11// Lugares geométricos. Mediatriz y Bisectriz 

 

Mediatriz  de  un  segmento  de  extremos  A  y  B:  Es  el  lugar  geométrico  de  los  puntos  del  plano  que equidistan de A y B. 

1. Encuentra el punto M (punto medio entre A y B). 

2. Halla la pendiente de AB :  ABm  3. Calcula la ecuación de la recta que pasa por M y tiene  como 

pendiente ‐1/ ABm  

 

También se puede obtener aplicando la definición de mediatriz, es decir, un punto P(x,y) está en la mediatriz si d(A,P)=d(B,P) 

1 # Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB, si A(5, 2) y B(‐3, 8).                   

La mediatriz es una recta perpendicular al punto medio del segmento AB, por lo que: 

Debe pasar por el punto Medio  )5,1(282,

235M =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=  

como  43

3582mAB

−=

+−

= , su pendiente será:  34

m1mAB

=−

=   

MEDIATRIZ: ecuación de la recta que pasa por M (1, 5)  y pendiente, m = 4/3. 

(y – 5) = 4/3 (x –1)  →    3 y – 15 = 4x – 4  →   4x – 3y + 11 = 0 

Bisectriz de dos rectas r y s: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que  equidistan de r y de s. 

d(P, r) = d(P, s) 

2 # Calcula las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r: 3x – 4y +1 = 0  y   s: 5x + 12y – 7 = 0                   

3x 4y 1 5x 12y 7 3x 4y 1 5x 12y 74 139 16 25 144

39x 52y 13 25x 60y 35 14x 112y 48 0 7x 56 24 0

39x 52y 13 25x 60y 35 64x 8y 22 0

− + + − − + + −= ± ⇒ = ±+ +

• − + = + − ⇒ − + = ⇒ − + =• − + = − − + ⇒ + − =  

 

22// LA CIRCUNFERENCIA  

Definición: Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro.    

 La distancia entre el centro y cualquier punto de la circunferencia es el radio. 

                           (x – a)2 + (y  –  b)2 = r2       Ecuación reducida 

   x2 + y2 + mx + ny + p = 0       Ecuación Desarrollada 

El centro C(a, b) →     m na ; b2 2− −= =       

                                                                       El radio →     2 2r a b p= + −       

Mediatriz: recta perpendicular en el punto medio de un segmento. 

33// LA ELIPSE  

• DEFINICIÓN: Es el  lugar geométrico de  los punto del plano en el que  la suma de distancias de  los focos (F y F´) a un punto P es constante. 

 

PF´ y PF son los radios vectores del punto P 

• ELEMENTOS DE LA ELIPSE:    

Eje mayor : AA 2a′ = ;  semieje mayor: a 

Eje menor :BB 2b′ =  ;  semieje menor: b 

Distancia focal:FF 2c′ = ;   semidistancia focal: c    

Focos: F (c , 0) , F´(–c , 0) 

Vértices: A(a,0) , A ( a,0)

B(0 ,b), B (0 , b)

′ −⎧⎨ ′ −⎩

        

 

• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA ELIPSE:    a2  = b2 + c2   

• EXCENTRICIDAD: mide el mayor o menor achatamiento de la elipse.    cea

=       0 < e < 1 

• ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE CENTRADA EN EL ORIGEN CON LOS FOCOS EN EL EJE X             

22

2 2yx 1

a b+ =             FOCOS   →  F (c , 0) , F´(–c , 0) 

                                             

A(a,0), A ( a,0)VÉRTICES

B(0 ,b), B (0 , b)

′ −⎧⎨ ′ −⎩

        

 

44// LA HIPÉRBOLA  

• DEFINICIÓN: Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la  diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos (F y F´) es constante. 

 

PF´ y PF son los radios vectores del punto P 

• ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA:    

Eje real:  a2AA =′ ;     semieje real: a 

Eje imaginario:  b2BB =′ ;     semieje imaginario: b 

Distancia focal:  c2FF =′ ;     semidistancia focal: c 

Focos: son los puntos F y F´ 

Vértices: A, A´, B y B´         

⏐d(P,F) – d(P,F´)⏐ =  2a

d(P,F´) +d(P,F) = 2a 

22

2 2yx 1

a b+ =

                                                        

• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE LA HIPÉRBOLA:   c2  = a2 + b2    

• EXCENTRICIDAD           cea

=     A mayor “e” menor curvatura de los arcos. 

Como c > a  →  e > 1;  así que puede tomar cualquier valor mayor que 1. 

 

• ECUACIÓN REDUCIDA DE LA HIPÉRBOLA CENTRADA EN EL ORIGEN CON EL EJE REAL SOBRE OX. 

22

2 2yx 1

a b− =                               FOCOS: F (c , 0) , F´(–c , 0) 

Asíntotas:   by xa

= ±                      A(a,0), A ( a,0)

VÉRTICESB(0 ,b), B (0 , b)

′ −⎧⎨ ′ −⎩  

55// LA PARÁBOLA  

• DEFINICIÓN: Es el  lugar geométrico de  los puntos del plano que equidistan de un punto fijo    llamado foco y de una recta fija llamada directriz.  

Es decir, un punto P pertenece a la parábola si d(P,F)=d(P,d) 

• ELEMENTOS DE LA HIPÉRBOLA:    

Foco: F → Es un punto fijo 

Directriz: Es una recta fija paralela al eje OX, o paralela a eje OY. 

Parámetro: p → Distancia entre el foco y la directriz. 

Eje de simetría: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco. 

Vértice: V(x0, y0) → Punto medio entre el foco y la directriz.  

Excentricidad: e = 1     

 

 

ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA CON EL VERTICE EN EL ORIGEN 

 

                                                 

 2

2x

yp

=  2

2x

yp

=−  2

2y

xp

=−  2

2y

xp

=