Kolmé hranoly- povrch a objemMatematika – 7. ročník
Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod TřemšínemEfektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka
projekt v rámci Operačního programuVZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST
Obsah: Tělesa kolem nás Kvádr a krychle –
opakování (5) základní pojmy objem povrch síť
Kolmé hranoly (11) základní pojmy sítě
Povrch hranolu (20) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení
Objem hranolu (27) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení
Hmotnost tělesa (37) příklady na procvičení
Přehled vzorců
Vyhledej tělesa na obrázku
Tělesa kolem nás
Kvádr ABCDA´B´C´D´ - základní pojmy (opakování)
8 vrcholů: A,B,C,D, A´,B´,C´,D´
6 stěn: 2 podstavy
dolní ABCD horní A´B´C´D´
A
D C
a B
D´ C´
A´
b
c=v
a délka podstavné hranyb šířka podstavné hranyc = v výška kvádru
= délka bočních hran (vzdálenost podstav)
4 boční stěny ABB´A´ DCC´D´ BCC´A´ ADD´A´ 12 hran
podstavné: AB, BC, CD, AD, A´B´, B´C´,C´D´, A´D´
boční: AA´, BB´, CC´,DD´ 12 stěnových úhlopříček 4 tělesové úhlopříčky: AC´, BD´,
CA´, DB´
B´
Objem kvádru a krychle - opakování
Krychle
V = a.b.cV = a.b.c V = a.a.aV = a.a.a
Kvádr
1 cm1 cm33
V = 4.2.6V = 4.2.6V = 48 cmV = 48 cm33 V = 3.3.3V = 3.3.3
V = 27 cmV = 27 cm33 a = 4 cm
b = 2 cm
c = 6 cm
a = 3 cma = 3 cm
a = 3 cm
Krychle - opakování 8 vrcholů 6 stěn 12 hran
A
C
a B
D´ C´
A´ B´
a délka hrany krychle
a
a
objemV = a.a.aV = 2.2.2V = 8 cmV = 8 cm33
povrchS = 6.a.aS = 6.2.2S = 24 cmS = 24 cm22
stěnové úhlopříčky tělesové úhlopříčky
Vypočti objem a povrch, je-li a= 2 cm.
a a a
a
a
a
aD
objemV = a.b.cV = a.b.c
a=7,5 cmb=4 cm
c=v = 12 cm
a=7,5a=7,5
b=4 cm
b=4 cm b=4 cm
c=v = 12 cm12 cm
V = 7,5.4.12V = 360 cm3
povrchS = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12)S = 2.(30+48+90)S = 336 cm2
síť
S=a.b
S=a.b
S=b.c S=b.cS=a.cS=a.c
Kvádr má rozměry 7,5 cm, 4 cm a 12 cm. Narýsuj síť, vypočti objem a povrch.
1. Pojmenuj toto těleso.2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš?
Uveď vzorec.3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec.
1.1. Krychle.Krychle.
2.2. 6 stěn tvaru 6 stěn tvaru čtverce.čtverce.
V = a.a.aV = a.a.a
S = 6.a.aS = 6.a.a
1. Pojmenuj toto těleso.2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš?
Uveď vzorec.3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec.
1.1. KvádrKvádr2.2. 6 stěn – 3 dvojice 6 stěn – 3 dvojice
různých obdélníků.různých obdélníků.
V = a.b.cV = a.b.c
S = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(a.b + b.c + a.c)
3.3. Vynásobíme všechny 3 rozměry.Vynásobíme všechny 3 rozměry.
Kolmé hranoly
podstavy hranolu jsou 2 shodné mnohoúhelníky
boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce
výška = délka kterékoliv boční hrany
= těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy.
Pravidelný hranol podstavy - pravidelné shodné mnohoúhelníky boční stěny - shodné obdélníky
Kolmý hranol
Trojboký kolmý hranol s podstavou
v
c
ab
abc
vA
C
B
A´
C´
B´ horní podstava
podstavy hranolu jsou 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC a A´B´C´
vlastnosti kolmého hranolu:
výška = délka kterékoliv boční hrany
boční stěny tvoří 3 obdélníky = plášť
= těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy.
kolmý hranol
dolní podstava
vv
Které z těles nepatří mezi kolmé hranoly?
12
34 5
67
8
9
10
11 1213 15
159 11
Pojmenuj těleso s touto sítí
čtyřboký hranol s podstavou kosodélníkčtyřboký hranol s podstavou kosodélník
Pojmenuj těleso s touto sítí
pravidelný šestiboký hranolpravidelný šestiboký hranol
Pojmenuj těleso s touto sítí
pravidelný trojboký hranol pravidelný trojboký hranol (podstava rovnostranný trojúhelník)(podstava rovnostranný trojúhelník)
Pojmenuj těleso s touto sítí
čtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžníkčtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžník
Vypočti povrch kvádru jiným způsobem.
a=7,5 cmb=4 cm
c=v = 12 cm
a=7,5a=7,5
b=4 cm
b=4 cm b=4 cm
c=v = 12 cm
S = 2.(7,5.4) + 23.12S = 2.30+ 276S = 336 cm2
op=23 cm
plášť
podstava
podstava
povrch = obsah 2 podstav + obsah pláštěpovrch = obsah 2 podstav + obsah pláště
S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12)S = 2.(30+48+90)S = 336 cm2
Porovnej:
Využij sítě a vypočti obsah bočních stěn (4 obdélníků) najednou jako obsah velkého obdélníku, který tvoří plášť.
SSpp
vv
SSpp
Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, odvození vzorce na výpočet povrchu hranolů
Povrch = součet obsahů všech stěn (obsah sítě)a
a
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSplpl= o= opp.v.v S = 2.a.a + 4.a.vS = 2.a.a + 4.a.vSSplpl...... obsah pláště...... obsah pláště
SSpl pl = o= opp.v = 4.a.v.v = 4.a.v
SSpp
SSpp
a a aa
a
v
SSpp...... obsah podstavy...... obsah podstavy
v
Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláštěPovrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště
aSSp p =a.a=a.a
Povrch hranoluPovrch hranolu S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSpp
SSplpl
SSplpl = o = opp.v.v
= obsah 2 podstav + obsah pláště= obsah 2 podstav + obsah pláště
SSpp...... obsah podstavy...... obsah podstavySSplpl...... obsah pláště (obvod ...... obsah pláště (obvod
podstavy vynásobíme podstavy vynásobíme výškou hranolu)výškou hranolu)
SSpp
SSpp
Spl
SSpp
SSpp
Spl
SSpp
SSpp
Spl
SSpp
SSpp
Spl
SSpp
SSpp Spl
Povrch trojbokého hranolu s podstavouPovrch hranolu = součet obsahů všech jeho stěn (obsah sítě).
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl SSplpl = o = opp.v.v
Spl= (a+b+c).vS = a.b + (a+b+c).v
a
ab
b c
v
Sp= 2.ba
C´podstava
podstava
plášťv
c
ab
A
C
B
A´ B´
SSpp
SSpp
SSplpl= o= op.p.vv
Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláštěPovrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště
Vypočti povrch trojbokého hranolu s podstavou pravoúhlý trojúhelník o rozměrech a=3 cm, b=4 cm a c=5 cm. Výška tělesa je 6 cm.
v=6 cm
S = 2.SS = 2.Spp + S + SplplSSpl pl = o= opp.v.v
SSpp = a.b:2 = a.b:2
c=5 cm
a=3 cmb=4 cm a=3
a=3b=4
b=4 c=5
v=6
podstava
podstava
plášťSSplpl
Povrch trojbokého hranolu je 84 cm2.
Spl= (3+4+5).6Spl =12.6Spl = 72 cm2
Sp= 3.4:2Sp= 6 cm2
S = 2.6 + 72S = 84 cmS = 84 cm22
SSplpl = (a+b+c).v = (a+b+c).v
SSpp
SSpp
Př.:
Vypočti povrch čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník (základna a=2,5 cm a c=1 cm, ramena b=d=1,5 cm a výška va=1,4 cm). Výška tělesa je 2,6 cm.
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
a=2,5 cm
S = 2.2,45 + 16,9 S = 4,9 + 16,9S = 21,8 cmS = 21,8 cm22 Povrch hranolu je 21,8 cm2.
c=1 cmb=1,5 cm
d=1,5 cmva=1,4 cm
podstava
v=2,6
a=2,5b=1,5 d=1,5c=1
SSplpl= (a+b+c+d).v= (a+b+c+d).vplášť
Sp = (a+c).vSp = (a+c).va a : 2: 2 SSpl pl = o= opp.v.vSpl= (2,5+1,5+1+1,5).2,6Spl =6,5.2,6Spl = 16,9 cm2
Sp= (2,5+1).1,4:2Sp= 4,9:2Sp= 2,45 cm2
Př.:
v=2,6 cmpodstava
Př.: Ptačí budka má tvar kolmého čtyřbokého hranolu s podstavou pravoúhlého lichoběžníku. Vypočítej povrch. Rozměry jsou uvedené na obrázku.
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
a=46 cm
S = 2.960 + 3144 S = 1920 + 3144S = 5064 cmS = 5064 cm22
Povrch budky je 50,64 dmPovrch budky je 50,64 dm22..
SSpp = (a+c).v = (a+c).va a : 2: 2
SSpl pl = o= opp.v.v
Spl= (46+27+34+24).24Spl =131.24Spl = 3 144 cm2
Sp= (46+34).24:2Sp= 80.24:2Sp= 1920:2 Sp= 960 cm2
b=27 cm
c=34 cmd=v=24 cm
d=24 cm
Slovní úlohy na procvičení1. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a
jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm.
2. Hranol má výšku 9 cm, jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník se základnou c = 16 cm, vc = 6 cm a délkou ramen a =b = 10 cm. Vypočti povrch hranolu.
3. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je rovnoramenný lichoběžník s délkami základen 25 cm a 13 cm, délkou ramene 10 cm a výškou 8 cm.
S = 1600 cmS = 1600 cm22
Sp= 16.6:2Sp= 48 cm2
Spl= (16+10+10).9Spl =324 cm2
S = 2.48 + 324S = 420 cmS = 420 cm22
Sp= (25+13).8:2 Sp= 152 cm2
Spl= (25+13+10+10).21Spl =1218 cm2
S = 2.152 + 1218S = 1522 cmS = 1522 cm22
řešení
Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm.
va=8 cma=16 cm
v=21 cm
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSpl pl = o= opp.v.v
SSpp = a.v = a.vaa
Povrch hranolu je 1 600 cmPovrch hranolu je 1 600 cm22..
Spl= 4.16.21Spl =1 344 cm2
Sp= 16.8Sp= 128 cm2
S = 2.128 + 1344S = 256 cm2 S = 1600 cmS = 1600 cm22
SSplpl = 4.a.v = 4.a.v
zpět
1.
Objem hranolu
SSpp
SSpp
vv
V = SV = Spp . v . v SSpp = 4.3 + 4.2 = 4.3 + 4.2SSpp = 12 + 8 = 12 + 8 SSpp = 20 cm= 20 cm22 V = 20 cmV = 20 cm22 . 6 cm . 6 cm
V = 120 cmV = 120 cm33
a1 = 4 cmb2 = 2 cm
a2 = 4 cm
v1 = v2 = = 6 cm
b1 = 3 cm
V = VV = V11 + V + V22
V = 4.3.6 +4.2.6 V = 4.3.6 +4.2.6 V = 72 + 48V = 72 + 48V = 120 cmV = 120 cm33
1 cm1 cm33
Objem hranolu V = SV = Spp . v . v
SSpp
SSpp SSpp
SSpp
v v v v v v v v
v v
v v v .... výška v .... výška (délka boční hrany)(délka boční hrany)
- obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu- obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu
SSpp .... obsah .... obsah podstavypodstavy
SSppSSpp
Objem trojbokého hranolu
V = .vV = .v2.ba
a
v
b
s podstavou pravoúhlý trojúhelník
V = SV = Spp . v . v
V = .vV = .v2. ava
avva
s podstavou rovnoramenný trojúhelník
Vypočti objem trojbokého hranolu s tělesovou výškou v = 10 cm a s podstavou tvaru trojúhelníku se stranou a = 7 cm a příslušnou výškou va = 4,6 cm.
72/1
v=10 cm
va=4,6 cma=7 cm
V = 7.2,3 . 10V = 161 cm3
V = SV = Spp . v . v
V = .vV = .v2. ava
V = . 1026,4.7
Objem trojbokého hranolu je 161 cmObjem trojbokého hranolu je 161 cm33..
Kůň potřebuje za rok 42 q sena. K jeho uskladnění je potřeba asi 80 m3 prostoru. Vešlo by se seno na půdu pod sedlovou střechou, která je široká 5 m a od podlahy k hřebenu měří 4 m. Domek je dlouhý 15 m.
v=15 mva=4 m
a=5 m
V = 10.15V = 150 m3
V = SV = Spp . v . v
V = .vV = .v2. ava
V = .1524.5
Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy je 150 mje 150 m33..
Objem čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník
V = SV = Spp . v . va
v
va
c
vc
a
va
V = . vV = . v
2
. avca
a
c
va
v
Kolik litrů vody se vejde do nádrže na dešťovou vodu znázorněnou na obrázku?
80 cm
60 cm
1,5 m
50 cm
PS 56/5
V = . 15
2
5.68
V = 35 .15
V = 525 dm3
V = 525 lV = 525 l
Do nádrže se vejde 525 litrů vody.Do nádrže se vejde 525 litrů vody.
V = . v
2
. avca
V = SV = Spp . v . v
Slovní úlohy na procvičení
1. Vypočítej objem hranolu, který má výšku 2 dm a jehož podstavou je lichoběžník s délkami základen 2,3 m a 1,7 m a výškou 0,8 m.
2. Hranol má výšku 4 dm, jeho podstavou je rovnoběžník s délkou strany 30 cm a výškou k této straně 20 cm. Vypočti objem hranolu.
3. Přes zaplavovanou oblast povede cesta po náspu. Násep bude dlouhý 1,5 km a bude mít v příčném řezu tvar rovno-ramenného lichoběžníku s délkami základen 12 m a 8 m a výškou 2 m. Vypočítej objem materiálu potřebného ke stavbě náspu.
V = (2,3+1,7).0,8:2.0,2V = 1,6.0,2V =V = 0,32 m0,32 m33 = 320 dm = 320 dm33
V = 3.2.4V =V = 24 dm24 dm33
V = (12+8).2:2.1500V = 20.1500V =V = 30 000 m30 000 m33
řešení -1.příklad
řešení -2.příklad
řešení -3.příklad
Vypočítej povrch (v dm2) a objem (v litrech) pravidelného čtyřbokého hranolu s tělesovou výškou v = 12 cm a s podstavou tvaru kosočtverce s délkou strany a = 10 cm a výškou k ní příslušnou va = 9,4 cm.
va=9,4 cma=10 cm
v=12 cm
73/3
V = 1128 cm3 = 1,128 dm1,128 dm33
V = a.va.vV = 10.9,4.12
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSpl pl = o= opp.v.v
SSpp = a.v = a.vaa
Povrch hranolu je 6,68 dmPovrch hranolu je 6,68 dm22 a objem 1,128 a objem 1,128 litrů.litrů.
Spl= 4.10.12Spl =480 cm2
Sp= 10.9,4Sp= 94 cm2
S = 2.94 + 480S = 668 cm2 S = 6,68 dmS = 6,68 dm22
SSplpl = 4.a.v = 4.a.v
1. Pojmenuj toto těleso.2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš?
Uveď vzorec.3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec.
3.3. Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa.Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa.
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
V = SV = Spp . v . v V = .vV = .v2. ava
1.1. Trojboký kolmý hranol.Trojboký kolmý hranol.
2.2. Obsah 2 podstav a pláště.Obsah 2 podstav a pláště.
Hmotnost tělesa objem tělesa vynásobíme hustotou látky
tělesa
m = V . m = V . ρρ
m .... hmotnost tělesa
V ..... objem tělesa
ρ ..... hustota látky tělesa
Slovní úlohy na procvičení1. Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a
tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3?
2. Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vyroben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost.
3. Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Kolik si jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m3.)
PS 56/4
PS 57/7
řešení
řešení
řešení
Příklad 1
a=1,2 m
b=1,4 m
t=v=0,005 m
V = a.b.cV = a.b.c
V = 1,2.1,4.0,005
V = 0,0084 m3
Střepy mají hmotnost 21,84 kg.Střepy mají hmotnost 21,84 kg.
m = V . m = V . ρρ
m = 0,0084.2600m = 21,84 kgm = 21,84 kg
rozměry vyjádříme v m
Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3?
zpět
Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vy-roben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost.
2,6 cm3 cm
3 cm4 cm
V = 3.1,3. 4
V = 15,6 cm3
Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g.Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g.
V = . v 2
. ava
V = .4
26,2.3
m = V . m = V . ρρ
m = 15,6 . 3,6
m = 56,16 gm = 56,16 g
V = SV = Spp . v . v
PS 56/4
3 cm
Příklad 2
zpět
Příklad 3
20 cm20 cm
15 cm80 cm
V = 0,35 .0,1.0,8
V = 0,028 m3 x = 6 obrubníkůx = 6 obrubníků
Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků.Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků.
V = . v
2
. avca
V = .0,8
2
2,0.15,02,0
m = V . m = V . ρρm = 0,028 . 2100m = 58,8 kg
x = 400:58,8x = 6,8
PS 57/7
V = SV = Spp . v . v zpět
Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Jeho délka je 80 cm. Kolik jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m33.)
Pravidelný čtyřboký hranol
V = SV = Spp . v . v
SSpp
v v V = a.a.vV = a.a.v
S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSpp= a.a= a.a
S = 2.a.a + 4.a.vS = 2.a.a + 4.a.v
v v
SSpp
SSplpl= o= opp.v.v
SSplpl= 4.a.v= 4.a.v
V = a.vV = a.vaa.v.v
S = 2.a.vS = 2.a.vaa + 4.a.v + 4.a.v
SSpp= a.v= a.vaa SSplpl= 4.a.v= 4.a.v
s podstavou čtverec
s podstavou kosočtverec
objem povrch
HranolyV = SV = Spp . v . v S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl
SSplpl= o= opp.v.v
SSplpl= (a+b+c).v= (a+b+c).v
S = (a+c).vS = (a+c).vaa + (a+b+c+d).v + (a+b+c+d).v
SSpp= = (a+c).v(a+c).va a : 2: 2
SSplpl= (a+b+c+d).v= (a+b+c+d).v
s podstavou trojúhelník
s podstavou lichoběžník
SSpp
v v
V = .vV = .v2. ava
V = .vV = .v
2
. avca
SSpp = = 2. ava
S = a.va + (a+b+c).vSSpp v v
objem povrch
Kolmé hranoly- povrch a objem: matematika 7. ročník ZŠ
Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP Professional MS Office učebnice matematiky pro 7. ročník Zoner - České kliparty 1, 2, 3
Autor: Mgr. Bohumila ZajíčkováZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.zsrozmital.cz)