2 ………………… = ……
………. = ……
………. = ……
Dari x = …… maka didapat nilai y = …….
Maka titik B (…… , …….)
Titik C adalah titik potong garis ………………………. dengan
………………………… → titik C (…… , ……)
c) Uji titik (subtitusi) ke fungsi objektif
Titik Pojok (x,y) f(x,y) = 2x + 10 y
A ( ……… , ……… ) ………………………
B ( ……… , ……… ) ………………………
C ( ……… , ……… ) ………………………
d) Menentukan nilai optimum:
Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x,y) =
2x + 10 y adalah ..............................................
2. metode garis selidik: ax + by = k
Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai
maksimum atau minimum dari fungsi objektif f(x,y) = ax + by
adalah dengan menggunakan garis selidik ax + by = k
(disarankan k = ab).
Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode
garis selidik:
Matematika15.wordpress.com
7
Contoh 3:
Jawab:
1) Gambarlah garis:
2x + 3y = (2).(3) ,
anggap sebagai k0
2) - Tarik garis k1 // k0
melewati titik A,
- Tarik garis k2 // k1
melewati titik B,
- Tarik garis k3 // k0 melewati titik (0,0)
3) - Garis paling atas / paling kanan adalah garis ………………
Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik ……………
dengan nilai maksimum ………………
- Garis paling bawah / paling kiri adalah garis ………………
Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik ……………
dengan nilai maksimum ………………
Latihan 3
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
3.
Matematika15.wordpress.com
8
Jawab:
4.
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
9
C. MERANCANG MODEL MATEMATIKA DAN
PENYELESAIAANNYA.
Model matematika adalah suatu hasil interprestasi manusia
dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-
hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu
dapat diselesaikan secara matematis.
Secara umum, langkah-langkah dalam menyelesaikan soal
cerita adalah:
1. merumuskan masalah ke dalam model matematika, yaitu
sistem pertidaksamaan yang mencerminkan masalah
tersebut.
2. menentukan fungsi objektif yang akan ditentukan nilai
optimumnya.
3. menggambar daerah yang akan ditentukan nilai optimunya.
4. menentukan nilai opimum dari fungsi objektif.
Contoh 4:
Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk
jeruk dan mangga. Harga pembelian jeruk adalah Rp.5000/kg
dan mangga Rp.6000/kg. modal yang tersedia Rp. 600.000 dan
gerobaknya hanya mampu memuat 110 kg jeruk dan mangga.
Ia menjual setiap kilogram jeruk Rp.6000 dan mangga
Rp.7000.
a. Tulislah model matematika (sistem pertidaksamaan)
beserta fungsi objektif dari masalah di atas.
b. Gambarkan daerah penyelesaiannya.
c. Tentukan banyaknya jeruk dan mangga yang terjual agar
keuntungan yang diperoleh maksimum.
d. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh
penjual buah tersebut.
Jawab:
Untuk menjawab pertanyaan di atas, lengkapilah titik-titik
berikut.
a. model matematika (sistem pertidaksamaan) masalah di
atas adalah:
x ≥ 0
y ≥ 0
……………………………………….
Dan
……………………………………….
Bentuk fungsi objektif: ……………………………………
b. Gambar daerah penyelesaiaan
c. Dengan uji titik pojok
Titik uji
(x,y)
Bentuk Objektif
f(x,y) = …... x + …... y Nilai Objektif
Maka keuntungan maksimum, penjual harus menjual …………
jeruk dan ……………… mangga.
d. Keuntungan paling besar adalah ………………………
Matematika15.wordpress.com
10
Latihan 4
1.
Jawab:
2.
Jawab:
3.
Jawab:
4.
Matematika15.wordpress.com
11
Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
Matematika15.wordpress.com
12
7.
Jawab:
8.
Jawab: