Division sinteticatambien conocida como
Algoritmo de Horner o Regla de Ruffini
Egor Maximenko
ESFM del IPN
1 de agosto de 2012
AlgoritmoFormulasComo funcionaEn forma de tabla
AplicacionesCalculo de los valores de polinomiosExpansion del polinomio en potencias de un binomioBusqueda de ceros enteros de un polinomio
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn :
f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 :
f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 :
f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2. . .
x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2. . .
x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2
. . .
x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 :
fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2
=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2
=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 :
fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0
=⇒ q0 = f0
xn−1 : f1 = q1 − cq0
=⇒ q1 = cq0 + f1
xn−2 : f2 = q2 − cq1
=⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2
=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1
=⇒ r = cqn−1 + fn
FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que
f (x) = (x − c)q(x) + r .
Escribamos esta igualdad con mas detalles:
f0xn + f1x
n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =
=(x − c) (q0xn−1 +q1x
n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .
Igualemos los coeficientes:
xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2
. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1
x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1
q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +· +· +
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1
q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +· +· +
Escribimos los coeficientes del polinomio dado: f0, f1, f2, f3.Si dividimos entre (x − c), entonces en la segunda fila en laizquierda escribimos c .
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1
q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +· +· +
Preparamos celulas vacıas para el residuo ry los coeficientes del cociente q0, q1, q2.
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1
q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +· +· +
q0 := f0 =
1
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +· +· +
q0 := f0 = 1
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3
q1
−6
q2
−4
r
· +
· +· +
q1 := c · q0 + f1 = 2 · 1− 5 =
−3
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6
q2
−4
r
· +
· +· +
q1 := c · q0 + f1 = 2 · 1− 5 = −3
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6
q2
−4
r
· +
· +
· +
q2 := c · q1 + f2 = 2 · (−3) + 0 =
−6
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6q2
−4
r
· +
· +
· +
q2 := c · q1 + f2 = 2 · (−3) + 0 = −6
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6q2
−4
r
· +· +
· +
r := c · q2 + f3 = 2 · (−6) + 8 =
−4
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6q2
−4r
· +· +
· +
r := c · q2 + f3 = 2 · (−6) + 8 = −4
Como funciona
Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.
1
f0
−5
f1
0
f2
8
f3
2c
1q0
−3q1
−6q2
−4r
· +· +· +
Respuesta: q(x) = x2 − 3x − 6, r = −4;f (x) = (x − 2)(x2 − 3x − 6)− 4.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1
2 − 2 − 5 11 − 8
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1
2 − 2 − 5 11 − 8
Dibujamos una tabla de dos filas, copeamos en ellalos coeficientes de f y el numero c (si dividimos entre x − c).
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1
2 − 2 − 5 11 − 8
Copeamos el mayor coeficiente:
2.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2
− 2 − 5 11 − 8
Copeamos el mayor coeficiente: 2.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2
− 2 − 5 11 − 8
Calculamos: (−1) · 2 + 0 =
−2.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2
− 5 11 − 8
Calculamos: (−1) · 2 + 0 = −2.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2
− 5 11 − 8
Calculamos: (−1) · (−2) + (−7) =
−5.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5
11 − 8
Calculamos: (−1) · (−2) + (−7) = −5.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5
11 − 8
Calculamos: (−1) · (−5) + 6 =
11.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5 11
− 8
Calculamos: (−1) · (−5) + 6 = 11.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5 11
− 8
Calculamos: (−1) · 11 + 3 =
−8.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5 11 − 8
Calculamos: (−1) · 11 + 3 = −8.
Division sintetica escrita en forma de tabla
Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:
2 0 − 7 6 3
− 1 2 − 2 − 5 11 − 8
Respuesta: q(x) = 2x3 − 2x2 − 5x + 11, r = −8.
Calculo de los valores de polinomios
Suponemos que:
f (x) = q(x) · (x − c) + r .
Sustituimos x por c :f (c) =
Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).
Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:
1 −3 7 −5
3 1 0 7 16
Respuesta: f (3) = 16.
Calculo de los valores de polinomios
Suponemos que:
f (x) = q(x) · (x − c) + r .
Sustituimos x por c :f (c) = ?
Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).
Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:
1 −3 7 −5
3 1 0 7 16
Respuesta: f (3) = 16.
Calculo de los valores de polinomios
Suponemos que:
f (x) = q(x) · (x − c) + r .
Sustituimos x por c :f (c) = r .
Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).
Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:
1 −3 7 −5
3 1 0 7 16
Respuesta: f (3) = 16.
Calculo de los valores de polinomios
Suponemos que:
f (x) = q(x) · (x − c) + r .
Sustituimos x por c :f (c) = r .
Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).
Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:
1 −3 7 −5
3 1 0 7 16
Respuesta: f (3) = 16.
Calculo de los valores de polinomios
Suponemos que:
f (x) = q(x) · (x − c) + r .
Sustituimos x por c :f (c) = r .
Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).
Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:
1 −3 7 −5
3 1 0 7 16
Respuesta: f (3) = 16.
Expansion del polinomio en potencias de un binomio
Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).
1 3 −2 4
−2 1 1 −4 12
−2 1 −1 −2
−2 1 −3
−2 1
x3 + 3x2 − 2x + 4
= (x2 + x − 4)(x + 2) + 12
= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.
Expansion del polinomio en potencias de un binomio
Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).
1 3 −2 4
−2 1 1 −4 12
−2 1 −1 −2
−2 1 −3
−2 1
x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12
= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.
Expansion del polinomio en potencias de un binomio
Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).
1 3 −2 4
−2 1 1 −4 12
−2 1 −1 −2
−2 1 −3
−2 1
x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12
= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.
Expansion del polinomio en potencias de un binomio
Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).
1 3 −2 4
−2 1 1 −4 12
−2 1 −1 −2
−2 1 −3
−2 1
x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12
= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.
Expansion del polinomio en potencias de un binomio
Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).
1 3 −2 4
−2 1 1 −4 12
−2 1 −1 −2
−2 1 −3
−2 1
x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12
= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12
= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X
−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −6
1 1 − 1 1 0 − 6
X
−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X
−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X
−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X
−1 1 −3 5 −6 0
− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0
− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)
= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)
= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)
= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X
2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)
= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X 2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X 2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.
Respuesta: −1, 2.
Busqueda de ceros enteros de un polinomio
Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:
f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.
Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.
1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6
X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15
X 2 1 −1 3 0
f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).
El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.