INTEGRAL PERMUKAAN
INTEGRAL LUAS Diberikan permukaan S
dalam ruang, untuk S yang terbuka (bermuka dua), vektor tegak lurus S memiliki dua arah, arah positif dan negatif
Sebuah vektor satuan n disebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya keatas dalam kasus ini.
DS1
n
Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya sebuah vektor permukaan dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n (normal) sehingga vektor permukaan dS adalah :
dS = n dS
DS1
n
Sehingga integral permukaan (fluks) akibat sebuah skalar fungsi (medan vektor Q) pada sebuah permukaan S adalah :
SS
dSnQdQ .S.
Untuk menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksikan S pada salah satu bidang koordinat, kemudian menghitung integral lipat dua dari proyeksinya.
y
x
z
D S
D D1
D D3
D D2
k n
k n D maka
xy)bidang pada (Proyeksi k n kS D
xz)bidang pada (Proyeksi j n jS D
yz) bidang pada (Proyeksi i n iS D: dimana
)kD( )jD( )iD( S:koordinat bidang dalamkan diproyeksidapat S
n S
3
3
2
1
321
D
D
DDD
DDD
DDD
DDDDD
DD
dydxS
S
S
S
S
Misalkan Sampel mempunyai proyeksi R pada bidang xy, xz dan yz maka integral permukaan :
RS
RS
RS
indydznQdSnQ
jndxdznQdSnQ
kndxdynQdSnQ
y
x
z
D S
D D1
D D3
D D2
Untuk permukaan f(x,y,z)=C, maka f merupakan vektor tegak lurus permukaan f(x,y,z)=C
ffn
kzfj
yfi
xffk
zj
yix
f
Contoh
Hitunglah integral permukaan dengan Q = xy i - x2 j + (x+z) k dan S adalah bagian bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama
y
x
z
6
3
3
n
dS
622 zyx
x
y
3
3
0
dxdy
xy 3
RS
SS
kndxdyyxxxydSnQ
dSyxxxydSnQ
PermukaanIntegral
yxxxyzxxxynQ
kjikzxjxixynQ
kjikjin
kjizyx
622231
622231
:
622231)(22
31
)31
32
32())( (
31
32
32
122
2222)622( S
:adalah S pada Normal
2
2
22
2
222
427)62(
6222
316222
31
622231
30
3
0
222
3
0
3
0
2
2
2
dxyyxyyxxy
dydxyxxxy
dxdyyxxxy
kndxdyyxxxydSnA
x
x
y
R
RS
x
y
3
3
0
dxdy
xy 3
INTEGRAL VOLUME
Integral Volume (ruang) akibat sebuah medan(A) pada sebuah permukaan tertutup didalam ruang yang menutupi sebuah volume V adalah :
dxdy dz RV
AdVA
DzDx
Dy
x
y
z
Contoh
Diberikan A = 45 x2y dan V merupakan volume ruang tertutup yang dibatasi oleh bidang 4x + 2y + z = 8, x=0 y=0 z=0 hitunglah integral volumenya
y
x
z
8
2
4
dxyxyxx
dydxyxyxx
dydxyxyx
dydxyzx
dzdydxyx
dzdydxyxdVA
x
x
x
x
y
x
x
y
yx
x
x
y
x
x
y
yx
z
VV
24
0
2
0
3222
2
0
24
0
222
2
0
24
0
2
2480
22
0
24
0
22
0
24
0
248
0
2
)32)2(2( 45
)2)48(( 45
)248( 45
45
45
45
y
x
z
8
2
4
128)24(3145
))24(32)24)(2(2( 45
)32)2(2( 45
2
0
32
2
0
3222
24
0
2
0
3222
dxxx
dxxxxxx
dxyxyxxdVA
x
x
xV