Download pdf - Generatorji in transformatorjiles.fe.uni-lj.si/git/GIT_zbirka_nalog.pdf3 Predgovor Zbirka vsebuje rešene naloge iz predmeta Generatorji in transformatorji, ki se predava v 1. letniku

Generatorji in transformatorji

Zbirka nalog z rešitvami

Danilo Makuc

januar 2017

2017 Danilo Makuc, Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani

Brez pisnega dovoljenja avtorja je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, vključno s kopiranjem, arhiviranjem ali razpošiljanjem v kakršnikoli obliki.

3

Predgovor

Zbirka vsebuje rešene naloge iz predmeta Generatorji in transformatorji, ki se predava v 1. letniku 2. stopnje univerzitetnega študija elektrotehnike, na smereh Elektroenergetika in Mehatronika. Vsebina nalog je vezana na snov predavanj in laboratorijskih vaj pri tem predmetu, zato se predpostavi, da je študent seznanjen z vsebino le-teh in jih je absolviral.

Naloge v zbirki so namenjene pripravi na pisni izpit in so razvrščene po temah, ki se obravnavajo pri laboratorijskih vajah. Rešitve so sicer komentirane, vendar to največkrat ni dovolj za razumevanje obravnavane vsebine, ki je bila natančneje predstavljena na predavanjih in/ali laboratorijskih vajah.

Računske in druge napake niso izključene, zato prosim, da me o njih obvestite (e-pošta: [email protected]).

Danilo Makuc

Ljubljana, januar 2017

4

5

Kazalo

1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja.................................................................................................7

2 Nadomestno vezje sinhronskega stroja .................................................................................................... 10

3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja .............................................. 11

4 Švedski diagram sinhronskega generatorja ............................................................................................ 36

5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja...................................................................................... 42

6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja..................................................................................... 45

7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja................................................................... 52

8 Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev............................................................ 65

9 Paralelno obratovanje transformatorjev.................................................................................................. 77

10 Avtotransformator............................................................................................................................................. 84

11 Dimenzioniranje transformatorja................................................................................................................ 89

6

7

1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja

1.1 Naloga V termoelektrarni Trbovlje je inštaliran trifazni sinhronski generator z nazivnimi podatki: Un = 13,8 kV; Sn = 156 MVA; cosϕn = 0,8; nn = 3000 vrt/min; fn = 50 Hz; Ivn = 1570 A. Statorska navitja so vezana v zvezdo, upornost posameznega faznega navitja pa je 1,49 mΩ. Upornost vzbujalnega navitja je 0,198 Ω.

a) Določite število magnetnih polov rotorja.

b) Izračunajte nazivni tok generatorja.

c) Določite izgube v navitjih stroja pri nazivnem obratovanju.

Rešitev a) Število magnetnih polov rotorja bomo poiskali s pomočjo podatkov o nazivni hitrosti in frekvenci. Hitrost vrtenja rotorja je pri sinhronskem stroju enaka hitrosti vrtilnega magnetnega polja, zato lahko napišemo enačbo na sinhronsko hitrost v min-1:

s

60fn

p= , (1)

pri čemer je p število polovih parov. Pri omenjenem generatorju je:

s

60 50 60

3000

fp

n

⋅= = = 1 , (2)

kar pomeni, da ime stroj 2p = 2 magnetna pola.

b) Nazivna moč izmeničnih generatorjev se podaja kot navidezna moč, saj stopnjo obremenitve določa velikost toka, ne glede na karakter bremena. Nazivna moč trifaznega generatorja je torej:

n n n3S U I= , (3)

tako da nazivni tok znaša:

6

nn

n

156 10

3 3 13800

SI

U

⋅= = = 6526,6 A . (4)

Čeprav je ponavadi dovolj, da izračunano vrednost zaokrožimo na 3 cifre (ne decimalke!) natančno, pa predstavlja dobljena vrednost vmesni rezultat, ki ga bomo uporabili še v nadaljnjem računanju, zato vrednost zaokrožimo na 5 cifer.

c) Ko poznamo nazivni tok generatorja, lahko izračunamo izgube, ki jih tok povzroča, ko teče skozi navitija. Fazna navitja so vezana v zvezdo, zato je tok skozi posamezno navitje enak linijskemu, kakršen je tudi izračunani nazivni tok. (Kolikšen bi bil tok skozi fazno navitje, če bi bila navitja vezana v trikot?) Fazna navitja so tri, tako da statorske izgube v bakru znašajo:

2 2Cus n s3 3 6526,6 0,00149 190,4 kWP I R= = ⋅ ⋅ = . (5)

I n

Rs


8

Sinhronski stroj pa ima poleg statorskih navitij še vzbujalno navitje na rotorju. Tam je tok enosmeren, saj rotor ustvarja vrtilno magnetno polje z mehanskih vrtenjem enosmernega magnetnega polja. Tudi če ima rotor več polovih parov in s tem več fizično ločenih vzbujalnih tuljav, so le-te največkrat vezane zaporedno, tako da navzven delujejo kot eno navitje. Moč, ki se troši na vzbujalnem navitju, so le izgube v bakru, ki jih izračunamo enako kot tiste na statorju, le da gre v tem primeru samo za eno navitje:

2 2Cur vn v 1570 0,198 488 kWP I R= = ⋅ = . (6)

Celotne izgube v navitjih generatorja so vsota izgub v statorskih trifaznih in rotorskem vzbujalnem navitju:

Cu Cus Cur 190,5 488P P P= + = + = 678,5 kW . (7)


9

1.2 Naloga Trifazni sinhronski generator s podatki: 10 kV; 60 MVA; 50 Hz; 250 vrt/min; cosϕ = 0,85, ima pri nazivni obremenitvi 1040 kW izgub.

a) Kolikšen je navor na gredi pri nazivnem obratovalnem stanju?

b) Kolikšen je nazivni izkoristek generatorja?

Rešitev a) Navor bomo izračunali iz mehanske moči, ki jo generator dobi preko gredi:

mehP M= ω , (1)

pri čemer je M navor, ω pa kotna hitrost vrtenja. Podatka o mehanski moči nimamo, zato bomo le-to dobili posredno preko oddane delovne električne moči in izgub:

6n n cos 60 10 0,85 51 MWP S= ϕ = ⋅ ⋅ = . (2)

6 6meh n izg 51 10 1,04 10 52,04 MWP P P= + = ⋅ + ⋅ = . (3)

Hitrost vrtenja poznamo, zato lahko sedaj s pomočjo enačbe (1) izračunamo navor:

6

meh meh

25060 60

52,04 10

2 2n

P PM

⋅= = = = ⋅ ⋅

ω π π

61,988 10 N m . (4)

b) Izkoristek stroja je razmerje med oddano in prejeto močjo:

odd

pr

P

Pη = . (5)

V našem primeru je prejeta moč mehanska, oddana pa električna. Pri tem moramo biti pozorni na to, da pri izračunu izkoristka vedno uporabimo delovno električno moč:

⋅

η = = =⋅

6n

6meh

51 10

52,04 10

P

P0,980 . (6)

10

2 Nadomestno vezje sinhronskega stroja

2.1 Naloga Sinhronska reaktanca stroja A je za 20 % večja od tiste pri stroju B, ostali nazivni podatki obeh strojev so enaki. Stroja otočno obratujeta v prostem teku in imata na sponkah nazivno napetost, nato pa ju kratkostičimo, pri čemer ne spremenimo vzbujalnih tokov.

Pri katerem stroju bo trajni tok kratkega stika večji in za koliko?

Upornost navitij zanemarimo.

Rešitev Rešitev bomo poiskali s pomočjo nadomestnega vezja sinhronskega stroja (slika 1a). Ker upornost statorskega navitja zanemarimo, v nadomestnem vezju nastopa poleg vira le sinhronska reaktanca (slika 1b).

Rs Xs

~E0

(a)

Xs

~E0

(b)

Xs

~E0

Ik

(c)

Slika 1: (a) Nadomestno vezje sinhronskega generatorja, (b) poenostavljeno nadomestno vezje brez statorske upornosti in (c) nadomestno vezje stroja v kratkem stiku.

V prostem teku je napetost na sponkah generatorja enaka inducirani napetosti, le-ta pa je pri konstantni vrtilni hitrosti odvisna le od vzbujalnega toka. V nadomestnem vezju nastopa kot vir napetosti inducirana napetost E0, ki je pravzaprav napetost prostega teka pri določenem vzbujalnem toku (Iv). Odvisnost E0 od Iv je praviloma nelinarna, a ker se v našem primeru vzbujanje ne spreminja, je napetost vira konstantna.

Ko v našem primeru stroja kratkostičimo, bo vrednost kratkostičnega toka določena le z napetostjo E0 in sinhronsko reaktanco. Nadomestno vezje sinhronskega stroja v kratkem stiku je na sliki 1c. Kratkostična toka obeh strojev bi tako izračunali:

0 0kA

sA sB1,2

E EI

X X= =

⋅, (1)

0kB

sB

EI

X= . (2)

Vidimo, da bo kratkostični tok stroja B, ki ima manjšo sinhronsko reaktanco, večji od kratkostičnega stroja A in sicer za 20 %:

⋅

= ⋅ =0 sBkB

kA sB 0

1,2E XI

I X E1,21,21,21,2 . (3)

11

3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

3.1 Naloga Trifazni turbogenerator z nazivnimi podatki: Sn = 214 MVA, Un = 10,5 kV, fn = 50 Hz, cosϕn = 0,85 ima v prostem teku pri nazivni napetosti vzbujalni tok Iv0 = 765 A. Relativna sinhronska reaktanca znaša xs = 1,6.

S pomočjo kazalčnega diagrama, vendar analitično, določite:

a) nazivni vzbujalni tok,

b) moč na gredi, ko pri obratovanju pri nazivni napetosti in nazivnem vzbujanju, stroj pade iz sinhronizma.

c) tok generatorja pri prej omenjenem izpadu iz sinhronizma.

Izgube v stroju zanemarite.

Rešitev a) Rešitev lahko poiščemo grafično ali analitično. Zaradi točnosti se bomo poslužili analitične metode, čeprav nam bo osnovo za izračune služil kazalčni diagram. Za nazivno obratovalno stanje narišemo kazalčni diagram, ki pa ne bo v merilu:

U

I

I Xs

ϕ

E0

Iv

δ

β

ϕ

ϕ

V kolikor kazalci predstavljajo absolutne vrednosti napetosti, so le-te v kazalčnem diagramu podane kot fazne napetosti, kljub temu da pri trifaznih strojih večinoma uporabljamo medfazne napetosti. Še posebej moramo biti na to pozorni pri izračunih in predstavitvi kazalcev raznih padcev napetosti (npr. na sinhronski reaktanci, na upornosti navitja itd.), saj lahko ob neupoštevanju tega dejstva hitro pridelamo velike napake.

Pri vseh količinah bomo računali z relativnimi vrednostmi, ki so definirane takole:

n

Uu

U= ,

n

Ii

I= , v

vv0

Ii

I= .


12

Ker gre za nazivno obratovanje (i = 1) je relativna vrednost napetosti na sinhronski reaktanci (us) enaka le-tej:

s s 1 1,6 1,6u i x= = ⋅ = . (1)

Kot β med kazalcema u in us znaša:

n90 90 acos(cos ) 90 acos 0,85 121,79β = ° + ϕ = ° + ϕ = ° + = ° . (2)

Z znanim kotom β in napetostima u in us, lahko s pomočjo kosinusnega izreka izračunamo velikost kazalca e0:

2 2 20 s s2 cose u u u u= + − β . (3)

2 20 1 1,6 2 1 1,6 cos121,79 2,29e = + − ⋅ ⋅ ° = . (4)

Ker velja razmerje:

0 n

v v0

E U

I I= , (5)

pomeni, da je relativni vzbujalni tok iv enak relativni vrednosti fiktivne inducirane napetosti e0. To lahko pokažemo, če obe strani enačbe delimo z Un in pomnožimo z Iv:

0 v0 v

n v0

2,29E I

e iU I

= → = = . (6)

Absolutna vrednost nazivnega vzbujalnega toka je tako:

v v0 2,29 765vI i I= = ⋅ =1752 A . (7)

b) Stroj pade iz sinhronizma, ko je kolesni kot δ večji kot 90°. Za to mejno vrednost bomo narisali kazalčni diagram:

u

i

u s

ϕ

e0

iv

δϕ

Iz slike vidimo, da je pri tem obratovalnem stanju karakter bremena ohmsko-kapacitivni. Fazni kot ϕ izračunamo s pomočjo fiktivne inducirane napetosti e0 in napetosti na sponkah generatorja u:

0

1tg 0,4367 23,6

2,29

u

eϕ = = = → ϕ = ° . (8)

S pomočjo padca na sinhronski reaktanci (us) bomo izračunali velikost bremenskega toka ob izpadu iz sinhronizma:


13

2 2 2 2s 0 2,29 1 2,499u e u= + = + = , (9)

s

s

1,5619u

ix

= = . (10)

Delovna moč generatorja je v tem obratovalnem stanju:

6om n n3 cos 3 cos cos 214 10 1,5619 cos23,6nP U I U i I S i= ϕ = ϕ = ϕ = ⋅ ⋅ ° = 306,3 MW . (11)

V našem primeru lahko zanemarimo izgube, zato je mehanska moč na gredi, ko stroj izpade iz sinhronizma, enaka električni delovni moči.

c) Vrednost toka lahko poiščemo iz istega diagrama, ki smo ga uporabili pri določanju omahne moči. Padec na sinhronski reaktanci je odvisen od tega toka, zato napišimo enačbo za to napetost izračunamo to napetost in izačunajmo tok:

2 2 2 2s s 0( )u i x e u= = + , (12)

2 2 2 2

0

s

2,29 11,562

1,6

e ui

x

+ += = = , (13)

kar pomeni, da bo tok 1,562-krat večji od nazivnega in absolutno znaša:

6

nn

n

214 101,562 1,562 11767

3 3 10500

SI i I i

U

⋅= = = ⋅ = ⋅ =

⋅18,38 kA . (14)


14

3.2 Naloga Trifazni turbogenerator z nazivnimi podatki: Sn = 6,3 MVA; Un = 10 kV; cosϕn = 0,7; Ivn = 50 A, ima relativno sinhronsko reaktanco xs = 1,2 in na nazivnem omrežju obratuje v prostem teku.

a) Kolikšna sta cosϕ in kolesni kot δ, če generator obremenimo z nazivno navidezno močjo, ne da bi pri tem spremenili vzbujanja prostega teka? Kolikšna je takrat delovna moč generatorja?

b) Izračunajte vzbujalni tok, ki je potreben za obremenilno stanje: S' = Sn/4, cosϕ = cosϕn.

Rešitev a) Ko je generator priključen na omrežje in obratuje v prostem teku (I = 0 A), je inducirana napetost generatorja enaka omrežni (nazivni) napetosti. Vrednost rotorskega vzbujalnega toka, ki v prostem teku generatorja ustvari ustrezen magnetni pretok za induciranje nazivne napetosti, označimo z Iv0. Kazalčni diagram takega stanja generatorja je enostaven, saj sta na njem le dva kazalca (slika 1).

U U = n(E0)

Iv0

Un

E0

Iv0

I X s

In

ϕδ

r U

= ||n

r I X

= ||s

Slika 1: Kazalčni diagram prostega teka generatorja. Slika 2: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega

generatorja pri: Iv = Iv0 in S = Sn.

Kazalca fiktivne inducirane napetosti E0 ponavadi ne označujemo, saj zaradi odsotnosti statorskega bremenskega toka ni reakcije indukta in s tem padca na sinhronski reaktanci, se pa zavedamo, da s poznavanjem toka Iv0 poznamo linearno odvisnost:

E0 = k Iv, (1)

kar s pridom uporabimo pri reševanju naloge. Če torej vzbujalnega toka ne spreminjamo (Iv = Iv0), ostaja kazalec fiktivne inducirane napetosti E0 enako velik kot v prostem teku (E0 = Un) Ob povečevanju mehanske moči na gredi in s tem delovne električne moči generatorja, se pojavi tok in seveda padec napetosti na sinhronski reaktanci. Pri obremenitvi z nazivno navidezno močjo (Sn), sta napetost in tok nazivne vrednosti, tako da za padec na sinhronski reaktanci velja:

In Xs = xs Un. (2)

Velikosti kazalcev E0 in I Xs v novem obratovalnem stanju sta torej znana, zato lahko narišemo nov kazalčni diagram (slika 2).

Če želimo izračunati delovno moč v tem obratovalnem stanju, moramo izračunati le fazni kot ϕ, saj sta napetost in tok nazivna. V našem primeru sta kazalca Un in E0 kraka enakokrakega trikotnika, kolesni kot δ pa je dvakratnik faznega kota ϕ, saj je kazalec toka pravokoten na padec napetosti I Xs. Z uporabo trigonometrije tako neposredno izračunamo fazni kot:


15

n s s n

n n

1,2sin 0,6 arcsin0,6 36,87

2 2 2

I X x U

U Uϕ = = = = → ϕ = = ° , (3)

tako da je kolesni kot:

2 2 36,87δ = ϕ = ⋅ ° = 73,74° . (4)

Faktor delavnosti ima kapacitivni značaj in znaša:

cos cos36,87ϕ = ° = 0,8 , (5)

delovna moč generatorja v tem obratovalnem stanju pa je:

6n n n3 cos cos 6,3 10 cos36,87 P U I S= ϕ = ϕ = ⋅ ⋅ ° = 5,04 MW . (6)

b) Pri obratovalnem stanju generatorja, ko je navidezna moč četrtina nazivne (S' = Sn/4), se sorazmerno zmanjša tudi tok, saj je pri obratovanju na omrežju napetost vedno enaka. Tako lahko zapišemo:

n' 0,254

II i= → = , (7)

pri čemer je i normirana vrednost toka. V obravnavanem obratovalnem stanju je fazni kot enak nazivnemu in znaša:

n arccos0,7 45,57ϕ = = ° . (8)

Za lažjo predstavo in pomoč pri reševanju narišimo kazalni diagram tega obratovalnega stanja (slika 3). Seveda ne v pravem merilu, saj vrednosti ne bomo odčitavali grafično, vendar dovolj dobro, da nam bo slika v pomoč pri analitičnem izračunu želenih količin.

ϕn

i

u

ui x

s

s

=

ϕn

ϕn

β

iv

e0

Slika 3: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega generatorja pri nazivnem faznem kotu.

Tokrat za vajo pri izračunu uporabimo normirane količine pri izračunu za katere velja:

v 0 vv 0 v

n n v0 n v0

, , ,I E IU I

u i i e iU I I U I

= = = = = =

Zanima nas vzbujalni tok, zato bomo izračunali vrednost fiktivne inducirane napetosti e0, saj velja: iv = e0. Z uporabo trigonometrije lahko s pomočjo kosinusnega izreka zapišemo razmerja med stranicami trikotnika, ki ga določajo napetosti u, us (= i xs) in e0:

2 2 20 s s2 cose u u u u= + − ⋅ ⋅ β . (9)


16

Izračunajmo še:

s s 0,25 1,2 0,3u i x= = ⋅ = , (10)

n 90 45,57 90 135,57β = ϕ + ° = ° + ° = ° , (11)

tako da dobimo:

2 2 2 20 s s2 cos 1 0,3 2 1 0,3 cos135,57 1,232e u u u u= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (12)

Ker velja iv = e0, vemo da je vzbujalni tok v tem obratovalnem stanju za 23,2 % večji od tistega v prostem teku (Iv0), a slednjega žal ne poznamo, saj je podan le nazivni vzbujalni tok, se pravi vzbujalni tok pri nazivnem obratovalnem stanju generatorja.

Nazivno obratovalno stanje torej uporabimo za izračun e0n, saj bomo tako prišli do vrednosti Iv0. Kazalčega diagrama ne bomo risali ponovno, saj lahko uporabimo kar tistega s slike 3, le upoštevati moramo ustrezen padec na sinhronski reaktanci: us = xs, saj je v tem primeru tok naziven (i = 1):

2 2 2 20n s s2 cos 1 1,2 2 1 1,2 cos135,57 2,038e u x u x= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (13)

Pri nazivnem obratovalnem stanju je vzbujalni tok 2,038-krat večji od tistega v prostem teku, tako da lahko izračunamo:

vnv0

0

5024,53 A

2,038

II

e= = = . (14)

Z znano vrednostjo vzbujalnega toka prostega teka lahko sedaj dokončamo izračun za obratovalno stanje: S' = Sn/4, cosϕ = cosϕn, tako da dobimo:

v v0 0' 24,53 1,232I I e= = ⋅ = 30,22 A . (15)


17

3.3 Naloga Turbina, katere nazivna moč je 32 kW, poganja trifazni sinhronski generator z nazivnimi podatki: Sn = 40 kVA; Un = 400 V; fn = 50 Hz; nn = 1500 vrt/min; cosϕn = 0,8; Ivn = 10 A. Relativna sinhronska reaktanca generatorja je 200 %.

Kolikšen je vzbujalni tok generatorja, če obratuje na nazivnem omrežju pri cosϕ = 1, moč turbine pa je enaka nazivni (32 kW).

Izgube v generatorju zanemarite.

Rešitev Nazivni podatki generatorja in turbine kažejo, da je turbina dimenzionirana tako, da je moč turbine ravno enaka delovni moči generatorja pri nazivnem obratovanju:

3n n ncos 40 10 0,8 32 kWP S= ϕ = ⋅ ⋅ =

Zaradi poenostavitve izračuna, v našem primeru sicer nerealno obravnavamo generator brez izgub (Pturb = Pgen), a tudi dejanski izkoristki generatorjev so dokaj visoki (> 90 %), tako da taka zanemaritev ne predstavlja prevelike napake.

Za nazivno obratovalno stanje generatorja lahko narišemo kazalčni diagram, saj so znane vse količine, ki ga določajo: u = 1, i = 1, us = i xs = 2, ϕn = arccos 0,8 = 36,87°.

ϕn

i

u

ui x

s

s

=

ϕn

β

e0

S pomočjo kazalčnega diagrama izračunamo edino naznano količino, to je fiktivna inducirana napetost e0, saj bomo s pomočjo le-te dobili povezavo z vzbujalnim tokom, saj velja:

0 vE k I= , (1)

oziroma za normirane količine:

v0

v0v

Ie i

I= = . (2)

Tako s pomočjo kosinusnega izreka dobimo:

2 2 2 20n s s2 cos 1 2 2 1 2 cos(90 36,87 ) 2,72e u u u u= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° + ° = . (3)


18

V nadaljevanju bomo videli, da nam pravzaprav ni potrebno računati sorazmernostne konstante k (enačba 1) ali vrednosti vzbujalnega toka prosteka teka Iv0, a zgolj zaradi razumevanja normiranih količin izračunajmo absolutno vrednost Ivo:

vnv0

0n

103,676 A

2,72

II

e= = = . (4)

Ko generator obratuje s cosϕ = 1 in je moč turbine nazivna (32 kW), bo statorski tok manjši od nazivnega, saj je nazivna moč generatorja (40 kVA), ki določa tudi vrednost nazivnega toka, večja od moči turbine. Absolutno vrednost toka pri takem obratovanju izračunamo:

n

'3turbP

IU

= , (5)

če pa tok napišemo normirano, dobimo:

n nn n

' 32' 0,8

403turb turbP PI

iI SU I

= = = = = (6)

Kazalčni diagram za to obratovalno stanje ima obliko pravokotnega trikotnika in omogoča enostaven izračun e0'.

i’

u

u i’ xs s’ =

e0’

Zadošča uporaba Pitagorovega izreka:

2 2 2 20 s' ( ' ) 1 (0,8 2) 1,887e u i x= + = + ⋅ = .

Vzbujalni tok je sorazmeren fiktivni inducirani napetosti E0, ali bolje obratno, saj je vzbujalni tok dejanski tok, ki teče v rotorskem navitju in ga lahko merimo, napetost E0 pa je zgolj fiktivna količina, ki nam le poenostavi ali omogoči računanje. Zapišemo lahko torej razmerje:

v 0 0

vn 0n 0n

' ' 'I E e

I E e= = (7)

in izračunamo iskani vzbujalni tok:

0v vn

0n

' 1,887' 10

2,72

eI I

e= = = 6,94 A . (8)

V enačbi (8) se seveda skriva tudi enačba (4), tako da če uporabimo enačbo (2) in izračunamo vzbujalni tok s pomočjo že izračunanega toka Iv0, bo rezultat seveda enak:

= = ⋅ =v 0 v0' ' 1,887 3,676I e I 6,94 A


19

3.4 Naloga Trifazni turbogenerator s sinhronsko reaktanco xs = 200 % je obremenjen s tokom i = 0,5 pri cosϕ = 0,8. Generator obratuje na togem nazivnem omrežju pri nespremenjenem vzbujanju.

Kako se spreminja cosϕ in kolesni kot, če se spreminja delovna moč generatorja: p = 0,1; 0,8; 0,9?

Rešitev

Do iskanih količin bomo prišli s pomočjo kazalčnega diagrama, zato ga najprej narišimo za podano obratovalno stanje (i = 0,5, cos ϕ = 0,8):

ϕ

i

u

i xs

ϕ

α

e0

i xs cosϕ

ϕ

i x s

sin

ϕ

δ

Spremembo električne delovne moči generatorja lahko dosežemo le s spremembo mehanske moči na gredi. Zanima nas torej, kakšno bo obratovalno stanje generatorja, če vzbujanja pustimo takšno kakršno je pri podanem obratovalnem stanju, spreminjamo pa moč na gredi. Izgube generatorja največkrat zanemarimo, saj so izkoristki velikih generatorjev zelo blizu 100 %, tako da lahko mehansko moč kar enačimo z električno delovno močjo.

Vse količine so podane v normiranih vrednostih, tako tudi delovna moč, ki je definirana kot;

n n n

3 coscos

3

P U Ip ui

S U I

ϕ= = = ϕ , (1)

tako da pri podanem obratovalnem stanju znaša:

cos 1 0,5 0,8 0,4p ui= ϕ = ⋅ ⋅ = . (2)

Ker bo vzbujanje konstantno lahko izračunamo vrednost fiktivne inducirane napetosti e0, saj je le-ta enaka normirani vrednosti vzbujanja iv. Kot α v trikotniku (u, i xs, e0) izračunamo s poznanim faktorjem delavnosti:

90 90 arccos(0,8) 126,87α = ° + ϕ = ° + = ° , (3)

z uporabo kosinusnega izreka pa izračunajmo vrednost e0, ki bo ostala nespremenjena pri vseh obratovalnih stanjih:

2 2 2 20 s s( ) 2 cos 1 (0,5 2) 2 1 0,5 cos 126,87 1,79e u i x ui x= + − α = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (4)

Upoštevajoč stranice pravokotnega trikotnika v kazalčnem diagramu, lahko izračunamo kolesni kot δ pri podanem obratovalnem stanju:


20

s

0

cos 0,5 2 0,8arcsin arcsin 26,5

1,79

i x

e

ϕ ⋅ ⋅ δ = = = °

, (5)

Pri novih obratovalnih stanjih se spreminja delovna moč p, a ker je napetost nazivna in konstantna (u = 1), lahko upoštevajoč enačbo (1) zapišemo:

cos cosp ui i= ϕ = ϕ . (6)

a) Za novo obratovalno stanje pri p = 0,1 (i cosϕ = 0,1) lahko izračunamo kolesni kot:

s

0

cos 0,1 2arcsin arcsin

1,79

i x

e

ϕ ⋅ δ = = =

6,4°6,4°6,4°6,4° . (7)

Ta se je glede na prvotno obratovalno stanje zmanjšal, saj se je dejansko zmanjšala tudi delovna moč, ki je neposredno odvisna od kolesnega kota.

Produkt toka in faktorja delavnosti je sicer znan, ne pa tudi posamezni količini. Z znanim kolesnim kotom lahko izračunamo padec napetosti na sinhronski reaktanci:

2 2 2 2s 0 02 cos 1,79 1 2 1,79 1 cos 6,38 0,804i x e u e u= + − δ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = , (8)

tako da tok znaša:

s

0,804 0,8040,402

2i

x= = = . (9)

Podobno lahko izračunamo še faktor delavnosti, saj poznamo vrednost i cosϕ = p = 0,1:

cos 0,1

cos0,402

i

i

ϕϕ = = =0,2490,2490,2490,249 . (10)

Vidimo, da smo si pri izračunu veliko pomagali z geometrijo, zato je narisani kazalčni diagram v veliko pomoč. Tudi če slika ne ustreza dejanskemu obratovalnemu stanju, lahko zapišemo enačbe za odnose med posameznimi količinami in jih uporabimo pri izračunu ostalih obratovalnih stanj.

b) V prvem primeru (p = 0,1) smo delovno moč zmanjšali, nadaljujmo pa s povečanjem delovne moči na p = 0,8. Vemo, da v našem primeru velja:

cos 0,8i pϕ = = , (11)

tako da ponovimo izračun z uporabo enačbe (7):

s

0

cos 0,8 2arcsin arcsin

1,79

i x

e

ϕ ⋅ δ = = =

63,4°63,4°63,4°63,4° . (12)

Izračunajmo tokrat tok in faktor delavnosti na drugačen način in sicer z vrednostjo i xs sinϕ, ki jo bomo izračunali iz pravokotnega trikotnika, sivo označenega na spodnjem kazalčnem diagramu:

2 2 20 s s( sin ) ( cos )e u i x i x= + ϕ + ϕ , (13)

2 2 2 2

0 s

s

( cos ) 1,79 (0,8 2) 1sin 0,0987

2

e i x ui

x

− ϕ − − ⋅ −ϕ = = = − . (14)

Dobili smo negativno vrednost, kar pomeni da je kot ϕ negativen, saj je sinus liha funkcija. Fazni kot je torej tak, da tok prehiteva napetost in imamo torej opravka s kapacitivnim značajem obremenitve generatorja.


21

ϕ

i

u

i xs

ϕ

α

e0

i xs cosϕ

ϕ

i xs s

inϕ

δ

Če nadaljujemo in poiščemo vrednost faznega kota in faktorja delavnosti:

s

s

sin 0,0987arctan arctan 7,03

cos 0,8

i x

i x

ϕ −ϕ = = = − °

ϕ (15)

cos cos( 7,03 ) 0,992ϕ = − ° = . (16)

V kolikor bi faktor delavnosti izračunali na način, ki smo ga uporabili pri prejšnjih obremenitvah, bi zaradi sodosti kosinusne funkcije spregledali negativni fazni kot in s tem drugačen značaj obremenitve. Za lažje razumevanje narišimo še kazalčni diagram tega obratovalnega stanja:

ϕ

i

ui xs

e0

δ

c) Če mehansko moč na gredi generatorja še povečamo:

0,9 cosp i= = ϕ (17)

in želimo izračunati kolesni kot:

s

0

cos 0,9 2arcsin arcsin arcsin(1.0056)

1,79

i x

e

ϕ ⋅ δ = = = =

???????????? (18)

naletimo na težavo, saj je vrednost v oklepaju večja od ena in ne moremo izračunati inverzne kotne funkcije. Obratovanje sinhronskega generatorja ni možno, saj je v tem primeru maksimalni elektromagnetni navor generatorja manjši od mehanskega in bi rotor padel iz sinhronizma, kar pomeni, da bi ga začel pogonski stroj pospeševati. V praksi mora ustrezna zaščita generatorja to preprečiti.

Izračunajmo mejno (maksimalno) moč, pri kateri lahko v našem primeru generator še obratuje. Največji elektromagnetni navor je pri kolesnem kotu δ = 90°, tako da je v enačbi (18) vrednost v oklepaju enaka ena:


22

ϕ

=s

0

cos1

i x

e (19)

in znača mejna moč:

= ϕ = = =0m

s

1,79cos 0,895

2

ep i

x. (20)


23

3.5 Naloga Trifazni sinhronski generator ima nazivne podatke: Sn = 5,5 kVA, Un = 400 V, fn = 50 Hz, nn = 3000 vrt/min, cosϕn = 0,8, xd = 303 %, xq = 100 %. Pri preizkusu prostega teka generatorja je bil vzbujalni tok 1,1 A.

S pomočjo kazalčnega diagrama določite vzbujalni tok generatorja pri nazivnem obratovanju?

Padec napetosti na upornosti statorskega navitja zanemarite.

Rešitev

Do vrednosti vzbujalnega toka bomo prišli tako, da določimo velikost fiktivne inducirane napetosti E0 v nazivnem obratovalnem stanju generatorja, saj je ta sorazmerna vzbujalnemu toku:

0 vE k I= , (1)

konstanto k pa v našem primeru lahko določimo iz rezultatov preizkusa prostega teka:

0 n

v v0

E Uk

I I= = . (2)

Rešitev bomo poiskali s pomočjo kazalčnega diagrama, zato moramo poznati vsaj eno izmed metod za risanje kazalčnega diagrama sinhronskega stroja z izraženimi poli. Pri stroju s cilindričnim rotorjem govorimo in imamo opravka le z eno sinhronsko reaktanco Xs oz. xs, kar je posledica dejstva, da sta magnetni reluktanci v vzdolžni in prečni osi rotorja enaki. Pri obravnavi stroja z izraženimi poli nam bo v veliko pomoč, če tudi pri rotorju s cilindričnim rotorjem razmišljamo o dveh reaktancah, ki pa sta po velikosti enaki: Xd = Xq (= Xs). Z dvema enakima sinhronskima reaktancama, bi kazalčni diagram turbogeneratorja izgledal takole:

ϕ

i

u

ui x

s

s

=

e0

id

iq

ix

ix

d

d

d

s

=

i xq q

q s

= ix

iv

d-os

q-os

δ

Slika 1: Kazalčni turbogeneratorja z upoštevanjem dveh enakih sinhronskih reaktanc v vzdolžni in prečni osi.


24

Ker pri turbogeneratorju ni nobene potrebe po razstavljanju toka na dve komponenti in nato risanju dvojnih kazalcev v vzdolžni (d) in prečni (q) osi, ponavadi enostavno narišemo le en padec na sinhronski reaktanci, le-ta pa prehiteva statorski tok za 90°. Zaradi enakih reaktanc v vzdolžni in prečni osi namreč velja:

2 2 2 2 2 2 2s d d q q d s q s d q s s( ) ( ) ( ) ( ) ( )u i x i x i x i x i i x i x= + = + = + = (3)

Do kazalca napetosti e0 pridemo pri stroju s cilindričnim rotorjem enostavno, saj je določen z vnaprej znanimi količinami: napetostjo u, tokom i, faznim kotom ϕ in sinhronsko reaktanco xs.

Pri stroju z izraženimi poli imamo dva padca na sinhronskih reaktancah, pri čemer je pomembno poudariti, da sta reaktanci xd in xq različni:

sd d du i x= , (4)

sq q qu i x= . (5)

Zaradi magnetne izraženosti in manjše magnetne upornosti (reluktance) v vzdolžni smeri je običajno vzdolžna sinhronska reaktanca xd večja od prečne sinhronske reaktance xq.

Konstrukcija kazalčnega diagrama se v takem primeru nekoliko zaplete, saj komponenti toka id in iq sicer dobimo tako, da kazalec toka i razstavimo na vzdolžno in prečno komponento, a dokler ne poznamo smeri kazalca e0 in s tem tudi smeri osi d in q, ne moremo začeti z risanjem kazalcev usd in usq. Brez drugih podatkov lahko kazalčni diagram narišemo le splošno ter na pamet, nikakor pa ne v pravem merilu (slika 2). Vzdolžno os določa smer magnetenja rotorskega vzbujalnega navitja, zato je v diagram simbolično narisan še rotor z izraženimi poli, da nam olajša razumevanje razmer v dejanskem stroju.

ϕ

i

u

e0

id

ixd

d

iv

d-os

q -os

δ

i xq q

iq

Slika 2: Kazalčni generatorja z izraženim poli.


25

Splošni kazalčni diagram bomo uporabili za prikaz načina, kako grafično in s pomočjo podobnih trikotnikov določimo smer kazalca e0 in s tem položaj obeh osi (d in q). To bo sicer temeljilo na določenih (teoretičnih) predpostavkah, ki nimajo z dejanskimi razmerami v stroju nič, a nas bodo kljub temu pripeljale do cilja. Predpostavimo torej, da je smer bremenskega toka (in seveda magnetnega pretoka le-tega) glede na položaj rotorja znana, tako da lahko kazalec toka i razstavimo na komponenti id in iq. V takem primeru že lahko narišemo kazalčni diagram na sliki 2, a to smo že naredili. Vzemimo, da sta sinhronski reaktanci enaki in sicer tako, da je prečna reaktanca enaka vzdolžni: xq = xd. Tako bomo uporabljali le eno vrednost in to je xd. V tem primeru ostaja padec id xd enak prejšnjemu, padec iq xd pa je sedaj večji, zaradi večje reaktance (xd > xq). Na sliki 3 s prekinjeno črto narišemo novi padec napetosti, ki ustreza razdalji med točkama A in B'. Temu kazalcu prištejemo še padec na vzdolžni sinhronski reaktanci ter tako dobimo točko C'.

ϕ

i

u

e0

id

ixd

d

i xq d

iv

d-os

q-os

δi

xd d

i xq q

A

B

C

B’

C’

i xq

iq

Slika 3: Kazalčni generatorja z izraženim poli in določitev smeri kazalca e0.

Točka C' bi bila tako vrh kazalca e0, vendar vidimo, da je taka konstrukcija močno fiktivna, saj bi morala biti kazalca e0 in id xd vzporedna. Ne ozirajmo se na to in poglejmo, kaj imamo narisano. Če povežemo točki A in C', nam ta določi dva podobna trikotnika in sicer ABC ter AB'C'. Razmerje dolžin stranic je pri podobnih trikotnikih enako (zato pa so si podobni), tako da velja:

|AB| |AC|

|AB'| |AC'|= . (6)

Zanima nas seveda položaj točke C, saj ta določa smer kazalca e0, tako da izrazimo razdaljo |AC|:

|AB|

|AC| | AC'||AB'|

= . (7)

Če razdalje napišemo kot padce napetosti:

q q|AB| i x= , (8)

q d|AB'| i x= , (9)

2 2q d d d d|AC'| ( ) ( )i x i x i x= + = , (10)


26

lahko izrazimo razdaljo |AC| kot:

q qd q

q d

|AC|i x

i x i xi x

= = (11)

Vidimo, da je točka C določena s količinama, ki nista povezani s položajem rotorskih osi, tako da jo lahko določimo, če le poznamo statorski tok in prečno sinhronsko reaktanco. Ta točka določa smer prečne osi in kazalca e0, kar omogoča izračun komponent toka in nadaljni izris diagrama.

Čeprav bi v našem primeru rešitev lahko poiskali čisto grafično, bomo vrednost e0 izračunali analitično, diagram in geometrijo pa uporabili le kot osnovo za zapis enačb. Za pomoč pri izračunu, v diagram na sliki 4 narišimo še točko D, ki določa trikotnik ACD s stranicami a, b in i xq, v njem pa je znan tudi fazni kot ϕ.

ϕ

i

u

e0

id

ixd

d

iv

d-os

q -os

δ

i xq q

A

B

C

i xq

iq

ϕD

a

b

Slika 4: Kazalčni diagram za analitični izračun.

Izrazimo kolesni kot δ:

q

q

costan

sin

i xb

u a u i x

ϕδ = =

+ + ϕ. (12)

Ker so vse količine, ki nastopajo v enačbi znane, lahko izračunamo:

q

q

cos 1 1 0,8arctan arctan 26,57

sin 1 1 1 0,6

i x

u i x

ϕ ⋅ ⋅δ = = = ° + ϕ + ⋅ ⋅

. (13)

Sedaj lahko razstavimo tok na vzdolžno in prečno komponento:

= δ + ϕ = ⋅ ° + ° =d sin( ) 1 sin(26,57 36,87 ) 0,894i i , (14)

q cos( ) 1 cos(26,57 36,87 ) 0,447i i= δ + ϕ = ⋅ ° + ° = (15)

ter izračunamo padca napetosti na sinhronskih reaktancah:

= = ⋅ =sd d d 0,894 3,03 2,710u i x , (16)


27

sq q q 0,447 1 0,447u i x= = ⋅ = . (17)

Še malo geometrijske telovadbe in dolžina kazalca e0n je tu:

= + − = + − =2 2 2 20n sd sq 2,710 1 0,447 3,605e u u u . (18)

Upoštevajoč razmerje iz enačbe (1), izračunamo vrednost vzbujalnega toka v nazivnem obratovalnem stanju:

= = = = ⋅ =0n 0n v0vn 0n v0

n

3,605 1,1E E I

I e Ik U

3,96 A (19)


28

3.6 Naloga Trifaznemu sinhronskemu generatorju z nazivnimi podatki: Sn = 5,5 kVA, Un = 400 V, fn = 50 Hz, nn = 3000 vrt/min, cosϕn = 0,8, smo izmerili karakteristiki prostega teka in kratkega stika (slika 1).

S pomočjo karakteristik določite vrednosti kratkostičnega razmerja (ang. Short Circuit Ratio - SCR) ter relativne vrednosti vzdolžne reaktance za nasičeno in nenasičeno stanje.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U0 /

V

Iv / A

I k / A

Slika 1: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika trifaznega sinhronskega generatorja.

Rešitev

Če generator obratuje v prostem teku in je napetost na sponkah enaka nazivni napetosti, je vzbujalni tok nastavljen na vrednost Iv0. Vrednost tega vzbujalnega toka lahko odčitamo na karakteristiki prostega teka (KPT) in v našem primeru znaša približno Iv0 = 1,12 A (slika 2). V kolikor bi pri takem vzbujanju naredili kratek stik generatorja, bi po statorskem navitju stekel kratkostični tok, ki ga pri vrednosti vzbujalnega toka Iv0 odčitamo na karakteristiki kratkega stika (KKS) - Ik0 = 2,2 A.

Razmerje med kratkostičnim tokom Ik0 in nazivnim tokom generatorja je kratkostično razmerje:

k0c

n

IK

I= . (1)

Nazivni tok generatorja izračunamo iz nazivnih podatkov:

nn

n

55007,94 A

3 3 400

SI

U= = = , (2)

tako da je kratkostično razmerje:


29

k0c

n

2,2

7,94

IK

I= = = 0,277 . (3)

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U0 /

V

Iv / A

I k / A

Un

Iv0

Ik0

Ik=In

Ivk

Slika 2: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika uporabimo za določitev vzbujalnih tokov Iv0 in Ivk.

To kratkostično razmerje lahko izrazimo tudi z razmerjem vrednosti vzbujalnih tokov, tako da vsakemu toku v enačbi (1) s pomočjo KKS dodelimo ustrezen vzbujalni tok:

k0 v02,2 A 1,12 AI I= → = in

k n vk7,94 A 4,11 AI I I= = → = .

Ker je KKS linearna, dobimo približno enako vrednost Kc:

v0c

vk

1,120,273

4,11

IK

I= = = , (4)

razlika med izračunanima vrednostima je le posledica napake pri grafičnem odčitavanju.

Če imamo kratek stik generatorja pri vzbujanju Iv0, ko teče kratkostični tok Ik0, bo celoten padec napetosti na vzdolžni sinhronski reaktanci enak fiktivni inducirani napetosti E0 (slika 3b), saj je napetost na sponkah seveda nič. Napetost E0 je pri tem seveda enaka nazivni napetosti, saj je vzbujanje enako kot v prostem teku, ko padca napetosti na sinhronski reaktanci ni (slika 3a). Upoštevajoč to, lahko zapišemo:

0 k0 sE I X= . (5)

Pozorni moramo biti na to, da je tako zapisana in v kazalčnem diagramu predstavljena vrednost E0 fazna napetost (kakor seveda tudi vse ostale napetosti). Vzdolžno sinhronsko reaktanco tako izračunamo:

0d

k0 k0

400104,97

3 3 2,2nE U

XI I

= = = = Ω⋅

. (6)


30

U U = n(E0)

Iv0 U = 0 V

E0

Iv0

Ik0 sX

Ik0

(a) (b)

Slika 3: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika uporabimo za določitev vzbujalnih tokov Iv0 in Ivk.

Relativna vrednost vzdolžne sinhronske reaktance je:

dd

n

Xx

Z= , (7)

kjer je Zn nazivna ali osnovna impedanca generatorja:

nn

n3

UZ

I= . (8)

Če v enačbi (7) števec zamenjamo z enačbo (6), imenovalec pa z enačbo (8), dobimo:

n n nd

n k0 ck0

3 1

3

U I Ix

U I KI= = = , (9)

kar je inverzna vrednost kratkostičnega razmerja Kc. Izračunajmo xs s pomočjo prej določenega kratkostičnega razmerja:

dc

1 1

0,277x

K= = = 3,61 . (10)

Ko za določitev vrednosti vzbujalnega toka Iv0 uporabimo dejansko KPT in je delovna točka prostega teka običajno že nad kolenom KPT (katere obliko določa magnetilna krivulja feromagnetika), imenujemo tako dobljeno vrednost nasičena sinhronska reaktanca oz. nasičeno kratkostično razmerje. Nenasičene vrednosti pa dobimo takrat, ko vzbujalni tok Iv0 določimo z linearno KPT, ki ima naklon linearnega (začetnega) dela dejanske KPT (slika 3).

V našem primeru odčitamo vrednosti:

v0 k0' 1 A ' 1,95 AI I= → = , (11)

tako da je nenasičeno kratkostično razmerje:

k0c

n

' 1,95'

7,94

IK

I= = = 0,246 (12)

in dobimo vrednost relativne nenasičene vzdolžne sinhronske reaktance:

dc

1 1'

' 0,246x

K= = = 4,07 . (13)

V našem primeru razlika med nenasičenimi in nasičenimi vrednostmi ni velika, saj položaj nazivne napetosti (delovne točke) ni nad kolenom KPT in s tem v občutnem nasičenju feromagnetika.


31

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U0 /

V

Iv / A

Ik /

A

Un

Iv0'

Ik0'

Slika 3: Določanje Ik0' s pomočjo linearne karakteristike prostega teka.


32

3.7 Naloga Na 4-polnem trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki: Sn = 1200 kVA; Un = 400 V; Ivn = 3,7 A; fn = 50 Hz, smo opravili preizkusa prostega teka in kratkega stika:

Preizkus prostega teka: n = nn, U0 = Un, Iv0 = 1,1 A;

Preizkus kratkega stika: n = nn, Ik = In, Ivk = 2,62 A.

Kolikšna je lahko največja trajna induktivna jalova moč, če generator na nazivnem omrežju uporabimo kot kompenzator jalove moči?

Rešitev

Ko generator obratuje kot kompenzator jalove moči, gre največkrat za obratovanje v nadvzbujenem stanju pri cosϕ = 0, tako da je delovna moč takrat enaka nič (slika 1).

Iv I

U

E0 I Xs

cosϕ = 0ϕ

Slika 1: Kazalčni diagram sinhronskega stroja, ko obratuje kot kompenzator jalove moči.

Ker je generator priključen na nazivno omrežje bo maksimalna jalova moč odvisna le od velikosti statorskega toka. Ta bo tem večji, čim večje bo vzbujanje, saj se z večanjem vzbujalnega toka sorazmerno povečuje fiktivna inducirana napetost E0 in s tem tudi padec na sinhronski reaktanci Xs. Maksimalna napetost E0 je odvisna od vzbujanja:

0 vE k I= , (1)

vzbujalni tok pa omejuje podana nazivna vrednost le-tega (Ivn). S pomočjo rezultatov preizkusa prostega teka lahko izračunamo konstanto k, saj v prostem teku ni toka in padca na sinhronski reaktanci, zato je napetost E0 enaka nazivni napetosti Un:

n

v0

Uk

I= . (2)

Če združimo enačbi (1) in (2) dobimo:

n0 v

v0

UE I

I= (3)

in od tod:

0 v0 v

n v0

E Ie i

U I= → = . (4)


33

Če torej pišemo normirane vrednosti količin, je fiktivna napetost e0 enaka normirani vrednosti vzbujalnega toka iv. Uporabimo normirane količine, saj bo to precej poenostavilo izračune. Zanima nas torej maksimalna vrednost e0, označimo jo kar kot nazivno - e0n, ki jo določa nazivni vzbujalni tok:

vn0n vn

v0

3,73,364

1,1

Ie i

I= = = = . (5)

Ker je napetost nazivna (u = 1), je padec napetosti na sinhronski reaktanci enak:

s 0n 3,364 1 2,364i x e u= − = − = . (6)

Vrednosti sinhronske reaktance ne poznamo, jo pa lahko izračunamo iz kratkostičnega razmerja Kc, saj velja:

dc

1x

K= . (7)

Kratkostično razmerje izračunamo s pomočjo rezultatov preizkusa prostega teka in kratkega stika:

= = =v0c

vk

1,10,420

2,62

IK

I. (8)

Ko sinhronski stroj obratuje kot kompenzator jalove moči pri cosϕ = 0, je reakcija indukta le v vzdolžni smeri (magnetno polje statorskega toka je v osi rotorskega vzbujanja - glej sliko 1), tako da lahko v enačbi (6) uporabimo kar to vrednost:

= = =dc

1 12,382

0,420x

K. (9)

Vrednost statorskega toka bo tako:

−

= = =0n

d

2,3640,993

2,382

e ui

x. (10)

Vidimo, da bi bil pri nazivnem (maksimalnem) vzbujanju statorski tok nekoliko manjši od nazivnega, zato ta vrednost omejuje velikost jalove moči. Največja jalova moč je tako:

= = ⋅ =max n 0,993 1200Q i S 1191 kVAr . (11)


34

3.8 Naloga Izračunajte navor nazivno obremenjenega trifaznega turbogeneratorja z nazivnimi podatki: Un = 10,5 kV; In = 5,5 kA; fn = 50 Hz; 2p = 2.

Pri nazivnem obratovalnem stanju generatorja je kolesni kot 34°, izkoristek pa 98,2 %. Kratkostično razmerje generatorja je 0,58.

Rešitev

Navor bomo izračunali iz mehanske moči na gredi, saj velja:

mehP M= ω . (1)

Mehanska moč je tista, ki se pretvarja v električno, a žal ne brez izgub, zato je oddana moč generatorja manjša. Izkoristek je razmerje med oddano in prejeto močjo, zato lahko mehansko moč zapišemo tudi kot:

elmeh

PP =

η. (2)

Ker je nazivni izkoristek stroja podan, moramo torej izračunati nazivno električno delovno moč generatorja. Nazivni vrednosti napetosti in toka sta podani, nimamo pa nazivnega cosϕ, zato ga bomo morali poiskati. Narišimo splošni kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega turbogeneratorja (slika 1) z označenimi normiranimi količinami.

u

i

i xs

ϕ

e0

iv

δ

Slika 1: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega turbogeneratorja.

Vidimo, da moramo, če želimo s pomočjo trigonometrije izračunati kot ϕ, poznati padec napetosti na sinhronski reaktanci (i xs) ali fiktivno inducirano napetost e0. Do padca napetosti na sinhronski reaktanci pridemo enostavneje, saj moramo poznati le še sinhronsko reaktanco, ki pa jo lahko izračunamo s pomočjo kratkostičnega razmerja stroja, saj velja:

sc

1 11,724

0,58x

K= = = . (3)


35

Sedaj lahko zapišemo kosinusni izrek, s katerim bomo izračunali napetost e0, saj poznamo nazivni kolesni kot δn:

2 2 2s 0 0 n( ) 2 cosi x e u e u= + − δ . (4)

Napetost je nazivna, zato je u = 1, prav tako pa tudi tok i = 1, tako da dobimo kvadratično enačbo:

2 2 20 n 0 s2 cos ( ) 0e u e u i x− δ + − = . (5)

2 20 0

20 0

0 0

2 1 cos34 1 1,724 0

1,6581 1,9722 0

0,802 ; 2,460

e e

e e

e e

− ⋅ ⋅ + − =

− − =

= − =

Rešitvi sta dve, a le ena je pozitivna in ta je prava za našo uporabo, torej e0 = 2,460. Ker sedaj poznamo dolžino kazalca e0, lahko izračunamo razdaljo i xs cosϕ (slika 2), ki vsebuje iskani cosϕ:

s 0 ncos sini x eϕ = δ . (6)

0 n

s

sin 2,460 sin34cos 0,798

1 1,724

e

i x

δ ⋅ϕ = = =

⋅

. (7)

u

i

i xs

ϕ

e0

iv

δ

β

ϕ

ϕ

i xs cosϕ

Slika 2: Izračun cosϕ s pomočjo trigonometrije.

Sedaj izračunamo električno delovno moč:

el n n n3 cos 3 10500 5500 0,798 79,81 MWP U I= ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ = (8)

in s pomočjo izkoristka še mehansko moč na gredi ter navor:

6

elmeh

n

79,81 1081,28 MW

0,982

PP

⋅= = =

η. (9)

6

meh

n

60 81,28 10 60

2 2 3000

PM

n

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

π π⋅258,7 kN m . (10)

36

4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

4.1 Naloga Na trifaznem sinhronskem stroju z nazivnimi podatki Un = 400 V, Sn = 40 kVA, cosϕn = 0,8, nn = 1500 vrt/min, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram) ter vzbujalni tok Iv = 11 A v delovni točki U = Un, I = In, cosϕL = 0.

Kolikšen je vzbujalni tok pri nazivnem obratovanju?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (

V)

Ivzb

(A)

I

k (A

)

Rešitev Iz podanih merilnih rezultatov lahko narišemo švedski diagram in poiščemo vzbujanje pri nazivnem toku:

nn

n

4000057,7 A

3 3 400

SI

U= = = , (1)

in nazivnem cosϕ oz. faznem kotu:

on narccos(cos ) arccos(0,8) 36,9ϕ = ϕ = = . (2)

Po grafični metodi poiščemo nazivni vzbujalni tok, ki znaša Ivn = 9,7 A.


37

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (V

)

Ivzb

(A)

I k (A

)

Iv0Ivk

Un

In

Iv-ind

ϕn

Ivn

= 9,7 A


38

4.2 Naloga Na trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki Un = 400 V, Sn = 40 kVA, nn = 1500 vrt/min, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram) ter vzbujalni tok Iv = 11 A v delovni točki U = Un, I = In, cosϕL = 0.

Z uporabo švedskega diagrama določite nazivni cosϕ generatorja, če znaša nazivni vzbujalni tok Ivn = 10 A? Padec napetosti na upornosti navitja zanemarite.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (

V)

Ivzb

(A)

I

k (

A)

Rešitev Iz podanih merilnih rezultatov lahko narišemo švedski diagram pri čemer poiščemo nazivni cosϕn na podlagi znanega vzbujalnega toka pri nazivno obremenjenem generatorju:

40000

57,7 A3 3 400

nn

n

SI

U= = = . (1)

Iz diagrama odčitamo vrednost nazivnega faznega kota ϕn = 43°, tako da je:

ocos cos(43 )nϕ = = 0,731 . (2)


39

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (V

)

Ivzb

(A)

I k (A

)

Iv0Ivk

Un

In

Iv-ind

ϕϕϕϕn = 43°


40

4.3 Naloga Na trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki Un = 380 V, Sn = 33 kVA, cosϕn = 0,8 (L), nn = 1500 vrt/min, Ivzb-n = 9 A, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram).

Kolikšen je vzbujalni tok, ko generator obratuje na nazivnem omrežju, z nazivno močjo in cosϕ = 0,8, a s kapacitivnim karakterjem?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (

V)

Ivzb

(A)

I k

(A)

Rešitev Potrebni vzbujalni tok pri obremenitvi z nazivno močjo, a s kapacitivnim karakterjem bremena, poiščemo s pomočjo švedskega diagrama. Iz podanih nazivnih podatkov najprej izračunajmo nazivni tok generatorja:

nn

n

3300050,14 A

3 3 380

SI

U= = = , (1)

ter v diagram vrišemo točko A, ki jo določata vzbujalni tok prostega teka (Iv0) in kratkega stika (Ivk). Izračunamo nazivni fazni kot:

arccos(0,8) 36,87nϕ = = ° (2)

in s pomočjo podatka o nazivnem vzbujalnem toku (Ivn) dobimo nazivno obratovalno točko B. Točki A in B ležita na krožnici, po kateri potuje kazalec vzbujalnega toka in omogoča, da določimo vzbujalni tok za poljuben cosϕ. Krožnica ima središče na osi x (Ivzb), najenostavneje pa ga poiščemo tako, da narišemo normalo na središče tetive med točkama A in B. Presečišče normale in osi x je središče krožnice. Sedaj le vrišemo obratovalno točko pri kapacitivnem cosϕ = 0,8 in odčitamo velikost potrebnega vzbujalnega toka, ki je v našem primeru približno:

vI = 4,05 A . (3)


41

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

U

0 (V

)

Ivzb

(A)

I k (A

)

Iv0

Ivk

Un

In

Iv-ind

ϕn=36.9°

Ivn

A

B

C

ϕn

Iv=4,05 A

42

5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja

5.1 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki Pn = 1 kW, Un = 380 V, In = 2,5 A, cosϕn = 0,8, nn = 1380 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabimo kot generator na nazivnem (togem) omrežju. Obratoval bo pri vrtilni hitrosti 1600 vrt/min.

S pomočjo preizkusov prostega teka in kratkega stika asinhronskega motorja so bile določene vrednosti elementov njegovega enofaznega nadomestnega vezja (slika 1):

RS = 8,40 Ω; RR' = 8,98 Ω; XσS = XσR' = 8,62 Ω; RFe = 1953 Ω; XSR = 148,9 Ω.

Izgube trenja in ventilacije motorja v prostem teku (n ≈ ns) znašajo Ptr,v = 10 W.

RS XσS XσR'

XSRUS

s

RFe

RR'IS IR

Slika 1: Nadomestno vezje asinhronskega motorja.

Nadomestno vezje uporabite za izračun generatorskega obratovalnega stanja, pri čemer izračunajte navor, izkoristek in posamične izgube generatorja.

Rešitev Če želimo analizirati generatorsko obratovalno stanje asinhronskega stroja s pomočjo njegovega nadomestnega vezja, moramo to električno vezje z izbiro ustrezne metode rešiti in izračunati napetosti oz. toke v njem. V našem primeru vezja ne bomo reševali analitično, temveč bomo do rezultatov prišli s uporabo programa Spice Opus (http: www.spiceopus.si). Na sliki 2 je vezje, kakršno smo analizirali, pri čemer smo upor RR'/s, ki v nadomestnem vezju asinhronskega stroja (slika 1) predstavlja delovno moč na rotorju, razdelili na dva, tako da so izgube v rotorskem navitju in mehanska moč na ločenih elementih.

RS XσS XσR'

XSR

RFe

RR'

US

IS IR'

~ (Pmeh)

(PCu-R)(PCu-S)

(PFe)

U0 meh R

1' 1R R

s

= −

Slika 2: Vezje za analizo v programu Spice Opus.

Ker vezje predstavlja le eno fazo stroja, je napetost napajalnega vira fazna vrednost nazivne napetosti:


43

nS

380219,4 V

3 3

UU = = = , (1)

upornost Rmeh pa izračunamo s pomočjo slipa, pri katerem bo stroj obratoval:

s

s

1500 16000,0667

1500

n ns

n

− −= = = − , (2)

meh R

1 1' 1 8,98 1 143,68

0,0667R R

s

= − = − = − Ω −

. (3)

Negativni predznak upornosti nas ne sme prestrašiti, saj gre le za element v vezju, ki predstavlja mehansko moč, le-ta pa bo v nadomestnem vezju motorja negativna, saj stroj obratuje kot generator. Negativni predznak pri upornosti predstavlja le obratno smer napetosti oz. toka od običajnega dogovora.

Analiza vezja je dala naslednje kompleksne vrednosti napetosti in tokov, pri čemer so predstavljene kot efektivne vrednosti:

US = (219,4 + j 0) V; U0 = (215,4 + j 25,69) V

IS = (-1,299 - j 1,726) A; IR' = (-1,581 - j 0,2920) A.

S temi vrednostmi lahko sedaj izračunamo zahtevane količine, še prej pa lahko izračunamo absolutne vrednosti količin:

US = 219,4 V; U0 = 216,9 V; IS = 2,160 A; IR' = 1,608 A.

Mehanska moč v nadomestnem vezju je tista moč, ki se v celoti pretvarja v električno delovno moč stroja. V našem primeru znaša:

2 2meh R meh3 ' 3 1,608 143,68 1115 WP I R= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = . (4)

Negativni predznak upornosti in s tem tudi moči lahko pri tem izračunu zanemarimo, ne smemo pa pozabiti na množenje s tri, saj je stroj trifazni, nadomestno vezje pa enofazno. Izračunana moč ni mehanska moč, ki jo daje pogonski stroj, saj mora le-ta kriti še izgube trenja in ventilacije. Ker odvisnosti teh izgub od vrtilne hitrosti ne poznamo, vzamemo tiste izmerjene v prostem teku. Moč prejeta s strani pogonskega stroja je torej:

pr meh tr,v 1115 10 1125 WP P P= + = + = . (5)

Rotor se vrti s hitrostjo n = 1600 vrt/min, tako da je navor:

pr pr 60 1125 60

2 2 1600

P PM

n

⋅= = = = ⋅

ω π π⋅6,71 N m . (6)

Za izračun izkoristka moramo poznati še delovno moč, ki jo generator oddaja v omrežje. Ker ima napetost omrežja le realno komponento, lahko oddano delovno moč izračunamo:

S S S3 Re( ) 3 219,4 1,299 855,0 WP U I= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = . (7)

Tudi tu zanemarimo negativni predznak toka in moči. Ker uporabljamo nadomestno vezje motorja in je napajalni vir v vezju omrežna napetost, predstavlja negativni predznak moči le to, da je smer delovne moči v vir in ne iz njega.

Izkoristek je razmerje med oddano (PS) in prejeto močjo (Ppr):

S

pr

855,0

1125

P

Pη = = = 0,760 . (8)

V generatorju imamo izgube v statorskem in rotorskem navitju, izgube v železu ter izgube trenja in ventilacije. Slednje so mehanske izgube, ki jih krije pogonski stroj, zato jih v nadomestnem vezju nimamo.


44

Izgube v statorskem in rotorskem navitju izračunamo:

2 2Cu-S S3 3 2,16 8,4SP I R= = ⋅ ⋅ = 112 W , (9)

2 2Cu-R R R3 ' ' 3 1,608 8,98P I R= = ⋅ ⋅ = 69,7 W . (10)

Izgube v železu so predstavljene z močjo na uporu RFe in znašajo

2 2

0Fe

Fe

216,93 3

1953

UP

R= = = 72,3 W . (11)

45

6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

6.1 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki: Pn = 10 kW, Un = 400 V, In = 21,6 A, cosϕn = 0,85, nn = 1450 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabimo kot generator v mali hidroelektrarni.

a) Kolikšno mehansko moč prejema generator, če je priključen na togo mrežo in se turbina vrti s hitrostjo 1520 vrt/min?

b) Kolikšne kondenzatorje in kako moramo priključiti na sponke statorskega navitja, do bo generator otočno napajal breme pri nazivni napetosti in frekvenci

Rešitev a) Če želimo izračunati mehansko moč generatorja moramo poznati navor in vrtilno hitrost. Slednja je podana, tako da uporabimo navorno karakteristiko asinhronskega stroja za izračuna navora pri tej hitrosti. Nazivni navor asinhronskega motorja se praviloma nahaja na linearnem delu navorne karakteristike (slika 1), kar pomeni, da je tam navor linearno odvisen od slipa, saj gre pri navorni karakteristiki za liho simetrijo glede na sinhronsko vrtilno hitrost (ns) oz. s = 0.

MOTOR

GENERATOR

M

nnn

Mn

ns

Mg

ng0

s01 sgsn

2ns

-1

Slika 1: Navorna karakteristika asinhronskega stroja.

Ker je hitrost vrtilnega polja določena s frekvenco omrežja in za to nespremenljiva, lahko navor v linearnem področju karakteristike zapišimo kot linearno funkcijo slipa:

M k s= ⋅ , (1)

pri čemer koeficient k izračunamo iz nazivnega navora in nazivnega slipa motorja:

n nn

n n

60 10000 6065,85 N m

2 2 1450

P PM

n

⋅ ⋅= = = = ⋅

ω π⋅ π⋅, (2)

s nn

n

1500 14500,03

1500

n ns

n

− −= = = , (3)


46

n

n

65,851975,5N m

0,03

Mk

s= = = ⋅ . (4)

Sedaj izračunamo navor pri generatorskem obratovanju:

s gg g

s

1500 15201975,5 26,34 N m

1500

n nM k s k

n

− −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ . (5)

Negativni predznak navora bo dal tudi negativno mehansko moč, kar pomeni, da asinhronski stroj mehansko moč prejema in torej deluje kot generator:

gmeh g g g

15202 26,34 2

60 60

nP M M= ω = π = − π = -4193 W . (6)

b) Če želimo, da bo asinhronski stroj deloval kot generator otočno, kar pomeni, da ni priključen na omrežje nespremenljive napetosti in frekvence, moramo poskrbeti za ustrezen pretok jalove moči za magnetenje stroja, saj lahko preko gredi stroj prejema le mehansko, to je delovno moč. Tudi če asinhronski generator obratuje na omrežju, prejema mehansko moč in jo v obliki delovne električne moči oddaja v omrežje, a jalovo moč potrebno za magnetenje stroja prejema, tako kot v motorskem režimu, iz omrežja. Iz nazivnih podatkov motorja lahko izračunamo koliko je pri nazivnem obratovalnem stanju induktivne jalove moči, saj se bo pri otočnem obratovanju ta jalova moč pokrila z jalovo močjo na kondenzatorjih, ki jih priključimo na priključne sponke stroja:

= = ⋅ ⋅ =n n n3 3 400 21,6 14965 VAS U I , (7)

1n n ncos 14965 0,85 12720 WP S= ϕ = ⋅ = , (8)

2 2 2 2n n 1n 14965 12720 7884 VArQ S P= − = − = . (9)

Ko asinhronski stroj obratuje kot motor, je inducirana napetost, zaradi padcev napetosti na upornosti in stresanih reaktancah navitja, nižja od pritisnjene napetosti, pri generatorskem obratovanju pa so razmere obrnjeneje, saj je inducirana napetost tista, ki žene tok, zato je napetosti na sponkah za te padce nižja od inducirane. Če želimo, da bo generator oddajal električno moč pri nazivni napetosti, je zato v stroju potreben večji magnetni pretok in s tem tudi večja jalova moč.

Samo s podatki z napisne tablice, ne moremo določiti povečanja jalove moči, zato bomo kapacitivnosti določili kar iz izračunane jalove moči. Potrebujemo tri kondenzatorje, ki bodo vezani v zvezdo ali trikot. V prvem primeru bo napetost na posameznem kondenzatorju za

3 nižja od tiste v trikotu, zato bi potrebovali kondenzatorje z večjo kapacitivnostjo, če želimo doseči potrebno jalovo moč. Največkrat se zato odločimo za vezavo trikot, tako da je jalova moč kondenzatorjev:

2

2k 3 3

C

UQ U C

X= = ω , (10)

kapacitivnost posameznega, v trikot vezanega kondenzatorja pa:

k2 2

7884

3 3 400 2 50

QC

U= = =

ω ⋅ ⋅ π⋅52,28 μF . (11)

Potrebujemo torej tri kondenzatorje z izračunano kapacitivnostjo, ki morajo biti izdelani najmanj za nazivno napetost motorja. V kolikor bi se odločili za vezavo kondenzatorjev v zvezdo, bi bila potrebna kapacitivnost trikrat večja (glej enačbo 10), njihova nazivna napetost pa bi bila

lahko za 3 nižja od nazivne napetosti asinhronskega motorja.


47

6.2 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki: Pn = 1 kW, Un = 380 V, In = 2,5 A, cosϕn = 0,8, nn = 1380 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabljamo kot generator, ki otočno napaja čisto ohmsko breme. Pogonski stroj vrti rotor s konstantno hitrostjo 1500 vrt/min, frekvenca napetosti na bremenu pa je 48 Hz.

a) Kolikšna je mehanska moč pogonskega stroja v tej obratovalni točki?

b) Kako hitro bi se moral vrteti rotor, da bi bila frekvenca napetosti nazivna, če navor pogonskega stroja ostane enak?

Rešitev Mehansko moč pri rotacijskih strojih določata navor in kotna hitrost oz. vrtilna hitrost:

= ω = πmeh 260

nP M M . (1)

Vrtilno hitrost pogonskega stroja poznamo, zato moramo izračunati le navor. Navorna karakteristika asinhronskega stroja je v okolici sinhronske hitrosti (s = 0) ponavadi dokaj linearna, zato lahko navor stroja enostavno zapišemo kot linearno funkcijo slipa (slika 1).

MOTOR

GENERATOR

Mn

Mg

s0 sgsn

M = k⋅s

Slika 1: Navorna karakteristika asinhronskega stroja v okolici sinhronske hitrosti (s = 0).

Sinhronska vrtilna hitrost je določena s frekvenco statorskega toka oz. napetosti , ki pa se pri otočnem obratovanju asinhronskega generatorja z obremenitvijo lahko spreminja. Enačbo za linearni potek navorne karakteristike v okolici sinhronske hitrosti bomo zaradi tega zapisali v obliki:

= −s( )M k n n , (2)

kjer člen v oklepaju predstavlja absolutno razliko hitrosti med sinhronsko hitrostjo in hitrostjo vrtenja rotorja. Iz nazivnih podatkov stroja izračunamo konstanto k:

n nn

n n

60 1000 606,92 N m

2 2 1380

P PM

n

⋅ ⋅= = = = ⋅

ω π π⋅, (3)

n

s n

6,920,0577 N m min

1500 1380

Mk

n n= = = ⋅ ⋅

− −. (4)


48

Pri asinhronskem stroju je hitrost vrtenja rotorja vedno različna od hitrosti vrtilnega polja. V generatorskem režimu je hitrost višja od sinhronske, kar pomeni, da se vrtilno magnetno polje vrti počasneje. Vrtilno polje ustvarja tok, ki teče po statorskih navitjih, zato frekvenca tega toka, pri določenem številu magnetnih polov, določa to sinhronsko vrtilno hitrost. V našem primeru je frekvenca napetosti 48 Hz, kar pomeni, da je sinhronska hitrost:

s

60 48 601440 vrt/min

2

fn

p

⋅ ⋅= = = , (5)

Tako je navor stroja v generatorskem režimu enak:

g s g( ) 0,577 (1440 1500) 3,46 N mM k n n= − = ⋅ − = − ⋅ . (6)

Negativni predznak lahko opustimo, saj vemo da gre za generatorsko obratovanje, tako da je mehanska moč pogonskega stroja:

gmeh g g g

15002 3,46 2

60 60

nP M M= ω = ⋅ π = ⋅ π = 543,5 W . (7)

b) Če naj bi bila frekvenca statorske napetosti nazivna fn = 50 Hz, bo nova sinhronska hitrost stroja enaka:

s

60 50 60' 1500 vrt/min

2

fn

p

⋅ ⋅= = = . (8)

Rotor se bo v generatorskem režimu vrtel hitreje od sinhronske hitrosti, ker pa ostaja navor pogonskega stroja enak, pomeni, da bo razlika hitrosti enaka tisti iz prejšnje obratovalne točke (glej sliko):

g s 1500 1440 60 vrt/minn n n∆ = − = − = . (9)

Mg

n

1440 1560

1500

Če torej želimo iz generatorja dobiti napetost s frekvenco 50 Hz je potrebno stroj vrteti s hitrostjo:

g s' ' 1500 60n n n= + ∆ = + = 1560 vrt / min . (10)


49

6.3 Naloga Štiripolni trifazni asinhronski motor s kratkostično kletko ima nazivne podatke: Pn = 11 kW; Un = 380 V; fn = 50 Hz; cosϕn = 0,86 in nazivni izkoristek ηn = 0,88. Motor bomo uporabili kot asinhronski generator za otočno obratovanje.

Karakteristika prostega teka (KPT) motorja, izmerjena pri nazivni frekvenci, je podana v spodnji tabeli in diagramu:

Im / A U0 / V

2,8 150

3,8 200

5,0 250

6,7 300

10,5 380

Pri generatorskem obratovanju bomo jalovo moč motorja kompenzirali s kondenzatorji.

a) Kolikšne so kapacitivnosti kondenzatorjev izračunane z nazivno jalovo močjo, če bodo kondenzatorji vezani v zvezdo?

b) Kolikšna je minimalna hitrost, pri kateri pride v prostem teku generatorja, s priključenimi izračunanimi kondenzatorji, do samovzbujanja asinhronskega generatorja?

c) Kolikšna je najmanjša kapacitivnost kondenzatorjev, da pride v prostem teku generatorja do samovzbujanja?

Rešitev Kapacitivnost kondenzatorjev izračunamo s pomočjo jalove (reaktivne) moči pri nazivnem obratovanju motorja. To jalovo moč izračunamo kot:

= ϕ = − ϕ2n n n n nsin 1 cosQ S S , (1)

pri čemer nazivno navidezno moč izračunamo s pomočjo električne delovne moči pri nazivnem obratovalnem stanju, to pa dobimo preko podanega izkoristka:

= = = =ϕ η ϕ ⋅

1n nn

n n n

1100014535 VA

cos cos 0,88 0,86

P PS . (2)

Reaktivna moč je tako:

= − =2n 14535 1 0,86 7417 VArQ . (3)

Ker bomo s kondenzatorji to reaktivno moč kompenzirali, mora biti reaktivna moč na njih (QC) enaka le-tej, tako da lahko zapišemo:

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0 2 4 6 8 10 12

Im / A

U0

/ V


50

( )

= = = = = ω

22 2

3 2nn n3 3

nU

CC

C C C

U UQ Q U C

X X X. (4)

pri čemer smo upoštevali, da je napetost na kondenzatorjih za 3 manjša od nazivne (medfazne), saj so kondenzatorji vezani v zvezdo. Kapacitivnost posameznega kondenzatorja je tako:

= = =ω ⋅ π⋅

n2 2

n

7417

380 2 50

QC

U163,5163,5163,5163,5 μFμFμFμF . (5)

b) Samovzbujanje je možno, ko je karakteristika kapacitivne reaktance bolj položna kot začetna strmina KPT motorja, saj takrat dobimo presečišče premice reaktance s KPT in s tem inducirano napetost (slika 1).

Napetost v karakteristiki prostega teka je sicer podana kot medfazna napetost, a če želimo v isti diagram vrisati še UI karakteristiko kapacitivne reaktance moramo napetost pretvoriti v fazno, saj je taka tudi napetost na kondenzatorjih pri vezavi le-teh v zvezdo.

Im

KPTXC

Im1

U01

X ’C

samovzbujanje

0

3

U

Slika 1: Pogoj za samovzbujanje je ta, da premica kapacitivne reaktance seka KPT, zato mora biti položnejša od

začetne strmine (linearnega dela) KPT.

Ta pogoj lahko za določeno frekvenco (npr. nazivno fn = 50 Hz) zapišemo kot:

≤

0

m začetna3

C

UX

I (6)

To presečišče je pri konstantni frekvenci odvisno le od kapacitivnosti kondenzatorjev, ker pa nas zanima začetek samovzbujanja v odvisnosti od vrtilne hitrosti pri znanih in nespremenljivih kapacitivnostih (C = 163,5 µF), zapišimo obe karakteristiki kot funkciji frekvence. Frekvenca je vključena že v osnovni enačbi za izračun kapacitivne reaktance, KPT pa se s frekvenco spreminja linearno saj se ob istem vzbujanju magnetilnega toka (Im) pri nižji frekvenci inducira sorazmerno nižja napetost:

≤π

0

nm

1

2 3

U f

f C fI. (7)

Neenačbo preuredimo in zapišemo enačbo za kritično frekvenco (fkr), tj. tisto mejno frekvenco nad katero pride do samovzbujanja:

m nkr

0

3

2

I ff

C U=

π. (8)


51

Ker moramo pri izračunu uporabiti začetno strmino KPT bomo za vrednosti U0 in Im v uporabili kar prvi par točk podane KPT (U01 = 150 V, Im = 2,8 A).

kr 6

3 2,8 5039,67 Hz

2 163,5 10 150f

−

⋅ ⋅= =

π⋅ ⋅ ⋅. (9)

Ker obravnavamo prosti tek stroja in pri tem hitrost rotorja skoraj enaka sinhronski hitrosti vrtilnega magnetnega polja (ns), ki jo določa frekvenca (inducirane) napetosti:

s

60fn

p

⋅= , (10)

lahko s pomočjo izračunane kritične frekvence izračunamo še kritično hitrost vrtenja, nad katero bo prišlo do samovzbujanja asinhronskega generatorja:

krkr

60 39,67 60

2

fn

p

⋅ ⋅= = = 1190 vrt / min . (11)

c) Pokazali smo že, da je za samovzbujanje potrebna taka reaktanca kondenzatorjev, da dobimo presečišče s KPT. Če ponovno uporabimo postopek kot pri neenačbi (7), ki opisuje pogoj za samovzbujanje, le da tokrat izpostavimo kapacitivnost, dobimo:

m n2

0

3

2

I fC

f U≥

π. (12)

Vidimo, da bo kapacitivnost najmanjša takrat, ko bo frekvenca največja. V našem primeru vzemimo nazivno frekvenco motorja kot maksimalno frekvenco (f = fn = 50 Hz), tako da je izračunana kritična kapacitivnost kondenzatorjev, potrebna za samovzbujanje generatorja:

m nkrY 2 2

0

3 3 2,8 50102,9 F

2 2 50 150

I fC

f U

⋅ ⋅= = = µ

π π⋅ ⋅. (13)

Ne smemo pozabiti, da omenjeni pogoj in tudi izračun velja za kondenzatorje vezane v zvezdo. Kapacitivnosti kondenzatorjev pa lahko zmanjšamo na tretjino še s tem, da jih priključimo v

trikot, saj je takrat napetost na kondenzatorjih za 3 višja od tiste, ko so kondenzatorji vezani v zvezdo. Reaktivna moč kondenzatorjev je namreč sorazmerna kvadratu napetosti. Kritična kapacitivnost kondenzatorjev vezanih v trikot je tako le:

krYkr

102,9

3 3

CC ∆ = = = 34,3μF . (14)

52

7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

7.1 Naloga Opravili smo preizkus kratkega stika trifaznega distribucijskega transformatorja z nazivnimi podatki 21 kV/0,42 kV, 160 kVA, Yzn5.. Rezultati so sledeči: Pk = 2,35 kW, uk = 4%.

Določite Kappov trikotnik in izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen pri cosϕ = 1.

Rešitev Pri reševanju si bomo pomagali s kazalčnim diagramom transformatorja. Narišimo obratovalno stanje, ko je transformator obremenjen s čistim ohmskih bremenom (cosϕ = 1):

u1

u2

i2

uruk

ux

ϕk

Padce napetosti, ki tvorijo Kappov trikotnik bomo izračunali na podlagi rezultatov preizkusa kratkega stika:

k k k n kk

k k nk k k n

3 2350cos 0,3672

0,04 160003 3

P P P U P

S u SU I U Sϕ = = = = = =

⋅, (1)

k kcos 0,04 0,3672 0,01469r ru u u= ϕ = ⋅ = → = 1,47 % , (2)

2 2 2 2k 0,04 0,01469 0,03720x r xu u u u= − = − = → = 3,72 % . (3)

Ker nas zanimajo razmere pri nazivno obremenjenem transformatorju, lahko uporabimo nespremenjene vrednosti padcev napetosti, saj smo jih izračunali s podatki preizkusa kratkega stika, pri katerem je kratkostični tok enak nazivnemu. S pomočjo skice kazalčnega diagrama lahko izračunamo sekundarno napetost u2:

2 2 22 1 1 0,0372 0,01469 0,9846x ru u u u= − − = − − = . (4)

Ker želimo absolutno vrednost sekundarne napetosti, izračunamo še to:

2 2n 2 420 0,9846U U u= = ⋅ = 413,5 V . (5)


53

7.2 Naloga Na enofaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 5 kVA, U1n = 230 V, U2n = 42 V, smo opravili preizkus kratkega stika. Rezultati so: Pk = 300 W, uk = 8%.

S pomočjo nadomestnega vezja, pri katerem prečno vejo zanemarite, izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen s čistim induktivnim bremenom.

Rešitev Rezultate preizkusa kratkega stika uporabimo za izračun (serijskih) elementov nadomestnega vezja transformatorja:

R1 X1 X2'

X0R0

R2'

U2'U1

I1 I2'

I0

Upoštevajoč poenostavitev, da zanemarimo elemente prečne veje (R0, X0), lahko serijske elemente združimo in dobimo tako nadomestno vezje:

R1 X1 X2' R2'

U2'U1

I1 I2' Rk Xk

U2'U1

I1

Vrednosti elementov bomo izračunali s pomočjo rezultatov kratkega stika zato najprej izračunajmo napetost in tok pri preizkusu kratkega stika:

nk 1n

1n

500021,739 A

230

SI I

U= = = = , (1)

k k 1n 0,08 230 18,4 VU u U= ⋅ = ⋅ = .¸ (2)

Izgube kratkega stika predstavljajo predvsem izgube v bakru, zato lahko izračunamo vrednost elementa Rk:

2 2

3000,6348

21,739k

kk

PR

I= = = Ω . (3)

Element Xk izračunamo s pomočjo jalove moči kratkega stika:

2 2 2 2 2 2k k k k k( ) (18,4 21,739) 300 264,57 VArkQ S P U I P= − = − = ⋅ − = , (4)

2 2

264,570,5598

21,739k

kk

QX

I= = = Ω . (5)

Elementi nadomestnega vezja so sedaj znani, tako da lahko izračunamo impedanco transformatorja z bremenom, ko teče nazivni tok:

1ncel

1n

23010,58

21,739

UZ

I= = = Ω , (6)


54

Rk Xk

U2'U1

I1

Xb

Celotno reaktanco sestavljata stresana reaktanca Xk in reaktanca bremena Xb:

2 2 2 2

cel cel k 10,58 0,6348 10,561X Z R= − = − = Ω , (7)

cel k b b cel k 10,561 0,5598 10,00X X X X X X= + → = − = − = Ω . (8)

Reducirana sekundarna napetost pri nazivni obremenitvi z induktivnim bremenom je tako:

'2 b n 10,00 21,739 217,39 VU X I= = ⋅ = , (9)

oziroma absolutna nereducirana vrednost:

'

22 2n

1n

217,3942

230

UU U

U= = ⋅ = 39,7 V . (10)


55

7.3 Naloga Na trifaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 1600 kVA, U1n = 20 kV, U2n = 400 V, fn = 50 Hz, smo opravili preizkusa prostega teka in kratkega stika. Rezultati so sledeči:

– prosti tek: P0 = 1800 W, I0 = 0,5 A;

– kratek stik: Pk = 20000 W, uk = 6%.

Določite vrednosti elementov enofaznega nadomestnega vezja transformatorja (R1, X1, R0, X0, R2', X2').

Rešitev Elemente nadomestnega vezja bomo izračunali na osnovi rezultatov preizkusov prostega teka in kratkega stika. Napetost na upornosti R0 je dejansko inducirana napetost (Ui), a pri izračunu elementov R0 in X0 padce napetosti na elementih v serijski veji (R1, X1) največkrat zanemarimo, tako da poenostavljeno nadomestno vezje za prosti tek vsebuje le elementa R0 in X0.

R1I0 X1

X0U0 R0

I0

X0U0 R0Ui

Delovna moč prostega teka je enaka izgubam v železu. Pri tem ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna, zato moramo to upoštevati pri izračunih (fazna napetost, tretjina moči, ...). Moč izgub v železu sedaj izrazimo:

( )0

2

30

03 3

U

FeP P

R= = (1)

in izračunamo Ro:

2 2

00

0

20000

1800

UR

P= = = 222,2 kΩ . (2)

Celotna jalova moč prostega teka (Qo) predstavlja moč za magnetenje jedra, tako da lahko iz jalove moči izračunamo vrednost elementa Xo. Jalovo moč izračunamo iz navidezne moči in znane delovne moči prostega teka:

( )

( )

22 2 2

0 0 0 1n 10 0

22

3

3 20000 0,5 1800 17226,72 VAr

Q S P U I P= − = − =

= ⋅ ⋅ − =

. (3)

Ker gre za paralelno vezavo elementov, X0 izračunamo podobno kot R0:

( )0

22 2

30 00

0 0

20000

3 17226,72

UQ U

XX Q

= → = = = 23220 Ω . (4)


56

Vrednost elementov v serijski veji (R1, X1, R2', X1') izračunamo s pomočjo rezultatov preizkusa kratkega stika, saj lahko takrat nadomestno vezje poenostavimo tako, da prečno vejo zanemarimo in dobimo le vezje z elementi te veje.

R1 X1 X2'

Uk

R2'Ik

Pri preizkusu kratkega stika je preskusni tok enak nazivnemu zato izračunajmo:

nk n

1n

160000046,19 A

3 3 20000

SI I

U= = = =

⋅, (5)

kratkostična napetost pa je podana relativno (normirana na nazivno napetost) zato izračunamo absolutno vrednost:

k k 1n 0,06 20000 1200 VU u U= = ⋅ = . (6)

Vrednosti elementov R1 in R2' izračunamo iz delovne moči kratkega stika, saj ta predstavlja izgube v bakru, pri čemer najprej izračunamo kratkostično ohmsko upornost, ki predstavlja vsoto obeh upornosti v nadomestnem vezju. Ne pozabimo na tretjino moči, saj gre za enofazno nadomestno vezje:

k 1 2 2 2

200003,1247

3 3 46,19k

k

PR R R

I′= + = = = Ω

⋅. (7)

Ker je kratkostična upornost vsota R1 in R2', ponavadi vrednost kratkostične upornosti enostavno razpolovimo in dobimo:

k1 2

3,1247

2 2

RR R ′= = = = 1,562 Ω . (8)

Vrednosti elementov X1 in X2' bomo izračunali iz jalove moči kratkega stika, ki jo, podobno kot pri prostem teku izračunamo s pomočjo navidezne in delovne moči kratkega stika:

( )

( )

22 2 2

k k k k k k

22

3

3 1200 46,19 20000 93897,8 VAr

Q S P U I P= − = − =

= ⋅ ⋅ − =

. (9)

Na kratkostični reaktanci je tretjina jalove moči kratkega stika, zato dobimo:

kk 2 2

k

93897,814,670

3 3 46,19

QX

I= = = Ω

⋅. (10)

Kratkostična reaktanca je vsota primarne in sekundarne stresane reaktance in ker boljše delitve ne poznamo, največkrat tudi kratkostično reaktanco kar razpolovimo in dobimo stresano reaktanco:

k1 2

14,67

2 2

XX X ′= = = = 7,335 Ω . (11)


57

7.4 Naloga Poznamo nadomestno vezje trifaznega transformatorja z nazivnimi podatki: Dyn5; S = 1600 kVA; U1 = 20 kV; U2 = 400 V; f = 50 Hz.

Vrednosti elementov so: R1 = R2' = 1,5 Ω; X1 = X2' = 7 Ω; X0 = 20 kΩ; R0 = 200 kΩ.

Izračunajte nazivne izgube v železu, nazivne izgube v bakru in relativno kratkostično napetost transformatorja.

Rešitev Izgube v železu so v nadomestnem vezju transformatorja predstavljene z izgubami na uporu R0. Ker velja, da so izgube v prostem teku transformatorja predvsem izgube v železu, bomo le-te izračunali tako, da upoštevamo nadomestno vezje za prosti tek. Zaradi relativno majhnih vrednosti elementov R1 in X1 napram R0 in X0, lahko pri izračunu vzamemo poenostavljeno vezje za prosti tek:

X0Up R0

Ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna zato uporabljamo fazne napetosti, moči v nadomestnem vezju pa predstavljajo tretjino dejanskih. Tako so izgube v železu:

2

n2 2 2

p nFe

0 0 0

2000033 3

200000

UU U

PR R R

= = = = = 2000 W (1)

Nazivne izgube v bakru izračunamo kot izgube na upornostih R1 in R2', ko skoznje teče nazivni tok:

( )2Cu n 1 23P I R R ′= + . (2)

Nazivni tok transformatorja je:

nn

n

1600 00046,19 A

3 3 20000

SI

U= = =

⋅, (3)

tako da izgube znašajo:

( ) ( )2 2Cu n 1 23 3 46,19 1,5 1,5P I R R ′= + = ⋅ ⋅ + = 19200 W . (4)

Kratkostično napetost predstavljajo padci napetosti na elementih v serijski veji (R1, R2', X1, X2'), ko je transformator nazivno obremenjen, kar pomeni da skozi omenjene elemente teče nazivni tok. Razmere so enake pri preizkusu kratkega stika, tako da uporabimo kar poenostavljeno nadomestno vezje za kratek stik.


58

R1 X1 X2'

Uk

R2'In

Kratkostično napetost tako izračunamo:

2 2

k n n 1 2 1 2

2 2

( ) ( )

46,19 (1,5 1,5) (7 7) 661,34 V

kU I Z I R R X X′ ′= = + + + =

= ⋅ + + + =

. (5)

Ker gre za enofazno nadomestno vezje, je tudi dobljena kratkostična napetost fazna, zato to upoštevamo pri izračunu relativne kratkostične napetosti:

kk

n

3 661,34 3

20000

Uu

U

⋅= = = 0,0573 . (6)


59

7.5 Naloga Na enofaznem transformatorju z nazivnimi podatki: S = 1,2 kVA; U1 = 230 V; U2 = 115 V; f = 50 Hz, sta bila opravljena preizkusa prostega teka in kratkega stika. Rezultati so sledeči:

– prosti tek: P0 = 64 W, I0 = 0,6 A;

– kratek stik: Pk = 23 W, uk = 2,2%.

Določite elemente nadomestnega vezja transformatorja.

Rešitev Elemente nadomestnega vezja bomo izračunali iz merilnih podatkov preizkusov prostega teka in kratkega stika. V kratkem stiku transformatorja lahko zanemarimo paralelno vejo nadomestnega vezja, tako da se le-to poenostavi v tako obliko:

R1 X1 X2'

Uk

R2'Ik

Delovna moč se pri preizkusu kratkega stika troši na upornostih R1 in R2', zato lahko za kratkostično upornost zapišemo:

2 2

k k k 1nk 1 2 2 2 2 2

k 1n n

23 2300,8449

1200

P P P UR R R

I I S

⋅′= + = = = = = Ω . (1)

Ker natančne delitve med R1 in R2' ne poznamo, običajno razpolovimo kratkostično upornost:

k1 2

0,8449

2 2

RR R ′= = = = 0,422 Ω . (2)

Iz podatkov kratkega stika lahko izračunamo tudi kratkostično impedanco:

2 2

k k 1n k 1nk

k 1n n

0,022 2300,9698

1200

U u U u UZ

I I S

⋅= = = = = Ω , (3)

s pomočjo katere lahko izračunamo še kratkostično reaktanco:

2 2 2 2

k k k 0,9698 0,8499 0,4671X Z R= − = − = Ω . (4)

Podobno kot pri upornostih R1 in R2', tudi tu običajno izračunamo:

k1 2

0,4671

2 2

XX X ′= = = = 0,234 Ω . (5)

Ker so vrednosti elementov v serijski veji razmeroma majhne napram tistim v paralelni veji, lahko nadomestno vezje v prostem teku transformatorja poenostavimo v naslednjo obliko:


60

Ip

X0Up R0

Delovna moč prostega teka, ki predstavlja izgube v železu transformatorja, določa vrednost upornosti R0:

2 2 2

p 1n0

p p

230

64

U UR

P P= = = = 826,6 Ω , (6)

s pomočjo jalove moči, ki magneti jedro transformatorja, pa izračunamo reaktanco X0:

2 2 2

p p0 2 2 2 2

p p p p

230

( ) (230 0,6) 64

U UX

Q U I P= = = =

− ⋅ −432,7 Ω . (7)


61

7.6 Naloga Enofazni ločilni transformator (U1n = U2n = 230 V, Sn = 1 kVA, fn = 50 Hz, R1 = R2 = 0,6 Ω) je priključen na nazivno omrežje in je nazivno obremenjen s čistim ohmskim bremenom. Napetost na sekundarnih sponkah je pri tem U2 = 224 V.

a) Kolikšna bo napetost na sekundarju, če transformator nazivno obremenimo s čistim kapacitivnim bremenom?

b) Kolikšna mora biti kapacitivnost kondenzatorja, da bo sekundar obremenjen z nazivnim tokom?

Rešitev Čeprav bomo rešitev poiskali analitično, si narišimo Kappov (kazalčni) diagram obremenilnega stanja s čistim ohmskim bremenom, za katerega poznamo sekundarno napetost:

U1

U2

Ur

Ux

Uk

ϕ2 = 0

I2

ϕk

Pri nazivni obremenitvi transformatorja je tok enak nazivnemu:

nn

n

10004,348 A

230

SI

U= = = . (1)

S pomočjo znane upornosti navitij lahko izračunamo padec napetosti na njih. Ker je prestava transformatorja 1, lahko padec računamo neposredno z izmerjenimi vrednostmi upornosti:

n 1 2( ) 4,348 (0,6 0,6) 5,218 VrU I R R= + = ⋅ + = . (2)

Na podlagi kazalčnega diagrama izračunamo padec na stresani reaktanci:

2 2 2 21 2( ) 230 (224 5,218) 18,95Vx rU U U U= − + = − + = . (3)

Sedaj, ko poznamo padce napetosti narišemo še kazalčni diagram za obremenitev s čistim kapacitivnim bremenom in s pomočjo geometrije izračunamo vrednost A (glej sliko):

U1

U2

Ur

Ux

Ukϕ2

I2

ϕk

A

2 2 2 21 230 5,218 229,94 VrA U U= − = − = (4)

ter izračunamo sekundarno napetost, saj velja:

2 229,94 18,95xU A U= + = + = 248,89 V (5)


62

b) Ker že poznamo sekundarno napetost pri nazivni obremenitvi s kapacitivnim bremenom lahko enostavno izračunamo potrebno kapacitivnost:

2

n

248,8957,242

4,348C

UX

I= = = Ω (6)

1 1 1 1

2 2 2 50 57,242CC

X CC f C f X

= = → = = =ω π π π⋅ ⋅

55,61 μF (7)


63

7.7 Naloga Enofazni transformator (U1n = 240 V, U2n = 24 V, Sn = 1,2 kVA, fn = 50 Hz) ima kratkostično napetost 10 % in nazivne izgube v bakru 50 W.

Kolikšna bo napetost na sekundarju, če transformator priključimo na nazivno napetost in obremenimo z uporom 0,5 Ω?

Izgube v železu in magnetilni tok transformatorja zanemarite.

Rešitev Narišimo si nadomestno vezje za stanje, ko je transformator obremenjen s čistim ohmskim bremenom. Ker lahko prečno vejo nadomestnega vezja zanemarimo, lahko upornosti in stresani reaktanci obeh navitij predstavimo z dvema elementoma: Rk = R1 + R2' in Xk = X1 + X2':

Rk Xk

U2'U1

I1

Rb'

I2'

Gre za elementa kratkostične impedance Zk = Rk + jXk , zato ju s pomočjo rezultatov kratkega stika tudi izračunamo. Najprej iz nazivnih podatkov transformatorja izračunamo nazivni tok primarja, ki je enak kratkostičnemu toku pri preizkusu kratkega stika:

nn

n

12005 A

240

SI

U= = = . (1)

Nazivne izgube v bakru so tiste, ko je transformator nazivno obremenjen, kar pomeni, da po navitjih teče nazivni tok. Tem so enake izgube pri preizkusu kratkega teka, tako da lahko s pomočjo le-teh izračunamo vrednost kratkostične upornosti:

Cu-nkk 2 2 2

n n

502

5

PPR

I I= = = = Ω . (2)

Kratkostično reaktanco izračunamo podobno, a s pomočjo jalove moči kratkega stika:

2 2 2 2 2 2

k k k k n k

2 2

( ) ( )

(0,1 240 5) 50 109,09 VAr

k k k kQ S P U I P u U I P= − = − = − =

= ⋅ ⋅ − = (3)

k 2 2

109,094,363

5k

n

QX

I= = = Ω . (4)

Izračunali smo oba elementa nadomestnega vezja transformatorja, sedaj pa to vezje uporabimo za izračun obremenilnega stanja transformatorja. Na sekundarno navitje je priključeno breme z upornostjo Rb = 0,5 Ω, a pri tem ne smemo pozabiti, da nadomestno vezje predstavlja transformator s prestavo ena. Če je dejanska prestava transformatorja različna od ena je potrebno vrednosti elementov na sekundarni strani ustrezno preračunati. Upornost bremena, preračunana na primarno stran, znaša:


64

2 22 1n

2n

2400,5 50

24b b b

UR R p R

U

′ = = = ⋅ = Ω

. (5)

Najlažje bo, da izračunamo tok, ko je transformator obremenjen s tem bremenom:

1n 1n1 2 2 22 2

k b k

2404,6 A

(2 50) 4,363( )

U UI I

Z R R X

′= = = = =+ +′+ +

, (6)

z znanim tokom in upornostjo bremena pa nato dobimo sekundarno napetost:

2 2 b 4,6 50 230 VU I R′ ′ ′= = ⋅ = . (7)

Ker je to napetost v nadomestnem vezju, ki upošteva prestavo ena, je potrebno le-to še preračunati na sekundarno stran:

22

230

10

UU

p

′= = = 23 V . (8)

65

8 Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev

8.1 Naloga Izdelati je potrebno trifazni distribucijski transformator z nazivnimi podatki 21 kV/0,42 kV; 160 kVA; Yzn5.

a) Narišite vezalni načrt trifaznega distribucijskega transformatorja. Ustrezno označite priključne sponke primarja in sekundarja.

b) Določite število ovojev za vse tuljave, če je ovojna napetost 12 V.

c) Določite presek žice vseh navitij, pri čemer upoštevajte dopustno gostoto 2,5 A/mm2.

Rešitev a) Vezalni načrt izdelamo na podlagi kazalčnega diagrama primarnih in sekundarnih napetosti, saj moramo doseči ustrezno fazno številko. Tako primarno kot sekundarno navitje imata zvezdišče, zato lahko narišemo kazalce faznih napetosti, ki pravzaprav določajo fazno številko. V našem primeru je le-ta 5, kar pomeni, da je fazni kot med istoimenskima faznima napetostima primarja in sekundarja 5 × 30° = 150°:

a

bc

1U

2V

1V1W

2U

2W

2V

2U

2W

2V

2U

2W

a

b

b

a

1U

150°

Sekundarno navitje je vezano v vezavo lomljena zvezda (cik-cak), zato je fazna napetost posamezne faze vsota induciranih napetosti dveh tuljavic v tej vezavi, le-te pa sta premaknjeni za 120°, saj sta naviti na sosednjihi stebrih. Kazalec fazne napetosti 2U lahko dobimo le s pomočjo vsote napetosti na stebrih a in b, vendar samo v enem primeru je konec sekundarnega navitja (2U) na stebru a, ki pripada tudi primarni napetosti 1U. Tako je na sekundarju, pri prvi fazi, v zvezdišče vezana tuljavica s stebra b, zaporedno k tej pa še tuljavica s stebra a, vendar tako, da sta smeri induciranih napetosti orientirane tako je narisano v kazalčnem diagramu.


66

1U 1V 1W

2U 2V 2W2N

a b c

a b c

a b c

b) Število ovojev posameznih tuljav dobimo tako, da napetost posamezne tuljavice delimo z ovojno napetostjo Uov (napetost, ki se inducira v enem ovoju), ter številko ustrezno zaokrožimo, saj je število ovojev lahko le celo število. Nazivna napetost primarja je 21 kV, kar pomeni da je napetost na posamezni tuljavi enaka fazni napetosti, tako da dobimo:

1n1

ov

210001010,36

3 3 12

UN

U= = = →

⋅1010 ovojev . (1)

Na sekundarju dobimo fazno napetost iz dveh zaporedno vezanih tuljavic, katerih napetosti sta

premaknjeni za 120°. Fazna napetost je za 3 manjša od medfazne, napetost sekundarne

tuljavice, pa še za 3 manjša od fazne, tako da napetost posamezne sekundarne tuljavice izračunamo:

2n1

ov

42011,6

3 123 3

UN

U= = = →

⋅12 ovojev . (2)

c) Če poznamo dopustno gostoto toka (jmax), lahko pri nazivnem toku tuljave izračunamo njen presek:

nCu

max

IA

j= . (3)

V ta namen izračunamo nazivni primarni in sekundarni tok:

n1n

1n

1600004,4 A

3 3 21000

SI

U= = =

⋅, (4)

n2n

2n

160000220 A

3 3 420

SI

U= = =

⋅. (5)

Kljub temu, da gre v našem primeru za vmesni rezultat, lahko nazivni tok zaokrožimo bolj grobo, saj je to ponavadi podatek transformatorja in se ga ne podaja z veliko decimalkami. Presek žice sedaj izračunamo:


67

1nCu1

max

4,4

2,5

IA

j= = = 21,76 mm , (6)

2nCu2

max

220

2,5

IA

j= = = 288 mm . (7)

V praksi je potrebno izračunani presek prilagoditi standariziranim presekom žic, za naše potrebe pa lahko obdržimo tak rezultat.


68

8.2 Naloga Izdelati je potrebno trifazni distribucijski transformator z nazivnimi podatki: Sn = 1600 kVA; U1n = 20 kV; U2n = 0,4 kV; fn = 50 Hz; Dyn5.

a) Narišite vezalni načrt transformatorja z ustrezno označenimi priključnimi sponkami.

b) Določite število ovojev vseh navitij, če smo izbrali magnetno gostoto v jedru B = 1,6 T, izračunani presek čistega železa pa je AFe = 300 cm2.

c) Določite presek žice vseh navitij, pri čemer upoštevajte dopustno gostoto toka 2,4 A/mm2.

Rešitev a) Vezalni načrt izdelamo na podlagi kazalčnega diagrama primarnih in sekundarnih napetosti, saj moramo doseči ustrezno fazno številko. Primarno navitje je vezano v trikot in nima zvezdišča, zato bomo morali kazalec fazne napetosti, ki določa fazno številko, narisati na podlagi trikotnika medfaznih napetosti. V našem primeru je zahtevana fazna številka 5, kar pomeni, da je fazni kot med istoimenskima faznima napetostima primarja in sekundarja 5 × 30° = 150°. Ker lahko navitje na stebru a vežemo med dve medfazni napetosti, je potrebno izbrati tisto, ki nam omogoča, da bo fazna napetost na sekundarju fazno premaknjena za 150° napram fazni napetosti iste faze primarja. V našem primeru so pravilno izbrane smeri na levi sliki primarnih napetosti:

a

b

c

1U

2V

1V1W

2U

2W1U

150°

a b

c

1U

1V1W

a

b

c

1U 1V 1W

2U 2V 2W2N

a b c

a b c

b) Število ovojev posamezne tuljave izračunamo tako, da napetost na tuljavi delimo z ovojno napetostjo, to je napetostjo, ki se inducira v enem ovoju. Ker imamo podatek o gostoti magnetnega pretoka in preseku železnega jedra, lahko s pomočjo enačbe za transformirano inducirano napetost izračunamo ovojno napetost:

4ov Fe

2 2 250 1,6 300 10 10,663 V

2 2 2U f f B A −π π π

= Φ = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = (1)

Sedaj je potrebno določiti napetost na posamezni tuljavi, ko je transformator priključen na nazivno napetost. Ker je primar vezan v trikot, je tuljava vezana na medfazno napetost, zato je tam nazivna napetost, na sekundarju pa so tuljave vezane v zvezdo in je na njih fazna napetost,

torej za 3 nižja napetost od nazivne sekundarne napetosti.


69

Število ovojev tako določimo:

11

ov

200001875,65

10,663nU

NU

= = = → 1876 ovojev , (2)

22

ov

40021,65

3 3 10,663nU

NU

= = = →⋅

22 ovojev . (3)

c) Da bi določili presek žice moramo najprej določiti tok skozi posamezno tuljavo, ko je transformator nazivno obremenjen, saj bomo presek žice izračunali na podlagi dopustne gostote toka v navitjih:

Cumax

IA

J= . (4)

Primarne tuljave so vezane v trikot, zato tok skozi posamezno tuljavo ni enak linijskemu

(nazivnemu) toku, temveč je za 3 manjši. Na sekundarju so tuljave vezane v zvezdo, tako da je tok skoznje enak nazivnemu sekundarnemu toku:

1n n1

1n

160000026,67 A

3 200003 3 3

I SI

U= = = =

⋅, (5)

n2 2n

2n

16000002309,4 A

3 3 400

SI I

U= = = =

⋅. (6)

Sedaj lahko izračunamo preseke žic:

1Cu1

max

26,67

2,4

IA

j= = = 211,11 mm , (7)

2Cu2

max

2309,4

2,4

IA

j= = = 2962,25 mm . (8)


70

8.3 Naloga Tuljave primarnega navitja trifaznega tristebrnega transformatorja z nazivnimi podatki: U1 = 21 kV; U2 = 0,42 kV; f = 50 Hz; Dyn7, imajo po 1700 ovojev in so navite na stebre transformatorskega jedra s presekom AFe = 350 cm2.


b) Izračunajte gostoto magnetnega pretoka v stebrih transformatorja v prostem teku. Padca napetosti na upornosti navitja in zaradi stresanja zanemarite.

c) Določite nazivno moč transformatorja, če je primarno navitje izdelano iz žice s presekom ACu = 10 mm2 in znaša dopustna gostota toka jmax = 3 A/mm2.

Rešitev a) Da bi za podano vezavo in fazno številko transformatorja določili ustrezno vezavo navitij, najprej narišemo kazalčni diagram napetosti. Za primar lahko narišemo napetostni trikotnik in vrišemo kazalec navideznih faznih napetosti, saj je primar vezan v trikot in fazne napetosti niso na voljo.

1U

1V1W

Fazna številka mora biti 7, kar pomeni, da znaša fazni kot med faznima napetostima iste faze primarja in sekundarja 7 × 30° = 210°. Napetostna zvezda sekundarja bo torej orientirana takole:

2U

2V

2W

1U

210°

Vidimo, da mora imeti fazna napetost prve faze sekundarja smer medfazne napetosti 1U–1W primarja, kar pomeni, da je tuljava prve faze primarja dejansko med priključnima sponkama 1U in 1W, druga tuljava med 1U in 1V ter tretja med 1V in 1W. Narišimo še smeri induciranih napetostih po posameznih stebrih in v skladu s temi dopolnimo napetostni trikotnik primarja.


71

1U 1V 1W

a b c

1U

1V1W

a b

c

Sedaj je potrebno določiti še vezavo sekundarja. Ker mora biti fazna številka 7, vežemo sekundarne tuljave tako, da inducirane napetosti tvorijo napetostni trikotnik (zvezdo) kot smo prikazali na drugi sliki. Vrhovi puščic pri tem kažejo v zvezdišče (2N), saj bi v nasprotnem primeru dobili fazno številko 1.

1U 1V 1W

a b c

a b c

2U 2V 2W 2N 2U

2V

2W

a

2Nb

c

b) Gostota magnetnega pretoka v stebru mora biti taka, da se v navitju inducira ustrezna napetost. Ker imamo v našem primeru tuljave primarja vezane v trikot, je na njih nazivna (medfazna) napetost, tako da velja:

1 1 Fe

2

2U f N B A

π= . (1)

Gostoto torej enostavno izračunamo:

14

1 Fe

2 21000 2

2 2 50 1700 350 10

UB

f N A −= = =

π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅1,589 T . (2)

c) Če želimo določiti nazivno moč transformatorja moramo poznati nazivni tok in nazivno napetost le-tega. Nazivna napetost je podana, s pomočjo znanega preseka žice in nazivne (dopustne) gostote toka pa lahko izračunamo nazivni tok skozi posamezno primarno tuljavo:

tul Cu max 10 3 30 AI A j= = ⋅ = . (3)

Ker so tuljave vezane v trikot, je linijski tok za 3 večji od tega skozi tuljavo, tako da znaša:

n tul3 3 30 52,0 AI I= = ⋅ = . (4)

Nazivna moč transformatorja je:

n n n3 3 21000 52S U I= = ⋅ ⋅ = 1,89 MVA . (5)


72

8.4 Naloga Trifazni tristebrni transformator ima nazivne podatke: S = 1,8 MVA; U1 = 21 kV; U2 = 0,42 kV; f = 50 Hz; Dzn4.


b) Kolikšno je število ovojev posamezne sekundarne tuljave (1/2 faznega navitja), če imajo stebri transformatorskega jedra presek železa 323 cm2, gostota magnetnega pretoka v jedru pa je 1,5 T?

c) Kolikšen mora biti presek žice primarnega navitja, če znaša dopustna gostota toka 3 A/mm2?

Rešitev

a) Da bi za podano vezavo in fazno številko transformatorja določili ustrezno vezavo navitij, najprej narišemo kazalčni diagram napetosti. Za primar lahko narišemo napetostni trikotnik in vrišemo kazalec navideznih faznih napetosti, saj je primar vezan v trikot in fazne napetosti niso na voljo. Na ta način so definirani tudi koti medfaznih napetosti 1U-1V, 1V-1W in 1W-1U, ki tudi definirajo magnetne pretoke na stebrih a, b in c. Točne smeri posameznih medfaznih napetosti zaenkrat še niso znane.

1U

1V1W

Fazna številka mora biti 4, kar pomeni, da znaša fazni kot med faznima napetostima iste faze primarja in sekundarja 4 × 30° = 120°. Napetostna zvezda sekundarja bo torej orientirana takole:

2U2V

2W

1U

120°

Pri vezavi lomljena zvezda je fazna napetost posamezne faze vsota induciranih napetosti dveh tuljav, ki pa sta na sosednjih stebrih transformatorja in zato fazno premaknjeni za kot 120°. Fazno napetost prve faze sekundarja lahko tako sestavimo z vsoto dveh napetosti, od katerih ima prva enako smer (kot) kakor napetost 1V-1W, druga pa smer (kot) napetosti 1U-1V. Možna je samo kombinacija, ki je na spodnji sliki označena s polno črto, saj se v drugem primeru (črtkana črta) prva faza sekundarja ne bi končala na prvem stebru a, ki pripada prvi fazi.


73

2U

2N

Vidimo torej, da mora biti navitje prve faze primarja vezano med priključke 1U-1V, tako da za primar že lahko narišemo vezavo in vrišemo pomožne puščice a, b in c.

1U 1V 1W

a b c

1U

1V1W

a

b

c

Vemo, da fazno napetost sekundarja 2U sestavimo iz b in a, pri čemer začnemo z b iz zvezdišča in končamo z a. Sedaj že lahko točneje narišemo smeri:

2U

b

a2N

Ko imamo na voljo sliko vektorjev napetosti, je potrebno samo še enako zvezati navitja sekundarja:

a b c

a b c

2U 2V 2W 2N

ali

a b c

a b c

2U 2V 2W

2N

b) Kot smo videli, je pri vezavi lomljena zvezda fazna napetost posamezne faze (Uf) vsota induciranih napetosti (Ut) dveh tuljav, ki pa sta na sosednjih stebrih transformatorja in zato

fazno premaknjeni za kot 120° (glej kazalčni diagram). Fazna napetost je zato za 3 večja od

napetosti posamezne tuljavice, medfazna (nazivna) napetost (Umf) pa je še za 3 večja od fazne, tako da velja:

mf f t t3 3 3 3U U U U= = = . (1)

Ker poznamo nazivno sekundarno napetost, lahko izračunamo inducirano napetost posamezne tuljavice sekundarja:

2t

420140 V

3 3

UU = = = . (2)

Število ovojev tuljavice izračunamo iz enačbe za transformirano inducirano napetost:

tt

Fe

2 2 140

2 2 50 1,5 0,0323

UN

f B A

⋅= = =

π π⋅ ⋅ ⋅13 ovojev . (3)


74

c) Če želimo izračunati presek žice primarnega navitja, moramo poznati tok, ki bo po navitju

tekel. Ker je primar transformatorja vezan v trikot, je tok skozi posamezno navitje za 3 manjši od linijskega (nazivnega) toka, ki teče v transformator. Tako je pri nazivnih razmerah tok skozi primarno navitje:

6

nnav 1n

1

1 1 1 1,8 1028,57 A

3 3 3 3 3 21000

SI I

U

⋅= = = =

⋅, (4)

kar pomeni, da je pri podani dopustni tokovni gostoti, presek žice primarnega navitja:

navCu1

max

28,57

3

IA

j= = = 29,52 mm . (5)

Izračunani presek žice bi bilo v praksi potrebno še korigirati glede na standardne dimenzije uporabljene žice.


75

8.5 Naloga Sekundarna navitja trifaznega transformatorja, ki naj bi imel nazivne podatke: 100 kVA; 10 kV/0,4 kV; Yzn5, so bila po pomoti napačno povezana.

Določite fazno številko in prestavo tako zvezanega transformatorja?

1U 1V

2W2U 2V

1W

Rešitev:

Na podlagi vezalnega načrta narišemo kazalčni diagram napetosti ter določimo fazno številko:

1U 1V

2W2U 2V

1W

a b c

a b c

a b c

a

bc

1U

1V1W2W

2U2V a

a

b

b

c

c120°

Ker je med kazalcema faznih napetosti primarja (1U) in sekundarja (2U) fazni kot 120°, je fazna številka tako zvezanega transformatorja 4 (120°/30° = 4).

Prestava transformatorja je razmerje med primarno in sekundarno nazivno napetostjo:

1n

2n

Up

U= . (1)

V našem primeru so tuljave sekundarnega navitja napačno vezane, zato izračunamo kolikšna je napetost pri taki vezavi. Iz kazalčnega diagrama vidimo, da je sekundarna fazna napetost enaka napetosti ene tuljavice, zato iz znane nazivne sekundarne napetosti navitij (pravilno) vezanih v lomljeno zvezdo, izračunamo napetost tuljavice. Pri lomljeni zvezdi je razmerje med nazivno napetostjo sekundarja in napetostjo posamezne sekundarne tuljave enako 3, tako da je na posamezni sekundarni tuljavi:

2n2t

400133,33 V

3 3

UU = = = . (2)


76

Medfazna napetost sekundarja je za 3 večja in prestava je tako:

1n

2t

10000

3 3 133,33

Up

U= = =

⋅43,3 (3)

77

9 Paralelno obratovanje transformatorjev

9.1 Naloga Distribucijska transformatorja s spodnjimi nazivnimi podatki obratujeta paralelno.

A: Dyn5; SnA = 1000 kVA; U = 20 kV/0,4 kV; ukA = 6 %,

B: Dyn5; SnB = 630 kVA; U = 20 kV/0,4 kV; ukB = 4 %,

Faktor moči kratkega stika (cosϕk) je pri obeh transformatorjih enak.

a) Kolikšen je lahko skupni sekundarni tok, da ne bo presežen nazivni tok posameznega transformatorja?

b) Kolikšna bi morala biti kratkostična napetost transformatorja B, da bi bil, pri paralelnem obratovanju, transformator A nazivno obremenjen, transformator B pa preobremenjen le za 5 %?

Rešitev a) Pri paralelnem obratovanju transformatorjev sta celotna padca napetosti na upornostih in stresanih reaktancah navitij enaka:

A kA B kBI Z I Z= , (1)

pri čemer sta ZkA in ZkB kratkostični impedanci transformatorjev. Ker imamo podani kratkostični napetosti transformatorjev, ki predstavljata relativni padec napetosti na kratkostičnih impedancah pri nazivnem toku, lahko zapišemo tudi z relativnimi količinami:

A kA B kBi u i u= , (2)

kjer je relativni tok definiran kot:

n

Ii

I= , (3)

relativna kratkostična napetost pa kot:

k kk

n osn

U Zu

U Z= = . (4)

Razmerje relativnih tokov (obremenitev) bo tako:

A kB

B kA

40,667

6

i u

i u= = = . (5)

Tok transformatorja B bo torej večji, zato bomo poskrbeli, da ta ne bo večji od nazivnega tako da velja iB = 1, iA = 0,667. Izračunajmo sedaj sekundarna toka obeh transformatorjev pri paralelnem obratovanju:

= = = ⋅ =⋅

nA2A A 2nA A

2nA

10000000,667 962,3 A

3 3 400

SI i I i

U, (6)

= = = ⋅ =⋅

nB2B B 2nB B

2nB

630 0001 909,3 A

3 3 400

SI i I i

U. (7)


78

Ker sta kratkostična fazna kota obeh transformatorjev enaka, je skupni tok enostavno aritmetična vsota tokov:

2 2A 2B 962,3 909,3I I I= + = + = 1872 A . (8)

b) Če želimo, da bi pri paralelnem obratovanju tisti transformator z nižjo kratkostično napetostjo preobremenjen le za 5%, pravzaprav poznamo stopnjo obremenitve posametnega transformatorja. V našem primeru bo torej transformator A obremenjen nazivno (iA = 1), transformator B pa bo za 5 % preobremenjen (iB = 1,05). Iz razmerja:

A kB

B kA

i u

i u= (9)

izračunamo potrebno kratkostično napetost transformatorja B:

AkB kA

B

16

1,05

iu u

i= = ⋅ = 5,71 % (10)


79

9.2 Naloga Trifazna energetska transformatorja začasno obratujeta paralelno na nazivnih omrežjih. Nazivni podatki obeh transformatorjev so podani v tabeli:

U1n / kV U2n / kV Sn / MVA fn / Hz uk / % cosϕk

Transformator 1 110 21 40 50 11 0,4

Transformator 2 110 21 20 50 9 0,4

Kolikšen delež celotne prenešene moči bremena (100 %) prevzame posamezen transformator (v %)?

Rešitev Pri paralelnem obratovanju dveh transformatorjev je obremenitev posameznega transformatorja obratnosorazmerna kratkostični napetosi le-tega, kar zapišemo kot:

1 k2

2 k1

b u

b u= , (1)

kjer sta b1 in b2 normirani obremenitvi transformatorjev, izračunani kot razmerje dejanske in nazivne moči transformatorja. Ker transformator običajno obratuje na nazivni napetosti, sta ti vrednosti enaki normiranemu toku posameznega transformatorja:

n

n nn n

3

3

U IS Ib i

S IU I= = = = . (2)

Pri paralelnem obratovanju lahko normirano moč enega transformatorja izrazimo z drugo, tako da lahko zapišemo:

k21 2

k1

ub b

u= . (3)

Celotna moč bremena je vsota prenešenih moči obeh transformatorjev:

= + = + = +k21 2 1 n1 2 n2 2 n1 2 n2

k1

uS S S b S b S b S b S

u (4)

Ker računamo za splošen primer in ne poznamo absolutne moči bremena, zanima pa nas delež prenešene moči posameznega transformatorja glede na celotno moč (S1/S oz. S2/S) bomo tudi nazivno moč enega transformatorja izrazili z nazivno močjo drugega:

n1 n22S S= , (5)

tako da sedaj dobimo enačbo:

= + = +

k2 k22 n2 2 n2 2 n2

k1 k1

2 2 1u u

S b S b S b Su u

. (6)

Če obe strani enačbe delimo s celotno močjo, izrazimo in izračunamo delež moči drugega transformatorja:


80

2 n2 k1

k2 k1

110,3793

2 2 9 11

b S u

S u u= = = =

+ ⋅ +37,93 % (7)

Delež moči prvega transformatorja je seveda preostanek do 100 %:

1 n1 100 37,93b S

S= − = 62,07 % . (8)

Ne glede na moč bremena, se bo ta, zaradi različnih kratkostičnih napetosti, porazdelila med transformatorja drugače, kot je razmerje nazivnih moči. Če bi v enačbi (7) uporabili enaki kratkostični napetosti, bi dobili pričakovano delitev moči v razmerju 2/3 in 1/3, kolikor so deleži nazivnih moči transformatorjev glede na skupno nazivno moč.


81

9.3 Naloga Zaradi povečanega odjema smo k obstoječemu distribucijskemu transformatorju (A) paralelno priključili še enega (B). Nazivni podatki transformatorjev so zbrani v spodnji tabeli:

Vezava U1n / kV U2n / kV Sn / kVA fn / Hz uk / % cosϕk

Transformator A Yzn5 21 0,42 1000 50 6 0,18

Transformator B Yzn5 21 0,42 400 50 4 0,29

a) Kolikšen je primarni tok posameznega transformatorja, če smo na sekundarju izmerili skupni bremenski tok 1650 A?

b) Približno kolikšna je lahko moč bremena, da noben transformator ne bo preobremenjen?

Uporabite poenostavljeno nadomestno vezje transformatorja, brez prečne veje.

Rešitev

Pri paralelnem obratovanju transformatorjev sta oba transformatorja priključena na isto primarno napetost, prav tako pa sta tudi napetosti na sekundarjih obeh transformatorjev enaki. Posamezen transformator predstavimo s poenostavljenim enofaznim nadomestnim vezjem s serijskima elementoma Rk in Xk, prečno vejo pa zanemarimo:

RkA XkA

RkB XkB

U1 U2'

IA

IB

I Z I ZA kA B kB=

I1 I2'

Pri paralelni vezavi sta padca napetosti na kratkostičnih impedancah (Zk = Rk + jXk) obeh transformatorjev enaka, zato zapišemo:

A kA B kBU I Z I Z∆ = = . (1)

Transformatorja imata različna kratkostična faktorja delavnosti (ϕk), kar pomeni, da Kappova trikotnika transformatorjev nista podobna trikotnika, zato toka transformatorjev nista v fazi temveč je med njima določen fazni kot α. Če narišemo le toke in Kappova trikotnika obeh transformatorjev dobimo kazalčni diagram na spodnji sliki:

I RA kA

IXB

kB

∆U

IA

IB

I

ϕkA

ϕkB

IXA

kA

I RB

kB

α


82

Ker sta v našem primeru kratkostična faktorja delavnosti podana, lahko fazni kot med tokoma izračunamo:

kA kB kA kBarccos(cos ) arccos(cos ) arccos(0,18) arccos(0,29) 6,488α = ϕ − ϕ = ϕ − ϕ = − = ° . (2)

Tudi tu lahko zapišemo:

A kA B kBi u i u= , (3)

vendar aritmetična vsota tokov ni enaka skupnemu toku, saj je med kazalcema fazni kot α. Nalogo rešimo s pomočjo geometrije, tako da narišemo vse toke in označimo kote. Ker bomo sliko uporabili le za zapis enačb, zaradi jasnosti nismo upoštevali dejanskih dimenzij:

IA

IB

I

α 180°-α

S kosinusnim izrekom lahko izraimo vrednost skupnega toka:

2 2 2A B A B2 cos(180 )I I I I I= + − ° − α . (4)

Pozorni moramo biti na to, da imamo podano absolutno vrednost skupnega (sekundarnega) toka (I2 = 1650 A), v enačbi (3) pa nastopajo normirane vrednosti tokov, zato absolutne vrednosti v enačbi (4) izrazimo in zamenjamo z normiranimi:

2 2 22 A 2nA 2B nB A 2nA B 2nB( ) ( ) 2 cos(180 )I i I i I i I i I= + − ° − α . (5)

Ker je podan skupni sekundarni tok, so tudi v enačbi uporabljene nazivne vrednosti sekundarnih tokov. Če tok enega transformatorja izrazimo z drugim:

B AkB

kAui i

u= . (6)

dobimo kvadratično enačbo:

2 2 2kA kA2 A 2nA A 2nB A 2nA A 2nB

kB kB

( ) ( ) 2 cos(180 )u u

I i I i I i I i Iu u

= + − ° − α . (7)

Podan je skupni tok na sekundarni strani kupnem toku je v katero vnesemo vrednosti in jo rešimo:

nA2nA

2n

1000 0001374,64 A

3 3 420

SI

U= = =

⋅, (8)

nB2nB

2n

400000549,86 A

3 3 420

SI

U= = =

⋅, (9)

2 2 2 2A A A

6 61650 ( 1374,64) ( 549,86) 2 1374,64 549,86 cos(173,51 )

4 4i i i= ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ° , (10)

2

A

16500,751

4822960,8i = = . (11)

Obremenitev drugega transformatorja lahko izračunamo z enačbo (6):

B AkB

60,751 1,127

4kAu

i iu

= = ⋅ = . (12)


83

Če izračunamo absolutne vrednosti sekundarnih tokov posameznih transformatorjev:

2A A 2nA 0,751 1374,64 1032,4 AI i I= = ⋅ = , (13)

2B B 2nB 1,127 549,86 619,7 AI i I= = ⋅ = , (14)

vidimo, da je zaradi majhnega faznega kota med tokoma (6,5°), razlika med geometrijsko in aritmetično vsoto v našem primeru zelo majhna, pravzaprav zanemarljiva:

2A 2B 1032,4 619,7 1652,1 AI I+ = + = . (15)

Bolj problematična je porazdelitev bremena med oba transformatorja, saj zaradi velike razlike med kratkostičnima napetostima pride do zelo neuravnovešene porazdelitve moči in je transformator B preobremenjen za kar 12,7 % in ima tako kar 27 % večje izgube v navitjih od nazivnih. Uporabljena paralelna vezava je zato zelo neprimerna.

Vrednosti primarnih tokov lahko enostavno izračunamo s pomočjo prestave transformatorjev:

2A 2A 2n1A

1n

1032,4 420

21000

I I UI

p U

⋅= = = = 20,65 A , (16)

2B 2B 2n1B

1n

619,7 420

21000

I I UI

p U

⋅= = = = 12,39 A . (17)

b) Vrednosti izračunanih tokov kažejo, da je razlika med geometrijsko in aritmetično vsoto tokov zanemarljiva in lahko skupni tok enostavno zapišemo kot aritmetično vsoto:

1 1A 1BI I I= + . (18)

Upoštevajoč enačbo (3) vemo, da pri paralelnem obratovanju transformatorjev, je pri transformatorju z nižjo kratkostično napetostjo, relativna obremenjenost večja. Če želimo, da pri paralelnem obratovanju noben od transformatorjev ne bo preobremenjen, moramo poskrbeti za to da bo tisti z nižjo kratkostično napetostjo nazivno obremenjen. V našem primeru torej sledi, da je iB = 1 in z enačbo (3) izračunamo obremenjenost transformatorja:

kBA B

kA

41 0,667

6

ui i

u= = ⋅ = .

Transformator A bo tako obremenjen le dvotretjinsko. Kljub temu, da poznamo obremenjenost obeh transformatorjev, pa bi morali za izračun oddane moči poznati značaj bremena ter izračunati sekundarno napetost. Tokrat bomo zadevo poenostavili in se izognili bolj kompleksnemu izračunu ter moč posameznega transformatorja izrazili kar z nazivno močjo le-tega in obremenjenostjo:

6 3A B A nA B nB 0,667 1 10 1 400 10S S S i S i S= + = + = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = 1067 kVA

Še enkrat se je potrdilo dejstvo, da je takšna paralelna vezava neustrezna, saj je v primeru, da ne želimo preobremenitve, moč bremena lahko le 76 % skupne nazivne moči transformatorjev (1400 kVA), in tako le 6,67 % več od nazivne moči transformatorja A, ki smo mu želeli "pomagati".

84

10 Avtotransformator

10.1 Naloga Transformator z galvansko ločenimi navitji in z nazivnimi podatki: Sn = 500 VA; U1 = 230 V; U2 = 170 V; uk = 8 %, bi radi uporabili kot avtotransformator z napetostno prestavo 400 V/230 V.

a) Kako moramo zvezati transformatorska navitja, da dobimo želeni avtotransformator?

b) Kolikšna bo nazivna (prehodna) moč takega transformatorja?

c) Kolikšen bo primarni kratkostični tok avtotransformatorja?

Rešitev a) Avtotransformator z želeno prestavo naredimo tako, da primarno in sekundarno navitje obstoječega transformatorja ustrezno zaporedno vežemo:

U2' A

B

U1 U2A B

U1'

Pri tem moramo biti pozorni na polariteto inducirane napetosti, tako da se napetosti dejansko seštejejo. V načrtih je polariteta inducirane napetosti iznačena s piko na enem koncu simbola za navitje. Sponke primarja in sekundarja transformatorja so sedaj druge, zato so na sliki napetosti avtotransformatorja označene s črtico.

b) Nazivna oz. prehodna moč avtotransformatorja je drugačna od nazivne moči prejšnjega, galvansko ločenega transformatorja. Tipska moč, ki določa velikost transformatorja (jedro + navitja) pa bo ostala enaka, saj imamo opraviti z istim jedrom in istimi navitji. Na spodnji sliki so označene količine avtotransformatorja s prestavo, ki je večja od ena (U1 > U2):

U1

U2

I1

I2

N1

N2A

B


85

Ravnovesje (enakost) Amper-ovojev je zagotovljena med ovoji skupnega navitja (A) in ovoji, ki pripadajo le primarnemu navitju (B), saj v teh dveh delih tečeta toka v nasprotnih smereh (Amper-ovoji si nasprotujejo):

1 1 2 2 1 2( ) ( )I N N I I N− = − . (1)

Tipsko moč definira moč na enem od teh navitij, ki določata Amper-ovoje:

t 1 1 2 2 1 2( ) ( )S I U U I I U= − = − , (2)

prehodna moč pa je enostavno produkt toka in napetosti primarja oz. sekundarja:

p 1 1 2 2S I U I U= = . (3)

Razmerje med tipsko in prehodno močjo je:

t 1 1 2 2

p 1 1 1

( )1

S I U U U

S I U U

−= = − , (4)

tako da bo prehodna in s tem tudi nazivna moč našega avtotransformatorja:

2

1

tp n 230

400

500

11 UU

SS S= = = =

−−1176,5 VA . (5)

c) Kratkostična napetost avtotransformatorja (uk*) je vedno manjša od kratkostične napetosti (uk), ki bi jo izmerili s preizkusom kratkega stika med posameznimi ločenimi navitji (A in B), ki tvorijo avtotransformator. Razmerje kratkostičnih napetosti je enako razmerju moči, tako da velja:

*

t

p

k

k

Su

u S= . (6)

Kratkostična napetost našega transformatorja je tako:

* t 2

p 1

2301 8 1 3,4 %

400k k k

S Uu u u

S U

= = − = − =

. (7)

Relativno vrednost kratkostičnega toka pri nazivni napetosti izračunamo s pomočjo relativne kratkostične napetosti:

kk

1 129,412

0,034i

u= = = , (8)

kar izhaja iz:

kk

n k n k n k

1n n nI U U Ii

I Z I U I u= = = = . (9)

Pri nazivni napetosti bo torej primarni kratkostični tok tolikokrat večji od nazivnega toka avtotransformatorja:

n1k k 1n k

1n

1176,529,412

400

SI i I i

U= = = ⋅ = 86,5 A . (10)


86

10.2 Naloga Enofazni nastavljivi avtotransformator (Variac1, variak ali tudi varijak) z nazivnimi podatki U1n = 230, U2n = 0 - 270 V, I2n = 13 A, fn = 50 Hz, je priključen na nazivno omrežje.

Izračunajte kolikšna je največja tipska moč transformatorja od najnižje do najvišje sekundarne napetosti, če je transformator vedno nazivno obremenjen.

Rešitev Na variaku lahko s pomočjo drsnika določimo prestavno razmerje transformatorja. Iz nazivnih podatkov vidimo, da gre v našem primeru za variak, ki omogoča nastavljanje tudi višje napetosti kot je primarna. Za lažjo predstavo si narišimo vezalni načrt variaka:

U1

U2

I1

I2

Tipska moč (St) je tista moč, ki določa velikost transformatorja (jedro, navitja) in pravzaprav pove kolikšna bi bila nazivna moč običajnega transformatorja, izdelanega na istem jedru in z istimi navitji. Razmerje med tipsko in prehodno močjo smo izpeljali že pri nalogi 10.1, zato tega ne bomo ponavljali, upoštevati moramo le dejstvo, da je to razmerje vedno manjše od ena, zato lahko zapišemo:

22 1

1t

2p2 1

1

1 ;

1 ;

UU U

US

USU U

U

− ≤

= − ≥

, (1)

Teoretično je lahko razmerje tudi ena, a takrat avtotransformator in njegovo navitje nima nikakršnega smisla, saj je primarna napetost enaka sekundarni in če ni galvanske ločitve, sploh ne potrebujemo avtotransformatorja.

V našem primeru imamo opravka z variakom, katerega drsnik lahko postavimo tako da je napetost sekundarja višja, nižja ali enaka primarni napetosti in bomo morali za posamezno območje uporabiti ustrezno enačbo. Izračunana največja tipska moč bo tista, ki določa velikost transformatorja in je pomembna pri dimenzioniranju le-tega.

Največjo tipsko moč bomo poiskali tako, da bomo poiskali maksimum funkcije tipske moči na celotnem območju sekundarne napetosti. Rešitev lahko dobimo analitično ali pa numerično. Uporabili bomo analitično metodo, ki da eksakten rezultat, grafični prikaz pa bomo uporabili le za boljše razumevanje celotnega postopka.

1 Od leta 1934 do leta 2002, je bilo ime Variac blagovna znamka podjetja General Radio za nastavljiv transformator, namenjen enostavnemu spreminjanju izhodne napetosti pri konstantni vhodni izmenični napetosti. Leta 2004 je podjetje Instrument Service Equipment zaprosilo in pridobilo blagovno znamko Variac za isto vrsto izdelka. Ta beseda je postala splošno ime za nastavljive avtotransformatorje. (Vir: https://www.wikipedia.org)


87

Za območje U2 < U1 je enačba za tipsko moč:

2 2t p 2 2n

1n 1n

1 1U U

S S U IU U

= − = −

, (2)

pri čemer smo prehodno moč zapisali kot produkt izbrane sekundarne napetosti in nazivnega sekundarnega toka, saj nas tipska moč vedno zanima za nazivno obratovalno stanje transformatorja.

Maksimum funkcije bomo poiskali tako, da poiščemo korene odvoda funkcije (2) po napetosti U2:

t 2 2n 2 22 2n 2n 2n

2 2 1n 1n 1n

2 21 1

dS U I U UdU I I I

dU dU U U U

= − = − = −

. (3)

Ničla odvoda je tako pri:

2 1n2

1n

2 2301 0 115 V

2 2

U UU

U− = → = = = . (4)

Na območju U2 < U1 je tako največja tipska moč takrat, ko je drsnik na polovici nazivne napetosti primarja in znaša:

2t 2 2n

1n

1151 115 13 1 747,5 VA

230

US U I

U

= − = ⋅ ⋅ − =

. (5)

Na enak način bi lahko poiskali tudi maksimum na območju U2 > U1, kjer je enačba za tipsko moč:

( )1n 1nt p 2 2n 2 2n 1n 2n 2n 2 1n

2 2

1 1U U

S S U I U I U I I U UU U

= − = − = − = −

, (6)

vendar vidimo, da je funkcija tipske moč linearna funkcija z ničlo pri U2 = U1n in seveda nima maksimuma. Kljub temu moramo preveriti kolikšna je tipska moč pri največji napetosti U2 = 270 V in to vrednost primerjati s tisto na območju U2 < U1:

1nt 2 2n

2

2301 270 13 1 520 VA

270

US U I

U

= − = ⋅ ⋅ − =

. (7)

Ker je vrednost tipske moči nižja od tiste na območju U2 < U1, velja:

t-maxS = 747,5 VA . (8)

Do slednjega rezultata bi lahko prišli tudi tako, da bi v preglednici izračunali tipsko moč za niz izbranih sekundarnih napetosti upoštevajoč enačbi (2) in (6). Seveda bi bilo od gostote izbranih točk odvisno, kako dobro bi lahko določili maksimum, saj gre kljub vsemu za zvezni funkciji, pri računanju s preglednico pa so rezultati podani le za diskretne delovne točke. V tabeli 1 so zbrani izračunani podatki za napetosti od 0 do 270 V s korakom 10 V, na sliki 1 pa je grafično predstavljena funkcija tipske moči v odvisnosti od izbrane sekundarne napetosti.

Zaradi manjše tipske moči od prehodne, so lahko dimenzije nastavljivega avtotransformatorja manjše, kot bi bile pri primerljivem galvansko ločenem nastavljivem transformatorju. Če bi želeli tak, galvansko ločen, variak, bi bila prehodna in s tem tudi tipska moč le-tega kar:

p-max 2max 2n 270 13 3510 WS U I= = ⋅ = , (9)

Razmerje med največjo tipsko močjo in največjo prehodno močjo je tako:

t-max

p-max

747,50,213

3510

S

S= = , (10)

kar nazorno kaže, zakaj so variaki v avtotransformatorski izvedbi dosti bolj pogosti.


88

Tabela 1: Izračunane prehodne in tipske moči ter razmerje tipske in prehodne moči v odvisnosti od sekundarne napetosti.

U2 / V Sp / VA St / VA St/Sp

0 0 0,0 - 10 130 124,3 0,956 20 260 237,4 0,913 30 390 339,1 0,869 40 520 429,6 0,826 50 650 508,7 0,783 60 780 576,5 0,739 70 910 633,0 0,696 80 1040 678,3 0,652 90 1170 712,2 0,609

100 1300 734,8 0,565 110 1430 746,1 0,522 115 1495 747,5 0,500

120 1560 746,1 0,478 130 1690 734,8 0,435 140 1820 712,2 0,391 150 1950 678,3 0,348 160 2080 633,0 0,304 170 2210 576,5 0,261 180 2340 508,7 0,217 190 2470 429,6 0,174 200 2600 339,1 0,130 210 2730 237,4 0,087 220 2860 124,3 0,043 230 2990 0,0 0,000 240 3120 130,0 0,042 250 3250 260,0 0,080 260 3380 390,0 0,115 270 3510 520,0 0,148

0 30 60 90 120 150 180 210 240 2700

100

200

300

400

500

600

700

800

St /

VA

U2 / V

Slika 1: Tipska moč variaka pri nazivni obremenitvi v odvisnosti od sekundarne napetosti.

89

11 Dimenzioniranje transformatorja

11.1 Naloga Izdelati želimo enofazni transformator z naslednjimi nazivnimi podatki: U1 = 230 V, U2 = 24 V, I2 = 4 A. Uporabili bomo pločevino tipa UI, katerega dimenzije so podane na sliki in v tabeli. Prerez jedra bo kvadraten.

Določite standardno velikost pločevine in izračunajte ovojno napetost transformatorja.

(faktor polnjenja železa: 0,95; faktor polnjenja bakra: 0.4; ocenjeni izkoristek: 85 %; izbrana gostota magnetnega pretoka: 1,2 T; tokovna gostota: 3 A/mm2)

Velikost lista U15 U20 U25 U30 U35 U40 U50 U70

a (mm) 15 20 25 30 35 40 50 70

a a a

aa

3a

a

Rešitev Gostota magnetnega pretoka (izbrana iz magnetilne krivulje uporabljene feromagnetne pločevine) in presek železnega jedra določata potrebno število ovojev transformatorskih navitij, saj efektivno vrednost transformirane inducirane napetosti izračunamo:

ind Fe

2

2U f N B A

π= . (1)

Presek železa sicer lahko poljubno izbremo, a potrebno število ovojev bi bilo lahko táko, da v transformatorskem oknu ne bi bilo dovolj prostora za vsa navitija. Pri določevanju preseka železnega jedra moramo torej upoštevati tudi velikost okna, kar je pri standardiziranih pločevinah, zaradi točno določenega razmerja posameznih dimenzij, možno.

Projektiranje transformatorja največkrat izhaja iz moči le-tega, zato najprej izračunamo nazivno moč:

2 2 2 24 4 96 VAS U I= = ⋅ = . (2)

Moč primarnega navitja je zaradi izgub v transformatorju večja in jo s pomočjo ocenjenega izkoristka izračunamo:


90

21

96112,94 VA

0,85

SS = = =

η. (3)

Primarna moč predstavlja osnovo za določevanje preseka železnega jedra. Določa jo produkt primarne napetosti in toka, zato ločeno zapišimo enačbi za napetost in tok, pri čemer oba definirajmo s pomočjo dimenzij jedra.

Napetost zapišemo kot inducirano napetost:

1 1 j Fe

2

2U f N B A k

π= , (4)

pri čemer smo presek čistega železa izrazili s produktom geometrijskega preseka jedra Aj in polnilnim faktorjem železa kFe.

Velikost toka določa presek žice ACu1 in dopustna gostota toka j. Presek žice izrazimo s pomočjo površine okna saj vemo, da primarno navitje zaseda polovico preseka okna, površino čistega bakra pa nato dobimo s polnilnim faktorjem bakra. Ker je navitje sestavljeno iz ovojev, je potrebno čisto površino bakra deliti še s številom ovojev primarja:

ok Cu1 Cu1

1

1

2

A kI A j j

N= = . (5)

Izraza za napetost in tok zmožimo in dobimo:

1 1 1 j Fe ok Cu2

S U I f B A k A k jπ

= = . (6)

Ker sta želeni kvadratni presek jedra Aj in presek okna Aok med seboj odvisna zaradi geometrije transformatorske pločevine, lahko površino okna izrazimo s presekom jedra:

2jA a= , (7)

2ok j3 3A a A= =

(8)

in dobimo:

21 j Fe Cu3

2S f B A k k j

π= . (9)

Presek jedra lahko sedaj izračunamo:

4 21j 6

Fe Cu

2 2 112,944,978 10 m

3 50 1,2 3 0,95 0,4 3 10

SA

f B k k j−⋅

= = = ⋅π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

. (10)

Ker naj bo jedro kvadratnega prereza, izračunamo še stranico a:

j 4,978 2,231 cma A= = = → = 2,5 cma . (11)

V tabeli standardiziranih pločevin izberemo tip U25 saj je prvi, ki ima večjo stranico od izračunane. Če bi vzeli manjšega, v oknu ne bi bilo dovolj prostora za navitje.

Ko poznamo dimenzije izbrane pločevine, lahko izračunamo ovojno napetost (inducirana napetost v enem ovoju):

2 21ov Fe

2 250 1,2 0,025 0,95

2 2U f B a k

π π= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 0,158 V . (12)


91

11.2 Naloga Izdelati želimo mali enofazni transformator z nazivnimi podatki U1 = 230 V; U2 = 115 V; f = 50 Hz. Na voljo imamo železno jedro sestavljeno iz pločevine tipa UI20 (dimenzije jedra v milimetrih so podane na spodnji sliki.

20 20 20

20

20

60

40

Določite največjo možno nazivno moč transformatorja pri čemer upoštevajte standardne debeline žic.

Standardni premeri krožnih bakrenih žic (v mm):

0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,12 0,15 0,18 0,20 0,22 0,25 0,28

0,30 0,32 0,35 0,38 0,40 0,42 0,45 0,48 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70

0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70

1,80 2,00 2,20 2,50 2,80 3,00

Pri izračunih predpostavite, da primar in sekundar zasedata enak prostor v transformatorskem oknu ter upoštevajte naslednje konstrukcijske parametre: faktor polnjenja železa: 0,92; faktor polnjenja bakra: 0,35; ocenjeni izkoristek: 85 %; izbrana gostota magnetnega pretoka: 1,2 T; tokovna gostota: 2,5 A/mm2.

Rešitev Pri projektiranju transformatorja moramo vedno paziti na to, da bo ustrezno navitje možno spraviti v transformatorsko okno, ki je na voljo. V našem primeru so dimenzije jedra določene in zato iščemo največjo nazivno moč transformatorja, čigar navitje bo še šlo v dani presek okna. Prostor, ki ga zasedejo navitja, določa število ovojev, presek žice in faktor polnjenja navitja (ali bakra).

Presek jedra je znan, zato lahko z enačbo za transformirano inducirano napetost izračunamo potrebno število primarnih ovojev:

11

j Fe

2 2 2301172 ovojev

2 2 50 1,2 0,02 0,04 0,92

UN

f B A k

⋅= = =

π π⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅. (1)

Z znanim številom primarnih ovojev lahko izračunamo presek žice, ki bo še omogočal, da gre primarno navitje v polovico površine transformatorskega okna.


92

Čisti presek bakra, ki je na voljo za posamezno žico znaša:

6 2 2ok CuCu

1

1 0,02 0,06 10,35 0,1792 10 m 0,1792mm

2 2 1172

A kA

N−⋅

= = ⋅ ⋅ = ⋅ = . (2)

Če vzamemo okroglo žico, znaša ustrezna debelina:

CuCu

4 4 0,17920,4777mm

Ad

⋅= = =

π π. (3)

Izračunano debelino žice primerjamo s standardnimi debelinami in izberemo prvo manjšo d = 0,45 mm, saj le tako lahko zagotovimo, da bo navitje zasedlo ustrezno površino. Presek izbrane žice znaša:

2 2

20,450,1590mm

4 4

dA

π π⋅= = = , (4)

tako da lahko s pomočjo dopustne gostote izračunamo dopustni (nazivni) tok primarnega navitja:

1n 0,1590 2,5 0,398 AI A j= = ⋅ = . (5)

Moč na primarju bo:

1 1 1 230 0,398 91,54 VAS U I= = ⋅ = , (6)

sekundarna moč, ki je tudi nazivna moč transformatorja, pa je zaradi izkoristka manjša:

n 2n 1n 91,54 0,85S S S= = η = ⋅ = 77,81 VA . (7)

Generatorji in transformatorji

Zbirka nalog z rešitvami

Zbirka vsebuje rešene naloge iz predmeta Generatorji in

transformatorji, ki se predava v 1. letniku 2. stopnje

univerzitetnega študija elektrotehnike, na smereh

Elektroenergetika in Mehatronika. Vsebina nalog je vezana na

snov predavanj in laboratorijskih vaj pri tem predmetu, zato se

predpostavi, da je študent seznanjen z vsebino le-teh in jih je

absolviral.

Naloge v zbirki so namenjene pripravi na pisni izpit in so

razvrščene po temah, ki se obravnavajo pri laboratorijskih vajah.

Rešitve so sicer komentirane, vendar to največkrat ni dovolj za

razumevanje obravnavane vsebine, ki je bila natančneje

predstavljena na predavanjih in/ali laboratorijskih vajah.

Ključna gesla sinhronski generator, asinhronski generator, transformator,

avtotransformator

Avtor Danilo Makuc je višji predavatelj v Laboratoriju za električne

stroje na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani.

Predava predmet Načrtovanje elektromagnetnih naprav ter vodi

vaje pri predmetih Električni stroji, Modeliranje električnih strojev,

Generatorji in transformatorji ter Konstruiranje električnih strojev.

Njegovo raziskovalno delo pokriva področja konstruiranja, analiz

in optimiranja električnih strojev ter razvoja in avtomatizacije

merilnih in preskusnih postopkov pri preizkušanju električnih

strojev.

Fakulteta za

elektrotehniko

januar 2017