Ekstremne vrednosti funkcije- formule i zadaci -
2010/2011
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 1 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Monotonost i ekstremne vrednosti funkcije
Funkcija f (x) je rastuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) > 0 na (a, b).
Funkcija f (x) je opadajuca na intervalu (a, b) ako je f ′(x) < 0 na (a, b).
Stacionarna tacka funkcije f (x) je tacka x = x0 ∈ D ako vazi:
f ′(x0) = 0
Neka je x = x0 stacionarna tacka funkcije f (x). Ako f ′(x) menja znak uokolini tacke x0 onda je x = x0 lokalna ekstremna vrednost funkcije f (x) ito:
tacka x = x0 je lokalni minimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) > 0,
tacka x = x0 je lokalni maksimum funkcije f (x) ako je f ′′(x0) < 0,
ako je f ′′(x0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 2 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D =
R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D =
R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D =
R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D =
R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) =
3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
(−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈
(1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI:
x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI:
x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 88.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x3 − 6x2 + 9x − 1 .
D = R f ′(x) = 3x2 − 12x + 9
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (1, 3)
MINIMUMI: x = 3 MAKSIMUMI: x = 1
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 3 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D =
R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D =
R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D =
R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D =
R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) =
− 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈
(−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI:
nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI:
nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 90?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =2x + 4
x − 4.
D = R \ {4} f ′(x) = − 12
(x − 4)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 4) ∪ (4,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 4 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D =
R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D =
R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D =
R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D =
R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =
10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
(0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈
(−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI:
x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI:
nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 91?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x2 − 4
x2 + 1.
D = R f ′(x) =10x
(x2 + 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 5 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D =
R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D =
R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D =
R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D =
R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =
−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
(−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈
(−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI:
x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI:
nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 92?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =3x + 1
(x − 1)2.
D = R \ {1} f ′(x) =−3x − 5
(x − 1)3
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−5
3, 1)
f (x) ↘ za x ∈ (−∞,−5
3) ∪ (1,+∞)
MINIMUMI: x = −5
3MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 6 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D =
R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D =
R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D =
R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D =
R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =
x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
(−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈
(−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI:
x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI:
x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 93?.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) =x3
x2 − 1.
D = R \ {−1, 1} f ′(x) =x2(x2 − 3)
(x2 − 1)2
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−√
3) ∪ (√
3,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−√
3,−1)∪ (−1, 1)∪ (1,√
3)
MINIMUMI: x =√
3 MAKSIMUMI: x = −√
3
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 7 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D =
R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D =
R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D =
R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D =
R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) =
x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
(−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈
(−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI:
x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI:
x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 102.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = x2ex .
D = R f ′(x) = x(x + 2)ex
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ (−∞,−2) ∪ (0,+∞)
f (x) ↘ za x ∈ (−2, 0)
MINIMUMI: x = 0 MAKSIMUMI: x = −2
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 8 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D =
(−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D =
(−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D =
(−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D =
(−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =
−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈
∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈
(−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI:
nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI:
nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadatak 114.
Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti funkcije
f (x) = ln
(x − 1
x − 2
).
D = (−∞, 1) ∪ (2,+∞) f ′(x) =−1
(x − 1)(x − 2)
MONOTONOST: f (x) ↗ za x ∈ ∅f (x) ↘ za x ∈ (−∞, 1) ∪ (2,+∞)
MINIMUMI: nema MAKSIMUMI: nema
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 9 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1
Zadaci
Zadatak 89. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednostifunkcije f (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)− 2x .
Zadatak 90. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =x − 1
x + 1.
Zadatak 95. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne vrednosti
funkcije f (x) =2x
2x2 + 5x + 2.
Zadatak 110. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremne
vrednosti funkcije f (x) =ex
x.
Zadatak 115. Odrediti domen, intervale monotonosti i ekstremnevrednosti funkcije f (x) = x ln x .
(Ekstremi funkcije - formule i zadaci) 2010/2011 10 / 1