Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Körper

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  • Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen gSrper. Von EMIL ARTIN und OTTO SOHI~IER m Hamburg.

    Im folgenden soll unsere Untersuchung ,Algebraische Konstruktion reeller KSrper "~) in einem Punkt erg~nzt werden, der dort noch uner- ledigt geblieben war. Wir erinnern zun~chst an die zugrunde liegenden Definitionen:

    Ein KSrper heiflt ,,reell", wenn in ihm--1 nicht als Qua&'atsumme darstellbar ist.

    Ein K6rper P heiflt ,reell abgeschlossen", wenn zwar P reeU, aber keine (eigentliche) algebraische Erweiterung yon P reell ist.

    Unser Ziel ist nun der Naehweis des Satzes: Die reeU abgeschlossenen K6rper sind identisch rail den K6rpern, die

    dutch endliche Erweiterung algebraisch abgeschlossen werden k6nnen, ohne selbst algebraisch abgeschlossen zu sein.

    Der eine Teil dieser Kennzeichnung, daf ni~mlich die reell abge- schlossenen KOrper durch endliehe Erweiterung algebraisch abgeschtossen werden k0nnen, ist in A. K., Satz 3, enthalten. Die Umkehrung ist ffir algebraisehe ZahlkOrper in R.Z. bewiesen, fill" beliebige KOrper der Charakteristik Null unter Berufung auf die Schlufweise von R. Z. in A.K., Satz 4. Filr g0rper der Charakteristik p jedoch sind neue lUberlegungen nOtig. Wir beweisen daher in 1. und 2. einige Si~tze fiber zyklische Erweitemngen p-ten und p~-ten Grades yon K0rpern der Charakteristik p. Auf Gruad dieser Sittze, die vielleicht auch an sich von Interesse sind, gelingt es dann, in 3. unsere Behauptung allgemein zu beweisen. Um der gr0Beren Ubemiehtlichkeit willen haben wir auch den Teil des Beweises, der fast ohne Xnderung aus R.Z. entnommen werden kCinnte, nochmals vollstandig dargestellt.

    1. Es sei K ein Ktirper der Charakteristik p. Bekanntlich k6nnen dann die Wurzeln zyldiseher Gleichungen p-ten Grades nicht durch Radikale dargestellt werden. Zum Studium der zyklischen Erweiterungen 2) p-ten Grades yon K mfissen wir daher nach einem Ersatz der reinen Gleichungen suchen. Es ergibt sich, daft die Gleichungen

    (l) : : - -x - -a ~ 0,

    1) Hamb. ~_bh., Bd. 5 (1926), S. 85--99, im weiteren als A. K. zitiert. Mall ver- gleiche hierzu ferner: E. ARTIN, Kennzeichnung des KOrpers der reellen algebraischen Zahlen, Hamb. Abh., Bd. 3 (1924), S. 319--323, im weiteren a|s R. Z. zitiert.

    2) Eine Erweiterung bezeichnen wir als zyklisch, wenn sie yon erster Art und GALOIssch mit zyk|ischer GALolSscher Gruppe ist.

  • 226 E. Artin und 0. Schreier.

    die wir als ,,normierte" Gleichungen bezeiehnen wollen, dazu geeignet sind. Es gilt nitmlich

    Satz 1. Eine normierlc Gleichung in K ist entweder zyklisch oder ~ie besitzt nur rationale Wm'zeln. Jede zyklische Erweiterun.q p-ten Grades yon K kann dutch die ll~trzel eine~" normic~'ten Gleichung erzeugt werden.

    Sei Q eine Wurzel von (1). Dann sind e+l , r . . . , Q+p- -1 die fibrigen. Daher sind alle irreduziblen Faktoren des Polynoms xr - -x - -a vom gleichen Grad. Ist also ,o nicht rational, so ist (1) irreduzibel und ~ erzeugt eine Erweiterung p-ten Grades yon K: die ersichtlich GALOISsch, also zyklisch ist.

    Sei umgekehrt K eine zyklische Erweiterung p-ten Grades yon K. etwa /~ ~--- K (a), nnd ,~ eine Erzeugende der GALOISschen Gruppe yon in bezug auf K (at---~ 1). Wir setzen in fiblieher Weise a i (a) = ai, wobei der Index i nur rood p in Frage kommt. Nun wiihlen wir einen Exponenten k (0 ~ k

  • Eine Kennzeichnung der reell abgeschlossenen Ktirper. 227

    primitiven Elemente yon K (~. ) g~. eben, die gleiel~alls normierten Gleichungen in K gen#gen.

    2. Wit wenden uns jetzt den zyklischen Erweiterungen p*-ten Grades von K zu. Sei K(7) zyklisch vom Grade p* tiber K und K(.~) die (einzige) in K(~) enthaltene (zyklische) Erweiterung p-ten Grades yon K. K(7) ist dann zyklisch vom Grade p fiber K(~). Naeh Satz 1 dfirfen wir annehmen,, dal~ ~ Wurzel einer normierten Gleichung in K, 7 aber Wurzel einer normierten Gleiehung in K(~) ist, etwa

    (3) (4)

    .~P- -~- -a = 0,

    ~ - - ~ - - ~ (_~) = 0 .

    Dabei bedeutet ~(~) ein Polynom h(lehstens (p - - l ) - ten Grades mit Koeffizienten aus K. a sei eine Erzeugende der GALOISSehen Gruppe von K(~) in bezug auf K. (ap' ~ 1 .) Die GALOISSche Gruppe von K(~) in bezug auf K ist dann durch 1, a, ~2,. . . , a p-x reprasentiert. Wit dfirfen annehmen, dal~ ~(~)----~ + 1 ist. Also genfigt (T(7) in K(~) der normierten Gleichung

    ~(7) p - - ~(7) - - ~o(~ + 1) = 0 .

    Naeh Satz 2 ist demnach a(7 ) : k 7 + ~/,(~), wobei k eine der Zahlen 1 ,2 , . . . , p - -1 und ~,(~) ein Polynom h0chstens (p--1)- ten Grades mit Koeffizienten aus K bedeutet. Dutch Iteration finden wir

    (5) O'r(~) ~ ]~vT-~-k"-l~/)(~.)-Jf-]tY-2~/)(~-~ 1)-[- . . . +~p(~-~v - -1 ) (~ = 1 ,2 , . - . ) .

    Nun genfigt ~r (7) der Gleiehung (4). Also ist ar (7) ----- ' /+ h, wo h eine der Zahlen 1, 2, . . . , p - -1 ist; vergleiehen wir dies mit (5) ffir ~, = p, so erhalten wir, weil ja 7 nieht zu k(.~) geh0rt: kP = l, also k = 1. Uberdies gilt noeh

    (6) ~p(~)+(p(~+l )+. . . +~p(~+p- -1) ~-- h.

    Die linke Seite yon (6) berechnet sich leicht zu - - c , wenn c der Koef- fizient yon ~p-1 in ~P(~) ist. Man entwickle dazu ~p(~ + k) nach Potenzen

    yon k und beachte, dal~ k ~= 0 ftir r=0, 1 , . - . ,p - -2 , und =- -1 k=0

    fib' 7, p--1. Es ist demnach c z - -h. Ersetzen wir noch 7 durch 7 h '

    so haben wir folgendes erreicht: es ist a (~)~ V@~l~-1@ (Pl (.~), wo ~p~ yon hOchstens (p - - 2)-tern Grad ist, und at,(7)----7--1. Um q,1 noch weiter zu normieren, benOtigen wir den

    Hi l fssatz: ]st p(x) ~ bx"@. . , ein Po lynom n- ten Grades in K(n ~p- - '2 ) , so gibt es ill K stets ein Po lynom f(x) yore

  • 228 E. Artin und 0. Schreier.

    0~ Grad, das ident i sch der D i f fe renzeng le ichung f (x ~ p(x) genfigt, f(x) ist bis auf eine add i t ive Konstante best immt und der ht ichste Koef f i z ient yon f(x) ist b : (n

    Fiir Polynome 0-ten Grades ist die Behauptung offenbar richtig. Wir nehmen an, sie sei ffir Polynome yon niedrigerem als n-ten Grad bewiesen (n

  • Eine Kennzeichnuug der reell abgeschlossenen Kfirper. 229

    Dann bestimmen wir ein Polynom ~(x) von (p--1)-tem Grad aus (7); dies ist nach unserem Hilfssatz m(iglich, und zwar erhalt .~:~-~ in ~p (x) den Koeffizienten a. Nunmehr behaupten wir: Die G le ichung

    p--1

    F(y) =_ [ I (Y~-- Y - - ~ (~ + ~)) = 0 k :O

    ist inK i r reduz ibe l und ih reWurze ln erzeugen einen zyk l i sehen KOrperp~-ten Grades fiber K, der K(.~) enthal t . Den Beweis fiihren wir in mehreren Schritten.

    a) F(y) ist als symmetrische Funktion der Wurzeln yon (8) rat ional . Weiter ist wegen der Irreduzibilitat yon (8) sicher a # 0, also ~(.~) nicht rational und folglich K(~(.~)) ----- K(.~.). Daraus folgt weiter, dab die Faktoren von F(y) keine Wm'zel gemein haben; da aber jeder einzelne nach 1. doppelwurzelfrei ist, so hat auch F(y) k ein e Doppelwurzel.

    B) Sei ~ eine Wurzel yon y~- -y - -~( .~) = 0. ~(.~) liegt dann in K(~), nach a) ist also K(.~) in K(r enthalten. ~ abet liegt nicht in K(.~). Ware namlich ~ ---- bo .~v-~-{- bl ~-2 .. -, wo die b~ zu K gehfiren, so hatten wir unter Verwendung yon .~ = .~ a:

    Cv-- ~/ = bo v (.~ a) ~-1 bl (~ a) ~-~ . . .

    - - bo _~-~ - - b~ .~-~ . . . . . ~ (.~),

    woraus durch Vergleichung der Koeffizienten von .~P-~ folgte:

    bo p -bo-a = O.

    Das hieBe aber, dab (8) reduzibel ware. Also war die Annahme falsch und K(~) ist naeh Satz 1 zyklisch vom Grade p fiber K(.~), F(y) dem- nach i r reduzibel .

    7) Ist ~ eine Nullstelle yon yP- - y - - ~ (~ k), so sind die fibrigen Nullstellen dieses Polynoms durch ~k h gegeben (h = 1, 2,.. . , p - - l ) und ~]k+i ~ ~]k~ (~ k)p-1 ist eine Nullstelle yon yP--y--~(~247 denn

    (~k -4- (.~ + k)P-1) p . (~k (.~ + k) ~-~) -= = ~ - - ~k + (-~ + k)P(P-1)-- (-~ + lc) p-1 ----

    ~- ~ (~ k) (~ k a) p-~ - - (~ k)~-~ =- So(~+k)+ (~o(~+ k+ 1) - - ~(~ # k))

    (nach (8))

    (nach (7)).

    Durch wiederholte Anwendung dieses Schlusses erkennen wir, dab alle Wurzeln yon F(y) rational durch ~ und .~ ausgedriickt werden kCinnen, nach B) also auch durcl~ V allein: K(V) ist GALOISSeh vom Grade p2 fiber K.

  • 230 E. Artin und 0. Schreier.

    d) Nach r) ist ~ + ~v-1 Wm'zel yon F(y) . Es sei a die Substitution der GALO1Sschen Gruppe, die ,~ in 7 + ~p-1 iiberftihrt: a (7) ~ q + ~P-I" Dam] ist a(~r (~)) ~ a (Tp-- 1t) -~- ~o (~+ 1), also nach a) aueh a (~) ~ ~ + 1. Nun ergibt sich

    ~ (,~) = ~+~p-~+(~+ l )p -~ . . . + (~+ ~,--1)~ '-1 (~ = 1,2, ....)

    und insbesondere

    aP(~) = ~+~v- l+(~+l )V - '+ . . .+(~+p- -1 )P -~ 7- -1 .

    Demnach ist a~ ~ 1, die GALoIssehe Gruppe yon K(7) in bezug auf K ist also zykl iseh. W.z .b .w.

    Unsere I3berlegup~en fiihren daher zu Satz 3. Ist K (i ~ eine zyklische Erweiterung p-ten Grades yon K

    "and ~ Wurzel der Gleichung (8), so besitzt K auch zyklische Oberk6rper p~-len Grades, die K (~_) umfassen. Man erldilt alle und nur diese KSrper dm'ch AdjunMion einer _h'ullstelle yon yP - -y - -9 (~,) ",,u K, wobei ~ (x) cwf alle Weisen aus (7) zu bestimmen ist.

    3. Nach diesen Vorbereitungen sind wir imstande,- die eingangs auf- gestellte Behauptung zu erharten:

    Satz 4. Es sei $2 ein al.qebraisch abgeschlossener K6rper - - irfpmd- wel~'her Cl~arakteristik - - und P ein echter Unterkb'rper yon .% in bezug at~f den !2 endlich ist; dann ist P reell abgeschlossen und !2 -~ P (i), wo i eine Nallstelle yon x~+ I bedeutet.

    Bemerken wir zunachst, da~ P ein vo l l kommener Kth~)er ist! Denn wi~re etwa p die Charakteristik yon P tend das Element a yon P

    pr

    nicht p-te Potenz in P, ~o ware P ( ia ) ein KO'per p~-ten Grades fiber P, also besal~e P algebraische Erweiterungen beliebig hohen Grades,

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