Matematika15.wordpress.com

1

LEMBAR AKTIVITAS SISWA – PROGRAM LINEAR

Nama Siswa : ___________________

Kelas : ___________________

Kompetensi Dasar:

3.7 Memahami konsep sistem persamaan dan

pertidaksamaan linier dua variabel dan menerapkannya

dalam pemecahan masalah program linear.

3.8 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan

masalah program linear terkait masalah nyata dan

menganalisis kebenaran langkah-langkahnya.

3.9 Menganalisis bagaimana menilai validitas argumentasi

logis yang digunakan dalam matematika yang sudah

dipelajari terkait pemecahan masalah program linier.

4.5 Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa

masalah program linear, dan menerapkan berbagai

konsep dan aturan penyelesaian sistem pertidaksamaan

linier dan menentukan nilai optimum dengan

menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan.

A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

Bentuk Umum:

a1 x + b1 y ≥ c1

SPtLDV

a2 x + b2 y ≤ c2

1. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian SPtLDV

Himpunan penyelesaian dari suatu Sistem Pertidaksamaan

Linear merupakan irisan dari himpunan penyelesaian masing-

masing pertidaksamaan linearnya.

Langkah-langkah dalam menentukan Himpunan SPtLDV

(menggunakan titik uji), yaitu :

a) Gambar garis : ax + by = c, sehingga membagi dua daerah

penyelesaiaan.

Gunakan format:

b) Menyelediki daerah yang merupakan penyelesaiaan dengan

mengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0,0).

c) Subtitusikan titik (0,0) kedalam pertidaksamaan.

Jika hasil benar, maka penyelesaiaannya adalah daerah

yang memuat titik tersebut.

Jika hasil salah, maka penyelesaiaannya adalah daerah

lain yang tidak memuat titik tersebut.

Contoh 1:

Gambarlah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem

pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 6, 5x + 6y ≤ 30 pada tempat yang

tersedia.

Titik uji:

3x + 2y ≥ 6

(0,0) → 3(0) + 2(0) ≥ 6 , benar/salah? ………

5x + 6y ≤ 30

(0,0) → 5(0) + 6(0) ≥ 30 , benar/salah? ………

Grafik Penyelesaian

Matematika15.wordpress.com

2

Catatan:

x ≥ 0 y ≥ 0

Latihan 1

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

3

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

7.

Matematika15.wordpress.com

4

Jawab

2. Menentukan Sistem Pertidaksamaan Linear Dua

Variabel dari Daerah Penyelesaian

Jika diketahui daerah penyelesaian, maka suatu sistem

pertidaksamaan dapat diketahui dengan menentukan terlebih

dahulu persamaan-persamaan garis pada daerah

penyelesaiaan.

Menentukan Persamaan garis:

Latihan 2

1.

Jawab:

2.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

5

3.

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

6

B. PROGRAM LINEAR

Program Linear adalah bagian matematika terapan yang

digunakan untuk memecahkan masalah pengoptimalan

(memaksimalkan / meminimumkan) suatu tujuan.

Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif (fungsi

sasaran) adalah fungsi f(x,y) = ax + by yang hendak

dioptimumkan.

Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan:

Metode titik pojok

Garis selidik

1. metode titik pojok (uji titik)

Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode

titik pojok:

a) Gambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan

b) Tentukan koordinat titik-titik sudut pada daerah

penyelesaiaan

c) Subtitusikan titik-titik sudut tersebut ke fungsi objektif

d) Tentukan nilai optimum

f(x,y) terbesar → nilai maksimum

f(x,y) terkecil → nilai minimum

Contoh 2:

Jawab:

a)

b) Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.

Titik A: titik potong garis …………………………… dengan

………………………… → titik A (…… , ……)

Titik B adalah titik potong garis ………………………. dengan

…………………………

x + 2 y = 10 X 1 ………………… = ……

3x + y = 15 X 2 ………………… = ……

………. = ……

………. = ……

Dari x = …… maka didapat nilai y = …….

Maka titik B (…… , …….)

Titik C adalah titik potong garis ………………………. dengan

………………………… → titik C (…… , ……)

c) Uji titik (subtitusi) ke fungsi objektif

Titik Pojok (x,y) f(x,y) = 2x + 10 y

A ( ……… , ……… ) ………………………

B ( ……… , ……… ) ………………………

C ( ……… , ……… ) ………………………

d) Menentukan nilai optimum:

Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x,y) =

2x + 10 y adalah ..............................................

2. metode garis selidik: ax + by = k

Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai

maksimum atau minimum dari fungsi objektif f(x,y) = ax + by

adalah dengan menggunakan garis selidik ax + by = k

(disarankan k = ab).

Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode

garis selidik:

Matematika15.wordpress.com

7

Contoh 3:

Jawab:

1) Gambarlah garis:

2x + 3y = (2).(3) ,

anggap sebagai k0

2) - Tarik garis k1 // k0

melewati titik A,

- Tarik garis k2 // k1

melewati titik B,

- Tarik garis k3 // k0 melewati titik (0,0)

3) - Garis paling atas / paling kanan adalah garis ………………

Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik ……………

dengan nilai maksimum ………………

- Garis paling bawah / paling kiri adalah garis ………………

Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik ……………

dengan nilai maksimum ………………

Latihan 3

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

3.

Matematika15.wordpress.com

8

Jawab:

4.

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

9

C. MERANCANG MODEL MATEMATIKA DAN

PENYELESAIAANNYA.

Model matematika adalah suatu hasil interprestasi manusia

dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-

hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu

dapat diselesaikan secara matematis.

Secara umum, langkah-langkah dalam menyelesaikan soal

cerita adalah:

1. merumuskan masalah ke dalam model matematika, yaitu

sistem pertidaksamaan yang mencerminkan masalah

tersebut.

2. menentukan fungsi objektif yang akan ditentukan nilai

optimumnya.

3. menggambar daerah yang akan ditentukan nilai optimunya.

4. menentukan nilai opimum dari fungsi objektif.

Contoh 4:

Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk

jeruk dan mangga. Harga pembelian jeruk adalah Rp.5000/kg

dan mangga Rp.6000/kg. modal yang tersedia Rp. 600.000 dan

gerobaknya hanya mampu memuat 110 kg jeruk dan mangga.

Ia menjual setiap kilogram jeruk Rp.6000 dan mangga

Rp.7000.

a. Tulislah model matematika (sistem pertidaksamaan)

beserta fungsi objektif dari masalah di atas.

b. Gambarkan daerah penyelesaiannya.

c. Tentukan banyaknya jeruk dan mangga yang terjual agar

keuntungan yang diperoleh maksimum.

d. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh

penjual buah tersebut.

Jawab:

Untuk menjawab pertanyaan di atas, lengkapilah titik-titik

berikut.

a. model matematika (sistem pertidaksamaan) masalah di

atas adalah:

x ≥ 0

y ≥ 0

……………………………………….

Dan

……………………………………….

Bentuk fungsi objektif: ……………………………………

b. Gambar daerah penyelesaiaan

c. Dengan uji titik pojok

Titik uji

(x,y)

Bentuk Objektif

f(x,y) = …... x + …... y Nilai Objektif

Maka keuntungan maksimum, penjual harus menjual …………

jeruk dan ……………… mangga.

d. Keuntungan paling besar adalah ………………………

Matematika15.wordpress.com

10

Latihan 4

1.

Jawab:

2.

Jawab:

3.

Jawab:

4.

Matematika15.wordpress.com

11

Jawab:

5.

Jawab:

6.

Jawab:

Matematika15.wordpress.com

12

7.

Jawab:

8.

Jawab: