© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Devoir à la maison no 2

Exercice 1.

1. Soient k, l, n des entiers naturels tels que l 6 k 6 n.

a. Montrer queÇn

k

åÇk

l

å=

Çn

l

åÇn− l

k− l

å.

b. En déduire que si l < n,n∑k=l

(−1)kÇn

k

åÇk

l

å= 0.

2. Soit (an) et (bn) deux suites réelles vérifiant :

∀n ∈ N, bn =n∑k=0

Çn

k

åak

Montrer que

∀n ∈ N, an = (−1)nn∑k=0

(−1)kÇn

k

åbk

Exercice 2.

Soient n ∈ N∗ et (x1, . . . , xn) ∈ [−1, 1]n tels quen∑k=1

xk = 0. On veut montre l’inégalité :

|x1 + 2x2 + · · ·+ nxn| 6ún2

4

üoù btc désigne la partie entière d’un réel t. On pose S =

n∑k=1

kxk et Sk =k∑i=1

xi. Enfin, on pose p =

õn

2

û.

1. Montrer que S = −n−1∑k=1

Sk.

2. Montrer que ∀k ∈ J1, n− 1K, |Sk| 6 n− k.

3. Montrer que |S| 6p∑k=1

k+

n−p−1∑k=1

k.

4. En déduire l’inégalité annoncée. On pourra distinguer le cas n pair et le cas n impair.

Exercice 3.

Soit n un entier naturel impair. On pose ω = e2iπn et G =

n−1∑k=0

ωk2

.

1. Soit r ∈ Z. Calculern−1∑k=0

ωrk selon les valeurs de r.

2. Montrer que l’application φ :

{Z −→ Ck 7−→ ωk

2 est n-périodique.

3. Soit j ∈ Z. Montrer quen−1∑k=0

ω(k+j)2 = G.

4. Montrer que GG = n et en déduire |G|.

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