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© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot
Devoir à la maison no 2
Exercice 1.
1. Soient k, l, n des entiers naturels tels que l 6 k 6 n.
a. Montrer queÇn
k
åÇk
l
å=
Çn
l
åÇn− l
k− l
å.
b. En déduire que si l < n,n∑k=l
(−1)kÇn
k
åÇk
l
å= 0.
2. Soit (an) et (bn) deux suites réelles vérifiant :
∀n ∈ N, bn =n∑k=0
Çn
k
åak
Montrer que
∀n ∈ N, an = (−1)nn∑k=0
(−1)kÇn
k
åbk
Exercice 2.
Soient n ∈ N∗ et (x1, . . . , xn) ∈ [−1, 1]n tels quen∑k=1
xk = 0. On veut montre l’inégalité :
|x1 + 2x2 + · · ·+ nxn| 6ún2
4
üoù btc désigne la partie entière d’un réel t. On pose S =
n∑k=1
kxk et Sk =k∑i=1
xi. Enfin, on pose p =
õn
2
û.
1. Montrer que S = −n−1∑k=1
Sk.
2. Montrer que ∀k ∈ J1, n− 1K, |Sk| 6 n− k.
3. Montrer que |S| 6p∑k=1
k+
n−p−1∑k=1
k.
4. En déduire l’inégalité annoncée. On pourra distinguer le cas n pair et le cas n impair.
Exercice 3.
Soit n un entier naturel impair. On pose ω = e2iπn et G =
n−1∑k=0
ωk2
.
1. Soit r ∈ Z. Calculern−1∑k=0
ωrk selon les valeurs de r.
2. Montrer que l’application φ :
{Z −→ Ck 7−→ ωk
2 est n-périodique.
3. Soit j ∈ Z. Montrer quen−1∑k=0
ω(k+j)2 = G.
4. Montrer que GG = n et en déduire |G|.
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