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jehan-boutin
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1. Les matériaux
Les matériaux seront considérés comme homogènes et isotropes,
homogène : on dit qu’un matériaux est homogène, s’il possède les
mêmes caractéristiques en tous ses points. (Caractéristiques
mécaniques)
isotrope : on dit qu’un matériaux est isotrope , lorsqu’il possède les mêmes caractéristiques dans
toutes les directions.
Les hypothèses d’études de la RDM
Les hypothèses d’études de la RDM
On appelle poutre un corps solide dont la représentation géométrique est un volume engendré par la surface
lorsque son barycentre G se déplace sur la courbe C.
la forme de la surface peut évoluer le long de la courbe, cette variation
doit être faible et progressive
2. Définition d’une poutre:
la courbe est une ligne droite ou une courbe à grand rayon de courbure R > 5 . D max
Les hypothèses d’études de la RDM3. Les actions mécaniques extérieures:
La poutre étant définie par sa ligne caractéristique, toute action mécanique extérieure sera représenté par un torseur exprimé en un point de cette ligne
Ces actions mécaniques extérieures peuvent être concentrées ou réparties
Profilé rectangulaire 100*100
Les hypothèses d’études de la RDM
Ordre de grandeur:les déformations ( déplacements des points de la ligne caractéristique) sont
petites par rapport aux dimensions de la poutre
Hypothèse de Navier-Bernouilli:Toute section droite avant déformation, reste, après déformation, une section droite
4. Hypothèses sur les déformations
Les hypothèses d’études de la RDM5. Torseur des actions mécaniques de cohésion:
Le torseur des actions mécaniques de cohésion au niveau de la surface représente les actions mécaniques
exercées par S+ sur S-.
),,(
zZYY
G
SSMfTMfTMtN
TZYX
N : effort Normal
Mt : moment de torsion
Ty : Effort tranchant suivant y
Mfy : moment fléchissant suivant y
Tz : effort tranchant suivant z
Mfz : moment fléchissant suivant z
Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:
Si on étudie l’équilibre de S+ on obtient:
On a donc deux possibilités pour déterminer le torseur des actions mécaniques de cohésion.
{TAM1} + {TAM2} + {TS+ / S-} ={0}{TAM3} + {TAM4} + {TS- / S+} ={0}
On l’exprime impérativement au point G, barycentre de , et on le projette sur la base locale (x,y,z) Ses composantes se notent conventionnellement
Exercice Torseur de cohésionUne poutre 1 est en liaison pivot d’axe (A,z) et en contact ponctuel de normale (D,y)
avec un solide 0Des actions mécaniques extérieures exercées sur 1 sont représentées par deux torseurs en B et C:
RB
extT
00
01000
0500
11
RC
extT
00
01000
00
12
on donne: A(0,0,0) B(1,0,0) C(2,0,0) D(3,0,0) longueur en m
0
A DCB
1
A. Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D
B. Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {TS+/S-}
C. Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x)
Exercice Torseur de cohésionA. Déterminer les inconnues des torseurs des liaisons en A et D
Si on isole la poutre 1 : elle est soumise à 4 actions mécaniques extérieures
RB
extT
00
01000
0500
11
RC
extT
00
01000
00
12
000Y0 X
T 0/10/1
A
0/1A A
A
000 Y00
T 0/1
D
0/1 D D
Si on applique le P.F.S en A on obtient:
On obtient les équations suivantes:
011
R
0)11(
AM
500+XA 0/1=0
-2000+YA 0/1+YD 0/1=0
-(10001)-(10002) +(YD
0/13)=0
XA 0/1= -500N
YD 0/1= 1000N
YA 0/1= 1000N
0
A DCB
1
0 TTTT 0/1DAA0/1A12A11A extext
x
0
A DCB
1
G
x
0
A DCB
1
G
Exercice Torseur de cohésionB. Écrire le torseur de cohésion le long de la poutre {TS+/S-}
Si on effectue une coupure entre[AB] : avec G(x,0,0) et x [0,1]
0TT 0/1GSSG A Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:
N = +500 NTy = -1000 NTz = 0 N
Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000.x (N.m)
Si on effectue une coupure entre[AC] : avec G(x,0,0) et x [1,2]
Si on étudie l’équilibre de S- on obtient:
0 TTT EXT/11GA0/1GSSG
N = 0 NTy = 0 NTz = 0 N
Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000 (N.m)
A
0
DCB
1
G
x
Exercice Torseur de cohésionSi on effectue une coupure entre[AD] : avec G(x,0,0) et x [2,3]
0TT D0/1GSSG
N = 0 NTy = 1000 NTz = 0 N
Mt = 0 N.mMfy = 0 N.mMfz = 1000.(3-x) (N.m)
C. Tracer les diagrammes N(x),T(x) et Mfz(x)
Ty en Newton
x en m1 2 3
-1000
1000
Mfz en N.m
x en m
1 2 3
1000
N en Newton
x en m
1 2 3500
Les hypothèses d’études de la RDM6. Notion de contrainte
Définition du vecteur contrainte : Une coupure est effectuée au niveau de la surface soit M un point de cette surface soit un élément de surface d autour de M, l’effort élémentaire transmissible par entre S+ et S-
on appelle vecteur contrainte au point M pour la coupure de normale le vecteur :
SSFd
dFdC SSXM
),(
Unités : - en N
- en m2
- - en Pa ou Mpa
SSFd
d
),( XMC
Contrainte normale et contrainte tangentielle :
Si on fait une projection vectorielle du vecteur , on obtient :
MMXM xC .),(
Où σ est le vecteur contrainte normale et τ est le
vecteur contrainte tangentielle.
Les hypothèses d’études de la RDM6. Notion de contrainte
Si on projette ce vecteur dans la base on obtient
ZYX
,,
z
yM
XMC
),(
est la composante normaleest la composante tangentielle suivant est la composante tangentielle suivant
My Y
y Z
Relation entre contrainte et torseur de cohésion en G.
Si on généralise ce torseur pour tous les points de la surface , on montre que
dXMG
dXMSS
G
SS
CGMMd
CFdT
),(
),(//
z
y
M
)X,M(C
avec
N = Mt :
Ty = Mfy :
Tz = Mfz :
Σ
(M) dσ
Σ
M)( dy
Σ
M)( dz
Σ
y(M)- z(M) ]dz[y
Σ
(M)- ]dz[
Σ
(M)- ]dy[
1. Sollicitation: La Traction
Zone d’étude (Kt=1)
Zones qui nécessitent des ajustements (Kt>1)
Biellette soumise à de la traction
Traction (N>0) ou Compression (N<0)
SN
RG
N
00
00
0
Torseur de cohésion: {TS+/S- }=
Relation contrainte - déformation : Loi de Hooke :
LlE
Condition de résistance : Rpeσmax
avec : σKσ tmax
sReRpe
Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce . s : coefficient de sécurité
2. Sollicitation: La Flexion
Rfz
GM
0
00
00
Rpeσmax
Torseur de Cohésion {TS+/S-}= (flexion pure)
Contrainte normale maxi:
Condition de résistance:Max
GZ
fzM
YIMσ max
Kt coefficient de concentration due à une forme particulière de la pièce .
s : coefficient de sécuritéIgz est le moment quadratique de la section
droite de la poutre
avec : maxMtmax σKσ s
ReRpe
Torseur de Cohésion {TS+/S-}= (flexion simple)
Rfz
GM
Ty
0
0
00
h
b
y
z G 12bIgz h3
4πI R4
Gz
y
zG
R
(flexion simple)
Exercice sur la FlexionI Présentation:
•La potence ci-dessous permet de soulever des charges de 500Kg maximum quand le palan 4 se trouve à l’extrémité de la flèche 1.
•Cette flèche ainsi que l’équerre 3 forment un ensemble articulé avec le fût 2.
•Le fût est fixé au sol.
•L’étude porte sur la flèche 1 considérée encastrée avec l’équerre 3.
III – TRAVAIL DEMANDÉ :
1. Connaissant le torseur de cohésion le long de la poutre, en déduire les types de sollicitation supportées par cette poutre.
2. Déterminer la contrainte maxi, en déduire le coefficient de sécurité adopté pour cette construction, conclusion?
II - DONNÉES :
Profilé constituant la flèche 1 : IPE 200 en acier S355 ; Re = 355 Mpa
Hypothèses :Le poids propre de la poutre est négligé.
5000 N
Modélisation:
BA
2.2 m
cm3194.32YIMaxGZ
Exercice sur la Flexion1.On donne le torseur de cohésion le long de la
poutre:
RG
SS
x
T
)2.2(50000
05000
00
/ 5000 N
Modélisation:
BA Gx
Ty en Newton
x en m
2.2
-5000
Mfz en N.m
x en m
2.2
-11000
La poutre est soumise à de la flexion simple:- du cisaillement Ty= -5000N- de la flexion: Mfz= -5000(2.2-x)
MaxGZ
fzM
YIMσ max
2. Calcul de la contrainte maxi:
56.6Mpa194320
11000000σ maxM
Rpeσmax
sReσmax
88.36.56
220σResmax
maxσRes