HIDRAULIHIDRAULIČČKI PRORAKI PRORAČČUN CIJEVNIH UN CIJEVNIH MREMREŽŽAA

Prof. dr. sc. Zdravko Virag, prof. dr. sc. Mario Šavar

Zagreb, 18. – 20. veljače 2019.

Sadržaj prezentacije:

1. Uvod

2. Osnovne jednadžbe

3. Armatura

4. Pumpe

5. Metoda Hardy‐Crossa

6. Računalni program ‐ primjeri

UVOD

• Cjevovodne mreže uglavnom rade u približno stacionarnom režimu (uključivanje jednih i isključivanje drugih malih potrošača u sustavu  izaziva male poremećaje, a karakteristično vrijeme za te promjene mogu biti sati). Takve se promjene opisuju sekvencom stacionarnih stanja strujanja. Tranzijentne pojave nastaju naglom promjenom radnog režima (mjerenog u sekundama), npr. ispadom pumpe, i one zahtijevaju posebnu pažnju.• Cjevovodni sustavi pretežno rade u “stacionarnom režimu” (temeljem kojega se cjevovodi dimenzioniraju, vrši izbor materijala, armature, .......)• Potrebe poznavanja stacionarnog strujanja u cjevovodnim sustavima:‐ Otkrivanje mjesta s minimalnim tlakom/potrošnjom, otkrivanje “uskih grla”‐ Za pravljenje scenarija “što bi bilo kad bi bilo” – izračunavanje transportnih mogućnosti, proširenja i rekonstrukcije mreže, izdavanje energetske suglasnosti ...  ‐ Za potrebe vođenja i upravljanja mrežom ‐ Za potrebe obuke operatera mreže

OSNOVNE JEDNADŽBE

Jednadžba kontinuiteta1) Za krutu cijev i nestlačivi fluid

1Q 2Q 1 2 sr konst.Q Q Q v A= = = =

1) Za račvanje (koje ima stalan volumen) i nestlačivi fluid

D 2 / 4A D π=

1Q

2Q

3Q

4Q

1 2 3 4Q Q Q Q+ = +

ulazni protok = izlazni protok

Bernoullijeva jednadžba

Pretpostavke:‐ Stacionarno strujanje‐ Idealni fluid

s

( ) d, dsvv v s a vs

= =

ds

dA

p∆Ad d ddpp s As

⎛ ⎞⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

II. Newtonov zakon: ma=F u smjeru s

d

d dd d d d d dd d s

z

v pA sv s A g A sk es s

ρ ρ=− − ⋅

2 22

1 1

d d2v p g zρ ρ

⎛ ⎞⎟⎜ + =−⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫2 2

1 22 2v vp gz p gzρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ + = + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2

1 22 2v p v pz zg g g gρ ρ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜+ + = + +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ph zgρ

= + = Piezometrička visinatot

2 2

2

1

2 2

h

v vh hg g

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎟+ = + ⎟⎜⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠

Modificirana Bernoullijeva za stacionarno strujanje u cijevi (1)

srv

2 32sr sr

3sr

1 gdje je = d2 2 2A

v vv Av A

α α⇒ ∫1) Ispravak kinetičke energije

Za turbulentno strujanje: =1,03 do 1,10α

U praksi se uzima α = 1, a srednja brzina se podrazumijeva: vsr= v

2) Trenje: sila trenja pretvara mehaničku energiju u unutarnju (“gubici” energije)

L,ρ µ1p 2pD

Linijski gubici:

2 21 2

f 2 5

82

p p L v LQhg D g D g

λ λρ π−

= = =

Lokalni gubici:

1p 2p

2 21 2

fm 2 4

82

p p v Qh K Kg g D gρ π

−= = =

2 2ekv

f ekv 2 2

L v v KDh K LD g g

λλ

= = ⇒ =

Modificirana Bernoullijeva za stacionarno strujanje u cijevi (2)

3) Pumpa 

1 1, h v 2 2, h v

Visina dobave pumpe:

2 22 1

P 2 12 2v vh h hg g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Snaga koju pumpa daje:

P PP gQhρ=

2 22 2 1 1

2 2 1 1 P f fm2 2v p v pz z h h hg g g g

α αρ ρ

+ + = + + + − −∑ ∑

4) Turbina 

1 1, h v 2 2, h v 2 21 2

T 1 22 2v vh h hg g

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠T TP gQhρ=T

Pad visine energije u turbini:

Snaga koju turbina uzima:

Modificirana Bernoullijeva jednadžba za nestlačivo strujanje u krutoj cijevi:

Modificirana Bernoullijeva – jednostavni cjevovod

Modeliranje faktora trenja  λ = λ ( Re, k/D )

2

f 2 5

8LQhD g

λπ

=

Modeliranje faktora trenja  (2)

4vD QReD

ρ ρµ π µ

= =4vD QReDυ π υ

= =

64Re

λ =

1 2 51190 86859 ln 0 2698 k ,, ,D Reλ λ

⎛ ⎞= − ⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 9

1 3255 74ln

3 7 ,

,k ,

, D Re

λ =⎡ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Laminarno strujanje  Re < 2300:

Turbulentno strujanje formula Colebrook ‐White

Eksplicitna formula Swamee‐Jain, koja je dovoljno točna, a primjenjiva praktički za čitavo područje Moodyjeva dijagrama uz Re>5000, a koja glasi

ili

(analitičko rješenje Hagen‐Poiseuillea)

Lokalni gubici – armatura i spojni elementi (1)

2

tot,2 tot,1 2vh h Kg

= −

Model:

cijev

Lokalni gubitak K1 2

cijev

Napomena:  Gubici  u ventilima,  zapornicama, jednosmjernim  ventilima i  ostaloj  armaturi  su posljedica  vrtloženja strujanja,  koje  je  će  biti to  veće  što  je  skretanje strujanja  veće.  Potpuno otvoreni  kuglasti  ventil ima zanemarive gubitke.

Tipični  dijagram  za  koeficijent lokalnog gubitka koljena

v

Lokalni gubici (2)

• Koeficijent  lokalnog gubitka  je kao  i  faktor trenja,  funkcija Reynoldsova broja  i hrapavosti  stjenke.  Kao  i  kod  faktora  trenja,  pri  visokim  vrijednostima Reynoldsova broja, koeficijent poprima konstantnu vrijednost.• U dugim cjevovodima lokalni gubici čine mali postotak od ukupnih gubitaka, pa se mogu  obračunati,  kroz  povećanu  hrapavost  stjenke  cijevi  (povećani  faktor trenja). • Kod  kratkih  cjevovoda  lokalne  gubitke  treba  pažljivo modelirati.  Ako  se  dva lokalna gubitka nalaze blizu jedan drugome, lokalni gubitak je u pravilu veći nego da su oni na velikoj udaljenosti.• Pri istrujavanju iz velikog spremnika, profil brzine u cijevi je gotovo ravnomjeran po  presjeku,  a  s  udaljavanjem  od  spremnika  on  se  razvija  (izobražava). Gubici trenja su u početku razvoja profila veći nego u izobraženom strujanju.• Slično vrijedi i za račvanje strujanja, profil se nakon račvanja treba izobraziti.• Preporuka: model sustava treba kalibrirati usporedbom s mjerenjima.

Lokalni gubici ‐ račvanje(3)• Postoje  različiti  koeficijenti  lokalnog gubitka za grane koji zavise od kuta račvanja, smjerova  strujanja,  omjera  protoka  i površina poprečnog presjeka. Komplicirano!1Q0Q

2Q±

3

U  dugim  cjevovodima,  gubitak račvanja se zanemaruje.

Model:

cijev3 4

cijevModel:

cijev3

cijev

cijev

0Q 1Q

2Q±

U kratkim cjevovodima

cijev

1Q0Q

2Q5

01K

02K

U  nekim  situacijama  koeficijent  K02može biti negativan!

Lokalni gubici (4)

Istjecanje iz velikog spremnika: Utjecanje u veliki spremnik:

H1

pa aspr. 1

ph Hgρ

= +

0 04K ,=

0 2 0 5K , ,= −

0 8K ,=

Model:

spr.h

12

1 2 2

tot,2 spr. 2vh h Kg

= −

K cijev

Lokalni gubitak

pa

H2

34

aspr. 2

ph Hgρ

= +

3v v=

4 a 2p p gHρ= +3 4p p=

2

tot,3 spr. 2vh hg

= +

Model:

spr.h3 4

1K =

cijev

Lokalni gubitak

Lokalni gubici (5)

Naglo proširenje Mlaznica

21

fm 2vh Kg

=

Model:

1 2K

uža cijev

Lokalni gubitakna užoj cijevi

Model:

a4

ph zgρ

= +

3 41 K+

cijev

Lokalni gubitakNa promjeru d

1v 2v

22122

1 DKD

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠

šira cijev

pa1 v , D

2v , d22

fm 2vh Kg

=

3 4

33

ph zgρ

= +

Jedinica obračunavavisinu kinetičke energije

22

2vg

Jednosmjerni ventil (zaklopka)

Dopušta  strujanje  samo  u  jednom smjeru

Dok  je  strujanje  u  dopuštenom  smjeru, modelira  se  kao  i  svaki  drugi ventil, pomoću koeficijenta lokalnog gubitka K.

Za strujanje u nedopuštenom smjeru koeficijenta  lokalnog gubitka K se postavlja  na  visoku  vrijednost  (npr.  1020),  koja  će  osigurati  da  protok bude praktički  jednak nuli, a da se može  izračunati razlika tlaka  ispred  i iza ventila.

Regulacijski ventil tlaka

Ovaj ventil na izlazu zadržava regulirani tlak preg, sve dok kroz njega protječe fluid i dok je tlak na ulazu ventila veći od reguliranog tlaka. Funkciju ovog ventila se modelira lokalnim gubitkom promjenjivog koeficijenta lokalnog otpora Kreg, koji se računa iz formule: 

2ispred reg reg

12

p p K vρ− =

Vrijednost koeficijenta lokalnog otpora Kreg ne može biti manja od minimalno zadane vrijednosti (Kzad).

Ako bi tlak na izlazu iz ventila postao veći od tlaka na ulazu, ventil se zatvara, što se modelira visokom vrijednošću koeficijent lokalnog gubitka ( npr. Kreg =1020). 

Regulacijski ventil protoka

Zadatak regulacijskog ventila protoka je osigurati točno propisani protok Qreg kroz ventil sve dok je razlika tlakova ispred i iza ventila veća od neke potrebne razlike ∆pmin. Pri toj razlici tlakova kroz ventil će fluid protjecati upravo protokom Qreg , a koeficijent lokalnog gubitka ventila će biti Kzad. Promjenjivi koeficijent lokalnog gubitka regulatora je definiran izurazom:

2ispred iza reg reg2

12

p p K QA

ρ− =

Vrijednost koeficijenta lokalnog otpora Kreg ne može biti manja od minimalno zadane vrijednosti (Kzad).

Ako bi tlak na izlazu iz ventila postao veći od tlaka na ulazu, ventil se zatvara, što se modelira visokom vrijednošću koeficijent lokalnog gubitka ( npr. Kreg =1020). 

Prezentacija prof. M. Šavar

Primjer mreže

3

1

2

45 6

7 8 9 101112

1314

15

1

4

2

3

5

109876 11

12

13 14

15

regulator tlaka

pumpa

regulator protoka

D (m)- promjerQreg (l/s) - regulirani protok∆preg (bar)- potrebna razlika tlaka

Regulator protoka

D (m)- promjerpreg (bar) - regulirani tlakKzad - koeficijent lokalnog gubitka otvorenog regulatora

Regulator tlaka

±N (-)-broj crpkiD (m)- promjerQ (l/s) – protok (4 točke)H (m) -visina dobave (4 točke)

Crpka

D (m)- promjerK - koeficijent lok. gubitka

Lokalnigubitak

D (m)- promjer cijeviL (m) - duljina cijevik (m) - visina hrapavosti

Element cijevi

ZADAJE SEOPIS

Svaki je element označen svojim  brojem, i ima “lijevi” i “desni”čvor, pozitivni smjer protoka je od lijevoga prema desnomu čvoru.

Čvor može opskrbni, potrošački ili prolazni.

Matematički model:

2) Pad (prirast) visine energije na elementima

0Q =∑

1) Jednadžba kontinuiteta za svaki čvor (suma svih protoka u i iz čvora je nula):

Nepoznanice:‐ Protoci kroz sve elemente- Visine energije (piezometričke visine, odnosno tlakovi) u svim čvorovima

2

f 2 5

8∆ LQh h r Q QD g

λπ

= = = ‐ gubitak na elementu cijevi

2

f 2 4

8∆ Qh h K r Q QD gπ

= = = ‐ lokalni gubitak (ventili, regulatori, spojni elementi)

2P∆h h A BQ CQ= = + + ‐ visina dobave pumpe

Neka pravila

1) U opskrbnom ili potrošačkom čvoru se može zadati ili tlak ili protok! (vrijedi jednadžba kontinuiteta za cijelu mrežu – protok koji ulazi u mrežu mora biti jednak protoku koji iz nje izlazi – u cirkulacijskom sustavu ti su protoci jednaki nuli).

2) U čvoru u kojem se ne zada niti tlak niti protok, pretpostavlja se da je protok jednak nuli

3) Tlak mora biti zadan barem u jednom čvoru (u matematičkom modelu se barata samo s razlikama tlaka – razina tlaka nije bitna – za određivanje razine tlaka u sustavu tlak se mora zadati barem u jednom čvoru).

4) Ako je na jednom elementu cijevi više lokalnih gubitaka, oni se mogu prikazati jednim čiji je koeficijent lokalnog gubitka jednak njihovoj sumi lokalnih gubitaka

Metoda Hardy‐Crossa za rješavanje matematičkog modela (1)

Ideja metode:1) Pretpostaviti početne protoke kroz elemente mreže, tako da je jednadžba 

kontinuiteta zadovoljena u svakom čvoru. 2) Iterativno korigirati protoke, na način da se jednadžba kontinuiteta ne 

narušava, sve dok ne budu zadovoljene jednadžbe za promjenu visine energije na svim elementima.

Primjer korekcija protoka u elementima koja neće narušiti jednadžbu kontinuiteta:

21C

C 20Q =

01 15Q = 0

2 5Q = −

0 01 2 C 0Q Q Q− − =

21C

C 20Q =

1 01 1 15 ∆Q Q Q= = + 1 0

2 2 5 ∆Q Q Q= = − +

1 11 2 C 0Q Q Q− − =

∆Q

Metoda Hardy‐Crossa – preformulacija matematičkog modela

2) Suma promjena visine energije na elementima koji čine petlju je nula

C

C1

0N

kk

Q Q=

+ =∑1) Jednadžba kontinuiteta za svaki čvor (suma svih protoka u i iz čvora je nula):

petja

1∆ 0

N

ih

=

=∑

‐ Ostaje zadovoljena nakon korekcija protoka

petja

10

N

i i ii

r Q Q=

=∑, npr. za petlju bez pumpe

Uz pretpostavljene protoke Q0 suma promjena visine energije ∆h0 neće biti jednaka nuli, pa se traži korekciju protoka ∆Q, koja će tu sumu učiniti jednakom nuli, tj. sukladno Newtonovoj metodi tražimo da bude

( )petja petja 00

1 1

d ∆∆ ∆ 0

d

N N

i i

hh Q

Q= =

+ =∑ ∑ ili za petlju bez pumpe

petja

petja

0 0

1

0

1

2

N

i i iiN

i ii

r Q QQ

r Q∆ =

=

= −∑

∑

Metoda Hardy‐Crossa (3)

2) Slučaj petlje sa zadanom razlikom piezometričkih visina u dvije točke ∆h=konst.

1) Slučaj kada je pumpa u petlji:

2Ph A BQ CQ= + +

petja

petja

0 0P

1

0 P

1

d2dQ

N

i i ii

N

i ii

r Q Q hQ

hr Q∆ =

=

−= −

−

∑

∑ Pd 2dh B CQQ

= +

petja

petja

0 0

1

0

1

∆∆

2

N

i i ii

N

i ii

r Q Q hQ

r Q

=

=

+= −

∑

∑

∆ konst.h =

( )d ∆0

dh

Q=

Primjer

Model:

pa

Hpa

z=0K

2Ph A BQ CQ= + +

1z2z

, , L D k

g

1 2 3 4 5K 1K =Ph

1 2 3 4

5

2

1 12 4

8∆ KQh r Q QD gπ

= =

2 P∆h h= −2

3 32 5

8∆ LQh r Q QD g

λπ

= =

2

4 42 4

8∆ Qh r Q QD gπ

= =

5∆ konst.h H= =( )1 P 3 4

1 3 42 2 2 2r Q Q h r Q Q r Q Q H

Qr Q B CQ r Q r Q

∆− + + +

= −− + + +

∆Q

padovi visine:

a1 1g

ph zρ

= +

a5 2g

ph zρ

= +