of 93 /93
Generatorji in transformatorji Zbirka nalog z rešitvami Danilo Makuc januar 2017

Generatorji in transformatorjiles.fe.uni-lj.si/git/GIT_zbirka_nalog.pdf3 Predgovor Zbirka vsebuje rešene naloge iz predmeta Generatorji in transformatorji, ki se predava v 1. letniku

  • Author
    others

  • View
    1

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Generatorji in transformatorjiles.fe.uni-lj.si/git/GIT_zbirka_nalog.pdf3 Predgovor Zbirka vsebuje...

  • Generatorji in transformatorji

    Zbirka nalog z rešitvami

    Danilo Makuc

    januar 2017

  • 2017 Danilo Makuc, Fakulteta za elektrotehniko, Univerza v Ljubljani

    Brez pisnega dovoljenja avtorja je prepovedano reproduciranje, distribuiranje, predelava ali druga uporaba tega avtorskega dela ali njegovih delov v kakršnemkoli obsegu ali postopku, vključno s kopiranjem, arhiviranjem ali razpošiljanjem v kakršnikoli obliki.

  • 3

    Predgovor

    Zbirka vsebuje rešene naloge iz predmeta Generatorji in transformatorji, ki se predava v 1. letniku 2. stopnje univerzitetnega študija elektrotehnike, na smereh Elektroenergetika in Mehatronika. Vsebina nalog je vezana na snov predavanj in laboratorijskih vaj pri tem predmetu, zato se predpostavi, da je študent seznanjen z vsebino le-teh in jih je absolviral.

    Naloge v zbirki so namenjene pripravi na pisni izpit in so razvrščene po temah, ki se obravnavajo pri laboratorijskih vajah. Rešitve so sicer komentirane, vendar to največkrat ni dovolj za razumevanje obravnavane vsebine, ki je bila natančneje predstavljena na predavanjih in/ali laboratorijskih vajah.

    Računske in druge napake niso izključene, zato prosim, da me o njih obvestite (e-pošta: [email protected]).

    Danilo Makuc

    Ljubljana, januar 2017

  • 4

  • 5

    Kazalo

    1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja.................................................................................................7

    2 Nadomestno vezje sinhronskega stroja .................................................................................................... 10

    3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja .............................................. 11

    4 Švedski diagram sinhronskega generatorja ............................................................................................ 36

    5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja...................................................................................... 42

    6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja..................................................................................... 45

    7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja................................................................... 52

    8 Vezalni načrt in nazivni podatki trifaznih transformatorjev............................................................ 65

    9 Paralelno obratovanje transformatorjev.................................................................................................. 77

    10 Avtotransformator............................................................................................................................................. 84

    11 Dimenzioniranje transformatorja................................................................................................................ 89

  • 6

  • 7

    1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja

    1.1 Naloga V termoelektrarni Trbovlje je inštaliran trifazni sinhronski generator z nazivnimi podatki: Un = 13,8 kV; Sn = 156 MVA; cosϕn = 0,8; nn = 3000 vrt/min; fn = 50 Hz; Ivn = 1570 A. Statorska navitja so vezana v zvezdo, upornost posameznega faznega navitja pa je 1,49 mΩ. Upornost vzbujalnega navitja je 0,198 Ω.

    a) Določite število magnetnih polov rotorja.

    b) Izračunajte nazivni tok generatorja.

    c) Določite izgube v navitjih stroja pri nazivnem obratovanju.

    Rešitev a) Število magnetnih polov rotorja bomo poiskali s pomočjo podatkov o nazivni hitrosti in frekvenci. Hitrost vrtenja rotorja je pri sinhronskem stroju enaka hitrosti vrtilnega magnetnega polja, zato lahko napišemo enačbo na sinhronsko hitrost v min-1:

    s60f

    np

    = , (1)

    pri čemer je p število polovih parov. Pri omenjenem generatorju je:

    s

    60 50 60

    3000

    fp

    n

    ⋅= = = 1 , (2)

    kar pomeni, da ime stroj 2p = 2 magnetna pola.

    b) Nazivna moč izmeničnih generatorjev se podaja kot navidezna moč, saj stopnjo obremenitve določa velikost toka, ne glede na karakter bremena. Nazivna moč trifaznega generatorja je torej:

    n n n3S U I= , (3)

    tako da nazivni tok znaša:

    6

    nn

    n

    156 10

    3 3 13800

    SI

    U

    ⋅= = = 6526,6 A . (4)

    Čeprav je ponavadi dovolj, da izračunano vrednost zaokrožimo na 3 cifre (ne decimalke!) natančno, pa predstavlja dobljena vrednost vmesni rezultat, ki ga bomo uporabili še v nadaljnjem računanju, zato vrednost zaokrožimo na 5 cifer.

    c) Ko poznamo nazivni tok generatorja, lahko izračunamo izgube, ki jih tok povzroča, ko teče skozi navitija. Fazna navitja so vezana v zvezdo, zato je tok skozi posamezno navitje enak linijskemu, kakršen je tudi izračunani nazivni tok. (Kolikšen bi bil tok skozi fazno navitje, če bi bila navitja vezana v trikot?) Fazna navitja so tri, tako da statorske izgube v bakru znašajo:

    2 2Cus n s3 3 6526,6 0,00149 190,4 kWP I R= = ⋅ ⋅ = . (5)

    I n

    Rs

  • 1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja

    8

    Sinhronski stroj pa ima poleg statorskih navitij še vzbujalno navitje na rotorju. Tam je tok enosmeren, saj rotor ustvarja vrtilno magnetno polje z mehanskih vrtenjem enosmernega magnetnega polja. Tudi če ima rotor več polovih parov in s tem več fizično ločenih vzbujalnih tuljav, so le-te največkrat vezane zaporedno, tako da navzven delujejo kot eno navitje. Moč, ki se troši na vzbujalnem navitju, so le izgube v bakru, ki jih izračunamo enako kot tiste na statorju, le da gre v tem primeru samo za eno navitje:

    2 2Cur vn v 1570 0,198 488 kWP I R= = ⋅ = . (6)

    Celotne izgube v navitjih generatorja so vsota izgub v statorskih trifaznih in rotorskem vzbujalnem navitju:

    Cu Cus Cur 190,5 488P P P= + = + = 678,5 kW . (7)

  • 1 Nazivni podatki sinhronskega generatorja

    9

    1.2 Naloga Trifazni sinhronski generator s podatki: 10 kV; 60 MVA; 50 Hz; 250 vrt/min; cosϕ = 0,85, ima pri nazivni obremenitvi 1040 kW izgub.

    a) Kolikšen je navor na gredi pri nazivnem obratovalnem stanju?

    b) Kolikšen je nazivni izkoristek generatorja?

    Rešitev a) Navor bomo izračunali iz mehanske moči, ki jo generator dobi preko gredi:

    mehP M= ω , (1)

    pri čemer je M navor, ω pa kotna hitrost vrtenja. Podatka o mehanski moči nimamo, zato bomo le-to dobili posredno preko oddane delovne električne moči in izgub:

    6n n cos 60 10 0,85 51 MWP S= ϕ = ⋅ ⋅ = . (2)

    6 6meh n izg 51 10 1,04 10 52,04 MWP P P= + = ⋅ + ⋅ = . (3)

    Hitrost vrtenja poznamo, zato lahko sedaj s pomočjo enačbe (1) izračunamo navor:

    6

    meh meh

    25060 60

    52,04 10

    2 2nP P

    M⋅

    = = = = ⋅ ⋅ω π π

    61,988 10 N m . (4)

    b) Izkoristek stroja je razmerje med oddano in prejeto močjo:

    odd

    pr

    P

    Pη = . (5)

    V našem primeru je prejeta moč mehanska, oddana pa električna. Pri tem moramo biti pozorni na to, da pri izračunu izkoristka vedno uporabimo delovno električno moč:

    η = = =⋅

    6n

    6meh

    51 10

    52,04 10

    P

    P0,980 . (6)

  • 10

    2 Nadomestno vezje sinhronskega stroja

    2.1 Naloga Sinhronska reaktanca stroja A je za 20 % večja od tiste pri stroju B, ostali nazivni podatki obeh strojev so enaki. Stroja otočno obratujeta v prostem teku in imata na sponkah nazivno napetost, nato pa ju kratkostičimo, pri čemer ne spremenimo vzbujalnih tokov.

    Pri katerem stroju bo trajni tok kratkega stika večji in za koliko?

    Upornost navitij zanemarimo.

    Rešitev Rešitev bomo poiskali s pomočjo nadomestnega vezja sinhronskega stroja (slika 1a). Ker upornost statorskega navitja zanemarimo, v nadomestnem vezju nastopa poleg vira le sinhronska reaktanca (slika 1b).

    Rs Xs

    ~E0

    (a)

    Xs

    ~E0

    (b)

    Xs

    ~E0

    Ik

    (c)

    Slika 1: (a) Nadomestno vezje sinhronskega generatorja, (b) poenostavljeno nadomestno vezje brez statorske upornosti in (c) nadomestno vezje stroja v kratkem stiku.

    V prostem teku je napetost na sponkah generatorja enaka inducirani napetosti, le-ta pa je pri konstantni vrtilni hitrosti odvisna le od vzbujalnega toka. V nadomestnem vezju nastopa kot vir napetosti inducirana napetost E0, ki je pravzaprav napetost prostega teka pri določenem vzbujalnem toku (Iv). Odvisnost E0 od Iv je praviloma nelinarna, a ker se v našem primeru vzbujanje ne spreminja, je napetost vira konstantna.

    Ko v našem primeru stroja kratkostičimo, bo vrednost kratkostičnega toka določena le z napetostjo E0 in sinhronsko reaktanco. Nadomestno vezje sinhronskega stroja v kratkem stiku je na sliki 1c. Kratkostična toka obeh strojev bi tako izračunali:

    0 0kAsA sB1,2

    E EI

    X X= =

    ⋅, (1)

    0kBsB

    EI

    X= . (2)

    Vidimo, da bo kratkostični tok stroja B, ki ima manjšo sinhronsko reaktanco, večji od kratkostičnega stroja A in sicer za 20 %:

    = ⋅ =0 sBkB

    kA sB 0

    1,2E XI

    I X E1,21,21,21,2 . (3)

  • 11

    3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    3.1 Naloga Trifazni turbogenerator z nazivnimi podatki: Sn = 214 MVA, Un = 10,5 kV, fn = 50 Hz, cosϕn = 0,85 ima v prostem teku pri nazivni napetosti vzbujalni tok Iv0 = 765 A. Relativna sinhronska reaktanca znaša xs = 1,6.

    S pomočjo kazalčnega diagrama, vendar analitično, določite:

    a) nazivni vzbujalni tok,

    b) moč na gredi, ko pri obratovanju pri nazivni napetosti in nazivnem vzbujanju, stroj pade iz sinhronizma.

    c) tok generatorja pri prej omenjenem izpadu iz sinhronizma.

    Izgube v stroju zanemarite.

    Rešitev a) Rešitev lahko poiščemo grafično ali analitično. Zaradi točnosti se bomo poslužili analitične metode, čeprav nam bo osnovo za izračune služil kazalčni diagram. Za nazivno obratovalno stanje narišemo kazalčni diagram, ki pa ne bo v merilu:

    U

    I

    I Xs

    ϕ

    E0

    Iv

    δ

    β

    ϕ

    ϕ

    V kolikor kazalci predstavljajo absolutne vrednosti napetosti, so le-te v kazalčnem diagramu podane kot fazne napetosti, kljub temu da pri trifaznih strojih večinoma uporabljamo medfazne napetosti. Še posebej moramo biti na to pozorni pri izračunih in predstavitvi kazalcev raznih padcev napetosti (npr. na sinhronski reaktanci, na upornosti navitja itd.), saj lahko ob neupoštevanju tega dejstva hitro pridelamo velike napake.

    Pri vseh količinah bomo računali z relativnimi vrednostmi, ki so definirane takole:

    n

    Uu

    U= ,

    n

    Ii

    I= , vv

    v0

    Ii

    I= .

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    12

    Ker gre za nazivno obratovanje (i = 1) je relativna vrednost napetosti na sinhronski reaktanci (us) enaka le-tej:

    s s 1 1,6 1,6u i x= = ⋅ = . (1)

    Kot β med kazalcema u in us znaša:

    n90 90 acos(cos ) 90 acos 0,85 121,79β = ° + ϕ = ° + ϕ = ° + = ° . (2)

    Z znanim kotom β in napetostima u in us, lahko s pomočjo kosinusnega izreka izračunamo velikost kazalca e0:

    2 2 20 s s2 cose u u u u= + − β . (3)

    2 20 1 1,6 2 1 1,6 cos121,79 2,29e = + − ⋅ ⋅ ° = . (4)

    Ker velja razmerje:

    0 n

    v v0

    E U

    I I= , (5)

    pomeni, da je relativni vzbujalni tok iv enak relativni vrednosti fiktivne inducirane napetosti e0. To lahko pokažemo, če obe strani enačbe delimo z Un in pomnožimo z Iv:

    0 v 0 vn v0

    2,29E I

    e iU I

    = → = = . (6)

    Absolutna vrednost nazivnega vzbujalnega toka je tako:

    v v0 2,29 765vI i I= = ⋅ =1752 A . (7)

    b) Stroj pade iz sinhronizma, ko je kolesni kot δ večji kot 90°. Za to mejno vrednost bomo narisali kazalčni diagram:

    u

    i

    u s

    ϕ

    e0

    iv

    δϕ

    Iz slike vidimo, da je pri tem obratovalnem stanju karakter bremena ohmsko-kapacitivni. Fazni kot ϕ izračunamo s pomočjo fiktivne inducirane napetosti e0 in napetosti na sponkah generatorja u:

    0

    1tg 0,4367 23,6

    2,29

    u

    eϕ = = = → ϕ = ° . (8)

    S pomočjo padca na sinhronski reaktanci (us) bomo izračunali velikost bremenskega toka ob izpadu iz sinhronizma:

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    13

    2 2 2 2s 0 2,29 1 2,499u e u= + = + = , (9)

    s

    s

    1,5619u

    ix

    = = . (10)

    Delovna moč generatorja je v tem obratovalnem stanju:

    6om n n3 cos 3 cos cos 214 10 1,5619 cos23,6nP U I U i I S i= ϕ = ϕ = ϕ = ⋅ ⋅ ° = 306,3 MW . (11)

    V našem primeru lahko zanemarimo izgube, zato je mehanska moč na gredi, ko stroj izpade iz sinhronizma, enaka električni delovni moči.

    c) Vrednost toka lahko poiščemo iz istega diagrama, ki smo ga uporabili pri določanju omahne moči. Padec na sinhronski reaktanci je odvisen od tega toka, zato napišimo enačbo za to napetost izračunamo to napetost in izačunajmo tok:

    2 2 2 2s s 0( )u i x e u= = + , (12)

    2 2 2 2

    0

    s

    2,29 11,562

    1,6

    e ui

    x

    + += = = , (13)

    kar pomeni, da bo tok 1,562-krat večji od nazivnega in absolutno znaša:

    6

    nn

    n

    214 101,562 1,562 11767

    3 3 10500

    SI i I i

    U

    ⋅= = = ⋅ = ⋅ =

    ⋅18,38 kA . (14)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    14

    3.2 Naloga Trifazni turbogenerator z nazivnimi podatki: Sn = 6,3 MVA; Un = 10 kV; cosϕn = 0,7; Ivn = 50 A, ima relativno sinhronsko reaktanco xs = 1,2 in na nazivnem omrežju obratuje v prostem teku.

    a) Kolikšna sta cosϕ in kolesni kot δ, če generator obremenimo z nazivno navidezno močjo, ne da bi pri tem spremenili vzbujanja prostega teka? Kolikšna je takrat delovna moč generatorja?

    b) Izračunajte vzbujalni tok, ki je potreben za obremenilno stanje: S' = Sn/4, cosϕ = cosϕn.

    Rešitev a) Ko je generator priključen na omrežje in obratuje v prostem teku (I = 0 A), je inducirana napetost generatorja enaka omrežni (nazivni) napetosti. Vrednost rotorskega vzbujalnega toka, ki v prostem teku generatorja ustvari ustrezen magnetni pretok za induciranje nazivne napetosti, označimo z Iv0. Kazalčni diagram takega stanja generatorja je enostaven, saj sta na njem le dva kazalca (slika 1).

    U U = n(E0)

    Iv0

    Un

    E0

    Iv0

    I X sIn

    ϕδ

    r U

    = |

    |n

    r I X

    = ||s

    Slika 1: Kazalčni diagram prostega teka generatorja. Slika 2: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega

    generatorja pri: Iv = Iv0 in S = Sn.

    Kazalca fiktivne inducirane napetosti E0 ponavadi ne označujemo, saj zaradi odsotnosti statorskega bremenskega toka ni reakcije indukta in s tem padca na sinhronski reaktanci, se pa zavedamo, da s poznavanjem toka Iv0 poznamo linearno odvisnost:

    E0 = k Iv, (1)

    kar s pridom uporabimo pri reševanju naloge. Če torej vzbujalnega toka ne spreminjamo (Iv = Iv0), ostaja kazalec fiktivne inducirane napetosti E0 enako velik kot v prostem teku (E0 = Un) Ob povečevanju mehanske moči na gredi in s tem delovne električne moči generatorja, se pojavi tok in seveda padec napetosti na sinhronski reaktanci. Pri obremenitvi z nazivno navidezno močjo (Sn), sta napetost in tok nazivne vrednosti, tako da za padec na sinhronski reaktanci velja:

    In Xs = xs Un. (2)

    Velikosti kazalcev E0 in I Xs v novem obratovalnem stanju sta torej znana, zato lahko narišemo nov kazalčni diagram (slika 2).

    Če želimo izračunati delovno moč v tem obratovalnem stanju, moramo izračunati le fazni kot ϕ, saj sta napetost in tok nazivna. V našem primeru sta kazalca Un in E0 kraka enakokrakega trikotnika, kolesni kot δ pa je dvakratnik faznega kota ϕ, saj je kazalec toka pravokoten na padec napetosti I Xs. Z uporabo trigonometrije tako neposredno izračunamo fazni kot:

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    15

    n s s n

    n n

    1,2sin 0,6 arcsin0,6 36,87

    2 2 2

    I X x U

    U Uϕ = = = = → ϕ = = ° , (3)

    tako da je kolesni kot:

    2 2 36,87δ = ϕ = ⋅ ° = 73,74° . (4)

    Faktor delavnosti ima kapacitivni značaj in znaša:

    cos cos36,87ϕ = ° = 0,8 , (5)

    delovna moč generatorja v tem obratovalnem stanju pa je:

    6n n n3 cos cos 6,3 10 cos36,87 P U I S= ϕ = ϕ = ⋅ ⋅ ° = 5,04 MW . (6)

    b) Pri obratovalnem stanju generatorja, ko je navidezna moč četrtina nazivne (S' = Sn/4), se sorazmerno zmanjša tudi tok, saj je pri obratovanju na omrežju napetost vedno enaka. Tako lahko zapišemo:

    n' 0,254

    II i= → = , (7)

    pri čemer je i normirana vrednost toka. V obravnavanem obratovalnem stanju je fazni kot enak nazivnemu in znaša:

    n arccos0,7 45,57ϕ = = ° . (8)

    Za lažjo predstavo in pomoč pri reševanju narišimo kazalni diagram tega obratovalnega stanja (slika 3). Seveda ne v pravem merilu, saj vrednosti ne bomo odčitavali grafično, vendar dovolj dobro, da nam bo slika v pomoč pri analitičnem izračunu želenih količin.

    ϕni

    u

    ui x

    s

    s

    =

    ϕn

    ϕn

    β

    iv

    e0

    Slika 3: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega generatorja pri nazivnem faznem kotu.

    Tokrat za vajo pri izračunu uporabimo normirane količine pri izračunu za katere velja:

    v 0 vv 0 vn n v0 n v0

    , , ,I E IU I

    u i i e iU I I U I

    = = = = = =

    Zanima nas vzbujalni tok, zato bomo izračunali vrednost fiktivne inducirane napetosti e0, saj velja: iv = e0. Z uporabo trigonometrije lahko s pomočjo kosinusnega izreka zapišemo razmerja med stranicami trikotnika, ki ga določajo napetosti u, us (= i xs) in e0:

    2 2 20 s s2 cose u u u u= + − ⋅ ⋅ β . (9)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    16

    Izračunajmo še:

    s s 0,25 1,2 0,3u i x= = ⋅ = , (10)

    n 90 45,57 90 135,57β = ϕ + ° = ° + ° = ° , (11)

    tako da dobimo:

    2 2 2 20 s s2 cos 1 0,3 2 1 0,3 cos135,57 1,232e u u u u= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (12)

    Ker velja iv = e0, vemo da je vzbujalni tok v tem obratovalnem stanju za 23,2 % večji od tistega v prostem teku (Iv0), a slednjega žal ne poznamo, saj je podan le nazivni vzbujalni tok, se pravi vzbujalni tok pri nazivnem obratovalnem stanju generatorja.

    Nazivno obratovalno stanje torej uporabimo za izračun e0n, saj bomo tako prišli do vrednosti Iv0. Kazalčega diagrama ne bomo risali ponovno, saj lahko uporabimo kar tistega s slike 3, le upoštevati moramo ustrezen padec na sinhronski reaktanci: us = xs, saj je v tem primeru tok naziven (i = 1):

    2 2 2 20n s s2 cos 1 1,2 2 1 1,2 cos135,57 2,038e u x u x= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (13)

    Pri nazivnem obratovalnem stanju je vzbujalni tok 2,038-krat večji od tistega v prostem teku, tako da lahko izračunamo:

    vnv00

    5024,53 A

    2,038

    II

    e= = = . (14)

    Z znano vrednostjo vzbujalnega toka prostega teka lahko sedaj dokončamo izračun za obratovalno stanje: S' = Sn/4, cosϕ = cosϕn, tako da dobimo:

    v v0 0' 24,53 1,232I I e= = ⋅ = 30,22 A . (15)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    17

    3.3 Naloga Turbina, katere nazivna moč je 32 kW, poganja trifazni sinhronski generator z nazivnimi podatki: Sn = 40 kVA; Un = 400 V; fn = 50 Hz; nn = 1500 vrt/min; cosϕn = 0,8; Ivn = 10 A. Relativna sinhronska reaktanca generatorja je 200 %.

    Kolikšen je vzbujalni tok generatorja, če obratuje na nazivnem omrežju pri cosϕ = 1, moč turbine pa je enaka nazivni (32 kW).

    Izgube v generatorju zanemarite.

    Rešitev Nazivni podatki generatorja in turbine kažejo, da je turbina dimenzionirana tako, da je moč turbine ravno enaka delovni moči generatorja pri nazivnem obratovanju:

    3n n ncos 40 10 0,8 32 kWP S= ϕ = ⋅ ⋅ =

    Zaradi poenostavitve izračuna, v našem primeru sicer nerealno obravnavamo generator brez izgub (Pturb = Pgen), a tudi dejanski izkoristki generatorjev so dokaj visoki (> 90 %), tako da taka zanemaritev ne predstavlja prevelike napake.

    Za nazivno obratovalno stanje generatorja lahko narišemo kazalčni diagram, saj so znane vse količine, ki ga določajo: u = 1, i = 1, us = i xs = 2, ϕn = arccos 0,8 = 36,87°.

    ϕn

    i

    u

    ui x

    s

    s

    =

    ϕn

    β

    e0

    S pomočjo kazalčnega diagrama izračunamo edino naznano količino, to je fiktivna inducirana napetost e0, saj bomo s pomočjo le-te dobili povezavo z vzbujalnim tokom, saj velja:

    0 vE k I= , (1)

    oziroma za normirane količine:

    v0v0

    vI

    e iI

    = = . (2)

    Tako s pomočjo kosinusnega izreka dobimo:

    2 2 2 20n s s2 cos 1 2 2 1 2 cos(90 36,87 ) 2,72e u u u u= + − ⋅ ⋅ β = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° + ° = . (3)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    18

    V nadaljevanju bomo videli, da nam pravzaprav ni potrebno računati sorazmernostne konstante k (enačba 1) ali vrednosti vzbujalnega toka prosteka teka Iv0, a zgolj zaradi razumevanja normiranih količin izračunajmo absolutno vrednost Ivo:

    vnv00n

    103,676 A

    2,72

    II

    e= = = . (4)

    Ko generator obratuje s cosϕ = 1 in je moč turbine nazivna (32 kW), bo statorski tok manjši od nazivnega, saj je nazivna moč generatorja (40 kVA), ki določa tudi vrednost nazivnega toka, večja od moči turbine. Absolutno vrednost toka pri takem obratovanju izračunamo:

    n

    '3turbPI

    U= , (5)

    če pa tok napišemo normirano, dobimo:

    n nn n

    ' 32' 0,8

    403turb turbP PIi

    I SU I= = = = = (6)

    Kazalčni diagram za to obratovalno stanje ima obliko pravokotnega trikotnika in omogoča enostaven izračun e0'.

    i’

    u

    u i’ xs s’ =

    e0’

    Zadošča uporaba Pitagorovega izreka:

    2 2 2 20 s' ( ' ) 1 (0,8 2) 1,887e u i x= + = + ⋅ = .

    Vzbujalni tok je sorazmeren fiktivni inducirani napetosti E0, ali bolje obratno, saj je vzbujalni tok dejanski tok, ki teče v rotorskem navitju in ga lahko merimo, napetost E0 pa je zgolj fiktivna količina, ki nam le poenostavi ali omogoči računanje. Zapišemo lahko torej razmerje:

    v 0 0

    vn 0n 0n

    ' ' 'I E e

    I E e= = (7)

    in izračunamo iskani vzbujalni tok:

    0v vn0n

    ' 1,887' 10

    2,72

    eI I

    e= = = 6,94 A . (8)

    V enačbi (8) se seveda skriva tudi enačba (4), tako da če uporabimo enačbo (2) in izračunamo vzbujalni tok s pomočjo že izračunanega toka Iv0, bo rezultat seveda enak:

    = = ⋅ =v 0 v0' ' 1,887 3,676I e I 6,94 A

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    19

    3.4 Naloga Trifazni turbogenerator s sinhronsko reaktanco xs = 200 % je obremenjen s tokom i = 0,5 pri cosϕ = 0,8. Generator obratuje na togem nazivnem omrežju pri nespremenjenem vzbujanju.

    Kako se spreminja cosϕ in kolesni kot, če se spreminja delovna moč generatorja: p = 0,1; 0,8; 0,9?

    Rešitev Do iskanih količin bomo prišli s pomočjo kazalčnega diagrama, zato ga najprej narišimo za podano obratovalno stanje (i = 0,5, cos ϕ = 0,8):

    ϕ

    i

    u

    i xs

    ϕ

    α

    e0

    i xs cosϕ

    ϕ

    i x s

    sin

    ϕ

    δ

    Spremembo električne delovne moči generatorja lahko dosežemo le s spremembo mehanske moči na gredi. Zanima nas torej, kakšno bo obratovalno stanje generatorja, če vzbujanja pustimo takšno kakršno je pri podanem obratovalnem stanju, spreminjamo pa moč na gredi. Izgube generatorja največkrat zanemarimo, saj so izkoristki velikih generatorjev zelo blizu 100 %, tako da lahko mehansko moč kar enačimo z električno delovno močjo.

    Vse količine so podane v normiranih vrednostih, tako tudi delovna moč, ki je definirana kot;

    n n n

    3 coscos

    3

    P U Ip ui

    S U I

    ϕ= = = ϕ , (1)

    tako da pri podanem obratovalnem stanju znaša:

    cos 1 0,5 0,8 0,4p ui= ϕ = ⋅ ⋅ = . (2)

    Ker bo vzbujanje konstantno lahko izračunamo vrednost fiktivne inducirane napetosti e0, saj je le-ta enaka normirani vrednosti vzbujanja iv. Kot α v trikotniku (u, i xs, e0) izračunamo s poznanim faktorjem delavnosti:

    90 90 arccos(0,8) 126,87α = ° + ϕ = ° + = ° , (3)

    z uporabo kosinusnega izreka pa izračunajmo vrednost e0, ki bo ostala nespremenjena pri vseh obratovalnih stanjih:

    2 2 2 20 s s( ) 2 cos 1 (0,5 2) 2 1 0,5 cos 126,87 1,79e u i x ui x= + − α = + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ° = . (4)

    Upoštevajoč stranice pravokotnega trikotnika v kazalčnem diagramu, lahko izračunamo kolesni kot δ pri podanem obratovalnem stanju:

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    20

    s

    0

    cos 0,5 2 0,8arcsin arcsin 26,5

    1,79

    i x

    e

    ϕ ⋅ ⋅ δ = = = °

    , (5)

    Pri novih obratovalnih stanjih se spreminja delovna moč p, a ker je napetost nazivna in konstantna (u = 1), lahko upoštevajoč enačbo (1) zapišemo:

    cos cosp ui i= ϕ = ϕ . (6)

    a) Za novo obratovalno stanje pri p = 0,1 (i cosϕ = 0,1) lahko izračunamo kolesni kot:

    s

    0

    cos 0,1 2arcsin arcsin

    1,79

    i x

    e

    ϕ ⋅ δ = = =

    6,4°6,4°6,4°6,4° . (7)

    Ta se je glede na prvotno obratovalno stanje zmanjšal, saj se je dejansko zmanjšala tudi delovna moč, ki je neposredno odvisna od kolesnega kota.

    Produkt toka in faktorja delavnosti je sicer znan, ne pa tudi posamezni količini. Z znanim kolesnim kotom lahko izračunamo padec napetosti na sinhronski reaktanci:

    2 2 2 2s 0 02 cos 1,79 1 2 1,79 1 cos 6,38 0,804i x e u e u= + − δ = + − ⋅ ⋅ ⋅ ° = , (8)

    tako da tok znaša:

    s

    0,804 0,8040,402

    2i

    x= = = . (9)

    Podobno lahko izračunamo še faktor delavnosti, saj poznamo vrednost i cosϕ = p = 0,1:

    cos 0,1

    cos0,402

    i

    i

    ϕϕ = = =0,2490,2490,2490,249 . (10)

    Vidimo, da smo si pri izračunu veliko pomagali z geometrijo, zato je narisani kazalčni diagram v veliko pomoč. Tudi če slika ne ustreza dejanskemu obratovalnemu stanju, lahko zapišemo enačbe za odnose med posameznimi količinami in jih uporabimo pri izračunu ostalih obratovalnih stanj.

    b) V prvem primeru (p = 0,1) smo delovno moč zmanjšali, nadaljujmo pa s povečanjem delovne moči na p = 0,8. Vemo, da v našem primeru velja:

    cos 0,8i pϕ = = , (11)

    tako da ponovimo izračun z uporabo enačbe (7):

    s

    0

    cos 0,8 2arcsin arcsin

    1,79

    i x

    e

    ϕ ⋅ δ = = =

    63,4°63,4°63,4°63,4° . (12)

    Izračunajmo tokrat tok in faktor delavnosti na drugačen način in sicer z vrednostjo i xs sinϕ, ki jo bomo izračunali iz pravokotnega trikotnika, sivo označenega na spodnjem kazalčnem diagramu:

    2 2 20 s s( sin ) ( cos )e u i x i x= + ϕ + ϕ , (13)

    2 2 2 2

    0 s

    s

    ( cos ) 1,79 (0,8 2) 1sin 0,0987

    2

    e i x ui

    x

    − ϕ − − ⋅ −ϕ = = = − . (14)

    Dobili smo negativno vrednost, kar pomeni da je kot ϕ negativen, saj je sinus liha funkcija. Fazni kot je torej tak, da tok prehiteva napetost in imamo torej opravka s kapacitivnim značajem obremenitve generatorja.

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    21

    ϕ

    i

    u

    i xs

    ϕ

    α

    e0

    i xs cosϕ

    ϕ

    i xs s

    inϕ

    δ

    Če nadaljujemo in poiščemo vrednost faznega kota in faktorja delavnosti:

    s

    s

    sin 0,0987arctan arctan 7,03

    cos 0,8

    i x

    i x

    ϕ −ϕ = = = − °

    ϕ (15)

    cos cos( 7,03 ) 0,992ϕ = − ° = . (16)

    V kolikor bi faktor delavnosti izračunali na način, ki smo ga uporabili pri prejšnjih obremenitvah, bi zaradi sodosti kosinusne funkcije spregledali negativni fazni kot in s tem drugačen značaj obremenitve. Za lažje razumevanje narišimo še kazalčni diagram tega obratovalnega stanja:

    ϕ

    i

    ui xs

    e0

    δ

    c) Če mehansko moč na gredi generatorja še povečamo:

    0,9 cosp i= = ϕ (17)

    in želimo izračunati kolesni kot:

    s

    0

    cos 0,9 2arcsin arcsin arcsin(1.0056)

    1,79

    i x

    e

    ϕ ⋅ δ = = = =

    ???????????? (18)

    naletimo na težavo, saj je vrednost v oklepaju večja od ena in ne moremo izračunati inverzne kotne funkcije. Obratovanje sinhronskega generatorja ni možno, saj je v tem primeru maksimalni elektromagnetni navor generatorja manjši od mehanskega in bi rotor padel iz sinhronizma, kar pomeni, da bi ga začel pogonski stroj pospeševati. V praksi mora ustrezna zaščita generatorja to preprečiti.

    Izračunajmo mejno (maksimalno) moč, pri kateri lahko v našem primeru generator še obratuje. Največji elektromagnetni navor je pri kolesnem kotu δ = 90°, tako da je v enačbi (18) vrednost v oklepaju enaka ena:

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    22

    ϕ

    =s

    0

    cos1

    i x

    e (19)

    in znača mejna moč:

    = ϕ = = =0ms

    1,79cos 0,895

    2

    ep i

    x. (20)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    23

    3.5 Naloga Trifazni sinhronski generator ima nazivne podatke: Sn = 5,5 kVA, Un = 400 V, fn = 50 Hz, nn = 3000 vrt/min, cosϕn = 0,8, xd = 303 %, xq = 100 %. Pri preizkusu prostega teka generatorja je bil vzbujalni tok 1,1 A.

    S pomočjo kazalčnega diagrama določite vzbujalni tok generatorja pri nazivnem obratovanju?

    Padec napetosti na upornosti statorskega navitja zanemarite.

    Rešitev Do vrednosti vzbujalnega toka bomo prišli tako, da določimo velikost fiktivne inducirane napetosti E0 v nazivnem obratovalnem stanju generatorja, saj je ta sorazmerna vzbujalnemu toku:

    0 vE k I= , (1)

    konstanto k pa v našem primeru lahko določimo iz rezultatov preizkusa prostega teka:

    0 n

    v v0

    E Uk

    I I= = . (2)

    Rešitev bomo poiskali s pomočjo kazalčnega diagrama, zato moramo poznati vsaj eno izmed metod za risanje kazalčnega diagrama sinhronskega stroja z izraženimi poli. Pri stroju s cilindričnim rotorjem govorimo in imamo opravka le z eno sinhronsko reaktanco Xs oz. xs, kar je posledica dejstva, da sta magnetni reluktanci v vzdolžni in prečni osi rotorja enaki. Pri obravnavi stroja z izraženimi poli nam bo v veliko pomoč, če tudi pri rotorju s cilindričnim rotorjem razmišljamo o dveh reaktancah, ki pa sta po velikosti enaki: Xd = Xq (= Xs). Z dvema enakima sinhronskima reaktancama, bi kazalčni diagram turbogeneratorja izgledal takole:

    ϕ

    i

    u

    ui x

    s

    s

    =

    e0

    id

    iq

    ix

    ix

    d

    d

    d

    s

    =

    i xq qq

    s

    = i x

    iv

    d-os

    q-os

    δ

    Slika 1: Kazalčni turbogeneratorja z upoštevanjem dveh enakih sinhronskih reaktanc v vzdolžni in prečni osi.

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    24

    Ker pri turbogeneratorju ni nobene potrebe po razstavljanju toka na dve komponenti in nato risanju dvojnih kazalcev v vzdolžni (d) in prečni (q) osi, ponavadi enostavno narišemo le en padec na sinhronski reaktanci, le-ta pa prehiteva statorski tok za 90°. Zaradi enakih reaktanc v vzdolžni in prečni osi namreč velja:

    2 2 2 2 2 2 2s d d q q d s q s d q s s( ) ( ) ( ) ( ) ( )u i x i x i x i x i i x i x= + = + = + = (3)

    Do kazalca napetosti e0 pridemo pri stroju s cilindričnim rotorjem enostavno, saj je določen z vnaprej znanimi količinami: napetostjo u, tokom i, faznim kotom ϕ in sinhronsko reaktanco xs.

    Pri stroju z izraženimi poli imamo dva padca na sinhronskih reaktancah, pri čemer je pomembno poudariti, da sta reaktanci xd in xq različni:

    sd d du i x= , (4)

    sq q qu i x= . (5)

    Zaradi magnetne izraženosti in manjše magnetne upornosti (reluktance) v vzdolžni smeri je običajno vzdolžna sinhronska reaktanca xd večja od prečne sinhronske reaktance xq.

    Konstrukcija kazalčnega diagrama se v takem primeru nekoliko zaplete, saj komponenti toka id in iq sicer dobimo tako, da kazalec toka i razstavimo na vzdolžno in prečno komponento, a dokler ne poznamo smeri kazalca e0 in s tem tudi smeri osi d in q, ne moremo začeti z risanjem kazalcev usd in usq. Brez drugih podatkov lahko kazalčni diagram narišemo le splošno ter na pamet, nikakor pa ne v pravem merilu (slika 2). Vzdolžno os določa smer magnetenja rotorskega vzbujalnega navitja, zato je v diagram simbolično narisan še rotor z izraženimi poli, da nam olajša razumevanje razmer v dejanskem stroju.

    ϕ

    i

    u

    e0

    id

    ixd

    d

    iv

    d-os

    q -os

    δ

    i xq q

    iq

    Slika 2: Kazalčni generatorja z izraženim poli.

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    25

    Splošni kazalčni diagram bomo uporabili za prikaz načina, kako grafično in s pomočjo podobnih trikotnikov določimo smer kazalca e0 in s tem položaj obeh osi (d in q). To bo sicer temeljilo na določenih (teoretičnih) predpostavkah, ki nimajo z dejanskimi razmerami v stroju nič, a nas bodo kljub temu pripeljale do cilja. Predpostavimo torej, da je smer bremenskega toka (in seveda magnetnega pretoka le-tega) glede na položaj rotorja znana, tako da lahko kazalec toka i razstavimo na komponenti id in iq. V takem primeru že lahko narišemo kazalčni diagram na sliki 2, a to smo že naredili. Vzemimo, da sta sinhronski reaktanci enaki in sicer tako, da je prečna reaktanca enaka vzdolžni: xq = xd. Tako bomo uporabljali le eno vrednost in to je xd. V tem primeru ostaja padec id xd enak prejšnjemu, padec iq xd pa je sedaj večji, zaradi večje reaktance (xd > xq). Na sliki 3 s prekinjeno črto narišemo novi padec napetosti, ki ustreza razdalji med točkama A in B'. Temu kazalcu prištejemo še padec na vzdolžni sinhronski reaktanci ter tako dobimo točko C'.

    ϕ

    i

    u

    e0

    id

    ixd

    d

    i xq d

    iv

    d-os

    q-os

    δi

    xd d

    i xq q

    A

    B

    C

    B’

    C’

    i xq

    iq

    Slika 3: Kazalčni generatorja z izraženim poli in določitev smeri kazalca e0.

    Točka C' bi bila tako vrh kazalca e0, vendar vidimo, da je taka konstrukcija močno fiktivna, saj bi morala biti kazalca e0 in id xd vzporedna. Ne ozirajmo se na to in poglejmo, kaj imamo narisano. Če povežemo točki A in C', nam ta določi dva podobna trikotnika in sicer ABC ter AB'C'. Razmerje dolžin stranic je pri podobnih trikotnikih enako (zato pa so si podobni), tako da velja:

    |AB| |AC|

    |AB'| |AC'|= . (6)

    Zanima nas seveda položaj točke C, saj ta določa smer kazalca e0, tako da izrazimo razdaljo |AC|:

    |AB|

    |AC| | AC'||AB'|

    = . (7)

    Če razdalje napišemo kot padce napetosti:

    q q|AB| i x= , (8)

    q d|AB'| i x= , (9)

    2 2q d d d d|AC'| ( ) ( )i x i x i x= + = , (10)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    26

    lahko izrazimo razdaljo |AC| kot:

    q qd qq d

    |AC|i x

    i x i xi x

    = = (11)

    Vidimo, da je točka C določena s količinama, ki nista povezani s položajem rotorskih osi, tako da jo lahko določimo, če le poznamo statorski tok in prečno sinhronsko reaktanco. Ta točka določa smer prečne osi in kazalca e0, kar omogoča izračun komponent toka in nadaljni izris diagrama.

    Čeprav bi v našem primeru rešitev lahko poiskali čisto grafično, bomo vrednost e0 izračunali analitično, diagram in geometrijo pa uporabili le kot osnovo za zapis enačb. Za pomoč pri izračunu, v diagram na sliki 4 narišimo še točko D, ki določa trikotnik ACD s stranicami a, b in i xq, v njem pa je znan tudi fazni kot ϕ.

    ϕ

    i

    u

    e0

    id

    ixd

    d

    iv

    d-os

    q -os

    δ

    i xq q

    A

    B

    C

    i xq

    iq

    ϕD

    a

    b

    Slika 4: Kazalčni diagram za analitični izračun.

    Izrazimo kolesni kot δ:

    q

    q

    costan

    sin

    i xb

    u a u i x

    ϕδ = =

    + + ϕ. (12)

    Ker so vse količine, ki nastopajo v enačbi znane, lahko izračunamo:

    q

    q

    cos 1 1 0,8arctan arctan 26,57

    sin 1 1 1 0,6

    i x

    u i x

    ϕ ⋅ ⋅δ = = = ° + ϕ + ⋅ ⋅

    . (13)

    Sedaj lahko razstavimo tok na vzdolžno in prečno komponento:

    = δ + ϕ = ⋅ ° + ° =d sin( ) 1 sin(26,57 36,87 ) 0,894i i , (14)

    q cos( ) 1 cos(26,57 36,87 ) 0,447i i= δ + ϕ = ⋅ ° + ° = (15)

    ter izračunamo padca napetosti na sinhronskih reaktancah:

    = = ⋅ =sd d d 0,894 3,03 2,710u i x , (16)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    27

    sq q q 0,447 1 0,447u i x= = ⋅ = . (17)

    Še malo geometrijske telovadbe in dolžina kazalca e0n je tu:

    = + − = + − =2 2 2 20n sd sq 2,710 1 0,447 3,605e u u u . (18)

    Upoštevajoč razmerje iz enačbe (1), izračunamo vrednost vzbujalnega toka v nazivnem obratovalnem stanju:

    = = = = ⋅ =0n 0n v0vn 0n v0n

    3,605 1,1E E I

    I e Ik U

    3,96 A (19)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    28

    3.6 Naloga Trifaznemu sinhronskemu generatorju z nazivnimi podatki: Sn = 5,5 kVA, Un = 400 V, fn = 50 Hz, nn = 3000 vrt/min, cosϕn = 0,8, smo izmerili karakteristiki prostega teka in kratkega stika (slika 1).

    S pomočjo karakteristik določite vrednosti kratkostičnega razmerja (ang. Short Circuit Ratio - SCR) ter relativne vrednosti vzdolžne reaktance za nasičeno in nenasičeno stanje.

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    U0 /

    V

    Iv / A

    I k /

    A

    Slika 1: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika trifaznega sinhronskega generatorja.

    Rešitev Če generator obratuje v prostem teku in je napetost na sponkah enaka nazivni napetosti, je vzbujalni tok nastavljen na vrednost Iv0. Vrednost tega vzbujalnega toka lahko odčitamo na karakteristiki prostega teka (KPT) in v našem primeru znaša približno Iv0 = 1,12 A (slika 2). V kolikor bi pri takem vzbujanju naredili kratek stik generatorja, bi po statorskem navitju stekel kratkostični tok, ki ga pri vrednosti vzbujalnega toka Iv0 odčitamo na karakteristiki kratkega stika (KKS) - Ik0 = 2,2 A.

    Razmerje med kratkostičnim tokom Ik0 in nazivnim tokom generatorja je kratkostično razmerje:

    k0cn

    IK

    I= . (1)

    Nazivni tok generatorja izračunamo iz nazivnih podatkov:

    nnn

    55007,94 A

    3 3 400

    SI

    U= = = , (2)

    tako da je kratkostično razmerje:

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    29

    k0cn

    2,2

    7,94

    IK

    I= = = 0,277 . (3)

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    U0 /

    V

    Iv / A

    I k /

    A

    Un

    Iv0

    Ik0

    Ik=In

    Ivk

    Slika 2: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika uporabimo za določitev vzbujalnih tokov Iv0 in Ivk.

    To kratkostično razmerje lahko izrazimo tudi z razmerjem vrednosti vzbujalnih tokov, tako da vsakemu toku v enačbi (1) s pomočjo KKS dodelimo ustrezen vzbujalni tok:

    k0 v02,2 A 1,12 AI I= → = in

    k n vk7,94 A 4,11 AI I I= = → = .

    Ker je KKS linearna, dobimo približno enako vrednost Kc:

    v0cvk

    1,120,273

    4,11

    IK

    I= = = , (4)

    razlika med izračunanima vrednostima je le posledica napake pri grafičnem odčitavanju.

    Če imamo kratek stik generatorja pri vzbujanju Iv0, ko teče kratkostični tok Ik0, bo celoten padec napetosti na vzdolžni sinhronski reaktanci enak fiktivni inducirani napetosti E0 (slika 3b), saj je napetost na sponkah seveda nič. Napetost E0 je pri tem seveda enaka nazivni napetosti, saj je vzbujanje enako kot v prostem teku, ko padca napetosti na sinhronski reaktanci ni (slika 3a). Upoštevajoč to, lahko zapišemo:

    0 k0 sE I X= . (5)

    Pozorni moramo biti na to, da je tako zapisana in v kazalčnem diagramu predstavljena vrednost E0 fazna napetost (kakor seveda tudi vse ostale napetosti). Vzdolžno sinhronsko reaktanco tako izračunamo:

    0dk0 k0

    400104,97

    3 3 2,2nE UX

    I I= = = = Ω

    ⋅. (6)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    30

    U U = n(E0)

    Iv0 U = 0 V

    E0

    Iv0

    Ik0 sX

    Ik0

    (a) (b)

    Slika 3: Karakteristiki prostega teka in kratkega stika uporabimo za določitev vzbujalnih tokov Iv0 in Ivk.

    Relativna vrednost vzdolžne sinhronske reaktance je:

    ddn

    Xx

    Z= , (7)

    kjer je Zn nazivna ali osnovna impedanca generatorja:

    nnn3

    UZ

    I= . (8)

    Če v enačbi (7) števec zamenjamo z enačbo (6), imenovalec pa z enačbo (8), dobimo:

    n n ndn k0 ck0

    3 1

    3

    U I Ix

    U I KI= = = , (9)

    kar je inverzna vrednost kratkostičnega razmerja Kc. Izračunajmo xs s pomočjo prej določenega kratkostičnega razmerja:

    dc

    1 1

    0,277x

    K= = = 3,61 . (10)

    Ko za določitev vrednosti vzbujalnega toka Iv0 uporabimo dejansko KPT in je delovna točka prostega teka običajno že nad kolenom KPT (katere obliko določa magnetilna krivulja feromagnetika), imenujemo tako dobljeno vrednost nasičena sinhronska reaktanca oz. nasičeno kratkostično razmerje. Nenasičene vrednosti pa dobimo takrat, ko vzbujalni tok Iv0 določimo z linearno KPT, ki ima naklon linearnega (začetnega) dela dejanske KPT (slika 3).

    V našem primeru odčitamo vrednosti:

    v0 k0' 1 A ' 1,95 AI I= → = , (11)

    tako da je nenasičeno kratkostično razmerje:

    k0cn

    ' 1,95'

    7,94

    IK

    I= = = 0,246 (12)

    in dobimo vrednost relativne nenasičene vzdolžne sinhronske reaktance:

    dc

    1 1'

    ' 0,246x

    K= = = 4,07 . (13)

    V našem primeru razlika med nenasičenimi in nasičenimi vrednostmi ni velika, saj položaj nazivne napetosti (delovne točke) ni nad kolenom KPT in s tem v občutnem nasičenju feromagnetika.

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    31

    0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.50

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    U0 /

    V

    Iv / A

    Ik

    / A

    Un

    Iv0'

    Ik0'

    Slika 3: Določanje Ik0' s pomočjo linearne karakteristike prostega teka.

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    32

    3.7 Naloga Na 4-polnem trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki: Sn = 1200 kVA; Un = 400 V; Ivn = 3,7 A; fn = 50 Hz, smo opravili preizkusa prostega teka in kratkega stika:

    Preizkus prostega teka: n = nn, U0 = Un, Iv0 = 1,1 A;

    Preizkus kratkega stika: n = nn, Ik = In, Ivk = 2,62 A.

    Kolikšna je lahko največja trajna induktivna jalova moč, če generator na nazivnem omrežju uporabimo kot kompenzator jalove moči?

    Rešitev Ko generator obratuje kot kompenzator jalove moči, gre največkrat za obratovanje v nadvzbujenem stanju pri cosϕ = 0, tako da je delovna moč takrat enaka nič (slika 1).

    Iv I

    U

    E0 I Xs

    cosϕ = 0ϕ

    Slika 1: Kazalčni diagram sinhronskega stroja, ko obratuje kot kompenzator jalove moči.

    Ker je generator priključen na nazivno omrežje bo maksimalna jalova moč odvisna le od velikosti statorskega toka. Ta bo tem večji, čim večje bo vzbujanje, saj se z večanjem vzbujalnega toka sorazmerno povečuje fiktivna inducirana napetost E0 in s tem tudi padec na sinhronski reaktanci Xs. Maksimalna napetost E0 je odvisna od vzbujanja:

    0 vE k I= , (1)

    vzbujalni tok pa omejuje podana nazivna vrednost le-tega (Ivn). S pomočjo rezultatov preizkusa prostega teka lahko izračunamo konstanto k, saj v prostem teku ni toka in padca na sinhronski reaktanci, zato je napetost E0 enaka nazivni napetosti Un:

    n

    v0

    Uk

    I= . (2)

    Če združimo enačbi (1) in (2) dobimo:

    n0 vv0

    UE I

    I= (3)

    in od tod:

    0 v 0 vn v0

    E Ie i

    U I= → = . (4)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    33

    Če torej pišemo normirane vrednosti količin, je fiktivna napetost e0 enaka normirani vrednosti vzbujalnega toka iv. Uporabimo normirane količine, saj bo to precej poenostavilo izračune. Zanima nas torej maksimalna vrednost e0, označimo jo kar kot nazivno - e0n, ki jo določa nazivni vzbujalni tok:

    vn0n vnv0

    3,73,364

    1,1

    Ie i

    I= = = = . (5)

    Ker je napetost nazivna (u = 1), je padec napetosti na sinhronski reaktanci enak:

    s 0n 3,364 1 2,364i x e u= − = − = . (6)

    Vrednosti sinhronske reaktance ne poznamo, jo pa lahko izračunamo iz kratkostičnega razmerja Kc, saj velja:

    dc

    1x

    K= . (7)

    Kratkostično razmerje izračunamo s pomočjo rezultatov preizkusa prostega teka in kratkega stika:

    = = =v0cvk

    1,10,420

    2,62

    IK

    I. (8)

    Ko sinhronski stroj obratuje kot kompenzator jalove moči pri cosϕ = 0, je reakcija indukta le v vzdolžni smeri (magnetno polje statorskega toka je v osi rotorskega vzbujanja - glej sliko 1), tako da lahko v enačbi (6) uporabimo kar to vrednost:

    = = =dc

    1 12,382

    0,420x

    K. (9)

    Vrednost statorskega toka bo tako:

    = = =0n

    d

    2,3640,993

    2,382

    e ui

    x. (10)

    Vidimo, da bi bil pri nazivnem (maksimalnem) vzbujanju statorski tok nekoliko manjši od nazivnega, zato ta vrednost omejuje velikost jalove moči. Največja jalova moč je tako:

    = = ⋅ =max n 0,993 1200Q i S 1191 kVAr . (11)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    34

    3.8 Naloga Izračunajte navor nazivno obremenjenega trifaznega turbogeneratorja z nazivnimi podatki: Un = 10,5 kV; In = 5,5 kA; fn = 50 Hz; 2p = 2.

    Pri nazivnem obratovalnem stanju generatorja je kolesni kot 34°, izkoristek pa 98,2 %. Kratkostično razmerje generatorja je 0,58.

    Rešitev Navor bomo izračunali iz mehanske moči na gredi, saj velja:

    mehP M= ω . (1)

    Mehanska moč je tista, ki se pretvarja v električno, a žal ne brez izgub, zato je oddana moč generatorja manjša. Izkoristek je razmerje med oddano in prejeto močjo, zato lahko mehansko moč zapišemo tudi kot:

    elmehP

    P =η

    . (2)

    Ker je nazivni izkoristek stroja podan, moramo torej izračunati nazivno električno delovno moč generatorja. Nazivni vrednosti napetosti in toka sta podani, nimamo pa nazivnega cosϕ, zato ga bomo morali poiskati. Narišimo splošni kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega turbogeneratorja (slika 1) z označenimi normiranimi količinami.

    u

    i

    i xs

    ϕ

    e0

    iv

    δ

    Slika 1: Kazalčni diagram obremenjenega sinhronskega turbogeneratorja.

    Vidimo, da moramo, če želimo s pomočjo trigonometrije izračunati kot ϕ, poznati padec napetosti na sinhronski reaktanci (i xs) ali fiktivno inducirano napetost e0. Do padca napetosti na sinhronski reaktanci pridemo enostavneje, saj moramo poznati le še sinhronsko reaktanco, ki pa jo lahko izračunamo s pomočjo kratkostičnega razmerja stroja, saj velja:

    sc

    1 11,724

    0,58x

    K= = = . (3)

  • 3 Kazalčni diagram in obratovalna stanja sinhronskega generatorja

    35

    Sedaj lahko zapišemo kosinusni izrek, s katerim bomo izračunali napetost e0, saj poznamo nazivni kolesni kot δn:

    2 2 2s 0 0 n( ) 2 cosi x e u e u= + − δ . (4)

    Napetost je nazivna, zato je u = 1, prav tako pa tudi tok i = 1, tako da dobimo kvadratično enačbo:

    2 2 20 n 0 s2 cos ( ) 0e u e u i x− δ + − = . (5)

    2 20 0

    20 0

    0 0

    2 1 cos34 1 1,724 0

    1,6581 1,9722 0

    0,802 ; 2,460

    e e

    e e

    e e

    − ⋅ ⋅ + − =

    − − =

    = − =

    Rešitvi sta dve, a le ena je pozitivna in ta je prava za našo uporabo, torej e0 = 2,460. Ker sedaj poznamo dolžino kazalca e0, lahko izračunamo razdaljo i xs cosϕ (slika 2), ki vsebuje iskani cosϕ:

    s 0 ncos sini x eϕ = δ . (6)

    0 n

    s

    sin 2,460 sin34cos 0,798

    1 1,724

    e

    i x

    δ ⋅ϕ = = =

    . (7)

    u

    i

    i xs

    ϕ

    e0

    iv

    δ

    β

    ϕ

    ϕ

    i xs cosϕ

    Slika 2: Izračun cosϕ s pomočjo trigonometrije.

    Sedaj izračunamo električno delovno moč:

    el n n n3 cos 3 10500 5500 0,798 79,81 MWP U I= ϕ = ⋅ ⋅ ⋅ = (8)

    in s pomočjo izkoristka še mehansko moč na gredi ter navor:

    6

    elmeh

    n

    79,81 1081,28 MW

    0,982

    PP

    ⋅= = =

    η. (9)

    6

    meh

    n

    60 81,28 10 60

    2 2 3000

    PM

    n

    ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

    π π⋅258,7 kN m . (10)

  • 36

    4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    4.1 Naloga Na trifaznem sinhronskem stroju z nazivnimi podatki Un = 400 V, Sn = 40 kVA, cosϕn = 0,8, nn = 1500 vrt/min, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram) ter vzbujalni tok Iv = 11 A v delovni točki U = Un, I = In, cosϕL = 0.

    Kolikšen je vzbujalni tok pri nazivnem obratovanju?

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U

    0 (

    V)

    Ivzb

    (A)

    I

    k (A

    )

    Rešitev Iz podanih merilnih rezultatov lahko narišemo švedski diagram in poiščemo vzbujanje pri nazivnem toku:

    nnn

    4000057,7 A

    3 3 400

    SI

    U= = = , (1)

    in nazivnem cosϕ oz. faznem kotu:

    on narccos(cos ) arccos(0,8) 36,9ϕ = ϕ = = . (2)

    Po grafični metodi poiščemo nazivni vzbujalni tok, ki znaša Ivn = 9,7 A.

  • 4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    37

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U0 (V

    )

    Ivzb

    (A)

    I k (

    A)

    Iv0 Ivk

    Un

    In

    Iv-ind

    ϕn

    Ivn

    = 9,7 A

  • 4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    38

    4.2 Naloga Na trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki Un = 400 V, Sn = 40 kVA, nn = 1500 vrt/min, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram) ter vzbujalni tok Iv = 11 A v delovni točki U = Un, I = In, cosϕL = 0.

    Z uporabo švedskega diagrama določite nazivni cosϕ generatorja, če znaša nazivni vzbujalni tok Ivn = 10 A? Padec napetosti na upornosti navitja zanemarite.

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U

    0 (

    V)

    Ivzb

    (A)

    I

    k (

    A)

    Rešitev Iz podanih merilnih rezultatov lahko narišemo švedski diagram pri čemer poiščemo nazivni cosϕn na podlagi znanega vzbujalnega toka pri nazivno obremenjenem generatorju:

    40000

    57,7 A3 3 400

    nn

    n

    SI

    U= = = . (1)

    Iz diagrama odčitamo vrednost nazivnega faznega kota ϕn = 43°, tako da je:

    ocos cos(43 )nϕ = = 0,731 . (2)

  • 4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    39

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U0 (V

    )

    Ivzb

    (A)

    I k (

    A)

    Iv0 Ivk

    Un

    In

    Iv-ind

    ϕϕϕϕn = 43°

  • 4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    40

    4.3 Naloga Na trifaznem sinhronskem generatorju z nazivnimi podatki Un = 380 V, Sn = 33 kVA, cosϕn = 0,8 (L), nn = 1500 vrt/min, Ivzb-n = 9 A, sta bili izmerjeni karakteristiki prostega teka in kratkega stika (glej diagram).

    Kolikšen je vzbujalni tok, ko generator obratuje na nazivnem omrežju, z nazivno močjo in cosϕ = 0,8, a s kapacitivnim karakterjem?

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U

    0 (

    V)

    Ivzb

    (A)

    I k (

    A)

    Rešitev Potrebni vzbujalni tok pri obremenitvi z nazivno močjo, a s kapacitivnim karakterjem bremena, poiščemo s pomočjo švedskega diagrama. Iz podanih nazivnih podatkov najprej izračunajmo nazivni tok generatorja:

    nnn

    3300050,14 A

    3 3 380

    SI

    U= = = , (1)

    ter v diagram vrišemo točko A, ki jo določata vzbujalni tok prostega teka (Iv0) in kratkega stika (Ivk). Izračunamo nazivni fazni kot:

    arccos(0,8) 36,87nϕ = = ° (2)

    in s pomočjo podatka o nazivnem vzbujalnem toku (Ivn) dobimo nazivno obratovalno točko B. Točki A in B ležita na krožnici, po kateri potuje kazalec vzbujalnega toka in omogoča, da določimo vzbujalni tok za poljuben cosϕ. Krožnica ima središče na osi x (Ivzb), najenostavneje pa ga poiščemo tako, da narišemo normalo na središče tetive med točkama A in B. Presečišče normale in osi x je središče krožnice. Sedaj le vrišemo obratovalno točko pri kapacitivnem cosϕ = 0,8 in odčitamo velikost potrebnega vzbujalnega toka, ki je v našem primeru približno:

    vI = 4,05 A . (3)

  • 4 Švedski diagram sinhronskega generatorja

    41

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    450

    500

    0

    10

    20

    30

    40

    50

    60

    70

    80

    90

    100

    U0 (V

    )

    Ivzb

    (A)

    I k (

    A)

    Iv0Ivk

    Un

    In

    Iv-ind

    ϕn=36.9°

    Ivn

    A

    B

    C

    ϕn

    Iv=4,05 A

  • 42

    5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja

    5.1 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki Pn = 1 kW, Un = 380 V, In = 2,5 A, cosϕn = 0,8, nn = 1380 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabimo kot generator na nazivnem (togem) omrežju. Obratoval bo pri vrtilni hitrosti 1600 vrt/min.

    S pomočjo preizkusov prostega teka in kratkega stika asinhronskega motorja so bile določene vrednosti elementov njegovega enofaznega nadomestnega vezja (slika 1):

    RS = 8,40 Ω; RR' = 8,98 Ω; XσS = XσR' = 8,62 Ω; RFe = 1953 Ω; XSR = 148,9 Ω.

    Izgube trenja in ventilacije motorja v prostem teku (n ≈ ns) znašajo Ptr,v = 10 W.

    RS XσS XσR'

    XSRUS

    s

    RFe

    RR'IS IR

    Slika 1: Nadomestno vezje asinhronskega motorja.

    Nadomestno vezje uporabite za izračun generatorskega obratovalnega stanja, pri čemer izračunajte navor, izkoristek in posamične izgube generatorja.

    Rešitev Če želimo analizirati generatorsko obratovalno stanje asinhronskega stroja s pomočjo njegovega nadomestnega vezja, moramo to električno vezje z izbiro ustrezne metode rešiti in izračunati napetosti oz. toke v njem. V našem primeru vezja ne bomo reševali analitično, temveč bomo do rezultatov prišli s uporabo programa Spice Opus (http: www.spiceopus.si). Na sliki 2 je vezje, kakršno smo analizirali, pri čemer smo upor RR'/s, ki v nadomestnem vezju asinhronskega stroja (slika 1) predstavlja delovno moč na rotorju, razdelili na dva, tako da so izgube v rotorskem navitju in mehanska moč na ločenih elementih.

    RS XσS XσR'

    XSR

    RFe

    RR'

    US

    IS IR'

    ~ (Pmeh)

    (PCu-R)(PCu-S)

    (PFe)

    U0 meh R1

    ' 1R Rs

    = −

    Slika 2: Vezje za analizo v programu Spice Opus.

    Ker vezje predstavlja le eno fazo stroja, je napetost napajalnega vira fazna vrednost nazivne napetosti:

  • 5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja

    43

    nS380

    219,4 V3 3

    UU = = = , (1)

    upornost Rmeh pa izračunamo s pomočjo slipa, pri katerem bo stroj obratoval:

    s

    s

    1500 16000,0667

    1500

    n ns

    n

    − −= = = − , (2)

    meh R1 1

    ' 1 8,98 1 143,680,0667

    R Rs

    = − = − = − Ω −

    . (3)

    Negativni predznak upornosti nas ne sme prestrašiti, saj gre le za element v vezju, ki predstavlja mehansko moč, le-ta pa bo v nadomestnem vezju motorja negativna, saj stroj obratuje kot generator. Negativni predznak pri upornosti predstavlja le obratno smer napetosti oz. toka od običajnega dogovora.

    Analiza vezja je dala naslednje kompleksne vrednosti napetosti in tokov, pri čemer so predstavljene kot efektivne vrednosti:

    US = (219,4 + j 0) V; U0 = (215,4 + j 25,69) V

    IS = (-1,299 - j 1,726) A; IR' = (-1,581 - j 0,2920) A.

    S temi vrednostmi lahko sedaj izračunamo zahtevane količine, še prej pa lahko izračunamo absolutne vrednosti količin:

    US = 219,4 V; U0 = 216,9 V; IS = 2,160 A; IR' = 1,608 A.

    Mehanska moč v nadomestnem vezju je tista moč, ki se v celoti pretvarja v električno delovno moč stroja. V našem primeru znaša:

    2 2meh R meh3 ' 3 1,608 143,68 1115 WP I R= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = . (4)

    Negativni predznak upornosti in s tem tudi moči lahko pri tem izračunu zanemarimo, ne smemo pa pozabiti na množenje s tri, saj je stroj trifazni, nadomestno vezje pa enofazno. Izračunana moč ni mehanska moč, ki jo daje pogonski stroj, saj mora le-ta kriti še izgube trenja in ventilacije. Ker odvisnosti teh izgub od vrtilne hitrosti ne poznamo, vzamemo tiste izmerjene v prostem teku. Moč prejeta s strani pogonskega stroja je torej:

    pr meh tr,v 1115 10 1125 WP P P= + = + = . (5)

    Rotor se vrti s hitrostjo n = 1600 vrt/min, tako da je navor:

    pr pr60 1125 60

    2 2 1600

    P PM

    n

    ⋅= = = = ⋅

    ω π π⋅6,71 N m . (6)

    Za izračun izkoristka moramo poznati še delovno moč, ki jo generator oddaja v omrežje. Ker ima napetost omrežja le realno komponento, lahko oddano delovno moč izračunamo:

    S S S3 Re( ) 3 219,4 1,299 855,0 WP U I= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = . (7)

    Tudi tu zanemarimo negativni predznak toka in moči. Ker uporabljamo nadomestno vezje motorja in je napajalni vir v vezju omrežna napetost, predstavlja negativni predznak moči le to, da je smer delovne moči v vir in ne iz njega.

    Izkoristek je razmerje med oddano (PS) in prejeto močjo (Ppr):

    S

    pr

    855,0

    1125

    P

    Pη = = = 0,760 . (8)

    V generatorju imamo izgube v statorskem in rotorskem navitju, izgube v železu ter izgube trenja in ventilacije. Slednje so mehanske izgube, ki jih krije pogonski stroj, zato jih v nadomestnem vezju nimamo.

  • 5 Nadomestno vezje asinhronskega generatorja

    44

    Izgube v statorskem in rotorskem navitju izračunamo:

    2 2Cu-S S3 3 2,16 8,4SP I R= = ⋅ ⋅ = 112 W , (9)

    2 2Cu-R R R3 ' ' 3 1,608 8,98P I R= = ⋅ ⋅ = 69,7 W . (10)

    Izgube v železu so predstavljene z močjo na uporu RFe in znašajo

    2 2

    0Fe

    Fe

    216,93 3

    1953

    UP

    R= = = 72,3 W . (11)

  • 45

    6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    6.1 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki: Pn = 10 kW, Un = 400 V, In = 21,6 A, cosϕn = 0,85, nn = 1450 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabimo kot generator v mali hidroelektrarni.

    a) Kolikšno mehansko moč prejema generator, če je priključen na togo mrežo in se turbina vrti s hitrostjo 1520 vrt/min?

    b) Kolikšne kondenzatorje in kako moramo priključiti na sponke statorskega navitja, do bo generator otočno napajal breme pri nazivni napetosti in frekvenci

    Rešitev a) Če želimo izračunati mehansko moč generatorja moramo poznati navor in vrtilno hitrost. Slednja je podana, tako da uporabimo navorno karakteristiko asinhronskega stroja za izračuna navora pri tej hitrosti. Nazivni navor asinhronskega motorja se praviloma nahaja na linearnem delu navorne karakteristike (slika 1), kar pomeni, da je tam navor linearno odvisen od slipa, saj gre pri navorni karakteristiki za liho simetrijo glede na sinhronsko vrtilno hitrost (ns) oz. s = 0.

    MOTOR

    GENERATOR

    M

    nnn

    Mn

    ns

    Mg

    ng0

    s01 sgsn

    2ns

    -1

    Slika 1: Navorna karakteristika asinhronskega stroja.

    Ker je hitrost vrtilnega polja določena s frekvenco omrežja in za to nespremenljiva, lahko navor v linearnem področju karakteristike zapišimo kot linearno funkcijo slipa:

    M k s= ⋅ , (1)

    pri čemer koeficient k izračunamo iz nazivnega navora in nazivnega slipa motorja:

    n nnn n

    60 10000 6065,85 N m

    2 2 1450

    P PM

    n

    ⋅ ⋅= = = = ⋅

    ω π⋅ π⋅, (2)

    s nnn

    1500 14500,03

    1500

    n ns

    n

    − −= = = , (3)

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    46

    n

    n

    65,851975,5N m

    0,03

    Mk

    s= = = ⋅ . (4)

    Sedaj izračunamo navor pri generatorskem obratovanju:

    s gg gs

    1500 15201975,5 26,34 N m

    1500

    n nM k s k

    n

    − −= ⋅ = ⋅ = ⋅ = − ⋅ . (5)

    Negativni predznak navora bo dal tudi negativno mehansko moč, kar pomeni, da asinhronski stroj mehansko moč prejema in torej deluje kot generator:

    gmeh g g g1520

    2 26,34 260 60

    nP M M= ω = π = − π = -4193 W . (6)

    b) Če želimo, da bo asinhronski stroj deloval kot generator otočno, kar pomeni, da ni priključen na omrežje nespremenljive napetosti in frekvence, moramo poskrbeti za ustrezen pretok jalove moči za magnetenje stroja, saj lahko preko gredi stroj prejema le mehansko, to je delovno moč. Tudi če asinhronski generator obratuje na omrežju, prejema mehansko moč in jo v obliki delovne električne moči oddaja v omrežje, a jalovo moč potrebno za magnetenje stroja prejema, tako kot v motorskem režimu, iz omrežja. Iz nazivnih podatkov motorja lahko izračunamo koliko je pri nazivnem obratovalnem stanju induktivne jalove moči, saj se bo pri otočnem obratovanju ta jalova moč pokrila z jalovo močjo na kondenzatorjih, ki jih priključimo na priključne sponke stroja:

    = = ⋅ ⋅ =n n n3 3 400 21,6 14965 VAS U I , (7)

    1n n ncos 14965 0,85 12720 WP S= ϕ = ⋅ = , (8)

    2 2 2 2n n 1n 14965 12720 7884 VArQ S P= − = − = . (9)

    Ko asinhronski stroj obratuje kot motor, je inducirana napetost, zaradi padcev napetosti na upornosti in stresanih reaktancah navitja, nižja od pritisnjene napetosti, pri generatorskem obratovanju pa so razmere obrnjeneje, saj je inducirana napetost tista, ki žene tok, zato je napetosti na sponkah za te padce nižja od inducirane. Če želimo, da bo generator oddajal električno moč pri nazivni napetosti, je zato v stroju potreben večji magnetni pretok in s tem tudi večja jalova moč.

    Samo s podatki z napisne tablice, ne moremo določiti povečanja jalove moči, zato bomo kapacitivnosti določili kar iz izračunane jalove moči. Potrebujemo tri kondenzatorje, ki bodo vezani v zvezdo ali trikot. V prvem primeru bo napetost na posameznem kondenzatorju za

    3 nižja od tiste v trikotu, zato bi potrebovali kondenzatorje z večjo kapacitivnostjo, če želimo doseči potrebno jalovo moč. Največkrat se zato odločimo za vezavo trikot, tako da je jalova moč kondenzatorjev:

    2

    2k 3 3

    C

    UQ U C

    X= = ω , (10)

    kapacitivnost posameznega, v trikot vezanega kondenzatorja pa:

    k2 2

    7884

    3 3 400 2 50

    QC

    U= = =

    ω ⋅ ⋅ π⋅52,28 μF . (11)

    Potrebujemo torej tri kondenzatorje z izračunano kapacitivnostjo, ki morajo biti izdelani najmanj za nazivno napetost motorja. V kolikor bi se odločili za vezavo kondenzatorjev v zvezdo, bi bila potrebna kapacitivnost trikrat večja (glej enačbo 10), njihova nazivna napetost pa bi bila

    lahko za 3 nižja od nazivne napetosti asinhronskega motorja.

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    47

    6.2 Naloga Asinhronski motor z nazivnimi podatki: Pn = 1 kW, Un = 380 V, In = 2,5 A, cosϕn = 0,8, nn = 1380 vrt/min, fn = 50 Hz, uporabljamo kot generator, ki otočno napaja čisto ohmsko breme. Pogonski stroj vrti rotor s konstantno hitrostjo 1500 vrt/min, frekvenca napetosti na bremenu pa je 48 Hz.

    a) Kolikšna je mehanska moč pogonskega stroja v tej obratovalni točki?

    b) Kako hitro bi se moral vrteti rotor, da bi bila frekvenca napetosti nazivna, če navor pogonskega stroja ostane enak?

    Rešitev Mehansko moč pri rotacijskih strojih določata navor in kotna hitrost oz. vrtilna hitrost:

    = ω = πmeh 2 60

    nP M M . (1)

    Vrtilno hitrost pogonskega stroja poznamo, zato moramo izračunati le navor. Navorna karakteristika asinhronskega stroja je v okolici sinhronske hitrosti (s = 0) ponavadi dokaj linearna, zato lahko navor stroja enostavno zapišemo kot linearno funkcijo slipa (slika 1).

    MOTOR

    GENERATOR

    Mn

    Mg

    s0 sgsn

    M = k⋅s

    Slika 1: Navorna karakteristika asinhronskega stroja v okolici sinhronske hitrosti (s = 0).

    Sinhronska vrtilna hitrost je določena s frekvenco statorskega toka oz. napetosti , ki pa se pri otočnem obratovanju asinhronskega generatorja z obremenitvijo lahko spreminja. Enačbo za linearni potek navorne karakteristike v okolici sinhronske hitrosti bomo zaradi tega zapisali v obliki:

    = −s( )M k n n , (2)

    kjer člen v oklepaju predstavlja absolutno razliko hitrosti med sinhronsko hitrostjo in hitrostjo vrtenja rotorja. Iz nazivnih podatkov stroja izračunamo konstanto k:

    n nnn n

    60 1000 606,92 N m

    2 2 1380

    P PM

    n

    ⋅ ⋅= = = = ⋅

    ω π π⋅, (3)

    n

    s n

    6,920,0577 N m min

    1500 1380

    Mk

    n n= = = ⋅ ⋅

    − −. (4)

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    48

    Pri asinhronskem stroju je hitrost vrtenja rotorja vedno različna od hitrosti vrtilnega polja. V generatorskem režimu je hitrost višja od sinhronske, kar pomeni, da se vrtilno magnetno polje vrti počasneje. Vrtilno polje ustvarja tok, ki teče po statorskih navitjih, zato frekvenca tega toka, pri določenem številu magnetnih polov, določa to sinhronsko vrtilno hitrost. V našem primeru je frekvenca napetosti 48 Hz, kar pomeni, da je sinhronska hitrost:

    s60 48 60

    1440 vrt/min2

    fn

    p

    ⋅ ⋅= = = , (5)

    Tako je navor stroja v generatorskem režimu enak:

    g s g( ) 0,577 (1440 1500) 3,46 N mM k n n= − = ⋅ − = − ⋅ . (6)

    Negativni predznak lahko opustimo, saj vemo da gre za generatorsko obratovanje, tako da je mehanska moč pogonskega stroja:

    gmeh g g g1500

    2 3,46 260 60

    nP M M= ω = ⋅ π = ⋅ π = 543,5 W . (7)

    b) Če naj bi bila frekvenca statorske napetosti nazivna fn = 50 Hz, bo nova sinhronska hitrost stroja enaka:

    s60 50 60

    ' 1500 vrt/min2

    fn

    p

    ⋅ ⋅= = = . (8)

    Rotor se bo v generatorskem režimu vrtel hitreje od sinhronske hitrosti, ker pa ostaja navor pogonskega stroja enak, pomeni, da bo razlika hitrosti enaka tisti iz prejšnje obratovalne točke (glej sliko):

    g s 1500 1440 60 vrt/minn n n∆ = − = − = . (9)

    Mg

    n

    1440 1560

    1500

    Če torej želimo iz generatorja dobiti napetost s frekvenco 50 Hz je potrebno stroj vrteti s hitrostjo:

    g s' ' 1500 60n n n= + ∆ = + = 1560 vrt / min . (10)

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    49

    6.3 Naloga Štiripolni trifazni asinhronski motor s kratkostično kletko ima nazivne podatke: Pn = 11 kW; Un = 380 V; fn = 50 Hz; cosϕn = 0,86 in nazivni izkoristek ηn = 0,88. Motor bomo uporabili kot asinhronski generator za otočno obratovanje.

    Karakteristika prostega teka (KPT) motorja, izmerjena pri nazivni frekvenci, je podana v spodnji tabeli in diagramu:

    Im / A U0 / V

    2,8 150

    3,8 200

    5,0 250

    6,7 300

    10,5 380

    Pri generatorskem obratovanju bomo jalovo moč motorja kompenzirali s kondenzatorji.

    a) Kolikšne so kapacitivnosti kondenzatorjev izračunane z nazivno jalovo močjo, če bodo kondenzatorji vezani v zvezdo?

    b) Kolikšna je minimalna hitrost, pri kateri pride v prostem teku generatorja, s priključenimi izračunanimi kondenzatorji, do samovzbujanja asinhronskega generatorja?

    c) Kolikšna je najmanjša kapacitivnost kondenzatorjev, da pride v prostem teku generatorja do samovzbujanja?

    Rešitev Kapacitivnost kondenzatorjev izračunamo s pomočjo jalove (reaktivne) moči pri nazivnem obratovanju motorja. To jalovo moč izračunamo kot:

    = ϕ = − ϕ2n n n n nsin 1 cosQ S S , (1)

    pri čemer nazivno navidezno moč izračunamo s pomočjo električne delovne moči pri nazivnem obratovalnem stanju, to pa dobimo preko podanega izkoristka:

    = = = =ϕ η ϕ ⋅

    1n nn

    n n n

    1100014535 VA

    cos cos 0,88 0,86

    P PS . (2)

    Reaktivna moč je tako:

    = − =2n 14535 1 0,86 7417 VArQ . (3)

    Ker bomo s kondenzatorji to reaktivno moč kompenzirali, mora biti reaktivna moč na njih (QC) enaka le-tej, tako da lahko zapišemo:

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    400

    0 2 4 6 8 10 12

    Im / A

    U0

    / V

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    50

    ( )

    = = = = = ω

    22 2

    3 2nn n3 3

    nU

    CC

    C C C

    U UQ Q U C

    X X X. (4)

    pri čemer smo upoštevali, da je napetost na kondenzatorjih za 3 manjša od nazivne (medfazne), saj so kondenzatorji vezani v zvezdo. Kapacitivnost posameznega kondenzatorja je tako:

    = = =ω ⋅ π⋅

    n2 2

    n

    7417

    380 2 50

    QC

    U163,5163,5163,5163,5 μFμFμFμF . (5)

    b) Samovzbujanje je možno, ko je karakteristika kapacitivne reaktance bolj položna kot začetna strmina KPT motorja, saj takrat dobimo presečišče premice reaktance s KPT in s tem inducirano napetost (slika 1).

    Napetost v karakteristiki prostega teka je sicer podana kot medfazna napetost, a če želimo v isti diagram vrisati še UI karakteristiko kapacitivne reaktance moramo napetost pretvoriti v fazno, saj je taka tudi napetost na kondenzatorjih pri vezavi le-teh v zvezdo.

    Im

    KPTXC

    Im1

    U01

    X ’C

    samovzbujanje

    0

    3

    U

    Slika 1: Pogoj za samovzbujanje je ta, da premica kapacitivne reaktance seka KPT, zato mora biti položnejša od

    začetne strmine (linearnega dela) KPT.

    Ta pogoj lahko za določeno frekvenco (npr. nazivno fn = 50 Hz) zapišemo kot:

    0

    m začetna3

    C

    UX

    I (6)

    To presečišče je pri konstantni frekvenci odvisno le od kapacitivnosti kondenzatorjev, ker pa nas zanima začetek samovzbujanja v odvisnosti od vrtilne hitrosti pri znanih in nespremenljivih kapacitivnostih (C = 163,5 µF), zapišimo obe karakteristiki kot funkciji frekvence. Frekvenca je vključena že v osnovni enačbi za izračun kapacitivne reaktance, KPT pa se s frekvenco spreminja linearno saj se ob istem vzbujanju magnetilnega toka (Im) pri nižji frekvenci inducira sorazmerno nižja napetost:

    ≤π

    0

    nm

    1

    2 3

    U f

    f C fI. (7)

    Neenačbo preuredimo in zapišemo enačbo za kritično frekvenco (fkr), tj. tisto mejno frekvenco nad katero pride do samovzbujanja:

    m nkr0

    3

    2

    I ff

    C U=

    π. (8)

  • 6 Obratovalna stanja asinhronskega generatorja

    51

    Ker moramo pri izračunu uporabiti začetno strmino KPT bomo za vrednosti U0 in Im v uporabili kar prvi par točk podane KPT (U01 = 150 V, Im = 2,8 A).

    kr 63 2,8 50

    39,67 Hz2 163,5 10 150

    f−

    ⋅ ⋅= =

    π⋅ ⋅ ⋅. (9)

    Ker obravnavamo prosti tek stroja in pri tem hitrost rotorja skoraj enaka sinhronski hitrosti vrtilnega magnetnega polja (ns), ki jo določa frekvenca (inducirane) napetosti:

    s60f

    np

    ⋅= , (10)

    lahko s pomočjo izračunane kritične frekvence izračunamo še kritično hitrost vrtenja, nad katero bo prišlo do samovzbujanja asinhronskega generatorja:

    krkr60 39,67 60

    2

    fn

    p

    ⋅ ⋅= = = 1190 vrt / min . (11)

    c) Pokazali smo že, da je za samovzbujanje potrebna taka reaktanca kondenzatorjev, da dobimo presečišče s KPT. Če ponovno uporabimo postopek kot pri neenačbi (7), ki opisuje pogoj za samovzbujanje, le da tokrat izpostavimo kapacitivnost, dobimo:

    m n2

    0

    3

    2

    I fC

    f U≥

    π. (12)

    Vidimo, da bo kapacitivnost najmanjša takrat, ko bo frekvenca največja. V našem primeru vzemimo nazivno frekvenco motorja kot maksimalno frekvenco (f = fn = 50 Hz), tako da je izračunana kritična kapacitivnost kondenzatorjev, potrebna za samovzbujanje generatorja:

    m nkrY 2 20

    3 3 2,8 50102,9 F

    2 2 50 150

    I fC

    f U

    ⋅ ⋅= = = µ

    π π⋅ ⋅. (13)

    Ne smemo pozabiti, da omenjeni pogoj in tudi izračun velja za kondenzatorje vezane v zvezdo. Kapacitivnosti kondenzatorjev pa lahko zmanjšamo na tretjino še s tem, da jih priključimo v

    trikot, saj je takrat napetost na kondenzatorjih za 3 višja od tiste, ko so kondenzatorji vezani v zvezdo. Reaktivna moč kondenzatorjev je namreč sorazmerna kvadratu napetosti. Kritična kapacitivnost kondenzatorjev vezanih v trikot je tako le:

    krYkr102,9

    3 3

    CC ∆ = = = 34,3μF . (14)

  • 52

    7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    7.1 Naloga Opravili smo preizkus kratkega stika trifaznega distribucijskega transformatorja z nazivnimi podatki 21 kV/0,42 kV, 160 kVA, Yzn5.. Rezultati so sledeči: Pk = 2,35 kW, uk = 4%.

    Določite Kappov trikotnik in izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen pri cosϕ = 1.

    Rešitev Pri reševanju si bomo pomagali s kazalčnim diagramom transformatorja. Narišimo obratovalno stanje, ko je transformator obremenjen s čistim ohmskih bremenom (cosϕ = 1):

    u1

    u2

    i2

    uruk

    ux

    ϕk

    Padce napetosti, ki tvorijo Kappov trikotnik bomo izračunali na podlagi rezultatov preizkusa kratkega stika:

    k k k n kkk k nk k k n

    3 2350cos 0,3672

    0,04 160003 3

    P P P U P

    S u SU I U Sϕ = = = = = =

    ⋅, (1)

    k kcos 0,04 0,3672 0,01469r ru u u= ϕ = ⋅ = → = 1,47 % , (2)

    2 2 2 2k 0,04 0,01469 0,03720x r xu u u u= − = − = → = 3,72 % . (3)

    Ker nas zanimajo razmere pri nazivno obremenjenem transformatorju, lahko uporabimo nespremenjene vrednosti padcev napetosti, saj smo jih izračunali s podatki preizkusa kratkega stika, pri katerem je kratkostični tok enak nazivnemu. S pomočjo skice kazalčnega diagrama lahko izračunamo sekundarno napetost u2:

    2 2 22 1 1 0,0372 0,01469 0,9846x ru u u u= − − = − − = . (4)

    Ker želimo absolutno vrednost sekundarne napetosti, izračunamo še to:

    2 2n 2 420 0,9846U U u= = ⋅ = 413,5 V . (5)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    53

    7.2 Naloga Na enofaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 5 kVA, U1n = 230 V, U2n = 42 V, smo opravili preizkus kratkega stika. Rezultati so: Pk = 300 W, uk = 8%.

    S pomočjo nadomestnega vezja, pri katerem prečno vejo zanemarite, izračunajte sekundarno napetost, ko je transformator nazivno obremenjen s čistim induktivnim bremenom.

    Rešitev Rezultate preizkusa kratkega stika uporabimo za izračun (serijskih) elementov nadomestnega vezja transformatorja:

    R1 X1 X2'

    X0R0

    R2'

    U2'U1

    I1 I2'

    I0

    Upoštevajoč poenostavitev, da zanemarimo elemente prečne veje (R0, X0), lahko serijske elemente združimo in dobimo tako nadomestno vezje:

    R1 X1 X2' R2'

    U2'U1

    I1 I2' Rk Xk

    U2'U1

    I1

    Vrednosti elementov bomo izračunali s pomočjo rezultatov kratkega stika zato najprej izračunajmo napetost in tok pri preizkusu kratkega stika:

    nk 1n1n

    500021,739 A

    230

    SI I

    U= = = = , (1)

    k k 1n 0,08 230 18,4 VU u U= ⋅ = ⋅ = .¸ (2)

    Izgube kratkega stika predstavljajo predvsem izgube v bakru, zato lahko izračunamo vrednost elementa Rk:

    2 2

    3000,6348

    21,739k

    kk

    PR

    I= = = Ω . (3)

    Element Xk izračunamo s pomočjo jalove moči kratkega stika:

    2 2 2 2 2 2k k k k k( ) (18,4 21,739) 300 264,57 VArkQ S P U I P= − = − = ⋅ − = , (4)

    2 2

    264,570,5598

    21,739k

    kk

    QX

    I= = = Ω . (5)

    Elementi nadomestnega vezja so sedaj znani, tako da lahko izračunamo impedanco transformatorja z bremenom, ko teče nazivni tok:

    1ncel1n

    23010,58

    21,739

    UZ

    I= = = Ω , (6)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    54

    Rk Xk

    U2'U1

    I1

    Xb

    Celotno reaktanco sestavljata stresana reaktanca Xk in reaktanca bremena Xb:

    2 2 2 2

    cel cel k 10,58 0,6348 10,561X Z R= − = − = Ω , (7)

    cel k b b cel k 10,561 0,5598 10,00X X X X X X= + → = − = − = Ω . (8)

    Reducirana sekundarna napetost pri nazivni obremenitvi z induktivnim bremenom je tako:

    '2 b n 10,00 21,739 217,39 VU X I= = ⋅ = , (9)

    oziroma absolutna nereducirana vrednost:

    '

    22 2n

    1n

    217,3942

    230

    UU U

    U= = ⋅ = 39,7 V . (10)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    55

    7.3 Naloga Na trifaznem transformatorju z nazivnimi podatki: Sn = 1600 kVA, U1n = 20 kV, U2n = 400 V, fn = 50 Hz, smo opravili preizkusa prostega teka in kratkega stika. Rezultati so sledeči:

    – prosti tek: P0 = 1800 W, I0 = 0,5 A;

    – kratek stik: Pk = 20000 W, uk = 6%.

    Določite vrednosti elementov enofaznega nadomestnega vezja transformatorja (R1, X1, R0, X0, R2', X2').

    Rešitev Elemente nadomestnega vezja bomo izračunali na osnovi rezultatov preizkusov prostega teka in kratkega stika. Napetost na upornosti R0 je dejansko inducirana napetost (Ui), a pri izračunu elementov R0 in X0 padce napetosti na elementih v serijski veji (R1, X1) največkrat zanemarimo, tako da poenostavljeno nadomestno vezje za prosti tek vsebuje le elementa R0 in X0.

    R1I0 X1

    X0U0 R0

    I0

    X0U0 R0Ui

    Delovna moč prostega teka je enaka izgubam v železu. Pri tem ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna, zato moramo to upoštevati pri izračunih (fazna napetost, tretjina moči, ...). Moč izgub v železu sedaj izrazimo:

    ( )0

    2

    30

    03 3

    U

    FeP P

    R= = (1)

    in izračunamo Ro:

    2 2

    00

    0

    20000

    1800

    UR

    P= = = 222,2 kΩ . (2)

    Celotna jalova moč prostega teka (Qo) predstavlja moč za magnetenje jedra, tako da lahko iz jalove moči izračunamo vrednost elementa Xo. Jalovo moč izračunamo iz navidezne moči in znane delovne moči prostega teka:

    ( )

    ( )

    22 2 2

    0 0 0 1n 10 0

    22

    3

    3 20000 0,5 1800 17226,72 VAr

    Q S P U I P= − = − =

    = ⋅ ⋅ − =

    . (3)

    Ker gre za paralelno vezavo elementov, X0 izračunamo podobno kot R0:

    ( )0

    22 2

    30 00

    0 0

    20000

    3 17226,72

    UQ U

    XX Q

    = → = = = 23220 Ω . (4)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    56

    Vrednost elementov v serijski veji (R1, X1, R2', X1') izračunamo s pomočjo rezultatov preizkusa kratkega stika, saj lahko takrat nadomestno vezje poenostavimo tako, da prečno vejo zanemarimo in dobimo le vezje z elementi te veje.

    R1 X1 X2'

    Uk

    R2'Ik

    Pri preizkusu kratkega stika je preskusni tok enak nazivnemu zato izračunajmo:

    nk n1n

    160000046,19 A

    3 3 20000

    SI I

    U= = = =

    ⋅, (5)

    kratkostična napetost pa je podana relativno (normirana na nazivno napetost) zato izračunamo absolutno vrednost:

    k k 1n 0,06 20000 1200 VU u U= = ⋅ = . (6)

    Vrednosti elementov R1 in R2' izračunamo iz delovne moči kratkega stika, saj ta predstavlja izgube v bakru, pri čemer najprej izračunamo kratkostično ohmsko upornost, ki predstavlja vsoto obeh upornosti v nadomestnem vezju. Ne pozabimo na tretjino moči, saj gre za enofazno nadomestno vezje:

    k 1 2 2 220000

    3,12473 3 46,19

    k

    k

    PR R R

    I′= + = = = Ω

    ⋅. (7)

    Ker je kratkostična upornost vsota R1 in R2', ponavadi vrednost kratkostične upornosti enostavno razpolovimo in dobimo:

    k1 23,1247

    2 2

    RR R ′= = = = 1,562 Ω . (8)

    Vrednosti elementov X1 in X2' bomo izračunali iz jalove moči kratkega stika, ki jo, podobno kot pri prostem teku izračunamo s pomočjo navidezne in delovne moči kratkega stika:

    ( )

    ( )

    22 2 2

    k k k k k k

    22

    3

    3 1200 46,19 20000 93897,8 VAr

    Q S P U I P= − = − =

    = ⋅ ⋅ − =

    . (9)

    Na kratkostični reaktanci je tretjina jalove moči kratkega stika, zato dobimo:

    kk 2 2k

    93897,814,670

    3 3 46,19

    QX

    I= = = Ω

    ⋅. (10)

    Kratkostična reaktanca je vsota primarne in sekundarne stresane reaktance in ker boljše delitve ne poznamo, največkrat tudi kratkostično reaktanco kar razpolovimo in dobimo stresano reaktanco:

    k1 214,67

    2 2

    XX X ′= = = = 7,335 Ω . (11)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    57

    7.4 Naloga Poznamo nadomestno vezje trifaznega transformatorja z nazivnimi podatki: Dyn5; S = 1600 kVA; U1 = 20 kV; U2 = 400 V; f = 50 Hz.

    Vrednosti elementov so: R1 = R2' = 1,5 Ω; X1 = X2' = 7 Ω; X0 = 20 kΩ; R0 = 200 kΩ.

    Izračunajte nazivne izgube v železu, nazivne izgube v bakru in relativno kratkostično napetost transformatorja.

    Rešitev Izgube v železu so v nadomestnem vezju transformatorja predstavljene z izgubami na uporu R0. Ker velja, da so izgube v prostem teku transformatorja predvsem izgube v železu, bomo le-te izračunali tako, da upoštevamo nadomestno vezje za prosti tek. Zaradi relativno majhnih vrednosti elementov R1 in X1 napram R0 in X0, lahko pri izračunu vzamemo poenostavljeno vezje za prosti tek:

    X0Up R0

    Ne smemo pozabiti, da so nadomestna vezja trifaznih strojev enofazna zato uporabljamo fazne napetosti, moči v nadomestnem vezju pa predstavljajo tretjino dejanskih. Tako so izgube v železu:

    2

    n2 2 2

    p nFe

    0 0 0

    2000033 3

    200000

    UU U

    PR R R

    = = = = = 2000 W (1)

    Nazivne izgube v bakru izračunamo kot izgube na upornostih R1 in R2', ko skoznje teče nazivni tok:

    ( )2Cu n 1 23P I R R ′= + . (2) Nazivni tok transformatorja je:

    nnn

    1600 00046,19 A

    3 3 20000

    SI

    U= = =

    ⋅, (3)

    tako da izgube znašajo:

    ( ) ( )2 2Cu n 1 23 3 46,19 1,5 1,5P I R R ′= + = ⋅ ⋅ + = 19200 W . (4) Kratkostično napetost predstavljajo padci napetosti na elementih v serijski veji (R1, R2', X1, X2'), ko je transformator nazivno obremenjen, kar pomeni da skozi omenjene elemente teče nazivni tok. Razmere so enake pri preizkusu kratkega stika, tako da uporabimo kar poenostavljeno nadomestno vezje za kratek stik.

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    58

    R1 X1 X2'

    Uk

    R2'In

    Kratkostično napetost tako izračunamo:

    2 2

    k n n 1 2 1 2

    2 2

    ( ) ( )

    46,19 (1,5 1,5) (7 7) 661,34 V

    kU I Z I R R X X′ ′= = + + + =

    = ⋅ + + + =

    . (5)

    Ker gre za enofazno nadomestno vezje, je tudi dobljena kratkostična napetost fazna, zato to upoštevamo pri izračunu relativne kratkostične napetosti:

    kkn

    3 661,34 3

    20000

    Uu

    U

    ⋅= = = 0,0573 . (6)

  • 7 Nadomestno vezje in kazalčni diagram transformatorja

    59

    7.5 Naloga Na enofaznem transformatorju z nazivnimi podatki: S = 1,2 kVA; U1 = 230 V; U2 = 115 V; f = 50 Hz, sta bila opravljena preizkusa prostega teka in kratkega stika. Rezultati so sledeči:

    – prosti tek: P0 = 64 W, I0 = 0,6 A;

    – kratek stik: Pk = 23 W, uk = 2,2%.

    Določite elemente nadomestnega vezja transformatorja.

    Rešitev Elemente nadomestnega vezja bomo izračunali iz merilnih podatkov preizkusov prostega teka in kratkega stika. V kratkem stiku transformatorja lahko zanemarimo paralelno vejo nadomestnega vezja, tako da se le-to poenostavi v tako obliko:

    R1 X1 X2'

    Uk

    R2'Ik

    Delovna moč se pri preizkusu kratkega stika troši na upornostih R1 in R2', zato lahko za kratkostično upornost zapišemo:

    2 2

    k k k 1nk 1 2 2 2 2 2

    k 1n n

    23 2300,8449

    1200

    P P P UR R R

    I I S

    ⋅′= + = = = = = Ω . (1)

    Ker natančne delitve med R1 in R2' ne poznamo, običajno razpolovimo kratkostično upornost:

    k1 20,8449

    2 2

    RR R ′= = = = 0,422 Ω . (2)

    Iz podatkov kratkega stika lahko izračunamo tudi kratkostično impedanco:

    2 2

    k k 1n k 1nk

    k 1n n

    0,022 2300,9698

    1200

    U u U u UZ

    I I S

    ⋅= = = = = Ω , (3)

    s pomočjo katere lahko izračunamo še kratkostično reaktanco:

    2 2 2 2

    k k k 0,9698 0,8499 0,4671X Z R= − = − = Ω . (4)

    Podobno kot pri upornostih R1 in R2', t