Download pdf - Durch ebene Schnitte einer Drehkegelfläche induzierte ... · Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 27 Projektivgeometrische Erzeugung der

Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik Institut für Geometrie

Durch ebene Schnitte einer Drehkegelfläche induzierte

Ortskurven

27. Fortbildungstagung für Geometrie

Strobl, November 06 – 09, 2006

Marco Hamann

Marco Hamann 27. Fortbildungstagung für Geometrie, Strobl - Österreich, 6. – 9. November 2006 22

Aufgabe:

Man untersuche den geometrischen Ort aller Brennpunkte von (nicht-zerfallenden) Kegelschnitten, die durch ein Ebenenbüschel aus einer Drehkegelfläche geschnitten werden.

Der Einfluss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezug auf die Drehkegelfläche ist zu untersuchen.

Einleitung


Aufgabe:

Man untersuche den geometrischen Ort aller Brennpunkte von (nicht-zerfallenden) Kegelschnitten, die durch ein Ebenenbüschel aus einer Drehkegelfläche geschnitten werden.

Der Einfluss der Lage des Trägers des Ebenenbüschels in Bezug auf die Drehkegelfläche ist zu untersuchen.

Einleitung

Prof. Oliver Niewiadomski, Hochschule für Künste Bremen


Gliederung

• Darstellungsgeometrische Erzeugung unter Verwendung derFigur von DANDELIN,

• Kennzeichnung der Kurven (im projektiv abgeschlosseneneuklidischen Raum), Varianten ihrer Konstruktion,

• Bemerkenswerte Eigenschaften und ihre Darstellung,


Perspektivität zwischen Kegelschnitten

SS G↔

1P

2P

g

1k

2k

S…

g…

Spitze der - (Trägerdes Bündels

Erzeugende derKegelfläche(Bündelstrahl )

)SG

Zwei ebene Schnitteeiner (Dreh-)Kegelfläche sind perspektiv bezüglich ihrer Erzeugenden.

1,k 2k


Die Brennpunkte der Kegelschnitte sind Begriffe der euklidischen Geometrie.

Brennpunkte eines Kegelschnittes

1. Planimetrische Definition der Kegelschnitteüber ihre Brennpunkte (und Leitlinie);z.B.: Gärtner-Konstruktion der Ellipse.

2. Die Brennpunkte lassen sich räumlich als Berührpunkte der DANDELIN-Kugeln mit der Schnittebene der Drehkegelfläche deuten.

3. Projektive Kennzeichnung: Die Brennpunkte eines Kegelschnittes sind die eigentlichen Schnittpunkte der aus den absoluten Punkten an ihn legbaren Tangenten.

E F

P k∈







E F

P k∈


Darstellungsgeometrische Verfahren

Figur von DANDELIN

Quelle: R: Bereis: Darstellende Geometrie. Bd. 1


Konstruktion im Grund – Aufriss –Verfahren

1. Die Aufrissebene wird so gewählt, dass die (tangential an liegende) Trägergerade darin projizierend ist.O. B. d. A. wird die Grundrissebene parallel zur Achse von gewählt.

2. Die Aufrisse der Brennpunkte sind unter Verwendung der Figur vonDANDELIN als Berührpunkte der Kugelumrisse mit der (projizierenden) Ebene konstruierbar.

3. Ihre Grundrisse lassen sich über die Konstruktion der Fallgeraden durch den Schnittpunkt bezüglich einer mit ihm inzidierenden Ebene

festlegen (wiederholtes Konstruieren der Normalebene).

Φ

Φ

a

: T aΠ = ⊥:T a= ε∩

ε








Φ

Φ

a

: T aΠ = ⊥:T a= ε∩

ε








Φ

Φ

a

: T aΠ = ⊥:T a= ε∩

ε



S ′

S ′′

M ′

M ′′

N ′

N ′′

Q′

Q′′

O′

O′′

P′

P s′′ ′′=

12x

1e

2e

a′′

a′

E′

E′′

F ′

F′′

v′′

u′′

u v′ ′=


M ′

M ′′

N′

N ′′

P′

P′′

Q′′

Q′

O′′

O′

E′

E′′

F ′

F ′′

S ′

S′′

5′

5′′

1e

2e

7

u′′

u v′ ′=

v′′

r′

w′

s′′

12x







E F

P k∈




! Beachte: Projektiver Abschluss und komplexe Erweiterung notwendig.




E F

P k∈


I J

E

E′

FF ′

u

U


Die zwei Paare von Tangenten an einen Kegelschnitt aus den absoluten Kreispunkten erzeugen ein (vollständiges) Viereck mit den Gegeneckenpaarenund

Die Punkte und heißen Brennpunkte des Kegelschnittes.

( ), ,E E′ ( ),F F′( ), .I J

,E ,E′ F F ′


Eine Parabel berührt die uneigentliche Gerade in In diesem Fall existiert genau ein eigentlicher Brennpunkt

Die (uneigentlichen) Punkte undfallen mit und zusammen.

,E′ FF ′

u .U

.E

,U I J


JI

E

u U


Mehrdeutige geometrische Verwandtschaften

Eine deutige Korrespondenz zwischen Grundgebilden liegt vor, wenn - vermittelt durch eine algebraische Korrespondenzgleichung - jedemElement des ersten Gebildes Elemente des zweiten Gebildes und jedem aus diesem Elemente aus jenem zugeordnet sind.

(R. STURM: Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften. Bd. 1)

1[ , ]-n n

X 1n 1Xn

k 1k

X1X

Beispiel:Die Korrespondenz zwischen den Punkten und den Geraden (Tangenten an ).

2,21k k∧

1 1X k∈X k∈

1k


c⊥

uk

uS

uA

uE

uF

uE′uF ′

I

J

ω

ue

Korrespondenz zwischen der Punktreihe und dem Tangentenbüschel

2,2∧

ukGc

P ⊥

Erzeugnis resultierender projektiver Verwandtschaft in ist Kurve Ordnung

ukG 4.

Perspektivität der Punktreihe vermöge des Geradenbüschels

I J∧

cP ⊥

uSG

Projektivgeometrische Erzeugung der Kurven


Eine irreduzible Kurve der Ordnung kann nicht mehr als singuläre Punkte besitzen

(W. BURAU: AlgebraischeKurven und Flächen. Bd. 1)

12

n −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

nk

( 2).n >

n

Die Kurve Ordnung zerfällt in eine Kurve

Ordnung und ein Geradenpaar über

4.

2..C

2k

2l


2luS

uA

c⊥

ue

,u uE F

,u uE F′ ′

I

J

uk

ω


Es gelte zusätzlich

( Erzeugende).u us e S k⇔ ∉

Die Kurve berührt für die gewählten Lagen des Trägers des schneidenden Ebenenbüschels den uneigentlichen Kegelschnitt der Drehkegelfläche doppelt.

us

usE uk

2k

c⊥

uk

uS

uA

,u uE E

uF

uF ′

2l

ω


e…



ω

Der uneigentliche Punkt der Achse ist ein vierfach zu zählender Punkt der Kurve Ordnung. Sie zerfällt in eine doppelt zu zählende Gerade(absolute Polare zu und ein Geradenpaar über

uA

)uS2k

2l .C

a4.

uF

uF ′

uE

uA

uS

( )uA ⊥δ

c⊥

uk

2k

2l

Es gelte zusätzlich( ) .u us a S A ⊥⊥ ⇔ ∈ δ



Folgerungen

• Verbindet man für die (reelle)nichtzerfallende Kurve Ordnungpunktweise mit der Spitze von ,so entsteht eine Kegelfläche

Ordnung. Diese ist Träger derBrennpunktkurve.

• Für ist zweifach zuzählende Ebene. Die Brennpunktkurveist dann eine ebene Kurve.

2.

S

s a⊥

2kΦ

s a⊥

2.

( )2k S∨2k

S


α

ns

S

ena A=

nf

(Kreisschnitt-) Ebene

Spur des Trägers

Spur einer Ebene des Büschels

α …

S …

e …

( ) ,aα ⊥

( ) ,s a⇔ ⊥

Ε

Die Hauptachsenregelflächebildet für ein orthogonales Hyperboloid. Jede (Schichten-) Ebene mit schneidet dieses in einem Kreis.

α aα ⊥

s a⊥




Ergebnisse

• Für und tangential an entsteht die Brennpunktkurve alsteilweiser Schnitt beider Flächen Ordnung, die eine weitere Geradegemeinsam haben.Die Brennpunktkurve ist daher eine räumliche Kurve Ordnung.

• Liegt nicht tangential an , so ist die Brennpunktkurve imAllgemeinen als nichtzerfallende Schnittkurve zweier Flächen Ordnungerzeugbar, also von Ordnung.

• Für und (nicht) tangential an ist die Brennpunktkurve eineebene Kurve Ordnung.

3.

s a⊥

s a⊥/2.

s Φ

(4.)s Φ

s a⊥ Φ2.

4.

3.



Ergebnisse




3.

s a⊥

s a⊥/2.

s Φ

(4.)s Φ

s a⊥ Φ2.

4.

3.



Ergebnisse




3.

s a⊥

s a⊥/2.

s Φ

(4.)s Φ

s a⊥ Φ2.

4.

3.


Eigenschaften und ihre Darstellung

Beispiel

Für sowie tangential an ist die Brennpunktkurve durch einen Zylinder Ordnung projiziert, dessen Erzeugende parallel zur Asymptotenrichtung sind.

2.

s a⊥ s Φ

Eine räumliche Kurve Ordnung wird aus allen ihren Punkten durch KegelOrdnung projiziert.

3.2.


A B′′ ′′=

( )3A

( )3B

( )4B

( )4E

( )4A

( )4F

F ′′

M ′′ N ′′O′′

( )4O

( )3E e′′

E′′

s′′

( )4P

S′′

( )3S

( )4S

P′′

( )3P

23x

34x


Für ist die aus den Haupt-achsen gebildete Regelfläche eine Drehzylinderfläche.

Die Brennpunktkurve ist Schnitt eines Kegels Ordnung (Spitze ) mit einer Dreh-zylinderfläche, von welcher eine Erzeugende mit zusammen-fällt; sie ist von Ordnung.

s a

2.S

a4.


M ′

S ′

u′

u v′′ ′′=

v′s′

s′′

e′′

a′

E′′

E′

S M a′′ ′′ ′′= =



Ist ein Parallelebenenbüschel (genau dann wenn uneigentlicher Träger ist), so sind die ebenen Schnitte zueinander ähnlich und in ähnlicher Lage.

Die Brennpunktkurve ist ein sich in der Spitze der Drehkegelfläche schneidendes Geradenpaar.

S

usE

us

E′′F′′

e′′

S ′′


Schlussbemerkungen

• Von inhaltlichem Interesse scheint die Frage nach demgeometrischen Ort von anderen bezüglich des Kegelschnittesausgezeichneten Elementen (etwa Leitgeraden oder Mittelpunkt) inobiger Aufgabenstellung interessant,

• ... ebenso die Verwendung von Flächen zweiter Ordnung anstelle derDrehkegelfläche,

• Von didaktischem Interesse ist eine möglichst natürliche Behandlunginnerhalb der projektiven, algebraischen und darstellenden Geometrie.





Schlussbemerkungen





Schlussbemerkungen