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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2

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DISTRIBUCIÓN DE POISSON

• Se utiliza para aproximar las distribuciones binomiales si n≥20 y p≤0.5 y n≥100 y p≤10

• λ=n.p

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EJERCICIOSe sabe que 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados en ese taller tengan encuadernaciones defectuosas usando:

• La fórmula de la distribución binomial• La aproximación de Poisson a la distribución binomial.• Tablas

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EjercicioUn fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Si la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año es 1/1200. Determine las probabilidades de que 0,1,2,3,4 de los generadores fallen durante el año en cuestión.

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Media y varianza D. Poisson

µ=λσ2 =λ

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Ejercicio• En un periodo de 10 minutos, un aparato contador

registra un promedio de 1.3 partículas gamma por milisegundo procedentes a una sustancia radioactiva. Para una buena aproximación, la distribución de la cuenta X, de partículas gamma durante el siguiente milisegundo, es de poisson. Determine– λ– La probabilidad de una o mas partículas

gamma– La varianza

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Procesos de Poisson

• Proceso físico total o parcialmente controlado por algún tipo de mecanismo azaroso.

• Dependencia temporal• Ej: Procesos en intervalos continuos: llamadas

entrantes en un conmutador, numero de automóviles que pasan por un verificador electrónico

• λ=α. T

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Ejercicio

• Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondos por día, ¿Cuáles son las probabilidades de que reciba:– 4 cheques sin fondo en un día dado?– 10 cheques sin fondo en cualesquiera dos días

consecutivos?

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• En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar:– Una imperfección en 3 minutos– Al menos dos imperfecciones en 5 minutos– Cuando más una imperfección en 15 minutos.

Ejercicio

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DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

• Se utiliza en problemas cuando n no es fijo.

• Media:– µ=1/p

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EJERCICIO• Si la probabilidad de que cierto tipo de

dispositivos de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05¿Cuál es la probabilidad de que el sexto de éstos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?

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TEOREMA DE CHEBYSHEV

Si una distribución de probabilidad tiene una media y una desviación estándar, la probabilidad de obtener un valor que se desvíe de la media en al menos k es cuando más 1/k2.P ((x-µ) ≥ κσ) ≤ 1/κ2La probabilidad de que cualquier variable aleatoria X, tome un valor dentro de la κ desviaciones estándar de la media es al menos 1 – 1 / κ2. Es decir P (µ - κ σ < X < µ + κ σ) ≥ 1 – 1/κ2.

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EJERCICIO

• El número de clientes que visitan la sala de exhibiciones de un distribuidor de automóviles los sábados por la mañana es una variable aleatoria con un promedio de 18 y una desviación estándar de 2.5 ¿Con que probabilidad podríamos afirmar que habrá entre 8 y 28 clientes?

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EJERCICIO

• Demuestre que para 40.000 lanzamientos de una moneda balanceada la probabilidad de que la propagación de caras caiga entre 0.475 y 0.529 es de al menos 0.99.

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• Surge del hecho de que cada ensayo pueda tener más de dos resultados posibles. Distribución conjunta.

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

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EJERCICIO

• La probabilidad de que un foco de cierto tipo de video beam dure menos de 40 horas de uso continuo, cualquier número entre 40 y 80 horas de uso continuo o mas de 80 horas de uso continuo, son 0.3; 0.5 y 0.2 respectivamente. Determine la probabilidad de que entre 8 de esos focos, dos duren menos de 40 horas, cinco duren cualquier número entre 40 y 80 horas y 1 dure mas de 80 horas.