Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen gSrper. Von EMIL ARTIN und OTTO SOHI~IER m Hamburg.

Im folgenden soll unsere Untersuchung ,Algebraische Konstruktion reeller KSrper "~) in einem Punkt erg~nzt werden, der dort noch uner- ledigt geblieben war. Wir erinnern zun~chst an die zugrunde liegenden Definitionen:

Ein KSrper heiflt ,,reell", wenn in i h m - - 1 nicht als Qua&'atsumme darstellbar ist.

Ein K6rper P heiflt ,reell abgeschlossen", wenn zwar P reeU, aber keine (eigentliche) algebraische Erweiterung yon P reell ist.

Unser Ziel ist nun der Naehweis des Satzes: Die reeU abgeschlossenen K6rper sind identisch rail den K6rpern, die

dutch endliche Erweiterung algebraisch abgeschlossen werden k6nnen, ohne selbst algebraisch abgeschlossen zu sein.

Der eine Teil dieser Kennzeichnung, daf ni~mlich die reell abge- schlossenen KOrper durch endliehe Erweiterung algebraisch abgeschtossen werden k0nnen, ist in A. K., Satz 3, enthalten. Die Umkehrung ist ffir algebraisehe ZahlkOrper in R .Z . bewiesen, fill" beliebige KOrper der Charakteristik Null unter Berufung auf die Schlufweise von R. Z. in A.K., Satz 4. Filr g0rper der Charakteristik p jedoch sind neue lUberlegungen nOtig. Wir beweisen daher in 1. und 2. einige Si~tze fiber zyklische Erweitemngen p-ten und p~-ten Grades yon K0rpern der Charakteristik p. Auf Gruad dieser Sittze, die vielleicht auch an sich von Interesse sind, gelingt es dann, in 3. unsere Behauptung allgemein zu beweisen. Um der gr0Beren Ubemiehtlichkeit willen haben wir auch den Teil des Beweises, der fast ohne Xnderung aus R.Z. entnommen werden kCinnte, nochmals vollstandig dargestellt.

1. Es sei K ein Ktirper der Charakteristik p. Bekanntlich k6nnen dann die Wurzeln zyldiseher Gleichungen p-ten Grades nicht durch Radikale dargestellt werden. Zum Studium der zyklischen Erweiterungen 2) p-ten Grades yon K mfissen wir daher nach einem Ersatz der reinen Gleichungen suchen. Es ergibt sich, daft die Gleichungen

(l) : : - - x - - a ~ 0,

1) Hamb. ~_bh., Bd. 5 (1926), S. 85--99, im weiteren als A. K. zitiert. Mall ver- gleiche hierzu ferner: E. ARTIN, Kennzeichnung des KOrpers der reellen algebraischen Zahlen, Hamb. Abh., Bd. 3 (1924), S. 319--323, im weiteren a|s R. Z. zitiert.

2) Eine Erweiterung bezeichnen wir als zyklisch, wenn sie yon erster Art und GALOIssch mit zyk|ischer GALolSscher Gruppe ist.

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die wir als ,,normierte" Gleichungen bezeiehnen wollen, dazu geeignet sind. Es gilt nitmlich

Sa tz 1. Eine normierlc Gleichung in K ist entweder zyklisch oder ~ie besitzt nur rationale Wm'zeln. Jede zyklische Erweiterun.q p-ten Grades yon K kann dutch die ll~trzel eine~" normic~'ten Gleichung erzeugt werden.

Sei Q eine Wurzel von (1). Dann sind e + l , r . . . , Q + p - - 1 die fibrigen. Daher sind alle irreduziblen Faktoren des Polynoms x r - - x - - a vom gleichen Grad. Ist also ,o nicht rational, so ist (1) irreduzibel und ~ erzeugt eine Erweiterung p-ten Grades yon K: die ersichtlich GALOISsch, also zyklisch ist.

Sei umgekehrt K eine zyklische Erweiterung p-ten Grades yon K. etwa /~ ~--- K (a), nnd ,~ eine Erzeugende der GALOISschen Gruppe yon in bezug auf K (at---~ 1). Wir setzen in fiblieher Weise a i (a) = ai, wobei der Index i nur rood p in Frage kommt. Nun wiihlen wir einen Exponenten k (0 ~ k < p ) , so dab

s = 2 : . k + o $ i r o o d p

ausfallt. Sicher ist dies m(iglich, da ja andernfalls in der VANDERMONDE- schen Determinante

I- 1 (i, k = O . 1, . . . , p - - l )

alle Zeilensummen verschwanden, also zwei unter den ai iibereinstimmen miigten, was nicht geht. Nunmehr sei

8 - - s'l-,m~odria~'

Dann ist

( r - - l ~mo~dlo . k,ai~_~ l I ~ - - S) - - ,im_~p(i + 1) aa 8 ' 8 i + 1

Demnach liegt ~ nicht in K, erzeugt also K. Dagegen liegt ~ - - . ~ in K, denn a ( ~ P - - 3 ) = (3 + 1 ) p - (.~+ 1 ) = _~P--_~; folglieh gentigt einer normierten Gleichung in K. Damit ist Satz 1 bewiesen.

Wir wollen alle Erzeugenden 0 von ~: bestimmen, die in K nor- mierten Gleichungen gentigen. Offenbar ist ffir ein solches Q die Bedingung (2 ) = e + k q; ----- 1 , 2 , . . . , p - - 1)

notwendig und hinreichend. Aus (2) folgt a ber a( e - k3) = e + k - - k ( 3 + 1) = Q - - k.~, also geh0rt Q - - k3 zu K. Da dieser Schlug auch umgekehrt werden kann, so erkennen wir die Richtigkeit yon

Sa tz 2. Ist ~ Wurzel einer irreduziblen ~wrmierten Gleickung in K, so ist dm'ch k ~ + b (k = 1, 2, . . . , p - - l ; b in K) die Gesamtheit tier

Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Ktirper. 227

primitiven Elemente yon K (~. ) g~. eben, die gleiel~alls normierten Gleichungen in K gen#gen.

2. Wit wenden uns jetzt den zyklischen Erweiterungen p*-ten Grades von K zu. Sei K(7) zyklisch vom Grade p* tiber K und K(.~) die (einzige) in K(~) enthaltene (zyklische) Erweiterung p-ten Grades yon K. K(7) ist dann zyklisch vom Grade p fiber K(~). Naeh Satz 1 dfirfen wir annehmen,, dal~ ~ Wurzel einer normierten Gleichung in K, 7 aber Wurzel einer normierten Gleiehung in K(~) ist, etwa

(3) (4)

. ~ P - - ~ - - a = 0,

~ - - ~ - - ~ (_~) = 0 .

Dabei bedeutet ~(~) ein Polynom h(lehstens ( p - - l ) - t e n Grades mit Koeffizienten aus K. a sei eine Erzeugende der GALOISSehen Gruppe von K(~) in bezug auf K. (ap' ~ 1 .) Die GALOISSche Gruppe von K(~) in bezug auf K ist dann durch 1, a, ~2 , . . . , a p-x reprasentiert. Wit dfirfen annehmen, dal~ ~(~)----~ + 1 ist. Also genfigt (T(7) in K(~) der normierten Gleichung

~ ( 7 ) p - - ~ ( 7 ) - - ~o(~ + 1 ) = 0 .

Naeh Satz 2 ist demnach a(7 ) : k 7 + ~/,(~), wobei k eine der Zahlen 1 , 2 , . . . , p - - 1 und ~,(~) ein Polynom h0chstens (p - -1 ) - t en Grades mit Koeffizienten aus K bedeutet. Dutch Iteration finden wir

(5) O'r(~) ~ ]~vT-~-k"-l~/)(~.)-Jf-]tY-2~/)(~-~ 1)-[- . . . +~p(~-~v - - 1 )

(~ = 1 , 2 , . - . ) .

Nun genfigt ~r (7) der Gleiehung (4). Also ist ar (7) ----- ' / + h, wo h eine der Zahlen 1, 2, . . . , p - - 1 ist; vergleiehen wir dies mit (5) ffir ~, = p, so erhalten wir, weil ja 7 nieht zu k(.~) geh0rt: kP = l , also k = 1. Uberdies gilt noeh

(6) ~ p ( ~ ) + ( p ( ~ + l ) + . . . + ~ p ( ~ + p - - 1 ) ~-- h.

Die linke Seite yon (6) berechnet sich leicht zu - - c , wenn c der Koef- fizient yon ~p-1 in ~P(~) ist. Man entwickle dazu ~p(~ + k) nach Potenzen

yon k und beachte, dal~ k ~ = 0 ftir r = 0 , 1 , . - . , p - - 2 , und = - - 1 k=0

fib' 7, p--1. Es ist demnach c z - -h . Ersetzen wir noch 7 durch 7 h '

so haben wir folgendes erreicht: es ist a ( ~ ) ~ V@~l~-1@ (Pl (.~), wo ~p~ yon hOchstens (p - - 2)-tern Grad ist, und at ,(7)----7--1. Um q,1 noch weiter zu normieren, benOtigen wir den

H i l f s s a t z : ] s t p(x) ~ b x " @ . . , ein P o l y n o m n - t e n G r a d e s in K(n ~ p - - ' 2 ) , so g ib t es ill K s t e t s ein P o l y n o m f (x ) yore

228 E. Artin und 0. Schreier.

0 ~ § Grad , das i d e n t i s c h der D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g f ( x § ~ p(x) genfigt , f(x) i s t bis auf e ine a d d i t i v e K o n s t a n t e b e s t i m m t und de r h t i chs te K o e f f i z i e n t yon f (x ) i s t b : ( n §

Fiir Polynome 0-ten Grades ist die Behauptung offenbar richtig. Wir nehmen an, sie sei ffir Polynome yon niedrigerem als n-ten Grad bewiesen (n <= p ~ 2 ) und p(x )=-bxnq-p~(x ) ein Polynom n-ten Grades mit dem hOchsten Koeffizienten b. Setzen wir

b f (x ) - - n -'1- 1 xn+l "}-A (x),

so erhalten wir ffir f~ (x) die Differenzengleichung

A (x + 1) --~A (x) = p, (x) q- b (x n - - (x + l ) n + l - - Xnq-l.t

n § ] '

der nach Annahme durch ein Polynom h0chstens n-ten Grades genfigt werden kann. Da der Zusatz fiber die Eindeutigkeit yon f ( x ) unmittelbar einleuchtet, ist der Hilfssatz damit bewiesen.

Wir setzen ~ ' = ~ § und wollen das Polynom f von h(ichstens (p--1)- tern Grad so bestimmen, dal~ a(~') eine m(iglichst einfache Form annimmt. Es ist

~0/') --~ ~(~/) +f ( -~ + 1) ~- ~/'+ ~ -~ + ( f (~ § 1) - - f ( ~ ) + ~V~ (~)).

Nach unserem Hilfssatz k(Jnnen wir f(.~) so bestimmen, daft der Ausdruck in der Klammer verschwindet. Schreiben wir wieder ,r statt ~', so sehen wir: r l~tfit sich so wahlen, daft a(~/) - - ~/_{_~p-1; wird ~/ so gewahlt, so haben wir naeh (3) und (4):

(~ + 1) = ~(~p - - ~) = (~ + ~p-1)~' - - (~ + .~p-~) = __-- ~p + ~ p ( v - ~ ) - - ~ - - ~ - ~ --= ~ (.~) § (.~ § a)~ -~ _ ".,,~-1.

Also genfigt ~(x) identisch der Differenzengleichung

(7) ~(x + l ) - -~ (x ) = (x + cOp-l--xp -1.

Damit haben wir eine vollst~tndige Ubersicht fiber die denkbaren zyklischen Erweiterungen p~-ten Grades von K gewonnen, die den Ktirper K(.~) enthalten.

Wir kehren jetzt unsere Betrachtung um und wollen beweisen, da6 wir dann immer zu einer zyklischen Erweiterung p~-ten Grades yon K kommen. Es sei also K(.~) ein gegebener zyklischer K(irper p-ten (~rades fiber K und ~ Wurzel der Gleichung

~8) xv - - . , . - - a ---- 0.

Eine Kennzeichnuug der reell abgeschlossenen Kfirper. 229

Dann bestimmen wir ein Polynom ~(x) von (p- -1) - tem Grad aus (7); dies ist nach unserem Hilfssatz m(iglich, und zwar erhalt .~:~-~ in ~p (x) den Koeffizienten a. Nunmehr behaupten wir: Die G l e i c h u n g

p--1

F(y) =_ [ I (Y~-- Y - - ~ (~ + ~)) = 0 k : O

i s t i n K i r r e d u z i b e l und i h r e W u r z e l n e r z e u g e n e inen z y k l i s e h e n KOrperp~- ten G r a d e s fiber K, der K(.~) en tha l t . Den Beweis fiihren wir in mehreren Schritten.

a) F(y) ist als symmetrische Funktion der Wurzeln yon (8) r a t i o n a l . Weiter ist wegen der Irreduzibilitat yon (8) sicher a # 0, also ~(.~) nicht rational und folglich K(~(.~)) ----- K(.~.). Daraus folgt weiter, dab die Faktoren von F(y) keine Wm'zel gemein haben; da aber jeder einzelne nach 1. doppelwurzelfrei ist, so hat auch F(y) k ein e Doppelwurzel.

B) Sei ~ eine Wurzel yon y ~ - - y - - ~ ( . ~ ) = 0. ~(.~) liegt dann in K(~), nach a) ist also K(.~) in K(r enthalten. ~ abet liegt nicht in K(.~). Ware namlich ~ ---- bo .~v-~-{- bl ~ - 2 § .. -, wo die b~ zu K gehfiren, so hatten wir unter Verwendung yon .~ = .~ § a:

Cv-- ~/ = bo v (.~ § a) ~-1 § bl (~ § a) ~-~ § . . .

- - bo _ ~ - ~ - - b~ .~-~ . . . . . ~ (.~),

woraus durch Vergleichung der Koeffizienten von .~P-~ folgte:

bo p - b o - a = O.

Das hieBe aber, dab (8) reduzibel ware. Also war die Annahme falsch und K(~) ist naeh Satz 1 zyklisch vom Grade p fiber K(.~), F(y) dem- nach i r r eduz ibe l .

7) Ist ~ eine Nullstelle yon y P - - y - - ~ (~ § k), so sind die fibrigen Nullstellen dieses Polynoms durch ~k § h gegeben (h = 1, 2 , . . . , p - - l ) und ~]k+i ~ ~]k~ (~ § k)p-1 ist eine Nullstelle yon yP--y--~(~§247 denn

(~k -4- (.~ + k)P-1) p . (~k § (.~ + k) ~-~) -= = ~ - - ~k + (-~ + k)P(P-1)-- (-~ + lc) p-1 ----

~- ~ (~ § k) § (~ § k § a) p-~ - - (~ § k)~-~

=- S o ( ~ + k ) + (~o(~+ k + 1) - - ~(~ # k))

(nach (8))

(nach (7)).

Durch wiederholte Anwendung dieses Schlusses erkennen wir, dab alle Wurzeln yon F(y) rational durch ~ und .~ ausgedriickt werden kCinnen, nach B) also auch durcl~ V allein: K(V) ist GALOISSeh vom Grade p2 fiber K.

230 E. Artin und 0. Schreier.

d) Nach r) ist ~ + ~v-1 Wm'zel yon F(y ) . Es sei a die Substitution der GALO1Sschen Gruppe, die ,~ in 7 + ~p-1 iiberftihrt: a (7) ~ q + ~P-I" Dam] ist a(~r (~)) ~ a (Tp-- 1t) -~- ~o (~+ 1), also nach a) aueh a (~) ~ ~ + 1. Nun ergibt sich

~ (,~) = ~ + ~ p - ~ + ( ~ + l ) p - ~ § . . . + ( ~ + ~ , - -1)~ '-1 (~ = 1 ,2 , ....)

und insbesondere

aP(~) = ~ + ~ v - l + ( ~ + l ) V - ' + . . . + ( ~ + p - - 1 ) P - ~ 7 - - 1 .

Demnach ist a~ ~ 1, die GALoIssehe Gruppe yon K(7) in bezug auf K ist also zyk l i seh . W . z . b . w .

Unsere I3berlegup~en fiihren daher zu Sa tz 3. Ist K (i ~ eine zyklische Erweiterung p-ten Grades yon K

"and ~ Wurzel der Gleichung (8), so besitzt K auch zyklische Oberk6rper p~-len Grades, die K (~_) umfassen. Man erldilt alle und nur diese KSrper dm'ch AdjunMion einer _h'ullstelle yon y P - - y - - 9 (~,) ",,u K, wobei ~ (x) cwf alle Weisen aus (7) zu bestimmen ist.

3. Nach diesen Vorbereitungen sind wir imstande,- die eingangs auf- gestellte Behauptung zu erharten:

Sa tz 4. Es sei $2 ein al.qebraisch abgeschlossener K6rper - - irfpmd- wel~'her Cl~arakteristik - - und P ein echter Unterkb'rper yon .% in bezug at~f den !2 endlich ist; dann ist P reell abgeschlossen und !2 -~ P (i), wo i eine Nallstelle yon x~+ I bedeutet.

Bemerken wir zunachst, da~ P ein v o l l k o m m e n e r Kth~)er ist! Denn wi~re etwa p die Charakteristik yon P tend das Element a yon P

pr

nicht p-te Potenz in P, ~o ware P ( i a ) ein KO'per p~-ten Grades fiber P, also besal~e P algebraische Erweiterungen beliebig hohen Grades, w~thrend doch !2 endlich in bezug auf V sein sollte.

Daher ist !2 eine GaLOISsche Erweiterung yon P. q sei ein Prim- faktor des Grades yon -q iiber P. Dann besitzt die GALOISsche Gruppe von .? eine Untergruppe ~i~ der Ordnung q. K sei der zu ~ geh(irige K0rper. !2 ist zyklisch vom Grade q tiber K. Nach Satz 3 kann also q n i c h t die Charakteristik von K sein; sonst besiif~e ja !2 einen Ober- k~irper q-ten Grades.

In K zerfifllt jedes Polynom in Faktoren q-ten und 1. Grades. Die q-ten Einheitswurzeln genfigen einer Gleichung (q--1)- ten Grades, liegen also in K. Daher erhalten wir !2 aus K durch Adjunktion der

q-ten Wurzel aus einem geeigneten Element yon K, etwa .r ~ K ( V a ) . Betrachten wit nun das Polynom f ( x ) ~ x q ' - - a , f ( x ) besitzt sicher einen - - reduziblen oder irreduziblen - - Faktor g(x) vom q-ten Grade

q in K. Das yon x freie Glied yon g(x) hat die Form ~ l / a . wo ~ eine

Eine Kemlzeichuung der reell abgeschlossenen K(irl)er. 231

q

q-~ Einheitswurzel ist. Also geh6rt , | / a a zu K. Daher ist r

!2 ~ K ( 1 / a ) = K(t) und t i s t als primitive qS-te Einheitswurzel erkannt.

Nun sei R der in K enthaltene PrimkOrper und v die gr0gte natiirliche Zahl, fiir die alle ~"-ten Einheitswurzeln in R(~)liegenS). Ist sodann ~ eine primitive q"e~-te Einheitswttrze,1, so ist .~ Nullstell~ eines in K irreduziblen Polynoms h(x) yore Grade q. Die Koeffizienten yon h(J:) liegen im Durchschnitt D yon K mit R(~). l)a h(x) in D erst recht irreduzibel ist, so [st R(.~) vom Grade q in bezug auf D, Andererseits ist ~# ~ 5' als q"-te Einheitswurzel in R(t) enthalten; da aber die Wurzeln der Gleiehung x~ = 6' dur_chwegs primitive q"~-te Einheitswurzeln sind, ist R(~) aueh in bezug auf R(~) vom Grad q. Nuu liegt e nicht in K, erst reeht nieht in D, also ist D + R(e). R(~) ist demmlch vom Grade q in bezug auf zwei versehiedene Unterk0rper; folglich kann R(~) n i eh t z y k l i s e h in bezug auf R sein~ Diese Bedingung ist nur dann erfiillt, weun die Charakteristik Null und q ~ 2 ist?)

Wir wissen also bereits: 1..~2 hat die Charakteristik Null. 2. Ein eehter Unterk0rper yon -% in bezug auf den .~2 endlich ist, kann die 4. Einheitswurzel i nieht enthalten. Da -~-~ endlieh in bezug auf P(i) ist, so folgt denmach -q ~ P(i).

Es bleibt zu zeigen, dal] P ree l l ist. Seien a, b irgeudwelehe Elemeute ~ 0 aus P. Wir bilden das Polynom f (x ) = (x ~ - a)2+ b ~. Die Nullstellen von f ( x ) sind • 1 7 7 also nieht in 1' enthalten. f (x ) zerfiillt daher in P in quadratische Faktoren. Fiir die yon x freien

hed(r kommen nur die Ausdriieke -4-b/a-~q - b -~ oder A-(a q-b i) il~ Frage. • (a + b i) aber liegt nieht in P, also sind -4- I/~-L~-b ~ die von x freien Olieder, d .h. a :q - b 2 - - c ~, wo c zu P geh6rt. I)ureh voll- st~indige Induktion erkennen wir, dab in P jede Summe yon Q uadraten selbst wieder Quadrat ist. - -1 ist nieht Quadrat einer Zahl aus P, also auch nieht Quadratsumme: P ist in der Tat reell. Da die einzige algebraisehe Erweiterung yon P, n~tmlieh !2, i enth~ilt, ist 1' ree l l abgesch lo s sen .

3) Im Fall der Charakteristik Null ist ,' ~- 2; im Fall der Charakteristik p bestimmt v sich so: f sei tier Exponent, zu dem p modq 2 geh6rt; d a n n i s t qV die h6chste Potel~z yon q, die in / ~ - - I aufgeht.

4) Ifat R die Charakteristik p, so ist jede endliche Erweiterung zykliseh. Isl abet R der KSrper der rationalen Zahlen, so ist die 6ruppe yon R (~) isomorph mit der multiplikativen Restgruppe rood q:~, also zyklisch ftir q ~ 2.

Hamburg , Mathematisches Seminar, im .bumar 1c.~27.