École Nationale Supérieur d’Arct et Métiers École doctorale de l’UTT
N : 2008-UTT-xxxx
T H È S E
pour obtenir le grade de
DOCTEURde
L’UNIVERSITÉ DE TECHNOLOGIE DE TROYES
Spécialité : Systèmes Mécaniques et Matériaux
présentée et soutenue publiquement
par
The Vinh TRAN
le 15 décembre 2008
IDENTIFICATION DU COMPORTEMENT DES MATÉRIAUX MÉTALLIQUES
AU DELÀ DE LEUR LIMITE D’ÉLASTICITÉ PAR LA
MÉTHODE DES CHAMPS VIRTUELS
Directeur de thèse : Fabrice PIERRON
Codirecteur de thèse : Stéphane AVRIL
Jury :
M. Jean-Louis CHABOCHE Directeur de recherche à l’ONERA PrésidentM. Rodolphe LE RICHE Chargé de recherches au CNRS, HDR, ENSM, Saint-Étienne RapporteurM. Laurent TABOUROT Professeur à l’ESIA, Annecy RapporteurM. Stéphane AVRIL Maître Assistant HDR, ENSM, Saint-Étienne ExaminateurM. Michel GREDIAC Professeur, Université Blaise Pascal Clermont II ExaminateurM. Fabrice PIERRON Professeur, ENSAM Châlons en Champagne Examinateur
Laboratoire de Mécanique et Procédés de Fabrication
ENSAM, CER de Châlons-en-Champagne
L’ENSAM est un Grand Établissement dépendant du Ministère de l’Éducation Nationale, composé de huit centres :AIX-EN-PROVENCE ANGERS BORDEAUX CHÂLONS-EN-CHAMPAGNE CLUNY LILLE METZ PARIS
À ma fille Khanh Ngoc Jade
ma femme et toute ma famille au Vietnam . . .
Remerciements
Les travaux de cette thèse ont été effectués au Laboratoire de Mécanique et Procédés
de Fabrication de l’École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers, CER de Châlons-en-
Champagne. Le support financier de la Région Champagne-Ardenne et ainsi que les condi-
tions offertes par la direction du centre de L’ENSAM de Châlons-en-Champagne m’ont
permis d’effectuer cette thèse dans d’excellentes conditions.
A l’issue de la rédaction de cette recherche, je suis convaincue que la thèse est loin d’être
un travail solitaire. En effet, je n’aurais jamais pu réaliser ce travail doctoral sans le
soutien d’un grand nombre de personnes. Je commencerai donc ce document en adressant
quelques remerciements.
En premier lieu, je tiens à remercier mon directeur de thèse, Monsieur Fabrice PIERRON,
Professeur des Universités au centre Arts et Métiers Paristech de Châlons-en-Champagne,
pour la confiance qu’il m’a accordée en acceptant d’encadrer ce travail doctoral, pour ses
multiples conseils et pour toutes les heures qu’il a consacrées à diriger cette recherche.
Je souhaiterais exprimer ma gratitude à mon co-directeur de thèse, Monsieur Stéphane
AVRIL, Maître Assistant à l’École des Mines de Saint-Étienne, pour toute l’aide qu’il a pu
m’apporter, tout le temps qu’il a pu me consacrer, tout le savoir qu’il a pu me transmettre,
et surtout tout le soutien qu’il a pu m’apporter. Ce fut un immense plaisir pour moi de
travailler ces quelques années avec lui, années pendant lesquelles j’ai beaucoup appris,
autant d’un point de vue scientifique que relationnel. J’aimerais également lui dire à quel
point j’ai apprécié ses qualités humaines d’écoute et de compréhension.
Je considère comme un grand honneur que Monsieur Jean-Louis CHABOCHE, Directeur
de recherche à l’ Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales, pour avoir
accepté de participer à ce jury de thèse et de le présider. Je voudrais donc le remercier
vivement.
Je sais infiniment gré aux Messieurs Rodolphe LE RICHE, Chargé de recherche au CNRS,
habilité à diriger les recherches à l’Ecole des Mines de Saint-Étienne, et Laurent TABOU-
5
ROT, Professeur à l’Ecole Supérieure d’Ingénieurs d’Annecy, pour avoir accepté de juger
ce manuscrit et pour leurs deux rapports élogieux.
Je remercie également Monsieur Michel GREDIAC, Professeur à l’Université Blaise Pascal
Clermont II, pour sa présence très appréciée en tant qu’examinateur.
Je tiens également à remercier quelques personnes pour leur aide sur des aspects précis
de ce travail :
– Madame Laurence FOUILLAND-PAILLÉ Maître de Conférences au centre Arts et Mé-
tiers Paristech de Châlons-en-Champagne, pour son aide sur les aspects matériaux et
observation micrographique ;
– Monsieur René ROTINAT, Maître de Conférences au centre Arts et Métiers Paristech
de Châlons-en-Champagne, pour la mise en place de moyens expérimentaux ;
– Monsieur Cédric PERSON , respectivement Assistant Ingénieur et Technicien au centre
Arts et Métiers Paristech de Châlons-en-Champagne, pour son aide technique au quo-
tidien.
Mes remerciements vont également à l’ensemble des membres du Laboratoire de Mé-
canique et Procédés de Fabrication (LMPF-ENSAM Châlons-en-Champagne) pour leur
soutien logistique et moral ainsi que pour la très bonne ambiance que j’ai toujours trouvée
au centre. Je souhaite témoigner mon amitié a tous les collaborateurs avec qui j’ai passé de
formidables moments au laboratoire et en dehors : José, Régine, Patrick, Alain, Edoardo,
Raphaël, Jin, Ibrahim, Benjamin, Sylvain, Nathanael, Cédric, Guillaume et surtout Bao-
qiao GUO pour ses nombreux conseils et le soutien qu’il m’a apporté tout au long de ces
trois années.
Je voudrais aussi remercier l’Ecole doctorale de l’Université de Technologies de Troyes où
j’ai fait mes inscriptions universitaires. Je remercie particulièrement à madame Isabelle
LECLERCQ pour les moyens qu’elle a mis en œuvre afin de faciliter mes inscriptions.
Ma reconnaissance va à ceux qui ont plus particulièrement assuré le soutien affectif de ce
travail doctoral : ma famille ainsi que la famille MARCHI. Un grand merci à Geneviève et
Paul MARCHI pour leur soutien affectif sans faille. Enfin, je remercie ma mère qui pense
toujours à moi, ainsi que mon père, mon frère et ma belle-sœur pour leur soutien. Merci
également à ma petite famille que j’ai fondé au cours de cette thèse. Un grand merci à
ma femme, Thuy pour sa patience et sa compréhension ainsi qu’à ma fille, Khanh Ngoc
qui m’a donné une grande bouffée d’oxygène.
Table des matières
1 Position du problème - revue bibliographique 1
1.1 Revue bibliographique des essais mécaniques sur matériaux . . . . . . . . . 2
1.2 Revue des méthodes de mesure de champs cinématiques . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Techniques de mesure non interférométriques . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1.1 Méthodes utilisant un motif périodique . . . . . . . . . . . 5
1.2.1.2 Méthodes utilisant un motif aléatoire . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Techniques de mesure interférométriques . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2.1 Interférométrie sur réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.2.2 Interférométrie de speckle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.3 Bilan des méthodes de mesure de champs cinématiques . . . . . . . 11
1.2.4 Reconstruction des champs cinématiques à partir des données me-
surées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4.1 Reconstruction par approximation polynomiale . . . . . . 14
1.2.4.2 Reconstruction par approximation éléments finis . . . . . . 15
1.2.4.3 Reconstruction par approximation diffuse . . . . . . . . . 15
1.2.4.4 Conclusions sur les approches abordées . . . . . . . . . . . 16
1.3 Revue bibliographique des méthodes de résolution de problèmes inverses . 16
1.3.1 Présentation du problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.1.1 Définition du problème direct en élastoplasticité . . . . . . 17
1.3.1.2 Définition du problème inverse en élastoplasticité . . . . . 17
1.3.2 Présentation des méthodes de résolution du problème inverse . . . . 19
1.3.2.1 Méthode du recalage par éléments finis . . . . . . . . . . . 19
1.3.2.2 Méthode de l’erreur en relation de comportement . . . . . 21
1.3.2.3 Méthode de l’écart à l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.2.4 Méthode de l’écart à la réciprocité . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.2.5 Méthode des champs virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4 Conclusion du chapitre et position du problème . . . . . . . . . . . . . . . 25
I
2 Le comportement mécanique des matériaux métalliques au-delà de leur
limite d’élasticité 27
2.1 Formulation générale des lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.1 Le potentiel thermodynamique et les lois d’état . . . . . . . . . . . 28
2.1.2 Les lois complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Modélisation des lois de comportement élastoplastiques . . . . . . . . . . . 29
2.2.1 Elasticité linéaire isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés . 31
2.2.2.1 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope
combinésPotentiel thermodynamique . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2.2 Notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3 Relation incrémentale entre contrainte et déformation totale en élastoplas-
ticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Hypothèse des contraintes planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 Le cas de l’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.3 Le cas de l’élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.4 Détermination de la matrice tangente [M ] . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Méthode des champs virtuels en élastoplasticité 41
3.1 La méthode de champs virtuels existante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1 Mise en œuvre de MCV en élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 La mise en œuvre de MCV en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 MCV par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Principe de reconstruction des champs réels et de construction des
champs virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2 Nouvelle formulation de la méthode des champs virtuels basée sur
les champs par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2.1 Application à l’identification de paramètres élastiques . . . 49
3.2.2.2 Application à l’identification de paramètres plastiques . . 51
3.3 Nouveaux développements apportés à la MCV en élastoplasticité . . . . . . 52
3.3.1 Procédure d’identification générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1.1 Principe général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3.1.2 Résolution de problème inverse . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3.2 Procédure de sélection des champs virtuels optimisés en plasticité . 55
3.3.2.1 L’erreur sur la fonction coût en présence de bruit de me-
sure en élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2.2 Choix des champs virtuels optimisés en élastoplasticité . . 56
II
3.3.3 Implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la procédure
de minimisation de la fonction coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.4 Procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en plasticité . 61
3.3.5 Extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouis-
sage cinématique et chargements non monotones . . . . . . . . . . . 65
3.3.6 Conclusion sur la MCV en élastoplasticité . . . . . . . . . . . . . . 65
4 Validation numérique des nouveaux développements apportés à la MCV
en plasticité 67
4.1 Présentation de l’essai modélisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Simulation de l’essai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3 Validation de la nouvelle approche de calcul des contraintes . . . . . . . . . 69
4.4 Vérification de la faisabilité de la géométrie de l’éprouvette pour l’identi-
fication des paramètres d’écrouissage cinématique combiné à l’écrouissage
isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 Validation de l’algorithme de Newton-Raphson pour minimiser la fonction
coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Validation du choix des champs virtuels optimaux en plasticité . . . . . . . 75
4.6.1 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les données
numériques sans bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.2 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les données
numériques bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.2.1 Pas de grille simulée de 0,2 mm . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.6.2.2 Pas de grille simulée de 0,1 mm . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.7 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Validation expérimentale de la MCV appliquée à l’identification de lois
de comportement élastoplastiques 83
5.1 Présentation du matériau testé pour la validation expérimentale . . . . . . 84
5.1.1 Tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L) . . . 84
5.1.2 Caractérisation de la réponse mécanique en traction et compression
uni-axiale par essai normalisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.1.3 Choix d’un modèle de comportement permettant de reproduire la
réponse mécanique en traction et compression uniaxiale . . . . . . . 89
5.1.3.1 Ecrouissage isotrope linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3.2 Ecrouissage isotrope exponentiel . . . . . . . . . . . . . . 89
5.1.3.3 Ecrouissage cinématique linéaire . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.3.4 Ecrouissage cinématique non linéaire . . . . . . . . . . . . 91
III
5.1.3.5 Améliorations du modèle d’écrouissage cinématique non
linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2 Description des essais hétérogènes et méthodes de mesure . . . . . . . . . . 95
5.2.1 Forme des éprouvettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.2 Montage mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Méthode de mesure de champs cinématiques . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3.1 Principe de la méthode de la grille . . . . . . . . . . . . . 96
5.2.3.2 Mise en œuvre de la méthode de grille . . . . . . . . . . . 100
5.2.4 Reconstruction par une approximation éléments finis du champ des
déplacements et du champ des déformations à partir des déplace-
ments mesurés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Résultats et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3.1 Identification des paramètres élastoplastiques pour la première phase
de chargement (traction monotone) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.3.1.1 Identification des paramètres élastiques en traction . . . . 111
5.3.1.2 Identification des paramètres plastiques dans la phase de
traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3.1.3 Discussion des résultats identifiés en traction . . . . . . . 114
5.3.1.4 Conclusions des résultats obtenus pour la première phase
de chargement (traction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
5.3.2 Identification des paramètres élastoplastiques en traction suivie d’une
compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5.3.2.1 Identification des paramètres élastiques . . . . . . . . . . . 124
5.3.2.2 Identification des paramètres plastiques pour le modèle
ECNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.3.2.3 Discussion des résultats identifiés . . . . . . . . . . . . . . 127
5.3.2.4 Conclusions des résultats obtenus du modèle ECNL1 . . . 135
5.3.3 Tentative d’amélioration du modèle d’écrouissage cinématique non
linéaire ECNL1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.3.4 Conclusions du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6 Conclusion générale 143
A Annexe 147
A.1 Biais dû au bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
A.2 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
IV
B Annexe 151
B.1 Méthodes à direction de descente classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
B.1.1 Méthodes de recherche du pas d’arrête tk . . . . . . . . . . . . . . . 152
B.1.1.1 Méthode des itérations à pas variable . . . . . . . . . . . . 153
B.1.1.2 Méthode d’interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
B.1.2 Méthodes du gradient pour la recherche de la direction de descente dk153
B.1.2.1 Méthode de la plus grande de pente . . . . . . . . . . . . 154
B.1.2.2 Méthodes de gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . 154
B.1.2.3 Méthodes Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B.1.2.4 Méthodes quasi-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B.1.2.5 Méthode de Gauss-Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B.1.3 Méthodes de descente classiques pour PNL avec contraintes . . . . 157
B.2 Méthodes d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
B.2.1 Méthodes de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
B.2.2 Méthodes du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B.2.3 Méthodes génétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B.3 Conclusion sur les méthodes abordées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.3.1 Méthodes à direction de descente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B.3.2 Méthodes d’ordre 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.3.3 Méthodes hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
C Annexe 165
C.1 Développement du logiciel Camfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C.2 Présentation du logiciel Camfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.2.1 Préprocesseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.2.2 Fitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.2.3 Identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.2.4 PostProcessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
C.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Bibliographie 173
V
VI
Liste des tableaux
1.1 Comparaison de performances des méthodes de mesure des champs [39]. . . 12
1.2 Comparaison entre le problème direct et le problème inverse. . . . . . . . . 18
4.1 Paramètres identifiés pour les différents cas de chargement. . . . . . . . . . 73
4.2 Étude de convergence de l’identification en fonction des points de départ. . 73
4.3 Les différents champs virtuels ont été testés pour l’identification (axes x et
y présentés dans la figure 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du
maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.5 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 0,5 mm (pas de grille 0,2 mm). 78
4.6 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 1,1 mm (pas de grille 0,2 mm). 78
4.7 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,2 mm). 78
4.8 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 0,7 mm (pas de grille 0,1
mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.9 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,1
mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.10 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,3 mm. . . . . . . . . . . . . 81
4.11 Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,7 mm. . . . . . . . . . . . . 81
5.1 Composition chimique (hormis le fer) de la tôle 316L. . . . . . . . . . . . . 84
5.2 Paramètres élastiques identifiés à partir des courbes contrainte-déformation
issues des essais normalisés (coefficient de variation noté C.V.) . . . . . . . 89
VII
5.3 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle de Voce à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés selon la DP. . . . . . . . 91
5.4 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle cinématique non linéaire
ECNL1 à partir des courbes contrainte-déformation issues des essais nor-
malisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.5 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL4 à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . 93
5.6 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . 94
5.7 Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du
maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.8 Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction
de la taille du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.9 Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation. . . . . 117
5.10 Comparaison des résultats obtenus avec différents champs virtuels (taille
de maillage de 1,3 mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.11 Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction
du nombre d’étapes choisi dans la fonction coût. . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.12 Paramètres plastiques du modèle CNL1 identifiés par la MCV en fonction
de la taille du maillage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.13 Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation pour
le modèle ECNL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.14 Paramètres plastiques du modèle ECNL1 identifiés par la MCV en fonction
du champ virtuel utilisé avec taille de maillage 1,3 mm. . . . . . . . . . . . 131
5.15 Influence de la valeur de prédéformation totale à la fin de la première phase
de chargement (traction) pour l’identification des paramètres du modèle
ECNL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.16 Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 avec hypothèse de
connaissance apriori du paramètre B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
VIII
Table des figures
1.1 Revue de quelques approches d’identification utilisant des essais mécaniques
statiquement indéterminés et des mesures de champs :(a) [11, 12, 28, 29] ;
(b) [30] ; (c) [31] ; (d) [13, 19, 32] ; (e) [33] ; (f) [27] ; (g) [34, 35] ; (h)[24]. . . 3
1.2 Types de motifs utilisé pour réaliser des mesures de champs cinématiques. . 5
1.3 Vue du dispositif expérimental pour un essai de flexion/cisaillement sur
composite verre époxyde [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Vue du dispositif expérimental pour un essai de vibrations forcées sur plaque
en PMMA [43]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Principe de la profilométrie par projection de grille. . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Imagette répétée à l’état initial et à l’état final [45]. . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Photographie de speckle (granularité laser) [61]. . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Mesure quantitative des déplacements dans le plan par interférométrie de
speckle. Principe du montage expérimental [61] . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Schéma de principe de la technique de recalage (d’après [14]). . . . . . . . 20
2.1 Surface de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1 Essai de flexion cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-
époxyde [28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Schéma de l’évolution de la surface de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.3 Diagramme de la nouvelle procédure d’identification. . . . . . . . . . . . . 66
4.1 Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 2 mm d’épais-
seur. Les dimensions sont en mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 Modèle éléments finis de l’essai de traction sur éprouvette bi-entaillée (élé-
ments PLANE182). La zone d’étude utilisée pour l’identification comporte
7200 éléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3 Schéma de chargement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
IX
4.4 Comparaison entre les contraintes calculées par la nouvelle approche de
calcul des contraintes à partir des déformations directement issues du calcul
par Ansys avec les contraintes directement issues d’Ansys. . . . . . . . . . 72
4.5 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de référence avec
les chargements 1 et 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.6 Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage (sans bruit). . . . . . . . . . . . 77
4.7 Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruits d’écart-type 0,5 µm. 80
4.8 Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruit d’écart-type 1 µm. . 82
5.1 Microstructure d’un échantillon de tôle. La photo (a) ne montre pas d’orien-
tation privilégiée des grains dans le plan de la tôle, tandis que dans l’épais-
seur (b) et (c), les grains sont légèrement écrasés en raison du procédé de
laminage. (x est la direction de laminage ; y est la direction perpendiculaire
à la direction de laminage ; z est l’épaisseur de la tôle). . . . . . . . . . . . 85
5.2 Dimensions des éprouvettes des essais normalisés (en mm). . . . . . . . . . 87
5.3 Courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés dans les deux
directions de la tôle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.4 Comparaison entre réponses expérimentales et réponses prévues par diffé-
rents modèles : (a) modèle EIL, (b) modèle EIE, (c) modèle ECL, (d) mo-
dèle ECNL1, (e) modèle ECNL2, (f) modèle ECNL3, (g) modèle ECNL4,
(h) modèle ECNL5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.5 Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 3 mm d’épaisseur
(dimensions en mm). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 Dispositif expérimental : éprouvette en traction-compression (distance entre
les mors égale à 60 mm) munie d’une grille de pas 100 µm. . . . . . . . . . 101
5.7 Comparaison entre la déformation longitudinale fournie par la jauge sur
une surface et celle fournie par la mesure de champ sur l’autre face. . . . . 105
5.8 Distributions d’écarts entre deux mesures successives pour une charge nulle,
lissage par éléments finis avec un maillage de taille 13 pixels, et différences
entre les deux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9 Reconstruction de la déformation à partir des écarts de la figure 5.8 lissés
afin d’estimer la résolution en déformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.10 Champs de déplacement mesurés en fonction du niveau de charge. . . . . . 108
X
5.11 Champs de déformation reconstruits à partir de la mesure en fonction du
niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.12 Champs de déformation continus reconstruits à partir de la mesure en fonc-
tion du niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.13 Courbe contrainte moyenne en fonction de la déformation moyenne au cours
d’un des essais réalisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.14 (a) Maillage utilisé dans la mesure à l’état initial. (b) Champ virtuel opti-
misé pour l’identification du coefficient de Poisson. . . . . . . . . . . . . . 112
5.15 Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés
sur six essais hétérogènes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.16 Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur
le long de l’essai (travail par unité d’épaisseur). . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.17 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références
pour un essai avec CVOP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.18 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références
pour un essai avec CVC5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.19 Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge. . . . . 122
5.20 Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes
principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge. . . . 123
5.21 Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des contraintes
principales en fonction du niveau de charge. . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.22 Courbe contrainte moyenne en fonction de déformation moyenne tout au
long d’un des essais réalisés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.23 Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés
par la MCV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.24 Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur
le long de l’essai (travail par unité d’épaisseur). . . . . . . . . . . . . . . . 128
5.25 Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références
pour un des essais réalisés avec CVOP1 et CVC5. . . . . . . . . . . . . . . 129
5.26 Comparaison entre les courbes σ/ε calculées à partir des valeurs de para-
mètres identifiés avec les champs virtuels CVOP1, CVC2 et CVC3, et la
réponse expérimentale d’un des essais normalisés. . . . . . . . . . . . . . . 131
5.27 Champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau de charge. . . . . 132
5.28 Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge. . . . . 136
XI
5.29 Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes
principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge. . . . 137
5.30 Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des contraintes
principales en fonction du niveau de charge. (a) : première phase de char-
gement ; (b) : deuxième phase de chargement . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.31 Comparaison des champs de contrainte obtenus avec le modèle ECNL1 en
traction et des champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce. . . . 139
5.32 Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés
pour le modèle ECNL5 sur six essais hétérogènes (avec hypothèse d’un
paramètre connu). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C.1 Interface graphique de la routine « Preprocessor ». . . . . . . . . . . . . . . 170
C.2 Interface graphique de la routine « Fitting ». . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
C.3 Interface graphique de la routine « Identification ». . . . . . . . . . . . . . 171
XII
La caractérisation mécanique des matériaux métalliques au-delà de leur limite d’élasti-
cité est de plus en plus au cœur des préoccupations des laboratoires travaillant dans le
domaine de la fabrication mécanique. En effet, les procédés d’usinage, d’emboutissage ou
de forgeage ont maintenant recours systématiquement à la simulation numérique pour
mettre en place une gamme de fabrication. Cela demande une connaissance précise de
la loi de comportement des matériaux travaillés afin de représenter les comportements,
reliant les causes et les effets des phénomènes mécaniques étudiés (dans le cadre de notre
étude, nous nous sommes limités au cas de petites déformations, déformation < 10%).
Pour caractériser cette loi, l’idée est de choisir un modèle adéquat puis d’identifier les
paramètres régissant ce modèle à partir d’essais mécaniques appropriés.
Cette identification se fait classiquement à partir de courbes globales force-déplacement
obtenues dans des essais mécaniques, dits « statiquement déterminés » [1–3] pour lesquels
la répartition spatiale du champ de contrainte est connue a priori dans la partie utile des
éprouvettes testées (traction simple, cisaillement simple. . . ). Cette approche est tout à fait
justifiée pour les matériaux homogènes, soumis à un chargement mécanique connu. Tou-
tefois, les modèles de comportement anélastiques étant complexes [4], cette méthodologie
peut s’avérer très lourde à mettre en place. De plus, elle ne permet pas de caractériser
le comportement de matériaux hétérogènes ou anisotropes ou encore des phénomènes de
localisation comme la striction [1–3], la fissuration [5, 6] . . . Ainsi des essais plus élaborés,
statiquement indéterminés, utilisant le même type d’instrumentation, ont été proposés
dans la littérature pour arriver à identifier plus de paramètres en une seule fois [7–10].
L’avènement des mesures optiques de champ a ouvert la voie à l’utilisation d’essais mé-
caniques encore plus complexes (statiquement indéterminés) menant à des champs ci-
nématiques hétérogènes qui contiennent beaucoup plus d’informations que les simples
mesures extensométriques classiques. Ces mesures permettent de développer des essais
statiquement indéterminés qui engendrent des champs de contraintes hétérogènes mul-
tidirectionnels dans la structure étudiée. Cela permet alors d’impliquer dans la réponse
mécanique un maximum de paramètres constitutifs de la loi de comportement du maté-
riau. La mesure des champs cinématiques rend possible l’identification de l’ensemble de
ces paramètres à partir d’un essai unique [11–13]. Néanmoins, le traitement des données
doit recourir à une identification inverse puisque le champ de contrainte n’est pas connu
a priori. Pour traiter ce problème, il est nécessaire de mettre en œuvre des techniques
de résolution adaptées. De telles techniques existent dans la littérature, on peut citer :
méthode du recalage par éléments finis [14], méthode de l’erreur en relation de comporte-
ment [15], méthode de l’écart à l’équilibre [16, 17], méthode de l’écart à la réciprocité [18]
ou encore la méthode de champs virtuels [19]. La méthode des champs virtuels (MCV)
est un outil de choix pour la résolution de ce type de problème inverse car elle permet
XIII
d’identifier des paramètres de comportement à partir de champs cinématiques en assurant
robustesse et efficacité [20–22].
La MCV est le fruit d’un travail de recherche riche d’au moins quinze ans d’études. Elle
a déjà été appliquée avec succès pour identifier les paramètres de lois de comportement
élastiques linéaires (voir chapitre 3), et élastoplastiques avec écrouissage isotrope linéaire
et exponentiel, en utilisant des données simulées [23] puis expérimentales [22, 24]. La
première étude apportait un fondement théorique à la MCV pour pouvoir traiter l’élas-
toplasticité [23]. Ensuite, la MCV a été appliquée expérimentalement. Plusieurs essais de
traction ont été réalisés sur deux types d’éprouvette plane, les champs cinématiques étant
mesurés par la méthode de grille. Le premier type d’éprouvette avait une section lente-
ment variable ce qui a permis de supposer un état de contrainte quasiment uniaxial en
première approximation. Cette application a été choisie pour valider la MCV et la mesure
de champ sur un cas plus facile à traiter. Elle a conduit à l’identification de six paramètres
pilotant la loi de comportement élastoplastique (critère de Von Mises, loi d’écoulement de
Prager, écrouissage isotrope non linéaire) coïncidant avec les valeurs de référence [24]. Le
deuxième type d’éprouvette est une éprouvette avec deux entailles circulaires engendrant
un état de contrainte plane multiaxial. Les mesures réalisées avec la méthode de grille ont
été traitées avec la MCV, conduisant cette fois-ci à l’identification de quatre paramètres de
la loi de comportement élastoplastique (critère de Von Mises, loi d’écoulement de Prager,
écrouissage isotrope linéaire) coïncidant avec les valeurs de référence [22].
Ces études précédentes ont été limitées à des lois de comportement avec un faible nombre
de paramètres à identifier. Cette limitation s’explique par des questions de robustesse de
la MCV, qui n’avait pas encore pu être résolues. La possibilité de pouvoir traiter des
situations plus complexes a donc été la principale motivation de cette thèse. L’objectif
de ce travail est de rendre la MCV plus robuste dans le cadre de l’identification de lois
de comportement élastoplastiques, et de l’étendre à des modèles plus complexes. Cette
thèse repose donc principalement sur des travaux effectués antérieurement au Laboratoire
de Mécanique et Procédés de Fabrication (LMPF, Arts et Métiers Paris Tech), travaux
auxquels elle apporte des compléments et des améliorations.
Afin de présenter ce travail, le mémoire est composé de 6 chapitres.
– Le chapitre 1 présente d’abord une revue bibliographique des essais mécaniques ap-
pliqués à la caractérisation des matériaux élastoplastiques, une revue bibliographique
des méthodes optiques de mesure de champs cinématiques, puis une revue bibliogra-
phique des méthodes inverses permettant d’extraire des paramètres pilotant une loi de
comportement à partir de données expérimentales.
– Le chapitre 2 présente une formulation générale des lois de comportement mécanique
XIV
qui seront considérées dans les chapitres ultérieurs.
– Le chapitre 3 présente en détails la MCV appliquée à l’identification des paramètres
de lois de comportement d’abord simplement linéaires élastiques, puis élastoplastiques
ainsi que les nouveaux développements apportés à la MCV en plasticité.
– Le chapitre 4 porte sur la validation numérique des nouveaux développements apportés
à la MCV en élastoplasticité décrits dans le chapitre 3.
– Le chapitre 5 est consacré à la mise en œuvre expérimentale de la nouvelle procédure
d’identification par la MCV décrite dans le chapitre 3 et validée numériquement dans
le chapitre 4.
Le manuscrit se termine par une conclusion sur la méthode et les résultats obtenus et offre
quelques perspectives sur les développements à venir.
XV
XVI
Chapitre 1
Position du problème - revue
bibliographique
La mécanique expérimentale des solides a pour objectifs, entre autres, d’alimenter en
paramètres les modèles mathématiques qui permettent de prévoir la réponse d’un matériau
ou d’une structure à une sollicitation donnée. L’atteinte de cet objectif est basée sur les
trois étapes suivantes :
– le choix d’essais adaptés permettant d’exercer des sollicitations de manière contrôlée et
d’impliquer dans la réponse mécanique les paramètres constitutifs de la loi de compor-
tement du matériau ;
– le choix d’une technique de mesure permettant d’observer des réponses mécaniques
durant l’essai et d’enregistrer ces réponses sous différentes formes ;
– le choix d’une technique de résolution de problème inverse lorsque cela est nécessaire
(essais statiquement indéterminés) pour extraire les paramètres recherchés à partir des
réponses enregistrées.
Ce premier chapitre présente une revue de la littérature concernant les trois points précé-
dents : essais mécaniques, méthodes de mesure (fondées sur l’extensométrie de champs)
et méthodes de résolution de problèmes inverses.
1
2 Chapitre 1
1.1 Revue bibliographique des essais mécaniques sur
matériaux
L’identification de paramètres pilotant des lois de comportement repose sur la réalisation
d’essais mécaniques adaptés aux lois étudiées. En général, plusieurs essais mécaniques
simples, où le champ de contraintes est supposé uniforme ou connu analytiquement, per-
mettent d’identifier les paramètres inconnus [25]. Cependant, ces essais, dits statiquement
déterminés, présentent plusieurs limites :
– dans le cas des matériaux anisotropes, il est nécessaire de réaliser plusieurs essais. Il
conduit à un accroissement de la dispersion des résultats provenant à la fois de la
dispersion des propriétés du matériau dans un même lot et des erreurs de mesure [26] ;
– leur mise en œuvre est soumise à des conditions très strictes (voir normes qui régissent
ces essais : norme française AFNOR NF EN 10002-1 à 10002-5, norme américaine ASTM
E8M-96, ou norme internationale ISO 6892). Par exemple, concernant l’essai de traction
simple sur éprouvette axisymétrique, l’alignement des axes d’amarrage de l’éprouvette
doit être contrôlé pour assurer une sollicitation de traction pure et éviter tout autre
effet ;
– ils ne permettent pas toujours d’activer tous les paramètres des lois de comportement,
et lorsqu’ils le peuvent, ils nécessitent souvent le recours à plusieurs types d’essai [27].
Afin de pallier aux limites des essais statiquement déterminés, des essais dits statiquement
indéterminés sont étudiés. Ils mènent généralement à des états de contrainte dont la
répartition dans l’éprouvette n’est pas uniforme, et ne vérifie pas non plus de loi analytique
simple. Pour ces essais, la distribution des contraintes dans l’éprouvette est donc inconnue
a priori. Dans ce cas, l’inconvénient est que l’essai est difficile à interpréter, puisque l’écart
entre le modèle et l’expérience ne peut pas être visualisé simplement sur une courbe
contrainte-déformation. En revanche, la réponse contient d’avantage d’informations que
celle des essais statiquement déterminés. Si la forme de l’éprouvette et les sollicitations
sont choisies astucieusement en fonction du comportement étudié, la réponse implique
l’ensemble des paramètres recherchés. Reste à séparer les différentes contributions de ces
paramètres dans la réponse. Cela est plus facile si cette réponse est enregistrée sous forme
de champs, avec une grande quantité de points de mesures. Déjà, plusieurs études ont
été basées sur ce type d’approche avec essais statiquement indéterminés et mesure de la
réponse sous forme de champs. Un certain nombre de références sont récapitulées dans le
tableau 1.1.
Revue bibliographique 3
Loi comportement
identifiée
(a)
Essai flexion/cisaillement
d’Iosipescu
- Elasticité linéaire
orthotrope ;
- loi d’endommagement
d’un matériau composite
(b)
Essai de compression d’un
anneau.
- Elasticité linéaire
anisotrope
(c)
Essai de traction d’une
plaque trouée.
- Elasticité linéaire
anisotrope
(d)
Essai de flexion sur une
plaque.
- Elasticité linéaire
anisotrope
(e)
Essai de traction biaxiale.
- Elasticité linéaire
anisotrope.
- Elastoplasticité.
(f)
Essai de traction sur une
éprouvette plane, entaillée
en son milieu
- Elastoplasticité.
(g)
Eprouvette planes de
traction bi-entaillée.
- Elastoplasticité
(h)
Eprouvette planes de
traction bi-entaillée.
- Elastoplasticité.
Figure 1.1: Revue de quelques approches d’identification utilisant des essais mécaniques
statiquement indéterminés et des mesures de champs :(a) [11, 12, 28, 29] ; (b) [30] ; (c)
[31] ; (d) [13, 19, 32] ; (e) [33] ; (f) [27] ; (g) [34, 35] ; (h)[24].
4 Chapitre 1
1.2 Revue des méthodes de mesure de champs cinéma-
tiques
Introduction
L’application des méthodes de mesure de champs cinématiques à la caractérisation mé-
canique des matériaux s’est beaucoup développée depuis une dizaine années, grâce à la
diminution du coût des ordinateurs, à la diminution du coût de l’acquisition vidéo (ca-
méras CCD numériques), et à l’augmentation des puissances de traitement informatique.
Ces méthodes de mesure de champs permettent d’avoir accès à toute une cartographie de
grandeurs comme le relief, les déplacements, les déformations, les pentes, les courbures
etc. . . Elles apportent de grands avantages à la mécanique expérimentale : possibilité de
réaliser des essais mécaniques dans des conditions ne vérifiant plus les hypothèses de
Saint-Venant [36], possibilité d’identifier plusieurs paramètres d’une loi de comportement
au cours d’un essai unique [13], possibilité d’identifier le comportement des composants
d’une structure en service de manière non destructive [37], possibilité d’étudier expéri-
mentalement des phénomènes de localisation en plasticité [38], etc. . .
Une grande variété de techniques existe [39, 40]. La nature du mesurande (déplacement,
élévation, pente) permet déjà de distinguer les techniques non interférométriques et les
techniques interférométriques. Dans les premières, le mesurande est codé dans la variation
spatiale d’une intensité lumineuse. Les secondes utilisent la phase d’une onde lumineuse
cohérente pour coder la quantité mesurée.
L’objet des deux paragraphes suivants est de présenter brièvement les principales mé-
thodes permettant de mesurer des champs de déplacement sans rentrer trop dans les
détails techniques. Le premier paragraphe traite des techniques non interférométriques,
le second paragraphe traite des techniques interférométriques. Enfin, le troisième para-
graphe est consacré à la reconstruction des champs cinématiques à partir des mesures
expérimentales, car les différentes techniques présentées fournissent en réalité un grand
nombre de données réparties de manière dense sur une zone d’étude, mais pas le champ
stricto sensu. Nous verrons les difficultés soulevées lors de la phase de reconstruction, et
les méthodes disponibles pour les traiter.
1.2.1 Techniques de mesure non interférométriques
Nous présentons ici des méthodes qui utilisent l’image d’un objet acquise par une caméra
en différents instants pour mesurer sur la surface de cet objet un champ cinématique
Revue bibliographique 5
(déplacement, élévation, pente). Le principe de base de toutes ces méthodes est de suivre
les déplacements d’un motif grâce à une caméra par des méthodes de traitement d’images,
puis de relier celui-ci au mesurande. La nature du motif distingue deux types de méthodes :
des méthodes utilisant un motif périodique et des méthodes utilisant un motif aléatoire
(figure 1.2).
Figure 1.2: Types de motifs utilisé pour réaliser des mesures de champs cinématiques.
1.2.1.1 Méthodes utilisant un motif périodique
Ces méthodes utilisent un même motif qui se répète de manière périodique le long de
la surface à étudier (lignes unidirectionnelles ou croisées de traits noirs sur fond blanc
appelées porteuse). Cette grille ou motif peut être obtenu par différentes techniques, soit
par transfert d’un réseau sur la surface analysée, soit par projection de franges ou ré-
flexion de grille à distance. Le principe de toutes ces méthodes est le même. A cause des
chargements appliqués, mais aussi du système optique, l’image que l’on a de la grille par
la caméra est déformée. La grille initiale non déformée sert de référence. L’objectif est de
déterminer à chaque instant quel est le point de cette grille de référence qui est observé
par chaque pixel. En un pixel donné, la distance qui sépare le point observé à l’état initial
et à l’état final peut être reliée au mesurande par des relations simples consistant en la
démodulation de la phase présente dans les images d’intensité. Ce principe sera détaillé
au chapitre 6 qui est consacré à la présentation des résultats expérimentaux. Parmi les
méthodes utilisant un motif périodique, on distingue : la méthode de la grille qui mesure
des champs de déplacement plan ; la méthode de réflexion de grille (ou déflectométrie)
qui mesure des pentes ; la méthode de projection de grille (ou projection de franges) qui
mesure des champs d’élévation [39, 40].
6 Chapitre 1
Méthode de la grille pour la mesure de champs de déplacement plan
Dans cette technique, la grille peut être collée, gravée, imprimée, ou déposée par des
procédés photolithographiques sur la surface d’un échantillon [41]. On suppose que la
grille suit fidèlement les déplacements et les déformations du substrat sur lequel elle est
déposée. A partir d’algorithmes de démodulation de phase, les composantes ux(x, y) et
uy(x, y) du champ de déplacement sont calculées au travers des différences de phase entre
l’état initial et l’état final :
ux(x, y) = −
p
2πφx(x, y)
uy(x, y) = −p
2πφy(x, y)
(1.1)
où p est le pas de la grille et φx et φy sont les différences de phase entre l’état initial
et l’état final respectivement suivant les directions horizontale et verticale.
Figure 1.3: Vue du dispositif expérimental pour un essai de flexion/cisaillement sur com-
posite verre époxyde [28].
La méthode de grille a été utilisée avec succès pour des mesures à une échelle macrosco-
pique afin de mesurer les champs de déplacements d’un matériau composite [28] et pour
mesurer les champs de déplacements d’un acier doux [24] ou encore pour la mesure des
champs de déplacements d’un acier doux à l’échelle microscopique [42].
Méthode de réflexion de grille pour la mesure de champs de pentes
Dans cette technique [43], la grille de référence est collée, déposée ou gravée sur une
surface observée par réflexion sur l’échantillon. L’échantillon doit pour cela posséder une
surface suffisamment réfléchissante (type miroir). Lorsque l’échantillon fléchit sous l’effet
d’un chargement appliqué, deux phénomènes sont présents localement : la flèche varie, et
la pente locale est modifiée. Si la variation de la flèche reste faible devant la distance entre
Revue bibliographique 7
l’échantillon et la grille, l’effet très largement prépondérant est la variation de pente. Pour
mesurer les champs de pentes, la technique se base sur l’analyse de l’image de la grille qui
se réfléchit sur la surface de l’échantillon. Un exemple de dispositif expérimental complet
utilisant la méthode de réflexion de grille est présenté sur la figure 1.4.
Grille
Flash
Potélectrodynamique
Montaged’excitation
CaméraCCD
Plaqueen essai
Figure 1.4: Vue du dispositif expérimental pour un essai de vibrations forcées sur plaque
en PMMA [43].
Méthode de projection de grille pour la mesure de champs d’élévations
Dans cette technique, la grille de référence est projetée sur la surface d’une plaque à
étudier en utilisant un système d’éclairage avec des traits alternativement clairs et sombres.
Lorsque la plaque avance ou recule en direction de la caméra, par exemple sous l’effet d’un
chargement, l’image de la grille projetée sur l’objet étudié est déplacée. Par une analyse des
variations de phase, si la direction d’observation est perpendiculaire à la surface observée
dans son état initial, le vecteur mesuré est égal à l’élévation ou au déplacement hors plan
projeté sur la grille de référence parallèlement à la direction des traits d’illumination [39,
40]. L’élévation est calculée par la relation suivante :
uz(−→R ) =
p
2πtanθφ(
−→R ) (1.2)
où : p est le pas de la grille, φ est la différence de phase entre l’état initial et l’état final,
θ est l’angle de projection.
1.2.1.2 Méthodes utilisant un motif aléatoire
Les méthodes utilisant un motif aléatoire mesurent les déplacements par corrélation d’image
numérique [44]. Pour mettre en œuvre ces méthodes, il est nécessaire d’avoir à l’état initial
8 Chapitre 1
Figure 1.5: Principe de la profilométrie par projection de grille.
une surface de référence codée par un motif aléatoire. Le motif peut être obtenu soit par
un dépôt de peinture projetée formant un « mouchetis » à la surface de la pièce étudiée,
soit en illuminant la surface avec un laser (granularité). Le motif peut aussi exister natu-
rellement sur la surface à condition qu’elle soit suffisamment texturée et qu’il puisse être
mis en évidence par la méthode d’imagerie retenue.
Corrélation d’images
La corrélation d’images numériques mesure le champ de déplacement entre deux images
correspondant à deux états de déformation d’un objet. À l’état initial, le capteur (CCD
par exemple) reçoit une intensité lumineuse (ou toute donnée équivalente) Ii provenant
d’un point de coordonnées (x, y) (Fig. 1.5a). À l’état final, cette intensité est devenu If .
On définit alors une fonctionnelle de corrélation :
C(u, v) =
∫
S
[Ii(x, y) − If (x− u(x, y), y − v(x, y))]2 dS (1.3)
où u(x, y) et v(x, y) sont les deux composantes du déplacement plan du point de coordon-
nées (x, y) de la surface considérée. En minimisant de manière numérique la fonctionnelle
de corrélation, on peut déterminer ces deux composantes (la valeur « vraie » du dépla-
cement est celle pour laquelle C(u, v) est nulle, au bruit de mesure près). Cela se fait en
décomposant les champs d’intensités lumineuses en régions d’intérêt ou « imagettes » sur
lesquelles l’algorithme de corrélation est appliqué. On détermine ainsi les composantes
du déplacement moyen pour chaque sous-image, généralement carrées de taille petite par
rapport à l’image totale [45] (figure 1.6).
Les techniques de corrélation d’images sont appliquées pour la mesure de champs de dé-
placement 2D sur des surfaces planes [46–48]. Concernant le dernier cas [48], la corrélation
Revue bibliographique 9
Figure 1.6: Imagette répétée à l’état initial et à l’état final [45].
d’images n’est pas réalisée par sous-imagettes, mais de manière globale sur l’ensemble de
l’image avec une approche éléments finis. De plus, ces techniques peuvent être étendues
à l’étude des déplacements 3D d’une surface (stéréocorrélation avec l’utilisation de deux
caméras par exemple [49–52]) voire à la mesure cinématique dans le volume d’un matériau
(par exemple à l’aide de mesures en tomographie [53]).
1.2.2 Techniques de mesure interférométriques
Les mesures par interférométrie reposent sur l’analyse de franges d’interférences. Une
source de lumière cohérente, de type laser, est utilisée pour éclairer la surface étudiée,
et les déplacements ou les déformations sont obtenus en mesurant la différence de phase
des franges d’interférence entre les ondes lumineuses relatives à un état initial et à un
état déformé. Il existe deux familles de techniques en mécanique expérimentale [39, 40] :
l’interférométrie de speckle (ESPI : electronic speckle pattern interferometry) et l’interfé-
rométrie sur réseau (IR), autrement dit l’interférométrie de moiré. Ces deux techniques
mesurent les déplacements dans le plan ou hors plan. Les deux techniques sont brièvement
présentées dans les paragraphes qui suivent.
1.2.2.1 Interférométrie sur réseau
L’interférométrie sur réseau (IR) [54, 55] repose sur les propriétés de diffraction de lumière
sur un réseau en relief solidaire de la surface analysée. La surface est éclairée par deux
faisceaux laser d’angles incidents opposés par rapport à un plan normal à la surface
de l’échantillon. À cause des chargements appliqués, la surface se déforme, des franges
d’interférence apparaissent et leur écartement permet de calculer un déplacement par
démodulation de phase.
10 Chapitre 1
Le moiré interférométrique présente une forte résolution spatiale et, associé à un algo-
rithme de démodulation de phase, permet d’obtenir de très faibles déplacements. En re-
vanche, cette méthode est très délicate à mettre en œuvre du fait de sa grande sensibilité
aux vibrations et autres perturbations atmosphériques. Le moiré interférométrique a été
utilisé, par exemple dans les applications micrométriques pour détecter les hétérogénéités
de déformation de polycristaux dans le domaine plastique [56, 57].
1.2.2.2 Interférométrie de speckle
Cette technique a été inventée dans les années 1970 pour pallier aux insuffisances de l’holo-
graphie dans le domaine de l’interférométrie en ce qui concerne le milieu d’enregistrement
(en général des plaques et films argentiques puis des films thermoplastiques). Contrai-
rement à l’interférométrie holographique classique, l’interférométrie de speckle permet
l’utilisation de caméras CCD pour calculer et visualiser le champ des déplacements d’un
objet diffusant. Elle s’est notamment développée en Grande-Bretagne avec [58, 59]. Lors-
qu’on éclaire une surface par une source laser on observe une figure de diffraction d’aspect
granulaire appelée « speckle » qui est reliée à la rugosité de la surface (figure 1.7). Une
utilisation de ce phénomène pour la mesure de déplacement d’une surface est la technique
dite « d’interférométrie de speckle » [59] ou « d’electronic speckle pattern interferome-
try » (ESPI) [60] ou de « TV holographie » ou bien encore, de manière plus rigoureuse,
« d’interférométrie en lumière diffuse ».
Figure 1.7: Photographie de speckle (granularité laser) [61].
Il existe des montages de mesure de déplacement dans le plan [62] et d’autres de mesure de
déplacement hors-plan [63]. Si on éclaire l’objet simultanément par deux faisceaux lasers
symétriques, les deux figures de speckle interfèrent (figure 1.8). Elles sont superposées à
la surface de l’objet en l’absence de déplacement. En présence d’un déplacement dans le
plan, les deux figures de speckle sur l’objet se décalent de la même quantité. Le traitement
Revue bibliographique 11
des franges mesure le champ de déplacement. Lorsqu’on s’intéresse aux déplacements hors-
plan, ces derniers peuvent être isolés par un éclairage normal à la surface.
Figure 1.8: Mesure quantitative des déplacements dans le plan par interférométrie de
speckle. Principe du montage expérimental [61]
.
1.2.3 Bilan des méthodes de mesure de champs cinématiques
La présente étude s’intéresse à la caractérisation mécanique des matériaux métalliques
dans le domaine élastoplastique. Pour cela, des éprouvettes planes sont utilisées, l’hypo-
thèse des petites perturbations est généralement respectée et les champs de contraintes
présentent des hétérogénéités marquées. Pour l’étude choisie, les performances des dif-
férentes méthodes de mesure de champs qui viennent d’être présentées sont évaluées en
fonction de plusieurs critères.
La résolution spatiale : c’est la plus petite distance séparant deux mesures indépen-
dantes. Il n’existe pas de méthode normalisée permettant d’évaluer la résolution spatiale
d’une technique. Toutefois, il est conseillé de fournir une valeur de résolution spatiale à
toute mesure de champ de déformation.
Le nombre de mesures indépendantes : c’est le rapport entre la taille du champ et
la résolution spatiale. Plus ce rapport est élevé, mieux l’hétérogénéité des déformations à
l’échelle d’observation choisie pourra être appréhendée.
12 Chapitre 1
La résolution : c’est la plus petite valeur du mesurande qu’il est possible de détecter
en dehors du bruit. Elle peut être évaluée en faisant deux mesures consécutives sur une
surface sans déformer celle-ci. Le champ mesuré devrait être nul, mais le bruit de mesure
apparaît. Si chaque point de mesure donne une valeur indépendante de celle de son voisin,
l’écart-type de l’ensemble des valeurs sur le champ est considéré comme la résolution de
la méthode de mesure.
La résolution en déformation : c’est la plus petite valeur qu’il est possible de détecter
en dehors du bruit après dérivation de déplacement mesuré. Elle dépend à la fois de la
technique de dérivation utilisée et de la résolution de la mesure.
En général, pour une méthode donnée, la résolution et la résolution spatiale varient de
manière inverse. Par exemple pour la technique de grille dans le plan, on peut amélio-
rer la résolution en utilisant l’information contenue sur plusieurs périodes. Par contre,
la résolution spatiale sera dégradée [20, 21]. On peut alors juger la performance d’une
méthode en rapportant la résolution en déformation au nombre de points de mesure de
déformation indépendants sur tout le champ. Plus ce paramètre est petit, plus la méthode
sera considérée comme performante pour le type d’application considéré. Un tableau com-
parant les performances des méthodes géométriques à codage périodique, des méthodes
géométriques à codage aléatoire et des méthodes interférométriques montre que plus la
méthode est difficile à mettre en œuvre, plus sa performance sera grande [39, 40].
méthodes géométriques méthodes géométriques méthodes
codage aléatoire codage périodique interférométriques
performance - -+ ++
simplicité ++ + -
coût – - +
Tableau 1.1: Comparaison de performances des méthodes de mesure des champs [39].
Le choix de l’une ou l’autre des méthodes de mesure de champ dépend d’abord de l’ap-
plication envisagée puis du coût, de la facilité de mise en œuvre, de la taille du champ de
mesure, ou encore des performances. Dans le cadre de l’identification du comportement
élastoplastique des métaux, il est nécessaire de mesurer des déformations de l’ordre de
10−4 pour identifier les paramètres élastiques ainsi que détecter l’apparition de la plasti-
cité. Les essais envisagés sont des essais de traction-compression sur éprouvette de faible
épaisseur en supposant un état de contrainte plane. Une méthode de mesure de champ
permettant de mesurer le champ de déplacements plans conviendrait tout à fait. On cite
trois méthodes assez couramment utilisées qui satisfont aux exigences de notre étude : la
corrélation d’images 2D, l’interférométrie de speckle ou la méthode de grille.
Revue bibliographique 13
Compte tenu par ailleurs de l’expérience acquise par le laboratoire dans la mise en œuvre
des méthodes de mesures de champs, la méthode de grille a été retenue pour la mesure de
champs de déplacement dans cette étude.
1.2.4 Reconstruction des champs cinématiques à partir des don-
nées mesurées
Le développement important des mesures de champs de déplacement présentées précédem-
ment offre de nombreuses perspectives en terme d’identification en mécanique du solide.
En ce sens le groupe de recherche (GDR) CNRS 2519 « Mesures de champs et identifi-
cation en mécanique des solides » a été créé le 1er janvier 2003 pour les activités liées
au développement des techniques de mesure de champs ainsi que de l’identification de
propriétés mécaniques de matériaux à partir de ces mesures [64].
Les essais et les méthodes doivent s’adapter à cette nouvelle richesse des mesures. Tou-
tefois, les différentes techniques présentées précédemment fournissent en réalité un grand
nombre de données réparties de manière dense sur une zone d’étude (sous forme de ma-
trices), mais le champ n’est pas mesuré stricto sensu. Il est nécessaire d’interpoler ou
d’approximer les valeurs du champ entre les points de mesure. Dans ce cas, lors de cette
phase de reconstruction des champs de déplacement et de déformation, la résolution spa-
tiale de la technique de mesure utilisée devient un point crucial, puisque l’information
nécessaire à la caractérisation d’un phénomène particulier, ou nécessaire à l’identification,
peut être filtrée faute de résolution spatiale suffisante.
De plus, l’information mécaniquement pertinente qui intéresse plus particulièrement le
mécanicien est la déformation, plus que le déplacement. Il est donc nécessaire d’obte-
nir ces déformations à partir des mesures, ce qui nécessite d’estimer numériquement le
gradient de données espacées et surtout bruitées. En effet, les données fournies par les
méthodes optiques présentées précédemment sous toujours entachées d’un bruit blanc,
principalement dû à la numérisation et au capteur CCD (nous ne considérons pas ici
les cas de modèles optiques et géométriques inappropriés ou imprécis). La présence du
bruit dans les mesures complique les opérations de reconstruction et de différentiation des
champs [65–67], ce qui se répercute in fine sur les résultats d’identification [21].
L’objectif de la reconstruction est donc de reconstituer les champs cinématiques en tout
point à partir de la matrice des mesures et de traiter les erreurs dues au bruit de me-
sure. Pour cela, plusieurs approches existent, parmi lesquelles deux sont présentées dans
les paragraphes qui suivent : l’une globale s’appuyant sur des approximations de type
polynômiales ou éléments finis et l’autre locale s’appuyant sur l’approximation diffuse.
14 Chapitre 1
1.2.4.1 Reconstruction par approximation polynomiale
Principe : présentée dans [24, 30], cette approche consiste à utiliser a priori une hypothèse
de régularité suffisante de la forme globale du champ de déplacement pour le projeter sur
une base de polynômes. La différentiation pour obtenir les champs de déformation peut
alors se faire de manière analytique sur le champ projeté. On écrit :
Px(x, y) =
N∑
i=0
N∑
j=0
aijxiyj (1.4)
Py(x, y) =N∑
i=0
N∑
j=0
bijxiyj (1.5)
Les champs de déplacement expérimentaux ux, uy sont approximés par deux polynômes
Px, Py de degré N définis par les coefficients aij et bij . Les coefficients aij et bij sont calculés
par régression au sens des moindres carrés. Cela revient à minimiser les résidus suivants :
R2x =
1
pq
[∑
q
∑
p
w(xp, yq)[Px(xp, yq) − ux(xp, yq)]2
]
R2y =
1
pq
[∑
q
∑
p
w(xp, yq)[Py(xp, yq) − uy(xp, yq)]2
] (1.6)
où (xp, yq) sont les coordonnées des pixels et w(xp, yq) est une fonction de pondération.
La minimisation est réalisée deux fois. La première fois, la fonction de pondération est
nulle là où les données sont manquantes et vaut un partout ailleurs. Les résidus de cette
première estimation sont alors calculés et la fonction de pondération est mise à zéro lors
de la deuxième minimisation pour tous les pixels où l’écart est supérieur à deux ou trois
fois le résidu moyen lors de la deuxième itération [24].
Propriétés : le paramètre important de la procédure est le choix du degré du polynôme
utilisé, car les résultats d’identification ultérieurs sont sensibles à ce paramètre [24].
Avantages et inconvénients : il est possible de donner un poids différent aux pixels
suivant qu’ils correspondent à un point où la mesure est fortement bruitée ou un point
où le bruit est faible. De plus, la méthode permet d’interpoler les valeurs du déplace-
ment pour les pixels où les données sont perdues. Toutefois, le caractère global est apparu
problématique puisque la recherche d’une reconstruction précise en une partie de la zone
d’intérêt, obtenue par augmentation du degré des polynômes utilisés, a tendance à dégra-
der la reconstruction dans les parties voisines. Des oscillations ont été constatées quand
on augmente le degré [68].
Revue bibliographique 15
1.2.4.2 Reconstruction par approximation éléments finis
Principe : présenté dans [21, 65], le principe, comme dans l’approximation polynomiale
consiste à effectuer des moindres carrés globaux sur l’ensemble de la zone de mesure. Le
champ recherché est ici décomposé sur une base de type éléments finis. En fait, la surface
de l’éprouvette où des mesures de champs sont effectuées peut être maillée en éléments
finis, rectangulaires ou triangulaires par exemple. Les champs de déplacements recons-
truits (notés respectivement U(x, y) et V (x, y)) sont donc cherchés comme les champs
minimisant :
θ(U, V ) =
I∑
i=1
(U(xi, yi) − ux(i))2 + (V (xi, yi) − uy(i))
2
avec U(x, y) =n∑
i=1
UiNi(x, y), V (x, y) =n∑
i=1
ViNi(x, y) (1.7)
où Ui et Vi sont les déplacements au noeud i respectivement selon x et y , Ni(x, y) repré-
sente les fonctions de forme de l’élément considéré, I est le nombre total d’éléments finis
et n est le nombre de nœuds de chaque élément.
Le problème d’optimalité associé fournit alors les vecteurs de degrés de liberté U et
V . Le champ de déformation est alors cherché sur la même base de fonctions de forme
que le champ de déplacement dont il dérive et s’obtient par minimisation d’un critère au
sens des moindres carrés entre les champs de déformation recherchés et la déformation
dérivée des champs de déplacement initialement reconstruits [21].
Avantages
– Chaque fonction de forme a un support fini, ce qui limite le caractère global de la mini-
misation. C’est alors la taille de maille locale qui joue le rôle de paramètre régularisant.
– L’utilisation d’une base de fonctions de forme, telle que celles utilisées dans l’équa-
tion 1.7, facilite la mise en œuvre de la méthode des champs virtuels (voir chapitre
3).
1.2.4.3 Reconstruction par approximation diffuse
Principe : l’approximation repose sur l’utilisation de moindres carrés locaux [69]. Ici,
l’outil de régression locale utilisé est l’approximation diffuse [70]. Le déplacement en un
point de coordonnées (x, y) est considéré comme un développement limité d’ordre 2 du
déplacement reconstruit au point de coordonnées (xi, yi). Pour déterminer en chaque point
16 Chapitre 1
(xi, yi) la valeur des déplacements reconstruits selon x et y, on considère que le dévelop-
pement limité ci-dessus est valable uniquement à l’intérieur d’une fenêtre rectangulaire
centrée sur le point (xi, yi) et de longueurs Rx et Ry respectivement dans les directions x
et y. L’influence des points est pondérée en fonction de leur distance au point considéré à
travers une fonction poids, w(x, y, Rx, Ry). En minimisant l’écart au carré pondéré entre
les déplacements mesurés en chaque point et les déplacements générés par le développe-
ment limité, on obtient les déplacements reconstruits ainsi que leurs dérivées premières et
secondes au point de coordonnées (xi, yi).
Avantages : le paramètre régularisant est alors le rayon d’influence de chaque point de
mesure, ce qui limite le caractère global de la minimisation. De plus, l’intérêt de cette
approche est de fournir directement un champ de déplacements continu ainsi que ses
dérivées au sens diffus.
1.2.4.4 Conclusions sur les approches abordées
Parmi les trois approches abordées, l’approche polynomiale présente un inconvénient consi-
dérable : son caractère global car la reconstruction précise en une partie par augmentation
du degré des polynôme dégrade la reconstruction dans les parties voisines. Par contre, les
deux dernières approches permettent de limiter le caractère global de la minimisation.
Toutefois, l’approche par éléments finis présente encore un autre avantage important pour
la MCV : il est possible d’utiliser la même base de fonctions pour définir les champs vir-
tuels ce qui rend plus efficace la mise en œuvre de la MCV (voir au chapitre 3). C’est
pourquoi, l’approximation par éléments finis a été retenue dans cette étude.
1.3 Revue bibliographique des méthodes de résolution
de problèmes inverses
Lorsque les techniques de mesure de champs ont commencé à se répandre, les réponses
mesurées se sont étendues aux champs de déplacement sur une partie de l’éprouvette. La
richesse de ces informations a nécessité l’élaboration de procédures efficaces de minimi-
sation pour résoudre le problème inverse posé [64]. Ce problème s’oppose au problème
dit direct qui consiste à calculer la réponse d’un système mécanique, pour une géométrie,
un chargement et une loi de comportement donnés. Pour traiter le problème inverse, il
existe des méthodes d’identification basées sur des mesures cinématiques soit à la fron-
tière, soit sur l’ensemble du domaine étudié. Dans le cadre de cette étude, le dernier cas
sera considéré et la section suivante lui est consacrée.
Revue bibliographique 17
1.3.1 Présentation du problème inverse
1.3.1.1 Définition du problème direct en élastoplasticité
Soit V le volume d’étude et Sf U Su une partition de la frontière de V , noté ∂V . Un
champ de forces volumiques, noté fv, est donné sur V et un champ de forces surfaciques,
noté T , est donné sur Sf . On se place en petites déformations dans l’hypothèse des petites
perturbations et l’évolution du volume est étudiée dans un intervalle de temps noté [t0, tf ].
On cherche alors un champ de déplacement u (pour simplifier les notations, u désigne ici
les 2 composantes du champ vectoriel) tel que :
div[C : (∇u− εpl)] = fv
−[C : (∇u− εpl)] · n = T
u = u sur Su (1.8)
où C est le tenseur de Hooke du solide, ∇ est l’opérateur du gradient et εpl est un champ
de déformations anélastiques (dans le cas élastique, εpl = 0) dont la cinétique d’évolution
εpl dans le cas anélastique (plastique par exemple) est donnée par une loi faisant intervenir
la contrainte et un certain nombre de paramètres de comportement notés sous forme d’un
vecteur noté p :
εpl = g(σ, p, C) (1.9)
Le problème direct consiste donc à calculer le champ u vérifiant l’équation 1.8 avec pour
conditions initiales u = 0, et le champ εpl pendant la phase plastique vérifiant l’équa-
tion 1.9 avec pour conditions initiales εpl = 0 au moment de l’apparition de la plasticité.
Les efforts d’accélération peuvent éventuellement être pris en compte dans fv si les varia-
tions de T sont rapides.
1.3.1.2 Définition du problème inverse en élastoplasticité
Le problème inverse est opposé au problème direct (voir le tableau 1.2). Il s’agit d’un
problème de détermination des paramètres de comportement qui interviennent dans la
réponse de la structure à partir de la connaissance de grandeurs mesurées (déplacement,
déformation. . . ) et éventuellement de la sollicitation appliquée.
La donnée principale dans notre cas est la mesure du champ des déplacements disponible
sur V durant l’intervalle [t0, tf ] , notée u (pour simplifier les notations u désigne ici les
18 Chapitre 1
2 composantes du champ expérimental reconstruit à partir des mesures). On dispose
d’une grande quantité d’informations puisqu’on connaît aussi la distribution des forces
volumiques sur V et une partie des forces surfaciques sur Sf , limitée aux bords libres où
T = 0 et à la mesure éventuelle d’une ou plusieurs résultantes d’efforts sur tout l’intervalle
[t0, tf ]. On retrouve alors une forme générale de problème inverse qui s’énonce ainsi :
trouver C et les paramètres p ainsi que les champs u et εpl tel que u soit le plus proche
de u et que les conditions suivantes soient vérifiées :
div[C : (∇u− εpl)] = fv sur V
−[C : (∇u− εpl)] · n = T sur Sf
εpl = g(σ, p, C) sur V (1.10)
avec condition supplémentaire : εpl = 0 pour une étape élastique ou bien au moment de
l’apparition de la plasticité.
Comme l’identification de tous ces paramètres est compliquée et coûteuse en temps de
calcul, on la réalise souvent en deux temps. Dans un premier temps, on détermine C sur
une plage de réponse où le matériau reste dans le domaine élastique, ce qui supprime la
présence de εpl dans les équations ci-dessus 1.10. Dans un deuxième temps, on cherche
les paramètres plastiques p avec C connu. On met en œuvre la technique classique de
résolution du problème inverse, qui consiste à minimiser la fonction coût :
J(u, εpl, p) = ‖u(εpl, p) − u‖
Type de problème direct inverse
Loi de comportement (LDC) connue connue
Paramètre de la LDC connus inconnus
Conditions aux limites connues partiellement connues
Champs cinématiques inconnus partiellement connus
Tableau 1.2: Comparaison entre le problème direct et le problème inverse.
Problème mal posé
Les problèmes inverses sont répartis en deux catégories. Ceux qui, pour toute mesure (u
et résultantes d’efforts), admettent une solution unique des paramètres identifiés continue
Revue bibliographique 19
par rapport à la mesure (u et résultantes d’efforts), sont dits « bien posés ». Ils sont géné-
ralement résolus de manière exacte ou approchée par des méthodes classiques (la solution
est peu sensible aux perturbations sur les données). Cependant, les problèmes inverses
peuvent être « mal posés », c’est-à-dire qu’ils ne respectent pas les conditions d’existence,
d’unicité et de continuité de la solution par rapport aux mesures u. Les principales causes
peuvent être des données expérimentales bruitées, des erreurs de modélisation, des erreurs
numériques inévitables, un choix inadéquat de la loi de comportement à identifier [71]. La
régularisation des problèmes « mal posés » est indispensable pour que la solution trouvée
soit la plus proche possible de la réalité. Les problèmes inverses dans le domaine non
linéaire se présentent donc sous la forme d’un problème de minimisation d’une fonction
objectif permettant de s’assurer de l’existence d’au moins une solution au problème [72].
1.3.2 Présentation des méthodes de résolution du problème in-
verse
L’identification des paramètres pilotant une loi de comportement à partir de mesures de
champs cinématiques constitue un problème inverse. Pour traiter ce problème, la méthode
la plus utilisée est celle du recalage de modèle éléments finis (REF) [14]. Il y a actuel-
lement des alternatives à cette procédure, comme la méthode de l’erreur en relation de
comportement (ERC) [15], la méthode de l’écart à l’équilibre (EE) [16, 17], la méthode
de l’écart à la réciprocité (ER) [18] et la méthode des champs virtuels (MCV) [19]. Le
principe, les applications, les avantages ainsi que les inconvénients de chaque méthode
sont présentés dans cette section.
1.3.2.1 Méthode du recalage par éléments finis
Principe : le REF a été introduit en mécanique des matériaux par [14]. Il se base sur
une modélisation de type éléments finis de l’essai puis une minimisation, en fonction des
paramètres recherchés, de l’écart entre une grandeur du modèle et cette même grandeur
mesurée.
La figure 1.9 présente le fonctionnement général d’une méthode d’identification par REF.
Apparaît un processus itératif basé sur un jeu de valeurs initiales pour les paramètres
pilotant la loi de comportement qui est recherchée. Ce jeu de valeurs permet de résoudre le
problème direct à l’aide d’une modélisation par éléments finis de l’essai, puis de construire
une fonction coût traduisant l’écart entre les grandeurs calculées et les grandeurs mesurées.
Ce jeu est réactualisé à chaque itération de l’algorithme d’optimisation jusqu’à ce que le
résidu soit suffisamment faible.
20 Chapitre 1
Avantages et inconvénients : La méthode de recalage est la plus utilisée car elle est
flexible et peut s’adapter à un très grand nombre de problèmes. En revanche, la modélisa-
tion de type éléments finis de l’essai est d’une part compliquée et coûte cher en temps de
calcul. D’autre part, sa solution est sensible aux conditions aux limites appliquées dans le
modèle, ce qui pose des difficultés.
Figure 1.9: Schéma de principe de la technique de recalage (d’après [14]).
Applications : cette approche a été utilisée pour des mesures de champs par plusieurs
auteurs pour différentes applications dans le comportement linéaire ainsi que non linéaire.
Les applications proposées par [73, 74] sont itératives, par recalage en déplacement. Celle
de [13] a conduit à l’établissement d’une procédure d’identification de lois de comporte-
ment élastique et viscoélastique sur des panneaux de contre-plaqués (composites à base
de bois) par mesure de champs à partir d’un seul essai de flexion ou torsion (différent
selon les panneaux). La conception de l’essai mécanique utilisé est optimisée pour acti-
ver toutes les rigidités qu’on souhaite identifier. Par une approche similaire, les travaux
de [31] s’intéressent à l’identification des constantes élastiques d’une plaque composite
mince orthotrope.
Identification de comportements élastoplastiques : la méthode REF a été utilisée
également par plusieurs auteurs pour l’identification du comportement des matériaux mé-
talliques au-delà de leur limite d’élasticité. Un exemple d’application est proposé par [27].
Il s’agit de l’identification d’une loi élastoplastique à écrouissage isotrope, à partir d’un
essai de traction monotone mené sur une éprouvette plane entaillée.
Kajberg et Lindkvist [38] ont réalisé récemment des essais de traction jusqu’à rupture sur
éprouvette plane entaillée afin de faciliter la localisation de la plasticité dans le champ de
mesure. Les champs de déplacement ont été mesurés par speckle interférométrique puis
dérivés numériquement. La fonction coût est une somme de résidus au sens des moindres
Revue bibliographique 21
carrés de quantités mesurées et obtenues par simulation par éléments finis. Ces quantités
sont les déplacements et la déformation équivalente (entre 600 et 700 points sur une carte)
et la résultante de l’effort longitudinal appliqué (10 à 15 pas de chargement). Deux modèles
d’écrouissage ont été considérés : un modèle linéaire par morceaux à cinq paramètres et
un modèle parabolique à trois paramètres.
Plus récemment, la méthode REF a été appliquée par Lecompte [33] pour identifier les
paramètres du comportement élastique isotrope ainsi qu’orthotrope d’un matériau com-
posite en utilisant respectivement des essais de traction uniaxiale et bi-axiale. Les dépla-
cements ont été mesurés par corrélation d’images numériques. L’utilisation du même essai
de traction bi-axiale permet aussi d’identifier des paramètres plastiques anisotropes selon
le critère de Hill pour des tôles minces en contraintes planes.
1.3.2.2 Méthode de l’erreur en relation de comportement
L’ERC a été introduite pour les problèmes linéaires et directs par [15]. Le problème de
référence est décrit par les équations 1.8. Il est discrétisé par la méthode des éléments finis
en déplacement. Pour évaluer la qualité d’un calcul par éléments finis, il faut résoudre
deux problèmes directs : un problème en déplacement (i.e. problème de Dirichlet, résolu
par la plupart des méthodes éléments finis classiques [75] et problème en contrainte, i.e.
problème de Neumann et puis vérifier que ce couple déplacement-contrainte est admissible
à travers l’équation de comportement pour en déduire une erreur sur les contraintes.
Principe : pour les problèmes inverses, cette méthode s’appuie sur une formulation va-
riationnelle d’erreur en relation de comportement, basée donc sur l’écriture de la somme
des énergies potentielle et complémentaire. Afin de s’appliquer dans les deux domaines
élastique et plastique, elle s’écrit sous forme incrémentale [76] :
E(t, p) =
∫
Ω(σ −
∫M(x, y, t) : ε(x, y, t) dt) : M−1 : (σ −
∫M(x, y, t) : ε(x, y, t) dt) dV (1.11)
où ε = dε/dt, σ = dσ/dt sont respectivement l’incrément de déformation et de contrainte,
M est soit le tenseur de rigidité dans le cas de l’élasticité, soit le tenseur tangent dans le
cas de la plasticité. Dans les deux cas, le tenseur M dépend des paramètres p à identifier.
Ces paramètres peuvent alors être identifiés via la minimisation de l’équation 1.11 vérifiant
l’admissibilité des champs de déplacement et de contrainte.
Avantages et inconvénients : l’identification se fait seulement à partir de quelques pas
de chargement[76]. Toutefois, comme la REF, l’ERC nécessite une modélisation de type
éléments finis de l’essai ce qui coûte cher en temps de calcul.
22 Chapitre 1
Applications : cette méthode a été utilisée sur des mesures de champs pour identifier des
propriétés élastiques isotropes dans [76] en utilisant des données à l’intérieur du domaine.
Plus récemment, le modèle élastoplastique hétérogène à écrouissage cinématique a été
identifié en petites déformations par [77]. Pour pouvoir définir une erreur en relation de
comportement élastoplastique, une description incrémentale de la plasticité a été néces-
saire. Cette description est retenue par de nombreux codes de calcul par éléments finis qui
traitent la plasticité avec un algorithme de retour radial. Cette étude a permis d’écrire des
tenseurs tangents associés à un modèle de Prager. La fonctionnelle d’erreur en relation de
comportement associée à ces tenseurs exprime alors de façon variationnelle le problème
élastoplastique sur chaque incrément de chargement considéré. La minimisation de cette
fonctionnelle séparément convexe se fait par une méthode de relaxation et s’appuie sur un
calcul de type éléments finis dont la particularité est le recours à des fonctions d’Airy per-
mettant au champ de contrainte de vérifier les équations d’équilibres sur chaque élément
formulé en contrainte [77].
1.3.2.3 Méthode de l’écart à l’équilibre
Principe : la méthode EE a été introduite dans [16, 17]. Elle se base sur une formulation
de l’équilibre où les données sont les champs cinématiques mesurés et où les inconnues du
problème sont les propriétés élastiques locales, ou une distribution de paramètres d’en-
dommagement [17]
Soit une structure continue. En l’absence de sources externes et de forces volumiques, les
équations d’équilibre mécanique sont décrites par :
div(σ) = 0 (1.12)
Dans cette approche, l’hétérogénéité des propriétés élastiques a été réduite à un champ
scalaire d’endommagement isotrope D(x) [17]. Le coefficient de Poisson du milieu reste
constant et les coefficients de Lamé s’écrit :
λ(x) = λ0(1 − d(x)) , ∀x ∈ Ω
µ(x) = µ0(1 − d(x)) , ∀x ∈ Ω (1.13)
Dans le cas de champs de propriétés continus et différentiables, les équations 1.13 de-
viennent :
[2µ0ε+ λ0tr(ε)1] grad[ln(1 −D)] + div[2µ0ε+ λ0tr(ε)1] = 0 (1.14)
Revue bibliographique 23
En cas de présence de sauts d’endommagement, pour chaque normale n associée à une
discontinuité, il est possible d’écrire :
[[σ · n]] = 0 (1.15)
Pour n = ex (vecteur unitaire de la surface plane de mesure), cette équation s’écrit :
[[(1 −D)λ0(εxx + εyy) + 2µ0εxx]] = 0; (1.16)
L’avantage de la formulation 1.16 est que les forces extérieures ne sont pas prises en
compte car on identifie avec cette méthode uniquement des variations par rapport à un
état initial qui n’est pas recherché. On applique les conditions 1.15 à une formulation
éléments finis. Le problème revient alors à déterminer les coefficients élastiques avec les
champs cinématiques mesurés (connus). L’endommagement est constant par élément et on
écrit les équations 1.16 sur chaque frontière entre deux éléments voisins du domaine. On
aboutit ainsi à un système linéaire où les inconnues sont les variables d’endommagement.
Ce système est résolu à l’aide d’une méthode de gradient conjugué [17].
Avantages et inconvénients : la méthode présentée n’a pas besoin de connaissance des
efforts extérieurs dans la procédure d’identification ce qui rend la méthode insensible à
la distribution des efforts externes. Toutefois, cette méthode donne seulement des valeurs
élastiques relatives ou des valeurs d’endommagement. Elle ne peut donc pas être appliquée
dans le domaine plastique.
Applications : cette approche a été appliquée pour un essai bi-axial sur matériau com-
posite [16]. Le champ mesuré a permis d’identifier un champ d’endommagement cohérent
avec l’observation directe sur le champ de déplacement mesuré. Cette méthode a ensuite
été étendue à l’identification de conductivités thermiques [16, 17].
1.3.2.4 Méthode de l’écart à la réciprocité
Principe : l’ER est basé sur une formulation variationnelle qui consiste à écrire le principe
de réciprocité de Maxwell-Betti, entre une solution élastique sur le domaine renfermant
potentiellement des fissures et une solution du problème élastique posé sur le domaine non
fissuré (par exemple dans l’identification de fissure planes).
Avantages et inconvénients : la méthode n’a pas besoin de réaliser un calcul par
éléments finis ce qui réduit le nombre de calculs. Toutefois, elle ne peut que s’appliquer
dans le domaine élastique, pour les problèmes spécifiques comme l’identification de fissures.
Applications : l’écart à la réciprocité a été appliquée à l’identification de fissures [18]. Un
écart à la réciprocité instantané, introduit par [129], a permis une extension de la méthode
24 Chapitre 1
à des problèmes élastodynamiques plans. L’identification de fissures pour des problèmes
dynamiques a également été traitée par [18].
1.3.2.5 Méthode des champs virtuels
Principe : introduite par [19], la MCV est une méthode d’identification de paramètres
de lois de comportement à partir de mesures de champs cinématiques. Elle est fondée sur
le principe des travaux virtuels (PTV). Ce principe repose sur l’équation suivante, valable
pour tout champ u∗ cinématiquement admissible.
−
∫
V
σijε∗ijdV +
∫
∂Vf
Tiu∗idS +
∫
V
fiu∗idV = 0 (1.17)
où :
– V est le volume sur lequel l’équilibre global est écrit,
– ∂Vf est la surface sur laquelle s’exercent des conditions aux limites en contrainte impo-
sée,
– T est le vecteur contrainte en un point donné de ∂Vf ,
– u∗ est un champ de déplacement virtuel,
– σij est le champ de contrainte,
– ε∗ij est le champ de déformation virtuel dérivé de u∗,
– f est la force volumique.
L’utilisation de différents champs virtuels dans l’équation 1.17 permet l’écriture d’une
relation entre les paramètres à identifier, la résultante des efforts appliqués et le champ
cinématique mesuré [35]. Cette relation peut être soit explicite ou implicite. En effet, elle
dépend du comportement du matériau étudié (linéaire ou non linéaire, voir chapitre 3
pour plus de détails).
Applications : la MCV a été appliquée avec succès dans plusieurs cas : l’identification de
rigidités de flexion de plaques en statique [78–80] et en dynamique [81], l’identification dans
le plan de propriétés élastiques de matériaux composites [30, 81, 82], l’identification de
l’amortissement matériau d’une plaque en vibration forcée [43, 83], l’identification du com-
portement non linéaire en cisaillement d’un matériau composite [28, 84], l’identification
des rigidités du bois et leur variabilité [29], l’identification de paramètres élastoplastiques
de métaux [22, 24].
Avantages et inconvénients : la MCV est une alternative à la méthode REF. Les points
forts de la MCV sont :
– tout d’abord, on n’a pas besoin de réaliser un calcul par éléments finis ce qui réduit le
nombre de calculs.
Revue bibliographique 25
– ensuite, le choix de champs virtuels particuliers en impliquant seulement la résultante
des efforts extérieurs mais pas leur distribution rend la méthode insensible à la distri-
bution des efforts dont la méconnaissance pose des difficultés dans l’approche REF.
– par contre, cette méthode nécessite un champ de mesure.
Conclusion
On a donc trois méthodes proposées REF, ERC et MCV pour traiter le problème élas-
toplastique. Parmi elles, la MCV présente clairement plus d’intérêts. Tout d’abord, elle
n’est pas sensible à la distribution des efforts ou des déplacements appliqués qui posent
des difficultés pour les deux autres. Ensuite, elle ne nécessite pas de réaliser un calcul
éléments finis ce qui réduit considérablement le temps de calcul. Elle est robuste, même
si cette thèse va encore améliorer plus ce point.
1.4 Conclusion du chapitre et position du problème
Des essais mécaniques, des méthodes de mesure de champs cinématiques et des méthodes
d’identification variés sont présentés. Concernant l’identification en élastoplasticité, on
constate que la méthode avancée et prometteuse est la MCV, bien qu’elle nécessite des
mesures de champs.
La MCV est maintenant validée en élasticité et en plasticité [22, 35]. Dans le cas du com-
portement élastique linéaire (isotrope ou anisotrope, en contraintes planes ou en flexion),
les développements théoriques ont conduit à la réalisation d’algorithmes robustes et ra-
pides. Avec l’utilisation des champs virtuels optimisés spéciaux [20], il a été montré que la
solution au maximum de vraisemblance du problème inverse peut être trouvée de manière
directe, prouvant la robustesse et la rapidité de la méthode pour le problème élastique.
Par contre, elle nécessite encore des développements avant de pouvoir identifier de manière
plus robuste les paramètres de lois élastoplastiques.
Il reste à traiter les points suivants :
– reformulation de la procédure d’identification en prenant en compte la sensibilité au
bruit de mesure ;
– extension du domaine d’application de la MCV aux modèles plus complexes.
Une fois les développements obtenus, ils doivent être tout d’abord validés numérique-
ment. Ensuite, des essais statiquement indéterminés doivent être réalisés en utilisant une
26 Chapitre 1
des méthodes de mesures de champs cinématiques présentées ci-dessus pour valider expé-
rimentalement les nouvelles améliorations apportées à la MCV. C’est l’objectif de cette
thèse.
Chapitre 2
Le comportement mécanique des
matériaux métalliques au-delà de leur
limite d’élasticité
L’étude du comportement de tôles métalliques est le plus souvent abordée dans le cadre
d’une approche élastoplastique pour la plupart des procédés de mise en forme de tôles. La
théorie élastoplastique se divise en deux classes en fonction de l’échelle d’étude du com-
portement : la première est appelée phénoménologique (ou macroscopique) définie par
des fonctions constitutives reliant un certain nombres de variables internes, qui peuvent
tenir compte de la structure interne du matériau ainsi que de l’histoire des sollicitations.
La deuxième est appelée approche microscopique (modèles micro-macro) dans laquelle
les grandeurs macroscopiques telles que le tenseur des contraintes et le tenseur des dé-
formations sont typiquement déduites de la modélisation numérique du comportement
des grains constituant le matériau. Les deux consistent à décrire l’évolution de l’état de
contrainte et de déformation lors d’une succession de déformations.
Bien que l’approche microscopique soit plus consistante et plus proche de la physique de
la déformation plastique, elle reste cependant d’une utilisation assez limitée et ce en raison
des coûts de calcul associés. L’approche phénoménologique est plus répandue en raison
de sa commodité, sa relative facilité de mise en œuvre, sa rapidité mais aussi souvent
pour la précision suffisante de ses résultats. Par ailleurs, les deux approches peuvent
être complémentaires dans la mesure où l’étude microscopique permet de comprendre les
mécanismes de la déformation plastique et de formuler des modèles phénoménologiques
sur des bases physiques.
27
28 Chapitre 2
Cette étude est limitée à la modélisation phénoménologique des tôles laminées en adoptant
une loi d’écoulement associée et une loi d’écrouissage isotrope. Elle reste dans le cadre
des petites perturbations notées HPP (petits déplacements et petites déformations) avec
l’hypothèse d’incompressibilité plastique.
Rappelons tout d’abord la formulation générale des lois de comportement [4] avant de pré-
senter la modélisation des lois de comportement élastoplastiques étudiées dans ce travail.
Ensuite, la relation incrémentale entre contrainte et déformation totale en élastoplasticité
sera présentée.
2.1 Formulation générale des lois de comportement
2.1.1 Le potentiel thermodynamique et les lois d’état
Dans le cadre thermodynamique, à température constante, les variables d’état sont définies
comme suit :
- variable observable : la déformation totale ε ;
- variables internes notés Vk : la déformation plastique εp qui traduit des phénomènes irré-
versibles du matériau sous des sollicitations mécaniques imposées ; la déformation élastique
εe ; la déformation plastique cumulée p qui permet de décrire le phénomène d’écrouissage.
On postule l’existence d’un potentiel thermodynamique duquel dérivent les lois d’état. En
général il s’agit de l’énergie libre spécifique Ψ.
Ψ = Ψ(ε, Vk) (2.1)
Les processus décrits par ce potentiel seront thermodynamiquement admissibles si à
chaque instant l’inégalité de Clausius-Duhem est vérifiée. On obtient alors les lois d’états :
σ = ρ∂Ψ
∂ε= ρ
∂Ψ
∂εe= −ρ
∂Ψ
∂εp(2.2)
On constate que la contrainte est la variable associée à la déformation [4].
Par analogie, les variables forces thermodynamique Ak associées aux variables internes
sont définies par :
Ak = ρ∂Ψ
∂Vk(2.3)
Lois de comportement 29
2.1.2 Les lois complémentaires
Le potentiel thermodynamique permet d’écrire les relations d’état entre les variables ob-
servables et leurs variables associées. Cependant pour les variables internes, il ne définit
que les variables forces associées, et non leur évolution. En présence de phénomènes ir-
réversibles, la connaissance du potentiel thermodynamique est insuffisante pour décrire
complètement l’évolution du système. Il faut donc un formalisme complémentaire. C’est
l’objet des lois complémentaires [4].
εp = λ∂f
∂σ(2.4)
Vk = −λ∂f
∂Ak(2.5)
où λ est un multiplicateur plastique déterminé par la condition de consistance f = 0.
La première équation 2.4 conduit aux lois de plasticité tandis que la deuxième 2.5 exprime
les lois d’évolution des variables internes (i.e le taux de déformation plastique cumulée)
présentées ci-après.
2.2 Modélisation des lois de comportement élastoplas-
tiques
Choix des variables d’état : dans ce qui suit, nous nous limitons à un cadre d’élasto-
plasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés où les variables d’état sont :
- la déformation totale ε (variable observable), dans le cadre de l’HPP, égale à la partie
symétrique du tenseur gradient du champ de déplacement −→u , qui s’écrit :
ε =1
2
[grad(−→u ) + grad(−→u )T
](2.6)
- la déformation plastique εp (variable interne)
- la déformation plastique cumulée p (variable interne)
p =
∫ t
0
√2
3εp(τ) : εp(τ)dτ (2.7)
30 Chapitre 2
La déformation plastique εp est une variable interne permettant de décrire un écrouis-
sage cinématique. L’écrouissage isotrope peut quant à lui être décrit par la déformation
plastique cumulée p. En se limitant aux transformations quasi-statiques isothermes, la
phénoménologie des lois élastoplastiques est basée essentiellement sur les deux hypothèses
suivantes.
Première hypothèse : les effets élastiques et plastiques sont découplés, ce qui implique :
- la décomposition de la déformation totale en une partie élastique réversible εe et en une
partie plastique irréversible εp. Lorsque la partie élastique est suffisamment faible, il est
courant d’adopter une décomposition additive du tenseur des déformations.
ε = εe + εp (2.8)
- l’énergie libre Ψ est décomposée en une partie élastique Ψe et une partie plastique Ψp :
Ψ = Ψe(ε− εp) + Ψp(εp, p) (2.9)
Deuxième hypothèse : le comportement plastique est supposé indépendant de la vitesse
de déformation. La loi de comportement est homogène de degré zéro par rapport à la
vitesse de la déformation plastique, d’où l’existence d’un seuil de plasticité (ceci sera
détaillé par la suite).
2.2.1 Elasticité linéaire isotrope
En chargement imposé, le comportement du matériau passe tout d’abord par une phase
purement élastique avant de passer en phase élastoplastique. L’élasticité traduit une dé-
formation réversible du matériau. Le plus souvent, elle est considérée comme linéaire et
isotrope dans le cas des aciers à froid, ce qui est généralement suffisant pour décrire le
comportement élastique des matériaux métalliques usuels.
La variable d’état observable à faire intervenir est la déformation élastique qui est égale à
la déformation totale. La linéarité de la loi de comportement impose alors que le potentiel
thermodynamique soit une combinaison linéaire du carré du premier invariant du tenseur
des déformations ε2I = [tr(εe)]2 et du second invariant εII = 1
2tr((εe)2) :
Ψ =1
2p(λε2
I + 2µεII) (2.10)
A partir de la loi d’état (équation 2.2), le tenseur des contraintes de Cauchy dérive du
potentiel Ψ pour donner la loi d’élasticité linéaire (loi de Hooke) :
Lois de comportement 31
σ =∂Ψ
∂ε= λTr(εe)I + 2µεe (2.11)
où I est le tenseur identité, λ et µ sont les coefficients de Lamé déduits à partir des
coefficients de Poisson ν et du module d’Young E par les relations suivantes :
λ =νE
(1 + ν)(1 − 2ν); µ =
E
2(1 + ν)(2.12)
avec E défini positif et −1 < ν < 12
2.2.2 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope
combinés
2.2.2.1 Elastoplasticité avec écrouissage cinématique et isotrope combinés-
Potentiel thermodynamique
Pour décrire la phase élastoplastique, le découplage entre comportement élastique et
écrouissage impose d’écrire l’énergie libre sous la forme de l’équation 2.9. La variable
cinématique souvent utilisée est la déformation plastique elle même. Les variables forces
thermodynamiques associées s’en déduisent par :
R = ρ∂ψ
∂p; X = ρ
∂ψ
∂εp(2.13)
Le rôle de ces deux variables dans la description de l’état d’écrouissage est de représenter
l’évolution du domaine d’élasticité. En fait, la taille de ce domaine est une fonction de la
variable isotrope R tandis que son centre est repéré par la variable cinématique X.
Dans le cadre des transformations isothermes, l’inégalité de Clausius-Duhem exprime le
caractère positif de la dissipation intrinsèque [4] sous la forme :
φ = σ : εp − Rp−X : εp = (σ −X) : εp −Rp ≥ 0 (2.14)
2.2.2.2 Notions de base
La théorie de la plasticité en se basant sur les principes de la thermodynamique fournit
les relations mathématiques permettant la description de l’apparition et de l’évolution
des déformations plastiques dans le matériau. Elle se compose des principales notions
suivantes : le critère de plasticité, la loi d’écoulement plastique, la loi d’écrouissage.
32 Chapitre 2
Critère de plasticité
L’apparition de la plasticité se décrit généralement dans l’espace des contraintes de Cau-
chy à l’aide d’une fonction seuil associée à une surface d’écoulement, qui caractérise le
domaine d’élasticité noté f qui n’est autre qu’une description mathématique de la forme
de la surface de charge initiale appelée fonction de charge et qui définit les limites du
domaine d’élasticité du matériau à l’intérieur desquelles toute variation de contrainte ne
engendre que des variations de déformation élastique. On désigne aussi couramment par
critère de limite d’élasticité, ou critère de plasticité la condition f = 0. Toutefois, en
pratique, la fonction f elle-même est souvent appelée « critère de plasticité » sans risque
de confusion. En plasticité associée, cette fonction de charge est égale à une fonction
potentielle plastique.
Dans les transformations plastiques à écrouissages cinématique et isotrope combinés, l’évo-
lution de cette surface est décrit par une contrainte cinématique de rappel X et une va-
riable d’écrouissage isotrope R (équation 2.13). La fonction seuil f est nulle sur la surface
d’écoulement et négative dans le domaine élastique. Dans ce travail on se limite à l’emploi
du critère de Von Mises et d’une fonction σeq linéaire en fonction de l’invariant J2(σ−X) :
f = σeq −R− σ0 ≤ 0 (2.15)
σeq = J2(σ −X) =
[3
2(σ
′
−X) : (σ′
−X)
] 1
2
(2.16)
où : σ0 est la limite d’élasticité initiale, σeq la contrainte équivalente qui indique la forme du
critère de limite d’élasticité, σ′
le déviateur des contraintes, qui s’écrit : σ′
= σ− 13Tr(σ)I·,
R et X sont déterminés selon les modèles d’écrouissages étudiés.
Loi d’écoulement plastique
La loi d’écoulement est la fonction qui représente le flux des déformations plastiques εp.
Il s’agit de l’expression du taux de déformation plastique, partie irréversible du taux de
déformation de l’élément de matière, en fonction du taux de contrainte dans l’état de
charge considéré.
L’écoulement se produit si les deux conditions suivantes sont réunies simultanément (fi-
gure 2.1) :
1. Le point représentatif de l’état de contrainte est situé sur la surface de charge :
Lois de comportement 33
f(σ, p) = 0 (2.17)
2. Le schéma de la plasticité classique impose que le point représentatif de l’état de
contrainte ne puisse sortir de la surface (f > 0 est impossible). Pendant l’écoulement,
on introduit donc la condition de consistance.
df =∂f
∂σ: dσ +
∂f
∂X: dX +
∂f
∂p· dp = 0 (2.18)
La condition de consistance implique que le point représentatif de l’état (σ + dσ)
reste sur la surface de charge.
Ecoulement : f = 0, 0f
Elasticité
f < 0
f0
p
Zone interdite
f > 0Contraintes
Variable
interne
Figure 2.1: Surface de charge.
Dans le cadre de la plasticité associée, on suppose l’existence d’un potentiel de dissipation
et la surface de charge est identifiée à une surface équipotentielle. On suppose de plus que
la direction de la vitesse de déformation plastique se fait perpendiculairement à la surface
de charge (hypothèse de normalité). Alors, selon les lois complémentaires d’évolution
(équation 2.4), les variables flux εp
et p associés respectivement aux variables duales (σ−
X) et R (équation 2.14) sont définies en fonction du multiplicateur plastique λ. La loi
d’écoulement (propriété de normalité) s’écrit donc comme suit :
εp
= λ∂f
∂(σ −X); p = −λ
∂f
∂R(2.19)
où : λ est le multiplicateur plastique dont on tire l’expression de la condition de consis-
tance.
34 Chapitre 2
Loi d’écrouissage
L’écrouissage désigne l’évolution de la frontière du domaine d’élasticité lors de l’écoule-
ment plastique. On ne considère dans cette étude que deux modèles d’écrouissage.
L’écrouissage isotrope : c’est le type d’écrouissage pour lequel l’évolution de la surface de
charge est gouvernée par une seule variable scalaire : soit le travail plastique dissipé, soit
la déformation plastique cumulée p. Il correspond à une dilatation du domaine d’élasti-
cité identique dans toutes les directions de l’état des contraintes. Le centre du domaine
élastique reste inchangé. La taille du domaine élastique est alors définie par un scalaire
noté σ0 à l’état initial (la limite d’élasticité initiale) et σs à l’état écroui. Dans ce travail,
la déformation plastique cumulée a été utilisée comme variable scalaire pilotant l’évolu-
tion de la surface de charge. La loi d’écrouissage notée R(p) est telle que R(0) = 0 et
σs(p) = σ0 +R(p).
Quatre lois différentes sont étudiées dans le cadre de travail :
1. une loi d’écrouissage linéaire :
R(p) = H · p (2.20)
où : H est le coefficient d’écrouissage
2. une loi d’écrouissage exponentielle (modèle de Voce [85]) :
R(p) = R0 · p+Rinf [1 − exp(−bp)] (2.21)
où : σ0 est la limite d’élasticité initiale, R0 est le module d’écrouissage asymptotique,
Rinf et b décrivent la partie non linéaire de la courbe lors de l’apparition de la
plasticité.
3. une loi d’écrouissage puissance [4] :
R(p) = KY · p(1/MY ) (2.22)
KY et MY sont des paramètres d’écrouissage.
4. une loi d’écrouissage non linéaire [4] :
R = B(Q− R)p (2.23)
où : B et Q désignent deux constantes du matériau : Q donne la valeur asymptotique
correspondant au régime cyclique stabilisé, B indique la rapidité de stabilisation.
La valeur initiale de R est supposée égale à zéro. Ce modèle est utilisé pour décrire
le comportement pour des chargements cycliques.
Lois de comportement 35
L’écrouissage cinématique : il s’agit de la translation de la surface de charge. La variable
d’écrouissage X indique la position actuelle de la surface de charge. Quatre lois différentes
sont étudiées dans le cadre de ce travail :
1. une loi d’écrouissage cinématique linéaire de Prager [4] :
X(εp) = Cεp (2.24)
où : C est le module d’écrouissage cinématique du matériau. On suppose générale-
ment que le tenseur X est nul dans l’état initial.
2. une loi d’écrouissage cinématique non linéaire, notée L1 [4]
X(εp) = Cεp − γXp (2.25)
où : γ est une constante caractéristique du matériau.
3. une loi d’écrouissage cinématique non linéaire, notée L2 (modèle de Marquis, [86]) :
X(εp) = Cεp − φ(p)γXp
φ(p) = φ∞ + (1 − φ∞)e−ωp(2.26)
où : φω et ω sont des constantes caractéristiques du matériau.
4. une loi de superposition de plusieurs modèles d’écrouissage cinématique non li-
néaire [4] :
X =n∑
i=1
Xi
Xi(εp) = Ciε
p − φ(p)γiXip
φ(p) = φ∞ + (1 − φ∞)e−ωp
(2.27)
Cependant, cette loi n’est pas utilisée dans la suite de cette étude. Elle a néanmoins
été également programmée dans logiciel Camfit présenté à l’annexe C, l’objectif
étant de fournir plusieurs lois aux utilisateurs.
La linéarité de la loi de Prager présente l’avantage de rendre les algorithmes de calculs
numériques plus stables et moins coûteux. Dans le cas de chargements cycliques, il permet
de représenter qualitativement l’effet Bauschinger : après un premier chargement ayant
généré des déformations plastiques, la limite d’élasticité est plus grande pour un nouveau
chargement dans le même sens que le premier, et plus faible pour un nouveau chargement
dans le sens opposé. Par contre, les effets de rochet (asymétrie de la réponse dans les
cycles traction/compression [4]) ne sont pas décrits par la loi de Prager.
36 Chapitre 2
Cet inconvénient de la loi de Prager vis-à-vis des effets de rochet est levé par le terme de
rappel φ(p)γXp dans l’équation 2.25. Ce terme de rappel introduit un effet de mémoire
évanescente du trajet de déformation qui permet de rendre compte de la non-linéarité de
l’écrouissage cinématique.
Le terme φ(p) introduit par Marquis [86] dans l’équation 2.26 enrichit encore le modèle
précédent ce qui permet de retarder l’apparition de l’asymptote horizontale obtenue par
le premier modèle non linéaire L1 (équation 2.25).
Malgré la richesse relative du modèle d’écrouissage cinématique non linéaire par rapport
au modèle d’écrouissage linéaire, celui-ci fournit toutefois une description insuffisante des
réponses observées expérimentalement lorsque le domaine de variation des déformations
est important. La non-linéarité n’intervient que dans un domaine intermédiaire : pour les
très faibles déformations, on retrouve le cas linéaire, avec une mauvaise représentation
de la transition élastoplastique ; par contre dans le cas des déformations importantes la
valeur limite est atteinte trop rapidement, comme cela est mentionné par [4]. Il est facile
de remédier à une telle insuffisance en superposant plusieurs modèles cinématiques, d’où
le modèle de l’équation 2.27.
Les deux modèles d’écrouissage présentés ci-dessus, isotrope et cinématique, ne rendent
évidemment pas compte de tous les aspects des résultats expérimentaux. Ils peuvent
toutefois être combinés. Il s’agit de superposer à l’écrouissage cinématique un écrouissage
isotrope et vice-versa. Alors, le domaine d’élasticité se modifie par translation et aussi
par dilatation. L’objectif est d’exploiter les avantages de chacun des deux modèles pour
représenter le plus fidèlement possible les réponses observées expérimentalement.
2.3 Relation incrémentale entre contrainte et déforma-
tion totale en élastoplasticité
2.3.1 Hypothèse des contraintes planes
Dans le cas d’une plaque mince chargée dans son plan (Oxy), le tenseur des contraintes
est plan, s’écrivant ainsi :
σ =
σxx σxy 0
σxy σyy 0
0 0 0
(2.28)
Lois de comportement 37
2.3.2 Le cas de l’élasticité
A partir de l’équation 2.11, la relation contrainte-déformation en deux dimensions en
élasticité s’écrit :
σxx
σyy
σxy
︸ ︷︷ ︸σ
=
Qxx Qxy 0
Qxy Qxx 0
0 0 (Qxx−Qxy)2
︸ ︷︷ ︸Q
εxx
εyy
2εxy
︸ ︷︷ ︸ε
(2.29)
avec : Qxx = E1−ν2 ; Qxy = νE
1−ν2 , Q est la matrice de rigidité, εxz = εyz = 0 mais
εzz = ν1−ν
(εxx + εyy)
Les deux vecteurs σ et ε sont fonction de trois variables : le temps t et les variables spatiales
x et y. La quantité ε(x, y, t) est calculée par la dérivation des champs de déplacements
u(x, y, t) par rapport à x et y. Elle est la partie symétrique de l’opérateur gradient du
déplacement.
2.3.3 Le cas de l’élastoplasticité
Pour déterminer la contrainte σ(x, y, t), l’équation constitutive doit être introduite. Il est
possible de décrire la relation contrainte-déformation à travers une matrice tangente. Pour
cela on introduit une dérivée temporelle de contrainte σ = dσ/dt qui s’exprime :
σ = [M ] · ε (2.30)
où : [M ] est la matrice tangente dont l’expression est explicitée dans le paragraphe qui
suit (équation 2.45) ; ε = dε/dt la dérivée temporelle de la déformation totale mesurée.
σ =
σxx
σyy
σxy
; ε =
εxx
εyy
2εxy
(2.31)
2.3.4 Détermination de la matrice tangente [M ]
A partir de la théorie élastosplastique présentée précédemment, l’idée est de déterminer
les contraintes planes à partir de la matrice tangente [M ]. L’emploi du critère de Von
mises permet d’écrire :
38 Chapitre 2
f =
[3
2(σ
′
−X) : (σ′
−X)
] 1
2
− R− σ0 ≤ 0 (2.32)
Où :
σ′
=
sxx sxy 0
sxy syy 0
0 0 szz
avec szz = −(sxx + syy)
sxx
syy
sxy
=
2σxx/3 − σyy/3
2σyy/3 − σxx/3
2σxy
(2.33)
X =
Xxx Xxy 0
Xxy Xyy 0
0 0 Xzz
; Xzz = −(Xxx +Xyy) (2.34)
Dans le cas général avec une superposition de n modèles d’écrouissage cinématique (équa-
tion 2.27), on a :
Xxx
Xyy
Xxy
=
∫ tn
0
[(C1 εplxx(t) − γ1X
1
xx(t − 1) p) + . . . + Cn εplxx(t) − γnXn
xx(t − 1) p)] dt∫ tn
0
[(C1 εplyy(t) − γ1X
1
yy(t − 1) p) + . . . + Cn εplyy(t) − γnXn
yy(t − 1) p)] dt∫ tn
0
[(C1 εplxy(t) − γ1X
1
xy(t − 1) p) + . . . + Cn εplxy(t) − γnXn
xy(t − 1) p)] dt
(2.35)
L’expression de f donnée dans l’équation 2.32 est introduite sous la condition de consis-
tance donnée par l’équation 2.18. Ainsi, la condition de consistance devient :
df =∂f
∂σ: σ +
∂f
∂X: X +
∂f
∂p· p = 0 (2.36)
Pour simplifier l’écriture, les produits tensoriels dans l’équation 2.36 sont transformés en
produits scalaires. Pour cela, posons :
X =
Xxx
Xyy
Xxy
Xzz = −(Xxx + Xyy)
; p =
[2
3(εp
xx)2 + (εp
yy)2 + (εp
xx + εpyy)
2 + 2(εxyp)2
] 1
2
(2.37)
Lois de comportement 39
S =
[∂f
∂σxx; ∂f
∂σyy; 2 ∂f
∂σxy
]= 3
2σeq[sxx −Xxx; syy −Xyy; 2(sxy −Xxy)] est un vecteur colonne,
le coefficient "2" dans le terme 2 ∂f∂σxy
provient de la transformation du produit tensoriel
en produit scalaire.
S1 =
[∂f
∂Xxx; ∂f
∂Xyy; 2 ∂f
∂Xxy; ∂f
∂Xzz
]= 3
2σeq[sxx−Xxx; syy −Xyy; 2(sxy −Xxy); szz −Xzz] est un
vecteur de colonne, le coefficient "2" dans le terme 2 ∂f∂Xxy
provient de la transformation du
produit tensoriel en produit scalaire. Ainsi, la condition de consistance devient en utilisant
les produits scalaires et la nouvelle notation vectorielle :
df = ST · σ − S1T · X −∂σs
∂pp = 0 (2.38)
où : ·T désigne la transposée d’un vecteur. Selon la loi d’écoulement de l’équation 2.19
et selon la loi d’écrouissage cinématique de l’équation 2.35, X s’écrit alors :
X = (C1 + . . .+ Cn)3λ
2σeq
sxx −Xxx
syy −Xyy
sxy −Xxy
szz −Xzz
︸ ︷︷ ︸s2
−λγ1
X1xx
X1yy
X1xy
X1zz
︸ ︷︷ ︸X1
− . . .− λγn
Xnxx
Xnyy
Xnxy
Xnzz
︸ ︷︷ ︸Xn
= (C1 + . . .+ Cn)λS2 − λγ1X1 − . . .− λγnXn; avec p = λ (2.39)
ici :
S2 =3λ
2σeqs2
Finalement, en introduisant l’expression de X dans l’équation 2.39, p = λ et l’expression
de σeq 2.16, la condition de consistance de l’équation 2.38 devient alors :
df = ST σ− γ
((C1 + . . .+Cn)S1T S2︸ ︷︷ ︸
= 3
2
−γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn
)−∂σs
∂pγ = 0 (2.40)
Finalement, le multiplicateur plastique s’exprime :
λ =ST · σ
[32(C1 + . . .+ Cn) − γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn] + ∂σs
∂p
(2.41)
40 Chapitre 2
Dans le cadre d’une formulation incrémentale, la dérivée temporelle de contrainte s’ex-
prime :
σ = [Q](ε− εpl) = [Q](ε− λS) (2.42)
où [Q] la matrice de rigidité, introduite à l’équation 2.29.
On note ε la dérivée temporelle de la déformation totale et εp la dérivée temporelle de
la déformation plastique. On constate que la dérivée temporelle de déformation dans
l’épaisseur, noté εzz (que l’on ne mesure pas en pratique avec les mesures de champ surfa-
cique 2D), fait partie de cette expression. Néanmoins, grâce à l’hypothèse d’incompressi-
bilité plastique, la partie plastique de εzz est exprimée en fonction des seules composantes
planes :
εpxx + εp
yy + εpzz = 0 (2.43)
La partie élastique est quant à elle extraite de la loi d’élasticité en contraintes planes :
εezz =
−ν
1 − ν
(εe
xx + εeyy
)(2.44)
On ferme la résolution en introduisant l’expression de λ donnée par l’équation 2.41 dans
l’équation 2.42. On peut finalement écrire la dérivée temporelle de la contrainte sous la
forme suivante :
σ =
[[Q]−1 +
S · ST
(32(C1 + . . .+ Cn) − γ1S1TX1 − . . .− γnS1TXn
)+∂σs
∂p
]−1
︸ ︷︷ ︸matrice tangente [M ]
εxx
εyy
2εxy
(2.45)
Il est remarqué ici que l’on peut aussi déterminer directement la contrainte plane avec
le multiplicateur plastique λ. Cette alternative a été utilisée pour traiter des mesures de
champs par [22, 24, 87].
Toutefois, la formule directe de l’équation 2.45 est plus adaptée pour évaluer l’effet du bruit
sur la MCV, qui sera l’objet de la partie 3.3. C’est pour cette raison que cette équation
a été retenue dans cette étude comme relation incrémentale de base entre contrainte et
déformation totale.
Chapitre 3
Méthode des champs virtuels en
élastoplasticité
Introduction
L’identification des paramètres pilotant une loi de comportement à partir de mesures de
champs cinématiques constitue un problème inverse. Pour traiter ce problème, la méthode
la plus utilisée est celle du recalage par éléments finis [14, 38, 74]. Elle se base sur une
modélisation de type éléments finis de l’essai puis une minimisation de l’écart entre une
grandeur du modèle et cette même grandeur mesurée en fonction des paramètres recher-
chés. Il y a actuellement des alternatives aux procédures de recalage par éléments finis qui
existent dans certains cas telles que la méthode de l’écart à l’équilibre [88, 89], l’écart à la
réciprocité ou l’erreur en relation de comportement [73, 90]. Ces méthodes sont utilisées le
plus souvent dans le cas de l’élasticité linéaire, mais peu dans le cas de lois non linéaires.
La MCV [11] est une alternative aux procédures de recalage par éléments finis qui a
été proposée à la fois pour les cas de lois linéaires et non linéaires. Les points forts de
cette méthode sont considérables. Tout d’abord, on n’a pas besoin de réaliser un calcul
par élément finis ce qui permet de réduire le nombre de calculs. Ensuite, le choix de
champs virtuels particuliers en impliquant seulement la résultante des efforts extérieurs
mais pas leur distribution rend la méthode insensible à la distribution des efforts dont
la méconnaissance peut poser des difficultés dans les approches de recalage par éléments
finis.
41
42 Chapitre 3
Ce chapitre présente tout d’abord l’état de l’art de la MCV avant de cette thèse. Ensuite,
les améliorations apportées à cette méthode en élastoplasticité seront détaillées.
3.1 La méthode de champs virtuels existante
La méthode des champs virtuels (MCV) est une méthode d’identification de paramètres de
lois de comportement à partir de mesures de champs cinématiques. Elle a été proposée par
Grédiac en 1989 [19]. Elle a été appliquée avec succès dans plusieurs cas : l’identification
de rigidités de flexion de plaques en statique [78, 79] et en dynamique [81], l’identification
dans le plan de propriétés élastiques de matériaux composites [91] etc.
La MCV est fondée sur le principe des travaux virtuels (PTV). Ce principe repose sur
l’équation suivante, valable pour tout champ u∗ cinématiquement admissible.
−
∫
V
σijε∗ijdV +
∫
∂Vf
Tiu∗idS +
∫
V
fiu∗idV = 0 (3.1)
où :
– V est le volume dans lequel l’équilibre global est écrit,
– ∂Vf est la surface sur laquelle s’exercent des conditions aux limites en contrainte impo-
sée,
– T est le vecteur contrainte en un point donné de ∂Vf ,
– u∗ est un champ de déplacement virtuel,
– σij est le champ de contrainte,
– ε∗ij est le champ de déformation virtuel dérivé de u∗,
– f est la force volumique,
Le PTV est aussi appelé la « forme faible » des équations d’équilibre, qui s’écrivent de
manière locale :
σij,j+fi = 0 sur V Equation d’équilibre local ou « forme forte » de l’équilibre
σijnj = Ti sur ∂Vf Conditions aux limites(3.2)
L’utilisation de différents champs virtuels dans l’équation 3.1 permet l’écriture d’une re-
lation entre les paramètres à identifier, la résultante des efforts appliqués et le champ
cinématique mesuré. Cette relation peut être explicite ou implicite. En effet, elle dépend
du comportement du matériau étudié (linéaire ou non linéaire).
Méthode des Champs Virtuels 43
3.1.1 Mise en œuvre de MCV en élasticité
Afin d’illustrer la procédure générale, on va étudier sa mise en œuvre sur un essai de
flexion/cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-époxyde (figure 3.1).
Figure 3.1: Essai de flexion cisaillement appliqué sur un matériau composite verre-
époxyde [28].
Dans cet essai, une plaque de faible épaisseur est chargée dans son plan. Le matériau
de la plaque a une loi de comportement élastique linéaire orthotrope. Cette loi s’écrit en
utilisant la convention habituelle de contraction des indices (xx→ x, yy → y, xy → s) :
σx
σy
σs
=
Qxx Qxy 0
Qxy Qyy 0
0 0 Qss
εx
εy
εs
(3.3)
L’objectif est d’identifier Qxx, Qyy, Qxy, Qss à partir du champ de déformation hétérogène
mesuré à la surface de l’éprouvette par une méthode de mesure de champ. D’après le PTV
(voir l’équation 3.1), l’équilibre global statique de l’éprouvette s’écrit en absence de forces
de volume :
−
∫
V
σijε∗ijdV +
∫
∂Vf
Tiu∗idS = 0 (3.4)
Les déformations sont supposées constantes dans l’épaisseur, ce qui permet de factoriser
le travail des efforts intérieurs par l’épaisseur b. Il est possible d’exprimer les contraintes
en fonction des déformations en introduisant les paramètres constitutifs de la loi de com-
portement dans l’équation 3.4. En supposant le matériau homogène, on sort les rigidités
des intégrales et on obtient :
44 Chapitre 3
Qxx
∫
S2
εxε∗xdxdy +Qyy
∫
S2
εyε∗ydxdy
+Qxy
∫
S2
(εxε∗y + εyε
∗x)dxdy +Qss
∫
S2
εsε∗sdxdy =
1
b
∫
S2
Tiu∗idS (3.5)
Il suffit alors d’écrire l’équation 3.5 avec quatre champs virtuels différents afin d’obtenir
un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues. Ces champs virtuels doivent
satisfaire des conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la
résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue.
On constate toutefois qu’il existe une infinité de possibilités de choix pour ces champs
virtuels. On choisit alors des champs virtuels permettant de rendre la matrice du système
d’équations égale à la matrice identité. Ces champs sont appelés « champs spéciaux » [82].
On a alors :
Qxx =1
b
∫
∂Vf
Tiu∗1i dS ; Qyy =
1
b
∫
∂Vf
Tiu∗2i
Qxy =1
b
∫
∂Vf
Tiu∗3i dS ; Qss =
1
b
∫
∂Vf
Tiu∗4i
(3.6)
où : les u∗1, u∗2, u∗3, u∗4 sont les quatre champs virtuels spéciaux.
Le problème d’identification est alors résolu sans difficulté en utilisant ces « champs spé-
ciaux ».
Ces champs virtuels ont été programmés sur une base de fonctions polynomiales [92] :
u∗x(x, y) =x(x− L)
L2
(m∑
i=0
n∑
j=0
aij
(x
L
)i(y
H
)j)
u∗y(x, y) =x(x− L)
L2
(p∑
i=0
q∑
j=0
bij
(x
L
)i(y
H
)j) (3.7)
où :
– L, H sont les dimensions de l’éprouvette ;
– x et y sont les coordonnées des points matériels sur la surface de l’éprouvette ;
– aij et bij sont des coefficients qui définissent les champs virtuels.
Le choix des champs virtuels est donc réduit à la détermination des coefficients des mo-
nômes aij et bij qui sont calculés selon les conditions d’admissibilité et de continuité [92].
Pour optimiser ce choix, une technique permettant de minimiser la sensibilité des résultats
à un bruit blanc inclus dans les mesures a été proposée [93].
Méthode des Champs Virtuels 45
3.1.2 La mise en œuvre de MCV en plasticité
Contrairement au cas élastique présenté à la partie précédente, dans ce cas, la loi de
comportement n’est pas linéaire. Il n’est pas possible de construire un système d’équations
linéaires comme précédemment. L’identification des paramètres de lois élastoplastiques est
donc plus compliquée [34, 35, 94]. Néanmoins, le problème mécanique posé se base encore
sur les relations fondamentales de la mécanique, mais avec la loi de comportement qui
représente la relation contraintes-déformations sous une forme quelconque :
σ = f ∗(ε) (3.8)
où f ∗ désigne la loi de comportement en fonctions de paramètres à identifier.
Dans ce cas, une procédure de calcul des contraintes dans le cas 2D (contraintes planes)
est nécessaire, elle est directement inspirée du travail de Sutton et al. [87]. Il s’agit d’un
algorithme d’intégration des contraintes reposant sur le calcul du module tangent avec
l’hypothèse d’un retour radial et une correction de l’écoulement plastique négatif [22, 24,
87].
Il nous faut encore déterminer les paramètres de la loi de comportement à partir des
champs cinématiques mesurés, des efforts appliqués et des conditions aux limites (pro-
blème inverse). L’idée est toujours d’utiliser le PTV. En l’absence de la force de volume,
l’équation 3.5 devient :
−
∫
V
f ∗(ε) : ε∗dV +
∫
∂Vf
Tiu∗idS = 0 (3.9)
Ainsi pour chaque nouveau champ virtuel introduit, une équation impliquant les para-
mètres de la loi de comportement et les champs de déformation mesurés est créée, comme
en élasticité. Le problème est de construire un ensemble d’équations pertinentes en uti-
lisant plusieurs champs virtuels dans le but de calculer les paramètres recherchés. Il est
aussi nécessaire de déterminer le nombre et le type des champs virtuels pour qu’ils puissent
optimiser l’identifiabilité des paramètres recherchés. Pour adapter la MCV au cas non li-
néaire, l’idée proposée par Grédiac et Pierron [35] est de construire puis de minimiser une
fonction coût dépendant des paramètres à identifier, toujours en utilisant le PTV. Elle
est construite comme étant la somme des écarts quadratiques calculés à chaque étape de
chargement entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur.
Φ (paramètres identifiés) =N∑
n=1
[−
∫
S
σ(n) : ε∗(n)dS +1
b
∫
S
Tu∗(n)dS
]2
(3.10)
46 Chapitre 3
où N est nombre total d’étapes de mesure dans l’essai et le champ de contrainte est calculé
à partir de champ de déformation mesuré à l’étape n en utilisant les paramètres a priori.
Ensuite, cette fonction coût va être minimisée à l’aide de la fonction « fminsearch »
du logiciel Matlab afin de trouver les paramètres identifiés. L’algorithme utilisé est un
algorithme de recherche directe basé sur la méthode du simplex de Nelder-Mead [95]. Cet
algorithme n’utilise ni gradients numériques ni gradients analytiques.
Cette procédure d’identification a été appliquée numériquement par Grédiac [35] et ex-
périmentalement par Pannier [24, 94]. Toutefois, les champs virtuels ont été choisis em-
piriquement dans ces applications. Il n’y avait aucune procédure de sélection dans le cas
non linéaire. C’est une des raisons principales pour laquelle les résultats obtenus par Pan-
nier [24] présentaient des écarts importants.
3.2 MCV par morceaux
L’utilisation d’une base de fonctions polynomiales pour définir les champs virtuels [92]
présente des inconvénients dans la procédure d’identification. En fait, le choix des champs
virtuels spéciaux nécessite la détermination des coefficients des monômes selon les condi-
tions d’admissibilité et de continuité [92] ainsi que la minimisation de la sensibilité des
résultats à un bruit blanc selon la technique [93]. Dans le but de faciliter le choix des
champs virtuels, l’utilisation d’une base de fonctions linéaires par morceaux apporte un
intérêt pour exprimer les champs virtuels [22]. Cela permet entre autres de décrire fa-
cilement des champs virtuels discontinus pour, par exemple, écarter certaines zones de
l’échantillon.
Ce paragraphe est consacré à la mise en œuvre de la MCV par morceaux. Nous présentons
tout d’abord le principe de reconstruction des champs réels et de construction des champs
virtuels. Ensuite, la nouvelle formulation de la MCV par morceaux sera abordée ainsi que
son application en élasticité et plasticité.
3.2.1 Principe de reconstruction des champs réels et de construc-
tion des champs virtuels
A partir des données mesurées, l’objectif est de reconstituer un champ de déplacement
cinématiquement admissible. Cela permet de filtrer les données qui sont généralement
bruitées en raison de la numérisation et du bruit du capteur CCD. Le principe de base de
la reconstruction repose sur un maillage éléments finis. En effet, la surface de l’éprouvette
Méthode des Champs Virtuels 47
où des mesures de champs sont effectuées peut être maillée en éléments rectangulaires ou
triangulaires. Les triangles sont utilisés ici plutôt que tout autre élément parce qu’ils sont
simples et qu’ils s’adaptent facilement à n’importe quelle géométrie. On écrit le champ de
déplacements à partir des déplacements aux nœuds du maillage en utilisant les fonctions
de forme suivantes :
ux(x, y) = N1(x, y)ux(A1) +N2(x, y)ux(A2) +N3(x, y)ux(A3) = 〈N(x, y)〉Ue
x
uy(x, y) = N1(x, y)uy(A1) +N2(x, y)uy(A2) +N3(x, y)uy(A3) = 〈N(x, y)〉Uey
(3.11)
où :
– les ux(Ai) sont les valeurs des déplacements horizontaux respectivement aux nœuds
Ai(xi, yi) de l’élément triangulaire ;
– les uy(Ai) sont les valeurs des déplacements verticaux respectivement aux nœudsAi(xi, yi)
de l’élément triangulaire ;
– Uex, U
ey sont les vecteurs composés des déplacements nodaux d’un élément ;
– 〈N(x, y)〉 est le vecteur des valeurs prises par les fonctions de forme.
Les fonction de forme Ni(x, y) s’expriment de la manière suivante :
Ni(x, y) = (0, 5/S)(ai + bix+ ciy) (3.12)
où i = 1, 2, 3 ; S représente l’aire de l’élément triangulaire A1A2A3 et a1 = x2y3 − x3y2,
b1 = y2 − y3, c1 = x3 − x2 (les autres coefficients sont obtenus à partir de ces relations
par permutation circulaire des indices). On note que le déplacement varie linéairement
sur chaque côté du triangle. Ainsi, si l’on raccorde les déplacements nodaux entre deux
triangles adjacents, on assure la continuité des déplacements entre éléments ; l’élément est
dit « conforme ».
A partir de l’équation 3.11 on évalue les déplacements nodaux à partir des données expéri-
mentales ux(x, y), uy(x, y) par régression au sens des moindres carrés [35]. L’approximation
se fait en deux temps. Une première fois, toutes les données expérimentales sont utilisées.
La deuxième fois, on calcule la différence entre les données expérimentales et les données
approximatives puis l’écart-type de cette différence, noté γb. Les données expérimentales
s’éloignant trop (au-delà d’un seuil fixé, par exemple 2 ou 3 fois de plus de γb en fonction
de l’écart type du bruit de mesure) de l’approximation sont éliminées et la régression
au sens de moindres carrés est réalisée à nouveau avec les données restantes. Une fois
les déplacements nodaux obtenus, on reconstruit le champ de déplacement approché en
utilisant les fonctions de forme (voir l’équation 3.11).
48 Chapitre 3
On définit maintenant le champ des déformations sur chaque élément à partir des valeurs
nodales de déplacements obtenues et de l’opérateur gradient de l’équation 3.11 :
εxx =∂ux
∂x; εyy =
∂uy
∂y; εxy = 0, 5
(∂uy
∂x+∂ux
∂y
)(3.13)
En utilisant l’interpolation, on obtient :
εel = [B1 B2 B3]
= Bel Uel (3.14)
avec : Uel = [ux(A1); uy(A1); ux(A2); uy(A2); ux(A3); uy(A3)] ; εel =
εxx
εyy
2εxy
est le
vecteur des déformations sur un élément ; chaque matrice Bi(i = 1, 2, 3) qui contient les
gradients des fonctions de forme Ni sur élément est donnée par :
Bi =
∂Ni
∂x0
0 ∂Ni
∂y∂Ni
∂y∂Ni
∂x
(3.15)
On constate que l’interpolation Ni(x, y) est linéaire en x et y, ses dérivées sont constantes
sur le triangle. Les déformations et donc les contraintes sont constantes sur chaque élément.
Pour la reconstruction des champs de déformation, on peut aussi rendre les déformations
continues en reportant les déformations aux nœuds et en utilisant les fonctions de forme à
nouveau. En fait, les déformations au nœud j est la moyenne de celles de tous les éléments
qui contiennent ce nœud.
εjxx =
1
n
n∑
i
εixx ; εj
yy =1
n
n∑
i
εiyy ; εj
xy =1
n
n∑
i
εixy (3.16)
où n est le nombre total des éléments qui portent le nœud j.
L’utilisation d’une base de fonctions linéaires par morceaux, telles que présentées dans
l’équation 3.11, a pour intérêt d’exprimer les champs virtuels directement à partir du
maillage utilisé aussi pour reconstruire le champ réel. En effet, la surface de l’éprouvette
a déjà été maillée en éléments triangulaires pour l’approximation du champ expérimental.
Utiliser la même base afin de construire des champs virtuels est donc logique. On obtient
donc :
Méthode des Champs Virtuels 49
ε∗el = [B1 B2 B3] U∗el
= Bel U∗el (3.17)
avec : U∗el = [u∗x(A1); u
∗y(A1); u
∗x(A2); u
∗y(A2); u
∗x(A3); u
∗y(A3)] ; ε∗el =
ε∗xx
ε∗yy
2ε∗xy
est le
vecteur des déformations virtuelles sur un élément.
3.2.2 Nouvelle formulation de la méthode des champs virtuels
basée sur les champs par morceaux
L’écriture vectorielle des tenseurs des déformations permet d’une part de formuler ma-
triciellement la loi de comportement et d’autre part d’écrire simplement le principe des
travaux virtuels (voir l’équation 3.4). Pour cela on utilise les relations 3.15 et 3.17 pour
exprimer l’équation 3.4, le formalisme de PTV s’exprime alors comme suit :
−
m∑
i=1
Aielσ
iel[B
iel]U
i∗el +
1
bTVext = 0 (3.18)
où TVext est la partie de travail virtuel des efforts extérieurs ; m est le nombre total
d’éléments ; Aiel représente l’aire de l’élément i ; σi
el =
σi
xx
σiyy
σixy
est le vecteur composé
des contraintes de l’élément i ; b est l’épaisseur de l’éprouvette.
On constate que la nouvelle formulation de la MCV représentée par la formule 3.18 apporte
des avantages importants. En effet, elle donne plus de souplesse au choix des champs
virtuels tout en simplifiant la génération d’un point de vue informatique. Pour plus de
détails, on va étudier sa mise en œuvre en élasticité et plasticité.
3.2.2.1 Application à l’identification de paramètres élastiques
Dans ce cas, la relation contraintes-déformations est linéaire. On exprime σiel en fonction
de εiel via la relation suivante :
σiel = [Q] εi
el (3.19)
50 Chapitre 3
où [Q] est la matrice de rigidité, elle est constante pour tout l’élément. En utilisant des
équations 3.14 et 3.19, le formalisme 3.18 devient :
−m∑
i=1
U i∗el
T Aiel [Bi
el]T [M ][Bi
el]Uiel +
1
bTVext = 0 (3.20)
On factorise la matrice M de manière suivante :
M = Q1
1 0 0
0 0 0
0 0 0
+Q2
0 1 0
0 0 0
0 0 0
+ . . .+Qn
0 0 0
0 0 0
0 0 1
= Q1[M1] +Q2[M2] + . . .+Qn[Mn] (3.21)
On pose :
[Hnel] = U i∗
el T Ai
el [Biel]
T [Mn][Biel]U
iel (3.22)
Après assemblage en utilisant les formules 3.21 et 3.22, l’équation 3.20 devient :
Q1U∗T [H1]U +Q2U
∗T [H2]U + . . .+QnU∗T [Hn]U =
1
bTV ext (3.23)
où :
– U∗ est le vecteur composé des déplacements virtuels nodaux, ce champ doit satis-
faire des conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la
résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue.
– U est le vecteur composé des déplacements réels nodaux ;
– Q1, Q2 . . . Qn sont les paramètres élastiques indépendants à identifier, si l’un dépend de
l’autre, on doit faire une combinaison pour éviter que le système ne soit de déterminant
nul. Par exemple, on a quatre paramètres indépendant pour une loi de comportement
élastique linéaire orthotrope plane et seulement deux pour une loi de loi de comporte-
ment élastique linéaire isotrope.
– [H1], [H2] . . . [Hn] sont calculées et assemblées à partir des matrices élémentaires corres-
pondantes [Hnel].
– ·T désigne la transposée d’une matrice.
Il suffit alors d’écrire l’équation 3.23 avec n champs virtuels différents afin d’obtenir un
système linéaire de n équations à n inconnues. On constate que la MCV représentée par la
relation 3.23 apporte des avantages importants. En effet, elle permet de créer facilement
des équations afin d’obtenir des « champs spéciaux » [82] et de faciliter l’évaluation de la
fonction coût dans la minimisation de la sensibilité au bruit blanc (voir l’équation 3.25)
en appliquant l’algorithme proposé par S. Avril [93].
Méthode des Champs Virtuels 51
En fait, les inconnues seront identifiées à une constante multiplicative près. On va
choisir les champs virtuels de sorte que le travail virtuel des forces extérieures soit nul. Il
en résulte que le travail virtuel des forces intérieures est également nul. Si l’on décompose
ce travail en une partie associée à un paramètre fixé à 1, on peut exprimer le travail virtuel
des autres paramètres à partir de celui-là. Vu que le travail virtuel dépend linéairement
des paramètres en élasticité, les relations cherchées s’identifient directement. On connaît
donc tous les paramètres en fonction de l’un d’entre eux. Le paramètre fixé choisi est
celui dont l’on peut déterminer la valeur même à l’insu de celle des autres. En réalité,
la constante multiplicative près prend deux valeurs différentes : Qxx pour l’élasticité
linéaire isotrope et Qss pour l’élasticité linéaire orthotrope.
Tout d’abord, on choisit les n − 1 champs virtuels permettant de rendre la matrice du
système d’équations égale à la matrice d’identité [82], de minimiser le bruit blanc [93]
et d’annuler le travail virtuel des forces extérieures. Il ne reste plus qu’à déterminer la
valeur du coefficient multiplicatif en utilisant l’information de la résultante appliquée. En
effet, on va calculer la contrainte moyenne à partir de la force appliquée avec l’utilisation
d’un champ virtuel simple dans le PTV (voir l’équation 3.23) et celle moyenne à par-
tir des déformations approchées, et les comparer afin de trouver la valeur du coefficient
multiplicatif.
La minimisation de la sensibilité au bruit blanc contenu dans les mesures a été évoquée.
Celle-ci est très simple à mettre en œuvre. En effet, si l’on décompose le vecteur U
en deux vecteurs, le premier correspondant aux incréments de déplacements exacts et le
second à celui dû au bruit blanc :
U = Uexact + Ubruit (3.24)
on trouve l’erreur commise dans le calcul de l’équation 3.23 comme suit :
erreur = U∗T [Q1[H1] +Q2[H2] + . . .+Qn[Hn]]Ubruit (3.25)
3.2.2.2 Application à l’identification de paramètres plastiques
Avril en 2008 a appliqué la MCV par morceaux en plasticité [22]. Cette procédure d’iden-
tification est identique à celle réalisée par [35, 94]. Néanmoins, le travail d’Avril a apporté
deux améliorations importantes. En effet, la surface de l’éprouvette a déjà été maillée
en éléments triangulaires pour l’approximation du champ expérimental ce qui améliore
la qualité de traitement des mesures par rapport à l’approximation polynomiale réalisée
52 Chapitre 3
dans [94] (voir partie reconstruction des champs cinématiques 1.2.4 ). Utiliser la même
base donne plus de souplesse au choix des champs virtuels tout en simplifiant la génération
d’un point de vue informatique. Cela facilite la construction de la fonction coût dans la
procédure d’identification. Toutefois, le choix des champs virtuels reste à traiter.
3.3 Nouveaux développements apportés à la MCV en
élastoplasticité
La MCV est maintenant validée en élasticité et en plasticité [35]. Dans le cas du com-
portement élastique linéaire (isotrope ou anisotrope, en contraintes planes ou en flexion),
les développements théoriques ont conduit à la réalisation d’algorithmes robustes et ra-
pides [20]. Avec l’utilisation des champs virtuels optimisés spéciaux [93], on a montré que
la solution au maximum de vraisemblance du problème inverse peut être trouvée en deux
itérations, prouvant la robustesse de la méthode en élasticité. Par contre, en plasticité,
il n’y a pas encore de règle pour choisir des champs virtuels optimisés pour rendre la
méthode robuste. La plus grande difficulté rencontrée dans ce cas est d’évaluer et de mi-
nimiser l’effet du bruit blanc. Toutefois, l’utilisation de la MCV par morceaux précédente
apportera une base importante dans l’étude du choix des champs virtuels optimisés ainsi
que dans le développement de cette méthode en élastoplasticité.
Ce paragraphe présente donc nos nouveaux développements apportés à la MCV en plas-
ticité :
– procédure d’identification générale ;
– procédure de sélection des champs virtuels optimisés en plasticité ;
– procédure de minimisation de la fonction coût en utilisant l’algorithme de Newton-
Raphson ;
– procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une matrice tangente
(voir chapitre 2) ;
– extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique en
considérant un chargement non monotone.
3.3.1 Procédure d’identification générale
3.3.1.1 Principe général
Le principe général est toujours d’utiliser le PTV. Toutefois, l’utilisation de la relation
incrémentale de base entre contraintes et déformations totales (voir équation 2.45), permet
Méthode des Champs Virtuels 53
de représenter le PTV (équation 3.9) sous la forme suivante :
−
∫
A
ε∗(x, y, tn)T
∫ tn
0
[MXP(x, y, t)]ε(x, y, t)dt
dxdy +
1
bW ∗
ext(tn) = 0 (3.26)
où :
– A est la surface de la zone d’étude ;
– W ∗ext(tn) est la partie de travail virtuel des efforts extérieurs à temps étudié tn ;
– XP désigne les paramètres de comportement élastoplastique du matériau ;
– MXP(x, y, t) est la matrice de rigidité en élasticité ou matrice tangente déterminée
selon l’équation 2.45 en plasticité et dépend non seulement du point étudié mais aussi
de paramètres XP ;
– ε(x, y, t) est la déformation mesurée temporelle à l’instant t en la supposant égale à zéro
à t = 0. Elle est calculée par la dérivation des champs de déplacements mesurés u(x, y, t)
par rapport à x et y (la partie symétrique de l’opérateur gradient du déplacement) ;
– ε∗(x, y, tn) est la déformation virtuelle au temps étudié tn.
En pratique, les données de déplacement sont mesurées en un grand nombre de points
sur la surface de l’éprouvette grâce aux méthodes optiques comme la corrélation d’images
(DIC) [81, 91, 96] ou la méthode de grille [34, 35]. Les déplacements mesurés sont gé-
néralement bruitées en raison de la numérisation et du bruit du capteur CCD. De plus,
les techniques de mesures fournissent seulement des matrices de données expérimentales
réparties densément sur la surface. Pour ces raisons, la reconstruction de champs ciné-
matiques est donc nécessaire afin de filtrer les données et de disposer du champ des
déplacements en tout point à partir de matrice des mesures (voir la partie 3.2.1).
Les mesures sont effectuées à différentes moments, distribuées tout au long de l’essai,
avant et après le début de la plasticité. La résultante de force appliquée, dénotée F (tn),
est également mesurée à ces moments donnés ce qui permet de calculer W ∗ext(tn). Le
nombre de mesures est noté N .
L’écriture vectorielle des tenseurs des déformations telle que présentée à la partie 3.2.2
permet d’écrire simplement le PTV (équation 3.26) comme suit au temps tn :
−I∑
i=1
Aeli U
∗eli (tn)T [Bel
i (tn)]T
∫ tn
0
[MXP(xi, yi, t)]ε(xi, yi, t)dt
+
1
bW ∗
ext(tn) = 0
⇒
I∑
i=1
Aeli U
∗eli (tn)T [Bel
i (tn)]T
∫ tn
0
[MXP(xi, yi, t)][B
eli (tn)]Uel
i (t)dt
=
1
bW ∗
ext(tn)
(3.27)
54 Chapitre 3
Finalement le PTV s’écrit :
I∑
i=1
∫ tn
0
U∗eli (tn)T Ael
i [Beli ]T [MXP
(xi, yi, t)][Beli ]︸ ︷︷ ︸
Keli (XP , t)
Ueli (t)dt =
1
bW ∗
ext(tn) (3.28)
où I est le nombre total des éléments ; U∗eli (tn) est le vecteur colonne composé des
déplacements virtuels nodaux utilisés sur l’élément i à l’étape n(tn) ; Ueli (t) est le vecteur
composé des déplacements temporels réels nodaux de l’élément i au moment t ; [Beli (tn)] =
[Beli ] est la matrice composée des gradients de fonction de forme de l’élément triangulaire ;
Aeli est la surface de l’élément i. Comme dans le calcul des éléments finis, la matrice de
rigidité élémentaire Keli (XP , t) est définie par l’équation 3.28. Elle dépend de la contrainte
au moment t et des paramètres de comportement à identifier.
3.3.1.2 Résolution de problème inverse
Pour résoudre le problème inverse par la MCV dans le cas non linéaire, l’idée proposée par
Grédiac et Pierron [35] est de construire puis de minimiser une fonction coût dépendant
des paramètres à identifier, toujours en utilisant le PTV. Elle est construite comme étant
la somme des écarts quadratiques calculés à chaque étape de chargement entre le travail
virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur.
Φ(XP ) =
N∑
n=1
[Jn(X)]2 =
N∑
n=1
[−
I∑
i=1
∫ tn
0
U∗eli (tn)T [Kel
i (XP , t)]Ueli (t)dt+
1
bW ∗
ext(tn)
]2
(3.29)
Évidemment, Φ(XP ) doit être égale à zéro pour les paramètres réels du comportement du
matériau et pour n’importe quel champ virtuel cinématiquement admissible si les déplace-
ments réels sont connus de manière exacte. Par conséquent, la procédure d’identification
est effectuée en minimisant la fonction coût ci-dessus avec jeu de paramètres initiaux de
XP . La procédure de minimisation de la fonction coût est pilotée par l’algorithme de
Newton-Raphson (voir la suite).
Il faut remarquer ici que la procédure d’identification ci-dessus est seulement utilisée
pour identifier les paramètres plastiques. Quant aux paramètres élastiques, il s’agit d’un
problème linéaire. Il suffit alors d’écrire l’équation 3.29 avec n champs virtuels différents
afin d’obtenir un système linéaire de n équations à n inconnues élastiques. La procédure
d’identification des paramètres élastiques en utilisant des champs virtuels optimisés donne
de bons résultats [22]. Elle est utilisée dans cette étude.
Méthode des Champs Virtuels 55
3.3.2 Procédure de sélection des champs virtuels optimisés en
plasticité
Dans l’équation 3.29, les champs virtuels doivent être choisis et entrés dans le PTV pour
construire une fonction d’écart à l’équilibre global de l’éprouvette testée. Un grand travail
a été consacré récemment au choix des champs virtuels optimisés dans le cas de l’élasti-
cité [20]. Toutefois, cette procédure ne peut pas être appliquée dans le cas de la plasticité
en raison de la nature non linéaire des équations constitutives. Néanmoins, on peut utiliser
le même principe que celui présenté dans [93]. L’idée est d’estimer l’effet des bruits blancs
sur l’identification et d’utiliser les champs virtuels qui réduisent au minimum ces effets.
3.3.2.1 L’erreur sur la fonction coût en présence de bruit de mesure en élas-
toplasticité
A cause du bruit blanc présent dans les mesures, des erreurs apparaissent dans la pro-
cédure d’identification. En effet, on décompose le vecteur Ueli (t) en un vecteur des
incréments de déplacements exacts et un dû au bruit blanc comme suit :
Ueli (t) = ˜Uel
i (t) + δUeli (t) (3.30)
où ˜Ueli (t) est le vecteur composé des déplacements temporels exacts nodaux de l’élément
i au moment t ; δUeli (t) est le vecteur composé des déplacements temporels nodaux
parasite provenant du bruit expérimental de l’élément i au moment t. Par conséquent,
l’erreur dans l’équation 3.29 s’écrit comme suit :
δJn =
I∑
i=1
∫ tn
0
U∗eli (tn)T [Kel
i (XP , t)]δUeli (t) dt
=I∑
i=1
n∑
j=1
U∗eli (tn)T [Kel
i (XP , tj)]︸ ︷︷ ︸gij
δUeli (tj)︸ ︷︷ ︸
fij
=n∑
j=1
U∗(tn)T [K(XP , tj)]︸ ︷︷ ︸gj
δU(tj)︸ ︷︷ ︸fj
(3.31)
où : U∗(tn) est le vecteur colonne composé des déplacements virtuels nodaux au moment
tn ; δU(tj) est le vecteur composé des déplacements temporels nodaux, parasites dus au
bruit expérimental au moment tj .
56 Chapitre 3
On estime l’erreur commise dans le calcul de la fonction coût 3.29 en présence de bruit
blanc. En effet, cette erreur fait intervenir trois quantités distinctes ; la première provient
du choix du champ virtuel, la deuxième ne dépend que des propriétés du matériau et de
la géométrie de l’éprouvette, la dernière est la partie aléatoire due au bruit blanc. Cela
montre que le choix des champs virtuels doit permettre la minimisation des effets du
bruit blanc afin d’obtenir le résultat le plus robuste possible dans l’identification de lois
élastoplastiques.
Pour déterminer ce choix de champs virtuels, on va étudier la variance de l’erreur aléatoire
due au bruit blanc.
Ici, les vecteurs fj dans l’équation 3.31 sont des processus aléatoires supposés non
corrélés. Ils ont donc un vecteur espérance nul : E(fj) = 0 et une covariance sous
forme d’une matrice diagonale : Cov(fj) = γ2uD, D est la matrice identité ; γu est un
scalaire égal à la résolution de la méthode de mesure.
La variance de δJn s’écrit alors :
V (δJn) = E([δJn − E(δJn)]2) = E(δJn2)
= E
([n∑
j=1
gj · fj
]2)=
(n∑
j=1
E
(g2
j · f2j
)+ 2
n∑
j=1
n∑
k(6=j)
E(gj · gk · fj · fk)︸ ︷︷ ︸= 0
)
= γ2u
n∑
j=1
g2j
= γ2u
n∑
j=1
U∗(tn)T [K(XP , tj)][K(XP , tj)]U∗(tn)
(3.32)
Ici, le membre de droite ne dépend pas du bruit blanc mais du choix du champ virtuel,
de la géométrie et des propriétés mécaniques du matériau.
3.3.2.2 Choix des champs virtuels optimisés en élastoplasticité
La minimisation de l’erreur donnée dans l’équation 3.32 permet d’optimiser le choix des
champs virtuels, ce qui rend l’identification plus robuste. Pour cela, on cherche les champs
virtuels correspondant à la valeur minimum du terme droit de l’équation 3.32 comme suit :
Ψn =
n∑
j=1
g2j = U∗(tn)T
n∑
j=1
[K(XP , tj)][K(XP , tj)]U∗(tn) (3.33)
Méthode des Champs Virtuels 57
Cependant, en pratique, différents poids devraient être attribués à la contribution de
chaque élément fini avant de dériver l’équation 3.33. En effet, la solution du système
d’équation 3.33 minimise seulement les effets du bruit sur la variance. Mais, il y a un
autre effet du bruit qui n’est pas considéré dans cette formule : c’est le biais qui affecte
l’espérance quand le bruit est grand. Dans ce cas, E(fj) = 0 n’est plus respectée et
elle provoque un biais sur les paramètres identifiés (ceci sera détaillé dans l’annexe A).
Ainsi, il faut trouver un compromis entre minimiser la variance et réduire l’effet de biais.
Il peut être trouvé en utilisant encore l’équation 3.33 pour définir les champs virtuels,
mais avec les différents poids attribués à la contribution de chaque élément fini. L’idée
est d’introduire un coefficient de pondération pénalisant les éléments où les contraintes
équivalentes de Von-Mises sont élevées dans l’équation 3.33. En effet, ces éléments portent
de plus grandes erreurs qui influencent plus l’espérance. Par conséquent, ils contribuent
plus à l’effet de biais.
De plus, la minimisation de l’équation 3.33 minimise l’influence du bruit sur chaque élé-
ment. Elle permet également de minimiser sa contribution dans la fonction coût. Il est
clair que l’élément dont la contrainte équivalente est plus grande contribue plus dans la
fonction coût. Pour cette raison, les éléments qui atteignent très tôt l’état plastique à
cause du bruit, perturbent probablement l’identification. Ainsi, l’insertion du coefficient
de pondération précédent permet de réduire cette influence et d’obtenir aussi une fonction
coût équilibrée prenant en compte la contribution de tous les éléments ce qui rend l’iden-
tification la plus proche de la réponse mécanique globale. La pondération des éléments
finis concernés consiste à changer la matrice K de l’équation 3.33 en K• comme suit :
[K•(XP , tj)] =
I∑
i=1
σeqi (tj)[K
eli (XP , tj)] (3.34)
où σeqi (tj) est la contrainte équivalente de Von-Mises de l’élément i au moment tj .
On rappelle que l’ancienne a été définie comme suit :
[K(XP , tj)] =
I∑
i=1
[Keli (XP , tj)] (3.35)
Finalement, le champ virtuel optimisé qui minimise la variance et le biais dans la procédure
d’identification correspond à la valeur minimale de la fonction suivante :
Ψ•n =
n∑
j=1
g•2j = U∗(tn)Tn∑
j=1
[K•(XP , tj)][K•(XP , tj)]︸ ︷︷ ︸
Hn
U∗(tn) (3.36)
58 Chapitre 3
La minimisation de Ψ•n dans l’équation 3.36 est réalisée sous les contraintes suivantes :
U∗
x = 0; U∗y = 0 en bas
U∗x = 0; U∗
y = L en haut(3.37)
où L est longueur de la zone d’intérêt.
Les contraintes de l’équation 3.37 sont celles utilisées pour un essai de type traction ver-
ticale (voir figure 4.1). Pour les autres types d’essai, ces contraintes doivent être changées
de manière à permettre de calculer facilement les travaux virtuels extérieurs. En effet, le
champ recherché doit satisfaire des conditions aux limites cinématiques particulières, de
manière à impliquer la résultante des efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est
inconnue. La contrainte U∗y = L en haut implique également que le champ virtuel trouvé
est différent de zéro (solution triviale).
Alors, on cherche le champ virtuel optimal en cherchant un point correspondant à la valeur
minimale de l’expression Ψ•n donnée dans l’équation 3.37 sous les contraintes ci-dessus.
Pour traiter ce problème, on utilise la méthode des multiplicateurs de Lagrange . Cette
méthode consiste à introduire une inconnue scalaire supplémentaire appelée « multiplica-
teur de Lagrange » et notée λ . Le problème passe ainsi d’un problème d’optimisation sous
contrainte à un problème non contraint qui devient le système d’équations ci-dessous :
[[Hn] [Γ]T
[Γ] [0]
] U∗(tn)
λ
=
0
1
(3.38)
où [Γ] est la matrice qui contient les contraintes de l’équation 3.37.
La solution du système d’équations 3.38 fournit le champ virtuel qui minimise l’influence
du bruit sur la fonction coût initiale définie dans l’équation 3.29. Pour chaque étape tn,
l’équation 3.38 est mise à jour et un champ virtuel optimisé est déduit. Puis, à chaque étape
tn, ces champs virtuels optimisés sont introduits dans l’équation 3.29. Par conséquent,
l’influence du bruit de données sur la fonction coût globale est réduite au minimum.
L’identification la plus robuste est atteinte.
Il faut remarquer que résolution du système 3.38 permet de fournir les champs virtuels
optimisés pour déduire les paramètres constitutifs XP . Cependant, le problème est impli-
cite parce que l’expression de [Hn] dépend des paramètres constitutifs inconnus XP . Ce
problème est résolu par un algorithme itératif où les paramètres inconnus sont remplacés
par leurs valeurs identifiées. Un jeu de paramètres initiaux est choisi. Les tests ont montré
que cet algorithme converge après une dizaine d’itérations.
Méthode des Champs Virtuels 59
3.3.3 Implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la
procédure de minimisation de la fonction coût
Les sections précédentes nous ont permis de formuler le problème inverse sous forme
d’un problème d’optimisation unique. Celui-ci consiste à minimiser une fonction coût ou
fonction objectif implicite, non linéaire dont dépendent les paramètres du comportement
à identifier. Pour résoudre ce problème non linéaire, on a donc recours à des méthodes
d’optimisation (ceci sera détaillé dans l’annexe B). Dans la littérature, on distingue les
méthodes d’optimisation qui exigent le calcul du gradient de la fonction à minimiser et les
méthodes d’exploration directe dites « méthodes d’ordre 0 » qui n’utilisent pas le calcul
du gradient.
Les techniques du gradient sont classiques en optimisation [97, 98]. Elles comprennent
principalement les techniques dérivant des techniques de résolution d’un système d’équa-
tions non-linéaires comme les techniques de la plus grande pente, du gradient conjugué, de
Newton-Raphson, de quasi-Newton ou encore de Gauss-Newton [Gavrus et al 1995, 1996].
Elles ont un taux de convergence significativement plus élevé que les méthodes d’ordre
zéro. Pour cette raison, l’algorithme de Newton-Raphson a été utilisé dans la procédure
de minimisation de la fonction coût.
Effectivement, la fonction coût définie à l’équation 3.29 correspond à l’écart quadratique
entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur. On la reformule ainsi :
Φ(XP ) = Φ(x1, x2 . . . xp) =N∑
n=1
[−
I∑
i=1
Aeli σ
eli (tn)[Bel
i ]U∗eli (tn) +
1
bW ∗
ext(tn)
︸ ︷︷ ︸ψ(tn)
]2
(3.39)
où N est le nombre total d’étapes de mesure dans l’essai, x1, x2 . . . xp sont des paramètres
à identifier et W ∗ext(tn) est le travail virtuel des efforts extérieurs à l’étape tn dans l’essai.
Pour chaque étape tn, on utilise un champ virtuel U∗(tn) correspondant à la solution
du système d’équation 3.28.
On va minimiser la fonction coût en cherchant le point critique XP = a. En XP = a, le
gradient de Φ doit être égal à zéro : ∇Φ(a) = 0. On a donc les équations suivantes :
60 Chapitre 3
∂Φ
∂x1(a) =
N∑
n=1
[ψ(tn)]
m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂x1
[Bel
i ]σeli (tn) = 0
∂Φ
∂x2(a) =
N∑
n=1
[ψ(tn)]
m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂x2
[Bel
i ]σeli (tn) = 0
. . . . . . . . ....
...... . . . . . . . . . = 0
∂Φ
∂xn(a) =
N∑
n=1
[ψ(tn)]
m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xn
[Bel
i ]σeli (tn) = 0
(3.40)
Pour résoudre ce système d’équations 3.40 on utilise la méthode de Newton-Raphson.
On choisit une valeur initiale estimée des paramètres qu’on ne connaît pas. On remplace
alors la courbe par sa tangente et on calcule le zéro de l’approximation affine associée à
la tangente. Ce zéro de la tangente sera généralement plus proche du zéro de la fonction,
et la méthode est réitérée. Il en découle :
x∗1x∗2...
x∗p
=
x1
x2
...
xp
−
∂2Φ∂x2
1
∂2Φ∂x1∂x2
. . . ∂2Φ∂x1∂xk
∂2Φ∂x2∂x1
∂2Φ∂x2
2
. . . ∂2Φ∂x2∂xk
... . . .. . . . . .
∂2Φ∂xk∂x1
∂2Φ∂xk∂x2
. . . ∂2Φ∂x2
k
−1
︸ ︷︷ ︸matrice Hessiennede fonction Φ
∂Φ∂x1
∂Φ∂x2
...∂Φ∂xk
(3.41)
où x∗1, x∗2, . . . x
∗p sont les solutions de l’équation 3.40. Le calcul est itératif jusqu’au moment
où les valeurs de x∗1, x∗2, . . . x
∗p n’évoluent plus. Les dérivées partielles du second ordre de
la fonction coût Φ sont données par l’expression suivante :
∂2Φ
∂xk1∂xk2
(a) =N∑
n=1
[I∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xk1
[Bel
i ]U∗eli (tn)
][m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xk2
[Bel
i ]U∗eli (tn)
]
+
N∑
n=1
[ψ(tn)]∂
∂xk2
([m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xk1
[Bel
i ]U∗eli (tn)
])
︸ ︷︷ ︸(∗)
∼=
N∑
n=1
[I∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xk1
[Bel
i ]U∗eli (tn)
][m∑
i=1
Aeli
∂σel
i (tn)
∂xk2
[Bel
i ]U∗eli (tn)
]
(3.42)
avec k1, k2 = 1, 2 . . . p
Méthode des Champs Virtuels 61
En effet, le terme (*) est négligé pour la minimisation des problèmes de moindres carrés
(voir annexe B). Ceci a été également bien vérifié avec les résultats obtenus prenant en
compte ce terme (*). On constate que la matrice Hessienne de la fonction Φ est une
matrice symétrique réelle définie positive. Ainsi Φ a un minimum unique.
L’intérêt de l’implantation de la méthode de Newton-Raphson dans la procédure de mi-
nimisation de la fonction coût est double. Tout d’abord, il permet de réduire le temps de
calcul. Ensuite, il permet d’estimer les sensibilités de la fonction coût à chacun des pa-
ramètres identifiés en utilisant les dérivées partielles du second ordre fournies par l’équa-
tion 3.42.
3.3.4 Procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en
plasticité
Cette section présente la nouvelle procédure utilisée pour calculer les contraintes planes à
partir des champs de déformations mesurées et de la loi de comportement élastoplastiques
étudiée.
Soit (xi¸yi) indiquant le centre de gravité de chaque élément triangulaire. La valeur de
contrainte de chaque élément à chaque l’instant t est calculé à partir la l’équation 2.45 qui
présente une relation incrémentale de base entre contraintes et déformations totales. Un
grand nombre des mesures est réalisé tout au long des essais avec un incrément du temps
constant. Par conséquent, pour calculer la valeur de contrainte d’un élément triangulaire
à un moment donné tj+1, il faut tout d’abord calculer ses valeurs de contraintes à toutes
les étapes précédentes. La valeur de contrainte initiale à l’instant t1 est choisie égale à
zéro (chargement nul).
L’algorithme d’intégration des contraintes est basé sur un calcul incrémental tiré des tra-
vaux de Sutton et al. [87]. Il s’agit d’un calcul du module tangent avec l’hypothèse d’un
retour radial. Dans cet algorithme, la dérivée temporelle de contrainte et la dérivée tem-
porelle de déformation totale sont supposées constantes entre deux mesures consécutives.
Cette hypothèse est justifiée car l’incrément de déformation est inférieur à 5 · 10−4 entre
deux mesures consécutives.
Dès l’apparition de la plasticité, le calcul d’un nouvel état de contrainte σ(xi¸yi, tj+1)
en chaque point de mesure G(xi¸yi) à un instant donné, tj+1 dépend de l’état précédent
(σ(xi¸yi, tj), ε(xi¸yi, tj), σs(xi¸yi, tj)). Quatre cas doivent alors être distingués. Selon le
cas, l’incrément de contrainte sera calculé de manière directe ou incrémentale. Il faut
avant tout faire un calcul préliminaire pour savoir quel cas considérer. L’incrément de
déformation est supposé être entièrement élastique. Le nouvel état de contrainte s’écrit :
62 Chapitre 3
σT (xi¸yi, tj+1) = σ(xi¸yi, tj) + ∆σT (3.43)
où σT est l’état de contrainte test, ∆σT = Q∆ε est l’incrément de contrainte test, Q est
la matrice de rigidité en élasticité (voir équation 2.29). Cet état de contrainte fictif est
injecté dans l’expression du critère de plasticité 2.3. Les différents cas rencontrés sont les
suivants :
1. Cas élastique : la surface de charge n’est pas atteinte à l’instant tj+1 (voir fi-
gure 3.2(a)) :
f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0
et l’état de contrainte précédent était élastique :
f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0
L’incrément de déformation est purement élastique et le calcul des contraintes se
fait de manière directe :
σ(xi, yi, tj+1) = σT (xi, yi, tj+1)
2. Décharge élastique : la surface de charge n’est pas atteinte à l’instant tj+1 :
f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) ≤ 0
et l’état de contrainte précédent se situait sur la surface de charge :
f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) = 0
L’incrément de déformation est purement élastique et le calcul des contraintes se
fait de manière directe :
σ(xi, yi, tj+1) = σT (xi, yi, tj+1)
3. Cas plastique : l’état de contrainte fictif vérifie le critère de plasticité à l’instant tj+1 :
f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) = 0
et l’état de contrainte précédent se situait sur la surface de charge :
f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) = 0
A ce stade, deux possibilités se présentent. Soit l’incrément de contrainte se dirige
vers l’extérieur de la surface de charge (voir figure 3.2(b)), soit il repasse à l’intérieur
Méthode des Champs Virtuels 63
de la surface de charge pour ressortir à un autre endroit (voir figure 3.2(c)). Dans ce
dernier cas, il est nécessaire de déterminer pour quel état de contrainte σc le contact
avec la surface de charge a lieu. Pour déterminer le sens de l’incrément de contrainte,
le signe de l’expression suivante est calculé :
∂f
∂σT (xi, yi, tj+1): dσT (xi, yi, tj+1) (3.44)
a) Si le signe est positif, c’est que l’incrément de contrainte se dirige vers l’extérieur
de la surface de charge (voir figure 3.2(b)), le calcul de l’incrément de contrainte
plastique se fait à partir de l’expression 2.45. Chaque estimation successive de l’état
de contrainte final σN = σ(xi, yi, tj+1) et de la matrice tangente [M ] est calculée à
partir de l’état de contrainte précédent. Pour chaque itération, la surface de charge
est réévaluée et la répartition des déformations élastiques et plastiques est réalisée.
Si la valeur de σN est exacte, elle doit coïncider avec la surface de charge, c’est-à-
dire que f(σN , σs) = 0. Cependant, dans la plupart des cas, un écart subsiste. Pour
corriger cet écart, une méthode inspirée du retour radial est utilisée. Elle consiste
à réajuster l’état de contrainte estimé σN de manière proportionnelle. Pour cela,
un paramètre β tel que σ(t + ∆t) = βσN est calculé afin de vérifier l’équation
f(βσN , σs) = 0.
b) Si le signe de l’expression 3.44 est négatif, l’incrément de contrainte se dirige vers
l’intérieur de la surface de charge, donc une partie de l’incrément de déformation se
réduit à une décharge élastique (voir figure 3.2(c)). En supposant que cette décharge
élastique est proportionnelle à l’incrément de contrainte test ∆σT , la détermination
du point de contact σc = σ(xi, yi, tj) + r∆σT avec la surface de charge peut être
effectuée en trouvant le nombre r vérifiant cette équation :
f(σ(xi, yi, tj) + r∆σT , σs(xi, yi, tj)) = 0 (3.45)
Le nouvel état de contrainte σc est alors considéré comme l’état de contrainte initial
pour le reste de la procédure et le reste de l’incrément de déformation ∆εb = (1 − r) ∆ε
est traité comme précédemment (cas 3a).
4. Charge élastique puis plasticité : l’état de contrainte fictif vérifie le critère de plasti-
cité à l’instant tj+1 (voir figure 3.2(d)) :
f(σT (xi, yi, tj+1), σs(xi, yi, tj)) = 0
et l’état de contrainte précédent se situait à l’intérieur de la surface de charge :
f(σ(xi, yi, tj), σs(xi, yi, tj)) < 0
64 Chapitre 3
Dans ce cas, une partie de l’incrément de déformation est purement élastique tandis
que le reste est composé à la fois d’une partie élastique et d’une partie plastique.
Ce cas est très proche du précédent (cas 3(b)) car il est également nécessaire de
déterminer le point de contact σc avec la surface de charge. Si l’on suppose également
que la charge élastique est proportionnelle à l’incrément de contrainte test ∆σT , la
détermination du point de contact σc = σ(xi, yi, tj)+r∆σT avec la surface de charge
est réalisée en trouvant le nombre r vérifiant l’équation 3.45. Ensuite, le reste de
l’incrément de déformation ∆εb = (1− r)∆ε est traité avec le processus incrémental
décrit précédemment (cas 3(a)).
domaine élastique
surface de charge initiale
T=Q
(G,tj )( G,tj+1 )= T
O
(a) Cas élastique
(G,tj )
( G,tj+1 )
O
(c) Décharge élastique puis plasticité
domaine élastique surface de charge initiale
surface de charge finale
T(G,tj+1)
(G,tj )= c
( G,tj+1 )
O
(b) Plastique pur
domaine élastique surface de charge initiale
surface de charge finale
T(G,tj+1)
c
(G,tj )
( G,tj+1 )
O
(d) Charge élastique puis plasticité
domaine élastiquesurface de charge initiale
surface de charge finaleT(G,tj+1)
c
Figure 3.2: Schéma de l’évolution de la surface de charge.
Méthode des Champs Virtuels 65
3.3.5 Extension aux lois de comportements élastoplastiques avec
écrouissage cinématique et chargements non monotones
L’écrouissage isotrope avec chargement monotone a été étudié dans la thèse de Yannick
Pannier [24] où l’acier doux a été utilisé comme matériau expérimental. Comme l’objectif
de ce travail est d’étendre le domaine d’application de la MCV en élastoplasticité, il est
nécessaire d’incorporer modèles d’écrouissages cinématiques dans la procédure d’identi-
fication. Pour cela, l’étude d’essais uniaxiaux de traction-compression est nécessaire afin
d’activer l’effet Bauschinger (voir chapitre 5). De tels modèles d’écrouissage cinématique
ont été présentés au chapitre 2. Ces modèles peuvent être combinés avec les modèles
d’écrouissage isotrope utilisés dans les travaux de Pannier et Avril [22, 24]. Il s’agit de
superposer à l’écrouissage cinématique un écrouissage isotrope et vice-versa. Alors, le
domaine d’élasticité se modifie par translation et aussi par dilatation. L’objectif est d’ex-
ploiter les avantages de chacun des deux modèles pour représenter plus fidèlement les
réponses observées expérimentalement.
3.3.6 Conclusion sur la MCV en élastoplasticité
Dans ce chapitre, la MCV en élastoplasticité a été présentée. Elle est le fruit d’un travail
de recherche de plusieurs années [22, 24, 35]. Dans l’objectif de rendre la méthode la plus
robuste et d’étendre la méthode aux modèles plus complexes, cette étude a apporté donc
les développements suivants :
– procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une matrice tangente
au lieu du multiplicateur plastique ;
– procédure de sélection des champs virtuels optimisés au lieu de choix a priori ;
– procédure de minimisation de fonction coût en utilisant l’algorithme de Newton-Raphson
au lieu du simplex de Nelder-Mead ;
– extension aux lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique en
considérant des chargements non monotones et combinaison d’écrouisage cinématique
et isotrope au lieu de seulement écrouissage isotrope avec chargement monotone.
Les nouveaux développements permettent d’utiliser désormais une nouvelle procédure
d’identification en élastoplasticité pour la MCV (voir figure 3.3). Cette procédure doit dé-
sormais être validée numériquement puis expérimentalement (voir les chapitres suivants).
66 Chapitre 3
Loi de comportement
avec paramètres
a priori
- Entrée des cordonnées des éléments
finis ;
- Type d’essai et mode de chargement.
Calcul des contraintes moyennes au
centre de gravité des éléments à
travers une matrice tangente.
Oui
Choix des champs
virtuels optimisés.
Non
Paramètres
finaux
Réajustement des paramètres
- Calcul et minimisation de la
fonction coût par l’algorithme de
Newton-Rhapson.
- Test de convergence
Effort
- Entrée des déplacements plans mesurés ;
- Maillage des éléments finis selon la forme de l’éprouvette ;
- Reconstruction des champs cinématiques par approche
éléments finis ;
- Calcul des gradients de déplacement aux centres de gravité
des éléments.
Essai
Figure 3.3: Diagramme de la nouvelle procédure d’identification.
Chapitre 4
Validation numérique des nouveaux
développements apportés à la MCV en
plasticité
4.1 Présentation de l’essai modélisé
Dans le but de valider des nouveaux développements théoriques concernant la procédure
d’intégration pour le calcul de contraintes, le choix de champs virtuels optimisés, le nouvel
algorithme de Newton-Raphson dans la procédure de minimisation de la fonction coût ou
encore l’extension de la MCV à l’écrouissage cinématique, un essai produisant un état de
contrainte hétérogène a été imaginé. Cet essai doit permettre d’observer progressivement
la propagation de la plasticité afin de faire intervenir tous les paramètres de la loi de
comportement dans la réponse mécanique.
Plusieurs géométries basées sur des essais de traction ont déjà été étudiés dans la littéra-
ture [34, 38, 99]. La géométrie choisie dans notre étude est celle d’une éprouvette plane
de traction bi-entaillée [24], dont les entailles circulaires sont placées symétriquement par
rapport à l’axe de traction afin de maximiser l’étendue de la plasticité. La figure 4.1
présente les dimensions de cette éprouvette.
Le travail d’Avril et al. [22] a montré qu’un modèle d’écrouissage isotrope linéaire était
identifié expérimentalement avec succès grâce à l’utilisation de cette éprouvette. La recons-
truction des champs de contraintes a confirmé clairement un état de contrainte hétérogène.
67
68 Chapitre 4
Figure 4.1: Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 2 mm d’épaisseur.
Les dimensions sont en mm.
Pour cette raison, elle a été retenue pour cette étude. Toutefois, cette éprouvette doit être
également validée pour le nouveau cas d’étude : l’écrouissage cinématique avec chargement
non monotone.
4.2 Simulation de l’essai
Dans le cadre d’une étude de faisabilité, la simulation préalable de l’essai facilite sa mise
au point. Pour cette raison, une simulation par éléments finis de l’essai a été réalisée
à l’aide de logiciel ANSYS afin de simuler des champs de déplacement expérimentaux.
Plusieurs lois de comportement ont été testées dans ce travail : le modèle élastoplastique
isotrope avec écrouissage isotrope linéaire ou avec écrouissage exponentiel de Voce, le
modèle d’écrouissage cinématique non linéaire ou encore la combinaison des deux modèles
d’écrouissage isotrope et cinématique (voir chapitre 2). Ici, seul le modèle d’écrouissage
isotrope linéaire (voir équation 2.8) combiné avec écrouissage cinématique linéaire (voir
équation 2.12) est présenté en détail :
σs(p) = σ0 +H · p
X(εp) = C · εp(4.1)
Les paramètres élastiques utilisés sont : E = 210 GPa ; ν = 0, 3. Les paramètres plastiques
utilisés sont : σ0 = 183, 2 MPa ; H = 2, 46 GPa ; C = 1 GPa. Les éléments finis utilisés
Validation numérique de la MCV 69
sont du type PLANE182 dans le logiciel ANSYS. Il s’agit d’éléments plans à quatre nœuds
ayant deux degrés de liberté par nœud et des fonctions de forme linéaires. Ils sont utilisés
ici en contrainte plane et plasticité incompressible. La figure 4.2 présente le maillage du
modèle éléments finis. L’éprouvette est maillée entièrement entre les mors, mais seule la
zone entre les entailles dont l’état de contrainte est hétérogène est utilisée pour l’identifi-
cation. La taille des éléments varie donc de manière à obtenir un grand nombre d’éléments
dans la zone d’étude afin de faciliter le post traitement des données. Comme indiqué sur la
figure 4.2, les nœuds du bord en bas sont encastrés tandis que les nœuds du bord en haut
sont bloqués horizontalement. Le schéma de chargement est présenté sur la figure 4.3. Un
déplacement vertical total de 0,25 mm est imposé aux nœuds du bord en haut par pas
de 0,005 mm pour la première phase de chargement (traction monotone, OA). Ensuite, le
déchargement (deuxième phase, AB) et la compression (troisième phase, BC) sont réalisés
en imposant un même déplacement vertical total de 0,25 mm par le même pas de 0,005
mm mais dans le sens opposé. Enfin, le déchargement (quatrième phase, CD) est réalisé à
nouveau grâce à un déplacement imposé avec le même pas de 0,005 mm en sens opposé au
sens de la compression. Le déchargement total a été atteint avec un déplacement imposé
total de 0,035 mm correspondant à 7 étapes de mesure. Le nombre total des étapes de
mesure simulées au cours de l’essai est de 107. La résultante appliquée à chaque étape est
calculée en sommant les efforts sur les nœuds du bord en haut. Tout d’abord, les valeurs
des déplacements dans la zone d’étude ainsi que la résultante verticale des efforts sont
exportées à chaque étape (pas) dans un fichier de format *.txt. Ensuite, elles sont conver-
ties au format *.mat pour pouvoir être traitées lors des étapes suivantes de la procédure
d’identification. Finalement, la zone d’étude utilisée pour l’identification comporte 7200
éléments (voir figure 4.2). On souhaite la considérer comme similaire à une zone d’étude
de l’éprouvette réelle munie d’une grille de pas 0,1 mm (ou 0,2mm), en termes de densité
des points de mesure. Pour cela, les valeurs aux nœuds sont ensuite projetées par approxi-
mation linéaire sur une grille régulière de pas 0,1 mm à l’aide de la fonction « griddata »
du logiciel Matlab. On va donc étudier les deux cas de pas de grille : 0,2 et 0,1 mm. Dans
le but de simuler des données expérimentales, on ajoute également un bruit blanc aux
données simulées à l’aide de la fonction « randn » du logiciel Matlab.
4.3 Validation de la nouvelle approche de calcul des
contraintes
Les champs de contraintes planes calculées à partir de la formule directe entre incrément de
contrainte et incrément de déformation totale en élastoplasticité, donnée à l’équation 2.45,
70 Chapitre 4
Figure 4.2: Modèle éléments finis de l’essai de traction sur éprouvette bi-entaillée (éléments
PLANE182). La zone d’étude utilisée pour l’identification comporte 7200 éléments.
Validation numérique de la MCV 71
Force
TempsO
A
B
C
D
Figure 4.3: Schéma de chargement.
sont comparés avec ceux obtenus par éléments finis directement. On obtient un très bon
accord entre les deux (voir figure 4.4) ce qui valide la nouvelle méthode de calcul des
contraintes. Les écarts observés sont inférieurs à 0,1 % en valeurs relatives
4.4 Vérification de la faisabilité de la géométrie de l’éprou-
vette pour l’identification des paramètres d’écrouis-
sage cinématique combiné à l’écrouissage isotrope
Le schéma de chargement total est présenté sur la figure 4.3. On va étudier les 4 cas de
chargement pour l’identification comme suit :
– Chargement 1 : Seule la phase de traction est utilisée (OA).
– Chargement 2 : Traction-décharge (OAB).
– Chargement 3 : Traction-décharge-compression (OABC).
– Chargement 4 : Traction-décharge-compression-décharge (OABCD).
Les résultats identifiés en fonction du cas de chargement sont reportés sur le tableau 4.1.
Ils montrent que le paramètre de la limite d’élasticité initiale σ0 est bien identifié pour les
4 cas. C’est normal car ce paramètre pilote l’apparition de la plasticité. Il est donc activé
pour les 4 cas de chargement. Au contraire, les paramètres H et C sont mal identifiés
pour les deux premiers cas. Ce n’est pas une surprise parce que ces paramètres pilotent
le développement de la plasticité et l’écrouissage. La simple traction ou traction-décharge
ne permet pas de séparer la contribution de l’écrouissage cinématique et de l’écrouissage
isotrope. Les chargements 3 et 4 présentent une traction-décharge suivie d’une compres-
sion ce qui permet d’activer l’effet Bauschinger. Cela permet de séparer la contribution
72 Chapitre 4
σxx
Ansys à F = 8,6 kN
35
68
102
σxx
calculée à F = 8,6 kN
35
68
102
δσxx
à F = 8,6 kN
−0.63
−0.06
0.51
σyy
Ansys à F = 8,6 kN
132
196
260
σyy
calculée à F = 8,6 kN
132
196
260
δσyy
à F = 8,6 kN
−0.57
−0.006
0.56
σxy
Ansys à F = 8,6 kN
−37
24
85
σxy
calculée à F = 8,6 kN
−37
24
85
δσxy
à F = 8,6 kN
−0.18
−0.07
0.31
σxx
Ansys à F = −9,5 kN
−79
−44
−10
σxx
calculée à F = −9,5 kN
−79
−44
−10
δσxx
à F = −9,5 kN
−0.005
−0.35
0.91
σyy
Ansys à F = −9,5 kN
−241
−163
−85
σyy
calculée à F = −9,5 kN
−240
−162
−84
δσyy
à F = −9,5 kN
0.13
0.9
2
σxy
Ansys à F = −9,5 kN
−41
27
95
σxy
calculée à F = −9,5 kN
−41
27
95
δσxy
à F = −9,5 kN
−0.2
−0.16
0.41
Figure 4.4: Comparaison entre les contraintes calculées par la nouvelle approche de calcul
des contraintes à partir des déformations directement issues du calcul par Ansys avec les
contraintes directement issues d’Ansys.
Validation numérique de la MCV 73
de l’écrouissage cinématique. Pour cette raison, les deux paramètres H et C ont été bien
identifiés pour ces deux cas. L’observation de la fonction coût autour des valeurs de ré-
férence pour ces deux paramètres confirme clairement que la fonction coût donnée par le
chargement 3 tend vers un minimum unique (voir figure 4.5(b)), tandis que la fonction
coût donnée par le chargement 1 présente une grande vallée avec plusieurs minimas (voir
figure 4.5(a)).
Réf Chargement 1 Chargement 2 Chargement 3 Chargement 4
ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3
E(GPa) 210 209,8 209,8 209,8 209,8
σ0(MPa) 183,2 183,6 183,6 183,5 183,4
H(GPa) 2,46 3,02 2,07 2,47 2,47
C(GPa) 1 0,61 4,24 0,99 0,993
Tableau 4.1: Paramètres identifiés pour les différents cas de chargement.
4.5 Validation de l’algorithme de Newton-Raphson pour
minimiser la fonction coût
Pour valider cet algorithme, la fonction coût va être minimisée à l’aide à la fois de l’algo-
rithme de Newton-Raphson et à l’aide de la fonction fminsearch du logiciel Matlab afin
de trouver les paramètres à identifier. L’algorithme utilisé dans la fonction fminsearch
est celui de recherche directe basé sur la méthode du simplex de Nelder-Mead [95]. Cet
algorithme n’utilise ni gradients numériques ni gradients analytiques. Ensuite, on com-
pare les résultats obtenus avec les deux algorithmes. Le tableau 4.2 présente les points
de départ utilisés pour l’identification en utilisant les données simulées dans le modèle
élastoplastique avec écrouissage isotrope linéaire combiné avec écrouissage cinématique
linéaire. L’espacement utilisé entre deux nœuds du maillage éléments finis est de 0,5 mm.
Réf Jeu 1 Jeu 2 Jeu 3 Jeu 4 Jeu 5 Jeu 6 Jeu 7 Jeu 8
σ0 (MPa) 183,2 100 500 500 600 15 15 15 1000
H(GPa) 2,46 4 0,005 10 0,005 0,01 0,01 10 0,001
C(GPa) 1 3 3 0,005 5 10 2 2 20
Tableau 4.2: Étude de convergence de l’identification en fonction des points de départ.
Les résultats identifiés sont : σ0 = 183, 3 MPa ; H = 2, 47 GPa ; H = 0, 993 GPa. On a
constaté que les résultats obtenus par l’algorithme de Newton-Raphson coïncident exacte-
74 Chapitre 4
0,5
1
1,5
1.52
2.53
0
2
4
6
8
x 108
C (GPa)
(a)
H (GPa)
Val
eur
de fo
nctio
n co
ût
0,5
1
1,5
1.52
2.53
0
1
2
3
4
x 109
C (GPa)
(b)
H (GPa)
Val
eur
de fo
nctio
n co
ût
C (GPa)
H (
GP
a)
(a)
0,5 1 1,5 0,5 1 1,5 0,51,5
2
2,5
3
1,5
2
2,5
3
1,5
2
C (GPa)
H (
GP
a)
(b)
0,5 1 1,5 0,5 1 1,5 0,51,5
2
2,5
3
1,5
2
2,5
3
1,5
2
Figure 4.5: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de référence avec
les chargements 1 et 3.
Validation numérique de la MCV 75
ment avec ceux de fminsearch pour l’utilisation des jeux 1, 2, 3. L’algorithme de Newton-
Raphson seul a ensuite été testé avec les jeux 4 à 8. Le même résultat, correspondant
encore au minimum global précédent, a systématiquement été obtenu (moins de 0,05 %
de différence), sauf pour le cas 8 vraiment très éloigné de la solution. Cette étude valide
donc l’algorithme de Newton-Raphson pour cette application. De plus, la minimisation
de la fonction coût converge rapidement en utilisant l’algorithme de Newton-Raphson.
Seulement 6 itérations au lieu de 60 pour fminsearch. Cette nouvelle approche permet
donc de réduire considérablement le temps de calcul dans la procédure d’identification.
4.6 Validation du choix des champs virtuels optimaux
en plasticité
4.6.1 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les
données numériques sans bruit
La procédure d’identification a d’abord été testée avec les déplacements sans bruit en
utilisant les champs virtuels optimisés (CVOP1) ou les champs virtuels choisis a priori
(voir tableau 4.3). Pour cela, on évalue les déplacements nodaux à partir des données
simulées par régression au sens des moindres carrés [35] en utilisant les fonctions de forme
de l’équation 3.11. Une fois les déplacements nodaux obtenus, on peut calculer les gradients
de déplacement aux centres de gravité des éléments. Cette procédure d’identification est
appliquée en utilisant le logiciel CAMFIT comme présenté à l’annexe C.
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
Ux Eq 3.38 0 0 x1/27 | sin(y(y − L)) | x1/27y1/27 | sin(y(y − L)) |
Uy Eq 3.38 y 1 − ey/L sin
(yπ
2L
)y1/2
Tableau 4.3: Les différents champs virtuels ont été testés pour l’identification (axes x et
y présentés dans la figure 4.1 .
Les paramètres élastiques identifiés en utilisant les champs virtuels optimisés présentés
dans l’article d’Avril et al. [22], sont reportés sur le tableau 4.4. Ils seront considérés comme
connus pour l’identification des paramètres plastiques. Quant aux paramètres plastiques,
ils sont présentés sur la figure 4.6. On voit que les champs virtuels CVC2 et CVC3 ont la
même tendance, plus le maillage est grossier plus les résultats se dégradent. Par contre,
76 Chapitre 4
CVOP1 donne des résultats cohérents et stables avec les résultats de référence selon la
taille du maillage.
Taille du maillage (mm)
Réf 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7
ν 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,3 0,293 0,29
E(GPa) 210 209,8 209,7 209,4 209 209 208,2 208,4
Tableau 4.4: Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du
maillage.
4.6.2 Validation du choix des champs virtuels optimaux avec les
données numériques bruitées
L’écart-type du bruit est noté γu, appelé résolution de la technique de mesure [100]. En
réalité, le bruit γu est de 100 à 1000 fois plus petit que le pas de la grille (P). Si on utilise
un pas de grille de 0,2 à 0,1 mm, le bruit varie donc dans l’intervalle de 0,1 à 1 µm. C’est
pourquoi, les trois cas de bruit suivants ont été étudiés dans cette étude : 0,2 ; 0,5 et 1
µm.
4.6.2.1 Pas de grille simulée de 0,2 mm
L’identification a été réalisée avec 30 tirages successifs de bruits blancs d’écart type 0,2 µm
(P/1000) en fonction de la taille du maillage. On constate que les écarts des paramètres
plastiques identifiés sont très grands pour les tailles de maillage petites : de 0,5 à 0,9 mm
(voir tableau 4.5). Avec ces tailles, les écarts commis peuvent atteindre 100 %, surtout
pour le paramètre C. Ceci n’est pas une surprise car l’effet de lissage dépend de la taille
du maillage. En effet, l’écart-type des déplacements reconstruits est proportionnel à γu/I.
alors que l’écart-type des déformations reconstruites est proportionnel à γu/(I2pu) [20].
Ici, pu est la distance séparant deux points de mesures voisins et I le nombre moyen de
pixels séparant deux nœuds voisins du maillage considéré.
L’effet de lissage est donc particulièrement important pour les déformations puisque la
résolution peut être améliorée simplement en réduisant le pouvoir de résolution spatiale.
Pour cette raison, avec les tailles de maillage de 1,1 à 1,3 ; on obtient les résultats cohérents
avec ceux de référence (voir tableau 4.6 et 4.7). Ce tableau montre également que le résultat
obtenu par les champs virtuels optimisés CVOP1 est le meilleur en fonction à la fois
du coefficient de variation et du coefficient d’écart par rapport à la valeur de référence.
Validation numérique de la MCV 77
Ecart de 0 en fonction de la taille du maillage
0,0
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de H en fonction de la taille du maillage
0,0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de C en fonction de la taille du maillage
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Figure 4.6: Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage (sans bruit).
78 Chapitre 4
Toutefois, l’écart commis pour le paramètre identifié H est de 8 % ce qui est grand
compte tenu du bruit d’écart-type 0,2 µm. Ce bruit est très petit, seulement de l’ordre de
1/1000 du pas de la grille. Cela signifie qu’il n’est pas possible d’identifier correctement
les paramètres du comportement en utilisant une grille de pas 0,2 µm. L’utilisation d’une
grille de pas plus petit que 0,2 mm est donc nécessaire car le bruit expérimental peut être
plus grand que 0,2 µm.
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,33 0,28 0,42 16,2 17,4 12,4 16,4 15,8 19,5 20,1
H(GPa) 5,66 6,23 6,1 21,5 35,2 30,5 31,1 32 53,1 49,6
C(GPa) 6,84 7,76 8,2 20,3 28,5 456,8 590 595 667,3 653
Tableau 4.5: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 0,5 mm (pas de grille 0,2 mm).
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,21 0,23 0,28 0,63 0,49 0,9 1,69 1,5 0,63 1,02
H(GPa) 1,54 2,18 2,05 4,01 3,27 8,5 10,4 9,14 8,95 8,4
C(GPa) 4,75 6,82 7,16 7,08 6,9 13,4 19,6 10,2 23,3 25,12
Tableau 4.6: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 1,1 mm (pas de grille 0,2 mm).
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,18 0,20 0,23 0,38 0,36 1,02 1,74 2 0,99 0,65
H(GPa) 1,25 1,62 1,69 2,21 2,38 7,8 10,6 10,2 8,5 9,5
C(GPa) 4,90 6,04 7,44 6,01 6,45 1,01 2,3 3,8 14,6 12,5
Tableau 4.7: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 0,2 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,2 mm).
4.6.2.2 Pas de grille simulée de 0,1 mm
L’identification a continué à être réalisée avec 30 tirages successifs de bruits d’écart-type
0,5 et 1 µm, en fonction de la taille du maillage.
1. Bruits blancs d’écart type 0,5 µm
Comme pour le cas de pas de grille 0,2 mm précédent, les écarts des paramètres
plastiques identifiés sont très grands pour les faibles tailles de maillage, par exemple,
Validation numérique de la MCV 79
0,7 mm (voir tableau 4.8). Avec ces tailles, les écarts commis peuvent atteindre de
100 %, surtout pour le paramètre C. Si on compare seulement les écarts des résultats
obtenus entre les différents champs virtuels, on constate clairement que le choix
des champs virtuels optimisés permet d’améliorer considérablement les résultats
identifiés.
Toutefois, comme expliqué précédemment, l’effet du lissage joue également un rôle
important pour l’identification. Pour cette raison, l’augmentation de la taille du
maillage (de 1,1 à 1,7 mm) améliore beaucoup les résultats identifiés. Par exemple,
la taille du maillage 1,3 mm a permis de réduire les écarts jusqu’à quelques pourcents
(voir tableau 4.9). La comparaison des résultats obtenus en fonction de la taille du
maillage est présentée sur la figure 4.7. Elle montre globalement que les résultats
obtenus avec CVOP1 sont stables et proches des valeurs de référence au niveau à
la fois des coefficients de variation et des écarts (biais) pour les trois paramètres du
comportement.
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,36 0,31 0,36 1,38 2,09 4,52 7,47 7,60 6,28 6,66
H(GPa) 4,59 5,94 6,64 18,18 33,75 5,26 26,45 25,99 28,37 30,55
C(GPa) 13,67 11,23 11,87 14,64 24,25 122,51 178,20 175,97 214,22 219,07
Tableau 4.8: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 0,7 mm (pas de grille 0,1 mm).
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,36 0,23 0,25 0,56 1,03 0,88 1,61 1,64 0,99 0,45
H(GPa) 1,93 1,76 2 3,63 7,46 3,6 7,32 6,97 5,67 4,6
C(GPa) 6,53 10,05 10,43 10,2 14,3 2,83 2,72 2,43 9,64 12,7
Tableau 4.9: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruits d’écart-type 0,5 µm et taille de maillage 1,3 mm (pas de grille 0,1 mm).
2. Bruits blancs d’écart type 1 µm
Il s’agit d’un bruit d’écart-type environ 1/100 le pas de la grille considérée. Lorsque
la taille du maillage petite (de 0,5 à 1,1 mm), l’effet du lissage est faible. Les résul-
tats obtenus par les champs virtuels varient dans un intervalle très large, peuvent
atteindre un écart de quelques centaines de %, surtout le paramètre C. Quand la
taille du maillage augmente (de 1,3 à 1,7), l’effet du lissage améliore les résultats
identifiés (voir tableau 4.10 et 4.11). Mais, on voit bien que le résultat obtenu par
80 Chapitre 4
Coefficient de variation de 0 en fonction de la taille du
maillage
0,0
1,0
2,0
3,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de 0 en fonction de la taille du maillage
0,0
1,0
2,0
3,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Coefficient de variation de H en fonction de la taille du
maillage
0,0
3,0
6,0
9,0
12,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de H en fonction de la taille du maillage
0,0
3,0
6,0
9,0
12,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Coefficient de variation de C en fonction de la taille du
maillage
0,0
6,0
12,0
18,0
24,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de C en fonction de la taille du maillage
0,0
6,0
12,0
18,0
24,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Figure 4.7: Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruits d’écart-type 0,5 µm.
Validation numérique de la MCV 81
le CVOP1 est meilleur que les autres. On trouve que les erreurs obtenues par les
champs virtuels CVC2, CVC3, CVC4 et CVC5 sont très grandes, surtout les er-
reurs sur H et C (voir figure 4.8). Ainsi, quand l’écart type est grand, l’amélioration
apportée par le CVOP1 est nettement mise en évidence.
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,55 0,47 0,55 1,02 1,94 0,09 3,95 4,1 3,2 3,2
H(GPa) 4 6,87 7,76 11,2 23,8 1,56 19,3 19,2 18,4 19,7
C(GPa) 14,4 17,3 18,3 18,7 29,5 38,3 63,4 64,1 79,6 88,5
Tableau 4.10: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,3 mm.
Coefficient de variation (%) Écart (%)
CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5 CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
σ0 (MPa) 0,50 0,30 0,38 0,88 1,51 1,12 2,68 2,97 2,24 2,93
H(GPa) 2,55 2,93 3,61 6,34 12,63 4,04 11,69 12,10 11,98 12,67
C(GPa) 13,29 14,49 15,25 13,24 20,11 1,29 11,37 9,65 20,74 11,98
Tableau 4.11: Comparaison des résultats obtenus entre les différents champs virtuels avec
bruit d’écart-type 1 µm et taille de maillage 1,7 mm.
4.7 Conclusions du chapitre
Ce chapitre nous a permis tout d’abord de valider numériquement les nouveaux dévelop-
pements présentés au chapitre 3. Il a été montré que le choix des champs virtuels optimaux
et l’utilisation de l’algorithme de Newton-Raphson rendent la MCV plus robuste et effi-
cace. Quant à l’extension de la MCV en élastoplasticité à l’écrouissage cinématique, les
résultats numériques montrent la nécessité de l’utilisation d’un chargement non monotone
pour que les paramètres d’écrouissage cinématique soient bien identifiés.
Ensuite, les simulations numériques ont fourni une taille optimale de maillage pour lisser
les déplacements ainsi que pour la procédure d’identification des paramètres. Cette taille
est de 1,1 à 1,5 mm (11 à 15 pixels). Le choix dans cet intervalle sera affiné au chapitre
suivants.
Enfin, ici, la taille du champ à mesurer est de quelques centimètres carrés. Avec cette taille,
la nécessité de l’utilisation d’une grille de pas de 0,1 mm s’impose pour diminuer l’influence
du bruit blanc dans l’identification des paramètres du comportement du matériau par la
MCV.
82 Chapitre 4
Coefficient de variation de 0 en fonction de la taille du
maillage
0,0
1,0
2,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de 0 en fonction de la taille du maillage
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Coefficient de variation de H en fonction de la taille du
maillage
0,0
10,0
20,0
30,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de H en fonction de la taille du maillage
0,0
10,0
20,0
30,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Coefficient de variation de C en fonction de la taille du
maillage
0,0
10,0
20,0
30,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Ecart de C en fonction de la taille du maillage
0,0
50,0
100,0
150,0
1,1 1,3 1,5 1,7
Taille du maillage (mm)
(%
)
CVOP1
CVC2
CVC3
CVC4
CVC5
Figure 4.8: Comparaison des paramètres plastiques identifiés par les différents champs
virtuels en fonction de la taille du maillage avec bruit d’écart-type 1 µm.
Chapitre 5
Validation expérimentale de la MCV
appliquée à l’identification de lois de
comportement élastoplastiques
Introduction
Ce chapitre est consacré à la mise en œuvre expérimentale de la nouvelle procédure d’iden-
tification par la MCV décrite dans le chapitre 3 et validée numériquement dans le cha-
pitre 4. La technique retenue pour la mesure de champs de déformation est la méthode
de la grille.
La mise en œuvre du dispositif expérimental ainsi que le principe de la méthode de la grille
utilisée dans notre étude seront présentés. Une fois les mesures cinématiques obtenues, on
peut utiliser la MCV pour identifier des paramètres du comportement élastoplastique du
matériau.
Au préalable, les caractéristiques du matériau testé sont déterminées à l’aide de méthodes
classiques et considérées comme valeurs de référence.
83
84 Chapitre 5
5.1 Présentation du matériau testé pour la validation
expérimentale
L’écrouissage isotrope avec chargement monotone a été étudié dans la thèse de Yannick
Pannier [24] où l’acier doux a été utilisé comme matériau expérimental. Comme l’objectif
de ce travail est d’étendre le domaine d’application de la MCV en élastoplasticité, un autre
matériau a été utilisé pour présenter un effet d’écrouissage cinématique lors des essais de
traction-compression uniaxiaux.
Le matériau choisi est l’acier inoxydable 316L. Il a été utilisé comme un matériau standard
pour des études d’écrouissage cinématique avec chargements cycliques [4]. Plus récemment,
ce matériau a été utilisé dans l’étude de l’effet Bauchinger par Choteau [25] en réalisant
une traction uni-axiale suivie d’une compression uni-axiale. Les éprouvettes étaient de
type cylindrique à têtes lisses, avec une partie utile de diamètre 12 mm et de longueur
15 mm permettant l’utilisation d’un extensomètre à lames et de jauges de déformation de
base de mesure de 12,5 mm. Les paramètres des modèles ont été identifiés à partir des
courbes expérimentales fournies par les jauges de déformation.
5.1.1 Tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L)
Les aciers inoxydables sont classés en 4 grandes familles en fonction de leur composition et
de leur structure cristallographique. On distingue les aciers ferritiques, les aciers marten-
sitiques, les aciers austéno-ferritiques et les aciers austénitiques. Le matériau utilisé dans
ce travail est une tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2. Le tableau 5.1
résume les principaux composants chimiques de la tôle.
Elément C Cr Mo Ni Autres
Composition (%) < 0, 03 16,5-18,5 2,0-2,5 10-13,0 Ti, N, Cu
Tableau 5.1: Composition chimique (hormis le fer) de la tôle 316L.
La tôle est laminée à froid puis elle subit un traitement thermique. En fait, après le
laminage, la tôle subit une hypertrempe qui consiste à la maintenir à une température
comprise entre 1020 − 1100C, puis à la refroidir subitement à l’eau et à l’air pulsé. Le
maintien à haute température est destiné à mettre tous les éléments d’alliage en solution
solide dans la matrice austéno-ferritique, de manière à éviter les phases intermétalliques
et les précipités.
Validation expérimentale de la MCV 85
(a) (b)
(c)
y
x
z
40 m
40 m 40 m
x
z
y
Figure 5.1: Microstructure d’un échantillon de tôle. La photo (a) ne montre pas d’orien-
tation privilégiée des grains dans le plan de la tôle, tandis que dans l’épaisseur (b) et (c),
les grains sont légèrement écrasés en raison du procédé de laminage. (x est la direction de
laminage ; y est la direction perpendiculaire à la direction de laminage ; z est l’épaisseur
de la tôle).
86 Chapitre 5
5.1.2 Caractérisation de la réponse mécanique en traction et com-
pression uni-axiale par essai normalisé
Les essais classiques de caractérisation du comportement élastoplastique de tôles minces
se font essentiellement en traction ou en traction-compression simples, à température
ambiante constante. L’éprouvette est soumise à une sollicitation axiale qui engendre un
état de contrainte uniforme dans toute la surface utile située loin des mors (selon normes
française AFNOR NF EN 10002-1 à 10002-5, américaine ASTM E8M-96, ou internationale
ISO 6892). Cet essai permet de déterminer les paramètres élastiques et les paramètres
d’écrouissage. Il faut pour cela mesurer les déformations axiale et transverse. La mesure des
déformations est faite par une technique de mesure extensométrique. Elle permet, à partir
d’un capteur appelé « jauge de déformation » de déterminer les valeurs d’allongement
relatif en surface d’une structure.
Dans cette étude, les jauges de déformation sont collées au centre de l’éprouvette. Lorsque
l’éprouvette est soumise au chargement, sa déformation est transmise à travers la colle et
le support à la jauge. Un changement proportionnel de la résistance en résulte. La difficulté
rencontrée dans cette mesure est l’éventuelle présence d’un moment de flexion parasite
due au mauvais alignement de l’éprouvette. De ce fait, les deux côtés de l’éprouvette ne
subissent pas le même allongement. Pour éviter cette influence, il convient alors de faire
la moyenne des différents allongements mesurés sur les deux faces de l’éprouvette.
La figure 5.2 présente la forme des éprouvettes utilisées dans ce travail qui ont été réali-
sées selon la norme [NF-A-03-151]. De plus, l’épaisseur de l’éprouvette doit être suffisam-
ment petite par rapport aux autres dimensions de l’éprouvette pour que l’hypothèse de
contrainte plane et uniforme soit satisfaite. Enfin, cette épaisseur doit être suffisamment
grande afin d’éviter l’apparition du flambement lors de la phase de compression. Une vé-
rification simple du flambement a été réalisée grâce à la formule d’Euler. Finalement, une
tôle de 3 mm d’épaisseur a été choisie. Les éprouvettes sont usinées en utilisant une tech-
nique de découpage au jet d’eau, ce qui assure une grande précision ainsi qu’une bonne
planéité des éprouvettes.
La machine de traction-compression utilisée est une machine hydraulique Instron. Sa rigi-
dité importante, associée à l’utilisation de mors hydrauliques, permet de rendre négligeable
les mouvements hors-plan des mors au cours des essais. Cette machine est aussi équipée
d’une rotule de réglage d’alignement des mors. On peut ainsi régler l’angle et la position
du mors supérieur. Ces réglages permettent également de minimiser la flexion résiduelle
(jusqu’à quelques %) afin de se rapprocher au mieux du cas de traction-compression pur.
La mesure de la charge se fait à l’aide d’une cellule placée en série sous la partie supérieure
Validation expérimentale de la MCV 87
Figure 5.2: Dimensions des éprouvettes des essais normalisés (en mm).
du bâti. La cellule fonctionne dans une gamme de charge allant de 0 à 100 kN. Le signal
est numérisé puis synchronisé avec les données mesurées par les jauges. Les éprouvettes
sont chargées à vitesse de chargement constante égale à 2 kN par minute. Il a été vérifié
que les éventuelles variations de la vitesse de déplacement de la traverse au cours de l’essai
n’ont pas d’influence sur les réponses.
Six éprouvettes ont été usinées dans la direction de laminage (dénoté DL par la suite) et
six autres dans la direction perpendiculaire (DP). Les essais effectués consistaient à pré-
déformer plastiquement le matériau en traction jusqu’à une prédéformation totale donnée
(variant de 1,5% à 2,5% et correspondant respectivement à des résultantes maximales
d’efforts de 20,5 à 22 kN pour la DP et de 19,5 à 21 kN pour la DL) puis à effectuer une
compression jusqu’à ce que l’opposée de la contrainte maximale lors du premier charge-
ment soit dépassée. Malgré l’épaisseur relativement grande de l’éprouvette, le flambement
a eu lieu assez tôt en compression. Les résultantes maximales en compression variaient
de 16,5 à 17,5 kN pour la DP et de 15 à 15,5 kN pour la DL en valeur absolue. On ne
peut donc pas atteindre les forces de compression souhaitées. L’apparition du flambement
peut être reconnue facilement en trouvant une grande différence de valeur de déformations
fournies par les deux jauges sur les deux surfaces de l’éprouvette, puis ensuite par le décol-
lement des jauges. Ainsi, l’identification des paramètres plastiques se fait avec les données
enregistrées avant l’apparition du flambement dans la gamme de contraintes disponible.
Les courbes contrainte-déformation longitudinale issues des essais de traction suivie d’une
compression dans les deux directions de la tôle sont présentées dans la figure 5.3. Le
comportement dans les deux directions de la tôle est différent. Les courbes ont la même
allure mais sont décalées d’une dizaine de méga-pascals.
Les paramètres élastiques (le module d’Young et le coefficient de Poisson) ont été identi-
88 Chapitre 5
fiés à partir des parties linéaires des courbes contrainte-déformation axiale et transverse.
Il s’agit d’un problème de régression linéaire à deux inconnues seulement. On peut établir
un système de 2n équations à partir de la relation contrainte-déformation en élasticité.
Ici n est le nombre de mesures réalisées dans la partie linéaire. Les paramètres élastiques
sont donc identifiés au sens des moindres carrés, en utilisant la fonction « polyfit » du
logiciel Matlab. Les paramètres élastiques identifiés sont présentés dans le tableau 5.2.
Ils sont supposés les mêmes quels que soient le sens de chargement. Quant aux para-
mètres plastiques, il nous faut d’abord choisir un modèle de comportement permettant de
reproduire la réponse en traction-compression uniaxiale. Puis les paramètres plastiques
du modèle choisi sont identifiés sur l’ensemble de la courbe contrainte-déformation axiale
par minimisation au sens des moindres carrés, en réutilisant les paramètres élastiques
identifiés.
Compte tenu des écarts modérés entre les courbes contrainte-déformation dans les deux di-
rections de la tôle, le matériau est considéré comme isotrope. La direction perpendiculaire
au laminage de la tôle a été choisie dans cette étude comme direction de découpage des
éprouvettes pour les essais hétérogènes. Les paramètres plastiques des essais normalisés
seront aussi identifiés dans cette direction (voir au paragraphe suivant) et seront utilisées
comme paramètres de référence par la suite.
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 −300
−200
−100
0
100
200
300
400
ε
σ (M
Pa)
DPDL
Figure 5.3: Courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés dans les deux
directions de la tôle.
Validation expérimentale de la MCV 89
E(GPa) ν
DP 199 ± 7 0, 299 ± 0, 012
C.V.(%) 2 2
DL 183 ± 6 0, 277 ± 0, 019
C.V.(%) 2 3
Tableau 5.2: Paramètres élastiques identifiés à partir des courbes contrainte-déformation
issues des essais normalisés (coefficient de variation noté C.V.)
5.1.3 Choix d’un modèle de comportement permettant de repro-
duire la réponse mécanique en traction et compression uni-
axiale
Dans ce paragraphe, plusieurs modèles de comportement en élastoplasticité sont présentés.
Ces modèles ont été introduits au chapitre 2. L’objectif est de trouver un modèle adéquat
reproduisant le plus fidèlement possible la réponse mécanique mesurée lors des essais
normalisés.
5.1.3.1 Ecrouissage isotrope linéaire
Un modèle d’écrouissage isotrope linéaire dénoté EIL (voir l’équation 2.20) a été testé. La
figure 5.4a présente la comparaison de la réponse entre un essai et le modèle. On observe
que la courbe calculée par le modèle présente un point de rupture de pente au delà de la
limite d’élasticité. Après le point de rupture, la courbe de traction calculée par le modèle
EIL tend vers une asymptote horizontale, coïncidant avec l’observation expérimentale sauf
en début de plasticité. Toutefois, il y a un grand décalage entre la courbe modèle et la
courbe expérimentale en compression. La limite d’élasticité calculée en compression est
très éloignée de celle obtenue expérimentalement.
En conclusion, le modèle EIL est un modèle d’écrouissage isotrope très simple avec seule-
ment deux paramètres plastiques permettant de rendre relativement bien compte de la
courbe de traction. En revanche, il rend mal compte de la réponse en décharge et en
compression.
5.1.3.2 Ecrouissage isotrope exponentiel
Un modèle d’écrouissage isotrope exponentiel, dit de Voce [Voce, 1955] et dénoté EIE
(voir l’équation 2.21), a été testé. La courbe obtenue par mise en œuvre du modèle est
90 Chapitre 5
0 0.005 0.01 0.015 0.02−400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par EILexpérimentale
(a)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par EIEexpérimentale
(b)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECLexpérimentale
(c)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECNL1expérimentale
(d)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECNL2expérimentale
(e)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECNL3expérimentale
(f)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECNL4expérimentale
(g)
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −400
−200
0
200
400
ε
σ (M
Pa)
modélisée par ECNL5expérimentale
(h)
Figure 5.4: Comparaison entre réponses expérimentales et réponses prévues par différents
modèles : (a) modèle EIL, (b) modèle EIE, (c) modèle ECL, (d) modèle ECNL1, (e)
modèle ECNL2, (f) modèle ECNL3, (g) modèle ECNL4, (h) modèle ECNL5.
Validation expérimentale de la MCV 91
comparée à la courbe expérimentale sur la figure 5.4b. On constate que comme pour le
modèle précédent, il y a toujours un grand décalage entre la courbe de compression calculée
et la courbe expérimentale. La limite d’élasticité calculée en compression est très loin de
celle obtenue expérimentalement. Par contre, ce modèle présente un bon accord pour la
réponse en traction. Le terme [1−exp(−bp)] permet de retarder l’apparition de l’asymptote
lors du premier chargement. Ainsi la courbe de traction calculée par ce modèle est très
proche de la courbe expérimentale. C’est la raison pour laquelle ce modèle a été utilisé
pour étudier seulement la traction. L’objectif de l’étude de la traction sans compression
est de montrer que les améliorations apportées à la MCV dans cette thèse sont notables
aussi pour traiter les chargements monotones. Ainsi, les paramètres identifiés et reportés
dans le tableau 5.3 pour le modèle EIE seront utilisés comme paramètres de référence
lors des études des essais hétérogènes en chargement monotone avec identification par la
MCV.
σ0(MPa) R0(GPa) Rinf(MPa) b(×103)
DP 179, 8 ± 28 31, 7 ± 0, 8 120, 4 ± 29 2, 44 ± 0, 83
C.V.(%) 8 12 12 17
Tableau 5.3: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle de Voce à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés selon la DP.
5.1.3.3 Ecrouissage cinématique linéaire
Un modèle d’écrouissage cinématique linéaire de Prager dénoté ECL a été étudié (voir
l’équation 2.24). La courbe de réponse obtenue pour ce modèle est comparée à la courbe
expérimentale sur la figure 5.4c. On trouve qu’il n’y a plus de décalage entre la courbe
de compression calculée et la courbe expérimentale. Cependant, la transition progressive
entre les deux parties linéaires de la courbe a disparu en traction. Finalement, ce modèle
n’a pas été retenu dans cette étude.
5.1.3.4 Ecrouissage cinématique non linéaire
L’inconvénient de la linéarité du modèle ECL précédent est levé par l’utilisation du modèle
cinématique non linéaire dénoté ECNL1 ( voir l’équation 2.25). En fait, le terme de rappel
γXdp introduisant un effet de mémoire évanescente du trajet de déformation permet de
rendre compte de la non-linéarité de l’écrouissage cinématique. La courbe de réponse
obtenue par ce modèle est comparée à la courbe expérimentale sur la figure 5.4d. La
courbe calculée par le modèle ECNL1 présente une plus grande courbure que la courbe
92 Chapitre 5
expérimentale avant de tendre vers une asymptote horizontale. Quant aux parties des
courbes en compression, elles sont très proches.
De plus, on constate que la réponse non linéaire en début de plasticité est différente en
traction et compression sur la courbe expérimentale ce qui traduit un effet de Rochet [4]
qui serait mis en évidence après plusieurs cycles.
En conclusion, le modèle ECNL1 reproduit mieux à la fois les courbes de traction et de
compression par rapport aux modèles précédents. Malgré cela, le début de la plasticité en
traction reste problématique. Toutefois, ce problème disparaîtrait avec des chargements
cycliques [4]. De plus, la simplicité du modèle ECNL1 présente l’avantage de rendre les
algorithmes de calculs numériques plus stables et moins coûteux. Le tableau 5.4 présente
les paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL1, issus des six essais normalisés.
Ils seront considérés comme résultats de référence pour la suite.
σ0(MPa) C(GPa) γ
DP 198, 1 ± 7 30, 7 ± 6 292 ± 52
C.V.(%) 2 10 9
Tableau 5.4: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle cinématique non linéaire
ECNL1 à partir des courbes contrainte-déformation issues des essais normalisés.
5.1.3.5 Améliorations du modèle d’écrouissage cinématique non linéaire
L’idée est maintenant d’examiner des enrichissements du modèle ECNL1 afin de mieux
décrire la transition élastique-plastique lors de la charge.
a) Ecrouissage cinématique non linéaire avec le terme φ(p) (ECNL2)
Le terme φ(p) introduit par Marquis (voir l’équation 2.26) permet de retarder l’apparition
de l’asymptote horizontale en traction. Cependant, il n’améliore pas beaucoup la partie
du début de plasticité par rapport au modèle ECNL1 (voir figure 5.4e).
b) Ecrouissage cinématique non linéaire combiné avec isotrope linéaire (ECNL3)
Dans le but de vérifier aussi l’influence de l’écrouissage isotrope, le modèle d’écrouissage
cinématique non linéaire (ECLN1) combiné avec écrouissage isotrope linéaire a été testé.
La figure 5.4f présente la comparaison de la réponse entre l’essai homogène et le modèle. Le
modèle ECNL3 semble assez proche de ECNL1 et ECNL2. Il rend un peu mieux compte
Validation expérimentale de la MCV 93
de la limite d’élasticité en compression. Cependant, la valeur du paramètre d’écrouissage
isotrope H prend un signe négatif et une valeur très petite devant la valeur du paramètre
d’écrouissage cinématique C, ce qui signifie que l’influence de l’écrouissage isotrope n’est
pas significative.
c) Ecrouissage cinématique non linéaire en utilisant le terme φ(p) combiné avec
écrouissage isotrope linéaire (ECNL4)
Ce modèle est la combinaison des deux modèles ECNL2 et ECNL3. Il permet de repro-
duire très fidèlement la réponse mécanique. En effet, la courbe calculée par ce modèle et
l’expérimentale sont très proches (figure 5.4g). Elles ne présentent pas nettement de point
de rupture de pente au niveau de la limite d’élasticité. La courbe calculée possède des
courbures en traction et en compression très légèrement différentes de celles de la courbe
expérimentale. La pente de la partie plastique dans le domaine de traction quasi linéaire
est très légèrement supérieure à la pente expérimentale. Les paramètres plastiques iden-
tifiés à partir des 6 essais et reportés dans le tableau 5.5 montrent une grande variation
pour les paramètres φ∞ et ω . Cela signifie que ce modèle est assez difficile à identifier
pour des questions de faible sensibilité à certains paramètres.
σ0(MPa) H(GPa) C(GPa) γ φ∞ ω
DP 215, 3 ± 13 −3, 1 ± 2 54, 8 ± 19 740 ± 200 −0, 84 ± 1, 9 21, 7 ± 40
C.V.(%) 3 33 17 14 112 91
Tableau 5.5: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL4 à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés.
d) Ecrouissage cinématique non linéaire combiné avec isotrope non linéaire
(ECNL5)
Ce modèle est la combinaison du modèle ECNL1 avec un modèle d’écrouissage isotrope
non linéaire (voir équation 2.23). Comme le modèle ECNL4, ce modèle rend très bien
compte à la fois de la courbe en traction et compression. Il rend également bien compte
des limites d’élasticité (figure 5.4h). Le tableau 5.6 présente les paramètres plastiques pour
ce modèle. Ils sont assez stables et seront utilisés comme des résultats de référence pour
la suite.
94 Chapitre 5
σ0(MPa) B Q(MPa) C(GPa) γ
DP 217 ± 20 166 ± 45 −66 ± 20 54, 1 ± 10 433 ± 104
C.V.(%) 4 14 15 9 12
Tableau 5.6: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 à partir des courbes
contrainte-déformation issues des essais normalisés.
5.1.3.6 Conclusion
Des modèles d’écrouissage appliqués aux essais normalisés ont été présentés, prenant en
compte un écrouissage isotrope ou un écrouissage cinématique, ou encore la combinaison
des deux. On trouve que :
– en chargement monotone (traction), le modèle d’écrouissage isotrope exponentiel (de
Voce) s’avère convenable. Comme on l’a expliqué au paragraphe 5.1.3.2, ce modèle sera
étudié dans les essais hétérogènes en chargement monotone pour la validation de la
MCV. L’objectif sera de comparer les résultats obtenus dans cette étude à ceux obtenus
précédemment afin de montrer les améliorations apportées, car aucun résultat n’a été
présenté avec la MCV pour ce modèle dans les études précédentes [22].
– en chargement de traction-compression, il est clair que les modèles d’écrouissage pu-
rement isotrope ne sont pas convenables vis-à-vis de l’observation expérimentale. Le
modèle d’écrouissage cinématique non linéaire ECNL1 avec seulement trois paramètres
plastiques a été choisi pour valider expérimentalement la MCV, car il s’agit d’un bon
compromis entre nombre de paramètres et bonne reproduction de la réponse. Quant
aux modèles ECNL4 et ECNL5, ils sont les meilleurs parmi les modèles envisagés pour
reproduire la réponse expérimentale. Par contre, ils exigent un plus grand nombre de
paramètres plastiques (6 pour ECNL4, 5 pour ECNL5). Cela rend les algorithmes de
calculs numériques moins stables et plus coûteux lors des études des essais hétérogènes.
Ainsi, les deux modèles ECNL4 et ECNL5 n’ont pas été retenus pour valider expéri-
mentalement la MCV, même si des tentatives seront présentées pour ECNL5. De plus,
les résultats obtenus pour le modèle ECNL4 varient dans un intervalle très large pour
les paramètres φ∞ et ω. Cela montre une faible sensibilité au terme φ(p). Il sera certai-
nement plus difficile de les identifier pour l’étude des essais hétérogènes par MCV car
la plasticité va apparaître de manière localisée. Pour cette raison, le modèle ECNL4 a
été totalement écarté.
Validation expérimentale de la MCV 95
5.2 Description des essais hétérogènes et méthodes de
mesure
5.2.1 Forme des éprouvettes
Comme expliqué au chapitre 5, on souhaite un essai produisant un état de contrainte hé-
térogène et non uni-axial. La géométrie choisie dans cette étude est celle d’une éprouvette
plane de traction bi-entaillée utilisée déjà par [22, 24]. Cette géométrie d’éprouvette a
été validée numériquement pour vérifier qu’elle permet d’identifier par la MCV les para-
mètres d’écrouissage cinématique combiné à l’écrouissage isotrope. La figure 5.5 présente
les dimensions de cette éprouvette.
Figure 5.5: Géométrie de l’éprouvette de traction plane bi-entaillée de 3 mm d’épaisseur
(dimensions en mm).
Les dimensions de cette éprouvette ont été changées par rapport au chapitre 5. Les rap-
ports entre les dimensions des entailles circulaires et la largeur d’éprouvette ont été gardés.
Le changement de dimensions a pour seul but de faciliter la mise en place de cette éprou-
vette dans les mors, afin de l’aligner en évitant toute excentricité lors du chargement.
5.2.2 Montage mécanique
La machine de chargement utilisée est la même que pour les essais normalisés (partie 5.1.2).
Il s’agit d’une machine INSTRON. Elle dispose d’une surface de référence permettant
de mesurer un alignement entre les axes d’amarrage de l’éprouvette, ce qui assure un
alignement rigoureux de l’éprouvette avec les axes des mors. La résultante des efforts de
traction ou de compression est mesurée par une cellule de charge de capacité 100 kN. Les
éprouvettes sont chargées à vitesse de chargement constante égale à 2 kN par minute.
96 Chapitre 5
Six éprouvettes ont été testées dans la direction transverse au laminage de la tôle. Les
essais effectués consistaient à prédéformer plastiquement le matériau en traction jusqu’à
une prédéformation totale donnée (première étape de chargement). La résultante verticale
des efforts varie de 19,5 à 23 kN à la fin de la traction selon les essais. Ensuite, on effectue
une compression jusqu’à ce que le flambement apparaisse (deuxième étape de chargement).
La résultante maximale en compression est de 18 à 19,5 kN en valeur absolue dans nos
essais. On ne peut pas atteindre une compression plus forte car l’apparition du flambage
l’empêche. Le flambement peut être facilement identifié par une grande différence de valeur
de déformation entre les deux faces de l’éprouvette (une face avec méthode de grille, l’autre
avec jauge).
5.2.3 Méthode de mesure de champs cinématiques
Introduction
Comme il a été justifié à la partie 1.2.3, la méthode de grille est choisie comme méthode
de mesure pour les essais. Ce paragraphe est donc consacré au principe de cette méthode
et à sa mise en œuvre expérimentale dans notre étude.
5.2.3.1 Principe de la méthode de la grille
Le principe fondamental de la méthode de la grille est basé sur l’hypothèse que la grille
suit fidèlement les déplacements et les déformations du substrat sur lequel elle est déposée
et que la grille ne vient pas perturber le comportement de ce substrat. Le principe de
la méthode est basé sur l’observation de la grille collée sur la surface de l’éprouvette à
analyser.
Mesure de champ de déplacements plans
Considérons un point du capteur CCD de la caméra notée M0. A chaque instant, il reçoit
l’intensité lumineuse provenant d’un point matériel donné sur la grille de référence. A
l’état initial (avant chargement), M0 reçoit la lumière du point matériel M caractérisé par
son vecteur position−→R (X, Y ) dans le repère cartésien (O,
−→i ,
−→j ) dans la configuration
initiale non déformée. A l’état final (après chargement), M0 reçoit la lumière d’un autre
point matériel de la grille, noté M ′. La position de M ′ dans la configuration initiale non
déformée est caractérisée par le vecteur position−→R
′
(X, Y ) dans le repère (O,−→i ,
−→j ) .
Validation expérimentale de la MCV 97
A l’état initial, la lumière reçue par M0 est la lumière réfléchie par le point matériel M .
L’intensité reçue de M0 s’écrit selon l’équation suivante [96] :
I(−→R ) = I0
1 + γfrgn[2π
−→Fx ·
−→R ]frgn[2π
−→Fy ·
−→R ]
(5.1)
où I0 est l’intensité moyenne et γ est le contraste (ou la visibilité) ; la fonction frgn est
2π -périodique et représente le profil des franges ;−→F x et
−→F y sont les vecteurs fréquence
spatiale dans le repère (O,−→i ,
−→j ) correspondant respectivement aux traits verticaux et
horizontaux.
A l’état final, la lumière reçue par M0 est remplacée par la lumière du point M ′ de la
grille de référence. La nouvelle intensité lumineuse reçue par M0 est alors :
I(−→R ) = I0
1 + γfrgn[2π
−→Fx ·
−→R′]frgn[2π
−→Fy ·
−→R′]
(5.2)
La phase de l’intensité lumineuse acquise au point M0 varie de 2π−→Fx · (
−→R′ −
−→R ) entre
l’état initial et l’état final dans la direction horizontale et de 2π−→Fy · (
−→R′ −
−→R ) dans la
direction verticale. L’utilisation d’une grille bidirectionnelle permet donc de caractériser
entièrement le vecteur−−−→MM ′ . La mesure du vecteur
−−−→MM ′ sur toute la surface étudiée
permet la mesure d’un champ de déplacements plans. A partir de la variation de phase de
la fonction frgn, les déplacements verticaux et horizontaux peuvent être exprimés par :
xMM ′ =p
2πϕx ; yMM ′ =
p
2πϕy (5.3)
où ϕx et ϕy sont respectivement les déphasages dans la direction verticale ou horizontale.
Détection de la phase par décalage de phase
Comme on vient de le montrer, le premier paramètre à extraire de l’image est la phase
de la porteuse. Le traitement des franges est le processus permettant de passer du champ
d’intensité décrit par les équations 5.1 et 5.2 au champ de phase correspondant. Cette
première étape ne donne que la phase modulo 2π, il faudra ensuite continuer le traite-
ment par un dépliement de phase visant à rétablir la continuité du champ de phase en
supprimant les sauts de 2π.
Dans l’équation 5.1 et 5.2 l’intensité moyenne I0 et le contraste γ sont inconnus ainsi que
les phases ϕx et ϕy. Donc, l’enregistrement d’un seul champ ne permet pas de remonter
98 Chapitre 5
aux phases (quatre inconnues pour une seule équation). Il est par conséquent nécessaire
d’avoir au moins autant d’équations que d’inconnues pour résoudre le problème. Les autres
informations sont à chercher au voisinage du pixel où l’on cherche à évaluer la phase
(approche spatiale), soit au niveau du même pixel mais sur des enregistrements différents
(approche temporelle). L’une des méthodes les plus efficaces est le décalage de phase.
Le principe général du décalage de phase consiste à disposer de plusieurs échantillons
Ik, k = 0, 1, . . . ,M − 1, séparés par un déphasage constant [101] :
Ik = I(ϕ+ kδ) (5.4)
M est le nombre total des images d’intensité utilisées. Il existe deux types de décalage de
phase : temporel et spatial.
Décalage de phase temporel
Cette technique utilise M valeurs de l’intensité pour évaluer la phase en chaque pixel
en décalant chaque fois la phase de δ entre les images adjacentes. Ce décalage peut être
réalisé par exemple en déplaçant la caméra dans la direction voulue sur une distance cor-
respondant au décalage recherché sans faire bouger l’éprouvette et changer le chargement.
L’incertitude sur le décalage influence directement la résolution atteinte sur la mesure de
phase. Cette technique offre la meilleure résolution spatiale possible. Par contre, elle a
besoin du temps nécessaire pour enregistrer plusieurs images.
Décalage de phase spatial
Le décalage de phase spatial nécessite une seule image de grille pour évaluer la phase. En
effet, si la grille est échantillonnée par un nombre entier M de pixels par période et que
le déplacement est supposé constant sur cette période, la phase détectée par chaque pixel
adjacent est décalée d’une fraction de période δk = 2π/M . La phase est évaluée à partir
des M intensités enregistrées par les pixels adjacents. L’inconvénient de cette technique
est que la résolution spatiale ne peut être inférieure à une période de la grille.
La formule générale permettant de passer de l’ensemble des intensités Ik à la phase est :
ϕ = arctan
[M−1∑
k=0
bkIk
M−1∑
k=0
akIk
](5.5)
Validation expérimentale de la MCV 99
où ϕ est la phase mesurée, dans l’intervalle [−π, π].
De nombreux algorithmes de décalage de phase existent dans la littérature [101]. L’un des
algorithmes les plus utilisés est équivalent à une transformée de Fourier discrète fenêtrée
par une fonction triangle (TFD-F). Cet algorithme minimise la sensibilité aux erreurs de
calibrage du décalage de phase. Il s’écrit comme suit :
ϕ = arctan
(−
N−1∑
k=1
k(Ik−1 − I2N−k−1)sin(2πk/N)
NIN−1 +N−1∑
k=1
k(Ik−1 + I2N−k−1)cos(2πk/N)
)(5.6)
Cet algorithme correspond en fait au calcul de l’argument du deuxième coefficient de la
transformée de Fourier discrète du jeu des valeurs Ik. Le nombre total d’échantillons requis
par cet algorithme pour un décalage de δk = 2π/N est M = 2N − 1 pixels (soit quasi-
ment deux périodes de grille). Le choix du nombre N dépend du nombre d’harmoniques
présentes dans le signal, autrement dit du profil des traits. Dans ce travail, N = 5 s’avère
être suffisant pour éliminer les harmoniques gênantes si les réglages ont été correctement
effectués [101].
Dépliement de phase
Une fois la phase détectée, il faut procéder au dépliement de la phase pour représenter le
champ de déplacement plan. Déplier la phase signifie supprimer les sauts de 2π présents,
en ajoutant ou supprimant localement le multiple de 2π adéquat. Ceux-ci ont lieu à
chaque fois que le déplacement vaut p/2 + kp. Une procédure rudimentaire peut être
utilisée : déplier la phase complètement suivant la verticale de l’image. Ensuite, déplier la
phase suivant la direction horizontale. Cette procédure présente des difficultés. Une des
principales est que certaines fois, il n’y a pas suffisamment d’information dans l’image
pour réaliser le dépliement de phase. C’est le cas lorsque quelques zones de l’images sont
déconnectées, c’est à dire séparées par une zone de pixels invalides (où n’apparaît aucune
frange, et donc où la phase n’est pas calculable). Il n’y a donc pas de chemin vertical
ou horizontal qui relie les zones, et donc aucun moyen de connaître le multiple de 2π à
introduire dans une zone par rapport à l’autre. Un autre cas est celui où le niveau de bruit
sur les cartes de phase est important (un saut de 2π n’est pas détecté ou à l’inverse un
saut est détecté alors qu’il n’a pas lieu d’être).
Deux stratégies existent pour des dépliements de phase plus élaborés : spatial et tempo-
rel [102–106]. La vitesse de chargement et la fréquence d’acquisition des images dans les
100 Chapitre 5
essais réalisés assurent des incréments de déplacements inférieurs à 100 µm. Cela permet
d’appliquer un dépliement temporel [107] des cartes de phase et évite d’avoir à mettre
en œuvre un algorithme de dépliement spatial.
5.2.3.2 Mise en œuvre de la méthode de grille
a) Obtention des grilles
Plusieurs techniques existent pour réaliser une grille sur la surface d’un objet [41]. On peut
citer entre autre le marquage laser, la lithographie, la micro érosion, la photo électrodépo-
sition et enfin l’impression sur transparent. Le choix de l’une ou l’autre de ces techniques
pour réaliser des grilles dépend du matériau sur lequel la grille doit être déposée ainsi
que du pas souhaité de grille. Celui-ci est fonction de la taille du champ à observer et du
pouvoir de résolution du capteur CCD. Dans cette étude, la taille du champ à mesurer est
de quelques centimètres carrés. Avec cette taille, comme on l’a montré au chapitre 5, la
nécessité de l’utilisation d’une grille de pas de 100µm s’impose pour diminuer l’influence
du bruit blanc dans l’identification des paramètres du comportement du matériau par la
MCV.
L’impression sur transparent a été utilisée ici. Cette technique permet de réaliser à moindres
frais des grilles avec des fréquences pouvant atteindre une dizaine de traits par mm (10
traits par mm équivalent à un pas de 100µm choisi dans ce travail). Elle utilise deux
éléments, une colle époxyde et un film photosensible transparent sur lequel sont flashées
les grilles. Le film photosensible est constitué d’un support polyester et d’une émulsion
de gélatine et de sels d’argent. La colle utilisée pour coller les grilles est commercialisée
sous la dénomination E 504 par la société Epotechny (92300, Levallois-Perret). Il s’agit
d’une résine époxyde à deux composants : durcisseur et résine blanche. Elle présente donc
l’avantage d’éviter de coller des grilles avec une colle transparente sur une peinture blanche
pour réaliser le contraste optique avec les traits noirs.
La technique du transfert de grille consiste dans un premier temps à coller une grille sur
la surface de l’éprouvette testée. Il faut respecter le rapport 5/1 entre respectivement la
résine et le durcisseur ; néanmoins la part de durcisseur peut varier de plus ou moins 10%
autour de cette valeur. La procédure de collage du film transparent se fait comme pour
une jauge de déformation [41]. Les étapes sont les suivantes :
– le corps de l’éprouvette doit être dégraissé à l’alcool, voir à l’acétone pour des métaux
comme dans ce travail ;
– délimiter avec un ruban adhésif la zone sur laquelle la grille sera transférée ;
Validation expérimentale de la MCV 101
– positionner le film transparent sur la surface étudiée de l’éprouvette puis fixer une de
ses extrémités avec un ruban adhésif ;
– déposer la colle en quantité suffisante à la base de cette extrémité en tenant le film sous
un angle de 30 ;
– à l’aide d’un objet à angle droit, refouler progressivement la colle sous le transparent,
sans trop appuyer ;
– enlever tout surplus de colle qui pourrait gêner le retrait du film après polymérisation ;
– recouvrir de caoutchouc siliconé et appliquer sur celui-ci une masse morte pour qu’une
pression maximale d’environ 0, 1 kg/cm2 s’exerce pendant la polymérisation ;
– réaliser une polymérisation de la colle (41 heures à 35C ici) ;
– juste après la polymérisation, retirer le transparent, délicatement, lentement et de façon
régulière. Protéger la surface de la grille jusqu’à son utilisation.
b) Montage optique
Les images ont été prises en utilisant une caméra Jai (8bits, monochrome) possédant un
capteur CCD de 1376x1024 pixels et équipée d’un objectif Nikkon de 60 mm de focale
f/2,8G ED. La distance entre l’objectif et la surface mesurée était de 200 ±5 mm.
Figure 5.6: Dispositif expérimental : éprouvette en traction-compression (distance entre
les mors égale à 60 mm) munie d’une grille de pas 100 µm.
c) Réglage et acquisition des images
On peut procède à la mesure de champs cinématiques en respectant les étapes suivantes :
102 Chapitre 5
– Le plan du capteur CCD de la caméra et le plan de la grille doivent être parallèles. Pour
un travail très soigné, on utilise un faisceau laser placé dans l’axe de la caméra. Il se
réfléchit sur le plan de la grille. Le réglage est correct si le faisceau réfléchi revient bien
dans l’axe de la caméra ;
– acquisition de la première image : quelques manipulations préliminaires sont nécessaires
afin d’améliorer la qualité de l’image (luminosité, contraste,. . . ). L’image doit être la
plus contrastée possible, sans toutefois présenter de saturation. Le réglage de la répar-
tition de l’éclairage est fait en vérifiant l’histogramme du niveau de gris. Il convient
d’être prudent si des valeurs d’intensité sont proches de 0 ou 255 pour la caméra 8 bits.
Ce réglage a pour but d’éviter une saturation du signal d’intensité au niveau des deux
extrémités qui se traduira ensuite par la présence d’harmoniques, et donc de franges
parasites sur les champs de phases [96] ;
– réglage du grossissement de manière à échantillonner une période de la grille avec le
nombre de pixels demandé. Ce nombre, noté N , dépend de l’algorithme de décalage de
phase (voir la partie 5.2.3.1). Dans ce travail un nombre N = 5 s’avère être convenable,
ce qui correspond à 275×205 traits. Une fois la qualité de la première image assurée,
on peut commencer les mesures ;
– acquisition des images : on recommande tout d’abord de faire un test pour une charge
non endommageante de manière à contrôler qu’aucun effet de jeux mécaniques n’appa-
raît. Ainsi, une première image d’intensité de la grille correspondant à l’état initial est
enregistrée. Puis, l’éprouvette est chargée jusqu’à 5 kN, ce qui permet à l’éprouvette de
rester encore dans le domaine élastique. Quelques images de l’intensité de la grille sont
enregistrées dans ce domaine, et un premier traitement est effectué sur les premières
images enregistrées. Ce premier traitement a pour but de vérifier le bon déroulement de
la mesure (pas de déplacements hors-plan, résultats cohérents d’identification des para-
mètres élastiques) sans endommager ni plastifier l’éprouvette. Une fois cette opération
réalisée, on peut effectuer les mesures avec les chargements demandés (voir partie 5.2.2).
d) Analyse des images
L’algorithme TFD-F (l’équation 5.6) a été utilisé pour le décalage de phase. Cinq pixels
ont été utilisés pour échantillonner chaque période de grille de 100 µm, le grandissement
vaut donc 0, 05 pixel · µm−1. La figure 6.12 présente quelques champs de déplacement
mesurés correspondants aux chargements réalisés. Pour évaluer la qualité de la mesure, la
résolution et la résolution spatiale [100], qui sont les deux paramètres essentiels, doivent
être estimées. Par ailleurs, l’influence négligeable des déplacements hors-plan doit être
également vérifiée.
Validation expérimentale de la MCV 103
Résolution
C’est la plus petite valeur de déplacement qui pourra être détectée en un point. Autrement
dit, on peut la considérer comme le bruit blanc sur le champ de déplacement mesuré s’il
n’y a pas d’autres sources d’incertitude. Pour caractériser ce bruit, la méthode utilisée
en pratique est la suivante : prendre deux mesures successives avec un chargement nul,
puis faire la différence entre deux champs de déplacement obtenus et calculer ensuite
l’écart-type de cette différence.
La résolution finalement atteinte en déplacement est estimée à environ 0,35 µm (voir
figure 5.8), soit environ p/300 ou encore un 60ème de pixel.
Résolution spatiale
C’est la distance minimale entre deux points indépendants. Elle correspond au nombre de
points utilisés pour le décalage de phase spatial. Le nombre total d’échantillons requis par
l’algorithme TFD-F pour un décalage de 2π/N est M = 2N−1 pixels. Donc, la résolution
spatiale est de 180 µm.
Déplacement hors-plan
Comme il a été expliqué dans [24], les mesures réalisées par la plupart des méthodes
optiques dont la méthode de grille, peuvent être faussées si la distance entre la surface
de l’éprouvette et la caméra change en cours d’essai. Pour remédier à cette erreur, il est
conseillé de travailler à de faibles rapports de grandissement, avec des objectifs de focale
assez longue et de mesurer les champs de déplacement sur les deux faces de l’éprouvette.
Dans le travail de Yannick Pannier [24], deux systèmes d’acquisition identiques ont donc
été utilisés. En effet, pour des déplacements hors plan assez faibles, les déformations
apparentes vues par les deux caméras sont égales et de signes opposés. En moyennant
les déformations mesurées sur les deux faces, les effets des déplacements hors-plan ont
été éliminés. Il faut noter ici que la mesure de deux surfaces n’était pas facile à réaliser
pour les raisons suivantes : il fallait coller une grille sur les deux surfaces ; la taille des
pixels du capteur CCD et la focale de l’objectif photographique devaient être les mêmes ;
en particulier, les caméras devaient alors être placées en vis à vis et à la même distance
de chaque côté de l’éprouvette ; enfin, le traitement des images prenait deux fois plus de
temps.
La raison principale des effets de déplacements hors-plan dans le travail de Yannick Pan-
nier était le des mouvement hors-plan des mors de la machine utilisée. Il s’agissait d’une
104 Chapitre 5
machine dont les mors étaient fixés par liaison pivot, ce qui provoquait des mouvements
hors-plan. Par contre, une nouvelle machine hydraulique plus performante a été utilisée
ici. Sa rigidité importante, associée à l’utilisation de mors hydrauliques, permet de rendre
négligeable les mouvements hors plan des mors au cours des essais. De plus, ils peuvent
être réglés en assurant un bon alignement entre l’éprouvette et les axes des mors à l’aide
d’une rotule de réglage d’alignement des mors. C’est pourquoi, il a été décidé de mesurer
seulement les déplacements sur une surface en vérifiant l’influence des déplacements hors-
plan et la flexion résiduelle par l’utilisation d’une jauge de déformation sur l’autre côté
de l’éprouvette.
Les courbes des différences de déformation longitudinale moyenne dans la zone du centre
de l’éprouvette (zone couverte par jauge), entre la déformation obtenue par la jauge et
celle obtenue par la méthode de grille, sont présentées sur la figure 5.7. Elles montrent que
l’influence des déplacements hors-plan peut être négligée (il n’a pas de flexion résiduelle
non plus). Toutefois, on voit toujours un léger décalage entre les deux courbes au début
de la plasticité (environ 10 %). Il y a, enfin une grande différence vers la fin de la courbe.
Cette différence vient de l’apparition du flambement. L’avantage de l’utilisation de la
jauge sur l’autre face est donc double. Tout d’abord, elle vérifie a posteriori l’influence
éventuelle d’effets hors-plan. Ensuite, elle permet de détecter l’apparition du flambement
qui manque la fin de l’essai car il n’est plus possible d’identifier les paramètres plastiques
dans l’hypothèse d’uniformité des déformations dans l’épaisseur.
5.2.4 Reconstruction par une approximation éléments finis du
champ des déplacements et du champ des déformations à
partir des déplacements mesurés
La résolution brute obtenue par l’algorithme TFD-F peut être améliorée en traitant les
mesures afin de diminuer le bruit. Une technique de reconstruction basée sur les éléments
finis (voir partie 3.2.1) a été appliquée.
À partir des données mesurées, l’objectif est de reconstituer un champ de déplacement
cinématiquement admissible. En effet, la surface de l’éprouvette où des mesures de champs
sont effectuées peut être maillée en éléments triangulaires. On écrit le champ de dépla-
cement à partir des déplacements aux nœuds du maillage en utilisant les fonctions de
forme linéaires de ces éléments triangulaires. A partir de ces fonctions de forme on peut
évaluer les déplacements nodaux à partir des données expérimentales par régression au
sens des moindres carrés. Une fois les déplacements nodaux obtenus, on peut reconstruire
le champ de déplacement approché en utilisant encore une fois les fonctions de forme (voir
Validation expérimentale de la MCV 105
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−4
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16x 10
−3
Etape
Déf
orm
atio
n
Méthode de grille
Jauge
Flambement→
Figure 5.7: Comparaison entre la déformation longitudinale fournie par la jauge sur une
surface et celle fournie par la mesure de champ sur l’autre face.
partie 3.2.1).
Amélioration apportée par la reconstruction des champs cinématiques
La résolution atteinte après reconstruction par approximation éléments finis est estimée
à partir de l’analyse de la distribution des écarts de deux mesures successives d’un char-
gement nul.
Soit γu la résolution de la technique de mesure (qui est l’écart type de la mesure), pu la
distance séparant deux points de mesures voisins et Np le nombre moyen de pixels séparant
deux nœuds voisins du maillage considéré (taille de maille en pixels). La résolution spatiale
après reconstruction est donc égale à la taille de maille, c’est-à-dire à Nppu [20]. Quant
à la résolution en déplacements reconstruits, elle est proportionnelle à γu/Np. Il en dé-
coule que la résolution en déformations reconstruites est proportionnelle à γu/(N2ppu) [20].
La résolution en déformation peut être donc améliorée d’un facteur 100 simplement en
réduisant d’un facteur 10 le pouvoir de résolution spatiale. Un bon compromis entre la
résolution et la résolution spatiale doit être trouvé selon chaque cas. La taille de maille
utilisée ici est de 13 pixels. Elle a été validée numériquement (voir chapitre 4).
La résolution atteinte en déplacement après reconstruction avec maillage de taille 13
106 Chapitre 5
pixels à partir de deux mesures successives pour une charge nulle est de 0,025 µm (voir
figure 5.8). Toutefois, la distribution n’est pas aléatoire. Cela provient probablement des
effets suivants :
– des variations d’indice de l’air entre la caméra et l’éprouvette. Ceci est possible, s’il y
a une source de chaleur pas loin, ou une source de perturbation quelconque (groupe
hydraulique pour la machine etc. . . ) ;
– des différences de contrastes. Ceci est liés à l’éclairage, ou à des variations éventuelles
du pas de la grille, par exemple en raison de la non planéité de l’éprouvette (épaisseur
de colle etc. . . ).
L’ordre de grandeur des maxima et des minima observés est de 5.10−5 en déformation
reconstruite. Il est calculé à partir d’écarts lissés par éléments finis entre deux mesures
successives pour une charge nulle (figure 5.9). C’est le résultat prépondérant. En effet,
même si la distribution n’est pas aléatoire comme attendu, on trouve des déformations
très faibles entre les deux états mesurés. La valeur 5.10−5 est donc l’incertitude de la
mesure de déformation après reconstruction.
Ecarts bruts ux
−1
0
1
x 10−3 Ecarts bruts u
x lissés
−202468
x 10−4 Différences
−2−101
x 10−3
Ecarts bruts uy
−2
−1
0
1x 10
−3 Ecarts bruts uy lissés
−4−202
x 10−4 Différences
−2
0
2x 10
−3
Figure 5.8: Distributions d’écarts entre deux mesures successives pour une charge nulle,
lissage par éléments finis avec un maillage de taille 13 pixels, et différences entre les deux.
Présentation des champs de déformation
Les champs de déplacement mesurés, présentés sur la figure 5.10, sont symétriques jusqu’au
moment de l’apparition du flambement. Les champs de déformation reconstruits sur les
figures 5.11 et 5.12 montrent la propagation progressive des déformations à partir des
deux entailles circulaires vers le centre de l’éprouvette. Ce type de répartition a permis de
Validation expérimentale de la MCV 107
εxx
−5
0
5x 10
−5 εyy
−5
0
5x 10
−5 εxy
−2024
x 10−5
Figure 5.9: Reconstruction de la déformation à partir des écarts de la figure 5.8 lissés afin
d’estimer la résolution en déformation.
réaliser un état de contrainte plane étendu et équilibré dans les deux directions du champ
de mesure.
5.3 Résultats et discussion
Une fois les champs de déplacements plans obtenus par la méthode de grille, l’identification
des paramètres du comportement de l’inox 316L s’effectue selon la procédure comme
présentée au chapitre 3. Les étapes réalisées automatiquement sur le logiciel Camfit (voir
annexe C) sont les suivantes :
– traitement des mesures : construction d’un maillage éléments finis en fonction de la
forme de l’éprouvette, reconstruction éléments finis des champs de déplacements à partir
des mesures ;
– calcul des gradients de déplacement aux centres de gravité des éléments ;
– entrée de la loi comportement avec les paramètres a priori ;
– entrée du type d’essai et du mode de chargement ;
– calcul des contraintes moyennes au centre de gravité des éléments ;
– choix des champs virtuels utilisés dans la fonction coût ;
– calcul et minimisation de la fonction coût. La procédure s’arrête lorsque la fonction coût
et les paramètres recherchés ne varient plus au delà d’un seuil de variation de 0,05%
entre deux itérations.
Tout d’abord, on va étudier le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage
isotrope de Voce. Ensuite, le chargement complet (traction-compression) sera étudié avec
l’écrouissage cinématique ou encore l’écrouissage cinématique combiné avec isotrope.
108 Chapitre 5
ux mesuré (µm) avec F = 5,92 kN
−2
−1
0
1
uy mesuré (µm) avec F = 5,92 kN
10
20
30
40
ux mesuré (µm) avec F = 16,46 kN
−10
0
10
uy mesuré (µm) avec F = 16,46 kN
50
100
ux mesuré (µm) avec F = 20,46 kN
−50
0
50
uy mesuré (µm) avec F = 20,46 kN
100
200
300
ux mesuré (µm) avec F = 5,68 kN
−50
0
50
uy mesuré (µm) avec F = 5,68 kN
0
100
200
ux mesuré (µm) avec F = −12,59 kN
−50
0
50
uy mesuré (µm) avec F = −12,59 kN
−50
0
50
ux mesuré (µm) avec F = −19,73 kN
Flambement−40
−20
0
uy mesuré (µm) avec F = −19,73 kN
Flambement−140
−120
−100
−80
Figure 5.10: Champs de déplacement mesurés en fonction du niveau de charge.
Validation expérimentale de la MCV 109
εxx
avec F = 5,92 kN
−2
0
2x 10
−4 εyy
avec F = 5,92 kN
02468
x 10−4 ε
xy avec F = 5,92 kN
−202
x 10−4
εxx
avec F = 16,46 kN
−15−10−505
x 10−4 ε
yy avec F = 16,46 kN
2
4x 10
−3 εxy
avec F = 16,46 kN
−101
x 10−3
εxx
avec F = 20,46 kN
−10
−5
0x 10
−3 εyy
avec F = 20,46 kN
0,0050,010,0150,020,025
εxy
avec F = 20,46 kN
−505
x 10−3
εxx
avec F = 5,68 kN
−10
−5
0x 10
−3 εyy
avec F = 5,68 kN
0
0,01
0,02
εxy
avec F = 5,68 kN
−5
0
5x 10
−3
εxx
avec F = −12,59 kN
−8−6−4−20
x 10−3 ε
yy avec F = −12,59 kN
051015
x 10−3 ε
xy avec F = −12,59 kN
−4−2024
x 10−3
εxx
avec F = −17,13 kN
−6−4−20
x 10−3 ε
yy avec F = −17,13 kN
0
5
10x 10
−3 εxy
avec F = −17,13 kN
−202
x 10−3
Figure 5.11: Champs de déformation reconstruits à partir de la mesure en fonction du
niveau de charge.
110 Chapitre 5
εxx
avec F = 5,92 kN
−4−202
x 10−4 ε
yy avec F = 5,92 kN
02468
x 10−4 ε
xy avec F = 5,92 kN
−2024
x 10−4
εxx
avec F = 16,46 kN
−15−10−505
x 10−4 ε
yy avec F = 16,46 kN
0
2
4x 10
−3 εxy
avec F = 16,46 kN
−101
x 10−3
εxx
avec F = 20,46 kN
−10
−5
0x 10
−3 εyy
avec F = 20,46 kN
0
0,01
0,02
εxy
avec F = 20,46 kN
−5
0
5
x 10−3
εxx
avec F = 5,68 kN
−10
−5
0x 10
−3 εyy
avec F = 5,68 kN
0
0,01
0,02
εxy
avec F = 5,68 kN
−5
0
5x 10
−3
εxx
avec F = −12,59 kN
−8−6−4−20
x 10−3 ε
yy avec F = −12,59 kN
051015
x 10−3 ε
xy avec F = −12,59 kN
−4−2024
x 10−3
εxx
avec F = −17,13 kN
−4−20
x 10−3 ε
yy avec F = −17,13 kN
0
5
10x 10
−3 εxy
avec F = −17,13 kN
−202
x 10−3
Figure 5.12: Champs de déformation continus reconstruits à partir de la mesure en fonction
du niveau de charge.
Validation expérimentale de la MCV 111
5.3.1 Identification des paramètres élastoplastiques pour la pre-
mière phase de chargement (traction monotone)
Ce paragraphe est consacré à l’étude d’un modèle d’écrouissage isotrope à quatre para-
mètres plastiques. Il faut rappeler que c’était le modèle utilisé dans la thèse de Pannier [24].
C’est un modèle difficile à identifier lors d’un essai hétérogène en traction avec des éprou-
vettes entaillées. En effet, les résultats obtenus dans le travail de Pannier montrent des
écarts importants entre les paramètres identifiés et ceux de référence. La limite d’élasticité
initiale σ0 est très inférieure au seuil identifié lors des essais uniaxiaux. Au contraire, le
paramètre Rinf est largement surestimé. Quand au paramètre b, il est largement sures-
timé ce qui entraîne la quasi disparition de la transition progressive entre les deux parties
linéaires de comportement du matériau étudié. Ces écarts disparaissent en utilisant un
modèle simple d’écrouissage isotrope linéaire à deux paramètres [22]. Toutefois, le modèle
isotrope linéaire ne permet pas de représenter correctement la transition progressive entre
les deux parties linéaires de comportement du matériau étudié et ne permet donc pas de
déterminer exactement la limite d’élasticité initiale.
Les objectifs ici sont d’utiliser encore le modèle de Voce pour démontrer la robustesse de
la nouvelle procédure d’identification et pour valider expérimentalement cette procédure
dans le cas d’un chargement monotone.
5.3.1.1 Identification des paramètres élastiques en traction
Les paramètres élastiques sont identifiés à partir des étapes élastiques. Il s’agit ici du mo-
dule d’Young et du coefficient de Poisson. On a besoin de deux champs virtuels différents
afin d’obtenir un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues. On choisit le premier
champ dit champ optimisé (voir figure 5.14) de sorte que le travail virtuel des forces exté-
rieures soit nul et que l’influence du bruit blanc soit minimisée [93]. Cela permet d’identifier
le coefficient de Poisson. Il ne reste plus qu’à déterminer le module d’Young en utilisant
l’information portée par la résultante appliquée. En effet, on va calculer la contrainte
moyenne à partir de la force appliquée avec l’utilisation d’un champ virtuel simple, noté
CVC2 (voir tableau 4.3). Cette contrainte moyenne est comparée à la contrainte moyenne
calculée à partir des déformations expérimentales, et l’écart entre les deux est minimisé
afin de trouver la valeur du module d’Young [20]. Pour cela, on base toujours sur la
fonction coût 3.26 en utilisant seulement le champ virtuel simple CVC2.
Le problème posé ici est de distinguer les étapes élastiques des suivantes. Pour cela, on
peut tracer la courbe de la contrainte moyenne obtenue à partir de la résultante d’effort
mesurée en fonction de la déformation moyenne sur toute la surface de l’éprouvette. La
112 Chapitre 5
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,0120
50
100
150
200
250
300
350
Déformation moyenne
Con
trai
nte
moy
enne
(M
Pa)
← Vintgtième étape
Figure 5.13: Courbe contrainte moyenne en fonction de la déformation moyenne au cours
d’un des essais réalisés.
figure 5.13 présente cette courbe pour un des essais réalisés. Elle montre que l’apparition
de la plasticité a lieu à partir de la vingtième étape environ. Le nombre d’étapes utilisé
dans la fonction de coût, noté n, doit donc être inférieur à 20.
Figure 5.14: (a) Maillage utilisé dans la mesure à l’état initial. (b) Champ virtuel optimisé
pour l’identification du coefficient de Poisson.
Les simulations numériques ont permis de fournir une taille optimale de maillage pour
lisser les déplacements ainsi que pour la procédure d’identification des paramètres. Cette
taille est de 11 à 15 pixels (1,1 à 1,5 mm). Les résultats obtenus à partir de six essais
hétérogènes en utilisant ces tailles sont présentés sur le tableau 5.7. Ils coïncident avec les
valeurs de référence obtenus lors des essais normalisés. Les rigidités élastiques maintenant
seront considérés comme connus pour l’identification des paramètres plastiques.
Validation expérimentale de la MCV 113
Référence Taille 1,1 mm Taille 1,3 mm Taille 1,5 mm
Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ
E(GPa) 199 ± 7 197, 6 ± 7 196, 8 ± 8 196, 2 ± 9
ν 0, 299 ± 0, 012 0, 307 ± 0, 018 0, 309 ± 0, 022 0, 302 ± 0, 02
Tableau 5.7: Paramètres élastiques identifiés par la MCV en fonction de la taille du
maillage.
5.3.1.2 Identification des paramètres plastiques dans la phase de traction
Dès l’apparition de la plasticité, la relation contrainte déformation devient non linéaire.
Considérons le modèle de Voce : σs(p) = σ0 +R0 ·p+Rinf [1−exp(−bp)] [85] pour calculer
les contraintes à partir des déformations issues de la mesure.
Comme la variable εp dépend de l’histoire du chargement et n’est pas accessible direc-
tement à la mesure, une procédure itérative de calcul des contraintes est mise en œuvre
(voir partie 3.3.4). Le calcul de contraintes est réalisé avec l’ensemble des cartes mesurées
jusqu’à la fin de la phase de traction. On étudie les six essais effectués jusqu’à une résul-
tante totale donnée. La résultante verticale des efforts variait de 19,5 à 23 kN à la fin de
la phase de traction selon l’essai, le nombre de cartes varie donc de 90 à 130 pour chaque
essai. La déformation longitudinale maximale obtenue est de 2 à 5 %.
L’identification est menée avec la MCV itérative. L’ensemble de la procédure d’identifi-
cation des paramètres plastiques par la MCV est décrit en détails dans la section 3.3.
Les paramètres élastiques identifiés précédemment ainsi qu’un jeu initial de quatre para-
mètres d’écrouissage ont été utilisés pour calculer les contraintes et évaluer les équations
d’équilibre écrites pour chaque pas de chargement. Ces paramètres ont été réévalués afin
de minimiser l’écart à l’équilibre donné par la fonction coût globale. Le calcul est itératif
jusqu’au moment où les valeurs de ces paramètres n’évoluent plus (un seuil de variation
< 0, 05 %). Le nombre d’itérations est environ une dizaine en utilisant l’algorithme de
Newton-Raphson au lieu de 80 pour un algorithme de recherche direct basé sur la mé-
thode du simplexe. Cela permet d’atteindre des performances record en temps de calcul.
Par exemple, pour un ordinateur (Intel (R) Pentium (R) 4CPU 2,8 GHz, 500 Mo de
RAM) on a besoin d’environ 5 minutes pour la procédure d’identification du modèle de
4 paramètres plastiques de Voce. C’est le temps qu’il faut sur le même ordinateur pour
faire un seul calcul direct avec la même géométrie et le même comportement.
114 Chapitre 5
Résultats obtenus
Le tableau 5.8 présente les résultats obtenus avec utilisation des champs virtuels optimisés.
Les tailles de maillage de 11 à 15 pixels conduisent à des valeurs cohérentes par rapport
aux valeurs de référence données par les essais normalisés. Ces résultats sont assez proches
entre eux, ce qui indique une bonne stabilité en fonction des tailles de maillage. Le tracé
de la réponse issue du modèle identifié par la MCV et des réponses enregistrées lors des
essais normalisés montre une bonne concordance de la courbe identifiée avec le faisceau
de courbes de référence (figure 5.15). La trace du travail virtuel intérieur et travail virtuel
extérieur au cours de l’essai hétérogène montre une bonne minimisation de la fonction coût
globale d’écart au PTV ce qui confirme également un bon résultat pour les paramètres
plastiques identifiés (figure 5.16).
Référence Taille 1,1 mm Taille 1,3 mm Taille 1,5 mm
Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ
σ0(MPa) 179, 8 ± 28 183, 2 ± 55 181, 7 ± 50 178, 6 ± 59
R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3, 29 ± 1, 5 3, 18 ± 1, 2 3, 43 ± 1, 6
Rinf(MPa) 120, 4 ± 29 120, 8 ± 49 123 ± 47 126, 7 ± 48
b(×103) 2, 44 ± 0, 83 2, 23 ± 1 2, 1 ± 1, 1 2, 55 ± 1, 4
Tableau 5.8: Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction
de la taille du maillage.
5.3.1.3 Discussion des résultats identifiés en traction
1. Sensibilité des paramètres identifiés
La sensibilité de la fonction coût aux différents paramètres identifiés a été calculée autour
des valeurs identifiées. Pour chacun des paramètres, les trois autres sont fixés à leur valeur
d’identification, alors que l’on calcule la dérivée partielle du second ordre de la fonction
coût par rapport à ce paramètre. Pour obtenir une sensibilité sans dimension qui puisse
être comparée pour les différents paramètres, la dérivée partielle du second ordre de la
fonction coût pour chacun paramètre est divisée par la valeur de cette fonction coût
atteinte à partir des paramètres identifiés. Les résultats obtenus pour un des essais réalisés
sont les suivants :
Validation expérimentale de la MCV 115
0 0,005 0,01 0,015 0,02 0
50
100
150
200
250
300
350
ε
σ (M
Pa)
Essais normalisés
MCV avec CVOP1
Figure 5.15: Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés sur six essais
hétérogènes.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
2
4
6
8
10
12
x 105
(N)
Etape
Travail virtuel intérieur
Travail virtuel extérieur
Figure 5.16: Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur le
long de l’essai (travail par unité d’épaisseur).
116 Chapitre 5
Φ′′ =
∂2Φ∂σ2
0
= 0, 0337 ∂2Φ∂σ0∂R0
= 0, 00014 ∂2Φ∂σ0∂Rinf
= 0, 029 ∂2Φ∂σ0∂b
= 0, 00014∂2Φ
∂R0∂σ0
= 0, 00014 ∂2Φ∂R2
0
= 0, 000001 ∂2Φ∂R0∂Rinf
= 0, 00014 ∂2Φ∂R0∂b
= 0, 0000009∂2Φ
∂Rinf ∂σ0
= 0, 029 ∂2Φ∂Rinf ∂R0
= 0, 00014 ∂2Φ∂R2
inf
= 0, 0263 ∂2Φ∂Rinf ∂b
= 0, 0001
∂2Φ∂b∂σ0
= 0, 00014 ∂2Φ∂b∂R0
= 0, 0000009 ∂2Φ∂b∂Rinf
= 0, 0001 ∂2Φ∂b2
= 0, 0000009
Les résultats montrent que le paramètre le plus sensible (et donc celui qui doit être le mieux
identifié) est la limite d’élasticité initiale σ0. Vient ensuite Rinf qui couplé à σ0 correspond
à l’intersection de l’asymptote horizontale avec l’axe des ordonnées sur le graphe σ/εp.
Vient ensuite la pente de l’asymptote horizontale R0 et finalement le paramètre b qui prend
la valeur la plus petite. Ce n’est pas une surprise. En fait, les paramètres Rinf et σ0 pilotent
l’apparition de la plasticité. Les deux autres pilotent le développement de la plasticité
et l’écrouissage. Comme le paramètre b ne décrit que la courbure de la petite zone de
transition après l’apparition de la plasticité et comme la pente de l’asymptote horizontale
est plus faible que celle de la partie linéaire (écrouissage faible), les influences de b et R0
sont donc petites sur la fonction coût. On voit aussi sur les dérivées partielles croisées que
∂2Φ/(∂σ∂Rinf ) = 0, 029 est très élevé, c’est-à-dire qu’il y a une dépendance entre les deux
paramètres σ0 et Rinf sur la fonction coût. Cela signifie qu’il est difficile de séparer les
deux paramètres dans la procédure de minimisation. Néanmoins, la suppression d’environ
une dizaine d’étapes (au début) dans la fonction coût a permis d’améliorer l’identification
de ces deux paramètres. Ceci est dû peut-être au fait que la plasticité localise très tôt et
de manière anormale (non physique), probalement à cause du bruit blanc qui perturbe
le calcul des contraintes. Enfin, il faut signaler que ces deux paramètres ne dépendent
pas beaucoup des deux autres. L’observation de la fonction coût (voir figure 5.17) montre
successivement ces relations entre les deux paramètres. En effet, il semble que la fonction
coût présente un minimum pour σ0 et Rinf . Elle présente une vallée pour R0 et b. Cela
confirme également que les paramètres moins sensibles sont R0 et b.
2 Influence des paramètres initiaux
Pour une fonction coût non convexe on n’a pas la certitude de descendre vers le minimum
absolu (voir annexe B). La solution est donc sensible aux valeurs initiales choisies pour
lancer la procédure de minimisation. Les méthodes d’optimisation à direction de descente
comme l’algorithme de Newton-Raphson utilisé dans notre procédure de minimisation
nécessitent au moins le calcul du gradient de la fonction coût. Le calcul de ce terme peut
être relativement complexe et coûteux en temps de calcul. Cette étape, appelée analyse
Validation expérimentale de la MCV 117
de sensibilité, peut prendre du temps. De plus, ces techniques ne permettent d’atteindre
que des minima locaux.
Cependant, on connaît normalement les caractères généraux du matériau étudié. Les va-
leurs de départ des paramètres ont été donc choisies de manière à ne pas être trop éloignées
du sens physique. De tels jeux de paramètres initiaux ont été testés (voir tableau 5.9).
Chacun conduit au même résultat (moins de 0,05 % de différence). Cela montre l’unicité
de la solution dans le cas présent dans l’intervalle assez large de valeurs initiales.
L’observation de la fonction coût (voir figure 5.17) montre clairement une vallée pour les
quatre paramètres autour de la valeur identifiée. C’est à cause des différences de sensibilité
des paramètres dans la fonction coût. Mais il existe quand même un minimum unique non
visible sur les courbes de niveaux à cause des diférences de sensibilité trop grandes.
Référence Jeu 1 Jeu 2 Jeu 3 Jeu 4 Jeu 5
Moy
σ0(MPa) 179, 8 10 300 120 50 300
R0(GPa) 3, 17 6 0, 1 0,5 6 0,5
Rinf (MPa) 120, 4 200 50 100 250 10
b(×103) 2, 44 1 10 0,5 8 0,5
Tableau 5.9: Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation.
3 Influence du choix des champs virtuels
Comme cela a été expliqué (voir 3.3.2.1), à cause du bruit présent dans les mesures, des
erreurs apparaissent dans la procédure d’identification. Le choix des champs virtuels peut
influencer la qualité de l’identification. Un bon choix permet de minimiser l’influence du
bruit sur la fonction coût, rendant l’identification plus robuste. Dans cet objectif, d’autres
champs virtuels (voir tableau 4.3) ont été testés en comparant les résultats obtenus avec
ceux des champs virtuels optimisés précédents.
Les résultats reportés dans le tableau 5.10 montrent que le résultat obtenu par les champs
virtuels optimisés CVOP1 est le meilleur, très proche de la référence. Viennent ensuite
les résultats obtenus avec les champs virtuels CVC2 et CVC3. Pour les champs CVC2 et
CVC3 la pente de l’asymptote horizontale R0 est un peu grande par rapport à la valeur
de référence. Cela indique un décalage entre les courbes de contrainte-déformation issues
des essais homogènes et celles issues des paramètres identifiés par la MCV. Quant au
paramètre b, il est largement surestimé ce qui entraine que la courbure de la zone de
transition n’est pas décrite progressivement entre les deux parties linéaires de la courbe.
118 Chapitre 5
Ro (MPa)
σ o (M
Pa)
2000 3000 4000 5000100
150
200
250
300
σ o (M
Pa)
Rinf
(MPa)50 100 150
100
150
200
250
300
σ o (M
Pa)
b2000 4000 6000 8000
100
150
200
250
300
Rinf
(MPa)
Ro (
MP
a)
50 100 1502000
3000
4000
5000
Rinf
(MPa)
b
50 100 150
2000
4000
6000
8000
Ro (MPa)
b
2000 3000 4000 5000
2000
4000
6000
8000
Figure 5.17: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références pour
un essai avec CVOP1.
Validation expérimentale de la MCV 119
Pour le champ CVC4, les résultats ne sont pas cohérents avec ceux de référence. Le champ
CVC5 n’a pas donné de résultats. L’observation de la fonction coût montre clairement qu’il
n’y aucun minima autour de la valeur de référence (voir figure 5.18)
Référence CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ
σ0(MPa) 179, 8 ± 28 181, 7 ± 50 171, 1 ± 74 186, 7 ± 48 78 ± 135 Pas résultat
R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3, 18 ± 1, 2 4, 3 ± 2 4, 1 ± 2, 1 3, 2 ± 1, 8 Pas résultat
Rinf (MPa) 120, 4 ± 29 123 ± 47 121, 8 ± 62 112, 3 ± 46 169, 4± 140 Pas résultat
b(×103) 2, 44 ± 0, 83 2, 1 ± 1, 1 5, 3 ± 6, 4 4, 6 ± 7 2 × 1012 ± 1012 Pas résultat
Tableau 5.10: Comparaison des résultats obtenus avec différents champs virtuels (taille de
maillage de 1,3 mm).
4 Influence du choix du nombre d’étapes dans la fonction coût
Le choix du nombre d’étapes influence l’identification des paramètres. Il semble que la
fonction coût composée de toutes les étapes ne peut pas bien séparer les deux paramètres
σ0 et Rinf (voir le tableau 5.11). La limite d’élasticité σ0 est très inférieure au seuil identifié
lors des essais normalisés. Au contraire, le paramètre Rinf est largement surestimé ce qui
entraîne globalement que la somme σ0 + Rinf est proche de la valeur de référence. Ceci
est dû peut-être au fait que la plasticité localise très tôt et anormalement à cause du bruit.
La figure 5.21 montre clairement cet effet. En effet, il y a des points qui plastifient très
tôt, même à F = 5.92 kN (chargement élastique a priori) ou encore des points « bizarres »
(voir partie suivante 6.3.1.3.5). Ce bruit perturbe l’identification de la limite d’élasticité
initiale. C’est pourquoi la fonction coût composée des étapes au-delà de la quinzième peut
mieux séparer les contributions de σ0 et Rinf et conduire à des valeurs très proches de
celles de référence.
Référence Nombre d’étapes : Nombre d’étapes :
Moy ±2σ de la 1re à la fin de la 15ime à la fin
σ0(MPa) 179, 8 ± 28 119,6 181,7
R0(GPa) 3, 17 ± 0, 8 3,94 3,18
Rinf (MPa) 120, 4 ± 29 179,4 123
b(×103) 2, 44 ± 0, 83 4,06 2,1
Tableau 5.11: Paramètres plastiques du modèle de Voce identifiés par la MCV en fonction
du nombre d’étapes choisi dans la fonction coût.
120 Chapitre 5
Ro (MPa)
σ o (M
Pa)
2000 3000 4000 5000100
150
200
250
300
σ o (M
Pa)
Rinf
(MPa)50 100 150
100
150
200
250
300
σ o (M
Pa)
b2000 4000 6000 8000
100
150
200
250
300
Rinf
(MPa)
Ro (
MP
a)
50 100 1502000
3000
4000
5000
Rinf
(MPa)
b
50 100 150
2000
4000
6000
8000
Ro (MPa)
b
2000 3000 4000 5000
2000
4000
6000
8000
Figure 5.18: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références pour
un essai avec CVC5.
Validation expérimentale de la MCV 121
5 Reconstruction des champs de contraintes
A partir des paramètres identifiés par la MCV, il est également possible de reconstruire
les composantes du tenseur des contraintes et de présenter leur distribution tout au long
de l’essai (figure 5.19). Il est plus intéressant de présenter la distribution de la contrainte
équivalente de Von Mises et la distribution des contraintes principales (figure 5.20). Les
contraintes principales obtenues en utilisant les formules de changement de repère sont
calculées comme suit :
σI,II =(σxx + σyy)
2±
1
2
√(σxx − σyy)2 + 4σxy
2 (5.7)
L’analyse des contraintes principales permet de donner un éclairage sur l’écoulement plas-
tique au sein de l’éprouvette en fonction du niveau de charge. On observe sur la figure 5.21
que l’écoulement correspond principalement à de la traction uni-axiale au début de l’es-
sai (F = 5,92 kN) car la deuxième contrainte principale est faible (σI >> σII). Ensuite,
l’écoulement se transforme en traction bi-axiale (F = 16,46). À la fin de la phase de trac-
tion (F = 20,46 kN) la plupart des points de l’éprouvette sont en-dehors de la surface de
charge initiale. Cela signifie que la plasticité s’est produite presque partout dans la zone
observée.
Une quarantaine de points nécessitent un commentaire. Ces points ont le même état de
contrainte équivalente qui dessine une courbe parallèle à l’ellipse initiale. Ils se situent
aux quatre coins de l’éprouvette (voir figure 5.19). En effet, on voit sur le champ σI
à F = 20,46 kN que ces points « anormaux » ont des valeurs très faibles (de 0 à 100
MPa) devant tous les points autres de l’éprouvette (de 300 à 400 MPa). Ces valeurs sont
largement inférieures à la contrainte moyenne calculée à partir de la résultante. Quant au
champ σII à F = 20,46 kN, ces points « anormaux » prennent un signe négatif (-200 MPa),
opposé au signe positif des points restants (de 0 à 200 MPa). Cela signifie que ces points
sont marginaux en comparaison avec les autres. La raison principale de la présence de
ces points « anormaux » provient probablement du bruit. La présence du bruit influence
certainement la mesure puis surtout le calcul de contraintes. De plus, ces points sont situés
dans une zone où la valeur de la contrainte réelle est faible a priori. Ainsi, l’influence du
bruit sur ces points est nettement marquée. La deuxième raison provient peut être du
problème du bord. En effet, le calcul de la phase près des bords de la zone de mesure
est également problématique car la grille est probablement incomplète. C’est là qu’on a
le moins de lissage lors de la reconstruction de champ cinématique par approximation
éléments finis. Cela influence également la mesure ainsi que le calcul de contraintes, et
provoque des écarts. Quelle que soit l’origine des erreurs, on retrouve en tous cas le même
122 Chapitre 5
problème que celui responsable précédemment des erreurs d’identification de σ0 et Rinf
(partie 6.3.1.3.4). Les contraintes calculées pour de faibles déformations plastiques sont
plus affectées par les sources d’erreur. Cet effet est ici visible localement, alors il est filtré
globalement pendant l’identification grâce au choix de champs virtuels optimisés.
.
σxx
avec F = 5,92 kN
−100−50050
σyy
avec F = 5,92 kN
−50050100150
σxy
avec F = 5,92 kN
−20
0
20
σxx
avec F = 16,46 kN
−200
0
200
σyy
avec F = 16,46 kN
−1000100200300
σxy
avec F = 16,46 kN
−50050
σxx
avec F = 20,46 kN
−2000200
σyy
avec F = 20,46 kN
0
200
400
σxy
avec F = 20,46 kN
−50050
Figure 5.19: Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge.
5.3.1.4 Conclusions des résultats obtenus pour la première phase de charge-
ment (traction)
Un modèle d’écrouissage isotrope à quatre paramètres (modèle de Voce) a été testé sur
l’acier inoxydable 316L lors des essais hétérogènes. Les résultats obtenus par la MCV avec
les champs virtuels optimisés coïncident avec les valeurs de référence, ce qui montre une
amélioration très significative par rapport aux études précédentes [22, 24]. Cette première
étape permet de valider expérimentalement la nouvelle procédure d’identification dans le
cas d’un chargement monotone.
La comparaison des résultats obtenus pour différents champs virtuels montre clairement
que le choix des champs virtuels est une étape déterminante dans le succès de l’identifi-
Validation expérimentale de la MCV 123
σeq
avec F = 5,92 kN
50100150
σI avec F = 5,92 kN
−50050100150
σII avec F = 5,92 kN
−100−50050
σeq
avec F = 16,46 kN
100
200
300
σI avec F = 16,46 kN
0100200300
σII avec F = 16,46 kN
−200−1000100
σeq
avec F = 20,46 kN
100200300
σI avec F = 20,46 kN
0
200
400
σII avec F = 20,46 kN
−200
0
200
Figure 5.20: Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes
principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge.
cation des paramètres. Un mauvais choix peut entraîner des résultats très éloignés de la
valeur réelle. Ceci justifie pleinement les développements des champs virtuels optimisés
pour l’élastoplasticité.
5.3.2 Identification des paramètres élastoplastiques en traction
suivie d’une compression
Ce paragraphe a pour but d’appliquer la nouvelle procédure d’identification au cas d’une
traction suivie d’une compression ainsi que l’extension de la MCV au nouveau modèle.
On continue à étudier les six essais précédents jusqu’à la fin de la deuxième phase de char-
gement où le flambement apparaît. Tout d’abord, l’étude d’un modèle simple d’écrouissage
cinématique non linéaire (ECNL1) avec seulement trois paramètres est présenté. Ce mo-
dèle a été choisi car il présente d’un bon compromis entre le nombre de paramètres et la
fidilité de la reproduction de la réponse expérimentale pour valider expérimentalement les
enrichissements apportés à la MCV. Ensuite, un modèle plus riche sera étudié (ECNL5)
pour tenter d’améliorer les résultats obtenus avec ECNL1.
124 Chapitre 5
−300 −200 −100 0 100 200 300 400 500−400
−300
−200
−100
0
100
200
300
surface de charge initiale
F = 5,92 (kN)
F = 16,46 (kN)
F = 20,46 (kN)
σI (MPa)
σ II (
MP
a)
Figure 5.21: Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des
contraintes principales en fonction du niveau de charge.
5.3.2.1 Identification des paramètres élastiques
Les paramètres utilisés ici sont ceux obtenus lors de l’étude de la première phase de
chargement précédent (voir tableau 5.7). Ils sont supposés les mêmes quels que soit le sens
de chargement (traction ou compression). Cette hypothèse a été bien vérifiée en affichant
la courbe entre la contrainte moyenne obtenue à partir de la résultante d’effort mesuré et
la déformation moyenne pour un des essais réalisés (voir figure 5.22). On observe que la
partie de décharge de la courbe reste parallèle avec la partie linéaire lors de la traction.
De plus, l’identification des paramètres élastiques en décharge donne le même résultat par
rapport à la première phase de chargement avec une différence de ±3 %. Les paramètres
élastiques maintenant seront considérés comme connus pour l’identification des paramètres
plastiques.
Validation expérimentale de la MCV 125
0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012−300
−200
−100
0
100
200
300
Déformation moyenne
Con
trai
nte
moy
enne
(M
Pa)
Figure 5.22: Courbe contrainte moyenne en fonction de déformation moyenne tout au long
d’un des essais réalisés.
5.3.2.2 Identification des paramètres plastiques pour le modèle ECNL1
Dans ce modèle on se limite à l’emploi du critère de Von Mises (voir équation 2.16). Le
centre de la surface de charge X est déterminé selon le modèle d’écrouissage cinématique
non linéaire ECNL1 présenté à l’équation 2.25.
On continue à étudier les six essais effectués jusqu’à la fin de la deuxième phase de char-
gement où le flambement apparaît. La résultante maximale en compression est de 18 à
19,5 kN en valeur absolue. Cela ne permet que de faire diminuer d’environ de 1% la défor-
mation longitudinale à la fin de la compression par rapport à la prédéformation obtenue
lors de la traction. On ne peut pas atteindre une compression supérieure permettant d’ob-
tenir l’opposée de la contrainte maximale atteinte en traction. Cela ne permet donc pas
d’observer la partie linéaire du comportement plastique lors de la phase de compression.
L’apparition du flambement est facilement identifié par une grande différence de déforma-
tion longitudinale moyenne dans la zone du centre de l’éprouvette, entre la déformation
obtenue par la jauge sur une surface et celle obtenue par la méthode de grille sur l’autre
surface (voir figure 5.7). On peut aussi la repérer en regardant les cartes mesurées. En
fait, on observe une dissymétrie des champs mesurés lors de l’apparition du flambement
126 Chapitre 5
(voir figure 5.10). Ainsi, l’identification des paramètres plastiques se fait avec les mesures
enregistrées avant l’apparition du flambement. Le nombre de cartes mesurées varie donc
de 160 à 220 selon l’essai.
La procédure d’identification des paramètres plastiques se fait identiquement au cas de la
traction.
Résultats obtenus
Après environ 8 itérations pour la minimisation de la fonction coût à l’aide l’algorithme
de Newton-Raphson, on obtient les résultats présentés dans le tableau 5.12. Les tailles de
maillage de 11 à 15 pixels conduisent à des valeurs respectant l’intervalle de confiance ±2σ
autour des valeurs de référence données par les essais normalisés. Ces résultats sont assez
proches entre eux, ce qui indique une bonne stabilité en fonction des tailles de maillage.
Le tracé de la réponse identifiée par la MCV et des réponses données par les jauges
lors des essais normalisés montre globalement une assez bonne concordance de la courbe
identifiée avec le faisceau de courbes de référence (figure 5.23). Le début de la plasticité
reste problématique. En revanche, le reste de la courbe montre un bon accord entre la
réponse calculée et la réponse expérimentale. On constate que la limite d’élasticité en
compression est plus faible que celle obtenue à la fin de la phase de traction. Cela montre
qualitativement l’effet Bauschinger (voir figure 5.23).
Référence Taille 1,1 mm Taille 1,3 mm Taille 1,5 mm
Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ
σ0(MPa) 198, 1 ± 7 203, 6 ± 13 203 ± 10 199, 8 ± 9
C(GPa) 30, 7 ± 6 29, 6 ± 3 29, 3 ± 4 30, 5 ± 2
γ 292 ± 52 262, 4 ± 53 271 ± 60 265, 7 ± 70
Tableau 5.12: Paramètres plastiques du modèle CNL1 identifiés par la MCV en fonction
de la taille du maillage.
Il faut également souligner ici que lors des essais homogènes pour lesquels la mesure
des déformations est locale, l’apparition de la plasticité n’est détectée qu’à travers une
moyenne des contraintes. En effet, la plasticité peut localiser et entraîner une diminution
de la contrainte moyenne alors même que la surface couverte par la jauge n’aura pas
atteint la limite d’élasticité. Au contraire, dans l’approche par la MCV, tous les points
dans la zone mesurée sont pris en compte et contribuent à la réponse identifiée. Il faut alors
considérer avec précaution les essais homogènes avec jauges comme référence appropriée
au niveau de l’apparition de la plasticité. Mais, le tracé du travail virtuel interne et travail
Validation expérimentale de la MCV 127
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300
−200
−100
0
100
200
300
400
ε
σ (M
Pa)
Essais normalisésMCV avec CVOP1
Figure 5.23: Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés par la MCV.
virtuel externe tout au long de l’essai hétérogène montre globalement que l’on obtient
une bonne minimisation de la fonction coût. Il y a juste un petit décalage dans la partie
correspondante au début de la plasticité en traction ce qui explique également le moins bon
accord avec la réponse expérimentale dans cette partie (figure 5.24). Ceci est cohérent avec
ce que l’on a observé lors de la modélisation de l’essai homogène par le modèle ECNL1,
ce qui confirme également que le modèle ECLNL1 ne peut pas reproduire parfaitement la
réponse mécanique du matériau 316L en traction.
5.3.2.3 Discussion des résultats identifiés
1 Sensibilité des paramètres identifiés
La sensibilité de la fonction coût aux différents paramètres identifiés pour un des essais
réalisés est :
128 Chapitre 5
0 20 40 60 80 100 120 140 160−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5x 10
6
(N)
Etape
Travail virtuel intérieur
Travail virtuel extérieur
← Décalage au début de la plasticité
Figure 5.24: Comparaison entre le travail virtuel intérieur et le travail virtuel extérieur le
long de l’essai (travail par unité d’épaisseur).
Φ′′ =
∂2Φ∂σ2
0
= 0, 295 ∂2Φ∂σ0∂C
= 0, 0007 ∂2Φ∂σ0∂γ
= 0, 027∂2Φ
∂C∂σ0
= 0, 0007 ∂2Φ∂C2 = 0, 000004 ∂2Φ
∂C∂γ= 0, 0003
∂2Φ∂γ∂σ0
= 0, 027 ∂2Φ∂γ∂C
= 0, 0003 ∂2Φ∂γ2 = 0, 029
Les résultats montrent que le paramètre σ0 qui pilote l’apparition de la plasticité est celui
qui a le plus d’influence sur la fonction coût. Vient ensuite γ et finalement C qui présentent
le développement de la plasticité et l’écrouissage. On voit aussi sur les dérivées partielles
croisées que la limite d’élasticité initiale σ0 ne dépend pas beaucoup des deux autres. Par
contre, C dépend de σ0 et γ . L’observation de la fonction coût (voir figure 5.25) montre
ces relations entre les deux paramètres. En effet, il semble que la fonction coût présente
un minimum pour σ0 (voir figure 5.25(a,c)). Elle présente une vallée pour C et γ. Cela
confirme également que le paramètre le plus sensible est σ0.
2 Influence des paramètres initiaux
Les valeurs de départ des paramètres ont été choisies de manière à ne pas être trop
éloignées du sens physique. Plusieurs jeux de paramètres initiaux ont été testés (voir
tableau 5.13). Chacun conduit au même résultat de paramètres identifiés (moins de 0,05
% de différence). Cela montre l’unicité de la solution dans le cas présent dans un intervalle
Validation expérimentale de la MCV 129
C (MPa)
σ o (M
Pa)
CVOP1 (a)
1 2 3 4 5
x 104
100
150
200
250
300
C (MPa)
σ o (M
Pa)
CVC5 (b)
1 2 3 4 5
x 104
100
150
200
250
300
γ
σ o (M
Pa)
CVOP1 (c)
150 200 250 300 350 400 450100
150
200
250
300
γ
σ o (M
Pa)
CVC5 (d)
150 200 250 300 350 400 450100
150
200
250
300
γ
C (
MP
a)
CVOP1 (e)
150 200 250 300 350 400 4501
2
3
4
5x 10
4
γ
C (
MP
a)
CVC5 (f)
150 200 250 300 350 400 4501
2
3
4
5x 10
4
Figure 5.25: Courbes de niveaux de la fonction coût autour des valeurs de références pour
un des essais réalisés avec CVOP1 et CVC5.
130 Chapitre 5
assez large de valeurs initiales (pour CVOP1).
Référence Jeu1 Jeu2 Jeu3 Jeu4 Jeu5
Moy
σ0(MPa) 198,1 90 450 90 200 150
C(GPa) 30,7 10 7 100 100 30
γ 292 50 50 10 800 500
Tableau 5.13: Jeux de paramètres ayant servi à initier la procédure d’optimisation pour
le modèle ECNL1.
L’observation de la fonction coût (voir figure 5.25) montre une vallée pour les trois para-
mètres autour de la valeur identifiée. Cela signifie qu’il y a des différences de sensibilité
entre les paramètres dans la fonction coût.
3 Influence du choix des champs virtuels
Différents champs virtuels (voir tableau 4.3) ont été testés en comparant les résultats
obtenus avec ceux résultants des champs virtuels optimisés précédents. La figure 5.27 pré-
sente les champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau du chargement. Cela
signifie que pour chaque étape n, on utilise un champ virtuel correspondant à la solution
du système d’équation 3.38. Cela permet de minimiser l’effet du bruit tout au long des
étapes utilisées dans la minimisation de la fonction coût, rendant l’identification la plus
robuste possible. Les résultats (voir tableau 5.14) montrent que les valeurs obtenues avec
les champs virtuels optimisés CVOP1 ainsi que avec CVC2 et CVC3, sont dans l’inter-
valle de confiance ±2σ autour des valeurs de référence données par les essais normalisés.
Néanmoins, le tracé des réponses calculées par ces trois champs virtuels et d’une réponse
donnée enregistrée lors d’un essai normalisé montre globalement que la réponse calculée
par CVOP1 est légèrement plus proche de la réponse expérimentale que celles calculées
par CVC2 et CVC3 (voir figure 5.26). Quant aux résultats obtenus avec les champs vir-
tuels CVC4 et CVC5, ils sont très éloignés des valeurs de référence. L’observation de la
fonction coût correspondant au champ CVC5 (voir figure 5.25(b,d,f)) montre qu’il n’y a
pas de minimum autour des valeurs de références.
4 Influence de la valeur de déformation atteinte à la fin de phase de traction
L’étude de la phase de traction avec le modèle de Voce a montré l’influence du nombre
d’étapes dans la fonction coût sur la séparation des deux paramètres σ0 et Rinf . En effet,
ces deux paramètres pilotent l’apparition de plasticité ainsi que la plupart de calculs de
Validation expérimentale de la MCV 131
Référence CVOP1 CVC2 CVC3 CVC4 CVC5
Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ Moy ±2σ
σ0(MPa) 198, 1 ± 7 203 ± 10 195 ± 14 200 ± 20 159 ± 86 Pas de résultat
C(GPa) 30, 7 ± 6 29, 3 ± 4 32, 2 ± 5, 2 31, 1 ± 9 24, 6 ± 25 Pas de résultat
γ 292 ± 52 271 ± 60 260 ± 45 260 ± 90 139 ± 124 Pas de résultat
Tableau 5.14: Paramètres plastiques du modèle ECNL1 identifiés par la MCV en fonction
du champ virtuel utilisé avec taille de maillage 1,3 mm.
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300
−200
−100
0
100
200
300
400
ε
σ (M
Pa)
Essais normalisésCVOP1CVC2CVC3
Figure 5.26: Comparaison entre les courbes σ/ε calculées à partir des valeurs de paramètres
identifiés avec les champs virtuels CVOP1, CVC2 et CVC3, et la réponse expérimentale
d’un des essais normalisés.
132 Chapitre 5
Maillage initialCVOP1 à F = 5,92 kN
CVOP1 à F = 5,92 kNCVOP1 à F = 20,46 kN
CVOP1 à F = 20,46 kNCVOP1 à F = 5,68 kN (déchargement)
CVOP1 à F = 5,68 kNCVOP1 à F = −17,13 kN
Figure 5.27: Champs virtuels optimisés CVOP1 en fonction du niveau de charge.
contraintes utilisées dans la fonction coût. Par contre, seul le paramètre σ0 joue ce rôle
dans le modèle ECNL1. C’est pourquoi l’influence du nombre d’étapes est négligeable. La
fonction coût utilisée comporte donc toutes les étapes de l’essai. Toutefois, une nouvelle
influence doit être étudiée. Il s’agit de l’influence de la valeur de prédéformation totale
atteinte à la fin de la phase de traction.
En fait, les essais effectués consistaient à prédéformer plastiquement le matériau en trac-
tion jusqu’à une déformation totale (première phase de chargement). La résultante verti-
cale des efforts variait de 19,5 à 23 kN à la fin de la traction selon chaque essai. La défor-
mation maximale longitudinale obtenue variait donc de 2 à 5%. Les résultats obtenus sur
le tableau 5.15 montre une bonne concordance des valeurs des paramètres identifiés pour
des prédéformations longitudinales totales inférieures à 2,5%. Par contre, cette concor-
dance se dégrade lorsque la valeur de prédéformation longitudinale totale est supérieure à
4%. Il semble que la partie plastique linéaire de la phase de traction contribue plus dans
la fonction coût que la partie de compression pour les prédéformations supérieures à 4%.
Validation expérimentale de la MCV 133
Ceci influence peut être l’identification de γ. De plus, les résultats donnés par les essais
normalisés ont été identifiés avec une prédéformation inférieure à 2,5%. Le comportement
au-delà de 2,5% n’est donc pas pris en compte dans les essais normalisés, ce qui peut
expliquer ces différences.
Référence ǫmaxyy =2,5% ǫmax
yy =4%
σ0(MPa) 198,1 204 198
C(GPa) 30,7 30,9 29,7
γ 292 300 249
Tableau 5.15: Influence de la valeur de prédéformation totale à la fin de la première phase
de chargement (traction) pour l’identification des paramètres du modèle ECNL1.
5 Reconstruction des champs de contrainte
Comme l’étude en traction avec le modèle de Voce, on peut reconstruire les champs de
contrainte à partir des paramètres identifiés par la MCV et les présenter tout au long de
l’essai. L’objectif est de fournir les résultats sous forme d’images. Cela nous permet de voir
le développement des contraintes et l’apparition de la plasticité ainsi que sa propagation
au cours de l’essai.
La figure 5.28 présente les champs de contrainte continus. On les obtient facilement à
partir des champs de déformation continus reconstruits (voir 5.12) en se basant toujours
sur l’algorithme de calcul de contrainte. Les composantes de contrainte obtenues montrent
clairement un état de contrainte plane étendu et assez équilibré dans les deux directions
du champ de mesure.
Il est très intéressant de présenter la distribution de la contrainte équivalente de Von Mises
et la distribution des contraintes principales. En fait, l’affichage de la distribution de la
contrainte équivalente de Von Mises permet de savoir quels sont les points qui dépassent
la valeur de limite d’élasticité initiale. La figure 5.29 montre que tous les points à F =
5,92 kN sont en-dessous de la limite d’élasticité initiale, signifiant qu’ils restent encore
à l’état élastique. Ensuite, plusieurs points commencent à plastifier à F = 16,46 kN. La
propagation de l’écoulement a tendance à se développer près des deux entailles circulaires
au centre de l’éprouvette. Puis, la plupart des points dépassent la limite d’élasticité initiale
à la fin de la phase de traction (F = 20,46 kN). Cela signifie que la plasticité s’est produite
presque partout dans l’éprouvette.
On passe maintenant à la deuxième phase de chargement. Pendant le déchargement, la
contrainte équivalente de Von Mises des points diminuent, presque tous les points re-
134 Chapitre 5
viennent à l’état élastique à F = 5,68 kN (déchargement pas encore fini). La contrainte
équivalente recommence à augmenter lors de l’augmentation de la compression. La moitié
des points dépassent à nouveau la limite d’élasticité initiale à F = -12,59 kN, montrant
à nouveau l’existence d’un écoulement plastique. A la fin de la phase de compression, à
F = -17,13 kN, la plasticité s’est produite presque partout dans l’éprouvette (sauf quelques
points situés à côté de la frontière haute et basse où la contrainte équivalente est en-dessous
de la limite d’élasticité).
Le développement de la plasticité au cours de l’essai est représenté graphiquement dans
l’espace des contraintes principales sur la figure 5.30. La surface de charge initiale a la
forme d’une ellipse. Il semble que l’écoulement plastique en traction soit symétrique par
rapport à celui en compression vis-à-vis du deuxième axe de l’ellipse. En effet, tous les
points repassent à l’intérieur de la surface de charge lors du déchargement, puis ressortent
à un autre endroit lors de la compression. De plus, on observe que l’écoulement suit
principalement la première composante de la contrainte principale lors de la phase de
traction (σI > σII). Par contre, il suit principalement la deuxième composante lors de la
phase de compression (σII > σI). En effet, σII < 0 ce qui explique qu’un autre quadrant
de l’espace soit occupé par les points matériels.
Comme le cas de traction précédent, en raison de la présence du bruit ou encore des
problèmes de bord, il y a une quarantaine de points « anormaux » sur la figure 5.30(a).
Ces points dessinent une courbe parallèle à la surface de charge initiale (voir la partie 5
de la première phase de chargement 5.3.1.3 pour plus de détails). De plus, la comparaison
du graphe des trajets de chargement dans l’espace des contraintes principales calculés à la
fois à partir des deux modèles d’écrouissage isotrope et cinématique montre que le trajet
individuel des points matériels de l’éprouvette est légèrement différent (voir figure 5.21 et
5.30). Cela provient de la nature du modèle utilisé. Il influence le calcul de contraintes. En
effet, le domaine d’élasticité se modifie par dilatation pour l’écrouissage isotrope et par
translation pour l’écrouissage cinématique. Toutefois, le trajet global est identique pour
les deux modèles.
Il est également intéressant de comparer les champs de contrainte obtenus avec le modèle
ECNL1 en traction et les champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce précédent.
En effet, le modèle de Voce a permis de reproduire parfaitement la réponse mécanique en
traction. La comparaison des deux modèles nous permet donc d’estimer l’erreur commise
avec le modèle ECNL1. Les différences entre les deux modèles sont présentées sur la
figure 5.31. Au début du chargement à F = 5,92 kN, les différences sont presque nulles
car la plupart des points restent encore à l’état élastique. Une fois la plasticité apparue
sur environ la moitié de l’éprouvette (F = 16,46 kN), on trouve une différence maximale
Validation expérimentale de la MCV 135
égale à 10 % pour σyy. Toutefois, cette différence a tendance à diminuer vers la fin de la
phase de traction. Elle est seulement de quelques pourcents sur la plupart des points de
l’éprouvette à F = 20,46 kN. Cela confirme clairement que le modèle ECNL1 est surtout
problématique pour la réponse mécanique au début de la plasticité. Néanmoins, la réponse
mécanique globale est bien traduite.
5.3.2.4 Conclusions des résultats obtenus du modèle ECNL1
Les trois paramètres plastiques du modèle cinématique non linéaire ECNL1 ont été bien
identifiés par la MCV, coïncidant avec les résultats de référence donnés par des essais
homogènes. Ceci permet de valider expérimentalement l’extension de la MCV aux char-
gements de traction suivie d’une compression.
Cependant, le début de la plasticité en traction présente des défauts de reproduction. Mais
il faut noter ici qu’on rencontrait ce problème même dans le cas des essais normalisés. Cela
signifie que le modèle à trois paramètres ECNL1 ne suffit pas à reproduire parfaitement la
réponse mécanique des essais étudiés. Pour améliorer cette situation, on essaie d’utiliser
les modèles plus riches présentés à la partie 5.3.3.
5.3.3 Tentative d’amélioration du modèle d’écrouissage cinéma-
tique non linéaire ECNL1
Comme on l’a étudié lors du choix du modèle de comportement pour les essais normalisés
(voir partie 5.1.3.5), les modèles ECNL4 et ECNL5 sont les meilleurs parmi les modèles
envisagés pour reproduire l’observation expérimentale. Le modèle ECNL4 comporte un
grand nombre de paramètres plastiques (6). Il est très sensible au bruit pour identifier
les paramètres φ∞ et ω . Ceci rend les résultats inexploitables dans le cas des essais
hétérogènes. Le modèle ECNL5 est moins riche (5 paramètres). Il a été choisi pour tenter
d’améliorer les résultats obtenus précédemment avec le modèle ECNL1.
Néanmoins, les résultats identifiés sont très éloignés des valeurs de référence (voire non
convergés). Pour expliquer ce problème, deux causes possibles ont été imaginées : soit c’est
un problème numérique lié à l’algorithme de Newton-Raphson, soit c’est un problème des
sensibilités entre les paramètres. Tout d’abord, l’algorithme de Nelder-Mead a été utilisé.
Les résultats obtenus sont les mêmes, signifiant que la première cause est éliminée. Il
reste à vérifier la deuxième cause. En effet, la sensibilité de la fonction coût aux différents
paramètres identifiés pour un des essais réalisés est la suivante : ∂2Φ∂σ2
0
= 0, 039 ; ∂2Φ∂B2 =
0, 00033 ; ∂2Φ∂Q2 = 0, 018 ; ∂2Φ
∂C2 = 0, 000000014 ; ∂2Φ∂γ2 = 0, 0016. Il est clair que le paramètre
136 Chapitre 5
σxx
avec F = 5,92 kN
−100−50050
σyy
avec F = 5,92 kN
−50050100150
σxy
avec F = 5,92 kN
−20
0
20
σxx
avec F = 16,46 kN
−200
0
200
σyy
avec F = 16,46 kN
−1000100200300
σxy
avec F = 16,46 kN
−50
0
50
σxx
avec F = 20,46 kN
−200
0
200
σyy
avec F = 20,46 kN
0
200
400
σxy
avec F = 20,46 kN
−50050
σxx
avec F = 5,68 kN
−1000100
σyy
avec F = 5,68 kN
0100200
σxy
avec F = 5,68 kN
−40−20020
σxx
avec F = −12,59 kN
−150−100−500
σyy
avec F = −12,59 kN
−300−200−1000
σxy
avec F = −12,59 kN
−50
0
50
σxx
avec F = −17,13 kN
−200−1000100
σyy
avec F = −17,13 kN
−300−200−100
σxy
avec F = −17,13 kN
−50
0
50
Figure 5.28: Champs de contrainte reconstruits en fonction du niveau de charge.
Validation expérimentale de la MCV 137
σeq
avec F = 5,92 kN
50100150
σI avec F = 5,92 kN
−50050100150
σII avec F = 5,92 kN
−100−50050
σeq
avec F = 16,46 kN
100150200250
σI avec F = 16,46 kN
0100200300
σII avec F = 16,46 kN
−200−1000100
σeq
avec F = 20,46 kN
100
200
300
σI avec F = 20,46 kN
0
200
400
σII avec F = 20,46 kN
−200−1000100
σep
avec F = 5,68 kN
50100150200
σI avec F = 5,68 kN
0
100
200
σII avec F = 5,68 kN
−100
0
100
σeq
avec F = −12,59 kN
100
200
300
σI avec F = −12,59 kN
−100−50050
σII avec F = −12,59 kN
−300
−200
−100
σeq
avec F = −17,13 kN
100
200
300
σI avec F = −17,13 kN
−100
0
100
σII avec F = −17,13 kN
−300−200−100
Figure 5.29: Champs de contrainte équivalente de Von Mises et champs de contraintes
principales reconstruits, représentés en fonction du niveau de charge.
138 Chapitre 5
−200 −100 0 100 200 300 400−400
−300
−200
−100
0
100
200
surface de charge initialeF = 5,92 (kN)F = 16,46 (kN)F = 20,46 (kN)
σI (MPa)
σ II (
MP
a)
(a)
−200 −100 0 100 200 300 400−400
−300
−200
−100
0
100
200
surface de charge initialeF = 5,68 (kN)F = −12,59 (kN)F = −17,13 (kN)
σI (MPa)
σ II (
MP
a)
(b)
Figure 5.30: Positionnement des points matériels de l’éprouvette dans l’espace des
contraintes principales en fonction du niveau de charge. (a) : première phase de char-
gement ; (b) : deuxième phase de chargement
Validation expérimentale de la MCV 139
δσxx
avec F = 5,92 kN
−0,02
−0,01
0
δσyy
avec F = 5,92 kN
−0,02
0
0,02
δσxy
avec F = 5,92 kN
−0,02
0
0,02
δσxx
avec F = 16,46 kN
−8−6−4−202
δσyy
avec F = 16,46 kN
−30−20−100
δσxy
avec F = 16,46 kN
−5
0
5
δσxx
avec F = 20,46 kN
−1001020
δσyy
avec F = 20,46 kN
−20
−10
0
δσxy
avec F = 20,46 kN
−5
0
5
Figure 5.31: Comparaison des champs de contrainte obtenus avec le modèle ECNL1 en
traction et des champs de contrainte obtenus avec le modèle de Voce.
le plus insensible est le module d’écrouissage cinématique C. Il prend une valeur très
inférieure aux autres. Il sera donc difficile d’identifier ce paramètre ainsi que d’identifier
les 5 paramètres dans le même temps. Pour cette raison, un paramètre parmi cinq est
considéré comme connu. Ce paramètre prend la valeur du paramètre de référence donné
par les essais normalisés. Par exemple, B égale à 166 pour identifier les quatre autres. Les
résultats reportés dans le tableau 5.16 sont proches des valeurs de référence. Le tracé de
la réponse identifiée par la MCV et des réponses données par les jauges lors des essais
normalisés montre globalement une assez bonne concordance de la courbe identifiée avec le
faisceau des courbes de référence (voir la figure 5.32). Il est évident que le modèle ECNL5
reproduit mieux la réponse expérimentale que le modèle ECNL1. Toutefois, il est plus
instable à cause des différences de sensibilité trop grandes entre les paramètres, avec la
localisation de la plasticité au début.
5.3.4 Conclusions du chapitre
L’essai de traction suivie d’une compression sur éprouvette plane bi-entaillée a permis
de produire un état de contrainte hétérogène et non uniaxial. La mesure des champs de
déformation de membrane a été réalisée avec la méthode de grille (pas 100µm).
140 Chapitre 5
σ0(MPa) B Q(MPa) C(GPa) γ
Référence 217 ± 20 166 ± 45 −66 ± 20 54, 1 ± 10 433 ± 104
CVOP1 218 ± 10 connu −62 ± 15 50, 4 ± 17 382 ± 113
Tableau 5.16: Paramètres plastiques identifiés pour le modèle ECNL5 avec hypothèse de
connaissance apriori du paramètre B.
0 0,005 0,01 0,015 0,02 −300
−200
−100
0
100
200
300
400
ε
σ (M
Pa)
JaugesMCV avec CVOP1
Figure 5.32: Superposition du faisceau de courbes uniaxiales issues des essais homogènes
et des courbes calculées à partir de la moyenne des paramètres identifiés pour le modèle
ECNL5 sur six essais hétérogènes (avec hypothèse d’un paramètre connu).
Validation expérimentale de la MCV 141
D’abord, le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage isotrope de Voce
a été étudié. Les six paramètres de la loi de comportement du matériau 316L ont été
identifiés avec succès par la MCV. Cela permet de valider expérimentalement la nouvelle
procédure d’identification dans le cas d’un chargement monotone et de l’appliquer à l’iden-
tification de modèles plus complexes que ceux traités précédemment dans la littérature
par le même type d’approche [22, 24].
Ensuite, un chargement de traction-compression a été étudié. Un modèle cinématique
simple ECNL1 à cinq paramètres a été identifié. Bien que le début de la plasticité en trac-
tion reste problématique, les résultats obtenus montrent globalement une bonne concor-
dance avec la référence. Cela valide expérimentalement la nouvelle procédure d’identifica-
tion dans le cas de chargements alternés.
Finalement, la comparaison des résultats obtenus pour différents champs virtuels montre
clairement que le choix des champs virtuels est une étape déterminante dans le succès de
l’identification des paramètres. Ceci justifie pleinement les développements des champs
virtuels optimisés pour l’élastoplasticité.
142 Chapitre 5
Chapitre 6
Conclusion générale
Le travail présenté dans ce manuscrit a pour but d’étudier de façon approfondie l’identifi-
cation du comportement des matériaux métalliques au-delà de leur limite d’élasticité par
la MCV. Il se base sur des travaux antérieurs [22–24]. Le principe consiste à construire
puis à minimiser une fonction coût dépendant des paramètres à identifier, en utilisant
le principe des travaux virtuels. Ce travail a permis d’apporter à la MCV de nouveaux
développements afin de rendre cette méthode plus robuste.
Les nouveaux développements présentés dans ce manuscrit sont les suivants. Tout d’abord,
une procédure d’intégration pour le calcul des contraintes en utilisant une relation incré-
mentale directe entre contraintes et déformations totales, via une matrice dite « Matrice
tangente » (voir équation 2.45) a été appliquée. L’utilisation de cette nouvelle procédure
d’intégration associée à la MCV par morceaux [22] permet d’évaluer l’effet du bruit dans
le calcul de la fonction coût lors de la procédure d’identification dans le problème élastique
ainsi que dans le problème plastique. La minimisation de cet effet permet d’optimiser le
choix des champs virtuels dans le cas de lois élastoplastiques. De tels champs virtuels
sont dits « champs virtuels optimisés », rendant l’identification plus robuste. Ensuite, la
procédure d’optimisation de la fonction coût a été programmée en utilisant l’algorithme
de Newton-Raphson. Il s’agit d’un algorithme basé sur le calcul du gradient de la fonction
coût. Cette nouvelle approche permet de réduire considérablement le temps de calcul dans
la procédure d’identification.
Ce travail a également apporté de nouvelles applications à la MCV, en l’étendant à des
lois de comportements élastoplastiques avec écrouissage cinématique ou encore écrouis-
sage cinématique combiné avec écrouissage isotrope. Cette extension permet d’étudier un
chargement non monotone (traction suivie d’une compression) ainsi que d’exploiter les
143
144 Chapitre 6
avantages de chacun des deux modèles d’écrouissage pour représenter plus fidèlement les
réponses observées expérimentalement.
Les développements ci-dessus sont programmés dans un logiciel, appelé « Camfit », ren-
dant automatique leur application dans la MCV. Il faut remarquer ici que « Camfit »
est l’intégration de différentes routines existantes. C’est le fruit d’un travail de recherche
riche de plus de quinze ans [19].
Les nouveaux développements ont été validés numériquement, avec succès, en utilisant les
données fournies par logiciel Ansys. Quant à la partie expérimentale, le matériau choisi
pour cette étude est une tôle d’acier inoxydable austénitique X2CrNiMo17-12-2 (316L).
Des essais de traction suivie d’une compression sur éprouvette plane à section constante
ont permis d’obtenir les courbes contrainte-déformation dans les deux directions de la
tôle. Compte tenu des écarts modérés entre les courbes contrainte-déformation dans les
deux directions, le matériau est considéré comme étant isotrope. La direction perpendicu-
laire au laminage de la tôle a été choisie arbitrairement dans ce travail comme direction
longitudinale . Les éprouvettes utilisées dans les essais hétérogènes pour valider la MCV
sont donc usinées dans ce sens de la tôle. Les paramètres plastiques des essais normalisés
sont identifiés dans cette direction et sont utilisées comme paramètres de référence par la
validation de la MCV.
Comme la MCV nécessite un champ de mesure, la méthode de la grille a été choisie
en raison de sa robustesse, de sa facilité d’implémentation et de sa bonne résolution
spatiale [39]. La mesure des déplacements a été effectuée sur une seule face de l’éprouvette
en vérifiant l’influence des déplacements hors-plan, de la flexion résiduelle et de l’apparition
du flambement par l’utilisation d’une jauge de déformation sur l’autre face.
La MCV a été appliquée expérimentalement sur les champs de déplacement issus de plu-
sieurs essais de traction suivie d’une compression sur une type d’éprouvette plane avec
deux entailles circulaires réalisant un état de contrainte plane hétérogène. Dans un pre-
mier temps, le chargement monotone en utilisant le modèle d’écrouissage exponentiel de
Voce avec six paramètres a été étudié. Les résultats obtenus avec la MCV coïncident avec
les valeurs de référence données par les essais normalisés. Cela valide expérimentalement
la nouvelle procédure d’identification dans le cas d’un chargement monotone et de l’appli-
quer à l’identification de modèles plus complexes que ceux traités précédemment dans la
littérature par le même type d’approche [22, 24]. Dans un deuxième temps, un chargement
de traction-compression a été également étudié. Un modèle cinématique simple ECNL1 à
cinq paramètres a été identifié. Bien que le début de la plasticité en traction reste pro-
blématique, les résultats obtenus montrent globalement une bonne concordance avec la
référence. Cela a montré qualitativement l’effet Bauschinger sur le matériau 316L et de va-
Conclusion générale 145
lider expérimentalement la nouvelle procédure d’identification dans le cas de chargements
alternés.
La procédure d’identification a été réalisée à la fois avec les champs virtuels optimisés et
avec les différents champs virtuels constants choisis a priori. La comparaison des résultats
obtenus montre clairement que les champs virtuels optimisés permettant de minimiser
l’influence du bruit sur la fonction coût, rendant l’identification plus robuste. Par contre,
un mauvais choix peut entraîner des résultats éloignés de la valeur réelle. Le choix des
champs virtuels est donc une étape déterminante dans le succès de l’identification des
paramètres du comportement plastique du matériau par la MCV, même si c’est moins
critique qu’en élasticité.
Il est intéressant de remarquer ici que le temps de calcul nécessaire à la nouvelle procédure
d’identification est relativement faible. Par exemple, on a besoin d’environ 5 minutes
pour la procédure d’identification du modèle à 4 paramètres plastiques de Voce ( pour
un ordinateur (Intel (R) Pentium (R) 4CPU 2,8 GHz, 500 Mo de RAM). Cela permet
d’atteindre des performances record en temps de calcul, comparé par exemple aux 23
heures de temps de calcul pour la méthode du recalage par éléments finis en plasticité,
mentionné dans [38]. Ainsi, la MCV constitue une alternative très efficace aux procédures
de recalage par éléments finis dans le cas plastique.
Perspectives
Plusieurs points dans le développement de la MCV en plasticité nécessitent encore d’être
approfondis.
En premier lieu, sur le plan numérique, on constate qu’il y a des erreurs locales qui sub-
sistent au niveau du calcul des contraintes pour des petites valeurs de déformations (début
de la plasticité). Ces erreurs sont dues au bruit blanc ou d’autres sources d’erreurs qui
font localiser la plasticité anormalement tôt dans les essais. Cela perturbe l’identification
pour les cartes mesurées en début de plasticité (début de plasticité d’ailleurs mal repro-
duit par les différents modèles identifiés). Il est donc nécessaire d’améliorer le calcul des
contraintes à l’avenir. On peut envisager de rajouter des pénalités sur les contraintes qui
dépassent localement le seuil d’écoulement, ou lisser à un moment donné les contraintes
pendant la phase élastique avec un calcul direct par éléments finis. En effet, la surface
de l’éprouvette où les mesures de champs sont effectuées a été maillée en éléments finis.
On reconstruit les champs réels (déplacements nodaux) en utilisant l’approximation élé-
ments finis. L’utilisation du même maillage, mais à l’état initial, avec les conditions aux
limites (les déplacements nodaux obtenus précédemment) permet de réaliser un calcul
146 Chapitre 6
direct afin de reconstruire les champs de contrainte réel avant l’apparition de la plasticité
en éliminant ces erreurs locales.
La MCV peut être étendue à la viscoplasticité (cela a été réalisé par [108]), pour des ma-
tériaux chargés dans des conditions dynamiques, la contrainte d’écoulement dépendant de
la vitesse de déformation. La formulation est similaire à celle de la plasticité indépendante
du temps, mais cette fois la relation incrémentale directe entre contraintes et déformations
totales est explicite [4]. La démarche générale est identique à celle utilisée dans ce travail.
Toutefois, comme la vitesse de déformation est grande ceci exige une caméra CCD plus
rapide en termes de fréquence d’acquisition lors de la mesure des champs cinématiques.
Les algorithmes d’identifications présentés dans ce travail peuvent également s’appliquer
à la plasticité hétérogène (par exemple dans le cas de joints soudés ce qui a déjà été initié
dans [109]), mais il faut tout d’abord discrétiser le solide en un nombre fini de zones et
supposer une répartition uniforme des propriétés dans chaque zone. Si N est le nombre
de portions de la partition, le problème revient à résoudre N problèmes d’identification
similaire au problème résolu dans ce travail. Toutefois, c’est plus compliqué car il faut as-
surer la continuité entre les différentes zones. De plus, la résolution de plusieurs problèmes
à la fois va évidemment poser des problèmes d’instabilité, sachant que la sensibilité au
bruit de mesure ou d’autres sources d’erreurs influençait déjà l’identification en début de
plasticité. Des questions de régularisation vont alors se poser.
Enfin, la MCV peut être également étendue aux critères d’écoulement anisotropes en
grande déformations (déformation >10%, jusqu’à plus de 100%) pour se rapprocher des
conditions réelles des procédés de formage. Pour résoudre le problème en grande déforma-
tions, il est important de rappeler que toute loi de comportement développée en petites
déformations peut s’étendre en grandes déformations en utilisant les mêmes fonctions
constitutives, de même que le principe des travaux virtuels peut être écrit en utilisant
le tenseur des déformations de Green Lagrange et le tenseur des contraintes de Piola
Kirchhoff. Les difficultés rencontrées seront concentrées dans l’intégration du calcul des
contraintes sur de longs trajets de chargement. De plus, un essai plus complexe sera néces-
saire pour activer tous les paramètres du comportement des matériaux concernés (traction
bi-axiale etc). Cela constitue des perspectives très intéressantes dont la résolution pourra
s’inspirer de la démarche adoptée dans ce travail.
Annexe A
Annexe
A.1 Biais dû au bruit
Pour simplifier l’étude de biais dû au bruit, on étudie le cas simple avec écrouissage
isotrope. Ainsi, la matrice tangente en élastoplasticité (équation 2.45) devient :
σxx
σyy
σxy
=
[[Q]−1 +
S.ST
∂σs
∂p
]
︸ ︷︷ ︸matrice tangente [M]
εxx
εyy
2εxy
(A.1)
On note :
s le déviateur des contraintes (sij = σij − σij/3 en tensoriel)
S est le déviateur normalisé : S = 3s2σeq
Si on écrit :
εij = εexactij + εbruit
ij
σij = σexactij + σbruit
ij
sij = sexactij + sbruit
ij (A.2)
147
148 Annexe A
On fait les développement limités jusqu’à l’ordre 2 pour σeq :
σeq =
√3
2(sexact
kl + sbruitkl )(sexact
kl + sbruitkl )
=
√3
2sexact
kl · sexactkl + 3 sexact
kl · sbruitkl +
3
2sbruit
kl · sbruitkl
= σexacteq
√1 + 2
sexactkl · sbruit
kl
sexactkl · sexact
kl
+sbruit
kl · sbruitkl
sexactkl · sexact
kl
= σexacteq
(1 +
sexactkl · sbruit
kl
sexactkl · sexact
kl
+1
2
sbruitkl · sbruit
kl
sexactkl · sexact
kl
+ . . .
)
= σexacteq + σbruit
eq +3
4
sbruitkl · sbruit
kl
σexacteq
+ . . . (A.3)
On a bien E(σbruiteq ) = 0. Normalement, le terme 3
4
sbruitkl
·sbruitkl
σexacteq
et la suite sont négligeables
au premier ordre. Mais lorque le bruit est important, on ne peut plus les négliger et ils
ajoutent un biais.
De manière identique pour S, on a :
S =3
2
sexact + sbruit
σexacteq + σbruit
eq + 34
sbruitkl
·sbruitkl
σexacteq
+ . . .
= Sexact +sbruit
σexacteq
− Sexactσbruiteq
︸ ︷︷ ︸Sbruit
+Sbiais (A.4)
avec E(Sbruit) = 0. Mais on a aussi un biais sur S si le bruit de départ est important.
Ensuite, on a également un biais sur matrice tangente [M ] :
En fait, si le bruit est petit, on a simplement :
[M ] = [M ]exact − [M ]bruit avecE([M ]bruit) = 0
Mais dès que le bruit est un peu plus grand et qu’on ne peut plus faire les approximations
d’ordre 1, on a :
[M ] = [M ]eb − [M ]bruit + [M ]biais
avec :
[M ]eb =
[[Q]−1 +
(Sexact + Sbiais) · (Sexact + Sbiais)∂σs
∂p
]−1
Biais dû au bruit 149
Ainsi, l’espérance de [M ] n’est pas [M ]exact mais un truc biaisé égal à [M ]eb + [M ]biais qui
tend vers [M ]exact lorsque le bruit a une norme qui tend vers 0.
A.2 Conclusion
Si le bruit est faible, toutes les espérances des bruits qui s’ajoutent seront nulles et il n’y
aura jamais de biais. Toutefois, le bruit n’est pas faible en réalité et d’ailleurs on n’a pas
vraiment de moyen d’estimer quelle est l’ordre de grandeur qui délimite les bruits très
très faibles. Dans ce cas, on est obligé de faire les développements limités jusqu’à l’ordre
2. On sait que E(xbruit.xbruit) 6= 0 pour n’importe quelle variable aléatoire, ce qui génère
des biais, d’abord sur σeq, puis par ricochet sur S, puis par ricochet sur matrice tangente
[M ], puis par ricochet sur toutes les contraintes σ calculées, et ainsi donc sur la fonction
coût, et donc finalement sur les valeurs qu’on va identifier avec la minimisation de cette
fonction coût.
Une idée est d’éliminer ce biais en corrigeant les contraintes avec un calcul direct par élé-
ments finis. En effet, la surface de l’éprouvette où les mesures de champs sont effectuées a
été maillée en éléments finis. On peut reconstruire les champs réels (déplacements nodaux)
en utilisant l’approximation éléments finis. L’utilisation du même maillage, mais à l’état
initial, avec les conditions aux limites (les déplacements nodaux obtenus précédemment)
permettent de réaliser un calcul direct. Ce calcul permet donc de reconstruire les champs
de contrainte réel avant l’apparition de la plasticité en éliminant ces erreurs locales.
150 Annexe A
Annexe B
Annexe
Revue des méthodes d’optimisation
Le paragraphe1.3.1 nous a permis de formuler le problème inverse sous forme d’un pro-
blème d’optimisation unique. Celui-ci à minimiser une fonction coût ou fonction objectif
implicite, non linéaire dont dépendent les paramètres du comportement à identifier. Pour
résoudre ce problème non linéaire (PNL), nous avons donc recours à des méthodes d’op-
timisation. Dans la littérature, nous distinguons les méthodes d’optimisation qui exigent
le calcul du gradient de la fonction à minimiser et les méthodes d’exploration directe dit
« méthodes d’ordre 0 » qui n’utilisent pas le calcul du gradient.
Les méthodes du gradient sont classique en optimisation [97, 98]. Elles comprennent prin-
cipalement les méthodes dérivant des méthodes de résolution d’un système d’équations
non-linéaires comme les méthodes de la plus grande de pente, les méthodes de gradient
conjugué, la méthode de Newton-Raphson, les méthodes de quasi-Newton [110] ou encore
les méthodes de Gauss-Newton, etc.
Quant aux méthodes d’ordre 0, on peut citer : les méthodes de Monte-Carlo [111–113],
les méthodes du simplexe [114, 115] et les méthodes génétiques [116–118], etc.
Nous allons donc ci-après présenter les deux catégories.
151
152 Annexe B
B.1 Méthodes à direction de descente classiques
La résolution d’un PNL est une tâche souvent très compliquée et nécessite normalement
l’utilisation d’une méthode numérique. Plusieurs aspects sont à prendre en compte dans
l’élaboration d’une méthode numérique pour la résolution d’un PNL :
– Existences d’éventuelles contraintes pour le PNL
– Eventuelle non convexité. C’est à dire, existence de plusieurs points stationnaires de
différente nature, donc nécessité de reconnaître les minimas, absolus ou locaux.
– Continuité et dérivabilité des fonctions
On va étudier un PNL standard sans contraintes :
min f(x); x ∈ Rn (B.1)
Stratégie générale de descente
L’idée fondamentale est de :
– démarrer d’un point faisable x0
– se déplacer itérativement vers des points faisables xk où la fonction Objectif prend de
valeurs plus petites
– arriver ainsi au minimum
La stratégie s’articule toujours en deux phases distinctes :
– recherche de la direction de descente dk, on cherche la direction dans laquelle on va
chercher le nouveau point. xk+1 = xk + tkdk
– recherche du pas d’arrête tkL’idée est de déterminer tk comme la valeur de t dans R qui minimise la valeur de f(x)
sur la direction dk par xk, on détermine donc tk comme la résolution du PNL.
minh(t) = f(xk + tkdk) (B.2)
Les différentes méthodes à direction de descente diffèrent donc par le choix de la recherche
linéaire et par le choix de la direction de descente . Quelques unes sont décrites dans les
paragraphes qui suivent.
B.1.1 Méthodes de recherche du pas d’arrête tk
Pour rechercher le pas tk , on peut utiliser parfois la méthode analytique, mais souvent les
méthodes numériques : itération à pas variable, interpolation quadratique, méthode de la
section d’or, méthode de Fibonacci, etc.
Méthodes d’optimisation 153
B.1.1.1 Méthode des itérations à pas variable
– on choisit un pas t > 0 et on pose
tk+1 = tk + t
– on continue jusqu’à ce que
h(ti+1) ≥ h(ti)
– on change de signe en réduisant la valeur de t et on continue ainsi.
– on s’arrête lorsque |ti+1 − ti| ≤ ε(ε choisi, ε > 0)
B.1.1.2 Méthode d’interpolation
L’idée est d’approcher localement h(t) par une fonction quadratique de t dont on trouve
facilement le minimum.
On prend trois points de h(t), de sorte à ce que h(t2) < h(t1), h(t2) < h(t3) avec t1 < t2 <
t3
Le min t∗ de la quadratique approche le min de h(t). t∗ = g(t1, t2, t3) (interpolation)
Des itérations sont possibles pour améliorer la précision, t∗ remplace l’un des trois points,
de manière à respecter toujours les conditions ci-dessus.
On s’arrête lorsque |t∗i+1 − t∗i | ≤ ε (ε choisi, ε > 0)
B.1.2 Méthodes du gradient pour la recherche de la direction de
descente dk
Ces méthodes utilisent les informations données par le gradient de f(x) pour la recherche
de dk. L’idée commune à toutes ces méthodes est celle de direction de descente.
Direction de descente : un vecteur d dans Rn est une direction de descente pour une
fonction f(x) : Rn → R, au moins C1, en x ∈ Rn si ∇f(x)Td < 0.
En fait, h(t) = f(x+ td), on a h′(t) = ∇f(x)Td.
Donc si d est une direction de descente, h(t) décroît en partant de x dans la direction d.
En fonction de la façon de choisir d, on a plusieurs méthodes de gradient : méthode de la
plus grande de pente (steepest descent method), méthodes de gradient conjugué, méthode
de Newton-Raphson, méthodes quasi-Newton ou encore méthode de Gauss-Newton.
154 Annexe B
B.1.2.1 Méthode de la plus grande de pente
Principe [119] : cette méthode est la plus simple des méthodes de descente. Celle-ci
consiste à choisir comme direction de descente "dk", celle présentant la plus grande pente,
c’est à dire l’opposé du vecteur gradient au point considéré xk.
dk = −∇f(xk) (B.3)
Le recherche linéaire (on détermine donc tk comme la résolution de l’équation B.2 per-
met alors de minimiser la fonction objectif selon cette direction de descente. La nouvelle
approximation des paramètres optimaux sera alors obtenue selon l’actualisation suivante :
xk+1 = xk + tkdk (B.4)
On calcule alors le vecteur gradient en ce nouveau point, afin de calculer une nouvelle
direction de descente.
Propriétés principales : la méthode de la plus grande est une méthode à convergence
garantie, mais lente. On constate en effet qu’elle converge rapidement loin de l’optimum
et qu’elle devient très lente dans le voisinage de celui-ci. C’est une bonne méthode locale,
mais pas globale. En fait, on peut démontrer que dans cette méthode il est :
dTk dk+1 = 0 (B.5)
Les directions de recherche consécutives sont donc orthogonales entre elles, et chaque
dk est orthogonal à la ligne de niveau de f(x) par xk et tangent à celle par xk+1. Il
s’ensuit que la méthode de la plus grande pente progresse avec des directions successives
perpendiculaires, ce qui limite fortement la vitesse de convergence dans des cas où la
fonction objectif présente une forme assez allongée.
B.1.2.2 Méthodes de gradient conjugué
Principe : ces méthodes se basent sur le concept de direction conjuguée : un ensemble de
vecteurs pi, i = 1, . . . , n est un ensemble de directions conjuguées pour f(x) si A étant
une matrice définie positive.
pTi Apj = 0 i 6= j
pTi Api = γi i = 1, . . . , n (B.6)
Méthodes d’optimisation 155
On constate que pi, i = 1, . . . , n forme une base de Rn (ces n directions de descente
successives sont linéairement indépendantes). On peut démontrer que si l’on utilise un
ensemble de directions conjuguées comme directions de recherche, on trouve le min de
f(x) en exactement n pas, n étant la dimension du PNL.
Propriétés principales : la méthode du gradient conjugué est une méthode classique
et efficace dans les problèmes simples, tels que les problèmes d’optimisation convexes.
Dans les problèmes inverses , celle-ci nécessite cependant un temps de calcul assez élevé
à chaque itération. En effet, le calcul de la direction de descente est assez peu coûteux,
mais la recherche linéaire requiert en général une dizaine d’itérations, nécessitant lors de
chacune d’elle une nouvelle évaluation de la fonction objectif et de sa dérivée directionnelle.
Cette propriété est malheureusement inhérente à toutes les méthodes de descente utilisant
une technique de recherche linéaire.
La méthode du gradient conjugué est très stable car, comme avec toutes les méthodes
de descente, le processus de convergence s’apparente à un parcours continu, linéaire par
morceau, sur l’hypersurface de la fonction objectif en direction de l’optimum recherche. Il
s’ensuit une variation assez continue et stable des valeurs des paramètres. Ceci a également
pour effet de rendre la méthode très sensible aux minima locaux. Celle-ci aura tendance
à converger vers le premier minimum, local ou global, qui se présentera au cours de la
convergence.
B.1.2.3 Méthodes Newton-Raphson
Principe : Si la matrice Hessienne de f(x) est symétrique définie positive, on prend
comme direction de descente :
dk = −[∇2f(xk)]−1∇f(xk) avec ∇2f(xk) matrice hessienne de f (B.7)
Pour le cas de la matrice Hessienne, si x0 est un point quelconque, le développement de
Taylor limité au deuxième ordre de chacune des composantes de f(x) s’écrit :
f(x) − f(x0) ∼= ∇f(x0)(x− x0) +1
2(x− x0)
T∇2f(x0)(x− x0) ⇒
par dérivation ∇f(x) = ∇f(x0) + ∇2f(x0)(x− x0) (B.8)
Si x est point de min :
∇f(x) = 0 ⇒ x = x0 − [∇2f(x0)]−1∇f(x0) (B.9)
156 Annexe B
Le calcul est itératif jusqu’au moment où les valeurs de x n’évoluent plus. Ainsi, la fonction
objectif a un minimum unique en x.
Propriétés principales : Cette méthode, contrairement aux méthodes du premier ordre,
sera plus efficace près de l’optimum que loin de celui-ci. On peut démontrer qu’elle converge
quadratiquement dans un voisinage de l’optimum [120].
B.1.2.4 Méthodes quasi-Newton
Principe : Les méthodes quasi-Newton sont dérivées de celle de Newton-Raphson ci-
dessus. Comme la détermination de la matrice Jacobienne et la matrice Hessienne, notée
H , de la fonction objectif f(x) n’est pas toujours facile à inverser, pour cette raison, on
utilise une approche numérique afin de déterminer la matrice Hessienne [98].
Soit Algorithme de Davidon-Fletcher-Powell (DFP) :
Hk+1 = Hk + tkdkd
Tk
dkqk−Hkqkq
Tk Hk
qTk Hkqk
(B.10)
Soit Algorithme de Broyden- Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) :
Hk+1 = tkdkd
Tk
dkqk+
(I −
dkqTk
qkdk
)Hk
(I −
qkdTk
qkdk
)(B.11)
Propriétés principales : Les méthodes BFGS et DFP sont très proches d’une méthode
de la plus grande pente (réputée rapide loin de l’optimum) et se rapproche de la méthode de
Newton au cours des itérations (réputée rapide près de l’optimum). Malgré ces propriétés
très intéressantes, cette méthode peut s’avérer assez lente pour des problèmes mal posés,
et nécessiter l’ajout de paramètres de stabilisation [110].
B.1.2.5 Méthode de Gauss-Newton
Principe : Celle-ci peut également être vue comme résultant de l’utilisation d’une mé-
thode de quasi-Newton sans recherche linéaire où la matrice Hessienne, est approximée, à
chaque itération, selon la relation B.1.
En effet, dans le cas d’une fonction objectif au sens des moindres carrés du type :
f(x) =1
2
Npst∑
i=1
[Pi(x) − P i]2 (B.12)
Méthodes d’optimisation 157
Où : Npst nombre de point de mesure ; Pi grandeur calculée au point i ; P i grandeur
mesurée au point i. On a :
∇2f(x) =
Npst∑
i=1
∇Pi(x)T∇Pi(x) +
Npst∑
i=1
∇2Pi(x)[Pi(x) − P i]
︸ ︷︷ ︸(∗)
(B.13)
Dans la méthode de Gauss-Newton, le terme (*) est négligé. La matrice Hessienne H est
alors donnée par :
H ∼=
Npst∑
i=1
∇Pi(x)T∇Pi(x) (B.14)
Propriétés principales : Cette méthode d’optimisation est très souvent employée en
identification de paramètres. Elle est spécifique à la minimisation des problèmes de moindres
carrés. Toutefois, [120] a démontré que dans le cas où la méthode de Gauss-Newton est uti-
lisée sans méthode de recherche linéaire, si le modèle direct est linéaire dans un voisinage
du jeu de paramètre optimal ou bien si le problème de moindres carrés est un problème
à faible résidu (c’est à dire que les erreurs de modélisation numérique et expérimentales
sont faible), alors la méthode de Gauss-Newton se comporte comme la méthode de New-
ton et converge quadratiquement. Par contre, dans le cas d’un problème fortement non
linéaire et à fort résidu, la méthode de Gauss-Newton peut ne pas converger. Il est alors
indispensable d’utiliser un algorithme de recherche linéaire afin de forcer la convergence
de la méthode.
B.1.3 Méthodes de descente classiques pour PNL avec contraintes
On s’intéresse à la solution d’un PNL standard (avec contraintes) :
min f(x) pour x ∈ Rn
avec g(x) ≤ 0; h(x) = 0 (B.15)
Il y a essentiellement deux stratégies numériques pour ce type de problèmes [97, 98] :
– ne pas faire appel aux multiplicateurs et donc aux informations données par les condi-
tions d’optimalité ; il s’agit de techniques connues sous le nom de méthodes de pénali-
sation et des barrières.
158 Annexe B
– utiliser les multiplicateurs, et les informations qui donnent ; appartiennent à cette stra-
tégie les méthodes duales et du lagrangien augmenté.
Dans tous les cas, on se ramène à la solution d’un PNL sans contraintes, et donc on peut
utiliser les algorithmes déjà présentés précédemment.
B.2 Méthodes d’ordre 0
Les méthodes classiques pour la résolution des PNL sont les meilleures en cas de convexité
Toutefois, elles ne sont pas indiquées (quoi-que utilisées) pour les PNL non convexes.
La dépendance de la solution finale du point de départ et l’impossibilité de savoir si le
minimum trouvé est global ou local sont des défauts intrinsèques aux approches classiques.
En outre, ces méthodes, qui s’appuient sur le calcul du gradient, sont difficilement appli-
cables aux PNL avec des fonctions objectif non régulières (discontinues ou avec gradient
discontinu) et à ceux qui dépendent de variables discrètes, comme c’est souvent le cas pour
les structures. L’avènement d’ordinateurs de puissance suffisante a rendu possible la mise
au point de méthodes complètement nouvelles, appelées souvent métaheuristiques.
Une métaheuristique est une méthode d’optimisation globale pour PNL non convexes et
qui est guidée dans sa stratégie de recherche par l’usage organisé d’une ou plusieurs règles
empiriques, qui s’inspirent d’un quelconque phénomène en le reproduisant synthétique-
ment.
– Généralement, les métaheuristiques sont des approches stochastiques, qui se basent
sur la génération d’une grande quantité de nombres aléatoires et sur des manipulations
probabilistes.
– D’habitude, elles ne nécessitent pas le calcul du gradient et traitent de façon identique
et sans difficulté tout genre de variables : continues, discrètes, groupées.
– Plus que de méthodes d’optimisation, il faut voir les métaheuristiques comme des mé-
thodes d’exploration du domaine de faisabilité
– Dans cette exploration le hasard joue un rôle important, mais normalement l’exploration
n’est pas aveugle : elle se base sur une auto-organisation du système dans la gestion
des informations qu’il est capable de tirer de l’exploration même
– Cette auto-organisation traite l’information et guide l’exploration en l’absence d’une
autorité centrale : c’est une forme d’intelligence artificielle.
Un grand nombre de métaheuristiques, avec plusieurs variantes, ont été mises au point
jusqu’aujourd’hui, citons par exemple : les méthodes de Monte-Carlo, les méthodes du
simplexe et les méthodes génétiques. . .
Méthodes d’optimisation 159
B.2.1 Méthodes de Monte-Carlo
Principe : Les méthodes de Monte-Carlo sont des méthodes très brutales [111–113]. Ils se
basent sur l’aide d’un générateur de nombre aléatoires on génère une suite de nombre au
hasard, qui sont autant de composantes de vecteurs faisables pour le NLPP. La distribution
de probabilité des variables peut être gérée (souvent il s’agit de distributions uniformes
sur un intervalle donné). On teste chaque vecteur faisable ainsi obtenu et on retient le
meilleur. Si le nombre de tirages aléatoires est suffisamment élevé on a l’espoir (mais pas la
certitude) de couvrir convenablement l’espace de recherche et donc de trouver une bonne
approximation du minimum.
Les algorithmes de tirage aléatoire doivent être bien conçus, pour éviter des problèmes
de boucles de tirage. Il est aussi indispensable d’établir a priori quel type de distribution
statistique utiliser (uniforme, normale, log-normale etc.).Des algorithmes de génération
aléatoire bien connus sont la méthode Lehmer généralisée pour la distribution uniforme
entre 0 et 1, la méthode de Box et Müller pour la distribution normale N(0, 1) etc. Il est
possible et recommandé d’utiliser des bibliothèques informatiques propres aux différents
langages de programmation, mais il faut toujours contrôler l’efficacité de l’algorithme de
génération de nombres aléatoires
Propriétés
– L’efficacité de l’exploration dépend fortement du problème, notamment de la fonction
objectif et du nombre de variables (elle décroît rapidement avec l’augmentation de la
taille du problème).
– Il s’agit d’une méthode totalement aléatoire : aucune indication des calculs précédents
n’est retenue dans la poursuite du calcul pour le guider vers des zone du domaines de fai-
sabilité susceptibles de contenir le minimum ; c’est une exploration sans intelligence,
mais rapide.
– Une variante de cette approche est celle de tirer aléatoirement les points de départ d’une
méthode classique de descente ; il s’agit donc d’une approche hybride.
Applications : On peut trouver des méthodes de Monte-Carlo appliquées dans les do-
maines les plus divers : identification d’endommagement des structures [111], identifica-
tion de langage [112], modèles chimiques [113] ou l’identification de l’endommagement
en dynamique rapide [121]. Dans le dernier cas, elle a été combinée avec celle de des-
cente de Levenberg-Marquardt. L’idée est de réaliser une recherche grossière, au début
de l’identification par un algorithme de Monte-Carlo puis un affinement de recherche par
l’algorithme de Levenberg-Marquardt. L’objectif a été d’exploiter les avantages de chacun
des algorithmes : la capacité du premier permet de ramener dans le voisinage du minimum
global et la vitesse de convergence du deuxième pour obtenir la valeur souhaitée de l’écart
160 Annexe B
expérience-calcul.
B.2.2 Méthodes du simplexe
Principe : [114, 115] Un simplexe est une forme géométrique non dégénérée, construite de
n+ 1 sommets dans l’espace des paramètres et ceci pour résoudre un problème d’optimi-
sation de n variables indépendants. Par exemple, en cas simple le nombre de paramètres
à optimiser est deux, le simplexe aura la forme d’un triangle. Une fois le simplexe initial
est construit à partir des valeurs initiales. On a : x0, x1, x2, . . . , xn sont les sommets du
simplexe, les valeurs de la fonction objective aux sommets du simplexe sont calculées et
rangées de telle sorte que : f(x0) ≤ f(x1) . . . ≤ f(xn). Parmi tous les sommets, la fonc-
tion objective prend la plus grande valeur f(xn) au sommet xn. On remplace xn par un
nouveau point où la valeur la valeur de la fonction objective en ce point est inférieure à
f(xn). Pour cela, on effectue une réflexion de ce point par rapport au centre de gravité
des n sommets restant. Cette étape de réflexion permet au Simplexe de s’éloigner vis à vis
de la région des grandes valeurs de fonction objective. Parmi les méthodes du Simplexe,
l’algorithme de Nelder-Mead est le plus utilisé par la facilité d’implantation.
Propriétés principales : Il existe de nombreuses variantes de la méthode du simplexe
qui ont pour but d’augmenter le taux de convergence de cet algorithme. Néanmoins, pour
un nombre important de paramètres, le cardinal des simplexes augmente, et la méthode
devient moins intéressante que les méthodes à direction de descente. De plus, il est à noter
que, même si généralement l’algorithme fonctionne bien, il existe des cas où la méthode
ne converge pas.
Applications Cet algorithme de Nelder-Mead apparaît dans "Optimization tool box" du
logiciel Matlab sous la fonction. Plus récemment, il s’est appliqué dans l’identification des
lois de comportement élastoplastique [24, 122].
B.2.3 Méthodes génétiques
Principe : Les méthodes génétiques sont des méthodes d’optimisation d’ordre zéro, qui
n’ont pas besoin de calculer des dérivées, mais uniquement des évaluations de fonction
objectif en différents points [116–118]. Ces alrorithmes génétiques travaillent sur une po-
pulation d’individus, representés par un code, et visent à l’amélioration de la population
entière plutôt quà celle d’un seul individu. La figure AAA présente le fonctionnement
général d’un algorithme génétique (AG) standard. Il se compose des étapes suivantes :
Méthodes d’optimisation 161
1. Entrée : Une solution potentielle au problème est représentée par un ensemble de
paramètres (les gènes) qui sont les variables de fonction objectif à minimiser. Ceux-
ci sont regroupés pour former une chaîne de valeurs (les chromosomes). Chaque
individu (une solution) est caractérisé par son chromosome.
2. Opérateur d’adaptation : Il s’agit de choix de la fonction de fitness f qui mésure
l’adaptation d’un individu par rapport au critère choisi (elle évalue la qualité d’un
individu comme solution potentielle d’un problème donné). En fonction du résultat,
ils se voient attribuer un "coefficient de convenance" qui déterminera la probabilité
de voir cet individu sélectionné pour être l’un des parents de la génération sui-
vante.Le choix de f n’est pas unique. Toutefois, f doit être une mesure de mérite
positive. Normalement f prend de valeur dans l’intervale [0, 1].
f = 0 : individu le moins adapté
f = 1 : individu le mieux adapté.
3. Opérateur de sélection : Sur la base des valeurs de fitness des individus, n/2
couples d’individus sont choisis pour la reproduction. Cette sélection peut se faire
de plusieurs façons, mais le concept est que les individus les mieux adaptés (ceux
avec f plus grande) ont une probabilité accrue de se reproduire par rapport aux
autres. En Nature, ceci correspond au fait que les individus plus "forts" (les mieux
adaptés) ont une probabilité majeure de vivre plus longtemps que les autres et donc
ils ont plus de temps pour se reproduire ; la sélection naturelle s’opère donc sur
la base de l’adaptation et de la probabilité de survie, qui lui est, statistiquement,
proportionnelle. Types de séléction plus employés : par tournement, par elitisme
n/2, par roue de loterie biaisée
4. Opérateur de croisement : Les chromosomes de deux individus sont coupés en
deux à une position aléatoire de la chaîne. Les "têtes" et les "queues" sont croisées
pour créer de nouveaux individus contenant un mélange des gènes des parents. Cette
technique est le croisement simple. Le croisement n’est pas obligatoirement fait sur
tous les individus d’une génération. Les individus non concernés par le croisement
sont simplement dupliqués. Ceci permet de transmettre à la génération suivante des
individus sans changement de leur chromosome.
5. Opérateur de mutation : la mutation est appliquée à tous les individus après
la phase de croisement. Elle altère de façon aléatoire chaque gène avec une faible
probabilité sa position est choisie au hasard. Le rôle de la mutation est celui de
"créer de la biodiversité" pour contraster la convergence prematurée.
6. Critère d’arrête : Si l’algorithme génétique est correctement construit, la popu-
lation évolue à travers les générations successives vers une population qui contient
162 Annexe B
de plus en plus de bons individus. On considère qu’un gène a convergé quand il a
la même valeur dans au moins 95% des individus. La population a convergé quand
tous les gènes ont convergé. Cependant, en imposant un nombre maximum de géné-
rations, on peut obtenir une population finale dont les individus sont différents et
ainsi choisir parmi eux l’individu le mieux adapté au problème.
Propriétés : Il s’agit d’algorithmes capables d’accumuler de l’information sur un espace
de recherche inconnu et de l’exploiter pour guider la recherche sur des sous-espaces pro-
metteurs. La recherche se fait par echange et recombinaison d’informations elementaires
(les schèmes ou motifs de similarité ; théoreme du parallelisme implicite), ce qui est plus
efficace d’une recherche totalement aléatoire, basée seulement sur la mutation → utilité du
sexe en biologie. Ce mécanisme est implicite : il emerge des propriétés d’auto-organisation
de l’information induite par sélectionnisme. La méthode de recherche n’est pas locale, mais
globale et distribuée sur l’entier espace de recherche → le problème de la non-convexité est
contourné à la base. Manipulation d’entités arbitraires codées → possibilité de traiter de
la même façon des variables de nature differente. Utilisation d’un minimum d’informations
sur les données (méthodes d’ordre 0) : on a besoin seulement d’une mesure d’adaptation
f . Les AG sont des algorithmes à impostation libre et en partie, auto-correcteurs.
Applications : AG a été utilisé pour l’identification de lois de comportement élastique
et viscoélastique de panneaux structuraux à base de bois par [13], pour le choix optimal
des stations d’appoint de chlore sur les réseaux d’eau potable [123]. et pour le dévelop-
pement "modular architectures" par [124], ou encore pour l’optimisation d’un dispositif
électromagnétique [125].
B.3 Conclusion sur les méthodes abordées
B.3.1 Méthodes à direction de descente
Emploi : Les méthodes de descente s’appliquent de préférence aux PNL : fonctions
continues, dérivables de variables continus, convexes (p. ex. fonctions quadratiques) et
sans contraintes. Avec des modifications ils s’appliquent aussi aux PNL : convexes avec
contraintes (avec méthodes de pénalisation ou barrières), non convexes (avec tirage aléa-
toire des points de départ) et non convexes avec contraintes.
Avantages : Elles ont un taux de convergence significativement plus élevé que les mé-
thodes d’ordre zéro.
Inconvénients : La solution est sensible par rapport au point de départ des itérations.
Pour les PNL non convexes on n’a pas la certitude de descendre vers le minimum absolu.
Méthodes d’optimisation 163
Difficulté à traiter les contraintes imposées au PNL. En fait, il faut empêcher à l’algorithme
de poursuivre son chemin de recherche au delà de la frontière du domaine de faisabilité,
mais avec prise en compte d’éventuels minima sur les bords.
Les méthodes à direction de descente nécessitent au moins le calcul du gradient de la fonc-
tion coût. Le calcul de ce terme peut être relativement complexe et coûteux en temps de
calcul. Cette étape, appelée analyse de sensibilité, est nécessaire à l’utilisation de méthodes
à direction de descente et peut prendre du temps. De plus, ces techniques ne permettent
d’atteindre que des minima locaux.
B.3.2 Méthodes d’ordre 0
Emploi : L’utilisation d’une méthode d’ordre zéro semble adéquate dans le cas où l’on veut
utiliser le modèle direct lorsque le modèle direct n’est pas différentiable. Elles réussissent
mieux que les méthodes classiques dans le traitement des problèmes de grande taille (même
des milliers de variables).
Avantages : Elles peuvent permettre d’atteindre des minima globaux. Un autre avantage
les méthodes c’est que normalement elles sont de programmation simple et à schéma rela-
tivement libre. Elles ne nécessitent pas le calcul du gradient et traitent de façon identique
et sans difficulté tout genre de variables : continues, discrètes, groupées. Inconvénients
Leur taux de convergence étant assez faible, il est à noter que, même si généralement
l’algorithme fonctionne bien, il existe des cas où la méthode ne converge pas.
B.3.3 Méthodes hybrides
Enfin, on peut citer l’existence de méthodes hybrides, combinant des algorithmes d’ordre
0 avec des algorithmes d’ordre un. Par exemple, Ghouati et Gelin [126] ont utilisé un al-
gorithme génétique pour initialiser une méthode de Levenberg-Marquardt. Cette méthode
permet de détecter les minima globaux et de s’affranchir du choix du jeu de paramètres
initial mais demeure tout de même relativement coûteuse en temps de calcul zéro. Plus
récemment, Nistor [121] a combiné la méthode Monte-Carlo avec celle de Levenberg-
Marquardt. L’objectif a été d’exploiter les avantages de chacun des algorithmes : la capa-
cité du premier permet de ramener dans le voisinage du minimum global et la vitesse de
convergence du deuxième pour obtenir la valeur souhaité de l’écart entre expérience-calcul.
164 Annexe B
Annexe C
Annexe
C.1 Développement du logiciel Camfit
L’avènement des mesures optiques de champ a ouvert la voie à l’utilisation d’essais mé-
caniques plus complexes (essais statiquement indéterminés) menant à des champs ciné-
matiques hétérogènes qui contiennent beaucoup plus d’informations que les essais clas-
siques (essais statiquement déterminés). Ces mesures permettent de développer des essais
statiquement indéterminés qui engendrent des champs de contraintes hétérogènes mul-
tidirectionnels dans la structure étudiée. Cela permet alors d’impliquer dans la réponse
mécanique un maximum de paramètres constitutifs de la loi de comportement du ma-
tériau. La mesure des champs cinématiques rend possible l’identification de l’ensemble
de ces paramètres à partir d’un essai unique [11, 35, 127]. Néanmoins, le traitement des
données doit recourir à une identification inverse puisque le champ de contrainte n’est pas
connu a priori. La méthode de champs virtuels (MCV) est un outil consacré à la résolution
de ce type de problème inverse qui permet d’identifier des paramètres de comportement à
partir de champs mesurés. Cette méthode est le fruit d’un travail de recherche riche d’au
moins quinze ans d’études [19].
Elle est maintenant validée en élasticité et en plasticité [20, 30, 35, 92, 94]. Un des pro-
blèmes principaux aujourd’hui entravant la diffusion de la méthode est que les chercheurs
qui souhaitent l’appliquer doivent fournir un important travail de programmation pour la
rendre opérationnelle. Il faut avoir un logiciel spécifique permettant aux utilisateurs de
manipuler sans devoir entrer complètement dans la théorie, dans le même esprit qu’un
code de calcul par éléments finis. Ce logiciel peut être utilisé sans avoir besoin de pro-
165
166 Annexe C
grammer la routine entière. C’est la raison pour laquelle ce logiciel a été développé, appelé
CamFit. Il est implanté sur MATLABr et utilise une interface graphique rendant son uti-
lisation conviviale. L’ambition du LMPF est de proposer ce logiciel au public (site web :
www.camfit.fr).
C.2 Présentation du logiciel Camfit
Le logiciel Camfit est l’intégration de différentes routines existantes présentées dans [20,
30, 35, 92, 94], ainsi que les nouveaux développements présentés au chapitre 3. L’interface
graphique utilisateur de CamFit est un ensemble d’éléments graphiques programmés sous
MATLABr qui permettent l’interaction entre des (parties de) programmes et l’utilisateur
en affichant différentes informations (textes, graphiques, images, . . . ) et en déclenchant
des actions (callbacks) à la suite d’évènements : clic de souris, déplacement de souris,
entrée au clavier, . . . ). Les fonctions du logiciel de CamFit sont les suivantes.
C.2.1 Préprocesseur
L’interface du « Préprocesseur » est présentée sur la figure C.1. Elle permet de lire
des données brutes fournies par des techniques expérimentales telles que la corrélation
d’image [19], l’interférométrie de speckle [127] ou la méthode de grille [30]. « Données
brutes » signifie : des matrices de données portant les valeurs de déplacement fournies
par ces techniques. Les matrices sont tridimensionnelles : deux directions sont affectées
à la couverture spatiale de la zone d’intérêt et la troisième direction est affectée aux dif-
férents temps auxquels des mesures sont réalisées tout au long d’un essai. Une fois lues,
les données brutes sont converties dans un format qui peut être reconnu par les fonc-
tions suivantes. Les paramètres constants concernant la géométrie, telles que l’épaisseur
de l’éprouvette et la taille du pixel, sont aussi sauvegardés.
Cette routine est associée au bouton « Preprocessor » de l’interface graphique. Une fois
qu’on clique sur ce bouton, cette routine est lancée automatiquement. Ce sous-programme
sert à ouvrir le fichier de données de format *.mat, et à charger les données que l’on va
traiter, puis à mettre ces données dans un format standard de vecteur colonne, afin de les
enregistrer sous un fichier de format *.pre. Le fichier *.pre contient les données suivantes :
– UX, UY, qui sont des vecteurs les déplacements mesurés en chaque point de mesure
selon la direction horizontale et verticale ;
– X, qui est le vecteur des abscisses de l’ensemble des points de mesure ;
– Y, qui est le vecteur des ordonnées de l’ensemble des points de mesure ;
Logiciel Camfit 167
– Load, qui est un vecteur de deux colonnes ; la première colonne donne la valeur de
la force appliquée à chaque étape de chargement, la deuxième donne la longueur des
vecteurs UX ou UY à chaque étape ;
– d’autres paramètres tels que la taille du pixel, le nombre de trous dans l’éprouvette,
l’angle d’orientation des fibres si le matériau étudié est un composite unidirectionnel,
etc.
C.2.2 Fitting
Le sous-programme « Fitting » (voir figure C.2) sert à préparer les données nécessaires
avant d’identifier les paramètres de comportement du matériau étudié à partir du fichier
*.pre. Il se compose des sous-routines suivantes :
Contour
L’utilisateur doit définir la frontière de la zone d’intérêt sur la première carte des champs
de déplacement en cliquant sur « Contour », la fonction « gen-contour » s’exécute pour
détecter le contour selon le choix de l’utilisateur, la fonction « gen-contour » est codée
dans le fichier « gen-contour.m ».
Meshing
On peut utiliser « Meshing » pour faire le maillage en éléments finis triangulaires en
fonction de la forme d’éprouvette. En déclenchant la fonction « gen-maillage », un maillage
en triangles sera créé, avec une taille de maille choisie par l’utilisateur. Les triangles sont
utilisés plutôt que tout autre élément parce qu’ils sont simples et qu’ils peuvent s’adapter
facilement à n’importe quelle géométrie.
Reconstruction
Une fois qu’on choisit la fonction « Reconstruction », une reconstruction approximative
des champs de déplacements est réalisée à partir des mesures. La fonction est basée sur
les moindres carrés linéaires (comme expliqué au chapitre 3).
L’effet de filtrage de cette approche est très significatif, car des résolutions de déformation
de l’ordre de 10−5 peuvent être atteintes [34].
Une fois les fonctions « Meshing » et « Reconstruction » appliquées, les données sont alors
enregistrées dans un fichier avec le même nom que le fichier *.pre du début mais sous le
format *.post. Finalement, le fichier *.post contient les données suivantes :
– X1, qui est le vecteur des abscisses de l’ensemble des nœuds ;
– Y1, qui est le vecteur des ordonnées de l’ensemble des nœuds ;
168 Annexe C
– TRI, qui est une matrice composée d’autant de lignes qu’il y a d’éléments ; chaque ligne
contient le numéro des trois nœuds composant l’élément triangle concerné ;
– UXnodal, qui est le vecteur déplacement horizontal de l’ensemble des nœuds pour le
maillage défini précédemment ;
– UYnodal, qui est le vecteur déplacement vertical de l’ensemble des nœuds pour le
maillage défini précédemment ;
– UXXG est vecteur gradient suivant la direction horizontale du déplacement horizontal
sur chaque élément du maillage ;
– UYYG est vecteur gradient suivant la direction verticale du déplacement vertical sur
chaque élément du maillage ;
– UXYG est vecteur gradient suivant la direction verticale du déplacement horizontal sur
chaque élément du maillage ;
– UYXG est vecteur gradient suivant la direction horizontale du déplacement vertical sur
chaque élément du maillage ;
C.2.3 Identification
Il s’agit d’une routine permettant l’identification des paramètres du comportement des
matériaux étudiés (figure C.3). Différentes lois de comportement peuvent être considérées :
l’élasticité linéaire [23], l’élastoplasticité ou l’elasto-visco-plasticité [34]. Plusieurs modes
de chargement peuvent aussi être traités.
Globalement, le principe est le suivant : une matrice de rigidité est construite, corres-
pondant au maillage de la géométrie de l’éprouvette défini précédemment. Cette matrice
de rigidité, notée [K], dépend de paramètres constitutifs inconnus (notés p). L’équation
suivante devrait être satisfaite à tous les nœuds :
[K(p)] U = F (C.1)
où F est le vecteur des forces nodales déduites à partir de conditions de frontière
connues. Les paramètres pilotant la loi de comportement p sont récupérés en annulant
(dans le cas de l’élasticité linéaire) ou en minimisant (pour les équations constitutives
non-linéaires comme la plasticité) l’écart par rapport aux équations du type suivant :
U∗t [K(p)] U = U∗t F (C.2)
où U∗ est un champ virtuel de déplacement, ces champs virtuels doivent satisfaire des
conditions aux limites cinématiques particulières, de manière à impliquer la résultante des
Logiciel Camfit 169
efforts extérieurs mais pas leur distribution, qui est inconnue. De plus, ils sont également
choisis pour minimiser l’effet des bruits blancs sur l’identification. Il s’agit des champs
virtuels optimisés en élasticité [93] ou en plasticité (voir chapitre 3).
Les lois de comportement suivantes peuvent être considérée en vue d’une identification
dans le logiciel : l’élasticité linéaire isotrope [20, 94], l’élasticité avec endommagement par-
fait [30], l’élasticité linéaire orthotrope [20, 92], la viscoplasticité de type Perzyna [128], la
plasticité avec écrouissage isotrope, écrouissage cinématique, ou encore la combinaison des
deux (voir partie 2.AA). Les résultats de l’identification sont ajoutés au fichier d’extension
*.post.
C.2.4 PostProcessor
L’exécution de ce sous-programme permet d’afficher des informations choisies (résultats,
textes, graphiques, images) à partir du fichier d’extension *.post. Dans le « PostProces-
sor », l’utilisateur dispose des choix d’affichage suivants :
– Affichage du déplacement horizontal brut mesuré.
– Affichage du déplacement vertical brut mesuré.
– Affichage du déplacement horizontal reconstruit.
– Affichage du déplacement vertical reconstruit.
– Affichage de la déformation εxx reconstruite.
– Affichage de la déformation εyy reconstruite.
– Affichage de la déformation εxy reconstruite.
– Affichage du maillage utilisé.
– Affichage des résultats d’identification.
C.3 Conclusion
Le développement des interfaces a été fait pendant cette thèse. Cela a permis de réaliser
les validations numériques et expérimentales de manière automatique.
170 Annexe C
Figure C.1: Interface graphique de la routine « Preprocessor ».
Figure C.2: Interface graphique de la routine « Fitting ».
Logiciel Camfit 171
Figure C.3: Interface graphique de la routine « Identification ».
172 Annexe C
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Étude approfondie de l’identification du comportement des matériaux métal-liques au de là de leur limite d’élasticité par la méthode des champs virtuels
Résumé Ce travail a apporté une nouvelle procédure d’identification à la méthode deschamps virtuels (MCV) en élastoplasticité. Pour cela, plusieurs verrous scientifiques ontété levés, particulièrement concernant la formulation du choix des champs virtuels etleur optimisation grâce à l’algorithme de Newton-Raphson pour une loi de comportementnon linéaire. Les développements ont été tout d’abord validés avec succès en utilisantles données simulées par éléments finis. Ensuite, un acier inoxydable 316L a été choisipour la validation expérimentale. Des essais de traction suivie d’une compression sur deséprouvettes planes avec deux entailles réalisant un état de contrainte plane hétérogèneont été effectués. Les champs cinématiques ont été mesurés à l’aide de la méthode degrille. Dans un premier temps, un chargement monotone a été considéré avec utilisationdu modèle d’écrouissage exponentiel de Voce (6 paramètres). Les résultats obtenus avecla MCV coïncident avec les valeurs de référence données par les essais normalisés. Dansun deuxième temps, un chargement de traction-compression a été considéré. Un modèlecinématique non linéaire simple à cinq paramètres a été identifié. Bien que le début dela plasticité en traction reste problématique, les résultats obtenus montrent globalementune bonne concordance avec la référence. Il est clair qu’il y a des erreurs locales qui sontdues au bruit blanc ou d’autres sources d’erreurs. Ces ereurs font localiser la plasticitéanormalement tôt dans les essais. Cela perturbe l’identification dans la zone de début deplasticité. Il est nécessaire d’améliorer le calcul des contraintes à l’avenir.
Mots-clés : méthode des champs virtuels, champs virtuels optimisés, mesure de champ,élastoplasticité, écrouissage isotrope, écrouissage cinématique, chargement non monotone,problème inverse.
Thorough study to identify elasto-plastic constitutive parameters of metallicmaterials by the virtual fields method
Abstract This work brought a new identification procedure to the virtual fields method(VFM) in elasto-plasticity. The advances concerned in particular the formulation of thechoice of the virtual fields and their optimization thanks to the algorithm of Newton-Raphson for a nonlinear behaviour law. Firstly, the developments were validated success-fully by using finite element simulated data. Then, a 316L steel was selected for the ex-perimental validation. The traction-compression tests on plane double-notched specimenswere carried out. The kinematic fields were measured using the grid method. Initially, amonotonic loading was considered with use of the exponential work hardening Voce model(6 parameters). The results obtained with the VFM coincided with the reference valuesgiven by the standard tests. Then, a traction-compression loading was also considered. Asimple five parameters nonlinear kinematic hardening model was identified. Although thebeginning of plasticity in traction remains problematic, the results obtained show globallya good agreement with the reference. It is clear that there are errors due to the noisydata or other sources. These errors result in abnormal early plasticity detection in thetests. This disturbs the identification in the early stages of plasticity. It is necessary inthe future to improve the calculation of the stresses.
Key-words : virtual fields method, optimized virtual fields , full-fields measurement,elasto-plastic behaviour, isotropic hardening, kinematic hardening, heterogeneous tests,nonmonotonic loading, inverse problem.