Departamento de Engenharia Civil
INFLUÊNCIA DA RESISTÊNCIA DOS BETÕES LEVES NA CAPACIDADE DE ROTAÇÃO PLÁSTICA EM
VIGAS Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em
Construção Urbana
Autor
Tiago Alexandre Dias Simões
Orientadores
Prof. Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo Instituto Politécnico de Coimbra
Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Mestre Hugo Sérgio Sousa Costa
Instituto Politécnico de Coimbra Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Coimbra, Novembro, 2011
Agradecimentos
Tiago Simões iii
Agradecimentos
Agradeço ao Professor Doutor Ricardo Carmo, pelos conhecimentos que durante toda a minha
formação me facultou. Foi com grande apreço que desenvolvi o meu trabalho sob a sua
orientação. Obrigado pelos incentivos e conselhos prestados, fundamentais para a realização
desta investigação.
Agradeço também ao Professor Hugo Costa, que enriqueceu o conteúdo deste projecto com a
sua presença. Um obrigado pelo agradável ambiente de trabalho criado e pelo contributo que
prestou durante a execução deste trabalho.
Gostava de agradecer ao Professor Engenheiro Jorge Lourenço, por facultar as instalações do
Laboratório de Materiais de Construção. Ao técnico António Amaral gostaria de deixar uma
nota de consideração, pelo tempo despendido e pela alegria proporcionada.
Ao Instituto Superior de Engenharia de Coimbra, em particular ao Departamento de
Engenharia Civil, por me dar a oportunidade de desenvolver um projecto de carácter
experimental. Aos docentes que nele leccionam e que presenciaram a realização deste
trabalho dedico uma palavra de gratidão. Ao CIEC da FCTUC pelo apoio financeiro que
forneceu.
Aos técnicos Sr. Abílio e Sr. Cruz do ISEC, pela colaboração na montagem dos equipamentos
no Laboratório de Estruturas e pelo fabrico de acessórios essenciais ao trabalho.
Aos meus colegas de mestrado, Bruno, Cátia, Diogo e Tiago, dirijo o meu obrigado, pela
ajuda proporcionada e pelos momentos partilhados.
Um agradecimento aos meus Pais e ao meu irmão Ricardo, pela orientação, carinho e
companhia que me deram no meu percurso de vida.
Com grande afeição agradeço à Ana, pelas palavras certas nos momentos certos e pelo apoio
que me deu durante todo este tempo.
Por fim um agradecimento a todos os que estiveram envolvidos neste projecto. Obrigado pela
amizade demonstrada e pelos momentos de convivência fantásticos.
Resumo
iv
Resumo
As primeiras utilizações de betão estrutural de agregados leves (BEAL) remontam aos tempos
antigos. Nessa época, os povos do Império da Babilónia e mais tarde os povos Gregos e
Romanos, utilizaram este material na construção de obras magníficas, recorrendo a agregados
leves naturais. No início do século XX, com o desenvolvimento de agregados leves artificiais,
produzidos através de argila e xisto expandidos, o BEAL sofreu um grande desenvolvimento
tecnológico, possibilitando a produção de betões de elevada resistência e reduzida densidade.
A análise da capacidade de rotação plástica das vigas de betão armado é fundamental para
prevenir e evitar a ocorrência de uma rotura frágil e para a prevenção de colapsos estruturais.
A resistência do betão à compressão é um dos parâmetros que podem ter influência na
evolução da capacidade de rotação plástica. Nos últimos anos têm havido bastantes trabalhos
de investigação sobre a ductilidade e capacidade de rotação plástica de estruturas produzidas
com betões de densidade normal (BDN). Contudo, para estruturas produzidas com BEAL,
este estudo não está muito desenvolvido.
Neste trabalho analisa-se a influência da resistência do betão à compressão na capacidade de
rotação plástica de vigas de BEAL armado. Para tal, foi desenvolvido um programa
experimental, que contemplava o ensaio de seis vigas simplesmente apoiadas, carregadas com
forças simétricas, aproximadamente nos terços do vão, até à rotura. Através da análise dos
dados recolhidos durante os ensaios foi possível observar que, para uma determinada taxa de
armadura de tracção, o aumento da resistência do betão à compressão possibilitou uma maior
capacidade de deformação das vigas ensaiadas. Consequentemente, parâmetros como a
curvatura, os índices de ductilidade e a rotação plástica são também afectados, sendo
previsível que estes se correlacionem em concordância com a resistência do BEAL à
compressão.
Palavras-Chave: BEAL, ductilidade, curvatura, ensaio, resistência, rigidez, rotação plástica,
viga.
Abstract
Tiago Simões v
Abstract
The first applications of lightweight aggregate concrete (LWAC) are known from the ancient
times. At that period, the people of the Babylon Empire, and later the Greeks and the Romans,
used this material in the construction of magnificent structures, using natural lightweight
aggregates. At the beginning of the 20th
century, with the development of artificial lightweight
aggregates, produced through expanded clay and shale, the LWAC suffered a great
technological development, making possible the production of high strength and reduced
density concrete.
The analysis of the plastic rotation capacity of the beams produced with reinforced concrete is
essential to avoid the occurrence of a fragile rupture and to prevent structural failures. The
compressive strength of the concrete is one of the parameters that may have influence in the
evolution of the plastic rotation capacity. In recent years, some research works focused on the
ductility and plastic rotation capacity of structures, produced with reinforced normal weight
concrete (NWC), has been performed. However, for structures produced with reinforced
LWAC, this study is not as developed.
In this work, the influence of the concrete compressive strength on the plastic rotation
capacity of reinforced LWAC was analyzed. Therefore, an experimental program was
developed, which included the test of six simply supported beams loaded with symmetrical
forces, approximately at the thirds of the span, until the failure. Through the analysis of the
collected data during the tests, it was possible to observe that, for a given rate of tensile
reinforcement, the increase of the concrete compressive strength contributed to the increase of
the deformation capacity of the tested beams. Consequently, parameters related with the
curvature, the ductility and the plastic rotation, are also affected, being expected that these
parameters can be correlated in accordance with the LWAC compressive strength.
Keywords: beam, curvature, ductility, LWAC, plastic rotation, stiffness, strength, test.
Índice
Tiago Simões vii
Índice
Agradecimentos iii
Resumo iv
Abstract v
Índice vii
Índice de Figuras xi
Índice de Quadros xvi
Simbologia e Abreviaturas xvii
Capítulo 1 – Introdução 1
1.1. Enquadramento do Tema 1
1.2. Objectivos Propostos 2
1.3. Organização do Trabalho 2
Capítulo 2 – Betões Estruturais de Agregados Leves 5
2.1. Breves Notas Históricas e Aplicações 5
2.1.1. Império da Babilónia e Civilização Indus Valley 5
2.1.2. Império Romano 5
2.1.2.1 Coliseu de Roma 6
2.1.2.2. Panteão de Roma 6
2.1.3. Século XX 7
2.1.3.1. Edifícios de Grande Altura 8
2.1.3.2. Pontes 8
2.1.3.3. Estruturas Pré-fabricadas 10
2.1.3.4. Plataformas Offshore 10
2.1.3.5. Reforço e Reabilitação Estrutural 11
2.1.3.6. Outras Aplicações 12
2.2. Propriedades dos BEAL 12
2.2.1. Resistência à Compressão 13
2.2.2. Resistência à Tracção 14
2.2.3. Massa Volúmica 15
2.2.4. Módulo de Elasticidade 15
Índice
viii
2.2.5. Retracção 17
2.2.6. Fluência 18
2.3. Vantagens e Desvantagens da Utilização de BEAL 19
Capítulo 3 – Ductilidade e Rotação Plástica 21
3.1. Generalidades 21
3.2. Factores que Influenciam a Capacidade de Rotação Plástica 22
3.2.1. Relação x/d 25
3.2.2. Taxa de armadura de tracção 25
3.2.3. Taxa de armadura de compressão 26
3.2.4. Resistência do betão à compressão 27
3.2.5. Resistência e ductilidade das armaduras 29
3.2.6. Aderência e pormenorização das armaduras 30
3.2.7. Esbelteza da viga 32
3.2.8. Efeito do esforço transverso 33
3.2.9. Taxa de armadura transversal 34
3.2.10. Largura dos apoios e do ponto de aplicação da carga e velocidade do
carregamento 35
3.3. Considerações Finais 35
Capítulo 4 – Programa Experimental 37
4.1. Introdução 37
4.2. Caracterização das Vigas de Ensaio 37
4.3. Composição e Caracterização dos BEAL 42
4.3.1. Constituintes dos BEAL 42
4.3.1.1. Ligantes 42
4.3.1.2. Agregados 43
4.3.1.3. Adjuvantes e Água 44
4.3.2. Composição dos BEAL 45
4.3.3. Propriedades do betão 45
4.3.3.1. Módulo de elasticidade 46
4.3.3.2. Massa volúmica 47
4.3.3.3. Resistência à compressão 47
Índice
Tiago Simões ix
4.3.3.4. Resistência à tracção 47
4.4. Caracterização do Aço 49
4.5. Produção das Vigas 51
4.6. Descrição dos Ensaios 53
4.7. Instrumentação 57
4.7.1. Instrumentação Exterior 57
4.7.2. Aquisição de Dados 58
Capítulo 5 – Análise de Resultados 61
5.1. Introdução 61
5.2. Comportamento das Vigas até à Plastificação das Armaduras 61
5.2.1. Análise do Momento de Fendilhação 61
5.2.2. Determinação da Carga de Cedência 65
5.3. Carga Máxima e Tipo de Rotura 69
5.3.1. Previsão da Carga Máxima 69
5.3.2. Relação Momento Máximo/Momento de Cedência 71
5.3.3. Relação Momento Máximo/Momento de Cálculo 72
5.3.4. Fendilhação e Tipo de Rotura 73
5.4. Relação Carga-Deslocamento 78
5.5. Relação Momento-Curvatura 80
5.5.1. Evolução da Rigidez com a Carga 87
5.5.2. Evolução da Relação x/d com o Momento 90
5.6. Ductilidade e Rotação Plástica 94
5.6.1. Índices de Ductilidade 94
5.6.2. Rotação Plástica 96
Capítulo 6 – Considerações Finais e Estudos Futuros 99
6.1. Introdução 99
6.2. Principais Conclusões 99
6.3. Recomendações de Estudos Futuros 101
Referências Bibliográficas a
Anexo A – Boletins de Ensaio d
Anexo B – Momento de Fendilhação j
Índice
x
Anexo C – Carga de Cedência q
Anexo D – Previsão da Carga Máxima u
Anexo E – Determinação da Curvatura z
Anexo F – Rigidez em Estado I e Estado II ee
Índice de Figuras
Tiago Simões xi
Índice de Figuras
Figura 2.1 - Babilónia e Harappa 5
Figura 2.2 - Coliseu de Roma 6
Figura 2.3 - Panteão de Roma 7
Figura 2.4 - Lake Point Tower, U.S. Bank Tower e Bank of America Corporate
Center 8
Figura 2.5 - Ponte Coronado e ponte Virgínia Dare 9
Figura 2.6 - Ponte Sandhornoy e ponte Raftsundet 9
Figura 2.7 - Nordhordland Bridge 10
Figura 2.8 - Estádio St. James Park e estádio Westpac 10
Figura 2.9 - Troll A Platform e Hibernia Offshore Platform 11
Figura 2.10 - James River Bridge e Ponte 25 de Abril 12
Figura 2.11 - Pavilhão de Portugal 12
Figura 2.12 - Coeficiente de endurecimento previsto no EC2 14
Figura 2.13 - Previsão do Elcm para um valor de ρ de 1800 kg/m3 16
Figura 2.14 - Previsão do Elcm para um valor de ρ de 2000 kg/m3 17
Figura 2.15 - Evolução de Elcm(t)/Elcm em função da idade do betão, dependendo
do tipo de cimento 17
Figura 3.1 - Rotação plástica 23
Figura 3.2 - Várias formas de quantificar a rotação plástica 24
Figura 3.3 - Relação entre x/d e a rotação plástica de acordo com o EC2 e o
MC2010 25
Figura 3.4 – Parâmetro de Tendência Plástica relativamente à taxa de armadura de
tracção 26
Figura 3.5 - Índice de ductilidade em deslocamento, segundo Farage 27
Figura 3.6 - Índice de ductilidade em curvatura, segundo Farage 27
Figura 3.7 - Índice de ductilidade em deslocamento, segundo Gamino 28
Figura 3.8 - Índice de ductilidade em curvatura, segundo Gamino 28
Figura 3.9 - Diagrama tensão-extensão de aços com ductilidades diferentes (EC2) 29
Figura 3.10 - Influência da aderência da armadura na rotação plástica 31
Figura 3.11 - Influência da altura da viga na capacidade de rotação 32
Índice de Figuras
xii
Figura 3.12 - Momento flector ao longo da viga para vários valores de esbelteza 33
Figura 3.13 - Rotação plástica em função do esforço transverso 34
Figura 3.14 - Influência da taxa da armadura transversal na rotação plástica 35
Figura 4.1 - Corte longitudinal das vigas V2 38
Figura 4.2 - Corte transversal das vigas V2 39
Figura 4.3 - Corte longitudinal das vigas V4 39
Figura 4.4 - Corte transversal das vigas V4 39
Figura 4.5 - Distribuição teórica dos esforços internos ao longo da viga 40
Figura 4.6 - Cimento, Sílicas de fumo e Fíler de argila expandida 42
Figura 4.7 - Areia fina e areia média 44
Figura 4.8 - HD2/4 e HD4/12 44
Figura 4.9 - Análise granulométrica dos agregados 44
Figura 4.10 - Exemplar dos vários tipos de provetes produzidos 46
Figura 4.11 - Determinação do módulo de elasticidade no provete prismático 46
Figura 4.12 - Determinação da resistência à compressão 47
Figura 4.13 - Determinação da resistência à tracção por compressão diametral 48
Figura 4.14 - Armaduras das vigas 49
Figura 4.15 - Realização de ensaios de tracção ao aço 49
Figura 4.16 - Gráfico tensão-extensão das armaduras ensaiadas 50
Figura 4.17 - Cofragem utilizada 51
Figura 4.18 - Execução das amassaduras 51
Figura 4.19 – Betonagem e compactação das vigas 52
Figura 4.20 - Descofragem das vigas 52
Figura 4.21 - Esquema com as medidas mais significativas 53
Figura 4.22 - Pórtico de ensaio 54
Figura 4.23 - Viga preparada para ser ensaiada 55
Figura 4.24 - Esquema do pórtico e equipamentos de ensaio 56
Figura 4.25 - Esquema da viga e equipamentos de ensaio 56
Figura 4.26 - Célula de carga sob o apoio da viga 57
Figura 4.27 - Equipamentos de leitura de deslocamentos verticais e horizontais 58
Figura 4.28 - Equipamento de controlo e aquisição de dados 59
Índice de Figuras
Tiago Simões xiii
Figura 5.1 - Diagramas carga-deslocamento do actuador 61
Figura 5.2 - Diagramas momento-curvatura de todas as vigas antes da cedência 63
Figura 5.3 - Evolução do momento de fendilhação com a resistência do betão à
compressão nas vigas da série V2 64
Figura 5.4 - Evolução do momento de fendilhação com a resistência do betão à
compressão nas vigas da série V4 64
Figura 5.5 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC35 para determinar a
carga de cedência 65
Figura 5.6 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC50 para determinar a
carga de cedência 66
Figura 5.7 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC70 para determinar a
carga de cedência 66
Figura 5.8 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC35 para determinar a
carga de cedência 66
Figura 5.9 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC50 para determinar a
carga de cedência 67
Figura 5.10 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC70 para determinar a
carga de cedência 67
Figura 5.11 - Diagrama para a determinação da força nas armaduras de tracção 69
Figura 5.12 - Distribuição rectangular de tensões 70
Figura 5.13 – Evolução do valor teórico de x/d na rotura em função da resistência
média à compressão do betão 71
Figura 5.14 - Relação Mmáx/My em função da resistência média à compressão do
betão 71
Figura 5.15 - Relação Mmáx/Mcálc em função da resistência média à compressão do
betão 72
Figura 5.16 - Fendilhação da viga V2 LC35 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 10 mm) 73
Figura 5.17 - Fendilhação da viga V2 LC50 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 20 mm) 74
Figura 5.18 - Fendilhação da viga V2 LC70 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 10 mm) 74
Figura 5.19 - Fendilhação da viga V4 LC35 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 20 mm) 75
Índice de Figuras
xiv
Figura 5.20 - Fendilhação da viga V4 LC50 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 20 mm) 75
Figura 5.21 - Fendilhação da viga V4 LC70 (pontos de 5 mm de diâmetro,
afastados de 20 mm) 76
Figura 5.22 - Rotura das vigas V2 e V4 LC35, respectivamente 76
Figura 5.23 - Rotura das vigas V2 e V4 LC50, respectivamente 77
Figura 5.24 - Rotura das vigas V2 e V4 LC70, respectivamente 77
Figura 5.25 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC35 78
Figura 5.26 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC50 78
Figura 5.27 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC70 79
Figura 5.28 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC35 79
Figura 5.29 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC50 79
Figura 5.30 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC70 80
Figura 5.31 - Esquema para o cálculo da curvatura baseado nos valores dos
deslocamentos horizontais 81
Figura 5.32 - Cálculo da curvatura baseado nos valores dos deslocamentos
verticais 82
Figura 5.33 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC35 82
Figura 5.34 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC50 83
Figura 5.35 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC70 83
Figura 5.36 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC35 83
Figura 5.37 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC50 84
Figura 5.38 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC70 84
Figura 5.39 - Curvatura e rigidez de todas as vigas 86
Figura 5.40 - Evolução da rigidez da viga V2 LC35 com a carga 88
Figura 5.41 - Evolução da rigidez da viga V2 LC50 com a carga 88
Figura 5.42 - Evolução da rigidez da viga V2 LC70 com a carga 88
Figura 5.43 - Evolução da rigidez da viga V4 LC35 com a carga 89
Figura 5.44 - Evolução da rigidez da viga V4 LC50 com a carga 89
Figura 5.45 - Evolução da rigidez da viga V4 LC70 com a carga 89
Figura 5.46 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC35 91
Figura 5.47 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC50 91
Índice de Figuras
Tiago Simões xv
Figura 5.48 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC70 92
Figura 5.49 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC35 92
Figura 5.50 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC50 92
Figura 5.51 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC70 93
Figura 5.52 - Índice de ductilidade em curvatura em função da resistência média à
compressão do betão 95
Figura 5.53 - Índice de ductilidade em deslocamento em função da resistência
média à compressão do betão 95
Figura 5.54 - Evolução da rotação plástica em função da resistência do betão 97
Figura 5.55 - Rotação plástica (1,2 h) em função de x/d último 98
Índice de Quadros
xvi
Índice de Quadros
Quadro 3.1 - Classificação do aço em termos de ductilidade de acordo com o EC2
e o MC2010 30
Quadro 4.1 - Cálculos preliminares 41
Quadro 4.2 - Massa volúmica dos ligantes 42
Quadro 4.3 - Massa volúmica e baridade da areia 43
Quadro 4.4 - Propriedades dos agregados leves 43
Quadro 4.5 - Composições dos betões para 1,0 m3 45
Quadro 4.6 - Propriedades dos betões 48
Quadro 4.7 - Características das armaduras ensaiadas 50
Quadro 4.8 - Dimensões reais das secções das vigas na zona de flexão pura 53
Quadro 5.1 - Comparação dos momentos de fendilhação obtidos 62
Quadro 5.2 - Resultados relevantes do cálculo teórico da resistência 70
Quadro 5.3 - Relação momento máximo/momento de cedência 71
Quadro 5.4 - Relação momento máximo/momento de cálculo 72
Quadro 5.5 - Rigidez teórica e experimental de todas as vigas 87
Quadro 5.6 - Valores de cedência e últimos da carga, momento, deslocamento e
curvatura 94
Quadro 5.7 - Índices de ductilidade em curvatura e em deslocamento 95
Quadro 5.8 - Rotação plástica na zona de flexão pura 96
Quadro 5.9 - Valores de x/d último e rotação plástica (1,2 h) 97
Simbologia e Abreviaturas
Tiago Simões xvii
Simbologia e Abreviaturas
Gregas maiúsculas
Δu deformação verificada quando se atinge a carga última
Δy deformação verificada quando as armaduras de tracção atingem a tensão de
cedência
Ø diâmetro do varão
Gregas minúsculas
βcc(t) coeficiente de endurecimento que depende da idade do betão
δ deslocamento
ε extensão
εc valor da extensão do betão
εlcu3 extensão última do betão leve calculada de acordo com o EC2
εs valor da extensão do aço
εsy valor da extensão de cedência do aço
εsym valor médio da extensão de cedência do aço
εuk valor característico da extensão do aço na carga máxima
η1 coeficiente de correcção da resistência do BEAL comparativamente ao BDN
ηE coeficiente de correcção do módulo de elasticidade do BEAL comparativamente
ao BDN
θ rotação
θpl capacidade de rotação plástica
λ esbelteza da viga; esbelteza em relação ao esforço transverso
μΔ índice de ductilidade de deformação
μδ índice de ductilidade em deslocamento
μϕ índice de ductilidade em curvatura
π0 baridade no estado anidro
ρ massa volúmica do betão endurecido; taxa de armadura longitudinal de tracção
PS massa volúmica das partículas saturadas
P0 massa volúmica das partículas no estado anidro
Simbologia e Abreviaturas
xviii
σ tensão
σs valor da tensão na armadura de tracção
Latinas maiúsculas
1/r curvatura
AN percentagem de absorção em relação ao estado de humidade natural
AS percentagem de absorção de saturação
As área de aço da armadura de tracção
Asw área de aço da armadura de esforço transverso
D diâmetro do provete cilíndrico
Elcm valor médio do módulo de elasticidade do betão leve
Es valor do módulo de elasticidade do aço
FD força de rotura do provete por compressão diametral
HP teor humidade das partículas
M momento
MRd valor de cálculo do momento flector resistente
MEd valor de cálculo do momento flector actuante
Mmáx momento máximo resistente
Mp momento correspondente a uma percentagem do momento máximo resistente
P força ou carga aplicada
VRd valor de cálculo do esforço transverso resistente
VRd,máx valor de cálculo do esforço transverso resistente máximo
VEd valor de cálculo do esforço transverso actuante
Latinas minúsculas
b largura da secção
d altura útil da secção
flc tensão de rotura do betão leve à compressão
flcd valor de cálculo da tensão de rotura do betão leve à compressão
flck valor característico da tensão de rotura do betão leve à compressão
flcm valor médio da tensão de rotura do betão leve à compressão
Simbologia e Abreviaturas
Tiago Simões xix
flct tensão de rotura do betão leve à tracção
flctm valor médio da tensão de rotura do betão leve à tracção
fsym valor médio da tensão de cedência do aço
ftk tensão característica de rotura do aço
fyk tensão característica de cedência do aço
h altura da secção; altura do provete cilíndrico
l comprimento da viga
lpl comprimento da rótula plástica
s espaçamento das armaduras de esforço transverso; coeficiente que depende do
tipo de cimento
t idade do betão
x profundidade do eixo neutro
z braço do binário das forças interiores
Abreviaturas
ACI American Concrete Institute
BDN Betão de densidade normal
BEAL Betão estrutural de agregados leves
EC2 Eurocódigo 2
EC8 Eurocódigo 8
MC90 Model Code 1990
MC2010 Model Code 2010
PTP Parâmetro de Tendência Plástica
Capítulo 1
Tiago Simões 1
Capítulo 1 – Introdução
1.1. Enquadramento do Tema
Os betões leves caracterizam-se por terem massa volúmica menor ou igual a 2000 kg/m3 e
agregados leves artificiais ou naturais na sua composição.
É difícil saber exactamente quando foi usado pela primeira vez o betão leve. Contudo pode
concluir-se que a sua origem remonta aos tempos antigos. Sabe-se que durante o 3.º milénio
a.C., a população da Suméria usou este tipo de material na construção do Império da
Babilónia. Também a civilização Indus Valley, por volta dos anos 2500 a.C., utilizou este
material para a construção das cidades Mohenjo-Daro e Harappa. Nesta época iniciou-se
também a produção de tijolos de argila porosa, destinados à construção. Mais tarde, o betão
leve foi bastante usado pelos povos Gregos e Romanos, que utilizavam agregados leves de
origem vulcânica na sua produção. Durante este período foram construídos alguns edifícios
admiráveis, que ainda existem na actualidade.
Foi porém no século XX que este tipo de material sofreu um grande desenvolvimento. O
sucesso da sua aplicação na construção de navios levou a um alargamento do seu campo de
utilização.
Nos últimos anos têm existido avanços significativos no que se refere à formulação e
produção de betões com agregados leves. Para além destes avanços tecnológicos realça-se o
esforço que actualmente é realizado pela comunidade científica para a divulgação dos
trabalhos desenvolvidos nesta área. Assim, a produção de betões leves tem-se generalizado e,
consequentemente, a sua utilização na construção de estruturas é cada vez mais procurada
pelos engenheiros. Um reflexo de que as estruturas de betões leves são cada vez mais
correntes é que o Eurocódigo 2 (EC2) tem um capítulo dedicado unicamente às estruturas de
betão leve.
A capacidade de rotação plástica é, para além dos índices de ductilidade, um parâmetro que
permite medir a ductilidade de zonas específicas da estrutura. A capacidade de rotação
plástica nas secções mais esforçadas de elementos estruturais é uma propriedade importante
na capacidade de redistribuição de esforços de uma estrutura. De facto, ao conceber elementos
estruturais com elevados índices de ductilidade, permite-se que estes possam suportar
deformações consideráveis sem perda significativa da sua capacidade resistente. Este é um
facto de importância relevante para a prevenção de colapsos estruturais.
Para projectar correctamente estruturas de betão leve armado é necessário conhecer o
comportamento dos materiais constituintes, aço e betão, assim como conhecer e prever o
comportamento dos elementos resultantes da conjugação dos dois materiais. Na última década
têm havido bastantes trabalhos de investigação sobre a ductilidade de estruturas de betão
armado produzidas com betões de densidade normal (BDN). No entanto, para as construções
concebidas com recurso a betão estrutural de agregados leves (BEAL), o estudo da
Introdução
2
ductilidade e da capacidade de rotação plástica não está muito desenvolvido. Assim sendo,
considera-se importante desenvolver um conjunto de ensaios experimentais para estudar o
comportamento estrutural de vigas produzidas com BEAL armado, onde se analisará a
influência da variação da resistência à compressão dos BEAL na ductilidade e capacidade de
rotação plástica desses elementos.
1.2. Objectivos Propostos
O objectivo principal deste trabalho de investigação é a análise da influência da resistência à
compressão dos BEAL na capacidade de rotação plástica das vigas. Para se atingir este
objectivo principal destacam-se os seguintes passos:
Revisão bibliográfica sobre os assuntos em análise, nomeadamente as propriedades
dos betões leves e os factores que têm influência na capacidade de rotação plástica das
vigas;
Estudo sobre a concepção das vigas a ensaiar, para que estas apresentem um
comportamento dentro do previsto durante o ensaio;
Fabrico das vigas a ensaiar e dos provetes para a caracterização das propriedades dos
betões;
Caracterização dos materiais utilizados, nomeadamente com ensaios à tracção nos
varões de aço e ensaios de caracterização mecânica dos BEAL;
Realização dos ensaios experimentais nas vigas produzidas, possibilitando a
observação do seu comportamento até à rotura e a recolha de dados para posterior
análise;
Análise dos resultados obtidos durante os ensaios, permitindo compreender a forma
como os parâmetros estudados evoluem, e perceber se o comportamento estrutural das
vigas corresponde ao previsto, de acordo com os critérios estabelecidos nos principais
códigos;
Apresentação de conclusões relativas aos ensaios efectuados e aos resultados obtidos.
1.3. Organização do Trabalho
Este trabalho experimental apresenta uma estrutura dividida em seis capítulos, que
representam as várias etapas da realização do estudo.
No Capítulo 1 elabora-se um pequeno enquadramento do tema em análise, realçando a
importância do seu estudo. Define-se o objectivo principal da investigação e as etapas a
executar para o atingir. Por fim, é explicada a estrutura do presente documento para que o
mesmo seja de fácil interpretação.
No Capítulo 2 é efectuada uma pesquisa acerca dos BEAL. São apontadas algumas utilizações
históricas e recentes deste material e é efectuada uma síntese das suas principais propriedades.
Capítulo 1
Tiago Simões 3
É ainda apresentada uma lista com as principais vantagens e desvantagens deste material,
quando comparado com o BDN.
O Capítulo 3 resume o estudo realizado relativamente à ductilidade e à rotação plástica.
Apresentam-se as definições e a importância destes parâmetros, assim como uma revisão
sobre os factores podem ter influência sobre eles. Por fim, apresentam-se em síntese as
conclusões do único estudo relevante encontrado relativamente a ensaios experimentais em
vigas de betão leve.
O Capítulo 4 refere-se ao programa experimental elaborado. É feita uma introdução onde se
explicam os objectivos do programa e se faz uma referência aos elementos a ensaiar. A
constituição das vigas de ensaio e a caracterização dos materiais que as constituem são
explicadas nesta parte do trabalho. É descrito o processo de fabrico das vigas assim como o
procedimento de ensaio a seguir. Efectua-se ainda uma explicação sobre o funcionamento dos
equipamentos de instrumentação e aquisição de dados utilizados.
No Capítulo 5 realiza-se a análise dos resultados obtidos. São apresentados diagramas carga-
deslocamento e momento-curvatura para todas as vigas, sendo igualmente analisada a rigidez
das vigas e os seus índices de ductilidade, assim como a rotação plástica que ocorreu.
No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões resultantes do estudo realizado. É feita uma
reflexão dos resultados analisados e uma discussão sobre a concretização dos objectivos
propostos. Apresentam-se ainda algumas indicações e recomendações para futuros
desenvolvimentos em trabalhos da mesma área.
Capítulo 2
Tiago Simões 5
Capítulo 2 – Betões Estruturais de Agregados Leves
2.1. Breves Notas Históricas e Aplicações
2.1.1. Império da Babilónia e Civilização Indus Valley
O betão leve é um material do qual se conhecem várias referências da sua utilização ao longo
dos tempos. As suas primeiras composições basearam-se em agregados naturais de origem
vulcânica, como a pedra-pomes e escória. Estima-se que a sua primeira utilização terá
ocorrido durante o 3.º milénio a.C. no Império da Babilónia. Por volta dos anos 2500 a.C.
foram produzidos tijolos de argila porosa durante a era da civilização Indus Valley. Estes
tijolos foram utilizados na construção de duas importantes cidades desta civilização, as
cidades de Mohenjo-Daro e Harappa. Pensa-se que os tijolos eram fragmentados e utilizados
como agregados leves na construção de paredes dos edifícios destas cidades (Chandra e
Berntsson, 2002).
Figura 2.1 - Babilónia e Harappa (Chandra e Berntsson, 2002)
2.1.2. Império Romano
Ao longo dos séculos relativos à época do Império Romano foram construídos diversos
edifícios com recurso ao betão leve. Actualmente existem ainda edificações dessa época, o
que comprova o uso deste material na construção daquele tempo. Não se sabe ao certo o que
levou os Romanos a utilizarem agregados leves na composição do betão. Contudo, a eventual
escassez de agregados adequados e a maior facilidade de fragmentação e transporte dos
agregados leves, relativamente aos agregados de maior massa volúmica, pode ter induzido os
Betões Estruturais de Agregados Leves
6
Romanos a utilizar este tipo de material na produção de betão. Também naquela época os
agregados leves utilizados eram naturais e de origem vulcânica, como pedra-pomes e escória.
2.1.2.1 Coliseu de Roma
Uma das primeiras grandes construções em que foi utilizado BEAL foi o Coliseu de Roma –
Colisseum. Trata-se de um anfiteatro de grandes dimensões, com planta elíptica, pisos
subterrâneos e 4 pisos elevados. Foi construído em alvenaria de pedra, de várias densidades, e
parcialmente em BEAL nas fundações e paredes. Este edifício representava naquela época o
poder e a superioridade do Império Romano. A sua construção foi iniciada no ano 70 d.C. e
durou aproximadamente uma década. Apesar de actualmente se encontrar parcialmente
destruído, a sua estrutura permanece, para testemunhar o desenvolvimento da tecnologia
romana na produção, aplicação e caracterização dos BEAL (Costa, 2007; EuroLightCon,
1998).
Figura 2.2 - Coliseu de Roma (Infopédia)
2.1.2.2. Panteão de Roma
Uma das construções do Império Romano que ficou para a história é o Panteão de Roma. Foi
construído entre 118 e 128 d.C. e a sua estrutura ainda se encontra, actualmente, em bom
estado de conservação. Possui uma cúpula semiesférica em BEAL, com um diâmetro na base
de 43,4 m, dimensão que só foi ultrapassada em 1781. A sua altura ao nível do óculo é
também de 43,3 m. Com o objectivo de aligeirar o peso próprio da cúpula, para além da
utilização de BEAL, a sua superfície interior possui reentrâncias, que foram moldadas com a
cofragem de madeira utilizada na sua construção.
O conhecimento Romano era de tal forma desenvolvido que permitia um domínio das técnicas
de produção e aplicação deste material. Tal conhecimento permitiu a variação das
propriedades do material, que possuía mais resistência e densidade na base, propriedades que
iam diminuindo em altura. Além disso, também a espessura da cúpula diminuía em altura.
Pode-se igualmente afirmar que a qualidade do betão utilizado neste edifício apresenta uma
Capítulo 2
Tiago Simões 7
excelente durabilidade, pois na face interior da cúpula ainda são visíveis as texturas das
cofragens de madeira utilizadas e a sua face exterior esteve exposta às condições climatéricas
durante vários séculos (Costa, 2007; EuroLightCon, 1998).
Trata-se, de facto, de uma construção de relevo histórico, pois, mesmo na actualidade, ainda
possui a maior cúpula em betão sem armadura de reforço. A sua construção marcou o poderio
e o conhecimento tecnológico desenvolvidos pelos povos do Império Romano. O seu estado
de conservação é notável e este é um monumento que serviu de inspiração a muitas
construções posteriores.
Figura 2.3 - Panteão de Roma (Infopédia)
2.1.3. Século XX
Uma das importantes aplicações dos BEAL no início do século XX foi na construção de
navios pelos Estados Unidos da América. Durante a Primeira Guerra Mundial, a indústria
metalúrgica não conseguiu responder à procura de aço e, consequentemente, houve escassez
deste material. Para responder a este problema, engenheiros americanos estudaram a
viabilidade do BEAL na construção naval. Os navios assim construídos requeriam apenas um
terço do aço necessário para uma embarcação convencional. Os americanos construíram uma
grande frota naval recorrendo a esta tecnologia, o que comprova a sua viabilidade nesta área.
Com esta experiência adquirida, o BEAL começou a ser utilizado mais frequentemente na
construção civil. Devido à redução de peso, esta nova tecnologia foi um incentivo à
construção de edifícios mais altos. Desde então, este material tem sofrido diversos
desenvolvimentos tecnológicos, o que permitiu a sua evolução e consequente aplicação em
novos campos da engenharia estrutural. Nas últimas décadas foram construídas várias
edificações de grande importância e visibilidade, recorrendo ao BEAL. Entre as regiões que
mais utilizam este material encontra-se a América do Norte e o Norte da Europa (Costa, 2007;
Silva, 2007).
Betões Estruturais de Agregados Leves
8
2.1.3.1. Edifícios de Grande Altura
Os edifícios de grande altura são uma boa referência de estruturas onde a aplicação de BEAL
tem sido feita com sucesso. Da aplicação deste material resulta uma redução do peso próprio
da estrutura e, consequentemente, o aligeiramento dos elementos estruturais, o que permite a
redução de esforços ao nível da estrutura e principalmente ao nível das fundações, que são
normalmente zonas de grandes acumulações de esforços.
Com a utilização de BEAL, podem ser executadas soluções estruturais inovadoras que
dificilmente seriam possíveis com a utilização de BDN. Também as melhores capacidades do
BEAL, em termos de resistência ao fogo e isolamento térmico, têm justificado a sua utilização
(Silva, 2007).
São exemplo destas construções a Lake Point Tower (Chicago, EUA) construída em 1968
com 70 andares, a U.S. Bank Tower (Los Angeles, EUA) construída em 1990 com 73 andares
e o Bank of America Corpotate Center (Charlotte, EUA) construída em 1992 com 60 andares
(Asik, 2006).
Figura 2.4 - Lake Point Tower, U.S. Bank Tower e Bank of America Corporate Center (Wikipedia)
2.1.3.2. Pontes
A utilização de BEAL em pontes tem sido frequentemente utilizada no Norte da Europa e na
América do Norte. A sua utilização é especialmente aconselhada em pontes de grandes
dimensões de vão, que podem ser constituídas, integral ou parcialmente, com este material.
Contudo, a sua aplicação tem-se focado na construção do tabuleiro destas estruturas, o que
permite reduzir o seu peso próprio e consequentemente permite a obtenção de tabuleiros com
vãos maiores e a redução dos esforços transmitidos às fundações.
Das várias pontes construídas com recurso a BEAL destacam-se as seguintes: a ponte
Coronado (San Diego, EUA) construída em 1969 com 3350 m de comprimento; a ponte
Capítulo 2
Tiago Simões 9
Antioch (California, EUA) construída em 1972 com 2900 m; a ponte Virgínia Dare (Carolina
do Norte, EUA) construída em 2002 com mais de 8 km; a ponte Sandhornoy (Noruega)
construída em 1989 com 154 m no vão central e 110 m nos vãos laterais; a ponte Raftsundet
(Noruega) construída em 1998 com dois vãos centrais de 202 e 298 m e dois laterais de 86 e
125 m; a ponte Sundoy (Noruega) construída em 2003 com um vão central de 298 m e dois
laterais de 120 m (Costa, 2007).
Figura 2.5 - Ponte Coronado e ponte Virgínia Dare (Wikipedia)
Figura 2.6 - Ponte Sandhornoy e ponte Raftsundet (Wikipedia)
O BEAL para além de ser utilizado em pontes comuns, é também particularmente interessante
na construção de pontes flutuantes, principalmente devido à sua maior flutuabilidade, quando
comparado com BDN (Costa, 2007). É exemplo de uma ponte flutuante a Nordhordland
Bridge na Noruega (Figura 2.7), construída em 1994 com cerca de 1600 m, sendo constituída
por uma parte com um sistema estrutural de tirantes e outra com um sistema flutuante com
pontões ocos em BEAL.
Betões Estruturais de Agregados Leves
10
Figura 2.7 - Nordhordland Bridge (Pinger site)
2.1.3.3. Estruturas Pré-fabricadas
Na indústria da pré-fabricação, o BEAL tem sido um material cada vez mais utilizado e
solicitado, pois, com a redução do peso próprio dos elementos estruturais, reduzem-se
também os custos de transporte e a capacidade de carga dos meios de montagem. É por isso
lógico que esta solução seja competitiva, pois apresenta vantagens económicas e maior
facilidade de manuseamento e de aplicação das peças em obra (Silva, 2007).
As seguintes obras são exemplos de estruturas pré-fabricadas em BEAL: o estádio St. James
Park (Londres, Inglaterra), actual estádio do Newcastle, construído em 1982 e posteriormente
expandido; o estádio Westpac (Wellington, Nova Zelândia) construído em 1999 com o
objectivo de substituir o seu antecessor Athletic Park e receber a Liga Mundial de Cricket em
2015.
Figura 2.8 - Estádio St. James Park e estádio Westpac (Wikipedia)
2.1.3.4. Plataformas Offshore
No domínio das estruturas flutuantes e portuárias, o uso de BEAL tem uma grande
importância, pois possui uma maior flutuabilidade, uma maior resistência específica
Capítulo 2
Tiago Simões 11
(coeficiente entre a resistência e o peso específico) e permite o aumento da capacidade de
armazenamento de matérias neste tipo de construção.
Grande parte das plataformas flutuantes são construídas em estaleiro, sendo depois
transportadas para o local desejado. Assim sendo, é necessário terem o menor peso possível,
para poderem atravessar possíveis baixios e reduzir os custos de transporte.
Das várias plataformas já construídas com recurso a BEAL destacam-se as seguintes
plataformas: Troll A Platform (Noruega), construída em 1996, sendo a maior e mais pesada
plataforma offshore do mundo; Hibernia Offshore Platform (Canadá), construída em 1996, é
também uma das maiores estruturas deste tipo (Silva, 2007).
Figura 2.9 - Troll A Platform e Hibernia Offshore Platform (Abb site)
2.1.3.5. Reforço e Reabilitação Estrutural
Os trabalhos de reabilitação e reforço estrutural apresentam, normalmente, restrições no que
toca ao aumento do peso próprio da estrutura. O uso de BEAL neste tipo de trabalhos
apresenta assim grandes vantagens, uma vez que devido à relação entre a sua resistência e o
seu peso, é evitado um aumento excessivo dos esforços impostos à estrutura e às fundações.
Ou seja, para uma determinada resistência pretendida, o peso dos elementos de reforço ou de
reabilitação é minimizado. São exemplos deste tipo de trabalhos as seguintes obras:
reabilitação da James River Bridge (Virgínia, EUA), em 2002, recorrendo à substituição
gradual do tabuleiro por secções prefabricadas em BEAL; alargamento da Ponte 25 de Abril
(Lisboa, Portugal), em 1999, cuja estrutura foi reforçada bom BEAL, o que permitiu a
implantação de uma linha ferroviária e o aumento do número de vias rodoviárias (Costa,
2007; Silva, 2007).
Betões Estruturais de Agregados Leves
12
Figura 2.10 - James River Bridge e Ponte 25 de Abril (Wikipedia)
2.1.3.6. Outras Aplicações
Os BEAL podem também ser utilizados em estruturas que necessitem de melhoramentos não
estruturais, como o aumento dos isolamentos térmicos e acústicos e o aumento da resistência
ao fogo.
A concepção de estruturas com desenhos arquitectónicos complexos, e difíceis de atingir com
BDN, pode por vezes ser executada através da aplicação de BEAL.
Um exemplo de aplicação de BEAL numa estrutura complexa é a cobertura do Pavilhão de
Portugal (Lisboa, Portugal), construída em 1998, que descreve uma curva, como uma lona
gigante.
Figura 2.11 - Pavilhão de Portugal (Morgadio Real site)
2.2. Propriedades dos BEAL
As propriedades dos BEAL devem ser estudadas e compreendidas, para que a sua aplicação
estrutural seja correcta e rigorosa. As propriedades mais relevantes, que devem ser analisadas
Capítulo 2
Tiago Simões 13
com cuidado e prudência, são as suas características mecânicas, pois têm uma grande
influência no comportamento das estruturas, embora as propriedades diferidas sejam também
importantes.
2.2.1. Resistência à Compressão
O comportamento mecânico dos BEAL é diferente dos BDN, pois a introdução dos agregados
leves no betão, para além de reduzir a sua massa volúmica, altera algumas das suas
propriedades, por estas serem bastante diferentes nos agregados leves e nos agregados
correntes.
A resistência à compressão é considerada a principal propriedade de caracterização do betão.
É um parâmetro de referência, pois as restantes propriedades do betão podem ser estimadas a
partir da sua resistência à compressão, por vezes conjuntamente com a sua densidade.
O BEAL pode ser considerado um material composto por duas fases: os agregados grossos
leves e a matriz da pasta ligante. A resistência à compressão do BEAL não é fácil de prever.
Contudo, desde que se conheçam e controlem os parâmetros que influenciam o seu valor,
pode ser prevista com alguma precisão. São eles os seguintes (Costa, 2007):
Resistência e proporção da matriz da pasta ligante;
Resistência, tipo e proporção dos agregados leves;
Interface entre a matriz ligante e os agregados leves;
Cura do betão.
O efeito conjunto destes parâmetros condiciona, não só a resistência à compressão do BEAL,
mas também o seu comportamento na distribuição interna de tensões durante o carregamento
e na energia dissipada na rotura. (Silva, 2007).
O BEAL apresenta uma elasticidade similar entre as duas fases (agregados leves e pasta
ligante), que conjugada com uma melhor aderência entre a pasta ligante e os agregados,
conduz a um comportamento mais homogéneo do conjunto, evitando concentrações de
tensões na interface da pasta ligante com os agregados, fenómeno frequente nos BDN (Costa,
2007; EuroLightCon, 2000a). Consequentemente, o BEAL não rompe por deslocamento na
interface entre as duas fases. A linha de fractura atravessa os agregados, ao contrário do que
acontece nos BDN, onde a linha de fractura contorna parte dos agregados (Silva, 2007).
A determinação da resistência à compressão nos BEAL é efectuada através de um ensaio
normalizado (NP EN 12390), recorrendo a provetes cilíndricos ou cúbicos, da mesma forma
que nos BDN. Contudo, a diferença entre os ensaios nos dois tipos de provete (cilíndrico e
cúbico), é menor nos BEAL, relativamente aos BDN, sendo esta diferença considerada na
designação das classes de resistência (NP EN 206-1; NP EN 1992-1-1). A resistência à
compressão dos BEAL ensaiada em cilindros é cerca de 10% inferior à ensaiada em cubos,
valor este que ronda os 20% para os BDN. O valor de referência, usado para a caracterização
do betão nos diversos códigos, é o da resistência a compressão em provetes cilíndricos.
Betões Estruturais de Agregados Leves
14
A evolução da resistência à compressão com o tempo traduz-se, normalmente, por um
coeficiente de endurecimento, βcc(t), que representa a relação entre a resistência do betão à
idade t e aos 28 dias. O EC2 propõe um coeficiente de endurecimento para os BDN, dado pela
Expressão 2.1, que é igual para os BEAL:
(2.1)
Em que:
s – coeficiente que depende do tipo de cimento
Na Figura 2.12 encontra-se a evolução do coeficiente de endurecimento para os vários tipos
de cimento.
Figura 2.12 - Coeficiente de endurecimento previsto no EC2
2.2.2. Resistência à Tracção
A resistência à tracção dos BEAL depende essencialmente das suas duas partes constituintes,
a matriz ligante e os agregados leves, assim como da interface entre ambas e da cura.
A determinação da resistência à tracção pode ser efectuada através do ensaio de tracção
directa, do ensaio de flexão ou do ensaio de compressão diametral, sendo o último o ensaio
mais corrente.
O seu valor corresponde geralmente a uma percentagem reduzida da resistência à compressão.
Nos BEAL, esta percentagem deve rondar os 5% para cura em ambiente natural. Contudo,
pode chegar a cerca de 10% para cura em humidade continuada, sendo os primeiros dias os
mais importantes para a eficácia da cura (Costa, 2007; EuroLightCon, 1998). O EC2 prevê um
valor médio para a resistência à tracção nos BEAL, flctm, dado pelas seguintes expressões
(Expressão 2.2 para betões ≤ LC50/55; Expressão 2.3 para betões > LC50/55):
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112
βcc
(t)
idade (dias)
32,5N
32,5R 42,5N
42,5R 52,5N 52,5R
Capítulo 2
Tiago Simões 15
(2.2)
(2.3)
Em que:
η1 – coeficiente de correcção da resistência do BEAL comparativamente ao BDN
O coeficiente η1 é definido pela Expressão 2.4:
(2.4)
Em que:
ρ – massa volúmica do betão endurecido seco em estufa
2.2.3. Massa Volúmica
A massa volúmica dos BEAL é uma das suas principais características, pois é o parâmetro
que marca a transição entre estes e os BDN. Esta deve ser devidamente controlada para que
não existam desvios muito acentuados entre os valores pretendidos e os reais. A massa
volúmica dos BEAL depende das proporções volumétricas de todos os constituintes, bem
como dos respectivos valores das massas volúmicas e, ainda, das percentagens de humidade e
absorção dos agregados leves na mistura (Costa, 2007; Silva, 2007).
A massa volúmica do BEAL endurecido pode ser definida relativamente a duas situações
distintas: amostras secas ao ar ou secas em estufa. A massa volúmica seca em estufa é a
adoptada para fins de classificação por diversos códigos, pois é a que revela melhor
correlação com outras propriedades (Costa, 2007).
Existem algumas diferenças entre a massa volúmica em estado fresco, seca ao ar e seca em
estufa. Entre a massa volúmica fresca e a massa volúmica seca ao ar, a diferença resulta da
redução da densidade por evaporação de água, que pode variar entre 50 a 100 kg/m3,
dependendo do tipo de agregado, do seu teor de água e da compacidade da pasta ligante. A
massa volúmica seca em estufa é aproximadamente 50 kg/m3 mais reduzida que a massa
volúmica seca ao ar (Costa, 2007; EuroLightCon, 1998; EuroLightCon, 2000a).
2.2.4. Módulo de Elasticidade
Devido à grande diferença de rigidez entre agregados correntes e agregados leves, o valor
médio do módulo de elasticidade dos BEAL, Elcm, é menor comparativamente aos BDN. As
duas parcelas que determinam o módulo de elasticidade do betão são a rigidez da matriz
ligante e a rigidez dos agregados. Destas duas fases, a que mais contribui para a redução do
módulo de elasticidade dos BEAL é a rigidez dos agregados leves. O tipo de agregados leves
e a sua rigidez, assim como as suas dosagens, são factores que têm influência na redução do
módulo de elasticidade dos BEAL (EuroLightCon, 1998).
Betões Estruturais de Agregados Leves
16
A resistência do betão à compressão e a respectiva rigidez apresentam normalmente uma forte
correlação, pois os factores que influenciam a rigidez afectam também a resistência. A massa
volúmica do betão e a sua resistência à compressão são os parâmetros que geralmente se
utilizam, segundo vários códigos como o EC2 e o American Concrete Institute (ACI), entre
outros, para estimar o módulo de elasticidade do betão.
Na Expressão 2.5 apresenta-se a previsão, pelo EC2, do módulo de elasticidade em função da
resistência e da massa volúmica do betão. O valor de Elcm é dado em GPa e o valor de flcm é
introduzido em MPa.
(2.5)
Em que:
ηE – coeficiente de correcção do módulo de elasticidade do BEAL comparativamente
ao BDN
O coeficiente ηE é definido pela Expressão 2.6:
(2.6)
Na Expressão 2.7 apresenta-se a previsão, pelo ACI, do módulo de elasticidade em função da
resistência e da massa volúmica do betão. O valor de Elcm é dado em MPa e o valor de flcm é
introduzido em MPa.
(2.7)
Em que:
C – parâmetro que toma o valor de 0,04 para betões cujo flcm ≤ 35 MPa e de 0,038 para
betões cujo flcm > 35 MPa
ρ – massa volúmica do betão em kg/m3
Nas Figuras 2.13 e 2.14 apresentam-se graficamente as previsões acima mencionadas para um
valor de ρ de 1800 kg/m3 e 2000 kg/m
3 respectivamente.
Figura 2.13 - Previsão do Elcm para um valor de ρ de 1800 kg/m3
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80
E lcm
(G
Pa)
flcm (MPa)
EC2
ACI
Capítulo 2
Tiago Simões 17
Figura 2.14 - Previsão do Elcm para um valor de ρ de 2000 kg/m3
De acordo com o EC2, o módulo de elasticidade à idade t, pode ser previsto pela Expressão
2.8, que depende do coeficiente de endurecimento, βcc(t), e do módulo de elasticidade do
betão aos 28 dias:
(2.8)
Assim, a evolução do módulo de elasticidade em função da idade do betão depende também
do tipo de cimento. Na Figura 2.15 apresenta-se a evolução do módulo de elasticidade de
acordo com a Expressão 2.8.
Figura 2.15 - Evolução de Elcm(t)/Elcm em função da idade do betão, dependendo do tipo de cimento
2.2.5. Retracção
A retracção é uma propriedade diferida do betão e representa a variação dimensional das
pecas constituídas por este material, desde a compactação até ao equilíbrio dimensional com o
ambiente, sem aplicação de tensão nas mesmas. A retracção do betão pode provocar
0
5
10
15
20
25
30
35
0 20 40 60 80
E lcm
(G
Pa)
flcm (MPa)
EC2
ACI
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112
E lcm
(t)
/ E
lcm
idade (dias)
32,5N
32,5R 42,5N
42,5R 52,5N 52,5R
Betões Estruturais de Agregados Leves
18
fissuração excessiva, perdas de pré-esforço, redução da resistência à tracção, perdas de
rigidez, empenamentos e diminuição da durabilidade das peças de betão. O tipo de agregado,
o tipo de cimento, o teor de água da mistura, o teor de água dos agregados, o teor de ar da
mistura e o tipo de cura, são factores que influenciam a retracção do betão (American
Concrete Institute, 1999).
Os betões com baixas resistências apresentam valores de retracção elevados. À medida que se
aumenta a resistência do betão, os valores da retracção tendem a diminuir, embora dependa de
outros factores. A substituição parcial ou total dos agregados finos de densidade normal por
agregados finos leves é um factor que contribui para o aumento da retracção do betão.
Contudo, a utilização dos agregados leves grossos, parcial ou totalmente saturados, nos BEAL
contribui para a redução da retracção total, comparativamente aos BDN (Costa et al, 2010a).
Assim, a retracção nos BEAL é geralmente menor que nos BDN, devido à influência positiva
dos agregados leves saturados na cura interna do betão, que vão hidratando lentamente os
ligantes ao longo do tempo (EuroLightCon, 1998).
Outra forma de reduzir a retracção é a realização de uma cura com humidade controlada. Uma
cura com um teor de humidade elevado pode reduzir a retracção em cerca de 10 a 40%
(American Concrete Institute, 1999).
2.2.6. Fluência
A fluência é uma propriedade diferida do betão, caracterizada pelo aumento das deformações
no betão ao longo do tempo, quando sujeito a tensão constante, tendendo essa evolução a
estabilizar sensivelmente antes do primeiro ano de idade. As propriedades de fluência do
betão podem ser benéficas ou prejudiciais, dependendo das condições estruturais.
Concentrações de tensões que existam nas estruturas, sejam estas de compressão ou tracção,
podem ser reduzidas por transferências de tensão através de fluência. Os factores que têm
influência na fluência são por exemplo o tipo de agregado, o tipo e a dosagem de cimento, o
teor de água da mistura, o teor de água dos agregados, o teor de ar da mistura, a idade do
primeiro carregamento, o nível de tensão aplicada, o tipo de cura e o período de carregamento
(American Concrete Institute, 1999).
A fluência é elevada nos BEAL com baixa resistência à compressão, contudo, esta
propriedade diminui drasticamente com o aumento da resistência do betão. Por exemplo, um
aumento da resistência do betão de 20 para 35 MPa, reduz a fluência em cerca de 20 a 40%,
em termos de cálculo.
De forma a diminuir a fluência dos BEAL pode-se optar por uma cura com pressão e
humidade controlada. Uma cura a baixa pressão pode reduzir a fluência em cerca de 25 a
40%, enquanto uma cura a alta pressão e com um teor de humidade elevado, pode reduzir a
fluência no betão em cerca de 60 a 80%. Estes valores são relativos a cura efectuada
simplesmente em ambiente húmido (American Concrete Institute, 1999).
Capítulo 2
Tiago Simões 19
2.3. Vantagens e Desvantagens da Utilização de BEAL
Quando comparado com BDN, a utilização de BEAL apresenta as seguintes vantagens (Costa,
2007):
Bom desempenho de resistência, podendo atingir-se elevadas resistências à
compressão, até aproximadamente 90 MPa, consoante a massa volúmica;
Menor peso próprio dos elementos estruturais, com redução dos esforços transmitidos
aos restantes elementos estruturais e às fundações;
Redução da acção sísmica devido à redução do peso próprio estrutural e à menor
rigidez do material;
Cura interna melhorada, garantindo baixa permeabilidade e melhor desempenho da
zona de contacto entre o agregado leve e a matriz ligante;
Reduzida retracção, devida à cura interna melhorada, evitando a fissuração associada
às restrições de movimento e reduzindo perdas de pré-esforço;
Elevada durabilidade do betão e dos respectivos elementos estruturais, por apresentar
baixa permeabilidade da matriz ligante, resistência aos ataques químicos e aos ciclos
gelo-degelo;
Globalmente mais económico em diversas aplicações, devido à redução do peso
próprio e elevada resistência, que influenciam a redução de diversos custos no
dimensionamento, transporte, manuseamento e colocação do betão, tanto in-situ como
em elementos pré-fabricados;
Bom comportamento térmico, quer pela menor condutibilidade térmica, como pelo
menor coeficiente de expansão térmica;
Elevada resistência ao fogo.
Podem ser apontadas algumas desvantagens na utilização de BEAL ao nível de projecto e
execução de estruturas (Costa, 2007; Lourenço et al, 2004):
Custo de produção unitário do betão mais elevado do que os BDN, podendo esse
aumento variar entre 30 a 70%;
Necessidade de um controlo mais rigoroso na produção, relativamente à humidade e
absorção dos agregados leves e às dosagens utilizadas;
Cautela na colocação e compactação do betão, garantindo a homogeneidade e evitando
a segregação;
Precaução na cura, de modo a evitar a fissuração superficial em idades jovens.
Capítulo 3
Tiago Simões 21
Capítulo 3 – Ductilidade e Rotação Plástica
3.1. Generalidades
A ductilidade pode ser definida como a capacidade de um material, secção, elemento
estrutural ou estrutura sofrer grandes deformações plásticas sem grande perda da sua
resistência. Por outras palavras, a ductilidade é definida como a capacidade de suportar
deformações inelásticas sem um decréscimo significativo da capacidade de resistente. Esta
propriedade é um indicador da capacidade de absorção de energia e tem uma importância
relevante na capacidade de redistribuição de esforços das estruturas hiperestáticas (Bernardo,
1998; Gamino, 2003).
Como se referiu, a ductilidade está associada à capacidade de deformação do elemento, daí
que uma das formas de a quantificar seja através do índice de ductilidade, que é definido pela
seguinte expressão:
(3.1)
Em que:
Δu – deformação verificada quando se atinge a carga última
Δy – deformação verificada quando as armaduras de tracção atingem a tensão de
cedência
As deformações descritas na Expressão 3.1 podem ser analisadas em termos de flecha de uma
secção ou em termos de rotação entre duas secções. Quanto maior for o índice de ductilidade,
μΔ, maior será a deformação entre a carga relativa ao início da cedência das armaduras (carga
de cedência) e a carga última.
Os elementos dúcteis evidenciam na sua fase plástica, sinais de rotura antes da mesma ocorrer
(grandes deformações e fendas com grande abertura). Nos elementos estruturais
hiperestáticos, o comportamento dúctil proporciona um processo de redistribuição de esforços
lento e gradual, o que evita uma transmissão de esforços abrupta para outros elementos da
estrutura, o que poderia causar um colapso progressivo na mesma. A formação de rótulas
plásticas permite a utilização da capacidade total de várias secções transversais de um
elemento, em termos de carga última, pois ao ocorrer a redistribuição de esforços, esses
mesmos esforços internos são reencaminhados para outras secções. A redistribuição de
esforços permite um melhor aproveitamento dos materiais constituintes dos elementos
estruturais, principalmente das armaduras (Bernardo, 1998).
O dimensionamento estrutural baseado em teorias plásticas pressupõe um comportamento
dúctil da estrutura, para que seja possível que esta se adapte à distribuição de esforços
internos admitida no cálculo para estados limites últimos, sem que ocorra uma rotura frágil e
prematura (Carmo, 2004).
Ductilidade e Rotação Plástica
22
Vários estudos experimentais demonstraram o facto de que o betão armado, quando bem
dimensionado e pormenorizado, apresenta uma grande capacidade de deformação. Se a
capacidade de deformação das peças for suficiente, então podem realizar-se
dimensionamentos de acordo com a teoria da plasticidade (Bernardo, 1998).
3.2. Factores que Influenciam a Capacidade de Rotação Plástica
As vigas de betão armado, quando sujeitas a cargas elevadas, têm um comportamento não
linear. Antes de as armaduras entrarem em cedência, a fendilhação do betão induz este
comportamento no elemento. Após as armaduras entrarem em cedência, para além da
fendilhação do betão, há que ter em conta a influência da não linearidade da relação σ-ε do
aço. Quando as armaduras atingem a sua tensão de cedência considera-se que se formou uma
rótula plástica na viga. A capacidade de rotação plástica de uma viga é um dos critérios mais
utilizados para a quantificação da ductilidade deste elemento.
A rotação plástica, θpl, de uma viga, pode ser definida como a rotação que a viga sofre desde
que atinge a carga de cedência, até atingir a carga última. Logo, a rotação plástica pode ser
calculada como o integral das curvaturas, após a cedência das armaduras, na zona plastificada
(Carmo, 2004).
(3.2)
Em que:
lpl – comprimento da rótula plástica
1/r – curvatura da secção
1/ry – curvatura da secção no momento de cedência das armaduras
εs – extensão das armaduras
εsy – extensão de cedência das armaduras
d – altura útil da secção
x – profundidade do eixo neutro
Na Figura 3.1 pode perceber-se o significado da Expressão 3.2. A curvatura de uma viga é
maior nas secções fendilhadas e menor nas secções não fendilhadas. A área entre a curvatura
total da viga e a curvatura de cedência, ao longo do comprimento da rótula plástica é assim a
rotação plástica da viga. Geralmente, para a avaliação da rotação plástica, define-se uma
curvatura média na zona plastificada da viga, uma vez que, não é viável medir
experimentalmente a curvatura em pontos de tal forma próximos que permita aplicar os
pressupostos da Expressão 3.2, para além de ser extremamente complicado de executar e, em
alguns casos, ser mesmo impossível.
Capítulo 3
Tiago Simões 23
Figura 3.1 - Rotação plástica
Em termos de rotação plástica pode definir-se a carga última como sendo a carga a partir da
qual a viga deixa de ter capacidade para suportar cargas consideráveis. Assim sendo,
experimentalmente, este parâmetro não é determinado do mesmo modo para todas as
situações, podendo variar consoante o investigador que executa a análise de resultados.
Existem três formas de avaliar a carga última e, consequentemente, a rotação última. Uma das
formas de análise é considerar a rotação última como a rotação correspondente ao momento
máximo resistente. Outra possibilidade de análise é considerar a rotação última como uma
percentagem do momento máximo resistente no troço descendente pós-pico. Por fim, pode
considerar-se a rotação última como a rotação no instante do colapso da viga (perda quase
total da capacidade de carga). Deve realçar-se que nas relações carga-deslocamento, P-δ, e
momento-rotação, M-θ, deste tipo de elemento estrutural (viga), só é possível analisar o troço
descendente se a aplicação da carga for por controlo de deslocamento.
Relativamente à forma de avaliar a rotação última como a rotação correspondente ao
momento máximo resistente, pode dizer-se que este tipo de análise é um pouco restritiva no
que toca à ductilidade, pois, geralmente, as vigas após atingirem o seu momento máximo
resistente, ainda possuem uma capacidade de deformação considerável. O Model Code 1990
(MC90) defende esta abordagem, pois refere que o troço descendente da relação M-θ deve ser
desprezado na determinação da capacidade de rotação plástica. (Carmo, 2004).
Quanto à forma de avaliar a rotação última como uma percentagem do momento máximo
resistente no troço descendente, esta modalidade de análise já foi estudada e é sustentada por
um estudo realizado por Sung-woo Shin, entre outros autores (Shin et al, 1989), que
defendem que a definição de rotação total tem que ter em conta uma pequena perda de
capacidade de carga, que pode ir de 5% a 20%. Esta é a forma de análise que será adoptada no
presente estudo, uma vez que o Eurocódigo 8 (EC8) indica na sua secção 5.2.3.4 que para a
análise da ductilidade local, os índices de ductilidade devem ser determinados para um
momento último correspondente a 85% do momento máximo resistente no troço descendente.
Ductilidade e Rotação Plástica
24
Pode concluir-se que existem diferentes critérios para a quantificação da capacidade de
rotação plástica, sendo por isso importante uma definição clara da forma de análise a utilizar,
pois deferentes critérios produzem diferentes resultados.
Figura 3.2 - Várias formas de quantificar a rotação plástica
Na Figura 3.2, My é o momento em que as armaduras atingem a tensão de cedência, Mp é o
momento correspondente a uma percentagem do momento máximo resistente no troço
descendente e Mmáx é o momento máximo resistente.
A capacidade de rotação plástica depende de diversos parâmetros que se influenciam
mutuamente, tornando a análise da influência de apenas um dos parâmetros bastante difícil.
Para elementos em que o esforço predominante é o momento flector, os principais factores de
interesse são os seguintes:
Relação x/d;
Taxa de armadura de tracção;
Taxa de armadura de compressão;
Resistência do betão à compressão;
Resistência e ductilidade das armaduras;
Aderência e pormenorização das armaduras;
Esbelteza da viga;
Efeito do esforço transverso;
Taxa de armadura transversal;
Largura dos apoios e do ponto de aplicação da carga e velocidade do carregamento.
Capítulo 3
Tiago Simões 25
3.2.1. Relação x/d
De uma forma geral os regulamentos e códigos existentes, consideram a capacidade de
rotação plástica dependente da relação x/d, em que x é a profundidade do eixo neutro e d é a
altura útil da secção. Este parâmetro traduz de certa forma a influência de outros factores
como a quantidade de armadura longitudinal de tracção e de compressão, a relação σ-ε do aço
e do betão e a geometria da secção. Assim sendo, quando se analisa o valor da relação x/d,
está também a avaliar-se indirectamente outras características da secção (Carmo, 2004).
A simplificação dos regulamentos fazerem depender a determinação da capacidade de rotação
plástica apenas do parâmetro x/d pode parecer simplista, atendendo à complexidade da
análise, mas é justificada por ser de fácil aplicação prática e por ser se tratar de um parâmetro
que pode dar uma boa percepção da capacidade de deformação das secções.
A Figura 3.3 apresenta a relação entre x/d e a rotação plástica, dependendo do tipo de aço.
Esta abordagem está presente no EC2 e no Model Code 2010 (MC2010).
Figura 3.3 - Relação entre x/d e a rotação plástica de acordo com o EC2 e o MC2010
3.2.2. Taxa de armadura de tracção
Numa viga de betão armado, a rotura pode ocorrer antes ou depois de as armaduras de tracção
atingirem a tensão de cedência (rotura frágil e dúctil, respectivamente). Vários factores podem
condicionar o tipo de rotura, contudo, a taxa de armadura de tracção é um dos factores mais
influentes nesse aspecto (Farage, 1995; Gamino, 2003).
A Figura 3.4 representa a relação entre o Parâmetro de Tendência Plástica (PTP) e a
percentagem de armadura em vigas de betão de alta resistência. O PTP fornece uma indicação
da capacidade de rotação plástica. Quanto maior for o valor do PTP, maior é a capacidade de
rotação plástica da viga ensaiada (Bernardo e Lopes, 2009).
Ductilidade e Rotação Plástica
26
Figura 3.4 – Parâmetro de Tendência Plástica relativamente à taxa de armadura de tracção (Bernardo e
Lopes, 2009)
Da observação da Figura 3.4 percebe-se que o valor do PTP decresce com o aumento da taxa
de armadura de tracção. Assim sendo, de acordo com este estudo, verifica-se que o aumento
da taxa de armadura de tracção origina uma diminuição da capacidade de rotação plástica das
vigas de betão armado.
Realça-se ainda que a taxa de armadura de tracção tem uma grande influência na
redistribuição de esforços de estruturas hiperestáticas, não só porque afecta a capacidade de
rotação plástica, mas também porque, após a fendilhação do betão, a rigidez à flexão da
secção depende significativamente da quantidade de armadura de tracção (Carmo, 2004).
3.2.3. Taxa de armadura de compressão
As vigas de betão armado são normalmente duplamente armadas, ou seja, possuem armadura
longitudinal de tracção e de compressão. A armadura de compressão, para além de facilitar a
colocação de estribos, melhora também a ductilidade das vigas, particularmente as que
possuem uma elevada taxa de armadura de tracção. Isto acontece porque a colocação de
armadura na zona comprimida das vigas provoca uma diminuição da profundidade do eixo
neutro, causada pelo aumento da capacidade resistente dessa zona.
O facto de as vigas possuírem armadura de compressão torna-se importante para a fase
posterior à fendilhação e destacamento da lâmina de betão comprimido de recobrimento.
Mesmo depois do esmagamento do betão nas fibras mais comprimidas, uma secção pode
continuar a aumentar a sua curvatura até ao momento em que os varões comprimidos atingem
a rotura por encurvadura, dependendo claro, da taxa de armadura de tracção e da armadura de
confinamento transversal. Contudo, é de mencionar que, a armadura de compressão melhora a
ductilidade das vigas, desde que os varões constituintes desta armadura estejam confinados,
por exemplo com armadura transversal, para não apresentarem problemas de instabilidade
(Farage, 1995).
Capítulo 3
Tiago Simões 27
3.2.4. Resistência do betão à compressão
A influência da resistência do betão à compressão na ductilidade e capacidade de rotação
plástica de vigas ainda gera alguma incerteza entre os investigadores. Alguns consideram que
há um ganho de ductilidade com o aumento da resistência do betão e outros consideram que
praticamente não tem influência.
A investigação realizada por Michèle Farage (Farage, 1995) propõe que a resistência do betão
à compressão é um parâmetro que exerce pouca influência na ductilidade e na capacidade de
rotação plástica. As Figuras 3.5 e 3.6 demonstram alguns dos resultados obtidos neste estudo,
nomeadamente os índices de ductilidade em deslocamento, μδ e em curvatura, μc.
Figura 3.5 - Índice de ductilidade em deslocamento, segundo Farage
Figura 3.6 - Índice de ductilidade em curvatura, segundo Farage
Ductilidade e Rotação Plástica
28
Segundo a autora, com o aumento da resistência à compressão do betão, os índices de
ductilidade das vigas ensaiadas sofrem uma ligeira diminuição. De acordo com a mesma, a
resistência à compressão do betão não exerce uma influência significativa nas propriedades
dúcteis e na capacidade de rotação plástica destes elementos. Neste estudo é referida uma
grande dispersão dos resultados para vigas com características semelhantes, pelo que não se
podem retirar conclusões mais exactas (Farage, 1995).
Contudo, a investigação realizada por André Gamino (Gamino, 2003) é um exemplo dos
trabalhos em que se concluiu que o aumento da resistência do betão melhorava a ductilidade
das vigas. As Figuras 3.7 e 3.8 demonstram alguns dos resultados obtidos neste estudo,
nomeadamente os índices de ductilidade em deslocamento, μδ e em curvatura, μc.
Figura 3.7 - Índice de ductilidade em deslocamento, segundo Gamino
Figura 3.8 - Índice de ductilidade em curvatura, segundo Gamino
Capítulo 3
Tiago Simões 29
Segundo este autor, apesar da fragilidade dos betões aumentar, em termos de extensão última,
com o acréscimo da sua resistência à compressão, é possível obter vigas de betão armado de
elevado desempenho, com propriedades dúcteis adequadas. Mantendo a taxa de armadura de
tracção constante, com o aumento da resistência à compressão do betão, a área necessária para
suportar as tensões de compressão diminui. Consequentemente, a relação x/d da viga também
diminui, o que causa, na maioria dos casos, maiores deformações ao nível da armadura de
tracção. Assim sendo, a capacidade de rotação plástica é aumentada (Gamino, 2003).
Deve referir-se que para vigas armadas, em que se utilize BDN, ainda existem algumas
reservas quanto à influência da resistência do betão na ductilidade e capacidade de rotação
plástica. É por isso evidente que para elementos deste tipo, constituídos por BEAL, as
mesmas reservas também existam, sendo por isso pertinente o estudo da influência desta
variável na capacidade de rotação plástica de vigas.
3.2.5. Resistência e ductilidade das armaduras
Quando a rotura ocorre pelo esmagamento do betão comprimido, são as características do
betão que definem a capacidade de rotação plástica. Já se a rotura ocorrer pelas armaduras,
significa que a capacidade de rotação plástica da viga depende essencialmente das
propriedades das armaduras (Farage, 1995). Assim sendo, pode considerar-se que a
ductilidade do aço é um parâmetro que tem uma grande influência na capacidade de rotação
plástica de vigas, quando a rotura da secção ocorre depois de as armaduras entrarem em
cedência.
Figura 3.9 - Diagrama tensão-extensão de aços com ductilidades diferentes (EC2)
A ductilidade do aço é uma propriedade mecânica relacionada com a sua capacidade de
absorver energia até atingir a rotura. Essa energia pode ser chamada de tenacidade e depende
significativamente da capacidade de deformação plástica do aço, sendo por isso este o factor
Ductilidade e Rotação Plástica
30
que permite a distinção dos diferentes graus de ductilidade do aço. É de referir que aços com
diferentes graus de ductilidade apresentam diferentes extensões para a carga última (Figura
3.9).
A tenacidade é constituída pela soma da energia que pode ser recuperada quando se retira a
força aplicada (energia elástica) com a energia que não pode ser recuperada quando se retira a
força aplicada (energia plástica), que está associada a deformações plásticas.
Um parâmetro que indica a reserva de resistência do aço depois de entrar em cedência é a
relação (ft/fy)k em que ftk é a tensão característica última do aço e fyk é a tensão característica de
cedência do aço. A margem de segurança relativamente à rotura do aço aumenta com o
aumento da relação (ft/fy)k. Quanto maior for a relação (ft/fy)k e o valor de εuk (extensão total
característica do aço), maior é a sua tenacidade. A influência destes parâmetros na capacidade
de rotação plástica de uma viga depende da sua taxa de armadura de tracção (Carmo, 2004).
No Quadro 3.1 apresenta-se uma classificação do aço de acordo com o EC2 e o MC2010. Os
regulamentos e códigos mais recentes concedem uma grande importância à classificação do
aço em termos de ductilidade, devido à influência das propriedades dúcteis das armaduras na
ductilidade das estruturas de betão armado.
Quadro 3.1 - Classificação do aço em termos de ductilidade de acordo com o EC2 e o MC2010
Designação (ft/fy)k εuk (%)
EC2
A ≥ 1,05 ≥ 2,5
B ≥ 1,08 ≥ 5,0
C ≥ 1,15 e < 1,35 ≥ 7,5
MC2010
A ≥ 1,05 ≥ 2,5
B ≥ 1,08 ≥ 5,0
C ≥ 1,15 e ≤ 1,35 ≥ 7,0
D ≥ 1,25 e ≤ 1,45 ≥ 8,0
3.2.6. Aderência e pormenorização das armaduras
A aderência das armaduras afecta significativamente o comportamento das estruturas nas
condições de serviço porque influencia o espaçamento entre fendas e a contribuição do betão
entre fendas para resistir às forças de tracção. A contribuição do betão entre fendas para
resistir às forças de tracção só é possível porque nas secções entre fendas consecutivas, parte
da força de tracção é transmitida para o betão, devido à aderência entre as armaduras e o
betão. Uma grande contribuição do betão entre fendas para resistir às forças de tracção origina
uma maior rigidez média à flexão dos elementos no estado fendilhado, resultando em menores
deformações. Uma grande contribuição do betão entre fendas traduz-se por um valor baixo na
relação entre a extensão média das armaduras entre fendas e a extensão da armadura numa
fenda. Compreende-se que essa relação esteja dependente do comprimento de transmissão e
Capítulo 3
Tiago Simões 31
da forma do diagrama de tensões de aderência ao longo desse comprimento. É de referir que
numa secção fendilhada, são as armaduras que resistem à força de tracção (Carmo, 2004).
Na verificação da segurança aos estados limites últimos a aderência entre o aço e o betão é
também fundamental e afecta a capacidade de rotação plástica das vigas. Um estudo realizado
por Calvin et al constatou que vigas de betão armado com armaduras lisas desenvolviam
maiores rotações plásticas que vigas similares mas com armaduras nervuradas (Figura 3.10).
Este resultado foi explicado atendendo a que as armaduras com menor aderência
desenvolvem, na vizinhança das fendas, um comprimento maior de armadura com extensões
iguais ou superiores à extensão de cedência, reduzindo a rigidez média e aumentando assim as
deformações.
Figura 3.10 - Influência da aderência da armadura na rotação plástica (Carmo, 2004)
A pormenorização das armaduras também tem influência no tipo de fendilhação e na
capacidade de rotação plástica das vigas. Para uma determinada área de armadura podem
definir-se diferentes combinações de varões, com diversos diâmetros e número de varões, que
promovem diferentes valores para a área de contacto entre a armadura e o betão. Assim sendo,
diferentes pormenorizações das armaduras ocasionam diferentes tipos de fendilhação e
espaçamento médio entre fendas (Carmo, 2004).
Ductilidade e Rotação Plástica
32
3.2.7. Esbelteza da viga
Alguns trabalhos experimentais já realizados sugerem que a capacidade de rotação plástica é
afectada pelo aumento da esbelteza da viga. Com o aumento da esbelteza, λ (Expressão 3.3),
ocorre um aumento do comprimento da rótula plástica e da curvatura máxima (Carmo, 2004;
Gamino, 2003).
(3.3)
Em que:
l – comprimento da viga
h – altura da secção
Como se pode verificar na Figura 3.11, para uma viga de vão constante, a diminuição da
altura da secção produz um aumento da rotação (Debernardi e Taliano, 2002). Da análise da
Figura 3.12 pode-se averiguar que para uma viga com altura constante, o aumento do vão
produz um aumento do comprimento da zona plástica.
Figura 3.11 - Influência da altura da viga na capacidade de rotação (Debernardi e Taliano, 2002)
Capítulo 3
Tiago Simões 33
Figura 3.12 - Momento flector ao longo da viga para vários valores de esbelteza (CEB Nº 242, 1998)
3.2.8. Efeito do esforço transverso
Estudos teóricos e experimentais já realizados sugerem que o valor do esforço transverso na
zona das rótulas plásticas tem uma grande influência nas deformações plásticas (Kong e
Rangan, 1998; Yoon et al, 1996).
Este facto pode explicar-se devido ao tipo de fendilhação que se forma na região crítica. A
fendilhação causada exclusivamente por esforços de flexão caracteriza-se por fendas
perpendiculares ao eixo da viga, enquanto a fendilhação causada por esforço transverso
caracteriza-se por fendas com uma determinada inclinação em relação ao eixo da viga. Este
facto possibilita um aumento da zona crítica e, consequentemente, um aumento do
comprimento da rótula plástica.
Contudo, há estudos que concluem que, em algumas condições, o efeito do esforço transverso
é praticamente nulo ou então origina uma diminuição da capacidade de rotação plástica
(Bastos, 1997; CEB Nº 105, 1976). Segundo o EC2, a capacidade de rotação plástica diminui
com o aumento do esforço transverso. Os valores da Figura 3.3 devem ser corrigidos pelo
factor kλ (Expressão 3.4), quando o valor de é diferente de 3,0. Simplificadamente, pode
ser determinado de acordo com a Expressão 3.5.
(3.4)
(3.5)
Ductilidade e Rotação Plástica
34
Em que:
λ – esbelteza em relação ao esforço transverso
MEd – momento actuante
VEd – esforço transverso actuante
d – altura útil da secção
Um estudo realizado por Carmo e Lopes (Carmo e Lopes, 2005) também prevê que, o
aumento do esforço transverso origine uma ligeira diminuição da capacidade de rotação
plástica (Figura 3.13).
Figura 3.13 - Rotação plástica em função do esforço transverso (Carmo e Lopes, 2005)
3.2.9. Taxa de armadura transversal
O confinamento do betão comprimido melhora a sua resistência à compressão e a sua
extensão última. Por isso, quanto melhor for o confinamento transversal do betão
comprimido, obtido através da diminuição do espaçamento e pela utilização de aço com uma
elevada tensão de cedência na armadura transversal, maior será a capacidade de rotação
plástica da viga. Vários estudos realizados confirmam que o confinamento da zona
comprimida das vigas melhora a sua ductilidade e a capacidade de rotação plástica, em
especial nos casos em que a rotura é frágil e condicionada pelas propriedades do betão. Já se a
rotura da viga for dúctil e depender das propriedades dúcteis do aço, então o confinamento do
betão tem pouca influência na ductilidade e a capacidade de rotação plástica (Carmo e Lopes,
2005; Farage, 1995; Gamino, 2003). Estes pressupostos são evidentes na Figura 3.14, em que
uma vez mais, se evidencia que a armadura transversal é importante não só para confinar o
betão, mas também para impedir a encurvadura das armaduras comprimidas.
Capítulo 3
Tiago Simões 35
Figura 3.14 - Influência da taxa da armadura transversal na rotação plástica (Carmo e Lopes, 2005)
3.2.10. Largura dos apoios e do ponto de aplicação da carga e velocidade do
carregamento
Estudos realizados por Langer e Chandrasekhar/Falkner sugerem que a diminuição da largura
do ponto de aplicação da carga e dos apoios diminui a capacidade de rotação plástica do
elemento em estudo. Quanto maior for a largura do ponto de aplicação da carga e dos apoios,
maior será a zona da viga com confinamento externo. Assim sendo, a resistência do betão à
compressão e a sua deformabilidade serão também maiores (Carmo, 2004).
Em relação à velocidade do carregamento, alguns estudos sobre esta questão sugerem que,
com o aumento da velocidade de aplicação da carga, a ductilidade e capacidade de rotação
plástica diminuem (Al-Haddad, 1995).
3.3. Considerações Finais
Relativamente a estudos relativos à ductilidade e à capacidade de rotação plástica em vigas de
BEAL armado, aquando da realização deste documento, poucos trabalhos relevantes foram
encontrados. Na verdade o trabalho mais interessante e evidente, nesta área de investigação,
foi o realizado por Lim Hwee Sin entre outros autores (Sin et al, 2011). As principais
conclusões retiradas desta investigação foram as seguintes:
Em termos de fendilhação e no que diz respeito ao número de fendas e à sua largura,
as vigas de BEAL apresentam um comportamento melhor do que as de BDN, para a
carga de serviço, ou seja, apresentam mais fendas e com menor abertura;
Na carga de serviço, as vigas de BEAL sofrem mais deslocamentos do que as de BDN.
Contudo, a máxima diferença é de cerca de 10%, neste caso;
A resistência máxima de vigas de BEAL e de BDN é semelhante relativamente à
prevista;
As vigas de BEAL apresentam geralmente menor ductilidade do que as de BDN;
Ductilidade e Rotação Plástica
36
Estribos com espaçamentos inferiores a d/4, na zona de momentos máximos, podem
aumentar substancialmente a ductilidade das vigas de BEAL;
Para atingir um índice de ductilidade em curvatura, no mínimo de 3, nas vigas de
BEAL, é necessário reduzir a taxa de armadura de tracção, relativamente às vigas de
BDN.
Assim sendo, e pelos resultados deste estudo, as vigas de BEAL apresentam um
comportamento distinto das de BDN em alguns parâmetros.
De facto, através das diferenças entre BDN e BEAL já enumeradas no Capítulo 2, pode
efectuar-se uma breve reflexão acerca da ductilidade e da capacidade de rotação plástica de
vigas de betão leve armado.
À semelhança do que ocorre no BDN, o BEAL apresenta roturas mais frágeis com o aumento
da sua resistência. Da mesma forma, com o aumento da resistência do betão, a relação x/d da
viga diminui. Analisando a influência destes dois aspectos, previu-se que o aumento da
resistência do BEAL não implica uma diminuição nas propriedades dúcteis das vigas.
Como o BEAL apresenta uma rigidez semelhante entre a pasta ligante e os agregados,
deduziu-se que, a rotura das vigas seja mais frágil comparativamente a BDN, uma vez que,
quando uma das fases entrar em rotura e as tensões forem transferidas para a outra fase
constituinte, esta também estará muito próxima da rotura e sem grande reserva de resistência,
o que provocará uma rotura quase simultânea da pasta ligante e dos agregados. Também
devido a este aspecto, é de prever que na análise do comportamento das vigas com BEAL, o
troço descendente nas relações P-δ e M-θ seja reduzido, ou mesmo que não exista.
O módulo de elasticidade do BEAL é inferior comparativamente ao BDN, devido à diferença
de rigidez dos agregados leves. Consequentemente, a rigidez à flexão das vigas com BEAL é
também inferior, o que implica teoricamente, um aumento das deformações sofridas pelas
mesmas, até à cedência das armaduras. Após a cedência das armaduras, este factor contribuirá
para a rigidez da viga, mas surgem dúvidas quanto à forma como condiciona a ductilidade e a
capacidade de rotação plástica. Supondo que as deformações últimas sofridas por vigas de
BEAL e BDN são idênticas, pois apesar de terem diferentes módulos de elasticidade, a lei-
constitutiva é também diferente, este factor pode contribuir para uma redução das
deformações plásticas, tendo um efeito negativo na ductilidade e capacidade de rotação
plástica das vigas.
A reflexão realizada contempla os efeitos das diferenças entre as propriedades dos BDN e dos
BEAL separadamente. O resultado destes efeitos em vigas armadas é difícil de prever e, por
isso, considera-se necessário o estudo experimental relativamente à ductilidade e capacidade
de rotação plástica de vigas de BEAL armado, variando a taxa de armadura longitudinal e a
resistência do betão.
Capítulo 4
Tiago Simões 37
Capítulo 4 – Programa Experimental
4.1. Introdução
O trabalho experimental realizado teve como objectivo principal estudar a influência da
resistência do betão à compressão na capacidade de rotação plástica de vigas de BEAL
armado.
A análise experimental sobre o comportamento de uma determinada estrutura consiste tanto
na observação como na quantificação dos efeitos estruturais que resultam da aplicação das
acções previstas, que neste trabalho foram definidas inicialmente. Com o registo de
determinados parâmetros, como as reacções nos apoios, os deslocamentos e as extensões em
certas secções críticas do elemento, podem quantificar-se os efeitos resultantes das acções
impostas. A observação do mecanismo de rotura é um aspecto importante, assim como a
observação do tipo de fendilhação e da evolução da largura e do comprimento das fendas.
O estudo experimental tem a vantagem de permitir analisar um determinado fenómeno em
condições reais, sem a interferência de processos ou modelos de carácter teórico. Porém, é de
salientar que existem imperfeições e erros humanos e técnicos, que podem afectar as
medições das grandezas em estudo, embora estes se tentem minimizar.
Foram ensaiadas até à rotura 6 vigas de BEAL armado, com 3 metros de comprimento. As
vigas estavam simplesmente apoiadas, sendo o vão de 2,80 m. Foi-lhes imposto um
carregamento simétrico, constituído por duas forças concentradas de igual valor, colocadas
aproximadamente nos terços do vão. Assim sendo, foi possível obter uma região central
submetida à flexão pura, ou circular. Contudo, poderá ocorrer um pequeno esforço transverso
na referida zona central, embora desprezável, devido à inevitabilidade de existirem pequenos
desvios geométricos e também ao efeito do peso próprio das vigas. A rotura das vigas ocorreu
sempre por flexão na zona central, entre as forças aplicadas, embora a secção de rotura fosse
aleatória nessa região. As variáveis consideradas nos ensaios foram a resistência do betão à
compressão e a taxa de armadura longitudinal de tracção.
Foram medidos, além das forças e deslocamentos do actuador, os valores das reacções nos
dois apoios, os deslocamentos verticais (a meio vão e nas secções de aplicação da carga) e os
deslocamentos horizontais na zona central. Com base nos deslocamentos horizontais, foi
possível determinar o diagrama de extensões médias ao longo da secção representativa da
zona central da viga admitindo a lei de conservação das secções planas.
4.2. Caracterização das Vigas de Ensaio
As vigas ensaiadas foram produzidas com BEAL de diferentes valores de resistência à
compressão, variando ainda a taxa de armadura longitudinal de tracção. As dimensões médias
das vigas, após a descofragem, foram as seguintes:
Programa Experimental
38
Altura da secção: 0,27 m;
Largura da secção: 0,12 m;
Comprimento: 3,00 m.
Consideram-se dimensões médias porque ocorreram pequenos desvios nas dimensões das
vigas, causados por pequenos desvios dimensionais dos moldes metálicos e pelo acabamento
superficial efectuado manualmente. Foi adoptado um recobrimento das armaduras de 2,0 cm.
Contudo, as dimensões reais de cada viga foram registadas e utilizadas nos cálculos
efectuados. Foi também efectuado um tratamento superficial nas vigas, antes de serem
ensaiadas, garantindo um acabamento mais regular na zona onde seriam aplicadas as cargas.
No estudo experimental foram, assim, utilizadas duas séries de vigas com diferentes taxas de
armadura longitudinal de tracção. Essas séries de vigas foram denominadas de V2 e V4, uma
vez que fazem parte de um estudo mais abrangente, com diferentes taxas de armadura de
tracção. O aço escolhido para as armaduras das vigas foi da classe A500 NR SD.
Foram produzidas três vigas de cada série, V2 e V4. Em cada uma dessas séries utilizaram-se
diferentes BEAL (LC35, LC50 e LC70), com diferentes valores de resistência à compressão.
Os valores médios da resistência à compressão, aos 28 dias em provetes cúbicos, que se
definiram foram: 35, 55 e 70 MPa. A massa volúmica pretendida para todos os três tipos de
betão era de aproximadamente 1900 kg/m3. Resumidamente, foram produzidas as seguintes
vigas: uma V2 e uma V4 com um betão LC35; uma V2 e uma V4 com um betão LC50; uma
V2 e uma V4 com um betão LC70.
Na Figura 4.1 apresenta-se um corte longitudinal da viga V2 onde se representam as
dimensões médias, a pormenorização das armaduras e o modelo teórico para o sistema de
apoio utilizado. Não foi considerada a colocação de armadura transversal na zona de flexão
pura, de modo a evitar a influência do confinamento nos resultados obtidos. Contudo, esta foi
considerada nas zonas extremas das vigas, para evitar uma rotura por esforço transverso.
Figura 4.1 - Corte longitudinal das vigas V2
A Figura 4.2 representa um corte transversal da viga V2 com as dimensões médias da secção
transversal assim como as pormenorizações das armaduras transversal e longitudinal.
Capítulo 4
Tiago Simões 39
Figura 4.2 - Corte transversal das vigas V2
Na Figura 4.3 apresenta-se um corte longitudinal da viga V4 onde se representam as
dimensões médias, a pormenorização das armaduras e o modelo teórico para o sistema de
apoio utilizado.
Figura 4.3 - Corte longitudinal das vigas V4
A Figura 4.4 representa um corte transversal da viga V4 com as dimensões médias da secção
transversal assim como as pormenorizações das armaduras transversal e longitudinal.
Figura 4.4 - Corte transversal das vigas V4
Programa Experimental
40
Na Figura 4.5 está representada a distribuição teórica dos esforços internos ao longo da viga,
em função das forças concentradas, aplicadas durante o ensaio. Na distribuição apresentada
não estão incluídos os esforços introduzidos pelo peso próprio da viga, pois admitiu-se que
tais esforços são desprezáveis relativamente aos induzidos pelo carregamento. A colocação
das cargas assinaladas permite, assim, obter uma zona central, limitada pelos pontos de
aplicação das cargas, submetida, em teoria, à flexão pura.
Figura 4.5 - Distribuição teórica dos esforços internos ao longo da viga
Realizaram-se alguns cálculos preliminares, para cada viga, com os seguintes objectivos:
verificar se o equipamento de aplicação da carga teria capacidade suficiente para provocar a
rotura das vigas; verificar se a armadura transversal das vigas era suficiente para evitar uma
rotura prematura por esforço transverso.
Nestes cálculos admitiu-se um valor médio da tensão de cedência do aço de 550 MPa, e que
as armaduras de tracção atingiam este valor. O cálculo do esforço transverso resistente foi
efectuado de acordo com o EC2.
A força prevista no actuador, capaz de provocar a rotura de cada viga, era o dobro do
momento resistente da mesma, MRd, como é perceptível na Figura 4.5. O valor de MRd de cada
viga foi estimado da seguinte forma:
(4.1)
Capítulo 4
Tiago Simões 41
Em que:
As – área de aço da armadura de tracção
σs – tensão na armadura de tracção
d – altura útil da secção
Da observação da Figura 4.5 também é perceptível que valor do esforço transverso actuante,
VEd, corresponde a metade da carga aplicada pelo actuador. A armadura transversal das vigas
é constituída por estribos verticais, logo, o valor do esforço transverso resistente, VRd, de cada
viga é o menor dos seguintes valores:
(4.2)
(4.3)
Em que:
Asw – área da secção transversal das armaduras de esforço transverso
s – espaçamento dos estribos
z – braço do binário das forças interiores, igual a 0,9 × d
fywm – valor médio da tensão de cedência das armaduras de esforço transverso
θ – ângulo formado pela escora comprimida de betão e o eixo da viga
acw – coeficiente que tem em conta o estado de tensão no banzo comprimido
bw – largura da secção
ν1 – coeficiente de redução da resistência do betão fendilhado por esforço transverso,
igual a 0,6 × (1 – flcm / 250), com flcm em MPa
flcm – valor médio da tensão de rotura do betão leve à compressão
No Quadro 4.1 apresenta-se o resumo destes cálculos preliminares que servem apenas para
uma aproximação grosseira, de modo a verificar se as vigas apresentarão um comportamento
próximo do idealizado.
Quadro 4.1 - Cálculos preliminares
Viga d
(m)
ρ
(%)
MRd
(kN.m)
Carga do
actuador
(kN)
VEd
(kN)
VRd,s
(kN)
VRd,máx
(kN)
V2 LC35 0,234 1,12 36,37 73 36,50 82,53 208,73
V2 LC50 0,234 1,12 36,37 73 36,50 82,53 279,76
V2 LC70 0,234 1,12 36,37 73 36,50 82,53 357,28
V4 LC35 0,226 2,96 89,94 180 90,00 141,24 201,59
V4 LC50 0,226 2,96 89,94 180 90,00 141,24 270,20
V4 LC70 0,226 2,96 89,94 180 90,00 141,24 345,06
Programa Experimental
42
4.3. Composição e Caracterização dos BEAL
4.3.1. Constituintes dos BEAL
4.3.1.1. Ligantes
A escolha do cimento utilizado na produção do betão colocado nas vigas, dependeu
essencialmente da resistência à compressão que se pretendia. Assim, para o betão LC35
utilizou-se um cimento do tipo CEM II/B-L 32,5R da Cimpor, para o betão LC50 utilizou-se
um CEM II/A-L 42,5R da Secil e para o betão LC70 utilizou-se um CEM I 52,5R da Secil.
Na composição do betão LC70 foi prevista uma dosagem de sílica de fumo, por se tratar de
uma classe de resistência elevada, sendo geralmente eficiente a utilização desta adição em
betões de elevado desempenho.
Como material ligante da composição do betão LC35, além do cimento referido, foi utilizada
uma dosagem de fíler de argila expandida Leca®
, para que não se utilizasse uma dosagem
muito baixa de ligante, uma vez que se pretende uma resistência baixa.
No Quadro 4.2 apresentam-se os valores da massa volúmica dos ligantes utilizados e na
Figura 4.6 podem ver-se as imagens dos vários ligantes utilizados no fabrico das vigas.
Quadro 4.2 - Massa volúmica dos ligantes
Ligante Massa volúmica (kg/dm3)
CEM II/B-L 32,5R 3,06
CEM II/A-L 42,5R 3,14
CEM I 52,5R 3,16
Sílicas de fumo 2,20
Fíler de argila expandida 2,60
Figura 4.6 - Cimento, Sílicas de fumo e Fíler de argila expandida
Capítulo 4
Tiago Simões 43
4.3.1.2. Agregados
a) Agregados de densidade normal
Na composição dos betões já referidos, foram utilizados dois tipos de areias, ambas da
empresa Argilis. Uma areia fina 0/2 mm (FS) e uma areia média 0/4 mm (MS). No Quadro 4.3
apresentam-se as propriedades, massa volúmica e baridade, das areias utilizadas:
Quadro 4.3 - Massa volúmica e baridade da areia
Agregado ρP0 (kg/dm3) π0 (kg/dm
3)
FS 2,63 1,48
MS 2,63 1,63
b) Agregados leves
Utilizaram-se agregados leves de argila expandida Leca®
, com diferentes granulometrias,
densidades e resistências, na constituição da fracção grossa dos betões em análise. Foram eles
a Leca®
Estrutural 2/4 mm (HD2/4) e a Leca®
Estrutural 4/12 mm, de dois lotes de produção
diferentes (HD4/12A e HD4/12B). A forma dos grãos depende do processo de fabrico, sendo
esta maioritariamente esférica. A estrutura dos grãos pode, genericamente ser dividida numa
estrutura superficial fechada, rugosa e densa, ao passo que a estrutura interna é muito porosa,
alveolar e de mais baixa densidade. No Quadro 4.4 apresentam-se as propriedades mais
relevantes dos agregados Leca®
utilizados: massa volúmica das partículas saturadas, PS;
massa volúmica das partículas no estado anidro, P0; baridade no estado anidro, π0;
percentagem de absorção de saturação, AS; percentagem de absorção em relação ao estado de
humidade natural, AN; teor humidade interior das partículas, HP.
Quadro 4.4 - Propriedades dos agregados leves
Agregado ρPS (kg/dm3) ρP0 (kg/dm
3) π0 (kg/dm
3) AS (%) AN (%) Hp (%)
HD2/4 1,49 1,34 0,74 11,5 1,2 10,2
HD4/12A 1,55 1,38 0,77 12,6 1,0 11,3
HD4/12B 1,24 1,12 0,63 12,1 6,0 4,6
Nas Figuras 4.7 e 4.8 podem ver-se as imagens dos vários agregados utilizados no fabrico dos
BEAL utilizados nas vigas, e na Figura 4.9 podem ver-se as correspondentes curvas da análise
granulométrica.
Programa Experimental
44
Figura 4.7 - Areia fina e areia média
Figura 4.8 - HD2/4 e HD4/12
Figura 4.9 - Análise granulométrica dos agregados
4.3.1.3. Adjuvantes e Água
O uso do adjuvante teve como principais objectivos o aumento da plasticidade e a redução da
quantidade de água necessária na mistura. Assim sendo, foi possível melhorar a resistência
mecânica do betão sem prejudicar a sua trabalhabilidade.
Capítulo 4
Tiago Simões 45
O adjuvante utilizado foi o ViscoCrete 20HE (20HE), um superplastificante de última
geração, redutor de água e também incrementador de viscosidade. A massa volúmica do
adjuvante é de 1,08 kg/dm3.
A água utilizada nas misturas e na saturação dos agregados grossos leves foi água da rede
pública de abastecimento, o que a torna apta para ser utilizada na produção de betão.
4.3.2. Composição dos BEAL
Para a execução das vigas foram utilizadas, conforme já referido, três composições de BEAL,
todas com a mesma massa volúmica, embora com diferentes valores para a resistência à
compressão (35, 50 e 70 MPa). Cada uma das três composições (LC35, LC50 e LC70) foi
estudada através do método apresentado por Costa, entre outros (Costa et al, 2010b),
atendendo à resistência à compressão pretendida para cada betão. No Quadro 4.5 apresentam-
se as composições utilizadas.
Quadro 4.5 - Composições dos betões para 1,0 m3
LC35 LC50 LC70
Constituinte Designação Massas
(kg)
Volumes
(litros)
Massas
(kg)
Volumes
(litros)
Massas
(kg)
Volumes
(litros)
Cimento
CEM II/B-L 32,5R 360 117,6 - - - -
CEM II/A-L 42,5R - - 450 143,3 - -
CEM I 52,5R - - - - 460 145,6
Adição Sílica de fumo - - - - 23 10,5
Fíler de Leca® 36 13,8 - - - -
Água Efectiva 148,3 148,3 130,8 130,8 134,9 134,9
Absoluta 23,4 - 24,1 - 7,2 -
Leca®
HD2/4 - - 55,4 37,2 166 112,4
HD4/12A - - - - 518 337,2
HD4/12B 390,1 332,9 391,8 334,4 - -
Areia FS - - - - 246,5 93,7
MS 948,3 360,6 868,1 330,1 369,8 140,6
Adjuvante 20HE 1,8 1,7 4,5 4,2 5,5 5,1
Ar da pasta Ar - 25 - 20 - 20
4.3.3. Propriedades do betão
As características do betão, determinadas experimentalmente, foram as resistências à
compressão e à tracção, o módulo de elasticidade e a massa volúmica. Para a caracterização
destes parâmetros foram produzidos, juntamente com cada viga: provetes cúbicos de
150×150×150 mm3; (Figura 4.10); provetes cilíndricos de 150 mm de diâmetro e 300 mm de
altura; provetes prismáticos de 100×100×400 mm3.
Programa Experimental
46
Figura 4.10 - Exemplar dos vários tipos de provetes produzidos
4.3.3.1. Módulo de elasticidade
A determinação do valor médio do módulo de elasticidade, Elcm, foi realizada recorrendo à
aplicação de uma carga cíclica, em dois provetes prismáticos, entre dois níveis de tensão
(LNEC E 397, 1993). Para medir as deformações que ocorreram em cada ciclo, colaram-se,
em duas faces opostas do prisma, duas pastilhas demec em cada face, e mediu-se a variação
da dimensão longitudinal, entre as pastilhas, com um alongâmetro (Figura 4.11). A
determinação foi concluída quando a diferença entre as deformações de ciclos consecutivos
foi inferior à condição de convergência da norma. O ensaio de cada provete foi realizado no
dia do ensaio da respectiva viga e os resultados apresentam-se no Quadro 4.6.
Figura 4.11 - Determinação do módulo de elasticidade no provete prismático
Capítulo 4
Tiago Simões 47
4.3.3.2. Massa volúmica
A determinação da massa volúmica do betão consistiu em efectuar uma pesagem dos provetes
cúbicos numa balança de precisão, dividindo a sua massa pelo respectivo volume (NP EN
12390). Assim, obtém-se a massa volúmica de cada betão (Quadro 4.6).
4.3.3.3. Resistência à compressão
Para a determinação da tensão de rotura à compressão dos betões, flc, foram utilizados os
provetes cúbicos de 150×150×150 mm3, nos quais foi aplicada uma carga, com uma
velocidade constante de 13,5 kN/s, até à rotura (NP EN 12390). Para isso, foi utilizada uma
prensa hidráulica de 3000 kN de capacidade (Figura 4.12). Para cada betão, foram ensaiados
dois provetes para as idades de 7 e 28 dias, tendo sido ensaiados 3 provetes no dia de ensaio
das vigas, que correspondeu a aproximadamente 125 dias para o betão LC35, 140 dias para o
betão LC50 e 180 dias para o betão LC70. O valor médio da tensão resistente à compressão,
flcm, foi obtido através da média aritmética dos valores registados, no dia de cada ensaio,
obtido pelo quociente entre a força de rotura e a área comprimida (Quadro 4.6).
Figura 4.12 - Determinação da resistência à compressão
4.3.3.4. Resistência à tracção
A determinação do valor médio da resistência à tracção, flctm, foi efectuada através do ensaio
de compressão diametral de provetes cilíndricos (Figura 4.13), no dia de ensaio das vigas (NP
EN 12390). Aplicou-se uma carga, com uma velocidade de 3,5 kN/s, até se atingir a rotura,
sendo a tensão de rotura, flct, de cada provete, dada pela Expressão 4.4. Os resultados
apresentam-se no Quadro 4.6.
(4.4)
Programa Experimental
48
Em que:
FD – força de rotura do provete, em N
h – altura do provete, em mm
D – diâmetro do provete, em mm
Figura 4.13 - Determinação da resistência à tracção por compressão diametral
Quadro 4.6 - Propriedades dos betões
Betão
Massa
volúmica
(kg/dm3)
Compressão Tracção Elcm
(GPa) flcm (MPa) flctm (MPa)
7 dias 28 dias dia teste dia teste dia teste
LC35 1,88 31,5 36,8 41,4 3,11 23,1
LC50 1,81 48,4 50,8 52,3 3,11 23,7
LC70 1,90 66,0 70,2 73,3 4,13 26,0
O valor da massa volúmica do betão LC50 apresentou um desvio significativo, sendo mais
baixo relativamente ao previsto. Este valor ficou a dever-se a um erro de pesagem do lote de
Leca®
HD4/12B, provavelmente pelo seu teor de humidade. O desvio identificado não afecta
apenas a massa volúmica, pois a resistência foi mais baixa relativamente à inicialmente
prevista de 55 MPa. Por fim, também o módulo de elasticidade deste betão apresentou um
valor mais baixo, em cerca de 1,0 GPa, relativamente ao esperado, devido à reduzida massa
volúmica. As restantes misturas LC35 e LC70 apresentaram resultados enquadrados nos
valores inicialmente previstos. Ainda assim, o betão LC35 apresentou uma resistência acima
do valor esperado, provavelmente por efeito pozolânico do fíler de argila expandida.
Capítulo 4
Tiago Simões 49
4.4. Caracterização do Aço
Para a armadura longitudinal das vigas, bem como para a armadura transversal, utilizaram-se
varões de aço da classe A500 NR SD (Figura 4.14), ou seja, varões nervurados, laminados a
quente de alta aderência e de ductilidade especial. Foram utilizados varões cujos diâmetros
variam entre 6 mm (Ø6) e 16 mm (Ø16).
Com o objectivo de analisar, com rigor, as tensões e as extensões de cedência, do aço
utilizado, executaram-se ensaios à tracção em provetes das armaduras (Figura 4.15), com 2 ou
3 provetes por diâmetro.
Figura 4.14 - Armaduras das vigas
Figura 4.15 - Realização de ensaios de tracção ao aço
Programa Experimental
50
O diagrama tensão-extensão, σ-ε, do conjunto de ensaios apresenta-se na Figura 4.16.
Figura 4.16 - Gráfico tensão-extensão das armaduras ensaiadas
A extensão de cedência média das armaduras, εsym, foi determinada a partir da tensão média
de cedência, fsym. Esta extensão, correspondente ao início do patamar de cedência, foi
calculada de acordo com a Lei de Hooke (Expressão 4.5), uma vez que a instrumentação da
deformação obtida pela prensa de ensaio não apresentava rigor suficiente.
(4.5)
Onde o parâmetro Es representa o módulo de elasticidade do aço que, neste trabalho
experimental, foi assumido como sendo igual ao valor regulamentar para armaduras
ordinárias, ou seja, 200 GPa. Sabe-se que este parâmetro apresenta uma variabilidade muito
reduzida, pelo que a simplificação proposta se considerou válida.
Assim sendo, no Quadro 4.7 apresentam-se as características experimentais do aço ensaiado e
faz-se uma comparação com as características previstas no EC2.
Quadro 4.7 - Características das armaduras ensaiadas
Tipo de aço fsyk
(MPa)
fsuk
(MPa)
εsuk
(%)
fsym
(MPa)
fsum
(MPa)
εsum
(%)
εsym
(‰)
EC2 A500 NR SD
500 550 12 - - - -
Experimental - - - 545 645 15 2,725
0
100
200
300
400
500
600
700
0% 5% 10% 15% 20% 25%
Ten
são
(M
Pa)
Extensão
A500 φ8 E1
A500 φ8 E2
A500 φ10 E3
A500 φ10 E4
A500 φ12 E5
A500 φ12 E6
A500 φ12 E7
Capítulo 4
Tiago Simões 51
4.5. Produção das Vigas
Para garantir que cada um dos betões estudados apresentava as características pretendidas,
fizeram-se previamente misturas de teste numa pequena misturadora de eixo vertical. Após a
preparação da cofragem e respectiva colocação das armaduras, efectuaram-se as amassaduras
para a betonagem das vigas a ensaiar. As vigas foram betonadas horizontalmente, em
cofragem metálica dividida por uma placa de contraplacado marítimo (Figura 4.17), o que
possibilitou a betonagem de duas vigas em simultâneo. Foi utilizada uma misturadora de eixo
vertical com capacidade de 80 litros (Figura 4.18), pelo que, para efectuar a betonagem
simultânea de duas vigas (Figura 4.19), foi necessário efectuar três amassaduras para cada
composição.
Figura 4.17 - Cofragem utilizada
Figura 4.18 - Execução das amassaduras
Programa Experimental
52
Figura 4.19 – Betonagem e compactação das vigas
Após a descofragem das vigas (Figura 4.20) e respectiva cura em ambiente do laboratório, e
antes de se realizarem os ensaios, as vigas foram sujeitas a uma regularização das zonas de
aplicação de carga, para evitar o esmagamento de algumas saliências de betão resultantes da
superfície de betonagem.
Figura 4.20 - Descofragem das vigas
Foram depois efectuadas as medições dos seguintes parâmetros: largura da secção; altura
média da secção na zona de flexão pura; comprimento total das vigas; distância das
extremidades de cada viga aos apoios; distância entre o centro das vigas e os pontos de
aplicação de carga; distâncias dos transdutores de deslocamento horizontais (usados para
Capítulo 4
Tiago Simões 53
medir deformações) relativamente às faces superior e inferior das vigas; distância da zona de
medição desses transdutores. Os factos descritos são exemplificados na Figura 4.21, que fazia
parte dos boletins de ensaio utilizados, apresentados no Anexo A.
Figura 4.21 - Esquema com as medidas mais significativas
No Quadro 4.8 são apresentadas algumas das medições efectuadas para a secção transversal
das vigas caracterizadas.
Quadro 4.8 - Dimensões reais das secções das vigas na zona de flexão pura
Série Viga b
(m)
h1
(m)
h2
(m)
h3
(m)
hméd
(m)
V2
V2 LC35 0,120 0,272 0,273 0,272 0,272
V2 LC50 0,120 0,272 0,275 0,273 0,273
V2 LC70 0,120 0,270 0,271 0,272 0,271
V4
V4 LC35 0,119 0,272 0,272 0,272 0,272
V4 LC50 0,120 0,275 0,274 0,273 0,274
V4 LC70 0,120 0,271 0,272 0,271 0,271
4.6. Descrição dos Ensaios
O pórtico utilizado para os ensaios é formado por dois pilares metálicos e uma viga,
constituída por dois perfis metálicos, ligados por parafusos, com o objectivo de reduzir as
deformações sofridas pelo pórtico na aplicação de carga dos ensaios (Figura 4.22). Os perfis
que compunham esta estrutura eram do tipo HE-B 300. Utilizaram-se, ainda, dois reforços
metálicos na ligação pilar-viga, aparafusados a ambos os elementos, para tornar a ligação
entre elementos mais rígida e, assim, reduzir as deformações.
Programa Experimental
54
Figura 4.22 - Pórtico de ensaio
Cada viga a ensaiar foi colocada sobre 2 apoios cilíndricos, que permitem rotação, colocados
simetricamente em relação ao eixo da viga e distanciados de 2,80 m. Estes cobrem toda a
largura da viga, estando apoiados sobre células de carga. As células de carga estão dispostas
sobre duas peças metálicas que permitem a fixação a uma viga de apoio metálica. Esta viga
servia para transmitir as reacções à laje de reacção, em betão armado, e para elevar a viga a
ensaiar, por motivos ergonómicos. Além disso, servia também para que os equipamentos de
leitura, a colocar posteriormente, tivessem espaço suficiente para serem dispostos
adequadamente, bem como pela comodidade de efectuar leituras durante o decorrer do ensaio.
Foram também fixas a este apoio, duas peças metálicas em U, que permitiam aumentar a
segurança do procedimento de ensaio, impedindo que a viga instabilizasse lateralmente,
evitando a queda e eventuais danos materiais e humanos.
O carregamento consistiu na aplicação vertical de duas forças concentradas, aplicadas
simetricamente a um metro dos apoios da viga. Esta distribuição foi materializada através da
utilização de um perfil metálico, acoplado ao actuador, com dois apoios cilíndricos com
capacidade de rotação, fixos ao perfil, que cobrem toda a largura da viga. Este perfil, colocado
simetricamente relativamente à secção de meio vão da viga, recebe a carga efectuada pelo
actuador e transmite-a à viga.
Capítulo 4
Tiago Simões 55
A carga principal é transmitida através de um actuador hidráulico, fixo ao pórtico de ensaio,
com capacidade máxima de 300 kN. O referido actuador possui um transdutor interno de
deslocamento e uma célula de carga, como parâmetros de medição e controlo. A aplicação da
acção é controlada por software, instalado no computador, podendo ser definidas, entre outras
variáveis, o tipo e a velocidade de aplicação da carga. A aplicação da acção pode ser
efectuada por controlo de força ou de deslocamento. No trabalho experimental realizado
optou-se por uma aplicação de carga por controlo de deslocamento, com uma velocidade de
0,01 mm/s. É de referir que, quando o transdutor de deslocamento do actuador atingisse o
valor de 35 mm, estava prevista uma paragem em que se mantinha o deslocamento durante
240 segundos, com o objectivo de reajustar os equipamentos de leituras de deslocamentos
verticais, que possuíam um curso efectivo de 50 mm. Uma grande vantagem deste sistema é
permitir paragens definidas no procedimento, sem parar a aquisição de dados. Também
permite a realização de pausas não programadas, com a possibilidade de retoma do ensaio,
sem parar a aquisição de dados.
Na Figura 4.23 apresenta-se uma fotografia de uma viga já preparada para o procedimento de
ensaio, com todos os equipamentos de instrumentação.
Nas Figuras 4.24 e 4.25 podem ver-se esquemas, tanto da constituição do pórtico, como do
conjunto viga/equipamento de aplicação da carga e dos instrumentos de medição.
Figura 4.23 - Viga preparada para ser ensaiada
Programa Experimental
56
Figura 4.24 - Esquema do pórtico e equipamentos de ensaio
Figura 4.25 - Esquema da viga e equipamentos de ensaio
Capítulo 4
Tiago Simões 57
4.7. Instrumentação
4.7.1. Instrumentação Exterior
Na base de cada apoio das vigas foi colocada uma célula de carga com capacidade de 200 kN,
com a finalidade de medir e controlar as reacções nos apoios, comparativamente à força do
actuador. Como já se referiu, o actuador utilizado possuía um transdutor interno de
deslocamento e uma célula de carga. O transdutor interno do actuador foi o dispositivo que
regulou a aplicação da carga nas vigas, enquanto a célula de carga do mesmo, serviu para
medir a força aplicada em cada instante e para comparar os valores de carga com as células
colocadas nos apoios das vigas (Figura 4.26).
Figura 4.26 - Célula de carga sob o apoio da viga
Para medir os deslocamentos verticais, em relação a um referencial fixo, foram colocados 3
transdutores de deslocamento, com curso máximo de 50 mm, fixos com bases magnéticas ao
perfil metálico da base fixo à laje. Estes aparelhos efectuavam as leituras em elementos de
cantoneira, aparafusados lateralmente à viga, sem estarem no mesmo plano. Com esta
disposição, não existiu o risco de os instrumentos ficarem danificados aquando da rotura da
viga, pois não se encontravam sob a mesma. Os pontos escolhidos para medir os
deslocamentos verticais foram nas secções de meio vão da viga e sob os pontos de aplicação
das cargas. Na Figura 4.27 podem ver-se os transdutores de deslocamento e o seu modo de
fixação.
Programa Experimental
58
Com a finalidade de medir as extensões de encurtamento e de alongamento sofridas pela zona
central da viga, e variáveis ao longo da altura da sua secção, foram utilizados dois
transdutores de deslocamento, colocados na horizontal, na zona da viga sujeita a flexão pura.
Para materializar esta medição, foram aparafusadas duas cantoneiras lateralmente à viga e
dispostas na vertical, de forma simétrica em relação à secção central, com a maior amplitude
fisicamente possível (0,66 m entre cantoneiras), para que a rotura ocorresse dentro da zona de
leitura. Numa das cantoneiras concebeu-se um sistema que permitia a fixação dos transdutores
de deslocamento, com capacidade de rotação para que estes se mantivessem horizontais após
a deformação da viga. Na outra cantoneira, colaram-se anéis metálicos, que permitiam o
encaixe das ponteiras dos transdutores de deslocamento sem restringir a sua capacidade de
rotação. Na Figura 4.27 é possível visualizar a disposição descrita anteriormente.
Figura 4.27 - Equipamentos de leitura de deslocamentos verticais e horizontais
4.7.2. Aquisição de Dados
Para efectuar a leitura de todos os dados ao longo do procedimento experimental foi utilizado
um software informático, denominado Dynatester. Para a utilização do programa referido foi
usado um computador dedicado exclusivamente para a realização de ensaios experimentais. O
programa mencionado permite não só controlar toda a aquisição de dados, mas também
efectuar o controlo da aplicação de carga. Assim sendo, garantiu-se a máxima fiabilidade do
processo, uma vez que o controlo da aplicação de carga e a aquisição de dados foram dois
processos dirigidos simultaneamente pelo mesmo programa e operador. A frequência de
Capítulo 4
Tiago Simões 59
aquisição de dados foi de uma leitura por segundo, o que permite um acompanhamento
detalhado da evolução das diversas grandezas ao longo do ensaio. Na Figura 4.28 pode ver-se
o mecanismo de controlo e aquisição de dados utilizado na realização dos trabalhos
experimentais.
Figura 4.28 - Equipamento de controlo e aquisição de dados
Capítulo 5
Tiago Simões 61
Capítulo 5 – Análise de Resultados
5.1. Introdução
Neste capítulo apresentam-se os resultados obtidos nos ensaios experimentais. Alguns destes
resultados foram devidamente analisados e processados para facilitar a interpretação do
comportamento estrutural das vigas ensaiadas.
Para se ter uma percepção da acção a que as vigas foram sujeitas, apresenta-se na Figura 5.1
um diagrama carga-deslocamento construído com os dados recolhidos dos transdutores do
actuador. Salienta-se que o deslocamento do actuador não corresponde ao deslocamento
sofrido pela viga, pois o deslocamento do actuador inclui a deformação do pórtico de reacção,
a deformação do perfil que distribui a carga em duas forças concentradas e, por fim, inclui a
deformação da viga ensaiada.
Figura 5.1 - Diagramas carga-deslocamento do actuador
5.2. Comportamento das Vigas até à Plastificação das Armaduras
5.2.1. Análise do Momento de Fendilhação
Um dos parâmetros a analisar é o momento de fendilhação das vigas ensaiadas. O momento
de fendilhação de uma viga é definido como o momento que provoca a primeira fenda de
tracção. Este facto ocorre quando a tensão na fibra mais traccionada do elemento atinge a
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
0 10 20 30 40 50 60
P (
kN)
δ (mm)
V2 LC35
V2 LC50
V2 LC70
V4 LC35
V4 LC50
V4 LC70
Análise de Resultados
62
tensão de rotura do betão à tracção. A análise deste parâmetro pode ser efectuada com ou sem
homogeneização da armadura longitudinal na secção de betão, embora esta última seja mais
grosseira.
Se não se considerar a contribuição das armaduras longitudinais para o cálculo do momento
de fendilhação, Mf, a análise é muito simples e resume-se à aplicação da Expressão 5.1. Por
outro lado, se for considerada a contribuição das armaduras longitudinais para o cálculo do
momento de fendilhação, realiza-se uma previsão mais realista. Neste caso, considera-se a
respectiva homogeneização da secção, em função da relação entre os módulos de elasticidade
do aço e do betão, e aplica-se o mesmo princípio da Expressão 5.1, embora com os valores
corrigidos de I e y. Contudo, o cálculo efectuado desta forma é mais trabalhoso, quando
comparado com o método indicado anteriormente. A análise do momento de fendilhação é
bastante importante, pois após a ocorrência das primeiras fendas, a viga sofre mais
deformação por unidade de carga aplicada, comparativamente à deformação obtida antes da
ocorrência dessas fendas.
(5.1)
Em que:
I – momento de inércia da secção de betão
flctm – valor médio da tensão de rotura do betão leve à tracção
y – distância entre o eixo neutro e a fibra mais traccionada
No Quadro 5.1 estão representados os vários momentos de fendilhação calculados. Os
procedimentos e cálculos efectuados para a sua obtenção são descritos em pormenor no
Anexo B. Neste quadro apresenta-se também o valor do momento de fendilhação obtido
experimentalmente. Para o efeito, definiu-se a relação momento-curvatura, M-1/r, (Figura
5.2), para cada viga. Nestes diagramas, apresenta-se esta relação numa fase anterior à possível
cedência das armaduras. Os valores dos momentos foram obtidos directamente a partir das
células de carga. Os valores das curvaturas foram obtidos indirectamente a partir dos
transdutores de deslocamento horizontais (método 1 do subcapítulo 5.5).
Quadro 5.1 - Comparação dos momentos de fendilhação obtidos
Viga flcm
(MPa)
Momento de fendilhação (kN.m)
Teórico Experimental
Sem homogeneização Com homogeneização
V2 LC35 37,3 4,62 5,70 7,0
V2 LC50 47,1 4,65 5,71 7,5
V2 LC70 66,0 6,07 7,34 8,0
V4 LC35 37,3 4,57 6,88 10,0
V4 LC50 47,1 4,68 6,95 11,0
V4 LC70 66,0 6,08 8,81 13,0
Capítulo 5
Tiago Simões 63
Figura 5.2 - Diagramas momento-curvatura de todas as vigas antes da cedência
Como se pode observar nos gráficos apresentados, nas vigas da série V2 é de fácil percepção
a identificação do ponto onde ocorre a fendilhação do elemento. Nesse ponto, ocorre uma
diminuição do declive da relação M-1/r, que representa a diminuição da rigidez do elemento à
flexão, provocada pela diminuição da contribuição do betão, no momento de inércia da peça.
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC35
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC35
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC50
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC50
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC70
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC70
Análise de Resultados
64
Já nas vigas da série V4, é mais difícil perceber em que momento ocorre a fendilhação do
elemento. Isto justifica-se pelo facto de, nesta série, a taxa de armadura longitudinal de
tracção ser maior. Assim, o betão tem uma menor influência na rigidez à flexão da viga. Neste
caso, foi benéfica a observação visual que se fez durante o ensaio, que permitiu, com uma
precisão aceitável, registar o momento em que apareceram as primeiras fendas nas vigas. Este
facto encontra-se documentado nos boletins de ensaio utilizados, apresentados no Anexo A.
Nas Figuras 5.3 e 5.4 podem comparar-se os momentos de fendilhação determinados e tirar-se
algumas conclusões sobre a sua evolução com a resistência à compressão do betão.
Figura 5.3 - Evolução do momento de fendilhação com a resistência do betão à compressão nas vigas da
série V2
Figura 5.4 - Evolução do momento de fendilhação com a resistência do betão à compressão nas vigas da
série V4
Da análise dos gráficos apresentados pode concluir-se que a análise do momento de
fendilhação sem homogeneização das armaduras, embora seja de fácil execução, é a mais
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
30 40 50 60 70
Mf (
kN.m
)
flcm (MPa)
Sem homogeneização
Com homogeneização
Experimental
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
30 40 50 60 70
Mf (
kN.m
)
flcm (MPa)
Sem homogeneização
Com homogeneização
Experimental
Capítulo 5
Tiago Simões 65
afastada da realidade, em ambas as séries. É de notar que nas vigas da série V4, os valores
obtidos experimentalmente parecem apresentar uma maior diferença para os valores
calculados com homogeneização das armaduras. O facto de estes valores terem sido
determinados recorrendo aos sentidos humanos (visão e audição), tem influência nesta
análise, pois as primeiras fendas podem ter ocorrido antes de o observador se ter apercebido
da sua existência. Por fim, pode observar-se que o momento de fendilhação aumenta com o
aumento da resistência do betão à compressão, nas duas séries, pois há também um aumento
da resistência do betão à tracção, além do aumento da rigidez à flexão.
5.2.2. Determinação da Carga de Cedência
A cedência de uma viga corresponde ao instante em que as armaduras de tracção atingem a
sua tensão de cedência. Após uma viga atingir a carga de cedência, sofre grandes deformações
para pequenos incrementos de carga. Este é um parâmetro com uma grande importância, pois
corresponde ao ponto de transição entre um comportamento aproximadamente elástico e um
comportamento plástico. Em materiais com um comportamento elasto-plástico perfeito, este
parâmetro é fácil de determinar através da observação do diagrama carga-deslocamento ou
momento-curvatura. Contudo em elementos de betão armado, a determinação da carga de
cedência pode ser um pouco mais complicada, pois é frequente existir um esbatimento dos
diagramas em torno do ponto de cedência.
Nas Figuras 5.5 a 5.10 apresentam-se os diagramas força-deslocamento, P-δ, de todas as
vigas, com o objectivo de determinar a carga de cedência. Os valores das cargas foram
obtidos directamente dos valores das células de carga. Os valores das flechas foram obtidos
directamente dos valores registados nos transdutores de deslocamentos verticais utilizados.
Foi utilizado o deslocamento correspondente à média dos deslocamentos, δm, nas secções de
aplicação das cargas. Os procedimentos e cálculos efectuados para a sua obtenção são
descritos em pormenor no Anexo C.
Figura 5.5 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC35 para determinar a carga de cedência
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
Cedência
Análise de Resultados
66
Figura 5.6 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC50 para determinar a carga de cedência
Figura 5.7 - Diagrama carga-deslocamento da viga V2 LC70 para determinar a carga de cedência
Figura 5.8 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC35 para determinar a carga de cedência
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
Cedência
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
Cedência
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
Capítulo 5
Tiago Simões 67
Figura 5.9 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC50 para determinar a carga de cedência
Figura 5.10 - Diagrama carga-deslocamento da viga V4 LC70 para determinar a carga de cedência
A carga de cedência determinada, e identificada nas figuras anteriores, corresponde ao
instante em que as armaduras atingem a sua tensão de cedência. É de referir que as armaduras
não atingem a sua tensão de cedência em todo o seu comprimento simultaneamente. Nas
secções das fendas e nas zonas entre fendas, as armaduras não apresentam a mesma extensão.
Consequentemente, a tensão das armaduras é diferente nestas zonas das vigas. Na secção da
fenda, a armadura apresenta uma extensão superior à que apresenta na zona entre fendas.
Logo, é de esperar que a armadura atinja a tensão de cedência nas zonas das fendas sem que
este facto ocorra nas zonas entre fendas. Devido a este facto, não se considerou correcto
determinar a carga de cedência através da extensão no aço, εs, determinada
experimentalmente pelos transdutores de deslocamento horizontais, por esta ser uma extensão
média ao nível do centro de gravidade das armaduras, que contempla a extensão do aço nas
fendas e entre fendas.
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
Cedência
Análise de Resultados
68
Da observação dos diagramas apresentados pode perceber-se que, nas vigas da série V2, o
ponto de cedência das armaduras é fácil de identificar. Já nas vigas da série V4 é mais difícil
de identificar essa situação. Este acontecimento pode dever-se ao facto de as vigas da série V4
apresentarem uma armadura de tracção com maior área, e varões com maiores diâmetros, do
que as vigas da série V2. Isto pode sugerir que, quando o varão inferior da armadura de
tracção já apresenta uma extensão correspondente à zona de cedência das armaduras, o varão
superior pode ainda não ter entrado em cedência. Este facto é mais evidente nas vigas com
varões de maior diâmetro dispostos em camadas, como é o caso de ambas as séries, mas nas
vigas V4, a distância entre os baricentros dos varões é maior, logo será mais evidente.
Pode observar-se que nas vigas V2 LC35 e V2 LC70 existe uma transição evidente entre o
Estado II (estado fendilhado) e o patamar de cedência. Este facto pode sugerir que as duas
camadas de varões que constituem a armadura de tracção, nestas vigas, terão entrado em
cedência quase em simultâneo. Já nas vigas V2 LC50, V4 LC35 e V4 LC70 parece existir
uma transição mais suave entre o Estado II e o possível patamar de cedência, contudo, não se
pode ter a certeza de que tal tenha de facto acontecido, sendo uma suposição aproximada. Já
na viga V4 LC50 parece claro que não existe qualquer evidência no diagrama de que esta
tenha atingido a cedência.
Para melhorar a análise e esclarecer as dúvidas sobre a cedência da armadura de algumas das
vigas, adoptaram-se dois métodos, que permitiram, com uma aproximação fiável, determinar
a força de tracção nas armaduras, que depois foi comparada com a força de cedência
correspondente. Estes métodos têm pressupostos idênticos, contudo, abordagens diferentes.
Refere-se que as seguintes análises só são possíveis porque, no instante da possível cedência
das armaduras, a extensão no betão apresenta valores na ordem de 1,4‰ a 1,8‰. Para estes
valores de extensão, o betão provavelmente ainda não atingiu a zona da segunda recta de
linearidade da relação bilinear de tensões-extensões. Assim sendo pode admitir-se uma
distribuição triangular de tensões no betão, correspondente à primeira zona de linearidade da
relação bilinear. Os procedimentos e cálculos efectuados nestas análises são descritos no
Anexo C.
O primeiro método consiste na determinação da força de compressão resultante no betão
(Figura 5.11). Através deste método é possível determinar a força resultante de compressão no
betão, Fc, multiplicando a área do diagrama de tensões pela largura da viga. Assim sendo, a
força de tracção nas armaduras, Fs, será igual à soma da força de compressão no betão com a
força nas armaduras comprimidas, Fs’. Este processo só foi possível porque se dispunha dos
valores da profundidade do eixo neutro, x, e da extensão no betão, εc, determinados
experimentalmente ao longo do ensaio.
O segundo método é semelhante ao primeiro. Admitiu-se uma distribuição triangular de
tensões no betão, e sabendo que a resultante deste diagrama está a um terço do topo do
triângulo (ponto O), calcula-se o momento das forças em relação à posição da resultante da
força de compressão (Figura 5.11), não sendo necessário calcular a força Fc. Assim sendo, e
Capítulo 5
Tiago Simões 69
conhecendo o momento actuante, pode calcular-se a força de tracção nas armaduras, Fs, em
função da força Fs’ e dos respectivos braços, equilibrando os momentos actuante e resistente.
Figura 5.11 - Diagrama para a determinação da força nas armaduras de tracção
Comparando a observação dos diagramas apresentados com os cálculos efectuados, pode
concluir-se que as vigas V4 LC35 e V4 LC50 não entraram em cedência, pois a força de
tracção nas armaduras não chegou, nestes casos, a valores capazes de provocar a cedência das
mesmas. Nas vigas V2 LC35 e V2 LC70, os valores obtidos graficamente são semelhantes
aos obtidos pelos cálculos efectuados.
5.3. Carga Máxima e Tipo de Rotura
5.3.1. Previsão da Carga Máxima
Com o objectivo de efectuar uma previsão da carga de rotura de cada viga, e de analisar o
comportamento das variáveis mais importantes no instante da rotura, efectuaram-se alguns
cálculos aproximados que permitiram prever a forma como cada elemento se comporta,
teoricamente. A referida rotina de cálculo foi efectuada de acordo com o EC2, com recurso a
uma distribuição rectangular de tensões para o betão à compressão (Figura 5.12), admitindo a
rotura pelo betão. Todos os valores dos parâmetros utilizados no cálculo foram os valores
médios, obtidos experimentalmente, com excepção da extensão εlcu3, que foi calculada de
acordo com o referido código.
Para materializar este procedimento, construiu-se uma folha de cálculo, no Microsoft Excel,
em que todos os parâmetros calculados dependeriam da profundidade do eixo neutro, x.
Assim sendo, foi possível determinar rapidamente o equilíbrio das forças internas na peça e o
momento resistente da mesma, apenas com recurso a um cálculo iterativo, dependente
unicamente da variável x. Os valores dos parâmetros que se consideraram importantes
apresentar encontram-se no Quadro 5.2. Todas as expressões utilizadas e cálculos efectuados
encontram-se detalhadamente no Anexo D.
Análise de Resultados
70
Figura 5.12 - Distribuição rectangular de tensões
Quadro 5.2 - Resultados relevantes do cálculo teórico da resistência
Série Viga MRd
(kN.m)
x
(m)
εs
(‰)
εs'
(‰)
V2
V2 LC35 38,36 0,0436 14,571 1,340
V2 LC50 39,08 0,0358 18,166 0,828
V2 LC70 39,38 0,0272 19,631 0,291
V4
V4 LC35 83,78 0,1155 3,333 2,503
V4 LC50 88,52 0,0914 5,025 2,205
V4 LC70 91,53 0,0680 6,137 1,603
Da análise do quadro apresentado, e observando os valores das extensões no aço à tracção, é
previsível que todas as vigas atinjam a rotura após as armaduras de tracção entrarem em
cedência, pois a extensão de cedência do aço utilizado é de aproximadamente 2,725 ‰.
Contudo, estas poderão sofrer grandes deformações sem aumento significativo do momento,
antes de atingir o colapso. É também possível visualizar que em cada série de vigas, o
momento resistente, MRd, aumenta com o acréscimo da resistência à compressão do betão,
embora esse aumento seja reduzido na série V2 e elevado na série V4. Já a profundidade do
eixo neutro evolui no sentido inverso, como era de esperar, reduzindo com o aumento da
resistência. Por fim, é possível analisar o valor estimado da extensão da armadura
comprimida.
Na Figura 5.13 pode-se comprovar que a relação x/d diminui com o aumento da resistência à
compressão do betão, para ambas as séries. Da análise desta figura percebe-se que as vigas da
série V2 apresentam valores de x/d muito inferiores às da série V4, factor que advém da
elevada taxa de armadura de tracção das últimas em relação às primeiras. É também
perceptível que a viga V4 LC35 exibe um valor previsto de x/d demasiado elevado, não
respeitando as premissas descritas no EC2, cujo valor máximo é de 0,45 para betões LC50/55
ou inferiores e 0,35 para betões LC55/60 ou superiores.
Capítulo 5
Tiago Simões 71
Figura 5.13 – Evolução do valor teórico de x/d na rotura em função da resistência média à compressão do
betão
5.3.2. Relação Momento Máximo/Momento de Cedência
Com o objectivo de analisar a reserva de resistência que cada viga possuía após as armaduras
de tracção atingirem a tensão de cedência, elaborou-se um gráfico com a relação momento
máximo atingido/momento de cedência, Mmáx/My, em função da resistência do betão à
compressão (Figura 5.14). Os valores obtidos para esta relação apresentam-se no Quadro 5.3.
Quadro 5.3 - Relação momento máximo/momento de cedência
Viga flcm
(MPa)
Mmáx
(kN.m)
My
(kN.m) Mmáx/My
V2 LC35 37,3 35,00 33,20 1,05
V2 LC50 47,1 34,06 30,19 1,13
V2 LC70 66,0 36,00 32,90 1,09
V4 LC35 37,3 63,90 - -
V4 LC50 47,1 71,70 - -
V4 LC70 66,0 82,53 70,30 1,17
Figura 5.14 - Relação Mmáx/My em função da resistência média à compressão do betão
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
30 40 50 60 70
x/d
flcm (MPa)
V2
V4
1,00
1,05
1,10
1,15
1,20
30 40 50 60 70
Mm
áx/M
y
flcm (MPa)
V2
V4
Análise de Resultados
72
Através da observação da Figura 5.14 pode perceber-se que as vigas V4 LC35 e V4 LC50 não
estão representadas no gráfico elaborado. Isso é explicado pelo facto de essas vigas não terem
atingido a sua respectiva carga de cedência, e por isso não se procedeu à sua inclusão nesta
relação. Ao analisar as vigas da série V2, parece haver um aumento da reserva de resistência
com o aumento da resistência à compressão do betão. Pode também notar-se que as vigas V2
LC50 e V4 LC70 são as que apresentam os maiores valores na relação efectuada. O facto de a
cedência das armaduras nestas vigas ser um processo gradual pode justificar estes resultados,
uma vez que, entre a entrada em cedência da primeira camada de armaduras e da segunda
camada de armaduras de tracção, as vigas continuam a aumentar a sua capacidade resistente,
embora de forma ligeira.
5.3.3. Relação Momento Máximo/Momento de Cálculo
Com o objectivo de analisar a percentagem da resistência, calculada teoricamente, que cada
viga atingiu, elaborou-se um gráfico com a relação momento máximo atingido/momento de
cálculo, Mmáx/Mcálc, em função da resistência do betão à compressão (Figura 5.15). Os valores
desta relação apresentam-se no Quadro 5.4.
Quadro 5.4 - Relação momento máximo/momento de cálculo
Viga flcm
(MPa)
Mmáx
(kN.m)
Mcálc
(kN.m) Mmáx/Mcálc
V2 LC35 37,3 35,00 38,36 0,91
V2 LC50 47,1 34,06 39,08 0,87
V2 LC70 66,0 36,00 39,38 0,91
V4 LC35 37,3 63,90 83,78 0,76
V4 LC50 47,1 71,70 88,52 0,81
V4 LC70 66,0 82,53 91,53 0,90
Figura 5.15 - Relação Mmáx/Mcálc em função da resistência média à compressão do betão
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
30 40 50 60 70
Mm
áx/M
cálc
flcm (MPa)
V2
V4
Capítulo 5
Tiago Simões 73
Da observação da Figura 5.15, percebe-se que as vigas V4 LC35 e V4 LC50 apresentam
valores inferiores aos das restantes vigas. Contudo, este era um resultado que já se esperava,
pois pensa-se que estas vigas sofreram uma rotura prematura na zona de compressão do betão,
potenciada pela ausência de confinamento do betão e eventualmente pela encurvadura das
armaduras comprimidas (subcapítulo 5.3.4.). Por este facto, as mesmas não atingiram a sua
respectiva carga de cedência e, consequentemente, não exploraram toda a capacidade
resistente das armaduras. Já para as outras vigas pode compreender-se que, em média, a sua
capacidade resistente corresponde a 90% da capacidade resistente prevista teoricamente. A
capacidade resistente prevista foi efectuada de acordo com o EC2, através de uma distribuição
rectangular de tensões para o betão comprimido. Pelo facto de os resultados experimentais
obtidos serem sempre inferiores aos previstos teoricamente, deduz-se a importância do
confinamento do betão e do travamento das armaduras longitudinais à compressão, na
garantia da capacidade resistente.
5.3.4. Fendilhação e Tipo de Rotura
Neste ponto efectua-se uma descrição sumária da evolução da fendilhação que as vigas
exibiram ao longo do ensaio. Esta análise pode, à partida, parecer pouco significativa,
contudo, a observação da fendilhação pode indicar alguns aspectos relevantes sobre o
comportamento das vigas (Figuras 5.16 a 5.21).
Figura 5.16 - Fendilhação da viga V2 LC35 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 10 mm)
Análise de Resultados
74
Figura 5.17 - Fendilhação da viga V2 LC50 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 20 mm)
Figura 5.18 - Fendilhação da viga V2 LC70 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 10 mm)
Capítulo 5
Tiago Simões 75
Figura 5.19 - Fendilhação da viga V4 LC35 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 20 mm)
Figura 5.20 - Fendilhação da viga V4 LC50 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 20 mm)
Análise de Resultados
76
Figura 5.21 - Fendilhação da viga V4 LC70 (pontos de 5 mm de diâmetro, afastados de 20 mm)
Da observação das Figuras 5.16 a 5.21 pode perceber-se que, antes da rotura, a série de vigas
V2 apresentou fendas com grande abertura e grande desenvolvimento na altura da secção.
Estas fendas apresentaram uma distância média entre si de aproximadamente 10 cm, sendo
esta semelhante nas três vigas desta série. Já as vigas da série V4 manifestaram fendas com
pouca abertura e menor desenvolvimento na altura da secção. Nesta série, a distância média
entre fendas foi de aproximadamente 8 cm. Assim, e conforme previsto, com o aumento da
taxa de armadura de tracção, a distância e a abertura das fendas diminuíram. Como se pode
observar, as fendas foram predominantemente verticais, conforme esperado, uma vez que o
procedimento experimental tinha sido elaborado para não haver esforço transverso
significativo na zona central das vigas, resultando em flexão pura.
Nas Figuras 5.22 a 5.24, apresenta-se a configuração visual da rotura de cada uma das vigas.
Figura 5.22 - Rotura das vigas V2 e V4 LC35, respectivamente
Capítulo 5
Tiago Simões 77
Figura 5.23 - Rotura das vigas V2 e V4 LC50, respectivamente
Figura 5.24 - Rotura das vigas V2 e V4 LC70, respectivamente
Da observação das Figuras 5.22 a 5.24 verifica-se que, no momento da rotura, as fendas
parecem convergir para a zona/secção onde esta ocorreu. Após a rotura, as vigas da série V4
ficaram mais danificadas do que as da série V2, o que se justifica pela quantidade de energia
libertada nesse instante. Nas vigas da série V4 surgiu um prolongamento de fenda
tendencialmente horizontal, provocada provavelmente pela dissipação de energia na rotura,
convergindo para o ponto de rotura. Nas vigas da série V2 também surgiram fendas
horizontais. Contudo, nesta série, essas fendas surgiram aproximadamente na zona do eixo
neutro, o que se pode dever ao destacamento da lâmina de betão comprimido. É de referir que
todas as vigas apresentaram indícios de encurvadura nos varões comprimidos, após a rotura,
por ausência de confinamento. No entanto, as vigas V4 LC35 e V4 LC50 apresentaram
indícios claros deste fenómeno, que pode ter influenciado uma rotura prematura nestas vigas.
Recorde-se que as vigas não possuíam armadura transversal de confinamento na zona de
flexão pura.
Análise de Resultados
78
5.4. Relação Carga-Deslocamento
Nas Figuras 5.25 a 5.30 apresentam-se os diagramas P-δ de todas as vigas, com o objectivo de
analisar de que forma evoluíram as flechas das vigas consoante o carregamento imposto. Os
valores das cargas foram obtidos directamente a partir das células de carga. Os valores das
flechas foram obtidos directamente das leituras dos transdutores de deslocamentos verticais
utilizados. Foram utilizados os deslocamentos correspondentes às secções de aplicação das
cargas (δ1 e δ3) e a média desses deslocamentos (δm).
Figura 5.25 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC35
Figura 5.26 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC50
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
Capítulo 5
Tiago Simões 79
Figura 5.27 - Diagramas carga-deslocamento da viga V2 LC70
Figura 5.28 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC35
Figura 5.29 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC50
0
20
40
60
80
0 10 20 30 40 50
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
Análise de Resultados
80
Figura 5.30 - Diagramas carga-deslocamento da viga V4 LC70
Da observação dos diagramas apresentados podem salientar-se alguns pormenores relevantes.
Os diagramas apresentam geralmente três zonas que se podem distinguir, e que se descrevem
seguidamente: a primeira zona, até ao início da fendilhação do betão, pode descrever-se
através de um troço recto com uma determinada inclinação (Estado I); a segunda zona, é
também descrita por um troço recto, contudo com menor inclinação que a anterior (Estado II),
correspondendo ao comportamento entre a fissuração e a cedência das armaduras. Nesta zona,
bem como na anterior, verifica-se um aumento progressivo da flecha com a carga aplicada; a
terceira zona é onde se verificam grandes deformações para pequenos incrementos de carga.
Inicia-se no ponto de cedência das armaduras e é caracterizada por uma curva, sendo o seu
comprimento maior, ou menor, consoante a ductilidade e a capacidade de rotação plástica de
cada viga. Esta curva pode ser crescente até à rotura, o que indica que a viga ainda possui uma
reserva de capacidade de carga. Alternativamente, a curva pode ser crescente até determinado
instante de inflexão, decrescendo depois gradualmente, o que indica que a viga possui alguma
reserva de resistência até um certo momento e que depois começa a perder capacidade de
carga à medida que sofre maiores deformações. As transições entre o Estado I, o Estado II e a
zona de cedência das armaduras são mais evidentes nas vigas da série V2.
De um modo geral, as deformações das vigas analisadas tendem a aumentar consoante se
aumenta a resistência do betão à compressão. Contudo, parece que as vigas compostas pelo
betão LC50 não seguem essa tendência, podendo tratar-se de um desvio de comportamento.
5.5. Relação Momento-Curvatura
Nas Figuras 5.33 a 5.38 apresentam-se os diagramas M-1/r de todas as vigas, com o objectivo
de analisar a forma como evoluíram as curvaturas das vigas consoante o carregamento
imposto. Foram utilizados três métodos de análise, em termos de curvatura, para cada viga.
Os valores dos momentos foram obtidos directamente dos valores registados pelas células de
carga.
0
45
90
135
180
0 6 12 18 24 30
P (
kN)
δ (mm)
P-δm
P-δ1
P-δ3
Capítulo 5
Tiago Simões 81
No Método 1, a análise da curvatura (Expressão 5.2), foi efectuada através dos transdutores de
deslocamento horizontais (Figura 5.31). As extensões calculadas correspondem aos valores
médios das zonas de leituras e nos respectivos alinhamentos horizontais, e não as verificadas
ao longo das paralelas ao eixo. Assim sendo, foi assumido que, para curvaturas acentuadas, as
extensões verificadas na horizontal são inferiores às que ocorrem realmente nos respectivos
alinhamentos paralelos ao eixo, o que, no cálculo efectuado, dará origem a curvaturas
inferiores às reais. Este facto poderá ter pouca influência se a região em análise for pequena,
contudo para uma zona de leitura com 0,66 m, como foi o caso, esta diferença não deve ser
ignorada, essencialmente quando a viga apresenta grande deformação.
(5.2)
Figura 5.31 - Esquema para o cálculo da curvatura baseado nos valores dos deslocamentos horizontais
No Método 2, a análise da curvatura (Expressão 5.3), foi efectuada através dos transdutores de
deslocamento verticais (Figura 5.32), admitindo flexão pura, ou circular, na zona central. O
raio de curvatura do elemento central é calculado em função do comprimento da corda da
circunferência, que neste caso é sempre igual a 0,80 m, e da flecha entre o centro da corda e o
respectivo alinhamento do arco. Esta análise só é possível porque, na zona central da viga, o
momento é constante e a deformada neste comprimento é circular. Assim, a flecha será
determinada como a diferença entre o deslocamento a meio vão e a média dos deslocamentos
sob o ponto de aplicação das cargas, para cada instante.
(5.3)
Análise de Resultados
82
Figura 5.32 - Cálculo da curvatura baseado nos valores dos deslocamentos verticais
No Método 3, a análise da curvatura foi efectuada através da integração da linha elástica,
recorrendo aos valores dos transdutores de deslocamento verticais e admitindo uma rigidez
constante ao longo da viga, o que se assumiu inicialmente como uma aproximação pouco
rigorosa, principalmente após a fissuração.
Os procedimentos e cálculos efectuados, para os três métodos, são descritos em pormenor no
Anexo E. Os valores obtidos pelos três métodos apresentam-se nos gráficos M-1/r (Figuras
5.33 a 5.38) para cada uma das vigas.
Figura 5.33 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC35
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
Capítulo 5
Tiago Simões 83
Figura 5.34 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC50
Figura 5.35 - Diagramas momento-curvatura da viga V2 LC70
Figura 5.36 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC35
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
0
10
20
30
40
0 20 40 60 80 100
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
0
25
50
75
100
0 8 16 24 32 40
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
Análise de Resultados
84
Figura 5.37 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC50
Figura 5.38 - Diagramas momento-curvatura da viga V4 LC70
As curvaturas apresentadas representam, assim, a curvatura média da zona central das vigas.
Na verdade, a curvatura não é igual ao longo de toda a zona central das vigas, existindo uma
maior curvatura nas secções fendilhadas e uma menor curvatura nas zonas não fendilhadas
(entre fissuras). Da forma como a instrumentação foi disposta, só foi possível avaliar a
curvatura média ao longo da zona central.
Da análise dos diagramas apresentados percebe-se que todas as curvas possuem uma forma
semelhante às curvas P-δ apresentadas anteriormente. Contudo, nesta análise é mais difícil de
visualizar a transição entre o Estado I e o Estado II das vigas. Já o ponto de cedência das vigas
é igualmente evidente, podendo observar-se que, após a viga atingir a cedência, a sua
curvatura aumenta mais rapidamente do que o que se verifica antes de atingir esse ponto,
como já era esperado.
0
25
50
75
100
0 8 16 24 32 40
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
0
25
50
75
100
0 8 16 24 32 40
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
Método 1
Método 2
Método 3
Capítulo 5
Tiago Simões 85
De um modo geral, a capacidade de deformação das vigas aumenta com o aumento da
resistência do betão à compressão. Na série V2 este facto parece ser evidente, com a excepção
da viga V2 LC50, possivelmente por desvio de tendência. Na viga V2 LC35, as curvaturas
obtidas pelos métodos 1 e 2 são bastantes diferentes, mas apenas após a cedência das
armaduras, pois houve um desalinhamento nas cantoneiras de suporte dos transdutores de
deslocamento horizontais, o que afectou este registo efectuado. Já na série V4, com o aumento
da resistência do betão à compressão, a capacidade resistente das vigas aproxima-se da
previsão teórica. Isto sugere que, para que as vigas com taxas de armaduras elevadas entrem
em rotura, apenas após a cedência das armaduras de tracção, será necessária a utilização de
betões com uma resistência à compressão elevada. Neste caso, o aumento da resistência do
betão à compressão permitiu uma maior capacidade de carga na viga V4 LC70, bem como
uma alteração do tipo de rotura, tendo esta sido frágil nas vigas V4 LC35 e V4 LC50 e
apresentou comportamento dúctil, embora reduzido, na viga V4 LC70. Consequentemente,
confirma-se que o aumento da resistência do betão à compressão permite o acréscimo da
capacidade, não só de carga, mas também de deformação das vigas.
Comparando os três métodos aplicados para a obtenção da curvatura, salienta-se que a
integração da linha elástica (método 3), admitindo igual rigidez em toda a viga, não se deve
aplicar, principalmente após a fendilhação das vigas, uma vez que, após este fenómeno, as
vigas sofrem deformações plásticas. A curvatura determinada por este método é obtida em
função da rigidez à flexão, que se assume constante ao longo de todo o vão das vigas. Este
pressuposto não é válido para todas as cargas, porque depois da fendilhação do betão, a
rigidez das secções é variável ao longo do eixo da viga. Assim, este método pode dar uma
indicação aproximada da curvatura das vigas ensaiadas, mas não é um procedimento fiável.
Nos outros métodos 1 e 2 utilizados, para a obtenção da curvatura, esta é calculada em função
dos deslocamentos horizontais e verticais respectivamente, medidos pelos transdutores de
deslocamentos. Uma vez que a precisão destes instrumentos é semelhante, seria de esperar
que os resultados obtidos por estes métodos fossem semelhantes. Contudo, deve mencionar-se
que os domínios de leitura não são iguais nos transdutores horizontais e verticais, sendo
maiores nos últimos. Assim, o mesmo erro de leitura provocará erros maiores no método 1
comparativamente ao método 2. De facto para curvaturas pequenas os resultados obtidos
pelos dois métodos são semelhantes. Contudo, à medida que a curvatura vai aumentando, as
diferenças entre estes dois métodos vão-se evidenciando. Refere-se que, há menos risco dos
ponteiros dos transdutores verticais sofrerem perturbações durante o ensaio,
comparativamente com os transdutores horizontais.
De forma a efectuar uma estimativa da rigidez das vigas em Estado I e Estado II apresenta-se
a Figura 5.39. Nessa figura estão representadas as relações M-1/r, determinadas pelo método
1, a rigidez calculada teoricamente considerando a secção transversal não fendilhada e com as
armaduras homogeneizadas (rigidez no Estado I – EI1) e a rigidez calculada teoricamente
considerando a secção transversal totalmente fendilhada (rigidez no Estado II – EI2).
Apresentam-se também os valores da rigidez em Estado I e Estado II, determinadas
experimentalmente, a partir do declive da relação M-1/r nos respectivos estados. Refere-se
Análise de Resultados
86
que para esta análise utilizaram-se as curvaturas determinadas pelo método 1, pois para o
intervalo de curvatura em análise, os valores determinados pelos dois métodos (1 e 2) são
semelhantes. Os procedimentos e cálculos efectuados para a determinação das grandezas
mencionadas são descritos nos Anexos E e F.
Figura 5.39 - Curvatura e rigidez de todas as vigas
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC35 EI1 EI2
EIIe = 3169 kN.m EIIIe = 1736 kN.m
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC35 EI1 EI2
EIIe = 3608 kN.m EIIIe = 3073 kN.m
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC50 EI1 EI2
EIIe = 3384 kN.m EIIIe = 1794 kN.m
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC50 EI1 EI2
EIIe = 3763 kN.m EIIIe = 3090 kN.m
0
10
20
30
40
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V2 LC70 EI1 EI2
EIIe = 3146 kN.m EIIIe = 1943 kN.m
0
20
40
60
80
0 5 10 15 20
M (
kN.m
)
1/r (x10-3 m-1)
V4 LC70 EI1 EI2
EIIe = 4234 kN.m EIIIe = 3195 kN.m
Capítulo 5
Tiago Simões 87
Da análise dos gráficos apresentados percebe-se que a rigidez experimental em fase não
fissurada é sempre inferior à teórica. Quanto à rigidez experimental em fase fissurada, esta
apresenta valores inferiores aos previstos teoricamente. Este comportamento é completamente
contrário ao esperado, uma vez que as previsões foram efectuadas com as propriedades
caracterizadas nos materiais. Além disso, era previsto que pela contribuição do betão entre
fendas, a rigidez experimental das vigas fosse maior que a previsão teórica, ou seja, a tensão
de tracção do betão entre fendas contribui para o aumento da rigidez. Contudo, esta inversão
de comportamento deve-se, provavelmente, ao efeito significativo da deformação por
fluência. Assim, tendo em consideração que ao fim de 10 minutos de ensaio, o betão das vigas
já se encontra com elevado estado de tensão, ao fim de meia hora de ensaio pode existir um
aumento da deformação por fluência entre 6 a 10%, no mínimo, sendo os resultados
registados os da deformação elástica ou elasto-plástica e de fluência. Além disso, o cálculo
teórico da profundidade do eixo neutro no Estado II apresenta um valor diferente do registado
em ensaio, sendo afectado o cálculo da rigidez teórica.
Refere-se ainda que nas vigas V4 LC35 e V4 LC50, a rigidez experimental em Estado I
demonstrou ser próxima da rigidez em Estado II, sendo este factor devido a um provável
desvio de carácter experimental.
Os valores de rigidez assim obtidos podem ser consultados no Quadro 5.5.
Quadro 5.5 - Rigidez teórica e experimental de todas as vigas
Viga EI1
(kN.m2)
EI2
(kN.m2)
EIIe
(kN.m2)
EIIIe
(kN.m2)
V2 LC35 5470 2159 3169 1736
V2 LC50 5656 2192 3384 1794
V2 LC70 5982 2195 3146 1943
V4 LC35 6113 3838 3608 3073
V4 LC50 6418 3963 3763 3090
V4 LC70 6715 3992 4234 3195
5.5.1. Evolução da Rigidez com a Carga
Nas Figuras 5.40 a 5.45 apresentam-se os gráficos que relacionam a rigidez à flexão de cada
viga, EI, na zona central de flexão pura, com a carga aplicada na mesma. Apresenta-se a
rigidez calculada a partir dos transdutores de deslocamento horizontais e a rigidez calculada a
partir dos transdutores de deslocamento verticais. Nos mesmos gráficos está representada a
rigidez calculada teoricamente considerando a secção transversal não fendilhada e com as
armaduras homogeneizadas (rigidez no Estado I – EI1) e a rigidez calculada teoricamente
considerando a secção transversal totalmente fendilhada (rigidez no Estado II – EI2). Na
teoria, desde o início do carregamento até ao ponto de cedência das armaduras de tracção, a
rigidez das vigas deveria situar-se entre estes dois valores. Os procedimentos e cálculos
efectuados para a determinação das grandezas mencionadas são descritos no Anexo F.
Análise de Resultados
88
Figura 5.40 - Evolução da rigidez da viga V2 LC35 com a carga
Figura 5.41 - Evolução da rigidez da viga V2 LC50 com a carga
Figura 5.42 - Evolução da rigidez da viga V2 LC70 com a carga
0
1750
3500
5250
7000
0 20 40 60 80
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
0
1750
3500
5250
7000
0 20 40 60 80
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
0
1750
3500
5250
7000
0 20 40 60 80
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
Capítulo 5
Tiago Simões 89
Figura 5.43 - Evolução da rigidez da viga V4 LC35 com a carga
Figura 5.44 - Evolução da rigidez da viga V4 LC50 com a carga
Figura 5.45 - Evolução da rigidez da viga V4 LC70 com a carga
0
2250
4500
6750
9000
0 45 90 135 180
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
0
2250
4500
6750
9000
0 45 90 135 180
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
0
2250
4500
6750
9000
0 45 90 135 180
EI (
kN.m
2)
P (kN)
EI Método 1
EI Método 2
EI1
EI2
Análise de Resultados
90
Analisando os gráficos apresentados, percebe-se que a evolução da rigidez de cada viga, em
função da carga aplicada e determinada pelos dois métodos é aproximadamente idêntica. A
sua determinação através dos valores dos transdutores de deslocamento horizontais (método
1) evolui desde um valor elevado (em alguns casos acima da rigidez teórica, em Estado I) até
valores que rondam a rigidez teórica em Estado II, antes da cedência das armaduras de
tracção. Os valores iniciais da rigidez são tão elevados devido à relação que permite a sua
determinação. A rigidez relaciona-se com o momento aplicado na viga e com a sua curvatura.
Numa fase inicial, o raio de curvatura da viga é quase infinito, o que significa que a curvatura,
nesse instante, é igual a zero. Para uma curvatura com esse valor, a rigidez calculada terá um
valor quase infinito, pois os transdutores não têm precisão para uma deformação tão reduzida,
mesmo que o momento aplicado seja reduzido. Assim, é justificado o valor inicial da rigidez,
que vai diminuindo com o aumento da curvatura, como era de esperar, adquirindo precisão de
medição.
Já a determinação da rigidez a partir dos valores dos transdutores de deslocamento verticais
apresenta uma configuração diferente da já mencionada, principalmente na fase inicial. Nas
vigas da série V2 verifica-se claramente que existe uma diminuição da rigidez com o aumento
da carga aplicada, contudo, nesta análise, a rigidez das vigas não ultrapassa o valor máximo
teórico e o seu valor, nos instantes antes da cedência das armaduras de tracção, é próximo do
valor teórico em Estado II. Pode então concluir-se que, nesta série, a rigidez comporta-se de
uma forma semelhante à prevista. Já nas vigas da série V4, a diminuição da rigidez com o
aumento da carga aplicada não é tão perceptível nessa fase inicial, uma vez que as
deformações são menores e os transdutores podem apresentar baixa precisão para essa
situação. Nesta série, a rigidez das vigas parece ser próxima do valor mínimo teórico,
diminuindo pouco ao longo do ensaio. Deve referir-se que os instantes iniciais do ensaio não
foram representados nesta análise, uma vez que, enquanto as grandezas que estão a ser
medidas não estabilizarem, os resultados que delas advêm, baseados em deslocamentos muito
reduzidos, não são representativos do comportamento real da viga.
De um modo geral, e independentemente do método de instrumentação, os valores da rigidez
obtidos experimentalmente apresentam, para momentos superiores ao momento de fissuração,
valores próximos, ou mesmo inferiores, aos da rigidez teórica em estado fissurado. Este
fenómeno não era inicialmente esperado, uma vez que o betão traccionado entre fendas
contribui para o aumento da rigidez. Contudo, e como já foi referido para a análise da
curvatura, as deformações que ocorrem por fluência são a causa provável desta contrariedade
de comportamento.
5.5.2. Evolução da Relação x/d com o Momento
Como já se referiu no Capítulo 3, o momento último, Mu, de uma viga pode ser definido de
três formas diferentes. Neste caso, pretendeu-se que o momento último fosse definido como o
momento correspondente a uma percentagem do momento máximo resistente no troço
descendente. A referida percentagem considerada inicialmente foi de 85%, contudo,
Capítulo 5
Tiago Simões 91
verificou-se que todas as vigas entraram em rotura para percentagens superiores a esta. Assim,
adoptou-se um critério diferente e considerou-se o momento último como o momento no
instante imediatamente antes da rotura da viga. Este raciocínio será mais aprofundado no
subcapítulo seguinte.
Nas Figuras 5.46 a 5.51 apresentam-se as relações x/d em função da relação
momento/momento último, M/Mu, com o objectivo de analisar a forma como evoluiu o eixo
neutro ao longo do ensaio. Os valores dos momentos foram obtidos directamente em função
dos valores das células de carga e os valores de x/d foram obtidos indirectamente a partir dos
transdutores de deslocamentos horizontais utilizados.
Figura 5.46 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC35
Figura 5.47 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC50
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V2 LC35
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V2 LC50
Análise de Resultados
92
Figura 5.48 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V2 LC70
Figura 5.49 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC35
Figura 5.50 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC50
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V2 LC70
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V4 LC35
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V4 LC50
Capítulo 5
Tiago Simões 93
Figura 5.51 - Evolução de x/d em função de M/Mu para a viga V4 LC70
Da análise dos gráficos apresentados verifica-se que enquanto as vigas não entram no Estado
II ocorre uma variação da profundidade do eixo neutro. Nas vigas da série V2, essa variação é
mais acentuada e traduz-se numa diminuição da profundidade do eixo neutro, com a aplicação
progressiva de carga. É perceptível um pequeno aumento deste valor numa fase inicial das
vigas desta série, que pode ser explicada pelo facto de numa fase inicial dos ensaios, as
medições efectuadas não estarem estabilizadas, como já foi referido anteriormente. Quando as
vigas estão no Estado II, verifica-se uma estabilização na profundidade do eixo neutro, que se
mantém tendencialmente até à cedência das vigas. Exceptua-se a viga V2 LC50, na qual se
verifica que a profundidade do eixo neutro apresenta uma diminuição até à carga de cedência
da viga. O valor de x/d nesta série parece diminuir com o aumento da resistência do betão.
Após as vigas atingirem a cedência, verifica-se uma diminuição acentuada da profundidade do
eixo neutro.
Nas vigas da série V4, a variação da profundidade do eixo neutro, antes de as vigas entrarem
no Estado II, é menos expressiva. Nesta fase, verifica-se uma diminuição ligeira desta relação.
Quando as vigas estão no Estado II, existem dois comportamentos distintos. Na viga V4 LC70
verifica-se uma estabilização na profundidade do eixo neutro que se mantém até à cedência da
mesma. Nas vigas V4 LC35 e V4 LC50 verifica-se uma estabilização desta grandeza até certo
ponto, após o qual tende a aumentar, embora ligeiramente, até à rotura das mesmas. Nesta
série parece ocorrer um comportamento contrário ao esperado teóricamente, pois com o
aumento da resistência do betão, os valores de x/d no Estado II parecem aumentar também.
Ainda assim, devem ser assumidos eventuais desvios, provenientes da caracterização
experimental. Nos instantes próximos da rotura, a profundidade do eixo neutro possui uma
instabilidade significativa em todas as vigas.
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2
x/d
M/Mu
V4 LC70
Análise de Resultados
94
5.6. Ductilidade e Rotação Plástica
5.6.1. Índices de Ductilidade
No Quadro 5.6 apresentam-se, em síntese, os valores dos parâmetros mais relevantes, para os
instantes de cedência (y) e de rotura (u), que se obtiveram da análise de resultados, e que serão
necessários para realizar a análise deste subcapítulo, designadamente: carga, P; momento, M;
deslocamento, ; curvatura, 1/r. Os deslocamentos considerados foram os verificados a meio
vão e as curvaturas foram determinadas pelo método 2, descrito no subcapítulo 5.5, pois para
grandes deslocamentos, este método parece ser o mais próximo da realidade, pelos motivos já
descritos, mas também pelo facto de depender de menos factores. O método 1 depende de
algumas medições efectuadas pelo utilizador, que são mais susceptíveis de erros, enquanto o
método 2 apenas depende das leituras dos transdutores verticais e de uma medição efectuada
pelo utilizador.
Quadro 5.6 - Valores de cedência e últimos da carga, momento, deslocamento e curvatura
Série Viga Py
(kN)
My
(kN.m)
δy
(mm)
(1/r)y
(×10-3
m-1
)
Pu
(kN)
Mu
(kN.m)
δu
(mm)
(1/r)u
(×10-3
m-1
)
V2
V2 LC35 66,40 33,20 16,11 16,97 63,31 31,65 43,94 58,41
V2 LC50 60,38 30,19 14,75 16,98 59,94 29,97 30,95 48,83
V2 LC70 65,80 32,90 15,57 18,08 69,48 34,74 55,74 99,76
V4
V4 LC35 - - - - 110,72 55,36 20,83 26,46
V4 LC50 - - - - 126,11 63,05 19,84 18,96
V4 LC70 140,60 70,30 18,04 20,12 151,70 75,85 26,18 31,53
Segundo o EC8, para assegurar a ductilidade global requerida para a estrutura, as zonas onde
é provável que se formem as rótulas plásticas, devem possuir uma elevada capacidade de
rotação plástica. Por este motivo, é importante avaliar a ductilidade das regiões críticas,
nomeadamente, através dos índices de ductilidade, em curvatura e em deslocamento. Estes
índices podem ser definidos, de acordo com o EC8, através da relação entre a curvatura, ou o
deslocamento, correspondentes a 85% do momento máximo resistente no troço descendente, e
a curvatura, ou o deslocamento, na cedência. Contudo, nenhuma das vigas ensaiadas chegou a
uma percentagem de 85% do momento máximo no troço descendente, tendo todas atingido a
rotura antes de chegar a este nível. Para estes casos, considerou-se que a curvatura última
corresponde à curvatura no instante imediatamente antes da rotura da viga. Adoptou-se o
mesmo procedimento para a determinação do deslocamento último.
Nas Figuras 5.52 e 5.53 apresentam-se os gráficos com os respectivos índices de ductilidade,
em curvatura e em deslocamento, em função da resistência do betão à compressão. Refere-se
que as curvaturas utilizadas nesta análise são curvaturas médias da zona em análise. Os
valores destas relações apresentam-se também no Quadro 5.7.
Capítulo 5
Tiago Simões 95
Quadro 5.7 - Índices de ductilidade em curvatura e em deslocamento
Viga flcm
(MPa)
(1/r)u
(×10-3
m-1
)
(1/r)y
(×10-3
m-1
)
δu
(mm)
δy
(mm) μφ μδ
V2 LC35 37,3 58,41 16,97 43,94 16,11 3,44 2,73
V2 LC50 47,1 48,83 16,98 30,95 14,75 2,88 2,10
V2 LC70 66,0 99,76 18,08 55,74 15,57 5,52 3,58
V4 LC35 37,3 26,46 - 20,83 - - -
V4 LC50 47,1 18,96 - 19,84 - - -
V4 LC70 66,0 31,53 20,12 26,18 18,04 1,57 1,45
Figura 5.52 - Índice de ductilidade em curvatura em função da resistência média à compressão do betão
Figura 5.53 - Índice de ductilidade em deslocamento em função da resistência média à compressão do
betão
Através da observação das figuras verifica-se que as vigas V4 LC35 e V4 LC50 não estão
representadas nas relações estabelecidas. Isso é explicado pelo facto de essas vigas não terem
atingido a sua respectiva carga de cedência. Contudo, caso estas vigas tivessem armadura de
confinamento, mesmo que reduzida, é provável que se tivessem obtido valores, devido ao
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
30 40 50 60 70
μφ
flcm (MPa)
V2
V4
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
30 40 50 60 70
μδ
flcm (MPa)
V2
V4
Análise de Resultados
96
provável aumento da ductilidade. Ainda relativamente à série V4, e uma vez que só uma das
vigas entrou em cedência, não se podem definir tendências de comportamento. Pode-se
afirmar que, neste caso, ambos os índices de ductilidade rondam o valor de 1,5.
Já para as vigas da série V2 podem obter-se algumas conclusões relevantes. Antes de mais, é
evidente que o índice de ductilidade em curvatura, μϕ, é sempre superior ao índice de
ductilidade em deslocamento, μδ, facto que vai de encontro aos valores previstos no EC8.
Pode também concluir-se que de uma forma geral, os índices de ductilidade aumentam com o
aumento da resistência do betão à compressão.
5.6.2. Rotação Plástica
Sendo o objectivo principal deste trabalho a análise da influência da resistência do betão à
compressão na capacidade de rotação plástica de vigas de BEAL armado, é relevante terminar
a análise de resultados com uma observação acerca deste assunto.
Seguindo a lógica demonstrada no ponto anterior, a rotação plástica pode ser definida,
simplesmente, como a diferença entre a rotação última e a rotação no instante de cedência. A
rotação última, neste caso, foi a rotação registada no instante antes da rotura, visto que
nenhuma das vigas atingiu a percentagem de 85% do momento máximo resistente no troço
descendente, como já foi dito anteriormente. Como as leituras ao longo do ensaio foram
efectuadas ao segundo, é possível obter a rotação total que a viga sofreu em todos os
instantes. Para isso, basta multiplicar a curvatura pelo comprimento da rótula plástica. O
comprimento da rótula plástica foi definido como o comprimento da zona de flexão pura, ou
seja 0,80 m. Neste cálculo, utilizou-se a curvatura média determinada pelo método 2, descrito
no subcapítulo 5.5, pelas razões já mencionadas. Desta análise, obtém-se uma rotação média
nessa zona.
No Quadro 5.8 apresentam-se os valores das rotações plásticas médias, na zona de flexão
pura. Na Figura 5.54 apresenta-se um gráfico a relacionar as referidas rotações plásticas com
a resistência à compressão do betão.
Quadro 5.8 - Rotação plástica na zona de flexão pura
Viga flcm
(MPa)
θplást
(mrad)
V2 LC35 37,3 33,18
V2 LC50 47,1 25,59
V2 LC70 66,0 65,45
V4 LC35 37,3 -
V4 LC50 47,1 -
V4 LC70 66,0 9,15
Capítulo 5
Tiago Simões 97
Figura 5.54 - Evolução da rotação plástica em função da resistência do betão
Da observação da Figura 5.54 pode perceber-se que as vigas da série V2 apresentam rotações
plásticas bastante superiores à viga V4 LC70. Este facto já era esperado, pois a taxa de
armadura longitudinal de tracção tem uma influência significativa na ductilidade e na
capacidade de rotação plástica das vigas. A rotação plástica tende a aumentar com o
acréscimo da resistência à compressão do betão.
No Quadro 5.9 apresentam-se os valores experimentais de x/d último e as rotações plásticas
obtidas para cada viga, considerando o comprimento da rótula plástica igual a 1,2 vezes a
altura da viga. Esta análise é efectuada para comparar os valores obtidos com os valores
definidos no EC2. A Figura 5.55 relaciona a rotação plástica agora descrita com o valor de x/d
último, de acordo com o EC2.
Quadro 5.9 - Valores de x/d último e rotação plástica (1,2 h)
Viga (x/d)u
experimental
θplást
(mrad)
V2 LC35 0,283 13,52
V2 LC50 0,264 10,42
V2 LC70 0,172 26,66
V4 LC35 0,456 -
V4 LC50 0,380 -
V4 LC70 0,424 3,73
0,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
30 40 50 60 70
θp
lást
(m
rad
)
flcm (MPa)
V2
V4
Análise de Resultados
98
Figura 5.55 - Rotação plástica (1,2 h) em função de x/d último
Da análise dos resultados do Quadro 5.9, bem como da Figura 5.55, pode visualizar-se que,
nas vigas da série V2, com o aumento da resistência do betão à compressão, tende a aumentar
a capacidade de rotação plástica da viga, com a redução progressiva do valor de x/d na rotura.
Na série V4 não é possível estabelecer uma tendência, pois só foi obtido o resultado da viga
V4 LC70. Contudo, podem tirar-se conclusões através de todas as análises efectuadas neste
documento. Ao aumentar a resistência do betão à compressão, nesta série, verificou-se um
aumento da ductilidade e a alteração do tipo de rotura. A rotura das vigas V4 LC35 e V4
LC50 demonstrou ser frágil e ocorreu antes de as armaduras atingirem a cedência, enquanto
se verificou um aumento da ductilidade na viga V4 LC70, tendo as armaduras entrado em
cedência, além de ter maior capacidade de carga e maior deformabilidade antes da rotura. Esta
análise pode ser complementada com o valor da relação x/d, na rotura. Este diminui,
tendencialmente, com o aumento da resistência à compressão do betão e, consequentemente,
aumenta a capacidade de deformação das vigas, uma vez que este parâmetro está ligado à
capacidade de rotação plástica das vigas.
Concluindo, através da análise dos resultados experimentais obtidos no estudo realizado,
verifica-se uma tendência de que, para uma taxa de armadura de fixa, o aumento da
resistência do betão à compressão provoque um aumento da capacidade de rotação plástica,
bem como da ductilidade, de vigas de BEAL armado.
0,0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
θp
lást
(m
rad
)
x/d
V2
V4
≤ LC50/55
LC80/88
Capítulo 6
Tiago Simões 99
Capítulo 6 – Considerações Finais e Estudos Futuros
6.1. Introdução
Nesta secção resumem-se as conclusões obtidas ao longo da análise de resultados. São
também indicadas algumas recomendações, que poderão ser abordadas em estudos futuros,
dando uma continuação à análise realizada neste documento.
Uma nota importante a referir é o facto de as conclusões apresentadas neste documento serem
válidas para a situação de ensaio analisada ou para situações com parâmetros semelhantes. Os
resultados expostos e as conclusões apresentadas não deverão, portanto, ser extrapolados para
todos os casos de vigas de betão leve armado, podendo conduzir a previsões de
comportamento não coincidentes com a realidade. Assim, as análises efectuadas referem-se às
condições de ensaio, sendo os resultados válidos apenas nessas condições.
A formulação de conclusões resultantes de um trabalho experimental é um dos pontos mais
importantes de um trabalho de investigação, pois estas representam a síntese do trabalho
produzido e a crítica dos resultados obtidos. Pode ainda apreciar-se se os objectivos propostos
foram, ou não, atingidos.
6.2. Principais Conclusões
Relativamente ao momento de fendilhação, observou-se que o mesmo tende a aumentar com
o acréscimo da resistência do BEAL à compressão, nas duas séries ensaiadas. O consequente
aumento da resistência à tracção e do módulo de elasticidade do betão são os factores que
exercem mais influência neste facto.
Nas vigas com reduzido valor da taxa de armadura longitudinal de tracção, não se observou
um aumento significativo da carga de cedência com o aumento da resistência à compressão do
betão. Contudo, nas vigas com elevada taxa de armadura longitudinal de tracção, verificou-se
que, as vigas com betão de menor resistência não atingiam a cedência. Aumentando a
resistência do betão, foi possível observar que as vigas podiam atingir a carga de cedência das
armaduras de tracção, permitindo deformações plásticas, o que não ocorreu nas vigas com
betão de menor resistência. De facto, o aumento da capacidade resistente da lâmina de betão
comprimido, possibilita um melhor aproveitamento das armaduras de tracção, em termos de
ductilidade, que podem assim atingir a tensão de cedência, permitindo roturas dúcteis nos
elementos.
Em termos de resistência, nas vigas da série V2 não se verificou uma alteração significativa
da carga máxima com o aumento da classe de resistência do betão. Já nas vigas da série V4
ocorreu um aumento do momento resistente das vigas, com o aumento da resistência do betão
à compressão. Este aumento ocorre pela mobilização de maior binário das resultantes das
forças internas da secção, ao aumentar a resistência do betão, com a consequente redução do
Considerações Finais e Estudos Futuros
100
parâmetro x/d. Além disso, quando a tensão nas armaduras se encontra afastada da cedência, é
possível aproveitar melhor a resistência das armaduras, com o aumento da resistência do
betão.
No que diz respeito à reserva de resistência, após a cedência das armaduras, verificou-se que
as vigas que atingiram a cedência, possuem uma reserva de resistência, até à rotura, de
aproximadamente 10%. As vigas que demonstraram ter maior reserva de resistência foram as
que apresentaram uma transição gradual entre o Estado II (regime elástico em fase fissurada)
e o patamar de cedência. Aferiu-se também que a capacidade resistente destas vigas situa-se,
em média, a 90% da capacidade resistente prevista teoricamente. Para as vigas que não
atingiram a cedência, este valor foi inferior, uma vez que não exploraram a totalidade da sua
capacidade resistente.
Foi possível verificar que na série de vigas V4, o aumento da resistência à compressão do
betão permitiu uma alteração no tipo de rotura, que evolui de uma rotura frágil, em que as
armaduras não atingem a cedência, para uma rotura mais dúctil, em que as armaduras entram
em cedência. No padrão de fendilhação não se verificou uma influência significativa da
resistência à compressão do betão.
Relativamente aos deslocamentos verticais das vigas, através dos diagramas apresentados, foi
possível concluir que, dentro de cada série, e à medida que se aumentou a resistência do betão
à compressão, aumentaram também as deformações máximas de cada viga. Esse aumento
verificou-se tanto nas secções de aplicação de carga como na secção de meio vão das vigas.
Em termos de curvatura, observou-se, de um modo geral, que a curvatura máxima das vigas
aumenta com o aumento da resistência do betão à compressão. Este fenómeno parece mais
evidente nas vigas da série V2. Na série V4, este facto não é tão claro, pois nem todas as vigas
desta série atingiram a cedência. Dos três métodos utilizados para a determinação da
curvatura, o método baseado nos deslocamentos verticais parece ser o mais fidedigno, uma
vez que envolve processos mais simples, menos aproximações e ocorrem, provavelmente,
menos erros associados à leitura dos deslocamentos. Ainda assim, os métodos 1 e 2
apresentaram valores semelhantes na caracterização da evolução da curvatura com o momento
aplicado.
Pela análise da rigidez à flexão das vigas, verificou-se que esta diminui à medida que a carga
aplicada aumenta. Para cada série, verificou-se que a rigidez, em Estado I e em Estado II,
aumenta com o aumento da resistência do betão à compressão. Como era de esperar, em cada
viga, na transição entre o Estado I e o Estado II, ocorre uma redução brusca da rigidez,
provocada pelo aparecimento de fendas e, consequentemente, pela alteração da posição do
eixo neutro.
Um aspecto de grande importância que se analisou foi o valor de x/d, no momento último.
Este parâmetro fornece uma boa indicação da capacidade de deformação das vigas analisadas.
Concluiu-se que, na série V2, esta relação diminui com o aumento da resistência do betão à
compressão. Já na série V4, tal ilação não se pode estabelecer, uma vez que só uma das vigas
Capítulo 6
Tiago Simões 101
atingiu a cedência das armaduras. Pode também concluir-se que os valores experimentais
desta relação foram constantemente superiores aos calculados teoricamente.
A ductilidade das vigas ensaiadas foi analisada com recurso a índices de ductilidade, em
curvatura e em deslocamento. Relativamente à série V4, não há conclusões significativas a
tirar, uma vez que só uma das vigas entrou em cedência. Pode afirmar-se que, neste caso,
ambos os índices de ductilidade rondam o valor de 1,5. Para a série V2, já foi possível
estabelecer algumas conclusões. Os índices de ductilidade tendem a aumentar com o
acréscimo da resistência do betão à compressão. É também possível afirmar que o índice de
ductilidade em curvatura é sempre superior ao índice de ductilidade em deslocamento e esta
relação é tanto maior quanto maior é a resistência do betão à compressão. Por este facto pode
afirmar-se que, no caso em estudo, com o aumento da resistência à compressão do betão, a
curvatura sofre um maior aumento, comparativamente aos deslocamentos verticais.
A rotação plástica foi definida, neste documento, como a diferença entre a rotação total e a
rotação elástica. O valor da rotação plástica é também um bom indicador da ductilidade de
uma viga e representa a capacidade que uma viga possui para desenvolver rotações, após a
cedência das armaduras de tracção. Pôde observar-se que as vigas da série V2 apresentaram
rotações plásticas bastante superiores à viga V4 LC70, sendo esta a única viga da série V4 que
sofreu rotações plásticas. Este facto era espectável, uma vez que a taxa de armadura
longitudinal de tracção tem uma influência significativa na ductilidade e na capacidade de
rotação plástica das vigas. Através da análise dos resultados experimentais, verificou-se, no
geral, que o aumento da resistência do betão à compressão tem influência no aumento da
capacidade de rotação plástica de vigas de BEAL armado.
Em suma, as conclusões apresentadas neste capítulo visam consolidar e complementar as
considerações apresentadas ao longo da análise dos resultados experimentais.
Por último, deve ser efectuada uma crítica pertinente neste caso de estudo. O facto de se ter
caracterizado o ensaio de um exemplar de cada viga pode ter limitado o grau de certeza e
confiança das conclusões obtidas. Por isso, no subcapítulo seguinte faz-se uma recomendação
para trabalhos futuros relacionados com este, permitindo um desenvolvimento e uma melhor
validação dos resultados obtidos.
6.3. Recomendações de Estudos Futuros
A continuidade do estudo do comportamento das peças de BEAL armado tem uma
importância significativa na actualidade, uma vez que a evolução constante dos materiais está
cada vez mais presente. De seguida, apresentam-se algumas recomendações para possíveis
continuações deste estudo e para novos estudos:
Realização de um estudo idêntico ao realizado, com mais vigas na amostra e com dois
exemplares da mesma viga, contudo, sem as armaduras de compressão na zona de
flexão pura, de modo a verificar de que forma estas armaduras influenciaram os
resultados obtidos;
Considerações Finais e Estudos Futuros
102
Realização deste estudo, com dois exemplares de cada viga, variando a taxa de
armadura longitudinal de tracção, principalmente para valores mais baixos do que a
utilizada na série V4, de modo a verificar de que forma a taxa de armadura, conjugada
com a resistência do betão, influencia o comportamento das vigas de BEAL armado;
Estudo sobre o efeito do esforço transverso na ductilidade e na capacidade de rotação
plástica de vigas de BEAL armado;
Estudo sobre a forma como o comportamento diferido do BEAL influencia as perdas
de pré-esforço em vigas;
Análise do comportamento das vigas de BEAL armado relativamente aos estados
limites de serviço;
Análise do comportamento das vigas de BEAL armado relativamente a acções
dinâmicas, essencialmente nas zonas de formação de rótulas plásticas;
Análise da redistribuição de esforços em vigas contínuas de BEAL armado, com
várias taxas de armadura e várias resistências à compressão do betão.
Referências Bibliográficas
Tiago Simões a
Referências Bibliográficas
Abb site, www.abb.com.
American Concrete Institute (1999). Guide for Structural Lightweight Aggregate
Concrete. ACI 213R-87.
Al-Haddad, M. (1995). Curvature Ductility of Reinforced Concrete Beams under Low
and High Strain Rates. ACI Structural Journal, Title no. 92-S50, pp. 526-534.
Asik, M. (2006). Structural Lightweight Concrete With Natural Perlite Aggregate and
Perlite Powder. Tese de Mestrado, Graduate School of Natural and Applied Sciences of
Middle East Technical University, Turkey.
Bastos, A. (1997). A Experimentação como Metodologia de Interpretação do
Comportamento de Estruturas de Betão. Tese de Doutoramento, Departamento de Engenharia
Civil da Universidade do Porto, Porto.
Bernardo, L. (1998). Ductilidade e Capacidade de Rotação em Vigas de Betão de Alta
Resistência. Dissertação, Departamento de Engenharia Civil da Universidade da Beira
Interior, Covilhã.
Bernardo, L., Lopes, S. (2009). Plastic analysis of HSC beams in flexure. Materials
and Structures, Vol. 42, pp.51-69.
Carmo, R. (2004). Rotação Plástica e Redistribuição de Esforços em Vigas de Betão
de Alta Resistência. Tese de Doutoramento, Departamento de Engenharia Civil da
Universidade de Coimbra, Coimbra.
Carmo, R., Lopes, S. (2005). Influence of the shear force and transverse reinforcement
ratio on plastic rotation capacity. Structural Concrete, Vol. 6, Issue 3, pp. 107-117.
Chandra, S. e Berntsson, L. (2002). Lightweight Aggregate Concrete. Noyes
Publications, U.S.A.
CEB Nº 105 (1976). Structures Hyperstatiques. Comité Euro-International du Béton,
Switzerland.
CEB Nº 242 (1998). Ductility of Reinforced Concrete Structures. Comité Euro-
International du Béton, Switzerland
Costa, H. (2007). Composição e Caracterização Mecânica de Betões Estruturais de
Agregados Leves. Tese de Mestrado, Departamento de Engenharia Civil da Universidade de
Coimbra, Coimbra.
Costa, H., Júlio, E. e Lourenço, J. (2010a). New Approach to Shrinkage Assessment of
High-performance Lightweight Aggregate Concrete. Structural Faults & Repair, Scotland.
Costa, H., Júlio, E. e Lourenço, J. (2010b). A New Mixture Design Method for
Lightweight Aggregate Concrete. 8th
fib PhD Symposium in Kgs, Denmark.
Referências Bibliográficas
b
Debernardi, P. e Taliano, M. (2002). On Evaluation of Rotation Capacity for
Reinforced Concrete Beams. ACI Structural Journal, Title no. 99-S38, pp. 360-368.
EuroLightCon (1998). LWAC Material Properties State-of-the-Art. The European
Union – Brite EuRam III.
EuroLightCon (2000a). Mechanical properties of lightweight aggregate concrete. The
European Union – Brite EuRam III.
EuroLightCon (2000b). The economic potential of lightweight aggregate concrete in
c.i.p. concrete bridges. The European Union – Brite EuRam III.
Farage, M. (1995). Influência de Resistência do Concreto na Ductilidade de Vigas.
Tese de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.
FIB (2010). Model Code 2010 – First complete draft. Volume 1. International
Federation for Structural Concrete, Switzerland.
Gamino, A. (2003). Análise Numérica da Ductilidade de Vigas de Concreto Armado
Convencional e de Alto Desempenho. Tese de Mestrado, Faculdade de Engenharia de Ilha
Solteira da Universidade Estadual Paulista, São Paulo.
Infopédia, Porto Editora, www.infopedia.pt.
Kong, P. e Rangan, B. (1998). Shear Strength of High-Performance Concrete Beams.
ACI Structural Journal, Title no. 95-S61, pp.677-688.
LNEC E 397 (1993). Betões – Determinação do Módulo de Elasticidade em
Compressão. Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa.
Lourenço, J., Júlio, E. e Maranha, P. (2004). Betões de Agregados Leves de Argila
Expandida. APEB, Lisboa.
Morgadio Real site, www.morgadioreal.com.
NP EN 206-1 (2007). Betão. Parte 1: Especificação, desempenho, produção e
conformidade. IPQ, Portugal.
NP EN 12390 (2009). Ensaios do betão endurecido. IPQ, Portugal.
NP EN 1990 (2009). Eurocódigo – Bases para o projecto de estruturas. IPQ, Portugal.
NP EN 1992-1-1 (2010). Eurocódigo 2 – Projecto de estruturas de betão. Parte 1-1:
Regras gerais e regras para edifícios. IPQ, Portugal.
NP EN 1998-1 (2010). Eurocódigo 8 – Projecto de estruturas para resistência aos
sismos. Parte 1: Regras gerais, acções sísmicas e regras para edifícios. IPQ, Portugal.
Pinger site, nortus.pinger.pl.
Shin, S., Ghosh, S. e Moreno, J. (1989). Flexural Ductility of Ultra-High-Strength
Concrete Members. ACI Structural Journal, Title no. 86-S35, pp. 394-400.
Referências Bibliográficas
Tiago Simões c
Silva, B. (2007). Betão Leve Estrutural Com Agregados de Argila Expandida. Tese de
Mestrado, Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Porto, Porto.
Sin, L., Huan, W., Islam, M. e Mansur, M. (2011). Reinforced Lightweight Concrete
Beams in Flexure. ACI Structural Journal, Title no. 108-S01, pp. 3-12.
Yoon, Y., Cook, W. e Mitchell, D. (1996). Minimum Shear Reinforcement in Normal,
Medium, and High-Strength Concrete Beams. ACI Structural Journal, Title no. 93-S54, pp.
576-584.
Wikipedia, The Free Encyclopedia, www.wikipedia.org.
Boletins de Ensaio
d
Anexo A – Boletins de Ensaio
Figura A.1 - Boletim de ensaio da viga V2 LC35
V2 LC35
17-01-2011
23-05-2011
35 MPa
41,4 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ10
Φ6//0,08
77 kN
70 kN
63,3 kN
Distância e: 2,0 cm Altura h1: 27,2 cm
Distância e': 1,8 cm Altura h2: 27,3 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,2 cm
Distância f: 66,5 cm Largura da viga: 12,0 cm
Distância k: 15,0 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 7 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 10 cm
A viga entrou claramente em cedência
Rotura algo explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Ligeiras evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Anexo A
Tiago Simões e
Figura A.2 - Boletim de ensaio da viga V2 LC50
V2 LC50
12-01-2011
31-05-2011
50 MPa
52,3 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ10
Φ6//0,08
78 kN
68,1 kN
59,9 kN
Distância e: 2,0 cm Altura h1: 27,2 cm
Distância e': 1,8 cm Altura h2: 27,5 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,3 cm
Distância f: 66 cm Largura da viga: 12,0 cm
Distância k: 14,0 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 7,5 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 10 cm
A viga entrou claramente em cedência
Rotura algo explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Ligeiras evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Boletins de Ensaio
f
Figura A.3 - Boletim de ensaio da viga V2 LC70
V2 LC70
30-11-2010
01-06-2011
70 MPa
73,3 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ10
Φ6//0,08
79 kN
72 kN
69,5 kN
Distância e: 2,1 cm Altura h1: 27,0 cm
Distância e': 1,9 cm Altura h2: 27,1 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,2 cm
Distância f: 66,5 cm Largura da viga: 12,0 cm
Distância k: 13,5 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 8 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 10 cm
A viga entrou claramente em cedência
Rotura algo explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Ligeiras evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Anexo A
Tiago Simões g
Figura A.4 - Boletim de ensaio da viga V4 LC35
V4 LC35
17-01-2011
23-05-2011
35 MPa
41,4 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ16
Φ8//0,08
168 kN
127,8 kN
110,7 kN
Distância e: 1,9 cm Altura h1: 27,2 cm
Distância e': 1,9 cm Altura h2: 27,2 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,2 cm
Distância f: 66 cm Largura da viga: 11,9 cm
Distância k: 13,6 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 10 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 8 cm
Algumas dúvidas quanto à entrada da viga em cedência
Rotura fortemente explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Fortes evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Boletins de Ensaio
h
Figura A.5 - Boletim de ensaio da viga V4 LC50
V4 LC50
12-01-2011
31-05-2011
50 MPa
52,3 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ16
Φ8//0,08
177 kN
143,4 kN
126,1 kN
Distância e: 1,9 cm Altura h1: 27,5 cm
Distância e': 1,9 cm Altura h2: 27,4 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,3 cm
Distância f: 66 cm Largura da viga: 12,0 cm
Distância k: 13,7 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 11 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 8 cm
Algumas dúvidas quanto à entrada da viga em cedência
Rotura fortemente explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Fortes evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Anexo A
Tiago Simões i
Figura A.6 - Boletim de ensaio da viga V4 LC70
V4 LC70
30-11-2010
01-06-2011
70 MPa
73,3 MPa
A500 NR SD
2Φ6
4Φ16
Φ8//0,08
183 kN
165,1 kN
151,7 kN
Distância e: 1,9 cm Altura h1: 27,1 cm
Distância e': 1,9 cm Altura h2: 27,2 cm
Distância c: 31,0 cm Altura h3: 27,1 cm
Distância f: 66,5 cm Largura da viga: 12,0 cm
Distância k: 13,6 cm
Observações:
Momento de fendilhação provável de 13 kN.m
Fendilhação predominantemente vertical
Distância média entre fendas de aproximadamente 8 cm
A viga entrou claramente em cedência
Rotura explosiva com as fendas a convergirem para o ponto de rotura
Claras evidências de encurvadura nos varões comprimidos
Boletim de Ensaio
Resistência média à compressão espectável (28 dias):
Tipo de viga:
Data de fabrico do betão:
Data de ensaio:
Força máxima espectável:
Força de rotura medida:
Força máxima atingida:
Resistência média à compressão medida:
Tipo de armaduras utilizadas:
Armadura de compressão:
Armadura transversal:
Armadura de tracção:
Momento de Fendilhação
j
Anexo B – Momento de Fendilhação
Sem Homogeneização da Armadura Longitudinal
Para determinar o momento de fendilhação sem homogeneização da armadura longitudinal
utilizaram-se as seguintes expressões:
(B.1)
(B.2)
(B.3)
Quadro B.1 - Momentos de fendilhação sem homogeneização das armaduras das vigas V2 LC35 e V2
LC50
V2 LC35
V2 LC50
Dados
Dados
Elcm 23,1 GPa
Elcm 23,7 GPa
h 0,272 m
h 0,273 m
b 0,12 m
b 0,12 m
h/2 0,136 m
h/2 0,137 m
ρbetão 1880 kg/m3
ρbetão 1810 kg/m3
flcm 37,26 MPa
flcm 47,07 MPa
flctm 3,11 MPa
flctm 3,11 MPa
Inércia
Inércia
I 2,02E-04 m4
I 2,04E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 4,618 kN.m
Mf 4,652 kN.m
Anexo B
Tiago Simões k
Quadro B.2 - Momentos de fendilhação sem homogeneização das armaduras das vigas V2 LC70 e V4
LC35
V2 LC70
V4 LC35
Dados
Dados
Elcm 26,0 GPa
Elcm 23,1 GPa
h 0,271 m
h 0,272 m
b 0,12 m
b 0,119 m
h/2 0,136 m
h/2 0,136 m
ρbetão 1900 kg/m3
ρbetão 1880 kg/m3
flcm 65,97 MPa
flcm 37,26 MPa
flctm 4,13 MPa
flctm 3,11 MPa
Inércia
Inércia
I 1,99E-04 m4
I 2,00E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 6,071 kN.m
Mf 4,569 kN.m
Quadro B.3 - Momentos de fendilhação sem homogeneização das armaduras das vigas V4 LC50 e V4
LC70
V4 LC50
V4 LC70
Dados
Dados
Elcm 23,7 GPa
Elcm 26,0 GPa
h 0,274 m
h 0,271 m
b 0,12 m
b 0,12 m
h/2 0,137 m
h/2 0,136 m
ρbetão 1810 kg/m3
ρbetão 1900 kg/m3
flcm 47,07 MPa
flcm 65,97 MPa
flctm 3,11 MPa
flctm 4,13 MPa
Inércia
Inércia
I 2,06E-04 m4
I 2,00E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 4,676 kN.m
Mf 6,084 kN.m
Momento de Fendilhação
l
Legenda das expressões e das tabelas:
Elcm – módulo de elasticidade médio do betão leve; h – altura da secção; b – base da secção;
ρbetão – massa volúmica do betão; flcm – valor médio da tensão de rotura do betão leve à
compressão; flctm – valor médio da tensão de rotura do betão leve à tracção; I – momento de
inércia da secção; Mf – momento de fendilhação.
Com Homogeneização da Armadura Longitudinal
A determinação do momento de fendilhação com homogeneização da armadura longitudinal
foi elaborada de acordo com a seguinte figura e as seguintes expressões:
Figura B.1 - Esquema da homogeneização das armaduras
(B.4)
(B.5)
(B.6)
(B.7)
(B.8)
(B.9)
(B.10)
(B.11)
(B.12)
Anexo B
Tiago Simões m
(B.13)
Quadro B.4 - Momentos de fendilhação com homogeneização das armaduras das vigas V2 LC35 e V2
LC50
V2 LC35
V2 LC50
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 23,1 GPa
Elcm 23,7 GPa
ρbetão 1880 kg/m3
ρbetão 1810 kg/m3
flctm 3,11 MPa
flctm 3,11 MPa
h/2 0,136 m
h/2 0,137 m
b 0,12 m
b 0,12 m
h 0,272 m
h 0,273 m
As 3,14E-04 m2
As 3,14E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,030 m
ZAs 0,030 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 8,669
α 8,439
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 3,27E-02 m2
Ab 3,28E-02 m2
AsH 2,72E-03 m2
AsH 2,65E-03 m2
As'H 4,94E-04 m2
As'H 4,81E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,130 m
ZG 0,130 m
Inércias
Inércias
Ib 2,03E-04 m4
Ib 2,05E-04 m4
IAs 2,70E-05 m4
IAs 2,66E-05 m4
IAs' 6,81E-06 m4
IAs' 6,56E-06 m4
IT 2,37E-04 m4
IT 2,39E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 5,696 kN.m
Mf 5,705 kN.m
Momento de Fendilhação
n
Quadro B.5 - Momentos de fendilhação com homogeneização das armaduras das vigas V2 LC70 e V4
LC35
V2 LC70
V4 LC35
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 26,0 GPa
Elcm 23,1 GPa
ρbetão 1900 kg/m3
ρbetão 1880 kg/m3
flctm 4,13 MPa
flctm 3,11 MPa
h/2 0,136 m
h/2 0,136 m
b 0,12 m
b 0,119 m
h 0,271 m
h 0,272 m
As 3,14E-04 m2
As 8,04E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,030 m
ZAs 0,036 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 7,695
α 8,669
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 3,25E-02 m2
Ab 3,24E-02 m2
AsH 2,42E-03 m2
AsH 6,97E-03 m2
As'H 4,39E-04 m2
As'H 4,94E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,130 m
ZG 0,120 m
Inércias
Inércias
Ib 2,00E-04 m4
Ib 2,08E-04 m4
IAs 2,40E-05 m4
IAs 4,90E-05 m4
IAs' 6,04E-06 m4
IAs' 7,99E-06 m4
IT 2,30E-04 m4
IT 2,65E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 7,336 kN.m
Mf 6,884 kN.m
Anexo B
Tiago Simões o
Quadro B.6 - Momentos de fendilhação com homogeneização das armaduras das vigas V4 LC50 e V4
LC70
V4 LC50
V4 LC70
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 23,7 GPa
Elcm 26,0 GPa
ρbetão 1810 kg/m3
ρbetão 1900 kg/m3
flctm 3,11 MPa
flctm 4,13 MPa
h/2 0,137 m
h/2 0,136 m
b 0,12 m
b 0,12 m
h 0,274 m
h 0,271 m
As 8,04E-04 m2
As 8,04E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,036 m
ZAs 0,036 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 8,439
α 7,695
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 3,29E-02 m2
Ab 3,26E-02 m2
AsH 6,78E-03 m2
AsH 6,19E-03 m2
As'H 4,81E-04 m2
As'H 4,39E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,121 m
ZG 0,121 m
Inércias
Inércias
Ib 2,14E-04 m4
Ib 2,07E-04 m4
IAs 4,93E-05 m4
IAs 4,49E-05 m4
IAs' 7,61E-06 m4
IAs' 6,95E-06 m4
IT 2,71E-04 m4
IT 2,58E-04 m4
Momento de Fendilhação
Momento de Fendilhação
Mf 6,954 kN.m
Mf 8,812 kN.m
Momento de Fendilhação
p
Legenda das expressões e das tabelas:
Es – módulo de elasticidade do aço; Elcm – módulo de elasticidade médio do betão leve; ρbetão
– massa volúmica do betão; flctm – valor médio da tensão de rotura do betão leve à tracção; b –
base da secção; h – altura da secção; As – área das armaduras de tracção; As’ – área das
armaduras de compressão; ZAs – distância entre a base da secção e o centro das armaduras de
tracção; ZAs’ – distância entre a base da secção e o centro das armaduras de compressão; α –
coeficiente de homogeneização; Ab – área de betão; AsH – área das armaduras de tracção
homogeneizadas; As’H – área das armaduras de compressão homogeneizadas; ZG – centro de
inércia da secção; Ib – inércia do betão relativamente ao centro de gravidade da secção; IAs –
inércia das armaduras de tracção relativamente ao centro de gravidade da secção; IAs’ – inércia
das armaduras compressão relativamente ao centro de gravidade da secção; IT – inércia total
da secção; Mf – momento de fendilhação.
Anexo C
Tiago Simões q
Anexo C – Carga de Cedência
Força de Tracção nas Armaduras com base na Força de Compressão
A força de tracção nas armaduras baseada na força de compressão no betão foi elaborada de
acordo com uma distribuição bilinear de tensões, da qual só se utilizou a primeira recta, uma
vez que as extensões não entravam no domínio da segunda recta. O seu valor foi obtido com o
auxílio da seguinte figura e das seguintes expressões:
Figura C.1 - Diagrama para determinação da força de compressão no betão
(C.1)
(C.2)
(C.3)
(C.4)
(C.5)
(C.6)
Legenda das expressões:
εlc3 – extensão do betão calculada de acordo com o EC2; flck – valor característico da tensão
de rotura do betão leve à compressão; σc – tensão no betão; εc – extensão no betão; flcm – valor
médio da tensão de rotura do betão leve à compressão; Fc – força de compressão no betão; x –
profundidade do eixo neutro; b – base da secção; Fs’ – força nas armaduras de compressão; Es
– módulo de elasticidade do aço; εs’ – extensão das armaduras de compressão; As’ – área das
armaduras de compressão; Fs – força nas armaduras de tracção.
Carga de Cedência
r
Força de Tracção nas Armaduras com base no Momento no Ponto O
A força de tracção nas armaduras baseada no momento relativamente ao ponto O foi
elaborada de acordo com uma distribuição bilinear de tensões, da qual só se utilizou a
primeira recta, uma vez que as extensões não entravam no domínio da segunda recta. O seu
valor foi obtido com o auxílio da seguinte figura e das seguintes expressões:
Figura C.2 - Diagrama para determinação do momento em relação ao ponto O
(C.7)
(C.8)
(C.9)
Legenda das expressões:
MO – momento em relação ao ponto da força resultante do diagrama de compressões no
betão; Fs – força nas armaduras de tracção; d – altura útil da secção; x – profundidade do eixo
neutro; Fs’ – força nas armaduras de compressão; a’ – distância entre o topo da secção e o
centro das armaduras de compressão; MEd – momento actuante; Es – módulo de elasticidade
do aço; εs’ – extensão das armaduras de compressão; As’ – área das armaduras de compressão.
Anexo C
Tiago Simões s
Carga de Cedência das Armaduras
Uma vez determinada a força de tracção nas armaduras foi necessário compará-la com a força
que provoca a cedência das mesmas. Admitindo que a cedência das armaduras ocorre quando
o centro de gravidade das mesmas está sujeito à extensão de cedência das armaduras, εsy, pode
calcular-se a extensão no centro de cada varão que compõe o agrupamento, e assim,
determinar a força que provocou a cedência. Verifique-se a seguinte figura:
Figura C.3 - Tensões no centro dos varões de tracção em função da curvatura verificada na cedência
Uma vez determinada a curvatura verificada no hipotético ponto de cedência, podem-se
calcular as extensões no centro do varão superior, εs1, e inferior, εs2, do agrupamento, de
acordo com as seguintes expressões:
(C.10)
(C.11)
(C.12)
Por fim podem determinar-se as forças de tracção no varão superior, F1, e inferior, F2, e assim
determinar a força de cedência do conjunto dos varões de tracção, Fced:
(C.13)
(C.14)
(C.15)
Carga de Cedência
t
Quadro C.1 - Força de cedência das armaduras de tracção
Série V2
Série V4
Força de Cedência
Força de Cedência
1/r 0,018 m-1
1/r 0,020 m-1
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
fsy 545,0 MPa
fsy 545,0 MPa
εsy 0,002725 m/m
εsy 0,002725 m/m
φvarão 0,010 m
φvarão 0,016 m
As1 7,90E-05 m2
As1 2,01E-04 m2
As2 7,90E-05 m2
As2 2,01E-04 m2
εs1 0,002635 m/m
εs1 0,002565 m/m
εs2 0,002815 m/m
εs2 0,002885 m/m
F1 41,6 kN
F1 103,1 kN
F2 43,1 kN
F2 109,5 kN
Fced 169,4 kN
Fced 425,3 kN
Legenda das expressões e das tabelas:
1/r – curvatura da secção; Es – módulo de elasticidade do aço; fsy – tensão de cedência do aço;
εsy – extensão de cedência do aço; ϕvarão – diâmetro dos varões de tracção; As1 – área do varão
de tracção superior; As2 – área do varão de tracção inferior; εs1 – extensão no varão de tracção
superior; εs2 – extensão no varão de tracção inferior; F1 – força de tracção no varão de tracção
superior; F2 – força de tracção no varão de tracção inferior; Fced – força de cedência da
armadura de tracção.
Anexo D
Tiago Simões u
Anexo D – Previsão da Carga Máxima
A determinação da carga máxima que as vigas teoricamente deveriam suportar foi elaborada
de acordo com uma distribuição rectangular de tensões, com o auxílio da seguinte figura e das
seguintes expressões:
Figura D.1 – Distribuição rectangular de tensões para o cálculo de secções transversais
(D.1)
(D.2)
(D.3)
(D.4)
(D.5)
(D.6)
(D.7)
(D.8)
(D.9)
(D.10)
(D.11)
(D.12)
(D.13)
(D.14)
(D.15)
Previsão da Carga Máxima
v
Quadro D.1 – Momento resistente da viga V2 LC35
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,04357 m
Es= 200 GPa
Elcm= 23,1 Gpa
b= 0,12 m
fy= 545000 kPa
flcm= 37260 kPa
h= 0,2723 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 3,19 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000314 m2
εs'= 1,34 ‰
rec= 0,02 m
εs= 14,57 ‰
φvarão= 0,01 m
a= 0,03 m
d= 0,2423 m
a'= 0,0253 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,8
η= 1
Fc= 155,85 kN
Fs'= 15,27 kN
Fs= 171,13 kN Estado:
Fc+Fs'= 171,12 kN Equilíbrio
MRd: 38,36 kN.m
Quadro D.2 – Momento resistente da viga V2 LC50
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,03576 m
Es= 200 GPa
Elcm= 23,7 Gpa
b= 0,12 m
fy= 545000 kPa
flcm= 47100 kPa
h= 0,2733 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 3,13 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000314 m2
εs'= 0,83 ‰
rec= 0,02 m
εs= 18,17 ‰
φvarão= 0,01 m
a= 0,03 m
d= 0,2433 m
a'= 0,0263 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,8
η= 1
Fc= 161,69 kN
Fs'= 9,44 kN
Fs= 171,13 kN Estado:
Fc+Fs'= 171,13 kN Equilíbrio
MRd: 39,08 kN.m
Anexo D
Tiago Simões w
Quadro D.3 – Momento resistente da viga V2 LC70
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,02717 m
Es= 200 GPa
Elcm= 26,0 Gpa
b= 0,12 m
fy= 545000 kPa
flcm= 65970 kPa
h= 0,271 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 2,49 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000314 m2
εs'= 0,29 ‰
rec= 0,02 m
εs= 19,63 ‰
φvarão= 0,01 m
a= 0,03 m
d= 0,241 m
a'= 0,024 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,78
η= 1
Fc= 167,79 kN
Fs'= 3,32 kN
Fs= 171,13 kN Estado:
Fc+Fs'= 171,10 kN Equilíbrio
MRd: 39,38 kN.m
Quadro D.4 – Momento resistente da viga V4 LC35
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,1155 m
Es= 200 GPa
Elcm= 23,1 Gpa
b= 0,119 m
fy= 545000 kPa
flcm= 37260 kPa
h= 0,272 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 3,19 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000804 m2
εs'= 2,50 ‰
rec= 0,02 m
εs= 3,33 ‰
φvarão= 0,016 m
a= 0,036 m
d= 0,236 m
a'= 0,025 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,8
η= 1
Fc= 409,70 kN
Fs'= 28,54 kN
Fs= 438,18 kN Estado:
Fc+Fs'= 438,23 kN Equilíbrio
MRd: 83,78 kN.m
Previsão da Carga Máxima
x
Quadro D.5 – Momento resistente da viga V4 LC50
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,09135 m
Es= 200 GPa
Elcm= 23,7 Gpa
b= 0,12 m
fy= 545000 kPa
flcm= 47100 kPa
h= 0,274 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 3,13 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000804 m2
εs'= 2,20 ‰
rec= 0,02 m
εs= 5,02 ‰
φvarão= 0,016 m
a= 0,036 m
d= 0,238 m
a'= 0,027 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,8
η= 1
Fc= 413,05 kN
Fs'= 25,14 kN
Fs= 438,18 kN Estado:
Fc+Fs'= 438,18 kN Equilíbrio
MRd: 88,52 kN.m
Quadro D.6 – Momento resistente da viga V4 LC70
Propriedades da viga
Propriedades do aço
Propriedades do betão
Valor de x: 0,068 m
Es= 200 GPa
Elcm= 26,0 Gpa
b= 0,12 m
fy= 545000 kPa
flcm= 65970 kPa
h= 0,2713 m
ft= 630000 kPa
εlcu3= 2,49 ‰
As'= 0,000057 m2
εsy= 2,725 ‰
As= 0,000804 m2
εs'= 1,60 ‰
rec= 0,02 m
εs= 6,14 ‰
φvarão= 0,016 m
a= 0,036 m
d= 0,2353 m
a'= 0,0243 m
Cálculo da resistência da viga
λ= 0,78
η= 1
Fc= 419,93 kN
Fs'= 18,27 kN
Fs= 438,18 kN Estado:
Fc+Fs'= 438,20 kN Equilíbrio
MRd: 91,53 kN.m
Anexo D
Tiago Simões y
Legenda das expressões e das tabelas:
x – profundidade do eixo neutro; b – base da secção; h – altura da secção; As’ – área das
armaduras de compressão; As – área das armaduras de tracção; rec – recobrimento das
armaduras; ϕvarão – diâmetro dos varões de tracção; a – distância entre a base da secção e o
centro das armaduras de tracção; d – altura útil da secção; a’ – distância entre o topo da
secção e o centro das armaduras de compressão; Es – módulo de elasticidade do aço; fy –
tensão de cedência do aço; ft – tensão de rotura do aço; εsy – extensão de cedência do aço; εs’ –
extensão das armaduras de compressão; εs – extensão das armaduras de tracção; Elcm –
módulo de elasticidade médio do betão leve; flcm – valor médio da tensão de rotura do betão
leve à compressão; εlcu3 – extensão última do betão calculada de acordo com o EC2; λ –
coeficiente que define a área útil da zona comprimida; η – coeficiente que define a resistência
efectiva do betão; Fc – força de compressão no betão; Fs’ – força de compressão nas
armaduras; Fs – força de tracção nas armaduras; MRd – momento resistente da secção.
Determinação da Curvatura
z
Anexo E – Determinação da Curvatura
Curvatura pelos Transdutores de Deslocamento Horizontais
A determinação da curvatura das vigas, pelos valores dos transdutores de deslocamento
horizontais foi elaborada de acordo com a seguinte figura e as seguintes expressões:
Figura E.1 - Cálculo da curvatura baseado nos valores dos deslocamentos horizontais
(E.1)
(E.2)
(E.3)
(E.4)
(E.5)
(E.6)
(E.7)
(E.8)
Anexo E
Tiago Simões aa
Legenda das expressões:
x’ – distância entre o centro do transdutor de deslocamentos superior e o eixo neutro; x –
profundidade do eixo neutro; c – distância entre os transdutores de deslocamentos; g’ – valor
lide pelo transdutor de deslocamentos superior; g – valor lide pelo transdutor de
deslocamentos inferior; e’ – distância entre o centro do transdutor de deslocamentos superior
e o topo da secção; e – distância entre o centro do transdutor de deslocamentos inferior e a
base da secção; a’ – distância entre o topo da secção e o centro das armaduras de compressão;
a – distância entre a base da secção e o centro das armaduras de tracção; 1/r – curvatura da
secção; d – altura útil da secção; εc – extensão ao nível do topo da secção; εs’ – extensão ao
nível das armaduras de compressão; εs – extensão ao nível das armaduras de tracção.
Curvatura pelos Transdutores de Deslocamento Verticais
A determinação da curvatura das vigas, pelos valores dos transdutores de deslocamento
verticais foi elaborada de acordo com a seguinte figura e as seguintes expressões:
Figura E.2 – Cálculo da curvatura baseado nos valores dos deslocamentos verticais
(E.9)
(E.10)
Determinação da Curvatura
bb
Legenda das expressões:
r – raio de curvatura da secção; f – comprimento da flecha, definido pela diferença entre o
deslocamento em 2 e a média dos deslocamentos 1 e 3; c – comprimento da corda da
circunferência, igual a 0,80 m; 1/r – curvatura da secção.
Curvatura pela Integração da Linha Elástica
A determinação da curvatura das vigas, pela integração da linha elástica foi elaborada de
acordo com a seguinte figura e as seguintes expressões:
Figura E.3 – Cálculo da curvatura baseado na integração da linha elástica
(E.11)
(E.12)
(E.13)
Anexo E
Tiago Simões cc
Para o tramo x1:
(E.14)
(E.15)
(E.16)
Para o tramo x2:
(E.17)
(E.18)
(E.19)
Condições de fronteira:
(E.20)
(E.21)
(E.22)
(E.23)
Equações válidas em 0 ≤ x2 ≤ 0,8:
(E.24)
(E.25)
(E.26)
Para x2 = 0:
(E.27)
Determinação da Curvatura
dd
Para x2 = 0,4:
(E.28)
Para x2 = 0,8:
(E.29)
Curvatura:
(E.30)
Legenda das expressões:
P – carga aplicada; M1 – equação dos momentos no tramo 1; M2 – equação dos momentos no
tramo 2; M3 – equação dos momentos no tramo 3; 1/r – curvatura; θ – rotação; δ –
deslocamentos; EI – rigidez; C11 – constante relativa à rotação inicial no tramo 1; C2
1 –
constante relativa ao deslocamento inicial no tramo 1; C12 – constante relativa à rotação
inicial no tramo 2; C22 – constante relativa ao deslocamento inicial no tramo 2; M – momento
aplicado.
Anexo F
Tiago Simões ee
Anexo F – Rigidez em Estado I e Estado II
Rigidez em Estado I
Para o cálculo da rigidez das vigas no Estado I basta multiplicar o valor do módulo de
elasticidade do betão, pela inércia da secção, calculada com homogeneização da armadura
longitudinal (Anexo B):
(F.1)
Quadro F.1 - Rigidez em Estado I das vigas V2 LC35 e V2 LC50
V2 LC35
V2 LC50
Rigidez
Rigidez
EI 5470 kN.m2
EI 5656 kN.m2
Quadro F.2 - Rigidez em Estado I das vigas V2 LC70 e V4 LC35
V2 LC70
V4 LC35
Rigidez
Rigidez
EI 5982 kN.m2
EI 6113 kN.m2
Quadro F.3 - Rigidez em Estado I das vigas V4 LC50 e V4 LC70
V4 LC50
V4 LC70
Rigidez
Rigidez
EI 6418 kN.m2
EI 6715 kN.m2
Rigidez em Estado I e Estado II
ff
Rigidez em Estado II
A determinação da rigidez das vigas no Estado II foi elaborada de acordo com as seguintes
figuras e as seguintes expressões:
Figura F.1 - Tensões na secção transversal no Estado II
(F.2)
Figura F.2 - Esquema para o cálculo do centro de inércia da secção
(F.3)
(F.4)
(F.5)
(F.6)
Rigidez em Estado I e Estado II
hh
Quadro F.4 - Rigidez em Estado II das vigas V2 LC35 e V2 LC50
V2 LC35
V2 LC50
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 23,1 GPa
Elcm 23,7 GPa
b 0,12 m
b 0,12 m
h 0,272 m
h 0,273 m
a 0,030 m
a 0,030 m
a' 0,025 m
a' 0,026 m
d 0,242 m
d 0,243 m
As 3,14E-04 m2
As 3,14E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 8,669
α 8,439
Linha Neutra
Linha Neutra
x 0,0824 m
x 0,0818 m
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,030 m
ZAs 0,030 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 9,88E-03 m2
Ab 9,81E-03 m2
AsH 2,72E-03 m2
AsH 2,65E-03 m2
As'H 4,94E-04 m2
As'H 4,81E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,190 m
ZG 0,192 m
Inércias
Inércias
Ib 2,24E-05 m4
Ib 2,19E-05 m4
IAs 6,96E-05 m4
IAs 6,91E-05 m4
IAs' 1,61E-06 m4
IAs' 1,48E-06 m4
IT 9,36E-05 m4
IT 9,25E-05 m4
Rigidez
Rigidez
EI 2159 kN.m2
EI 2192 kN.m2
Anexo F
Tiago Simões ii
Quadro F.5 - Rigidez em Estado II das vigas V2 LC70 e V4 LC35
V2 LC70
V4 LC35
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 26,0 GPa
Elcm 23,1 GPa
b 0,12 m
b 0,119 m
h 0,271 m
h 0,272 m
a 0,030 m
a 0,036 m
a' 0,024 m
a' 0,025 m
d 0,241 m
d 0,236 m
As 3,14E-04 m2
As 8,04E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 7,695
α 8,669
Linha Neutra
Linha Neutra
x 0,0784 m
x 0,1156 m
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,030 m
ZAs 0,036 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 9,41E-03 m2
Ab 1,38E-02 m2
AsH 2,42E-03 m2
AsH 6,97E-03 m2
As'H 4,39E-04 m2
As'H 4,94E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,193 m
ZG 0,156 m
Inércias
Inércias
Ib 1,93E-05 m4
Ib 6,12E-05 m4
IAs 6,39E-05 m4
IAs 1,01E-04 m4
IAs' 1,30E-06 m4
IAs' 4,05E-06 m4
IT 8,45E-05 m4
IT 1,66E-04 m4
Rigidez
Rigidez
EI 2195 kN.m2
EI 3838 kN.m2
Rigidez em Estado I e Estado II
jj
Quadro F.6 - Rigidez em Estado II das vigas V4 LC50 e V4 LC70
V4 LC50
V4 LC70
Dados
Dados
Es 200,0 GPa
Es 200,0 GPa
Elcm 23,7 GPa
Elcm 26,0 GPa
b 0,12 m
b 0,12 m
h 0,274 m
h 0,271 m
a 0,036 m
a 0,036 m
a' 0,027 m
a' 0,024 m
d 0,238 m
d 0,235 m
As 8,04E-04 m2
As 8,04E-04 m2
As' 5,70E-05 m2
As' 5,70E-05 m2
Coeficiente de Homogeneização
Coeficiente de Homogeneização
α 8,439
α 7,695
Linha Neutra
Linha Neutra
x 0,1149 m
x 0,1106 m
Propriedades Geométricas
Propriedades Geométricas
ZAs 0,036 m
ZAs 0,036 m
ZAs' 0,247 m
ZAs' 0,247 m
Áreas Homogeneizadas
Áreas Homogeneizadas
Ab 1,38E-02 m2
Ab 1,33E-02 m2
AsH 6,78E-03 m2
AsH 6,19E-03 m2
As'H 4,81E-04 m2
As'H 4,39E-04 m2
Centro de Inércia
Centro de Inércia
ZG 0,159 m
ZG 0,161 m
Inércias
Inércias
Ib 6,07E-05 m4
Ib 5,41E-05 m4
IAs 1,03E-04 m4
IAs 9,62E-05 m4
IAs' 3,72E-06 m4
IAs' 3,27E-06 m4
IT 1,67E-04 m4
IT 1,54E-04 m4
Rigidez
Rigidez
EI 3963 kN.m2
EI 3992 kN.m2
Anexo F
Tiago Simões kk
Legenda das expressões e das tabelas:
Es – módulo de elasticidade do aço; Elcm – módulo de elasticidade médio do betão leve; b –
base da secção; h – altura da secção; a – distância entre a base da secção e o centro das
armaduras de tracção; a’ – distância entre o topo da secção e o centro das armaduras de
compressão; d – altura útil da secção; As – área das armaduras de tracção; As’ – área das
armaduras de compressão; α – coeficiente de homogeneização; x – profundidade do eixo
neutro; ZAs – distância entre a base da secção e o centro das armaduras de tracção; ZAs’ –
distância entre a base da secção e o centro das armaduras de compressão; Ab – área de betão;
AsH – área das armaduras de tracção homogeneizadas; As’H – área das armaduras de
compressão homogeneizadas; ZG – centro de inércia da secção; Ib – inércia do betão
relativamente ao centro de gravidade da secção; IAs – inércia das armaduras de tracção
relativamente ao centro de gravidade da secção; IAs’ – inércia das armaduras compressão
relativamente ao centro de gravidade da secção; IT – inércia total da secção; EI – rigidez da
secção.