BASES MATEMATICAS

Enunciado: Sejam CA = {cx : x ∈ A, c ∈ <} e A = {x : x ∈ A}, A ⊂ <. Prove que supCA = c supAe inf CA = c inf A.

Supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ <+, teremos

a ≤ a + b = y

entao y e um majorante de A, logo, pelo axioma da completude possui supremo.Supondo tambem que w ≤ y, ou seja, que w e o menor dos majorantes, temos que

supA = w

Ainda supondo que exista um y = a + b, tal que a ∈ A e b ∈ <+, teremos, para o conjunto CA

ca ≤ c(a + b) = cy; c > 0

entao cy e um majorante de CA, logo, possui supremo.Por hipotese, temos que w ≤ y, donde concluımos, utilizando o axioma 12 (A12), que

cw ≤ cy.

Logo, supCA = cw = c · supA. Como se queria demonstrar.

A demonstracao para os ınfimos e totalmente analoga.

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