Fakultas TeknikJurusan Teknik SipilUniversitas Brawijaya
MOMEN INERSIA BIDANG (I)
r1
r2
r3
a1
a2a3
2
33
2
22
2
11
2
...
.
rararaI
raI
Jika luas bidang yang diarsir:
a1 = dA1
a2 = dA2
a3 = dA3
Jarak terhadap sumbu y:
r1 = x1
r2 = x2
r3 = x3
Maka momen inersia
terhadap sumbu x:
Maka momen inersia
terhadap sumbu y:
2
xx dA I y2
yy dA I x
Example :
Inersia segiempat terhadap sumbu x melalui titik berat
3333
33
33
2
1
2
1
3
21
21
2
2
.12
1
24
2
24
24
81
381.
3
21
321
3
..3
1
I
b.dy dA
I
t
t
2
1
tbbtbtbt
tbtb
tb
tb
by
dybyx
dAy
t
t
y
yx
dx
dy
y
3333
33
33
21
21
3
2b1
2b1
2
2
.12
1
24
2
24
24
81
381.
3
21
321
3
..3
1
. I
d.dx dA
I2
1
bddbdbdb
bdbd
bd
bd
dx
dxxd
dAx
b
b
y
x
xy
Momen inersia segiempat terhadap sumbu y melalui titik berat
Momen inersia pada penampang berlubang
Momen inersia segiempat
ABCD terhadap sumbu x:
Ixx = 1/12 b d3
Momen inersia segiempat
EFGH terhadap sumbu x :
Ixx = 1/12 b1 d13
Momen inersia segiempat
berlubang:
Ixx = Ixx (ABCD) - Ixx (EFGH)
Ixx = 1/12 b d3 - 1/12 b1 d13
Dengan cara yang sama, Momen inersia segiempat berlubang
terhadap sumbu y :
Iyy = Iyy (ABCD) - Iyy (EFGH)
Iyy = 1/12 d b3 - 1/12 d1 b13
Momen Inersia Penampang Lingkaran
dA = 2π . r . dr
2π . r = keliling sebuah cincin
r = jari-jari cincin
dr = lebar cincin
r2 = x2+y2
4
4
4
0
4
0
4
0
3
0
2
0
2
0
222
00
2
4
1
2
1.
2
1
2
1
2
1
2
1
4
2
2 ) 2(
R
RII I
Rrr
drrdr rrI
I I
dAydAxdAyxdArI
pyx
RR
RR
p
yx
RRRR
p
Momen Inersia Pada Sistem Koordinat Translasi
a & b = koordinat pusat berat Oterhadap sumbu x’y’
sumbu x // sumbu x’sumbu y // sumbu y’
AbbMsIyIy
dAbdAxbdAx
dAxbdAxIy
y .2 '
.2.
. '
2
22
22
AaaMsIxIx
dAadAyadA
dAyadAIx
x .2 '
2y
y' '
2
22
22
x’ = b + xy’ = a + y
Bila:
koordinat X, Y bertitiktangkap pada titik beratpenampang, maka Msx danMsy = 0
.AbIyIy'
.AaIxIx'
2
2
Momen inersia segitiga terhadap sumbu x
dAyx
2I
3
0
3
0
2
22
.12
1penampang)dasar thd(I
.12
1''.
''.
'.'.
.'
''
'
at
atdytttt
aI
ttdytt
ajarakLuas
dytt
adyadALuas
at
ta
t
t
a
a
x
t
x
3
2
3
2
0
.36
1
32.
12
1
Iberat) titik thd(I
attat
at
jarakLuasxx
Tentukan besarnya momen inersia untuk perhitungan teganganlentur dari penampang pada gambar di bawah.
Menentukan titik berat penampang
Berhubung momen inersia yang diinginkan akan dipergunakandalam perhitungan lenturan, maka momen inersia ini haruslahdiperhitungkan terhadap sumbu yang melalui titik berat penampang
KeteranganLuas (A) (mm2)
Jarak titik berat thd. garis bawah y (mm)
A x y (mm3)
Luas Total 40 x 60 = 2400 30 2400 x 30 = 72000
Luas Rongga dalam
-(20 x 30) = -600 35 -600 x 35 = -21000
∑A = 1800 ∑A..y = 51000
dasar dari mm 83,2800.1
000.51
A
A.yy
Momen inersia terhadap sumbu x
untuk luas total
44
4442
0
4422
44
3
3
o
10 . 72,69
10 . 69,010.50,4.
10 . 69,03,28302400.
10 . 7212
60.40..
21
mm
mmyAIIx
mmyA
mmhbI
untuk rongga dalam
44
4442
0
4422
44
3
3
o
10 . 7,19
10 . 69,210.50,4.
10 . 69,23,2835600.
50 . 50,412
30.20..
21
mm
mmyAIIx
mmyA
mmhbI
4 4
44
10 . 65,50
10 . 7,1910 . 72,69
berlubang penampanguntuk I
mm
Dari gambar terlihat bahwa r2 = x2 + y 2
Sehingga rumus momen inersia polar dapat juga ditulis sbb :
dAydAx
dAyxdArIp
22
222
Ip = Ix + Iy
MOMEN INERSIA POLAR :
Hubungan Momen Inersia Polar dan Momen Inersia terhadap sumbux dan y
2
2
bAIycIy
aAIxcIx
baAIyc Ixc
bAaAIyc IxcIp
Iy IxIp
22
22
: maka
: Berhubung
Momen inersia polar nilainya makin besar apabila titik yangditinjau terletak makin jauh dari pusat berat bidang.
Momen Inersia Terhadap Dua Sumbu (Silang) Ixy
Ixy adalah produk inersia terhadap pusat berat bidang yangditinjau. Produk inersia dapat bertanda positif, negatif, ataubernilai 0 tergantung pada letak sumbu x’y’ terhadappenampang tersebut.
A
xy dAxyI
..'' AbaIxyyIx
Sehingga, untuk koordinat translasi:
Produk inersia bernilai o, apabilasalah satu sumbunya merupakansumbu simetris penampang
Jari-jari Inersia (Radius Girasi)
Jari-jari inersia terhadap sumbu x :
Jari-jari inersia terhadap sumbu y:
)(cmA
Ir x
x
)(cmA
Ir
y
y
Ix dan Iy berturut-turut sama dengan momen inersiaterhadap sumbu x dan sumbu y, dan A sama dengan luas bidang.
Suatu penampang pada gambar. Tentukan :1. Momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y dari penampang2. Ixy (produk inersia)
Berhubung sumbu y adalah sumbu simetris, maka
Ixy=0. Sumbu x dan sumbu y adalah sumbu utama.
Penampang dibagi atas 8 bagian.
Titik Berat Penampang
Bagian Luas A (cm2)Jarak terhadap
sumbu x
Momen statis:
A.YLetak sumbu
I 150 x 150 = 2250 7,5 16875
II 150 x 30 = 4500 75+15 = 90 405000
III 15 x 25 = 375 165–12,5 = 152,5 57187,5
IV 375 152,5 57187,5
V ½ (15) (15) = 112,5 165-25-1/3.15=135 57187,5
VI 112,5 135 57187,5
VII ½ (20) (20) = 200 15+1/3(20)=21,67 4334
VIII 200 21,67 4334
Total 8125 Total 575293
A
Ayy
8125
575293y
81,70y
0
9.536,86235
969900326.1
Ixy
. Iy
,.Ix
sumbu x dan sumbu y membagipenampang sama besar,sehingga sumbu x dan sumbu ydisebut sumbu simetri. Jika suatupenampang mempunyai sumbusimetri, maka sumbu tersebut dansumbu lainnya yang tegak lurussumbu tersebut disebut sumbuutama.
Produk inersia suatu penampang sama dengan nol jikasedikitnya satu sumbu merupakan sumbu simetri. Sehinggadapat disimpulkan bahwa produk inersia sama dengan nol dansumbu utama (Ix’y’=0)
sumbu X dan Y bukan sumbu utama sehingga Ixy ≠ 0. Untukmenentukan sumbu utama, X dan sumbu Y dirotasikan sebesarø sehingga menjadi sumbu X’ dan Y tidak semua sumbuutama menjadi sumbu simetri.
Menentukan momen inersia utama Ix’ dan Iy’ serta sudut putar ø
Ordinat titik berat elemen A terhadap sumbu X’ dan Y’ adalah (x’;y’)
øxøyAC
øABAD
CDADAC
xAFyAC
sincos
sin
';'
y’ = y cos ø – x sin ø
øyøxAF
øyøABBDEC
øx
øOBOE
ECOEOCAF
sin cos
sin sin
cos
cos
x’ = x cos ø – y sin ø
Syarat sumbu utama :
øIyIxøIxy
yIx
2sin2
1cos2 o
o''
IxIy
Ixyøtg
22
øtgø
øtg
øtgø
21
12cos
21
22sin
2
2
xyIIxIyIyIxIy 22
21
21'
o'' yIx
Sumbu x’ dan y’ adalah sumbu yang saling tegak lurus dimanamomen inersia dari sumbu tersebut mempunyai harga maximum dan minimum.
xyIIxIyIyIxIx 22
21
21'
xyIIyIxIyIxI
xyIIyIxIyIxI
22
min
22
max
21
21
21
21
Suatu penampang seperti pada gambarTentukan :1. Letak titik berat penampang tersebut2. Imax & Imin3. Letak sumbu utama
Menentukan titik berat penampang
0
0
4
min
4
2
2
2
2
max
1,12
1,12933,48673,187
2,672
2
12
2
1
332,173164337,332
501,332164337,332
2,672
187,73486,933
2
187,73486,933
22
ø
øarctgIxIy
Ixyarctgø
cmI
cm
IxyIyIxIyIx
I
Recommended
