2
Rozwiązania równ. dyfuzjiRozwiązań równania lub układu równań różniczkowych, w
tym równania dyfuzji, jest nieskończenie wiele, spośród nich wybieramy tylko te spełniające zadane warunki
początkowe i brzegowe.
Warunki początkowe
określają stężenia (temperatury, itp.) dla chwili t = 0.
Dla układu 1-wymiarowego rozciągającego się od x0
do x1
warunki brzegowe
określają stężenia (temperatury) lub strumienie na brzegu układu dla x = x0
oraz x = x1
.
3
Warunki brzegowe (WB)WB Dirichleta
określają wartość
funkcji na brzegu układu dla x = x0
oraz x = x1
Przykładowo: stężenia lub temperatury są stałe na brzegach
lub11
00
),(),(
ctxxcctxxc
====
11
00
),(),(
TtxxTTtxxT
====
WB Neumanna
określają wartość pochodnej funkcji na brzegu
układu dla x = x0
oraz x = x1
Przykładowo: strumienie przez brzegi są zerowe (układ
zamknięty)
0),(0),(
1
0
====
txxJtxxJ
W toku tego wykładu skróty WBD
i WBN
będą się odnosiły do sformułowanych powyżej warunków brzegowych
4
Rozwiązania w stanie stacjonarnymW stanie stacjonarnym, z definicji, zerują się pochodne czasowe: lewe, a zatem, i prawe strony równań ciągłości
Dla geometrii sferycznej:
zJ
yJ
xJ
tc zyx
∂∂
−∂
∂−
∂∂
−==∂∂ 0
xJ
tc
∂∂
−==∂∂ 0
Dla układu jednowymiarowego:
Dla układu trójwymiarowego: Dla geometrii cylindrycznej:
( )rJr
rtc
∂⋅∂
−==∂∂ 10
( )r
Jrrt
c∂
⋅∂−==
∂∂ 2
2
10
6
0dxd
=J
WD na lewym i prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D =
const
( ) const=xJ
( ) xbxc ⋅+= az warunków brzegowych
( ) xxxcc
xxxcxcxc
01
01
01
0110
−−
+−
⋅−⋅=
dyfuzja zachodzi!
x0
x x1
c(x)
stan stacjonarny
stan początkowy
01
01
xxccDJ
−−
−=
c1
c0
Geometria planarna (SS)
7
0dxd
=J
WN na lewym i prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D > 0
( ) const=xJ
( )( ) 010 =∨= xxxJ( ) 0=xJ
( ) const=xcdla ukł. zamkniętego
( ) ∫ =−
=1
0
)0,(1
01
x
x
dxtxcxx
xc
dyfuzja nie zachodzi!
c(x)
stan stacjonarny
stan początkowyc0
c1
x0
x x1
Geometria planarna (SS)
8
0dxd
=J
WD na lewym i WN na prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D > 0
( ) const=xJ
( ) 01 == xxJ( ) 0=xJ
( ) const=xc
( ) 0cxc =
dyfuzja nie zachodzi!
c(x)
stan stacjonarny
stan początkowy
( ) 00 cxxc == c0
c1
x0
x x1
Geometria planarna (SS)
9
0dxd
=J
WN na lewym i WD na prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D > 0
( ) const=xJ
( ) 00 == xxJ( ) 0=xJ
( ) const=xc
( ) 1cxc =
dyfuzja nie zachodzi!
c(x)
stan stacjonarny
stan początkowy
( ) 11 cxxc == c0
c1
x0
x x1
Geometria planarna (SS)
10
Układy wielowarstwoweDla warunków brzegowych Dirichleta, strumień w układzie
wielowarstwowym jest stały (niezerowy), podobnie jak gęstość prądu w układzie szeregowo połączonych
oporników. Również I prawo
Ficka
jest analogiczne do prawa Ohma
Zatem metody postępowania będą analogiczne!
R2V0 V2
xVJ
∂∂
= σxcDJ
∂∂
−=J oznacza tutaj
strumień ładunku czyli gęstość prądu
c0 c2D1 D2
c1
=?
R1
V1
=?
11
Znane: R1
i R2
oraz napięcie całkowite (V2
-V0
), szukane: V1
Ponieważ oporniki są szeregowo połączone, prąd w obwodzie jest stały, zatem:
R2R1
V0 V1 V2
21
02
1
01
RRVV
RVV
+−
=− ( )02
21
101 VV
RRRVV −+
+=
R2R1
V0V1
V2
Zasada działania potencjometru: płynna zmiana R1
skutkuje płynną zmianą V1
(przy stałym napięciu oraz oporze całkowitym)
Układy wielowarstwowe
12
Układy wielowarstwowe (SS,WBD)
∑=
−
−
−
−
−
=−
−N
n n
nn
n
nn
N
nn
Dxx
Dxx
cccc
1
1
1
0
1
c0 D1 D2
c1
=?
cNDN-1 DN
cN-1
=?c2
=? cN-2
=?
Dane:
Szukane:
x0 x1 x2 xN-2 xN-1 xN
( )∑∑=
−=
− −−=− N
nnn
N
n n
nn ccD
xxJ1
11
1
∑=
−−−
−= N
n n
nn
N
Dxx
ccJ
1
1
0
1
1
−
−
−−
−=nn
nnn xx
ccDJ
strumień w układzie
( )0
1
1
1
1 cc
Dxx
Dxx
cc NN
n n
nn
n
nn
nn −−
−
+=
∑=
−
−
−
wzór rekurencyjny
13
Układ dwuwarstwowy (SS,WBD)
c0 D1 D2
c1
=?
c2Dane:
Szukane:
x0 x1 x2
( )02
2
12
1
01
1
01
01 cc
Dxx
Dxx
Dxx
cc −−
+−
−
+=
( ) ( )( ) ( )012121
012212101 xxDxxD
xxDcxxDcc−+−
−+−=
( )( ) ( )012121
0221
xxDxxDccDDJ
−+−−
−=
14
Przewodzenie ciepła (SS,WBD)
T0 λ1 λ 2
J
T2Dane:
Szukane:
x0 x1 x2
( )( ) ( )012121
0221
xxxxTTJ
−+−−
−=λλ
λλ
xTJ
∂∂
−= λ λ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅KmWStrumień ciepła
15
Przewodzenie ciepła (SS,WBD)
( )( ) ( )012121
0221
xxxxTTJ
−+−−
−=λλ
λλ
xTJ
∂∂
−= λ 6.0=cλ 035.0=PSλ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅KmW
25 cm d
d (cm) Oszczędności %
2 58
5 77
10 87
15 91
20 93
0 0.05 0.1 0.15 0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
J d( )
J 0( )
d
Dotyczy tylko ścian!
16
Geometria cylindryczna (SS)
D1
c(r)=?
Dane:
Szukane:
r0 r1
c1 J1lubc0 J0lub
( )rJr
rtc
∂⋅∂
−==∂∂ 10
17
Geometria cylindryczna (SS)
( ) 0d
d=
⋅rJr
WD na lewym i prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D =
const
Add
=rcr
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=−
00 ln
rrAcrc
( )
∫∫ =r
r00
dAdrrc
rc
c
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=−
0
101 ln
rrAcc
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
=−−
0
1
0
01
0
ln
ln
rrrr
cccrc ( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=
0
1
01
10
ln
lnln
rr
rrc
rrc
rc
oraz
18
Geometria cylindryczna (SS)WD na lewym i prawym brzegu
r0
r r1
c1
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
=
0
1
01
10
ln
lnln
rr
rrc
rrc
rc
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
0
1
01
lnrrcc
rDrJ
dyfuzja zachodzi, strumień nie jest stały!
stan stacjonarny
stan początkowy
c0
c(r)
19
Geometria cylindryczna (SS)WN na lewym i prawym brzegu
( ) ( ) ∫ =⋅⋅⋅−
=1
0
)0,(212
02
1
r
r
drtrcrxr
rc ππ
Dla mieszanych warunków brzegowych rozwiązania
analogiczne jak dla geometrii planarnej
dyfuzja nie zachodzi!
r0
r r1
c1
stan początkowy
c0
c(r)
WDL+WNP
WNL+WNP
WNL+WDP
20
Geometria sferyczna (SS)
D1
c(r)=?
Dane:
Szukane:
r0 r1
c1 J1lubc0 J0lub
( )r
Jrrt
c∂
⋅∂−==
∂∂ 2
2
10
21
Geometria sferyczna (SS)
( ) 0d
d 2
=⋅
rJr
WD na lewym i prawym brzegu
z I prawa Ficka, dla D =
const
Add2 =
rcr
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−
00
11rr
Acrc
( )
∫∫ =r
r2
00
dAdrrc
rc
c
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−
0101
11rr
Acc
( ) ( )( )10
01
01
0
rrrrrr
cccrc
−−
=−− ( ) ( ) ( )
( )01
011100
rrrrrrcrrrcrc
−−⋅+−⋅
=
oraz
22
Geometria sferyczna (SS)WD na lewym i prawym brzegu
r0
r r1
c1
( )01
012
10
rrcc
rrrDrJ
−−⋅⋅
−=
dyfuzja zachodzi, strumień nie jest stały!
stan stacjonarny
stan początkowy
c0
c(r)
( ) ( ) ( )( )01
011100
rrrrrrcrrrcrc
−−⋅+−⋅
=
23
Geometria sferyczna (SS)WN na lewym i prawym brzegu
( )( ) ∫
=⋅⋅⋅−
=1
0
)0,(4
34
1 2
30
31
r
r
drtrcrxr
rc ππ
Dla mieszanych warunków brzegowych rozwiązania
analogiczne jak dla geometrii planarnej
dyfuzja nie zachodzi!
r0
r r1
c1
stan początkowy
c0
c(r)
WDL+WNP
WNL+WNP
WNL+WDP
24
Ukł. dwuwymiarowy (SS, WBD)
WBD: temperatury na brzegach
T(x,y)=?
Dane:
Szukane:
yJ
xJ
tc yx
∂
∂−
∂∂
−==∂∂ 0
2
2
2
2
0yc
xc
∂∂
−∂∂
−=
Równanie Laplace’a